vlakke meetkunde 2 les 7

VLAKKE MEETKUNDE 2studiejaar 1, periode 2, week 7

UITWERKINGEN VOORBEELD 4Bespreken voorbeeld 4, les 6

Voorbeeld 4

HUISWERKBespreken uit §5.4, § 5.5 en tussentoets oefening 22, T-4a t/m c en T-5a

Huiswerk §5.5 opdracht 22Gegeven is een cirkel c(M, r) en een lijn l die c niet snijdt. Teken de conflictlijn. De conflictlijn van een cirkel en een lijn die elkaar niet snijden is een parabool. Maar hoe construeer je die? Het middelpuntpunt M ligt r verder van lijn l, dan de rand van de cirkel. Dus daarom verplaatsen we lijn l ook r verder van de cirkel af. Zo ontstaat lijn n. Nu kunnen we de parabool construeren van het middelpunt M en lijn n. Deze is dus gelijk aan de conflictlijn van de cirkel c en de lijn l.

Huiswerk §5.5 opdracht 22Stappenplan conflictlijn cirkel(M, r) en lijn l:

•Teken door M een loodlijn op l. •Gebruik deze loodlijn om l evenwijdig te vershuiven met een afstand

van r (van de cirkel af). De dan ontstane lijn noemen we lijn n. •Kies een punt A op de richtlijn n. •Teken de loodlijn op n in A. •Teken de lijn MA en de middelloodlijn van MA. •Het snijpunt van de loodlijn en de middelloodlijn is een punt P van de

parabool. •Herhaal deze handeling 5 keer en schets de parabool door de punten.

Huiswerk §5.5 opdracht 22

Huiswerk §5.5 opdracht 22

Huiswerk tussentoets opdracht t-4a

Gegeven is het punt P en de brandpunten F1, F2 van een ellips. Lijn PF1 snijdt cirkel (P, |PF2|) in de punten V en W. De ligging van punt V is zo, dat cirkel (F1, |VF1|) een richtcirkel is van de ellips. Teken de punten V en W. In de opdracht wordt aangegeven hoe je de richtcirkel van de ellips kunt vinden. Dit is slechts één methode. We voeren de stappen hierboven uit: •Teken PF1. •Teken cirkel (P, |PF2|) •Teken de richtcirkel (F1, |VF1|)

(Let op, dit hoefde niet voor de vraag.)

Construeer nog drie punten van de ellips en schets de ellips. De vraag is construeer en dus moet dat netjes met een stappenplan: 1. Kies een punt op de

richtcirkel: R1, R2 en R3. 2. Teken de straal vanuit het

punt op de richtcirkel: F1Rn. 3. Teken de middelloodlijn van

het punt op de richtcirkel en het punt binnen de cirkel dus van de lijnen: PRn.

4. Het snijpunt van de getekende straal en de middelloodlijn is een punt op de ellips: E1 t/m E3.

Huiswerk tussentoets opdracht t-4b

Huiswerk tussentoets opdracht t-4b

Huiswerk tussentoets opdracht t-4c

Cirkel (F2, |WF1|) is de richtcirkel van de hyperbooltak die bij brandpunt F1 hoort. Laat zien dat P op de hyperbooltak ligt. Als P op de hyperbooltak ligt dan moet gelden |d(P, F1) - d(P, F2)| = k d(P, F1) - d(P, F2) = d(P, W) - d(W, F1) - d(P, F2) Maar er geldt ook: d(P, W) = d(P, F2) Dus: d(P, W) - d(W, F1) - d(P, F2) = - d(W, F1) = k.

Huiswerk tussentoets opdracht t-5a

Gegeven zijn twee niet-snijdende cirkels c1(M1, r1) en c2(M2, r2). Bewijs dat de conflictlijn één tak van de hyperbool is. Stel punt P ligt op de conflictlijn van de twee cirkels, dan geldt: d(P, c1) = d(P, c2) Er geldt dan ook: d(P, M1) - r1 = d(P, M2) - r2 En dus: d(P, M1) - d(P, M2) = r1 - r2 = k.

DE SCHADUW6-1kegelsneden

Lang geleden vroeg ik jullie om in de pauze jezelf te laten inspireren door de schaduwen van de lampen. Een gewone lamp projecteert een cirkel op de grond, maar wat is de schaduw van de lamp op de muur? Welke mogelijkheden voor schaduwen zijn er eigenlijk bij een gewone lamp?

Schaduw van de lamp

Een kegel bestaat officieel uit 2 op elkaar staande kegels. Deze kegel kunnen we doorsnijden op verschillende plaatsen. Zo ontstaan alle mogelijke kegelsneden:

Kegelsneden

Een lamp zal dus, afhankelijk van zijn positie en hoek aan de muur, een schaduw hebben die als vorm een lijn of hyperbool is op de muur. Een schaduw in de vorm van een cirkel, ellips, twee snijdende lijnen of een punt komen we op de muur niet tegen als de lamp ook aan de muur is bevestigd (waarom niet?).

