với - daythem.edu.vndaythem.edu.vn/down.php?url=ung-dung-nguyen-ham-tich-phan-nguyen-ham... ·...
Post on 07-Dec-2019
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
1
A – NGUYÊN HÀM
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Định nghĩa:
VD 01: 2( ) ' 2x x 22xdx x C 1
(ln ) ' , 0x xx
1
ln | |dx x Cx
' 1x dx x C (sinx) ' cos x cos sinxdx x C
( ) ' .lnx xa a a lnx xa adx a C ( ) 'x xe e x xe dx e C
Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa…
Các tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1: ( ) ' ( )f x dx f x C
Tính chất 2: . ( ) ( ) , onsk f x dx k f x dx k c t
Tính chất 3: [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
VD 02:
a) xdx b) 5
dxx
c) xa dx
d) (cos sin )x x dx e) 1 xe dxx
f) 23x dx
2. Nguyên hàm một số hàm thƣờng gặp
Bảng 1:
kdx kx C 1
1 1
( 1)n ndx C
x n x
1
, 11
nn x
x dx C nn
Với 1 1
1: ln | |n x dx dx x Cx
ln
xx a
a dx Ca
Với :ln
xx xe
a e e dx C e Ce
VD 03:
a) 2x dx b) xdx c) 23x dx
d) 44x dx e) 3
1dx
x f)
1
3x dx
g) 2
2
xdx
x
h) 4( 1)( 3 )x x x dx i) 23
2
xx dx
j) 3(2 5 7)x x dx k) 2
2
1 1
3x dx
x
l) 3x dx
m) 210 x dx n) 3x x dx o) 2
x x xdx
x
( ) ( )f x dx F x C với '( ) ( )
ons
F x f x
C c t
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
2
p) ( 1)( 5)x x x dx q)
3
1x dx
x
r) 3 2(2 1)x dx
s) 3( 1)( 2)x x x dx t) 3( 1)xe dx u) 2x xe dx
Bảng 2:
1 1.ln | |dx ax b C
ax b a
11 ( )
( ) .1
nn ax b
ax b dx Ca n
1.
ln
ax bax b k
k dx Ca k
1.ax b ax be dx e C
a
VD 04:
a) 3
2 5dx
x b) 1
2 2dx
x c) 2
4 4
2 3
xdx
x x
d) 2
4
2 1
xdx
x x
e) 3
2 2 1
xdx
x x f) 3
4 1
xdx
x
g) 4(2 1)x dx h) 2 32 ( 1)x x dx i) 2 2 2x xe e dx
Bảng 3:
sin cosxdx x C cos sinxdx x C
2
2
1(1 cot ) cot
sindx x dx x C
x 2
2
1(1 tan ) tan
cosdx x dx x C
x
1sin( ) .cos( )ax b dx ax b C
a
1cos( ) .sin( )ax b dx ax b C
a
2
2
1[1 cot ( )]
sin ( )
1.cot( )
dx ax b dxax b
ax b Ca
2
2
1[1 tan ( )]
cos ( )
1.tan( )
dx ax b dxax b
ax b Ca
VD 05:
a) 2sin xdx b) 2cos xdx c) 2 24(cos sin )x x dx
d) 2tan xdx e) 2cot xdx f) 3sin xdx
g) 3cos xdx h) 2sin .cosx xdx i) cos(3 4)x dx
k) sin 2xdx l) cos2
xdx m) sin cosx xdx
n) 2
1
cos (3 2)dx
x o) 4sin xdx p) 4cos xdx
q) 2sin cosx xdx r) sin 3xdx s) 4cos sinx xdxII – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Một số kết quả thƣờng gặp khi tính nguyên hàm
( ) ( )f x dx f t dt 1
1 1 1
( ) ( 1)( )n ndx C
ax b a n ax b
'ln | |
udx u C
u
1
'.1
nn u
u u dx Cn
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
3
Nếu ( ) ( )f x dx F x C thì 1
( ) . ( )f ax b dx F ax b Ca
2. Các phƣơng pháp tính nguyên hàm
a) Phƣơng pháp đổi biến:
Bước 1: Đặt ( )t u x , ta được ( ) 'dt u x dx
Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t.
Bước 3: Thay ( )t u x để được kết quả theo biến x.
