vibration mécanique

Institute de Technologie du Cambodge

Formation de Physique pour d’ingénieurCourse: Vibration Mécanique

Date: 29 août -03 septembre 2016Salle: F-106

1. Rappel système de coordonnées

1.1. Définition: Coordonnées cartésiennes

1. Rappel système de coordonnées

1.1. Définition: Coordonnées cylindrique

1. Rappel système de coordonnées 1.1. Définition: Coordonnées sphérique

1. Rappel système de coordonnées 1.2. Vecteur unitaire

��𝒙

��𝒚

��𝒛

��𝝆

��𝝓

��𝒛

��𝝓

��𝜽��𝒓

1. Rappel système de coordonnées 1.3. Elémentaire de déplacement, surface et volume

x y zdOP dxu dyu dzu

. . .ds dx dy dx dz dy dz d dxdydz

zdOP d u d u dzu

. . .ds d d d dz d dz . .d d d dz

sinrdOP dru rd u r d u

2 sin . . .d r dr d d

2. sin . . sin .ds rdr d r dr d r d d

sinrdOP dru rd u r d u

2 sin . . .d r dr d d

2. sin . . sin .ds rdr d r dr d r d d

2. Éléments cinétiques des système matériels 2.1 Masse d'un système matériel

• Distribution discontinue de masse: • Distribution continue de masse:

i. Distribution volumique de masse: ii. Distribution surfacique de masse: iii. Distribution linéique de masse:

2.2 Centre de masse d'un système matériel• Définition de centre de masse:

i. Distribution discontinue de masse: ii. Distribution continue de masse :

3. Moment d’inertie 3.1 Définition

• Moment d’inertie de masse par rapport à l’axe : • Moment d’inertie d’un système discontinue de masse , par rapport à

l’axe : • Moment d’inertie d’un système continue de masse , par rapport à l’axe

3. Moment d’inertie 3.2 Opérateur d’inertie

22 2 2

; OA ; ( ) ( ) ( )

xx yy zz xy xz yz O

xx xy xz

xy yy yz

I r dm u OA dm

xu y u OA z y z x x y

I I I I I I I u I u

I I I I

0Nous obtenons: .[ ] I u I u

3. Moment d’inertie 3.2 Opérateur d’inertie

[ ] : ' '

( ) : le moment d'inertie par rapport à axe (Ox)

( ) : le moment d'in

ertie p

ar rapport

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

I I I I Matrice d inertie ou opérateur d inertie

I y z dm

I x z dm

à axe (Oy)

= ( ) : le moment d'inertie par rapport à (Oz)

, , : le produit d'inertie

xy xz yz

I x y dm

I xydm I xzdm I yzdm

La matrice d’inertie dépend de l’origrne des axes du triedre choisi. Etudions l’influence d’une translation des axes de triedre initial Oxyz et le nouveau triedre O’x’y’z’ . En désignant par a, b, c les cordonnées de O’

3. Moment d’inertie 3.3 Théorème de Huygens-Schteiner

2 2' '

On pose : ; ' et OO' OO' '

.( ) 2 ' 2xx x x

x x a x x ax aOA y O A y b OA O A y b y y b

z cz z c z z c

I I M b c b y dm c

2 2' ' ' '

' . ' '

.( ) 2 ' 2 ' et . ' '

.( ) 2 ' 2 ' . ' '

xy x y

yy y y xz x z

zz z z yz y z

z dm I I M ab a y dm b x dm

I I M a c a x dm c z dm I I M ac a z dm c x dm

I I M a b a x dm b y dm I I M bc b z dm c y dm

2 2' ' ' '

2 2' '

Si ' ' , d'autre part: 0 ' 0

.( ) .

.( ) et .

xx x x xy x y C C

yy y y xz x z

zz z z

x dmx aO C OO OC y b CAdm y dm

z c z dm

I I M b c I I M x y

I I M a c I I M x

I I M a b

' ' .C C

yz y z C C

zI I M y z

Le moment d'inertie d'un solide par rapport à une droite est égal à la somme du moment d'inertie par rapport à cette droite de la masse du solide concentrée au centre de masse C (Md2)et du moment d'inertie du solide par rapport à la droite parallèle passant par C (IC).

