utilisation du métamodèle processus gaussien pour l'analyse de
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1AgroParisTech – le 23/10/2008
Utilisation du métamodèle processus
gaussien pour l’analyse de sensibilité
d’une sortie spatiale d’un code de calcul
Application Application àà un code de transport hydrogun code de transport hydrogééologiqueologique
Amandine MarrelAmandine Marrel
Thèse effectuée au LMTE du CEA Cadarache* Directrice de thèse : B. Laurent
Laboratoire de Modélisation des Transferts dans l’Environnement Dept. de Génie Mathematique, INSA de Toulouse
2AgroParisTech – le 23/10/2008
Introduction : modélisation du transfert de polluan tsDe la caractérisation à la modélisation numérique…
Identification des phénomènes
Identification des paramètres géologiques et physiques (caractéristiques du milieu) et chimiques (caractéristiques du milieu et du polluant)
Modélisation numérique : implémentation du scénario de transport
Transport généralisé Chimie transport
CaractCaractéérisation : risation : in situ, en labo ou biblio
Incertitude sur les paramIncertitude sur les paramèètres :tres :loi a priori (jugement d’expert),
loi empirique (mesures expérimentales)
Equations de transport (Equations de transport (ééquations Darcy, Richardsquations Darcy, Richards……))
Code de calcul de transport hydrogCode de calcul de transport hydrogééologique :ologique :Marthe, Marthe, PorflowPorflow, , HytecHytec……
3AgroParisTech – le 23/10/2008
Introduction : propagation des incertitudes
Propagation des incertitudes :Propagation des incertitudes : Incertitudes lors de la caractérisation Caractérisation partielle Paramètres fixés a priori
Code de calculCode de calculEx : Marthe, Porflow, …
ParamParamèètrestres et variables et variables dd’’entrentrééee
Ex : porosité, perméabilité, coefficient de diffusion…
……
Sortie ou variable Sortie ou variable dd’’intintéérêtrêt
Ex : concentration en polluant
……
Incertitudes sur Incertitudes sur les entrles entrééeses
Incertitudes sur la Incertitudes sur la sortiesortie
Incertitude sur la Incertitude sur la prise de dprise de déécision finalecision finale
4AgroParisTech – le 23/10/2008
Introduction : propagation des incertitudes
Gestion des incertitudes : Comment propager les incertitudes sur la sortie du code ?
Quelles sont les incertitudes les plus préjudiciables ?
Quelles sont les variables les plus influentes ?
Incertitude au final sur la sortie ?
Estimation de la marge de confiance sur la prise de décision ?
ProblèmeCode complexe & coûteux
Grand nombre de variables d’entrée
Grand nombre de simulations nécessaires pour les études de sensibilité et de propagation d’incertitude
Exploitation directe Exploitation directe du code difficiledu code difficile
Utilisation dUtilisation d’’un un mméétamodtamodèèlele pour approximer le code pour approximer le code
5AgroParisTech – le 23/10/2008
DDéétermination termination des paramdes paramèètres tres
AdAdééquation expquation expéériences riences simulsimuléées et observes et observééeses
Introduction : un outil statistique multifonctionne l…
PhénomèneEx : Transport en ZNS …
Code de calculEx : Marthe, Porflow …
Variables et paramètres d’entréeEx : porosité, perméabilité, Kd …
X1, …, Xd
Expérience«observée»
Expérience«simulée»
Métamodèle :Ex :Processus gaussiens
Expérience« prédite »
Exploitation du Exploitation du mméétamodtamodèèlele
Analyse de sensibilité
Métamodèle
)( XfY SRSR =
Distribution desentrées
Distribution de la sortie
Propagation d’incertitudes Calibration
6AgroParisTech – le 23/10/2008
Introduction : un outil statistique multifonctionne l…
Le métamodèle
Fonction statistique représentative du code de calcul
Construit à partir de n simulations du code