VD 06:
a) 100( 1)x dx b) 21
xdx
x c)
2
2 1
1
xdx
x x
d) 2
4 4
2 3
xdx
x x
e) 3
2 118
xx dx
f) 4sin cosx xdx
g) sin cosxe xdx h) 21. xx e dx
i) 1
5 4dx
x
j) 2
3
9
1
xdx
x k) 24 1x x dx l)
2
1
(1 )dx
x x
m) 23 7 3x x dx n) 3sin cos2 2
x xdx o) 2cos( )x x dx
p) tan xdx q) cot xdx r) 2
3
xxe dx
b) Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần:
( ) ( )I f x g x dx
Đặt ( )
( )
u f x
dv g x dx
( ) '
( )
du f x dx
v g x
Khi đó: I uv vdu
VD 07:
a) cosx xdx b) ln xdx c) 2 xx e dx
d) 2ln xdx e) sin2
xx dx f) xxe dx
g) 2 cosx xdx h) 2 sinx xdx i) 2 cos 2x xdx
j) 3 ln(2 )x x dx l) 3 9xe dx
LUYỆN TẬP
Phƣơng Pháp: nguyên hàm hữu tỉ ( )
( )
P xdx
Q x
Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x)
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x):
1
1 1 1 1
( ) ( 1) ( )n ndx C
ax b a n ax b
1 1 1
( )( )
dxdx
x a x b a b x a x b
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
4
2 2
1 1 1
2
dxdx
x a a x a x a
1) Tính các nguyên hàm sau:
a) 2
1
1dx
x b) 2
1
4
xdx
x
c) 2
1
3 2dx
x x
d) 2
2
1
3 2
x xdx
x x
e) 2
3
3 3 3
3 2
x xdx
x x
f) 2 6 9
dx
x x
g) 2 5 6
dx
x x h) 2 2
dx
x x i) 2
4 11
5 6
xdx
x x
j) 3
1
xdx
x k) 5
21
xdx
x l)
2 2 3
( 1)( 2)( 3)
x xdx
x x x
m) 1
( 1)dx
x x n)
2
1
4 4 1dx
x x o) 2
100(1 )
xdx
x
p) 3
1
1
xdx
x
q)
2
2
3
23x dx
x
r) ( 1)( 2)x x x dx
s) 2
3
xdx
x t) 2
21
xdx
x u)
2
2
3
1
xdx
x
2) Tính:
a) 2x xe dx b) 3.2 2.3
2
x x
xdx
c) 2(2 3 )x x dx
d) 1 12 6
10
x x
xdx
e)
1
x
x
edx
e f) 2(ln 1)x
dxx
g) x x
x x
e edx
e e
h) sin(ln )x
dxx i)
2 4 4
x
x x
edx
e e
j) 3ln | 1 |
1
xdx
x
k) 2
1x x
dxe e l)
x
x x
edx
e e
3) Tính các nguyên hàm sau:
a) x x x dx b) 34
5 1dx
x x
c) ( 1)( 1)x x x dx
d) 3 41.x x xdx
x
e)
2 2
2
13 xx x x edx
x
f)
4 4 2x x dx
g) 2 5x xdx h) 2
2
xdx
x i)
32 21 (1 )
xdx
x x
j) 1x xdx k) 2
1 1
1
x xdx
x
l)
1
1dx
x x
m) 2
2
1
xdx
x x n)
4 4
xdx
x x o)
3
6
(1 2 ) 1
4 5
x xdt
x x x
4) Tính:
a) 2 2
4
sin cosdx
x x b) 2 2
os2
sin cos
c xdx
x x c) 24sin cos tan2 2 2
x x xdx
d) 3
2
sin 2
3sin
xdx
x
e) 2tan xdx f) 3tan xdx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
- 5 -
g) 4tan xdx h) 5tan xdx i) 6tan xdx
j) 2cot xdx k) 3cot xdx l) tan ,n xdx n5) Tính các nguyên hàm sau:
a) 21 cos
1 cos 2
xdx
x
b) 1 sin 2xdx c) sin 2 cos8x xdx
d) 3cos sin8x xdx e) sin cos
sin cos
x xdx
x x
f) sin sin 2 sin 3x x xdx
g) cos cos 2 cos3
sin sin 2 sin 3
x x xdx
x x x
h) 3
2
sin cos
1 cos
x xdx
x i) 4sin cosx xdx
j) 5 3cos sin
dx
x x k) 2 2sin cosx xdx l) 7 3sin cosx xdx
m) 2 3cos sinx xdx n) 2
4
sin
cos
xdx
x o) 4sin
dx
x
p) 3sin cosx xdx q) 2sin cos 1
dx
x x r) 2 2
, cos 0cos sin
dxx
a x b x
s) sin
sin cos
xI dx
x x
và cos
sin cos
xJ dx
x x
. Tính I, J
6) Tính nguyên hàm các hàm số sau:
a)
2ln x
dxx
b)
2os
xdx
c x c) 2tanx xdx
d) cos ln(1 cos )x x dx e) 2
2
ln 1
1
x x xdx
x
f)
2 2 2 2
sin cos
sin cos
x xdx
a x b x
B – TÍCH PHÂN
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa và tính chất cơ bản
Mọi tính chất đã học của nguyên hàm ở trên đều sử dụng được cho tích phân. Ok!
