utpl-fundamentos matemÁticos-ii-bimestre-(octubre 2011-febrero 2012)
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ESCUELA:
NOMBRES:
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Ciencias de la Computación
Ing. Ricardo Blacio
Octubre 2011- Febrero 2012
Bimestre: Segundo
CONTENIDOS (SEGUNDO BIMESTRE)
5. Funciones exponenciales y logarítmicas.6. Sistemas de ecuaciones.7. Matrices y determinantes.8. Sucesiones y series.
Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales
La función exponencial ƒ con base a se define como: xaxf =)(
a > 1
En donde x es cualquier número real.
21
21
21
21
.2
.1
xxentoncesaaSí
aaentoncesxxSíxx
xx
==−
≠≠−
Sí x1 y x2, son números reales:
Biunívoca
Funciones logarítmicas
ya axsisoloysíxy == )(log
La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:
Sí x1 y x2, son números reales positivos:
Biunívoca
2121
2121
loglog.2
loglog.1
xxentoncesxxSí
xxentoncesxxSí
aa
aa
==−≠≠−
xexxa
xexxa
ea
xxx
xxxa
a
a
a ===−
===−
===−===−
lnloglog 10.4
ln10loglog.3
1ln110log1log.2
01ln01log01log.1
A continuación tenemos algunas formas de logaritmos comunes y naturales para algunas propiedades generales estudiadas.
uCu
wuw
u
wuuw
wyu
ac
a
aaa
aaa
loglog)3(
logloglog)2(
loglog)(log)1(
:entonces positivos,
reales numerosdenotan Sí
=
−=
+=
Leyes de los logaritmos
6log2log 5 =−x
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
625 =−x
Resuelva la ecuación:
6log2log)5( =− x
2log
6log)5( =− x
2log
6log5 −=x
uCu ac
a loglog =
7
2
11log 4 =+x
11log2 4 =+x
1)1log( 24 =+x
11log 2 =+x
12 101 =+x
2122 )10()1( =+x
1001 =+x
99=x
Resuelva la siguiente ecuación
uCu ac
a loglog =
ya axxy =⇔= log
Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para los cuales buscamos una solución común es decir que satisfaga todas las ecuaciones que lo forman.
Guías para resolver:Método sustituciónMétodo eliminaciónMétodo gráficoMétodo Determinante
Sistemas de Ecuaciones
Resuelva el sistema:
=
−+=
+=
xzx
zyx
zyx
2
2
2
1
32
Despejar y2 de ec.1
ec.1
ec.2
ec.3
zxy
zyx
32
322
2
−=+=
Este resultado reemplazamos en ec.2
122
132
12
−−=−+−=
−+=
zxx
zzxx
zyx
ec.4
Despejar z de ec.4
2
1
122
122
−=
−−=−−=
xz
xxz
zxx
Reemplazar z en ec.3
1;0
0)1(
02
2
2
1
21
22
22
2
2
−===+
=+−
−=
−=
=
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xzx
Reemplazar los valores de x en 2
1−= xz
Los resultados x y z los reemplazamos en y2 = 2x - 3z
2
31 ±=y 6
2
11 ±=y
12 ±=y
1;2
121 −=−= zz
IMPORTANTE: no se cumple la propiedad conmutativa.
Matrices y determinantesAlgebra de Matrices
Suma.- Para sumar dos matrices, o más, en primera instancia éstas deben tener igual orden, luego se suman respectivamente los elementos de cada una de ellas, dando lugar a otra matriz de igual orden.
Producto de matrices.- Para poder multiplicar dos matrices se debe verificar la siguiente condición: “Que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz”, si se cumple esto, se puede realizar la multiplicación.
11
3223
214
320
72
83
02
xx
−
−
Exprese como una sola matriz:
332).7(3.21).7(2.24).7(0.2
2.83.31.82.34.80.3
2.03.21.02.24.00.2
x
−+−+−−+++−+++−+
3314674280
16986320
060400
x
−−−−++−+
++−+
3381128
25232
640
x
−−−
−
Inversa de una matriz
La inversa de una matriz solo se puede determinar cuando es cuadrada y para una de referencia A, se representa por A−1, dándose que AxA −1 =1.