2 CI I md

2 2Par exemple: .( )xx Cx C CI I m y z

4. Quantité de mouvement• Pour un point matériel: la quantité mouvement du point A par

rapport à référentiel s’écrit:

v• Pour un système matériel: la quantité mouvement d’un système

par rapport à référentiel s’écrit :

( ) AmP dm

i. Système de masse discontinue

ii. Système de masse continue

( ) ( ) ( )( )A m Cm m

dOA d ddm P dm OAdm mOC mdt dt d

5. Moment cinétique • Pour un point matériel: le moment cinétique en point O de

du point A s’écrit:

/O AOA m v

• Pour un système matériel: le moment cinétique en point O de d’un système matériel s’écrit :

O i i ii

OA m v

( )O AmOA dm

vii. Système de masse continue

i. Système de masse discontinue

• Si O’ est un autre point fixe de , on a une relation simple entre les moments cinétiques en O et O’

( ) ( )

' '( )

OA dm OO O A dm

OO dm O A dm

OO dm OO P

OO P OO M

Si O’ C

O C COC M v

5. Moment cinétique

6.1 Définition: Le référentiel du centre de masse associé à * est le référentiel en translation par rapport à et tel que:

dCA dP P v dm dm CAdmdt dt

CComme v

Le centre de masse C est fixe dans *

6. Référentiel du centre de masse

6.2 Quantité dans * :

( ) ( ( ))

C A A C

CA dm CA dm

CA dm CAdm

CA dm CA dm

CA dm CAdm

car CA

Dans : v v +v

Dans : v

Dans : v v +v

C (m)Donc: = v

6.3 Moment cinétique dans *

OA OC CA

Avec: v = v + v et

( ( ( (

( ) ( )

O A Cm

A C Am m m m

OC CA dm

OC dm OC dm CA dm CAdm

Donc OC m car

C) ) ) )

v v v v

6.4 Théorème de Koenig

7. Moment cinétique d’un solide en rotation

( )(m)

v O OA dm

Pour mouvement rotation:

8. Torseur dynamique

• Torseur dynamique est défini par :

D ad a résultante dynamique (quantité d'accélération)

N a d momnent de la résultante dynamique

(moment de la quantité d'accélération

9. Torseur cinétique • Torseur cinétique est défini par :

Ap v d v Résultante cinétique

v d : Moment cinétique

10. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique

( ) ( )( (C O

C A Av vm m OA OA

t t t t

dv ddP da v et )d a )d

d d d d

O OO Ot t t

d PddPD et N Dd d d

• En le point O est fixe dans R

• En le point O’ est mobile dans R

''( ) ( ) ( )

' ' ( )

(OA A A O Av v v

O O Av

d d O'A v )d O'A a d v v v dd d

N v v d

10. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique

• En le point O’ est mobile dans R

''( ) ( ) ( )

' ' ( )

(OA A A O Av v v

O O Av

d d O'A v )d O'A a d v v v dd d

N v v d

ddPD et N v Pd d

OO Ot t

i) Si O’ C :d

ii) Si O’ est fixe : ''

11. Principe Fondamental de la Dynamique

• Enoncée: Le mouvement d’un système matériel (S) par rapport à un référentiel satisfait à l’équation torsorielle:

ex OO ex

la torseur force des forcesextérieur

la résultante des forces extérieur

le momenten Odes forces extérieur

Cas de O’ C ,

ex O exFt t

ddP et Md d

OO ex O ex exO

OO exO

d dM OO' P M OO'd d

dv P M

v P 0 Md

CC exC t

12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.1Théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique:

Si autre point O’ est mobile dans , il vient:

12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.2 Théorèmes de la somme dynamique et du moment dynamique :

,ex O exex C OOF m F

D a et N M

',' O ex exO F

N +OO' D M +OO'

',' O ex exO F

N M puisque D

En un point quelconque, mobile ou non, le moment dynamique est égal au moment des forces extérieur.