Định nghĩa: ( ) ( ) | ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
VD 08:
a)
5
3
1dx
x b)
4
2
1x dx
x
c)
1
2010
0
(1 7 )x dx
Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1 ( ) 0
a
a
f x dx
Tính chất 2 ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
Tính chất 3 ( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
VD 09:
a)
1
3 2
0
( 3 2)x x dx b)
4
2
1
1 1t dt
tt
c)
1
4
1
(5 2)x dx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
6
d) 2
0
(2cos sin 2 )x x dx
e)
1
2
0
(3 2 )y y dy f)
1
2 3 9
0
. . ...s s s s ds
g)
5
4 sin cos
1 sin 2
x xdx
x
h)
3
2
0
| 2 |x x dx i)
3 5
3 2 2
30
3 2
cos3 cos3 cos3xdx xdx xdx
II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phƣơng pháp đổi biến dạng 1
Bước 1: Đặt ( )t u x , ta được ( ) 'dt u x dx
Bước 2: Đổi cận 1 2
x a b
t t t
Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.
Tính tích phân trên theo định nghĩa.
VD 10:
a)
3
1
2 3x dx b) 2
2
1
xxe dx c)
1
0
1x dx
d)
1
3 4
0
(1 )t t dt e) 4
2
0
tan
cos
xdx
x
f)
1
2 2
0
5
( 4)
xdx
x
g)
3
20
4
1
xdx
x h)
6
0
(1 cos3 )sin 3x xdx
i)
1
5 4
0
2 (2 5 )t t t dt
2. Phƣơng pháp đổi biến dạng 2
Bước 1: Đặt ( )x u t , ta được ( ) 'dx u t dt
Bước 2: Đổi cận 1 2
x a b
t t t
Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.
Tính tích phân trên theo định nghĩa.
VD 11:
a)
1
2
0
1 x dx b)
1
2
20 1
dx
x c)
1
2
01
dx
x
d)
1 4
4
01
xdx
x e)
1
4
01
xdx
x f)
1
2 2
0
1x x dx
3. Phƣơng pháp tích phân từng phần
( ) ( )
b
a
I f x g x dx
Đặt ( )
( )
u f x
dv g x dx
( ) '
( )
du f x dx
v g x
Khi đó: | b
b
a
a
I uv vdu
VD 12:
a)
1
0
xxe dx b)
2
1
lnx xdx c) 2
0
sinx xdx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
7
d) 2
0
cosx xdx
e) 2
5
1
lnx xdx f)
1
0
( 1) xx e dx
g) 2
0
sin cosx x xdx
h) 0
cosxe xdx
i)
3 3
20 1
x dx
x
LUYỆN TẬP
Phƣơng pháp: Tích phân hàm hữu tỉ ( )
( )
P xdx
Q x
Nếu P(x) có bậc lớn hơn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta được ( )
( )( )
R xA x dx
Q x
Nếu P(x) có bậc nhỏ hơn Q(x): tương tự với việc ta tính ( )
( )
R xdx
Q x
+ Xét 2( )Q x ax bx c (có bậc 2) thì ( )R x mx n
TH 1: 1 2( ) ( )( )Q x a x x x x (x1, x2 là hai nghiệm của Q(x) = 0)
1 2
( )
( )
R x A Bdx dx
Q x x x x x
với
1 1
( )( )
k kdx dx
x a x b a b x a x b
TH 2: 2( ) ( )oQ x a x x (xo là nghiệm kép của Q(x) = 0)
2
( )
( ) ( )o o
R x A Bdx dx
Q x x x x x
TH 3: Q(x) = 0 vô nghiệm, ta phân tích để ( ) . ( ) 'R x AQ x B và khi đó:
( ) . ( ) '
( ) ( ) ( )
R x AQ x Bdx dx
Q x Q x Q x
Trường hợp 3 này ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.