Temps d’évaluation très faible par rapport à celui du code
Outil multifonctionnel : analyse de sensibilité, propagation d’incertitudes, calibration
Construction en grande dimension
Contrôle de la qualitContrôle de la qualitéé dd’’approximation (ajustement au code)approximation (ajustement au code)
Ex : Polynômes, splines, réseaux de neurones, …
Choix : MMéétamodtamod èèlele Processus Gaussiens (PG)Processus Gaussiens (PG)
7AgroParisTech – le 23/10/2008
Introduction : mise en œuvre du métamodèle PG
Problématiques
Construction en grande dimension
grand nombre d’entrées pour un faible nombre de simulations
Développement d’un algorithme couplant estimation et sélection
Analyse de sensibilité et propagation d’incertitudes
Comparaison de 2 approches : prédicteur seul et modèle stochastique
Extension à des sorties spatiales
Sortie fonction de l’espace dans les problèmes environnementaux
Métamodèle et analyse de sensibilité fonctionnels
8AgroParisTech – le 23/10/2008
Introduction : mise en œuvre du métamodèle PG
Problématiques
Construction en grande dimension
grand nombre d’entrées pour un faible nombre de simulations
Développement d’un algorithme couplant estimation et sélection
Analyse de sensibilité et propagation d’incertitudes
Comparaison de 2 approches : prédicteur seul et modèle stochastique
Extension à des sorties spatiales
Sortie fonction de l’espace dans les problèmes environnementaux
Métamodèle et analyse de sensibilité fonctionnels
9AgroParisTech – le 23/10/2008
Introduction : mise en œuvre du métamodèle PG
Problématiques
Construction en grande dimension
grand nombre d’entrées pour un faible nombre de simulations
Développement d’un algorithme couplant estimation et sélection
Analyse de sensibilité et propagation d’incertitudes
Comparaison de 2 approches : prédicteur seul et modèle stochastique
Extension à des sorties spatiales
Sortie fonction de l’espace dans les problèmes environnementaux
Métamodèle et analyse de sensibilité fonctionnels
10AgroParisTech – le 23/10/2008
1.1. PrPréésentation du cas rsentation du cas r ééel du site de el du site de KurchatovKurchatovModélisation géologique
Modélisation par un code de transport hydrogéologique
2.2. MMéétamodtamod èèlele PG PG DéfinitionAlgorithme de construction en grande dimension
Application au cas du site de Kurchatov
3.3. Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilit éé avec avec mméétamodtamod èèlele PG PG Double approcheSimulation des lois des indicesApplication au cas du site de Kurchatov
4. Extension aux sorties spatialesChoix du métamodèle fonctionnelApplication au cas du site de Kurchatov
PLAN
11AgroParisTech – le 23/10/2008
1.1. PrPréésentation du cas rsentation du cas r ééel du site de el du site de KurchatovKurchatovModélisation géologique
Modélisation par un code de transport hydrogéologique
2. Métamodèle PG DéfinitionAlgorithme de construction en grande dimension
Application au cas du site de Kurchatov
3. Analyse de sensibilité avec métamodèle PG : Double approcheSimulation des lois des indicesApplication au cas du site de Kurchatov
4. Extension aux sorties spatialesChoix du métamodèle fonctionnelApplication au cas du site de Kurchatov
PLAN
12AgroParisTech – le 23/10/2008
STDR de STDR de KurchatovKurchatov (banlieue de Moscou):(banlieue de Moscou):
Stockage de déchets radioactifs solides de 1943 à 1974
Reconnaissance du site vers 1990 : réseau de 20 piézomètres
Contamination nappe supérieure 90Sr
Objectif :Objectif :
Estimer lEstimer l’’impact de la contamination impact de la contamination
sur lsur l’’environnementenvironnement
ModModéélisation :lisation :
Développement d’un scénario de transport généralisé de 90Sr
sur le site entre 2002 et 2010, avec le logiciel MARTHE