1/2 r1= r1 1/2 r1= r1
-3r1 + r3 = r3
1/2 r2 + r1 = r1; 1/2r2 + r3 = r3
/22 r3 = r3
Simplificando1/11
Resultado
1/3 r2= r2 -4r2 + r3 = r3
-6/37 r3= r31/3 r3 + r2 = r2; -5/2r3 + r1 = r1
Resultado
Halla la inversa de la matriz:
M11=
A11= (-1)1+1 (M11) = (1) (0) = 0
Encuentre el determinante:
Sucesiones y Series
Sucesiones infinitas y notación de sumatoria.
Una sucesión se representa mediante una letra cualquiera afectada de subíndices, así por ejemplo: a1,a2,a3,......an......
La notación sumatoria nos permite simplificar al máximo la representación de una serie.
Sucesiones geométricas.- Cuando cada elemento de la sucesión, a partir del primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante conocida como razón (r).
Ej. 3, 9, 27, 81,....
Sucesiones aritméticas.- Cuando cada elemento de estas sucesiones, a partir del primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante conocida como diferencia (d).Ej. 4, 10, 16, 22,..
S = a(rn−1/r−1)
u=a+(n−1)d
Para el cálculo del último término (u), se tiene:
La suma de los términos de una sucesión aritmética se halla usando la relación:
S = n/2 (2a + (n - 1) d)
Su
cesi
on
es
ari
tméti
cas
Su
cesi
on
es
geo
métr
icas
La obtención del último término u, se logra empleando la ecuación:
u = arn−1
La suma de los términos de una progresión geométrica se halla usando la relación
18
Ejemplo:
Halla la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética en que el cuarto término es 9 y la diferencia común es -5.
Suponiendo solo cuatro términos
n = 4an = 9d = -5a1 = ?
an = a1 + (n - 1) d9 = a1 + (4 - 1) (-5)9 = a1 - 15-a1 = -9 - 15a1 = 24
Ahora con 8 términos
n = 10a1 = 24d = -5a10 = ?S10=?
an = a1 + (n - 1) dan = 24 + (10 - 1) (-5)an = 24 - 45a10 = -21
Sn = n/2 (a1 + an)Sn = 10/2 (24 - 21)Sn = 5 (3)S 10 = 15
Los términos quinto y decimotercero de una sucesión aritmética son 5 y 77, respectivamente. Encuentra el término octavo.
5 término = 513 término = 77d = ?a1 = ?a8 = ?
an = a1 + (n - 1) d
5 = a1 + (5 - 1) d
77 = a1 + (13 - 1) d
5 = a1 + 4d-77 = -a1 - 12d *-1-72 = - 8d d = 9
Finalmente encontramos el a8: Ahora obtenemos el valor de a1:
5 = a1 + 4da1 = 5 – 4da1 = 5 - 4 (9)a1= - 31
a8 = a1 + (n - 1) d a8 = -31 + (8 - 1) 9a8 = -31 + 63
a 8= 32
ec.1
ec.2
ec.1
Teorema del binomio.- Cuando (a+b)n se extiende para un entero positivo arbitrario n, los exponentes de a y b siguen un patrón definido.
Ej.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
Recordemos…
21
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones, para luego reemplazar este resultado en la otra ecuación. V
Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en reglones y columnas.
Para la multiplicación de matrices cuadradas se cumple la propiedad conmutativa.
El determinante de una matriz es otra matriz de igual tamaño.
La notación de sumatoria nos permite simplificar al máximo la representación de una serie.
Las sucesiones geométricas son aquellas donde existe una razón común entre un término y el siguiente.
V
F
F
V
V
Ing. Ricardo Blacio
Docente – UTPL
Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec
22
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