+ Xét 3 2( )Q x ax bx cx d ( có bậc 3) thì 2( )R x mx nx p
TH 1: 1 2 3( ) ( )( )( )Q x x x x x x x
1 2 3
( )
( )
R x A B Cdx dx
Q x x x x x x x
TH 2: 2
1 2( ) ( ) ( )Q x x x x x
2
1 1 2
( )
( ) ( )
R x A B Cdx dx
Q x x x x x x x
TH 3: 3( ) ( )oQ x x x
2 3
( )
( ) ( ) ( )o o o
R x A B Cdx dx
Q x x x x x x x
TH 4: 2( ) ( )( )oQ x x x ax bx c
2
( )
( ) o
R x A Bx Cdx dx
Q x x x ax bx c
+ Xét Q(x) là hàm có bậc lớn hơn 3 thì bài toán chỉ xét với dạng đơn giản.
1) Tính các tích phân sau
a)
1
5 3 6
0
(1 )x x dx b)
1
19
0
(1 )x x dx c)
1
2 3
0
(1 ) , 1,nx x dx n n
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
8
d)
1
4
2
1
2
1
( 1)dx
x x
e)
1 2
2
04
xdx
x f)
1
2
04
xdx
x
g)
3 4
3
2
2xdx
x x
h)
1
2
03 2
dx
x x i)
3 3
2
02 1
xdx
x x
j) 1 2
4
1
2
1
1
xdx
x
, đặt
1t
x k)
2
5
1
(1 )x x dx l) 2 2
4
1
1
1
xdx
x
m)
5
2
1
1
xdx
x
n)
4
2
33 2
dx
x x o)
1
2
03
dx
x
p)
2
2
1
(2 1)x dx q)
1
10
0
( 2)x dx r)
3 2
2
0
2 1
1
xdx
x
s)
4
2
04
xdx
x t) 1
2
22 2
xdx
x x
u)
2 3
2
02 1
x dx
x x
v)
4
7
1
(3 1)x dx w)
2
2
04
dx
x x)
2
2
04 5
dx
x x
y)
2
2
04 5
xdx
x x z) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)
xdx
x x x x x
Phƣơng pháp: Tích phân hàm lượng giác
Biến đổi về tích phân cơ bản (sử dụng các công thức lượng giác)
Đổi biến số
+ Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số)
+ Đổi biến số theo chu kì của hàm lượng giác. Quy tắc chung: Đặt ,2
t x t x
(Tích phân đặc biệt – các hằng đẳng thức tích phân)
+ Đổi biến qua tan2
xt . Khi đó:
2
2sin
1
tx
t
2
2
1cos
1
tx
t
2
2tan
1
tx
t
21cot
2
tx
t
Tích phân lượng giác tổng quát: sin cos
sin cos
a x b x cdx
d x e x f
, ta biến đổi
sin cos ( sin cos ) ' cos sin
sin cos sin cos sin cos
a x b x c d x e x f d x e xA B A B
d x e x f d x e x f d x e x f
Sử dụng công thức tích phân từng phần
Chú ý các công thức lƣợng giác:
2sin .sin cos( ) cos( )x y x y x y
2cos .cos cos( ) cos( )x y x y x y
2sin .cos sin( ) sin( )x y x y x y
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )4 4
a a a a
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )4 4
a a x x
sin sin 2sin . os2 2
x y x yx y c
sin sin 2sin . os
2 2
x y x yx y c
cos cos 2cos cos2 2
x y x yx y
cos cos 2sin sin
2 2
x y x yx y
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
9
2) Tính (biến đổi về tích phân cơ bản)
a) 4 4(cos sin )x x dx b) 2
4
0
cos xdx
c) 2
4 4
0
cos 2 (sin cos )x x x dx
d) 2
01 sin 2
dx
x
e)
24
0
sin xdx
f) 3 3(sin cos3 cos sin 3 )x x x x dx
g) 2
4 4
0
os2 (sin os )c x x c x dx
h) 2
2
cos5 cos3x xdx
i) 01 sin
dx
x
đổi sin ra cos
j) 2
0
sin 3
cos 1
xdx
x
k) 2
2 2
0
cos cos 2x xdx
và 2
2 2
0
sin cos 2x xdx