Pour le point

dω M N

OO exO OO O

CC exC C C

12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.3 Cas particulaire d’un solide est en rotation

13. Energie cinétique13.1 Définition

L’énergie cinétique d’un system matériel continu (S) en mouvement par rapport à un repère fixe R est défini par:

13.2 Théoreme Koënig à l’énergie cinétique

O est l'énrgie cinétique de dans le référentiel du centre de masse

14. Théorème de l’énergie cinétique14.1 Travail et puissance d’une force

14. Théorème de l’énergie cinétique14.1 Théorème de l’énergie cinétique

• : Puissance fournie au système par les forces intérieures ; • : puissance fournie au système par les forces extérieures.

1 1 1 E (v ) d v OA d OA v d 2 2

Ac A S S Av v v

ssu u II u

15. Energie cinétique d’un solide indéformable

15.1 Cas de solide (S) a un point fixe O dans

Dans le référentiel du centre de masse, l’énergie cinétique s’écrit:

1 1 1 E = v + = P v

1 1 1 1 E v d v CA d

CA v d2 2 2 2

Ac A S S A C

c C C S C

Sv v v

15. Energie cinétique d’un solide indéformable

15.2 Cas de solide (S) n’a pas un point fixe dans

• Le nombre de degrés de liberté est égal au nombre de coordonnées qui représentent la position de m moins le nombre de liaisons• Il faut choisir une variable q pour repérer sa position. Cette variable est appelée coordonnée généralisée• Considérons le cas particulier d’une particule astreinte à se déplacer, sans frottement, surune courbe plane contenue dans le plan xOy.

- Soit la résultante de toutes les forces agissant sur la particule. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :

- Soitle travail fourni par la force lors d’un déplacement infinitésimal :

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

- Le déplacement infinitésimal peut s’écrire en fonction de la variation q de la coordonnée généralisée q :

- Dans ce cas le travail peut se mettre la forme :- q-composante de la force:

- En tenant compte de la relation fondamentale de la dynamique, cette expression peut également s’écrire : -

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

16. Méthode de Lagrange 16.2 Cas des systèmes conservatifs

16. Méthode de Lagrange 16.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse

• Equation de Lagrange

• Fonction dissipation

16. Méthode de Lagrange 16.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps

16. Méthode de Lagrange 16.5 Système à plusieurs degrés de liberté

17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté• Systèmes à un seul degré de liberté

• Systèmes à deux degré de liberté

17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté

• Systèmes à trois degré de liberté

• Systèmes à multi degré de liberté

En général, un système vibrant est constitué :• élément de ressort: stocker l'énergie potentielle, • élément de masse ou de l'inertie: stocker l'énergie cinétique, et • élément d’amortissement: l'énergie est peu à peu perdu,

17. Oscillations libres17.2 Elémentaires de système de vibration

• équivalente raideur de ressort

17. Oscillations libres17.3 élément de ressort

• équivalente masse-exemple:

322 1 3 1

llx = x and x = xl l

eq 1x = x

2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 3 3 eq eq2 2 2 2m x m x m x m x

eq 1 2 31 1

llm m m ml l

17. Oscillations libres17.4 élément de de masse

• L'amortissement visqueux:Sur la base de fluide visqueux s'écoulant à travers l'orifice ou fente. La force d'amortissement vitesse relative entre les extrémités

• Coulomb (frottement sec) d'amortissement:

Basé sur le frottement entre les surfaces non lubrifiéesLa force d'amortissement est constante et opposée à la direction de déplacement

17. Oscillations libres17.5 élément d’amortissement

L'équation différentielle de mouvement est :

20 0x x

2 est la ,et T la pulsation propre période propre

Solution générale : cos( )x A t

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres non amorties du système translation

Une masse fixée à l'extrémité de l'arbre est un système simple torsion. La masse de l'arbre est considéré comme faible par rapport à la masse du disque et est donc négligée.