Identification des paramètres de transport de ce modèle
cf. Volkova et al., Stochastic Environmental Research and Risk Assesment, 2008
Présentation du cas réel du site de Kurchatov
13AgroParisTech – le 23/10/2008
ModModéélisation glisation gééologiqueologique
Identification de 20 paramIdentification de 20 paramèètres :tres :PermPermééabilitabilitéé, porosit, porositéé, coefficient , coefficient KdKd, ,
intensitintensitéé dd’’infiltrationinfiltration……
&&
Incertitudes associIncertitudes associééeses
Présentation du cas réel du site de Kurchatov
zones d’absence de la couche 2 (zones numérotées de 1 à 4)
présence de la couche 2
localisation d’infiltrations modérées
au niveau de canalisations
localisation d’infiltrations fortes
au niveau de canalisations
piézomètresp4ap4a
14AgroParisTech – le 23/10/2008
Jeu de donnJeu de donnéées MARTHE :es MARTHE : 20 param20 paramèètres dtres d’’entrentréée :e :
perméabilité, dispersivités, Kd, porosité, intensités d’infiltration, …
Sortie : spatiale discrSortie : spatiale discréétistiséée (64x64 = 4096 sites) e (64x64 = 4096 sites) Carte de concentration calculée par le logiciel MARTHE en fin d’année 2010
Etape 1 : 20 piézomètres = 20 sorties scalaires
Etape 2 : sortie spatiale = sortie fonctionnelle
Présentation du cas réel du site de Kurchatov
300 simulations LHS300 simulations LHS
15AgroParisTech – le 23/10/2008
1. Présentation du cas réel du site de KurchatovModélisation géologique
Modélisation par un code de transport hydrogéologique
2.2. MMéétamodtamod èèlele PGPGDéfinitionAlgorithme de construction en grande dimension
Application au cas du site de Kurchatov
3. Analyse de sensibilité avec métamodèle PG : Double approcheSimulation des lois des indicesApplication au cas du site de Kurchatov
4. Extension aux sorties fonctionnellesChoix du métamodèle fonctionnelApplication au cas du site de Kurchatov
PLAN
16AgroParisTech – le 23/10/2008
Definition :Definition :
Processus Gaussien défini sur
Y(x,ω) = F(x) + Z(x,ω)
Regression Regression PartiePartie stochastiquestochastique
Choix paramChoix paraméétriques :triques :
– f : polynôme de degré 1
– R : processus stationnaire avec covariance exponentielle généralisée + effet de pépite
( ) ux
d
i
p
iiiiux =
=
+
−−== ∑ 1²exp u-xR u) R(x,1
εθ
∑=
+=d
iix
1i0 F(x) ββ
Ω×dRZ processus stochastique avec :
EEΩΩ[[Z(xZ(x)] = 0)] = 0
CovCovΩΩ((Z(xZ(x), ), Z(uZ(u)) = )) = σσ²²R(R(xx, , uu) )
où σ² est la variance
et R la fonction de corrélation
Z~Z~NN(0, (0, σσ²²R)R)
Métamodèle PG : définition
17AgroParisTech – le 23/10/2008
Loi jointe et loi conditionnelle :Loi jointe et loi conditionnelle :
– Métamodèle PG : Y(x,ω) = F(x) + Z(x,ω)
– Base d’apprentissage (BA) de n simulations : (XBA,YBA)
– Loi jointe :
– Métamodèle PG conditionnel :
( ) ( )[ ]xxRxxRxr n ,,...,,)( avec )()1(=
[ ] ( )( ) kiBABABABAkin xxRRXFFxxX ,
)()()()1( , , )( ,,..., ===
PGxYBABA YX ~),( ,ω
[ ] [ ]BABABAYX FYRxrxFxYEBABA
ββω −+= −Ω
1
, )()(),(
( ) ( ))()(),(²),(,),( 1
,, vrRurvuRvYuYCov BAt
YXYX BABABABA
−Ω += σωω
)²,(~ BABABA RFY σβN
[ ]BABA YXxYExY ,),()(ˆ : Predicteurdu Notation ωΩ=
Métamodèle PG : définition
18AgroParisTech – le 23/10/2008
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−4
−2
0
2
4
6
8
Métamodèle PG : Exemple
Exemple de construction dExemple de construction d’’un un mméétamodtamodèèlele PGPG
– Fonction théorique :
– Base d’apprentissage : LHS de 8 points
( ) ( )XXY ππ 8sin4cos +=
YY
XX
19AgroParisTech – le 23/10/2008
Méthodologie de construction du métamodèle PG
Estimation des paramètres par maximum de vraisemblance
Algorithme séquentiel :
Algorithme stochastique suivi d’une étape de descente(Hookes & Jeeves, DACE matlab)
Insertion progressive des variables d’entrée (Welch et al.)