3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác)
a) cos3
dx
x b) 2
sin( )
os
a xdx
c x
c)
sin 2 2sin
dx
x x
d)
0
2
4
sin 2
(2 sin )
xdx
x
e) 2
2
0
sin 2 (1 sin )x x dx
f) 2
2
0
sin cos (1 cos )x x x dx
g)
4
3
sin2
dx
x
h) 2
0
sin 3
1 cos
xdx
x
i)
32
2
0
sin
1 cos
xdx
x
j) 1
4
0
5(5 4cos ) sint tdt
k) 4
4
tan xdx
l) 2
0
cos
1 sin
xdx
x
m) 6
0
2 1 4sin 3 os3xc xdx
n) 0
sin 4
1 sin
xdx
x
o)
2
0
cos
2 cos 2
xdx
x
p)
2
0(2 cos )(3 cos )
dx
x x
q) 2
5
0
osc xdx
r) 3
0
sin xdx
s) 2
2
0
sin
cos 3
xdx
x
t) 2
1 1 1sin cos dx
x x x
4) Tính (đổi biến qua tan2
xt )
a) 2
0sin cos 2
dx
x x
b) 4
0
3sin 4cos
2sin cos
x xdx
x x
c) 2
0
sin 7cos 6
4sin 3cos 5
x xdx
x x
d) 3
0cos
dx
x
e) 2
0
sin
cos 2sin
xdx
x x
f) ox s inx
sin 2cos
cdx
x x
g) 2
0
4cos 3sin 1
4sin 3cos 5
x xdx
x x
5) Tính (sử dụng công thức tích phân từng phần)
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
10
a) 4
0
cos 2x xdx
b) 2
2
0
cosx xdx
c) 2
2
0
cos sinx x xdx
d) 2
2
0
(2 1)cosx xdx
e) 2
0
( sin )x x dx
f) 2
2
0
( 1)sinx xdx
g) 2
0
cos ln(1 cos )x x dx
h) 2
2sin 3
0
sin cosxe x xdx
i) 3
6
cosx xdx
j) 3
2
4
sin
xdx
x
k) 2
0
sinx xdx
l) 2
0
osxc xdx
m) 2
0
sinx xdx
n) 4
2
02cos
xdx
x
o)
Phƣơng pháp: Tích phân hàm vô tỉ (chứa căn thức)
Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ
Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1
2
1b
a
dxx a
Đặt 2t x x a , (phép thế Ơle)
Đưa tích phân vô tỉ về tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2)
2 2
1b
a
dxa x Đặt tanx a t
2 2
1b
a
dxa x
Đặt sinx a t hoặc cosx a t
2 2
b
a
a x dx Đặt sinx a t hoặc cosx a t
Sử dụng tích phân từng phần
2
b
a
x adx Sử dụng tích phân từng phần
6) Tính các tích phân sau (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)
a)
7
3
3x dx b)
4
0 25 3
dx
x c)
3
2
0
1x x dx
d)
1
21
2 1
1
xdx
x x
e)
9
3
1
1x xdx f)
1
2 3
0
1x x dx
g)
1
2 8
0
1x xdx h)
7
3
30
1
3 1
xdx
x
i)
3 5 3
20
2
1
x xdx
x
j)
1
3 2
0
1x x dx k)
2
3 2
0
1x x dx l)
2
21 1
dx
x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
11
m)
1
2
0
1x x dx n) 9
3
1
1x xdx o)
1
2
20 1
xdx
x
p)
1
20 1
dx
x x q)
5
2 1 2
dx
x x r)
2
21 1
xdx
x x
s)
2 3
25 4
dx
x x t)
4
27 9
dx
x x u)
2
0 2 2
xdx
x x
v)
1
3
0
1x xdx x)
1 2
20 2
x dx
x x
7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vô tỉ)
a)
2
2 2
0
4x x dx b)
2
22
20 1
xdx
x c)
1
3
2 20 (2 1) 1
dx
x x , đặt tanx t
g) 2
1
ln 1dx
x x h)
1 2
6
01
x dx
x i) 2 9
dx
x
j) 29 4
dx
x k)
1 2
2
2
2
1 xdx
x
l)
1 2
20 4
x dx
x
m)
1
2
0
1 x dx n)
1
2 2
0
1x x dx o) 2
2 2
0
, 0
a
a x dx a
p) 2
2 20
, 0
a
dxa
a x
q)
1
2
21
4
dx
x x r)
2
22 1
dx
x x
s)
3
21
3
1
xdx
x t)
2
2
0
1
1
xdx
x
, đặt cosx t u)
1
2 3
0