Le couple qui produit torsion est donnée par :Mt= kt , kt est raideur de torsion Par le théorème du moment cinétique:

0G tI k

0 0 00

cos( ) sin( ) ,solution: (t)=

avec t

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres non amorties du système torsion

• L'équation différentielle du mouvement:

La force d'amortissement visqueux est proportionnelle à la vitesse de de la masse et

agissant dans le direction opposée à la vitesse de la masse et peut être exprimé comme

où c est la constante d'amortissement ou le coefficient d'amortissement visqueux

L'équation différentielle du mouvement:

2 20 02 0 , avec = et

2c kx x xm m

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux

𝑇𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒{ 𝜆= 𝑐2𝑚

[ 𝑠− 1 ] :𝐹𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑′ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑚𝑒𝑛𝑡 .

ξ= 𝜆𝜔0

(𝑠𝑎𝑛𝑠𝑢𝑛𝑖𝑡 ) :𝑅𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 𝑑 ′𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

• Solutions générale 20

L'équation caractéristique: 2 0

2 2 20

(i) si ' < 0 < (0 1) : faiblement amorti

Poson La solution s'écrit:

( ) cos( )

ou bien: ( ) Acos( ) sin ( )

x t ae t

x t e t B t

(ii) si ' 0 ( 1) : amortissement critique

La solution s'écrit: ( ) (C +C t)

(iii) si ' > 0 > ( >1): fortement amorti

Posons

La solution s'écrit: ( )

x t C e C e

2 2 2 20 0

1 2t tt te C e C e

• Solutions générale

• Graph

Overdamped ( 1) Underdamped ( 1)

Underdamped ( 0 )

Criticallydamped ( 1)

• Décrément logarithmiqueDéfinition : C’est le logarithme du rapport de 2 amplitudes successives des oscillations amorties.

0 2 4 6 8 10

17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux

Décrément logarithmique

0 2 4 6 8 10

2 1 1t2 0 2

2 1 1t

X e cos( t )x 2, Laisser t t tx X e cos( t )

cos( t ) cos( 2 t ) cos( t )

x eet ex e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Time [s]

j3 m1 1 2

m 1 2 3 4 m 1 j 1

m m1 1

m 1 m 1

xx xx x x .... , mais ex x x x x x

x x1e e , Donc: lnx m x

Exemple(4)

Trouver la réponse du système représenté à la droite si le bloc est tiré vers le bas par 15 cm etreste sous forme libérée

Vibration libres amorties avec amortissement Coulomb

Case 1. Case 2.

Régime pseudo-périodique : amortissement faible (suite)

La constante de temps

Quelque soit le type de régime, l'amortissement des oscillations dépend du terme exponentiel e−λt , λ est appelée constante d'amortissement . Nous appelons constante de temps τ , l'intervalle de temps telle que

La pseudo-période

Nous pouvons en déduire l'expression mathématique de la pseudo-période T′

Régime pseudo-périodique : amortissement faible (suite)

La constante de temps

Quelque soit le type de régime, l'amortissement des oscillations dépend du terme exponentiel e−λt , λ est appelée constante d'amortissement . Nous appelons constante de temps τ , l'intervalle de temps telle que

La pseudo-période

Nous pouvons en déduire l'expression mathématique de la pseudo-période T′

Graphique

Aspects énergétiques

Il va y avoir obligatoirement par la présence de la force de frottement qui est une force à travail non conservatif et résistant, une diminution de l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique amorti. Pour étudier cela, nous allons nous limiter à l'étude du cas où nous avons des oscillations donc au régime pseudo-périodique. Dans ce cas nous avons vu que l'élongation et la vitesse ont les expressions suivantes en fonction du temps :

Nous allons en déduire les expressions respectives en fonction du temps de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie mécanique.

