vježba linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja
Post on 14-Jan-2016
43 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Vježba
Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja
Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet
Odsjek za psihologiju
Vježbe iz psihometrije
1) 1) JEDNOSTAVNE LINEARNE TRANSFORMACIJEJEDNOSTAVNE LINEARNE TRANSFORMACIJE
Neka je x = Neka je x = [[xxii ]], i = 1,..., N , i = 1,..., N
vektor rezultata bilo kakvog psihološkog mjerenjavektor rezultata bilo kakvog psihološkog mjerenja.. Deskriptori distrubucije varijable x, aritmetička Deskriptori distrubucije varijable x, aritmetička sredina i varijanca, definirani su sredina i varijanca, definirani su
N
XM
N
1
N
d
N
MXV ii
22)(
Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .
1.1. DODAVANJE KONSTANTE1.1. DODAVANJE KONSTANTE
x ' = x + ax ' = x + a
N
XM i''
N
aX i)(
N
NaX i aM
Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve transformacije uvećana je, u odnosu na početnu transformacije uvećana je, u odnosu na početnu aritmetičku sredinu, za vrijednost dodane konstantearitmetičku sredinu, za vrijednost dodane konstante
M' = M + aM' = M + a
a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu
1.1. DODAVANJE KONSTANTE1.1. DODAVANJE KONSTANTE
N
MXV i
2)''('
Prema tome, Prema tome, operacija dodavanja konstante ne mijenja operacija dodavanja konstante ne mijenja
originalnu varijancuoriginalnu varijancu
VV' = ' = VV
b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu
N
aMaX i2)()(
N
aMaX i2
N
MX i2
V
Prema tome nakon dodavanja konstante, parametri Prema tome nakon dodavanja konstante, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:
M’ = M + aM’ = M + a
V’ = VV’ = V
’’= =
Razmotrimo efekte koje ima Razmotrimo efekte koje ima oduzimanjeoduzimanje konstante na konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .
1.1.22. . ODUZIMANJEODUZIMANJE KONSTANTE KONSTANTE
x ' = x x ' = x -- a a
N
XM i''
N
aX i)(
N
NaX i aM
Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve transformacije transformacije umanjenaumanjena je, u odnosu na početnu je, u odnosu na početnu aritmetičku sredinu, za vrijednost konstantearitmetičku sredinu, za vrijednost konstante
M' = M M' = M -- a a
a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu
1.1.22. . ODUZIMANJE ODUZIMANJE KONSTANTEKONSTANTE
N
MXV i
2)''('
Prema tome, Prema tome, operacija oduzimanja konstante ne mijenja operacija oduzimanja konstante ne mijenja
originalnu varijancuoriginalnu varijancu
VV' = ' = VV
b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu
N
aMaX i2)()(
N
aMaX i2
N
MX i2
V
Prema tome nakon oduzimanja konstante, parametri Prema tome nakon oduzimanja konstante, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:
M’ = M - aM’ = M - a
V’ = VV’ = V
’’= =
Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .
1.1.33. . MNOŽENJE S MNOŽENJE S KONSTANTKONSTANTOMOM
x ' = x ' = aaxx
N
XM i''
N
aX i)(
N
Xa i aM
Prema tome, aritmetička sredina Prema tome, aritmetička sredina transformirane transformirane varijable jednaka je umnošku originalne aritmetičke varijable jednaka je umnošku originalne aritmetičke
sredine i konstantesredine i konstante
M' = M' = aaMM
a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu
1.1.33. . MNOŽENJE S KONSTANTOMMNOŽENJE S KONSTANTOM
N
MXV i
2)''('
Prema tome, Prema tome, nakon operacije množenja s konstantom nakon operacije množenja s konstantom varijanca transformirane varijable, jednaka je produktu varijanca transformirane varijable, jednaka je produktu
originalne varijance s kvadriranom konstantomoriginalne varijance s kvadriranom konstantom
VV' = ' = aa22VV
b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu
N
aMaX i2
N
MXa i22 )(
Va2
Prema tome nakon množenja varijable s konstantom, parametri Prema tome nakon množenja varijable s konstantom, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:
M’ = aMM’ = aM
V’ = aV’ = a22VV
’’= a = a
aVaVV 2'',
Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .
1.1.44. . DIJELJENJE S DIJELJENJE S KONSTANTKONSTANTOMOM
a
XX '
Budući da se dijeljenje može tretirati kao množenje s Budući da se dijeljenje može tretirati kao množenje s recipročnom vrijednošću, možemo pisati irecipročnom vrijednošću, možemo pisati i
1' XaX
Prema tome nakon dijeljenja s konstantom, parametri Prema tome nakon dijeljenja s konstantom, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:
a
MMaM 1'
212 )('a
VaVV
aa
1)('
2)2) VIŠESTRUKE LINEARNE VIŠESTRUKE LINEARNE TRANSFORMACIJETRANSFORMACIJE
Transformacija rezultata X na skalu z-vrijednosti Transformacija rezultata X na skalu z-vrijednosti definirana je izrazomdefinirana je izrazom
MX
z
2.1.2.1. SKALA Z-VRIJEDNOSTI SKALA Z-VRIJEDNOSTI
Rezultat skaliran u terminima z-vrijednosti Rezultat skaliran u terminima z-vrijednosti pokazuje dvije stvari:pokazuje dvije stvari:
1. da li je rezultat iznad ili ispod prosječan1. da li je rezultat iznad ili ispod prosječan
2. koliko je transformirani rezultat, u terminima 2. koliko je transformirani rezultat, u terminima standardnih devijacija udaljen od aritmetičke sredinestandardnih devijacija udaljen od aritmetičke sredine
Deskriptori skale z-vrijednostiDeskriptori skale z-vrijednosti
Mz = 0, što se može dokazati na sljedeći način:Mz = 0, što se može dokazati na sljedeći način:
a) Aritmetička sredinaa) Aritmetička sredina
N
zM i'
N
MX 1)(
N
NMX )(1
NMXN
XM ,
0
Deskriptori skale z-vrijednostiDeskriptori skale z-vrijednosti
Vz = 1, što se može dokazati na sljedeći način:Vz = 1, što se može dokazati na sljedeći način:
a) Varijancaa) Varijanca
N
MXV i
2)('
N
z i2)0(
N
zi2
N
MX i
21)(
N
MX i221 )()(
N
MX i2
2
)(1
2
2
1
12
2
Za skalu z-vrijednosti vrijede i sljedeći odnosiZa skalu z-vrijednosti vrijede i sljedeći odnosi
z
2z
0
N
N
z 2
V 1
Višestruke linearne transformacije koristimo prilikom Višestruke linearne transformacije koristimo prilikom transformacija rezultata psihološkog mjerenja na skalu transformacija rezultata psihološkog mjerenja na skalu zadanih karakteristika (zadani M i stand. dev).zadanih karakteristika (zadani M i stand. dev).
U općem obliku ta transformacija uvijek sadrži U općem obliku ta transformacija uvijek sadrži množenje s konstantom (korekcija standardne množenje s konstantom (korekcija standardne devijacije i M) i dodavanje konstante (korekcija M), devijacije i M) i dodavanje konstante (korekcija M), dakle u općem obliku možemo pisati:dakle u općem obliku možemo pisati:
2.2.2.2. TRANSFORMACIJA REZULTATA NA SKALU SA TRANSFORMACIJA REZULTATA NA SKALU SA ZADANIM DESKRIPTIVNIM PARAMETRIMAZADANIM DESKRIPTIVNIM PARAMETRIMA
baXx '
Kako transformirati rezultate na skalu sa zadanim Kako transformirati rezultate na skalu sa zadanim parametrimaparametrima
MXX '
1
)(' MXX
'1
)('
MXX
?'?,' M
''1
)(' MMXX
Ukoliko posljednji izraz sredimo dobijamo algoritam za Ukoliko posljednji izraz sredimo dobijamo algoritam za transformaciju individualnog bruto rezultata na novu transformaciju individualnog bruto rezultata na novu ljestvicu sa zadanim M i s.d.ljestvicu sa zadanim M i s.d.
')('
' MMXX
pri čemu je:pri čemu je:
X = bruto rezultat na staroj skaliX = bruto rezultat na staroj skali
X ' = bruto rezultat na novoj skaliX ' = bruto rezultat na novoj skali
' = nova (zadana) standardna devijacija' = nova (zadana) standardna devijacija
= stara standardna devijacija= stara standardna devijacija
M = stara aritmetička sredinaM = stara aritmetička sredina
M ' = nova (zadana) aritmetička sredinaM ' = nova (zadana) aritmetička sredina
Ukoliko transformiramo z-vrijednosti na novu skalu sa Ukoliko transformiramo z-vrijednosti na novu skalu sa zadanim parametrima, onda vrijedizadanim parametrima, onda vrijedi
')('' MzX
pri čemu je:pri čemu je:
zz = = z-vrijednostz-vrijednost
X ' = bruto rezultat na novoj skaliX ' = bruto rezultat na novoj skali
' = nova (zadana) standardna devijacija' = nova (zadana) standardna devijacija
M ' = nova (zadana) aritmetička sredinaM ' = nova (zadana) aritmetička sredina
Neke uobičajene psihologijske ljestvice su:Neke uobičajene psihologijske ljestvice su:
Naziv ljestvice M s.d.
z-vrijednosti 0 1
T-skala (McCall) 50 10
C-skala (Guilford) 5 2
Sten (standard ten) skala 5,5 2
Skala standardiziranih šk. ocjena
3 0.83
Skala devijacionog kvocijenta inteligencije
100 15
3) POSLJEDICE LINEARNIH TRANSFORMACIJA 3) POSLJEDICE LINEARNIH TRANSFORMACIJA NA KOEFICIJENT KORELACIJENA KOEFICIJENT KORELACIJE
Na donjoj slici prikazane su relacije između Na donjoj slici prikazane su relacije između originalne varijable i njezinih linearnih transformacija.originalne varijable i njezinih linearnih transformacija.
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6
x'=2x x'=x+2
x'=x-2
x'=x/2
XYYX rr '
Može se pokazati da za slučaj X’=X+k vrijedi:Može se pokazati da za slučaj X’=X+k vrijedi:
)()(' kMkXdX
yx
iyxxy N
ddr
)(
XX '
)''(' MXdX
yx
iyxyx N
ddr
'
''
)(
yx
y
N
dkMkX
)()(
yx
Y
N
dMX
)(
yx
YX
N
dd
xyr
Kraj druge vježbeKraj druge vježbe
top related