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UNIVERSIDAD DE ORIENTE
Vías de Comunicación II
Prof. Andreina NarvaezSemestre I-2010
Este material fue creado para los estudiantes que cursan Vías de Comunicación II en el departamento de Ingeniería civil de la Universidad de Oriente, núcleo de Anzoátegui.
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Capítulo I. El alineamiento vertical (cap. XIV, 125-146, normas venezolanas)
1.1 Definiciones y Conceptos1.1.1. Topografía del terreno
El alineamiento vertical de una carretera consiste de tramos rectos conocidos como pendientes,
o tangentes, que suben o bajan para vencer diferencias de cotas en el terreno. Estas tangentes están
conectadas por curvas verticales. El diseño del alineamiento vertical involucra, por lo tanto, la
selección de pendientes apropiadas para las secciones rectas y el diseño de curvas verticales. La
topografia del área a traves de la cual pasará la vía tiene un impacto significante en el diseño del
alineamiento vertical. En el diseño de vías, la topografía del terreno se clasifica como: terreno
llano, terreno ondulado, y terreno montañoso.
El terreno llano es relativamente plano, con pendientes que oscilan entre 0 y 5% y las
distancias de visibilidad horizontales y verticales son generalmente largas o pueden ser obtenidas
sin mucha dificultad constructiva. Exige mínimo movimiento de tierras en la construcción de
carreteras y no presenta dificultad en el trazado ni en su explanación, por lo que las pendientes
longitudinales de las vías son normalmente menores del 3%.
El terreno ondulado tiene pendientes naturales que generalmente son ligeramente mayores o
menores que la pendiente de la vía, con ocasionales pendientes que restringen el alineamiento
normal. La pendiente maxima del terreno oscila entre 5 y 25%. Requiere moderado movimiento de
tierras, lo que permite alineamientos más o menos rectos, sin mayores dificultades en el trazado y
en la explanación.
El terreno montañoso presenta repentinos cambios en la elevación del terreno en las
direcciones longitudinales y transversales, requiriendo por supuesto frecuentes movimientos de
tierra. Las pendientes oscilan entre 25 a 75%.
1.1.2. Pendientes
Las pendientes afectan el rendimiento de los vehículos. La velocidad de los vehículos pesados
puede reducirse considerablemente en la medida en que la inclinación o la longitud de la pendiente
aumentan.
La pendiente tiene influencia sobre el funcionamiento económico y seguro del vehículo. Como
tal, su valor máximo dependerá de la potencia de los vehículos que circulan por la vía,
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especialmente la de los vehículos pesados. Por consiguiente, la selección de la máxima pendiente
dependerá del vehículo de diseño y de la velocidad. La pendiente mínima se fijará en lo posible
para lograr la compensación del movimiento de tierra y para facilitar el desagüe en sentido
longitudinal.
En la figura 1 se puede observar la curva de rendimiento de un vehiculo cuya relacion
peso/potencia es de 120 kg/kw. En ella se observa el impacto que ocasionan las pendientes en la
velocidad del vehículo.
Figura 1. Curvas de rendimiento de un camión de relación peso/potencia de 120 kg/kw
De acuerdo a lo anterior, y como lo establecen las normas venezolanas, las pendientes
longitudinales son las siguientes:
Pendientes máximas: la tabla 14.1 de las normas venezolanas presenta las pendientes
máximas admisibles dependiendo del tipo de terreno. Sin embargo, la AASHTO considera que
para una velocidad de diseño de 110 KPH, la pendiente máxima debe ser de 5%. Para 50 KPH las
pendientes máximas están en el rango de 7 a 12% dependiendo de la topografía.