Energie cinétique

Cas d'un amortissement très faible

Lorsque l'action de la force de frottement est très faible, nous

savons que λ ω≪ 0 donc que Il s'en suit que T′ T≃ 0 et ω′ ω≃ 0. Nous pouvons donc recalculer l'énergie mécanique de l'oscillateur dans cette situation en simplifiant son expression en tenant compte de l'amortissement très faible.

L'oscillateur harmonique en régime forcé

Ceci rend très important l'étude de l'excitation sinusoïdale,la force dans ce cas, prend la forme suivante :

Equation du mouvement :

L'oscillateur harmonique en régime forcé (suite)

Résolution de l'équation différentielle

x(t) = xH(t) + xP (t)• xH(t) : la solution générale de l'équation différentielle sans second membre (appelée aussi équation homogène), et une deuxième xP (t), qui est une solution particulière de l'équation complète.• xH(t) = e-t ×(C.sin(’t)+D.cos(’t)): régime transitoire xP (t)= A.cos( t +) : régime forcé ou régime permanent

Détermination de la solution forcée en utilisant les nombrescomplexes

Nous pouvons montrer en mathématiques que si une solution xP (t) en cosinus, comme celle qui est écrite précédemment, est une solution particulière de l'équation différentielle d'intérêt alors une solution en Asin(Ωt + ϕ) est aussi une solution particulière possible de l'équation différentielle avec un second membre changé en F/msin(Ωt). Donc un nombre complexe, de la forme suivante A×(cos(Ωt+ϕ)+i sin(Ωt+ϕ)), sera lui solution de l'équation différentielle suivante :

Détermination de la solution forcée en utilisant les nombrescomplexes

Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude

Nous avons :

Pour que cette dérivée soit nulle, il sut donc que:

2 2 2 2 20

ou 2 0 2 r

(pulsation de résonance)

Nous l'appellerons la condition de résonance en amplitude.

Si nous définissons cette grandeur en fonction de Q et ω0, nous obtenons

La condition de résonance devient

avec on appelle le facteur de qualité

Notion de résonance en amplitude du mouvement

Caractérisation physique de la résonance en amplitudeNous pouvons maintenant calculer la valeur de l'amplitude lorsque la pulsation de l'excitateur est effectivement égale à la pulsation de résonance:

Caractérisation physique de la résonance en amplitude (suite)Ensuite, en sortant de la racine 2λ, nous obtenons

Résonance en vitesse

Détermination de la vitesse

Nous allons aussi calculer la vitesse de l'oscillateur en régime forcé. A partir de l'expression complexe de l'amplitude xP(t), il est très simple de calculer une expression complexe de la vitesse, en effet nous avons obtenu :

Détermination de la vitesse (suite)

Phénomène de résonance en vitesse

L'amplitude maximale de la vitesse obtenue à la résonance est :

Impédance mécanique

Sous l'effet d'une cause excitatrice, la force excitatrice, l'effet produit est le mouvement de l'oscillateur à la vitesse V P (t), nous appelons impédance mécanique d'un oscillateur, le rapport cause sur effet, donc le rapport de l'amplitude complexe de la force excitatrice

Conséquences pour l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique

Expression de la puissance moyenne absorbée par l'oscillateur

La puissance instantanée absorbée par l'oscillateur et fournie par l'excitateur est donc :

Nous pouvons obtenir l'expression de cette puissance instantanée en remplaçant Fexc(t) par

Conséquences pour l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique

Expression de la puissance moyenne absorbée par l'oscillateurNous calculons alors la moyenne de P(t) sur une période T de l'excitateur :

Bilan énergétique

Nous pouvons étudier différemment cet aspect en passant par le théorème de l'énergie cinétique :

17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.1 Oscillateur linéaire

Un système oscillant à un degré de liberté est habituellement repéré à l’aide d’une coordonnéegénéralisée q qui est l’écart par rapport à la position d’équilibre stable. Le mouvement vibratoireest dit linéaire s’il est régi par une équation différentielle harmonique de la forme :

Cette équation est appelée équation différentielle de l’oscillateur harmonique simple.

17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.2 Energie cinétique

17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.3 Energie potentielle

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