Double sélection des variables d’entrée
- Minimisation du critère AICC régression
- Maximisation du Q2 calculé par validation croisée covariance
Validation finale du modèle par Q2
( )ε, β,θ,p,σ
( )( )∑
∑
=
=
−
−−= N
ii
N
iii
YY
YYYYQ
1
2
1
2ˆ
1)ˆ,(2
Cf. Marrel et al., Computational Statistics and Data Analysis, 2008.
Métamodèle PG : algorithme de construction
( )2
12ˆˆ,ˆˆln2
21
21
−−−+++−=
mmN
mmNσ,pθ,βLAICC m1 : nbre de
variables dans la régression m2 : nbre de variables dans la covariance
20AgroParisTech – le 23/10/2008
Métamodèle PG : algorithme de construction
Procédure de modélisation par les processus gaussiens
Etape 1 : Tri des variables d’entrée
Etape 2 : Boucle sur les variables dans la fonction de covariance
Etape 2.1 : Boucle sur les variables dans la régression Estimation des paramètres β, θ, σ Calcul du critère AICC
Etape 2.1 : Sélection du modèle de régression optimalAICC minimal
Etape 2.2 : Calcul du Q2 par validation croisée sur la BA
Etape 3 : Sélection du modèle de covariance optimalQ2 maximal
Etape 4 : Validation finale du modèle sur la BT (calcul du Q2)
21AgroParisTech – le 23/10/2008
Etape 5 : Simplification et optimisation du modEtape 5 : Simplification et optimisation du modèèlele
Tracé du Q2 (base de test ou validation croisée) en fonction du nombre de paramètres d’entrée dans la covariance
Tri des variables par saut de Q2 décroissant Nouvel ordre pour les variables d’entrée dans la fonction de covariance
Procédure d’estimation des paramètres relancée avec le nouvel ordre Estimation optimisée des paramètres de corrélation liés aux variables les plus influentes
[ ] [ ] ,,,,, ,, *9
*8
*5
*2
*4
*16
*1 xxxxxxx KK ⇒
Métamodèle PG : algorithme de construction
22AgroParisTech – le 23/10/2008
5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Comparaison avec le logiciel GEM-SA (O’Hagan)
•• Fonction gFonction g--Sobol Sobol àà dd entrentréées :es :
•• Base dBase d’’apprentissage : LHS apprentissage : LHS àà N = 10*d simulations, 50 rN = 10*d simulations, 50 rééppéétitions.titions.
Métamodèle PG : Application au site de Kurchatov
IntIntéérêt de lrêt de l’’algorithme algorithme dd’’autant plus significatif autant plus significatif que la dimension augmenteque la dimension augmente
QQ22
[ ]∏=
=+
+−=
d
ii
id diUX
iXXXg
11 ;01 ...1pour ~ avec
i1
24),...,(
d : Dimension des entrd : Dimension des entréées Xes X
23AgroParisTech – le 23/10/2008
Comparaison de 3 métamodèles pour les 20 piézomètres:
RRéégression lingression linééaire aire
BoostingBoosting dd’’arbres de rarbres de réégressiongression
MMéétamodtamodèèlele PGPG
Métamodèle PG : Application au site de Kurchatov
Meilleures performances Meilleures performances obtenues avec le obtenues avec le mméétamodtamodèèlele PGPG
QQ22
24AgroParisTech – le 23/10/2008
Développement d’un algorithme de construction
Procédure estimation/sélection en grande dimension :
- estimation séquentielle des paramètres du PG
- Double sélection des variables d’entrée
Perspectives
Autres critères possibles : LASSO au lieu d’AICC
Etude non exhaustive des fonctions de covariances
⇒ fonction présentant un meilleur rapport souplesse/nombre de paramètres ?