Schaduw van de lamp

In het vorige huiswerk hebben jullie bij de constructie van de hyperbool gezien dat je de punten op de cirkel juist moet kiezen, anders kun je geen conflictpunt tekenen:

Asymptoten

Vanaf een zeker moment is er geen snijpunt meer tussen de verlengde straal van de cirkel en de middelloodlijn van A en P1. Dit is het geval vanaf het moment dat deze twee lijnen evenwijdig lopen. Op het moment dat de twee lijnen evenwijdig lopen heb je dus een snijpunt in het oneindige. De middelloodlijn die in dat geval ontstaat is je asymptoot en zal de hyperbool in het oneindige raken/snijden.

Asymptoten

Voor de constructie van de asymptoten gaan we dus deze middelloodlijnen construeren en dat doen we als volgt: •Bepaal het midden S van het lijnstuk dat loopt vanaf het middelpunt M

van de cirkel tot het punt P buiten de cirkel. •Teken de cirkel (S, SP) •De twee snijpunten U en V van de twee cirkels zijn de punten waarbij

de asymptoot hoort. •Construeer nu de middelloodlijn van de lijnstukken UP en VP.

Asymptoten construeren

Gegeven is de cirkel met middelpunt M en een punt P buiten de cirkel. Teken de conflictlijn en de bijbehorende asymptoten van deze conflictlijn.

•Bepaal het midden S van het lijnstuk dat loopt vanaf het middelpunt M van de cirkel tot het punt P buiten de cirkel.

•Teken de cirkel (S, SP) •De twee snijpunten U en V

van de twee cirkels zijn de punten waarbij de asymptoot hoort.

•Construeer nu de middelloodlijn van de lijnstukken UP en VP.

Voorbeeld 1

Voorbeeld 1

HET LAATSTE DAT JE ZAL RAKEN6-2 Raaklijneigenschappen

We hebben geleerd hoe we met bepaalde gegevens een parabool, ellips of hyperbool kunnen construeren. We doen dit door gebruik te maken van loodlijnen (of (verlengde) stralen) en middelloodlijnen. Hiermee construeren we punten van de kegelsneden. Maar wat is de raaklijn in deze punten?

Raaklijnen

2

De raaklijn van een parabool vindt je al wanneer je een punt aan de parabool aan het construeren bent. De raaklijn aan een punt R op de parabool is namelijk gelijk aan de middelloodlijn van het lijnstuk FV, waarbij F het brandpunt is en V hetvoetpunt op de richtlijn. In punt R geldt dat de hoek van FR met de parabool gelijk is aan de hoek van de raaklijn met het lijnstuk FR en gelijk is met de hoek tussen de raaklijn en lijnstuk RV.

De raaklijn van een parabool

De raaklijn van een ellips kun je met of zonderde richtcirkel construeren. Wanneer je de richtcirkel (F1, |F1P|) hebt (getekend), dan vindt je de raaklijn door R door de middelloodlijn van F2P te tekenen.Dit is dan direct de raaklijn. Deze lijn teken je ook bij het construeren van de ellips. Wanneer je de richtcirkel niet hebt, dan vindtje de raaklijn door R door eerst de bissectrice van hoek F1RF2 te tekenen. Daarna teken je loodlijn op de bissectrice door R. Dit is de raaklijn.

De raaklijn van een ellips

2

Gegeven is de ellips met de brandpunten F₁ en F₂ en het punt R op de ellips. Teken de richtcirkel, waarna je vervolgens de raaklijn aan de ellips in punt R construeert. (Let op construeren is nummeren en uitleg geven!)

Voorbeeld 2

Voorbeeld 2

Voorbeeld 21. Teken de lijn door de brandpunten. 2. Pas de afstand BF2 om zo krijg je D. 3. Teken de cirkel (F1, F1D). 4. Teken de lijn F1R. Het snijpunt met

de richtcirkel is P. 5. Teken de middelloodlijn van F2P.

1

2

3

45

De raaklijn van een hyperbool kun je met of zonder de richtcirkel construeren. Wanneer je de richtcirkel (F2, |F2P|) hebt (getekend), dan vindt je de raaklijn door R door de middelloodlijn van F1P te tekenen.Dit is dan direct de raaklijn. Deze lijn teken je ook bij het construeren van de hyperbool. Wanneer je de richtcirkel niet hebt, dan vindtje de raaklijn door R door de bissectrice van hoek F1RF2 te tekenen. Dit is direct de raaklijn.

De raaklijn van een hyperbool

Gegeven is de hyperbooltak met de brandpunten F₁ en F₂ en het punt P op de hyperbool. Construeer de raaklijn door het punt P aan de hyperbool, zonder eerst de richtcirkel te tekenen. (Let op construeren is nummeren en uitleg geven!)

Voorbeeld 3

Dit is de bissectrice van de hoek F1PF2. Dus de constructie bestaat uit 1 stap: construeer de bissectrice van hoek F1PF2.

Voorbeeld 3

Huiswerk

Maken:

§6-1 opdrachten 2, 4 t/m 6.

§6-2 opdrachten 7 t/m 12.