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Pendientes mínimas: Se admiten tramos de pendiente 0%, siempre que no existan
problemas de drenaje. En todo caso, para facilitar el drenaje longitudinal se requiere de una
pendiente mínima de 0.25%. Las normas venezolanas establecen las siguientes pendiente mínimas:
Cuneta sin revestir = 0.5% a 1%
Cunetas revestidas = 0.5%
Canal o dren = 0.4%
Brocales = 0.3%
1.1.3. Longitud crítica de pendiente
Se define como la longitud de trayecto en una pendiente de ascenso que motiva una reducción
de 25 km/h en la velocidad de operación de los vehículos pesados. La figura 14.1, página 128 de
Norvial muestra longitudes críticas de varias pendientes para varias reducciones. Las longitudes
críticas segun la definición anterior son:
Pendiente de ascenso (%) 3 4 5 6 7 8
Longitud crítica (m) 520 335 245 180 150 150
1.2 Geometría de las curvas verticales1.2.1. Movimiento de los vehículos en las curvas verticales
Cuando un vehículo recorre una vía en pendiente cuyo perfil longitudinal presenta una
cuvatura importante, queda sometido a una aceleración vertical que puede modificar las
condiciones de estabilidad y afectar considerablemente el confort de los pasajeros.
Para evitar discontinuidades en las aceleraciones aplicadas al vehículo al circular éste en la
curva vertical, es conveniente hacer que la aceleración vertical aparezca gradualmente. Esto se
logra mediante una transición de la curvatura del perfil longitudinal, introduciendo una curva cuya
razón de variación de la pendiente sea constante.
Este criterio conduce a seleccionar la parábola como curva de enlace y transición en los
alineamientos verticales.
En efecto, debiendo ser constante la razón de variación de la pendiente, la segunda derivada de
la curva deber ser constante, es decir:
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integrando, se obtiene:
Integrando una vez más:
Ecuación que corresponde a una parábola.
Por otra parte, la parábola facilita la operación vehicular de una manera cómoda y segura,
brinda una apariencia agradable del alineamiento y permite un adecuado drenaje de la superficie de
rodamiento.
Estas curvas ofrecen dos ventajas:
1. La variación de las pendientes en la parábola, entre dos tangentes consecutivas, es
literalmente proporcional a la longitud de la proyección horizontal de la curva.
2. Las cotas sobre la curva pueden calcularse en forma sencilla y varían proporcionalmente
con las abscisas.
3. La pendiente de una cuerda de la parábola es el promedio de las pendientes de las líneas
tangentes a ella en los extremos de la cuerda.
1.2.2. Clasificación y elementos de las curvas verticales
Las curvas verticales usadas en vías como curvas de enlace entre los alineamientos rectos
longitudinales, pueden ser arcos de círculo, arcos de parábola, de parábola cúbica, etc.
De éstas, la parábola de eje vertical es usualmente la preferida, pues, simultáneamente sirve
como curva de enlace y de transición de las curvaturas. Además, su forma se ajusta a la de la
trayectoria de los vehiculos para la condición de máximo confort de éstos.
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Curva vertical convexa Curva vertical cóncava
Figura # 2. Tipos de curvas verticales
Según su posición, las parábolas verticales pueden ser convexas o cóncavas (fig. # 2), y en
ellas hay que distinguir los siguientes elementos (fig. # 3):
Figura # 3. Elementos de la curva vertical
p y q son las pendientes, expresadas en porcentaje, de los alineamientos rectos en el perfil
longitudinal, y PIV el punto donde éstos se cortan o intersectan. Las pendientes en ascenso se
consideran positivas y las de descenso, negativas.
PCV y PTV son los puntos de entrada y salida respectivamente, de la curva vertical. Se llama
longitud, L, de la curva vertical a la de su proyección sobre la horizontal. Cuando la proyección del
PIV sobre la horizontal está a media distancia entre PCV y PTV, la curva se llama simétrica.
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1.2.3. Propiedades geométricas y cálculo de los elementos de parábola
Curvas verticales simétricas
Además de las dos propiedades mencionadas anteriormente (la parábola es la curva en la cual
la razón de variación de su pendiente es una constante, y, en proyección horizontal, el punto de
intersección está a media distancia entre las proyecciones de los puntos de tangencia), las
siguientes propiedades son también de importancia al calcular los elementos de la parábola:
1. En una parábola de eje vertical, los elementos verticales entre la tangente y la curva son
proporcionales a los cuadrados de las proyecciones horizontales de los elementos de tangente
comprendidos entre el punto de tangencia y el eje vertical: y = k . x2.
Figura # 4. Propiedades de las curvas verticales
2. En una parábola de eje vertical, el coeficiente angular (pendiente) de la recta que une dos
puntos de la curva es el promedio de los coeficientes angulares de las tangentes.