Métamodèle PG : conclusion et perspectives
EfficacitEfficacitéé de lde l’’algorithme et algorithme et prpréédictivitdictivitéé du PG du PG
éévaluvaluéées sur des exemples analytiques et sur un cas res sur des exemples analytiques et sur un cas rééelel
25AgroParisTech – le 23/10/2008
1. Présentation du cas réel du site de KurchatovModélisation géologique
Modélisation par un code de transport hydrogéologique
2. Métamodèle PG DéfinitionAlgorithme de construction en grande dimension
Application au cas du site de Kurchatov
3. Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilit éé avec avec mméétamodtamod èèlele PG PG Double approcheSimulation des lois des indicesApplication au cas du site de Kurchatov
4. Extension aux sorties spatialesChoix du métamodèle fonctionnelApplication au cas du site de Kurchatov
PLAN
26AgroParisTech – le 23/10/2008
Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé globaleglobale
basée sur la décomposition de la variance :
poids total de la variance dpoids total de la variance d’’une entrune entréée e
dans la variance de la sortiedans la variance de la sortie
relation entrées/sortie ni linéaire, ni monotone :
calcul des indices de Sobolcalcul des indices de Sobol
DDééfinitions pour une fonction dfinitions pour une fonction dééterministeterministe
– Effet principaux :
– Indices de Sobol :
– Notation :
Analyse de sensibilité avec métamodèle PG
)(
)]([
)(
)]/),,(([ 1
gVar
XaVar
gVar
XXXgEVarS iXidX
iii ==
K
[ ]id
d
ijjjdiiii XXXgEdxxxXxxgXa /),,(),,,,,,()( 1
,1111 KKK == ∏∫
≠=+−
),,( 1 dXXg K
[ ]diii XXXXX ,,,,, 111 KK +−− =
27AgroParisTech – le 23/10/2008
PG conditionnel PG conditionnel àà la BA :la BA :
Calcul des indices de Sobol :Calcul des indices de Sobol :
Analyse de sensibilité avec PG : 2 approches
[ ]LSLS YXXYEXY ,),()(ˆ ωΩ=
LSLS YXXY ,),( ω
a(Xa(Xii) : fonction d) : fonction dééterministe de Xterministe de Xii
SSii : indices d: indices dééterministeterministe
a(Xa(Xii,,ωω) : Processus Gaussien de X) : Processus Gaussien de XiiVVii : variable al: variable alééatoireatoire
A partir du prédicteur seulA partir du modèle global
PGxYLSLS YX ~),( ,ω [ ]
LSLS YXxYExY ,),()(ˆ ωΩ=
( )LSLSLSLS YXYX vYuYCov ,, ),(,),( ωωΩ
[ ]( )[ ]
=
=
−
−
iYXXXi
iYXXi
XXYEVarV
XXYEXa
LSLSii
LSLSi
/),()(
/),(),(
,
,
ωω
ωω
)~
(),(
~
,
ii
YXX
ii SE
XYVarE
VS
LSLS
ΩΩ
=⇒= µω
[ ]
=
=
−
−
)ˆ(
)]/)(ˆ([
/)(ˆ)(
YVar
XXYEVarS
XXYEXa
X
iXXi
iXi
ii
i
28AgroParisTech – le 23/10/2008
Calcul des indices de Sobol :Calcul des indices de Sobol :
ImplImpléémentation :mentation :
Calculs analytiques
Intégrales numériques
Hypothèses : entrées indépendantes & covariance produit de covariance monodim
Si : o(dn²) intégrales simples
: o(dn²) intégrales simples et d² doubles
Analyse de sensibilité avec PG : 2 approches
( )( )[ ])(
/),(
,
,
LSLS
LSLSii
YXX
iYXXXi
YEVar
XXYEEVarS
Ω
Ω−=ω
A partir du prédicteur (Chen et al., 2005)A partir du modèle global (Oakley & O’Hagan, 2004)
( )[ ]( )LSLS
LSLSii
YXX
iYXXX
i XYVarE
XXYEVarE
,
,
),(
/),(
ωω
µΩ
Ω −=
[ ]LSLS YXXYEXY ,),()(ˆ ωΩ=
LSLS YXXY ,),( ω
iµ
29AgroParisTech – le 23/10/2008
Fonction gFonction g--Sobol Sobol àà 5 entr5 entréées : es :
Analyse de sensibilité avec PG : 2 approches
[ ]∏=
=+
+−=
5
11 ;051 5...1pour ~ avec
i1
24),...,(
ii
i iUXiX
XXg
S1 S1
Pour chaque approche :Moyenne empirique en traits pleins Quantiles 0.05 et 0.95 en pointillés
Marrel et al., A paraître dans Reliability Engineering and System Safety, 2008.