(1 )x dx
8) Tính (sử dụng tích phân từng phần)
a)
1
2
0
1x dx b)
1
2
0
1x dx
Phƣơng pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)
Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ
Sử dụng tích phân từng phần
9) Tính (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)
a) 3
2
2
1
xx e dx b)
3
2
1
1(ln )x dx
x c)
2
12
x
x
e dx
e
d)
2
ln
e
e
dx
x x e) 2
3
0
xxe dx
f)
1
0
ln(2 )
2
xdx
x
g)
ln3
0
1xe dx h) 2x xe e dx i) 3
1 ln 2
edx
x x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
12
j)
1
01x
dx
e k)
1
05x
dx
e l) 1
ln 24x x
dx
e e
m)
1 2
2
0
(1 )
1
x
x
e dx
e
n)
1 2
01
x
x
edx
e
o)
1
ln( )
3 ln
eex
dxx x
p) 1
ln
1 ln
exdx
x x q)
1
2
1( 1)( 1)x
dx
e x
, đặt t=-x rồi sử dụng phép truy hồi
r) 1
(1 ln )
edx
x x s) 4
1
xedx
x t)
2
2
0
x
e dx
u)
1
0
2x xe dx v) 3
20
tan
1 ln | cos |
xdx
x
w)
14
2
1 cos (ln 1)
e
e
dx
x x
x) 2
1 1 ln
edx
x x y)
2
2
1
os (ln )
e
c x dx
z)
ln3
30 ( 1)
x
x
e dx
e
10) Tính (sử dụng tích phân từng phần)
a) 2
1
ln
e
x xdx b)
ln 2
2
0
xxe dx
c)
1
0
ln(2 1)x dx
d) 1
1 lne
x xdx
x
e)
1
2
0(1 )
xxedx
x f)
2 1
1
11
xxx e dx
x
g)
3
2
[ ln( 1) ln( 1)]x x dx h)
1
1
( 3) xx e dx
i)
2
1
(2 1) lnx xdx
j) 1
ln
e
x xdx k) 2
4
cos ln(sin )x x dx
l)
1
2 2
0
(1 ) xx e dx
m) 2
2
0
sin 3xe xdx
n) 2 2
1
ln
e
x xdx o) 3
1
ln
e
x xdx
p)
1
2
0
ln(1 )x x dx q) 4
0
sin 2xe xdx
r) 2
0
sin 2xe xdx
s) 2
0
cosxe xdx
t)
1
2
0
ln( 1)x x dx u)
1
2 3
0
[ln( 1)]x x dx
v)
0
2 3
1
( 1)xx e x dx
w) 2
2
0
sin 3xe xdx
x)
1
2
0
( ) xx x e dx
y) 2
1
ln
e
x xdx z)
2
1
ln( 1)x dx
Phƣơng pháp: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối
Được ứng dụng nhiều trong các bài toán tính diện tích hình
phẳng và thể tích vật thể
Bước 1: xét dấu biểu thức chứa trị tuyệt đối trên các đoạn
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
- 13 -
Bước 2: Chia đoạn [ ; ]a b , [ ; ]b c , [ ; ]c d ,…
Bước 3: Tính ( ) ( ) ( ) ...
b c d
a b c
f x dx f x dx f x dx
11) Tính
a)
2
2
0
| 1|x dx b)
1 2
5
1 2
1
x xdx
x
c) 2
2
2
| 1|x dx
d)
3
3
| 2 |x dx
e)
2
0
| cos |x dx
f) 0
| cos | sinx xdx
g)
2
2 2
0
2x x dx h) 2x xe e dx i)
3
2
0
2 2cos 2xdx
j)
4
2
0
6 9x x dx
Phƣơng pháp: Tích phân đặc biệt – Các hằng đẳng thức tích phân
( )f x liên tục trên [ ; ]a a , khi đó 0
2 ( ) à àm n( )
0 à àm
a
a
a
f x dx f l h chaf x dx
f l h le
( )f x liên tục, chẵn trên [ ; ]a a , khi đó 0
( )( )
1
a a
x
a
f xdx f x dx
b
, đặt t x
( )f x liên tục trên [ ; ]a a , khi đó
1 1
1 0
( ) [ ( ) ( )]f x dx f x f x dx
( )f x liên tục trên [-1;1] , khi đó:
2 2
0 0
(sin ) (cos )f x dx f x dx
, đặt 2
t x
2
0 0 0
(sin ) (sin ) (sin )2
xf x dx f x dx f x dx
, đặt t x
Chú ý: ( ) ( )
b b
a a