R = (p + q)/2
Aplicando estas propiedades, la cota en cualquier punto de la curva vertical, referida a la
tangente de entrada, puede calcularse de la siguiente manera:
y = k . x2
y la cota en el punto medio es: d = k . (L/2) 2
siendo k una constante de proporcionalidad. De aqui:
de manera que, en cualquier punto de la curva se cumple que:
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El valor de d se puede deducir del triángulo formado por PIV, B, C (fig. # 5), en el que se
Figura # 5.
observa que:
de donde
no habiéndose tomado en cuenta los signos de las pendientes. La expresión anterior permite
plantear la proporción:
Conocido el valor de d, en cualquier punto de la curva se tiene que:
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Es decir:
Esta expresión permite calcular las cotas de los distintos puntos de la parábola. En efecto, para
obtener las cotas de la curva, a las cotas calculadas en distintos puntos de la tangente de entrada
deben sustraerse o adicionarse, según la curva sea convexa o cóncava, respectivamente, los valores
de y.
Para evitar errores en los cálculos, interesa tomar en cuenta los signos de p y q en forma tal que
el resultado indique la operación a efectuar (fig. 6).
Para ello basta que la expresión anterior se escriba en la forma:
Y se tomen en cuenta los signos de las pendientes. Por consiguiente, d será igual a
Para simplificar la expresión anterior, se define A = q – p, y la ecuación de la parábola será:
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Fuente: Jacob Carciente
Figura 6. Sentido aditivo y sustractivo de las ordenadas en las curvas verticales
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Curvas verticales convexas (A es -) Curvas verticales cóncavas (A es +)
El trabajo del cálculo de las cotas de la curva en distintas progresivas se simplifica si se tabula
el proceso de la siguiente forma:
Estación Distancia x x2/L y = (A/200)(x2/L) Elevación en la tangente
Elevación en la curva
Refiriendo las cotas de la curva vertical a la cota del PCV, para cualquier punto x de la curva se
tiene:
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de forma que, para hallar la pendiente de la curva en cualquiera de sus puntos, derivando la
ecuación anterior se obtiene la expresión
En las curvas verticales cuyas tangentes tienen pendientes de distinto signo, para hallar la
distancia desde el PCV al punto de la curva donde su pendiente se anula, bastará igualar a cero la
expresión anterior, de donde:
este punto se conoce como el ápice de la curva, y es el punto más alto en las curvas convexas y el
más bajo en las curvas cóncavas.
Dado que cuando p y q son de distinto signo, para +p y –q, A es negativo, y para –p y +q, A es
positivo, el valor de xo será siempre un valor positivo.
Curvas asimétricas
Al introducir una curva vertical entre dos alineamientos rectos del perfil longitudinal, hay
casos en los que la distancia del PIV a uno de los extremos está limitada, no estándolo respecto al
otro extremo.
En estos casos, una curva vertical asimétrica se adapta mejor al trazado que una curva
simétrica.
Una curva vertical asimétrica es aquella en la que las proyecciones de su tangente son de
distinta longitud.
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Consiste la curva asimétrica en dos o más arcos de parábola que tienen una tangente común,
VV, donde las curvas se encuentran (fig. 7).
Figura # 7. Curva vertical asimétrica
El cálculo de los elementos de las curvas verticales asimétricas se simplifica cuando ésta se
considera como dos curvas verticales simétricas consecutivas, determinándose las elevaciones en
la primera con respecto a la tangente PCV-PIV y en la segunda con respecto a PTV-PIV.
De la geometría de la curva se deduce que:
o
Como puede comprobarse, MD = DF = d, luego
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A
A
y haciendo
expresión que se transforma en la ya conocida
al hacer l1 = l2 = L/2
Conocido el valor de d, el cálculo de la cota en cualquier punto será:
para la rama izquierda:
y para la rama derecha:
Al derivar e igualar a cero estas expresiones se obtiene la posición del punto más alto o más
bajo de la curva, según se trata de curvas convexas o cóncavas respectivamente. Asi se tiene, para
la rama izquierda:
, a partir del PCV
y para la rama derecha:
, hacia atras del PTV
expresiones que resultan siempre positivas.
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