30AgroParisTech – le 23/10/2008
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Distribution of S4
S4
Fonction gFonction g--Sobol Sobol àà 5 entr5 entréées : es :
Base d’apprentissage de n = 50 simulations, S1théo = 0.72 et S4théo = 0.0072.
DDééveloppement dveloppement d’’un algorithme de simulation de la loi de Sun algorithme de simulation de la loi de Sii
Analyse de sensibilité avec PG : simulation des lois des indices
[ ]∏=
=+
+−=
5
11 ;051 ~et ]99,9,5.4,1,0[ avec
1
24),...,(
ii
i
ii UXaa
aXXXg
Construction d’intervalles de confiance
0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
Distribution of S1
S1
31AgroParisTech – le 23/10/2008
Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé pour un pipour un piéézomzomèètretre
Ex : Indices de Sobol au niveau du piézomètre p104 (Q2 = 93%)
Estimation des indices + construction des intervalles de prédiction
[ 10 ; 17 ]21315Infiltration
forte
[ 56 ; 83 ]86976Kd couche1
[ 5 ; 11 ]288Perméabilité
couche1
IC- 90%(PG global)(PG global)(PG global)
Si
(PG prédicteur)(en %) ]
~[ ii SEΩ=µ ]
~[ ii SStdΩ=σ )
~( iS
Analyse de sensibilité avec PG : Application au site de Kurchatov
Cohérence des résultats des 2 approches
Faible chevauchement des IC avec approche modèle global information sup. sur l’ordre d’influence des variables
32AgroParisTech – le 23/10/2008
Localisation du piLocalisation du piéézomzomèètre p104 tre p104
Analyse de sensibilité avec PG : Application au site de Kurchatov
33AgroParisTech – le 23/10/2008
1. Pr1. Préésentation du cas rsentation du cas r ééel du site de el du site de KurchatovKurchatovModélisation géologique
Modélisation par un code de transport hydrogéologique
2. MMéétamodtamod èèlele PG PG DéfinitionAlgorithme de construction en grande dimension
Application au cas du site de Kurchatov
3. Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilit éé avec avec mméétamodtamod èèlele PGPGDouble approcheSimulation des lois des indicesApplication au cas du site de Kurchatov
4 . Extension aux sorties spatiales4 . Extension aux sorties spatialesChoix du métamodèle fonctionnelApplication au cas du site de Kurchatov
PLAN
34AgroParisTech – le 23/10/2008
Sortie spatialeSortie spatiale
Ex : Concentration en polluant sur un site, …
[ ] DuXuYXXX coded ∈⇒= ),,(,,1 K
Extension aux sorties spatiales
ANALYSE DE SENSIBILITE DANALYSE DE SENSIBILITE D’’UNE SORTIE SPATIALEUNE SORTIE SPATIALE
35AgroParisTech – le 23/10/2008
Comment modComment modééliser une sortie spatiale ?liser une sortie spatiale ?
Utilisation de la discrUtilisation de la discréétisation compltisation complèète de la fonctionte de la fonction
Construction d’un métamodèle puis AS en chaque point de discrétisation
Possible mais peut être très coûteux en fonction du métamodèleSynthèse de l’information ou isolement de l’info principale
Remplacer la fonction par quelques paramRemplacer la fonction par quelques paramèètres dtres d’’intintéérêtrêt (valeur finale, max, …)
Exploitation réduite, fortement liée à la problématique de départ
KrigeageKrigeage / / CokrigeageCokrigeage (Santner et al., 2003, Fang et al., 2006)
Traitement simultané d’une grande quantité de données
DDéécomposition spectrale de la covariancecomposition spectrale de la covariance ((KarhunenKarhunen--LoeveLoeve))
DDéécomposition dans une base fonctionnellecomposition dans une base fonctionnelle (Fourier, ondelettes,(Fourier, ondelettes,……))
Extension aux sorties spatiales : choix du métamodè le
36AgroParisTech – le 23/10/2008
MMéétamodtamodèèlele fonctionnel retenu :fonctionnel retenu :
Etape 1 : DEtape 1 : Déécomposition spatiale dans une base fonctionnelle composition spatiale dans une base fonctionnelle
Principaux coefficients de la dPrincipaux coefficients de la déécompositioncomposition
Etape 2 : ModEtape 2 : Modéélisation des principaux coefficients en fonction de X :lisation des principaux coefficients en fonction de X :
MMéétamodtamodèèlele PGPG
PrPréédiction :diction :
Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé, propagation d, propagation d’’incertitude, incertitude, ……
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑ −=+== D
jj
k
jjjk duuuuXYXuXuuXY φµαφαµ )(),( avec )(),(
1
Extension aux sorties spatiales : choix du métamodè le
37AgroParisTech – le 23/10/2008
Quelques exemples de cartes obtenues en sortie
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
Concentration en 90Sr prédite en 2010