f x dx f a b x dx đặt t a b x
0
sin sinm n
mx nxdxm n
, m, n là các số nguyên dương
1 1
0 0
( ) (1 )f x dx f x dx , ( )f x liên tục
2 2
0 0
sin cosn nxdx xdx
với n
12) Tính
a) 2
2
2
ln 1x x dx
b) 2
2
2
cos ln 1x x x dx
c) 2 3
2
2
ln 1x x dx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
14
13) Tính
a) 1 4
11 2x
xdx
b)
22
2
| sin |
1 2x
x xdx
c) 2
2
sin sin 2 cos5
1x
x x xdx
e
14) Tính
a) 1 4
2
1
sin
1
x xdx
x
b) 1
2
1( 1)( 1)x
dx
e x
c)
2 2
4
1
1 xdx
x
, đặt
1t
x
15) Tính
a) 2
0
sin
1 cos
x xdx
x
b) 2
0
sin cosx x xdx
c) 2
0
sin
cos sin
xdx
x x
d) 2
0
sin
cos sin
xdx
x x
e)
2
0
sin
cos sin
n
n n
xdx
x x
f) 2
0
1 sinln
1 cos
xdx
x
C - ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP
D – ÔN TẬP
1) Tính các nguyên hàm sau:
a) 3 2( 2 4)x x dx b) 2 3( )ax b dx c)
3
1x dx
x
d)
4
2 1x dx
x
e)
232x x dx f) 3( 1)xa dx
g) 2( )x xa b dx h) 2x xa a dx i) 2x xa a dx
j) tan xdx k) 2cos
3 2sin
xdx
x l) 4
sin
cos
xdx
x
m) 3
3 1
( 1)
xdx
x
n) 4( 9)x dx o) 2
1
(2 )dx
x
p) 21
xdx
x q)
1
2 1dx
x r)
2
1 cos 2
cos
xdx
x
s) 3( 1)
xdx
x t) 5 4 23 2 1x x x
dxx
u)
2 2
dx
x x
v) 2(2 )x x dx w) 1 x
dx
e x) 2(2 1)( 3)x x x dx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
- 15 -
y) 21
xdx
x z)
2 2sin cos
dx
x x
2) Tính các nguyên hàm sau bằng phƣơng pháp đổi biến số:
a) 2 3 31x x dx b) 2xxe dx
c) 2 2(1 )
xdx
x
d) 1
(1 )dx
x x e)
2(ln )xdx
x f) 5sin cosx xdx
g) cos sin
sin cos
x xdx
x x
h)
2 2(1 )
xdx
x i) 2
1 1.sin .dx
x x
j) 3 2
sin
cos
xdx
x k) cos xdx l)
3
4
sin
cos
xdx
x
m) 1
x xdx
e e n) 3
4 4
xdx
x o) 2 3 1x x dx
p) sin cosxe xdx q) 5ln x
dxx r)
2
2 1
x
x
edx
e
s) 2
4
1
1
xdx
x
t) 2
4 2
1
6 1
xdx
x x
3) Áp dụng phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:
a) (1 2 ) xx e dx b) xxe dx
c) ln(1 )x x dx
d) 2sinx xdx e) 2ln 1x x dx f) 1
ln1
xx dx
x
g) 2
ln(sin )
cos
xdx
x h) 2
ln(sin )
cos
xdx
x i) 5(3 )x x dx
j) 2(2 3 )x x dx k) 2 5x xdx l) 1
( 2)( 3)
xdx
x x
m) 2sin
xdx
x n) 1
1dx
x o)
3
2
sin
cos
xdx
x
p) sin 3 cos 2x xdx q) 2 2 2 2
sin cos
sin cos
x xdx
a x b x r) 2lnx xdx
s) 2 sinx xdx t) 2 ln( 1)x x dx u) cos ln(1 cos )x x dx
v) cosxe xdx w) xxe dx x) 2 xx e dx
4) Bằng cách biến đổi các hàm số lƣợng giác hãy tính:
a) 4sin xdx b) 3
1
sindx
x c) 3 4sin cosx xdx
d) 4 4sin cosx xdx e) 2
1
cos sindx
x x f) 1 sin
1 cos
xdx
x
g) sin 4 sin 6x xdx h) sin 3 cos7x xdx i) sin 3 cos 2x xdx
5) Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau:
a) 2 4
xdx
x b) 2
1
2 1dx
x x c) 2
2 1
2 2
xdx
x x
d) 1
( 3)( 4)dx
x x e) 2
( 1)( 3)
xdx
x x f) 3
2 4
xdx
x
g) 3
2 4
xdx
x h) 2
2
2 1
xdx
x x
i) 3
1
1dx
x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
16
j) 2
