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VectoresPresentación PowerPoint de
Ana Lynch, Profesora de Física
Unidad Educativa Monte Tabor Nazaret
Objetivos: Después de completar este capítulo, deberá:
• Describir la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales y dar ejemplos de cada una de ellas.
• Sumar y restar vectores utilizando la regla del paralelogramo.
• Encontrar las componentes de un vector sobre un sistema de ejes coordenados dado.
• Reconstruir la magnitud y dirección de un vector a partir de sus componentes.
• Resolver problemas con vectores.
La física es la ciencia de la medición
Longitud Peso Tiempo
Escalares
Vectoriales
1 m 1 m
Características de un vector
Las características de un vector son:
MAGNITUD O MÓDULO
DIRECCIÓN
Magnitud o módulo
La MAGNITUD es la norma matemática de un vector. Coincide con la medidadel vector en su representación gráfica.
DirecciónLa DIRECCIÓN viene expresada por el ángulo que forma la recta con algunalínea de referencia.
45º
- 30º = 330º - 100º = 260º
120º3 m
8 N
9 m s-13 m s-2
Leer p. 19-27
VECTOR OPUESTO
El VECTOR OPUESTO es aquel que su dirección forma 180º con el vectororiginal.
45ºv
v-
180ºv
PREGUNTA
¿Está de acuerdo con loque dice Pitufo Filósofo?
¿Cuáles son lascondiciones que sedeben cumplir para queun vector sea opuesto aotro?
Dibuje el vector opuestodel vector V.
Multiplicación de un escalar por un vector
• Si el escalar es diferente de cero, se debe de multiplicar el módulo del vector por el valor absoluto del escalar.
• La dirección del vector se conserva si el escalar es positivo, caso contrario la dirección gira 180º.
Suma de vectores por el método gráfico-visual (del polígono)
Los vectores se colocan uno a continuación de otro de modo que la flecha deuno coincida con el origen del siguiente. La resultante, es el vector queempieza en el origen del primero y termina en la flecha del último.
Sumar b + a + c + d
PREGUNTA
A B
C DA+ B+C+D
A B-C
-DA+B-(C+D)
Respuesta: R
Se colocan los dos vectores de modo que sus puntos inicialescoincidan
Se forma un paralelogramo con cada par de vectores
La resultante es el vector que va del punto inicial de losvectores hasta el vértice opuesto.
Suma de vectores por el método del paralelogramo
x
D = V*t0.6*5 = 3 m0.8*5 = 4 m
D2 = 32 + 42 = =9 + 16 =25D = 5 m
3 m
4 m
Resta de dos vectores
Tarea 5: Métodos gráficos de suma de vectores.
Diferencia vectorialPara vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección).
Considere primero A + B gráficamente:
B
A
BR = A + B
R
AB
Diferencia vectorialPara vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección).
Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo.
B
A
B -B
A-BR’
A
Comparación de suma y resta de B
B
A
B
Suma y resta
R = A + B
R
AB -BR’
AR’ = A - B
La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |(A – B)| = |A| - |B|
y -y
-y
z
-VA
VB
-VB
Vc
ΔVB-C
ΔVA-B
Simulador
• http://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_en.html
Formas de expresar un vector
Coordenadas Polares
Coordenadas cartesianas Coordenadas
geográficas
Identificación de dirección
Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.)
40 m, 50o N del E
EW
S
N
40 m, 60o N del W
40 m, 60o W del S
40 m, 60o S del E
Longitud = 40 m
50o60o
60o 60o
Identificación de dirección
Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte.
EW
S
N45o
EWN
50o
S
Clic para ver las respuestas...
500 S del E 450 W del N
Vectores y coordenadas polaresLas coordenadas polares (R, θ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E.
0o
180o
270o
90o
θ
0o
180o
270o
90o
R
R es la magnitud y θ la dirección.