38AgroParisTech – le 23/10/2008
Moyenne et variance empiriques des 300 cartes
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
39AgroParisTech – le 23/10/2008
Etape 1 : DEtape 1 : Déécomposition spatiale des 300 cartes composition spatiale des 300 cartes Centrage des cartes (moyenne empirique)
Décomposition sur une base d’ondelette (Daubechies)
Tri des coefficients par valeur moyenne en norme L2
Etape 2 : ModEtape 2 : Modéélisation des coefficients en fonction de Xlisation des coefficients en fonction de XModModéélisation des 100 premiers lisation des 100 premiers coeffcoeff par par mméétamodtamodèèlele PG (contrôle PG (contrôle de la de la prpréédictivitdictivitéé par Qpar Q22))
ModModéélisation des coefficients 101 lisation des coefficients 101 àà 1000 par r1000 par réégression lingression linééaire aire simple (avec ssimple (avec séélection par AIC)lection par AIC)
Etape 3 : PrEtape 3 : Préédiction pour un nouveau jeu ddiction pour un nouveau jeu d’’entrentréée e x*
x* => prediction des coefficients => reconstitution de la carte
Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé ::
Obtention de cartes spatiales dObtention de cartes spatiales d’’indices de Sobolindices de Sobol
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
40AgroParisTech – le 23/10/2008
Etape 1 : DEtape 1 : Déécomposition spatiale des 300 cartes composition spatiale des 300 cartes Centrage des cartes (moyenne empirique)
Décomposition sur une base d’ondelette (Daubechies)
Tri des coefficients par valeur moyenne en norme L2
Etape 2 : ModEtape 2 : Modéélisation des coefficients en fonction de Xlisation des coefficients en fonction de XModModéélisation des 100 premiers lisation des 100 premiers coeffcoeff par par mméétamodtamodèèlele PG (contrôle PG (contrôle de la de la prpréédictivitdictivitéé par Qpar Q22))
ModModéélisation des coefficients 101 lisation des coefficients 101 àà 1000 par r1000 par réégression lingression linééaire aire simple (avec ssimple (avec séélection par AIC)lection par AIC)
Etape 3 : PrEtape 3 : Préédiction pour un nouveau jeu ddiction pour un nouveau jeu d’’entrentréée e x*
x* => prediction des coefficients => reconstitution de la carte
Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé ::
Obtention de cartes spatiales dObtention de cartes spatiales d’’indices de Sobolindices de Sobol
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
41AgroParisTech – le 23/10/2008
Extension fonctionnelle : application au site de Ku rchatov
Moyenne du critMoyenne du critèère MSE pour diffre MSE pour difféérentes srentes séélection de coefficientslection de coefficients
42AgroParisTech – le 23/10/2008
Etape 1 : DEtape 1 : Déécomposition spatiale des 300 cartes composition spatiale des 300 cartes Centrage des cartes (moyenne empirique)
Décomposition sur une base d’ondelette (Daubechies)
Tri des coefficients par valeur moyenne en norme L2
Etape 2 : ModEtape 2 : Modéélisation des coefficients en fonction de Xlisation des coefficients en fonction de XModModéélisation des 100 premiers lisation des 100 premiers coeffcoeff par par mméétamodtamodèèlele PG (contrôle PG (contrôle de la de la prpréédictivitdictivitéé par Qpar Q22))
ModModéélisation des coefficients 101 lisation des coefficients 101 àà 1000 par r1000 par réégression lingression linééaire aire simple (avec ssimple (avec séélection par AIC)lection par AIC)
Etape 3 : PrEtape 3 : Préédiction pour un nouveau jeu ddiction pour un nouveau jeu d’’entrentréée e x*
x* => prediction des coefficients => reconstitution de la carte
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé ::
Obtention de cartes spatiales dObtention de cartes spatiales d’’indices de Sobolindices de Sobol
43AgroParisTech – le 23/10/2008
Histogramme des Q2 obtenus pour la modélisationdes 100 premiers coefficients d’ondelette
Comportement fortement nonComportement fortement non--linlinééaire des aire des coeffcoeff ::
NNéécessitcessitéé dd’’utiliser un modutiliser un modèèle le pGpG
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
44AgroParisTech – le 23/10/2008
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
Moyenne du critMoyenne du critèère MSE pour diffre MSE pour difféérentes stratrentes stratéégies gies
de modde modéélisation des coefficientslisation des coefficients
45AgroParisTech – le 23/10/2008
Prédictivité du métamodèle fonctionnel
(pG pour les 100 premiers coeff + reg. Lin. pour les 101 à 1000.)