2 2 1
xdx
x x k) 2
3 1
xdx
x l) 2
2( 1)( 1)
xdx
x x
m) 4 4
xdx
x n) 1x xdx o) 1x xdx
p) 21x x dx q) 21x x dx r) 3( 1)xdx
x
s) 2
4 4
xdx
x t) 3 2
2
3 1
1
x x xdx
x
u) 2
2 1
3
xdx
x x
v) 2
1
(2 3)dx
x w) 22 1x x dx x) 3
4 1
( 2)
xdx
x
y) 2
3
4dx
x z) 2
2 2
cos 2sin
cos sin 2
x xdx
x x
6) Tính các tích phân hữu tỉ
a)
1
2
04 3
dx
x x b)
1
3
0( 1)
xdx
x c)
1
2003
0
( 1)x x dx
d)
1 4 3
2
0
3 1
1
x x xdx
x
e)
2
2
04 4
dx
x x f)
2
2
04 4
xdx
x x
g) 6
2
45 6
dx
x x h) 6
2
45 6
xdx
x x i)
1
2 2
0( 1)
xdx
x
j)
1
2 2
0( 1)
dx
x k)
1 3
8
01
x dx
x l) 2 2
0
, 0
adx
ax a
m)
1
2
0
6 2
1
xdx
x x
n)
1
2
0
4 1
1
xdx
x x
o)
1
2
01
dx
x x
p)
1
2
02 2
dx
x x q)
3 7
8 4
22 1
x dx
x x r)
2
2
06 9
dx
x x
s)
1
2
05 6
dx
x x t)
1
2
02
dx
x x u)
1
2
03
dx
x
v)
1
2
0
4 11
5 6
xdx
x x
w)
1 3
01
x dx
x
7) Tính các tích phân hàm vô tỉ
a)
1
0 2 1
xdx
x b)
4
27 9
dx
x x c)
1
2 2
0
1x x dx
8) Tính các tích phân hàm vô tỉ và trị tuyệt đối
a)
2
0
| 1|x x dx b)
2
2
0| 1|
dx
x x c)
3 2
2
0
| 1|
| 2 |
x xdx
x x
9) Tính các tích phân hàm lượng giác
a) 1 cos
dx
x b)
sin
dx
x c) sin sin 2 sin 3x x xdx
d) 4 3sin cosx xdx e) 4cos
dx
x f) 32
0
4sin
1 cos
x
x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
17
g) 2
01 sin cos
dx
x x
h) 3
3
4
tan xdx
i)
62
6 6
0
sin
sin cos
x
x x
j) 2
4
0
sin 2
1 sin
xdx
x
k)
2
0
sin xdx
l) 1
2
0
( 1)sinx xdx
m) 0
cosxe xdx
n) 2
1
( ln )
e
x x dx o) 4
2
0
tanx xdx
p) 2
2
0
cosx x dx
q) 4
2
0
tan
cos
xdx
x
r) 2 2cot cos2
xx dx
s) sin
1 4cos
xdx
x t)
34
3
2
cos
sin
xdx
x
u) 2
3
0
cos cosx xdx
v) 3
cos
sin
xdx
x w) 6
0
(2 )sin 3x xdx
x) 2
2
0
sinx xdx
y) 2 2
2 2
cos sin 1 cos
cos sin 2
x x xdx
x x
10) Tính các tích phân hàm siêu việt
a) 3
1
2 3
0
xx e dx b) 2
1
( log )
e
xxe x dx c) 3 2
1
ln 2 lne
x xdx
x
d)
ln 2 2
2
0
3
3 2
x x
x x
e edx
e e
e) 3
3
sin ln(cos )x x dx
f) 2
3
cos ln(1 cos )x x dx
g) 2
0
cosxe xdx
h)
2
ln
e
e
dx
x x i)
2
2
1 1
ln ln
e
e
dxx x
j) 2
1
ln
( 1)
e
e
xdx
x k)
1
3
0
xxe dx l)
1
0
ln( 1)
1
xdx
x
m)
5
2
2 ln( 1)x x dx n) 4
3
0
sin 4xe xdx
o)
1
2
0
sin ( )xe x dx
p)
1 2
2
0( 2)
xx e dx
x q) 3
4
sin ln(tan )x x dx
r)
2
2
1
cos (ln )
e
x dx
s) ln
1
e
x xe dx
t)
3
2 2
1
ln
( 1)
x xdx
x u)
1 2
0 1 1
x
x x
e dx
e e
11) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 2 và các tích phân đăc biệt
12) Ứng dụng của tích phân
Tính diện tích các phẳng giới hạn bởi
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
18
Tính thể tích các khối giới hạn bởi
13) Tính (đề thi TN, THCN) bao gồm cả các bài ứng dụng
14) Tính (đề thi ĐH CĐ 2000 – 2004) bao gồm cả các bài ứng dụng
15) Tính (đề thi ĐH CĐ 2004 – 2010) bao gồm cả các bài ứng dụng
top related