40 m
50o
Vectores y coordenadas polares
(R, θ) = 40 m, 60o
(R, θ) = 40 m, 120o
(R, θ) = 40 m, 210o
(R, θ) = 40 m, 300o
60o60o
60o 60o 0o180o
270o
90o
120o
Se dan coordenadas polares (R, θ) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:
210o
3000
Ejercicio en clase
Ejercicio en clase
Tarea 5: Copia los ejercicios escritos en la pizarra, son similares a los de clase.
Coordenadas rectangulares
Derecha, arriba = (+, +)Izquierda, abajo = (-, -)
(x, y) = (?, ?)
x
y
(+3, +2)(-2, +3)
(+4, -3)(-1, -3)
La referencia se hace a los ejes x y y, y los números + y –indican posición en el espacio.+
+
--
Cómo encontrar componentes de vectores
Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R, θ).
x
yR
θ
x = R cos θy = R sen θ
Cómo encontrar componentes:Conversiones de polar a rectangular
Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento al este y cuánto al norte?
x
yR
θ
x = ?
y = ?400 m
30οE
N
El componente y (N) es OP:El componente x (E) es ADY: x = R cos θ
y = R sen θ
E
N
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
x = R cos θ
x = (400 m) cos 30o
= +346 m, E
x = ?
y = ?400 m
30ο E
N Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300
ADY = HIP x cos 300
El componente x es:Rx = +346 m
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
y = R sen θ
y = (400 m) sen 30o
= + 200 m, N
x = ?
y = ?400 m
30ο E
N
OP = HIP x sen 300
El componente y es:Ry = +200 m
Nota: y es el lado opuestoal ángulo de 300
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
Rx = +346 m
Ry = +200 m
400 m
30ο E
NLos componentes x y y son cada
uno + en el primer cuadrante
Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.
Signos para coordenadas rectangulares
Primer cuadrante:
R es positivo (+) 0o > θ < 90o
x = +; y = +
x = R cos θ
y = R sen θ
+
+0o
90o
Rθ
Signos para coordenadas rectangulares
Segundo cuadrante:
R es positivo (+) 90o > θ < 180o
x = - ; y = +
x = R cos θ
y = R sen θ
+R
θ180o
90o
Tercer cuadrante:R es positivo (+)180o > θ < 270o
x = - y = -
x = R cos θ
y = R sen θ
-R
θ180o
270o
Signos para coordenadas rectangulares
Cuarto cuadrante:R es positivo (+)270o > θ < 360o
x = + y = -
x = R cos θ
y = R sen θ
360o+
R
θ
270o
Signos para coordenadas rectangulares
Resultante de vectores perpendiculares
Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares.
R siempre es positivo; θ es desde el eje +x
2 2R x y= +
tan yx
θ =x
yR
θ
Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo
tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro?
30 lb
40 lb
Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda:
Ej: 1 cm = 10 lb
4 cm = 40 lb3 cm = 30 lb
40 lb
30 lb
Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo!
Cómo encontrar la resultante (cont.)
40 lb
30 lb
40 lb
30 lb
Encontrar (R, θ) a partir de (x, y) dados = (+40, -30)
R
φθ
Ry
Rx
R = x2 + y2 R = (40)2 + (30)2 = 50 lb
tan φ = -3040
φ = -36.9o θ = 323.1o
Cuatro cuadrantes (cont.)
40 lb
30 lbR
φθ
Ry
Rx40 lb
30 lb R
φ
θ
Ry
Rx
40 lb
30 lbR
θ Ry
Rx
φ
40 lb
30 lbR θ
Ry
Rx
φ = 36.9o; θ = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o
R = 50 lb
R = 50 lb
Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección
de la autopista entre las ciudades.
B2 2(46 km) (35 km)R = +
R = 57.8 km
46 kmtan35 km
φ −=−
φ = 52.70 S de W.
46 km
35 km
R = ?
φ=?
A
θ = 232.70
θ = 1800 + 52.70
Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un
ángulo de 280 con el suelo.
280
F = 240 NF Fy
Fx
Fy
Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N
Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N
Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una
podadora. El ángulo con el suelo es de 320.
320
F = 300 N
F Fy
Fx
Fy
Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N
Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N
32o
32o
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