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Scienza delle costruzioniESERCITAZIONI
Valutazione dello stato tensionale dovuto a un taglio e un momento flettente
Un sezione a doppio T èsoggetta ad un taglio T = 90 kNe ad un momento flettente MX = 400 kNm. Valutare l’andamento dello stato tensionale.
h1 = 3 cm
h2 =
24
cm
h1 = 3 cm
b1 = 25 cm
b2 = 2 cm X
Y Z
TMx
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Innanzitutto si determinano le caratteristiche inerziali della sezione:
Momenti principali di
inerzia rispetto X:
4633
105.29712
24023012
300250 mmIGX
×=×
−×
=
Il momento di inerzia rispetto l’asse X baricentrico ècalcolato valutando l’inerzia prima del rettangolo che circoscrive la sezione e poi sottraendo il contributo fornito dagli elementi aggiuntivi rispetto la sezione a doppio T.
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A questo punto è agevole determinare lo stato tensionale in termini di σZ indotto dal momento flettente applicando la formula di Navier:
Tensione normale σZ
massimaσ MPa
mmNmmh
IM
X
XZ 202
230
105.29710400
2 46
6
=⋅⋅
⋅==
YIM
X
XZ =σ
–
+
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Per il calcolo delle tensioni tangenziali τZY si applica la formula di Jourawski:
bIST
X
AXY
ZY ⋅⋅
=)'(
τ
A partire dal bordo superiore, la larghezza b da introdurre nella formula per il calcolo delle τZY sarà costante e pari a b1 = 25 cm sino all’attacco con l’anima. Pertanto i valori estremi in corrispondenza dell’ala risultano:
0152
=⇔== ZYcmhY τ
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Per il calcolo delle tensioni tangenziali τZY si applica la formula di Jourawski:
bIST
X
AXY
ZY ⋅⋅
=)'(
τ
A partire dal bordo superiore, la larghezza b da introdurre nella formula per il calcolo delle τZY sarà costante e pari a b1 = 25 cm sino all’attacco con l’anima. Pertanto i valori estremi in corrispondenza dell’ala risultano:
( ) MPacmY ZY 23.1250105.297
135302509000012 6 =⋅⋅
⋅⋅⋅=⇔= τ
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Nell’anima lo spessore b da introdurre nella formula si riduce drasticamente (b2 = 2 cm). Di conseguenza, all’attacco dell’ala si avrà:
( ) MPacmY ZY 32.1520105.297
135302509000012 6 =⋅⋅
⋅⋅⋅=⇔= τ
La tensione tangenziale massima (τZY)MAX si avrà nel baricentro dove risulta massimo il valore del momento statico:
( ) ( ) MPaMAXZY 5.1720105.297
602012013530250900006 =
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
=τ
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X
YbIST
X
AXY
ZY ⋅⋅
=)'(
τ
( ) MPaMAXZY 5.17=τ
MPaZY 32.15=τ
MPaZY 23.1=τ
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Analogamente per il calcolo delle tensioni tangenziali τZX si applica la formula di Jourawski:
bIST
X
AXY
ZX ⋅⋅
=)'(
τ
Contrariamente a quanto visto in precedenza, si può studiare solamente l’andamento delle τZX nelle ali della sezione a doppia T. Nell’ala superiore il flusso delle tensioni è uscente rispetto a un’area generica mentre nell’ala inferiore presenterà flusso opposto. La larghezza b da introdurre nella formula per il calcolo delle τZY sarà costante e pari a h1 = 3 cm.
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( ) ( )30105.297
13530115900006 ⋅⋅
⋅⋅⋅=MAXZXτ
X
Y
MPa69.4=
bIST
X
AXY
ZX ⋅⋅
=)'(
τ
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TyPer riassumere, l’andamento delle tensioni tangenziali può essere semplificato facendo riferimento alla figura in cui è facilmente visibile l’analogia idrodinamica ricordando che nelle ali l’andamento delle tensioni è lineare mentre nell’anima è parabolico.
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ZXτ
ZYτ
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Dopo aver effettuato lo studio dello stato tensionale della sezione a doppio T soggetta a taglio e momento flettente, si individuano i punti più sollecitati ed, essendo la sezione di materiale metallico, si verificano con il criterio di resistenza di Von Mises.Nel caso del solido di Saint Venant:
< pσγeqσ = 2
zσ + 3 2zτ√
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X
Y Z
TMx
1
2
3
Il punto 1, su cui non agiscono tensioni σZ, è soggetto alla massima tensione tangenziale τZY.
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X
Y Z
TMx
1
2
3
Il punto 2, su cui agiscono ancora rilevanti tensioni τZY, è soggetto ad un valore prossimo al massimo della tensione σZ.
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X
Y Z
TMx
1
2
3
Il punto 3 è soggetto alla massima tensione normale σZ e alla massima tensione tangenziale sull’ala τZX.
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