Carte du Q 2 obtenu par le métamodèle fonctionnel(leave-one-out sur les 300 cartes)
QQ22
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
46AgroParisTech – le 23/10/2008
Cartes d’indices de Sobol du 1er ordre pour 6 entrées
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
Perméabilité couche 1 Perméabilité couche 2 Perméabilité couche 3
Kd couche 1 Kd couche 2 Infiltration forte ( rouge)
47AgroParisTech – le 23/10/2008
Cartes d’indices de Sobol pour les entrées kd1, kd2 et i3
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
Kd couche 1 Kd couche 2
Infiltration forte (canalisations rouges)
48AgroParisTech – le 23/10/2008
Cartes d’indices de Sobol pour les entrées kd1, kd2 et i3
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
Kd couche 1 Kd couche 2
Infiltration forte (canalisations rouges)
49AgroParisTech – le 23/10/2008
Interprétation
Influence prédominante de 3 variables :coefficients de partage des deux premières couches (kd couche 1 et kdcouche 2) et intensité des fortes infiltrations
Stratégie de re-caractérisation
Influence légère des perméabilités des couches 2 et 3
Absence d’influence des autres variables
Influence du kd de la couche 2 : répartition de la couche 2- Cohérence avec la modélisation géologique
- Importance suggérée de la répartition de la couche 2
(simulations géostat. de la forme de la 2ème couche)
Sensibilité essentiellement du 1er ordre, peu d’interactions
Extension spatiale : application au site de Kurchat ov
50AgroParisTech – le 23/10/2008
Proposition dProposition d’’un un mméétamodtamodèèlele fonctionnel fonctionnel
Décomposition spatiale + modélisation PG des coefficients
Obtention de cartes d’indices de sensibilité
Interprétation globale et locale
Stratégie de re-caractérisation, aide à la décision
PerspectivesPerspectives
Extension de lExtension de l’’exploitation du exploitation du mméétamodtamodèèlele fonctionnel :fonctionnel :
Intervalle de prédiction, bandes de confiance pour la carte
Sortie spatio-temporelle ou 3D
Prise en compte de paramètres d’entrée fonction de l’espace : cartes aléatoires en entrée => Simulation géostatistique
Conclusion et perspectives
MMééthodologie applicable thodologie applicable àà dd’’autres problautres probléématiques spatialesmatiques spatialesEx : rejet de polluants atmosphEx : rejet de polluants atmosphéériques, sriques, sééquestration gquestration gééologique du CO2ologique du CO2
51AgroParisTech – le 23/10/2008
Guide méthodologique Reconnaissance du site polluReconnaissance du site polluéé & & DDéégagement dgagement d’’une problune probléématiquematique
ModModéélisation glisation gééologique, identification des ologique, identification des phphéénomnomèènes et des paramnes et des paramèètrestres
CaractCaractéérisation : risation : paramparamèètres + incertitudestres + incertitudes
ModModéélisation mathlisation mathéématique et matique et numnuméériquerique
Code de calculCode de calcul
MMéétamodtamodèèlele processus gaussienprocessus gaussien
Propagation dPropagation d’’incertitudeincertitudeAnalyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé CalibrationCalibration
Prise de dPrise de déécision finalecision finale
Planification Planification dd’’expexpéériencerience
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