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Spannungsverteilung bei Biege-, Torsion- und Querkraftbelastung
14. Oktober 2015
14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 1
Vorlesung 151-3207-00L Leichtbau, HS 2015
Stabförmige Tragwerke
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 2
Einführung, allgemeine Beziehungen für stabförmige Tragwerke
Ergänzungen zur Biegung des geraden Balkens
Torsion: Einleitung, Grundbegriffe
Leitfaden
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 3
Allgemeines über stabförmige Tragwerke
Die Länge L ist viel grösser als die übrigen
Abmessungen
Querschnittsgestalt bleibt in x-Richtung
konstant (zylindrischer Stab).
Dünnwandige Stäbe: Dicke ist klein
gegenüber den übrigen Abmessungen
Es gelten die Voraussetzungen der linearen
Elastizitätstheorie
Material ist homogen und isotrop.
Verformungen sind rein elastisch.
Querschnittsgestalt ändert sich unter
Belastung nicht. Die spezifische Verdrehung
ist klein.
Kräfte werden senkrecht zur Oberfläche
über Versteifungen eingeleitet
Die Querkräfte gehen über den
Schubmittelpunkt
a
b
t
Geometrie Voraussetzungen und Annahmen
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 5
Richtungskonvention
Normalkräfte sind positiv, wenn sie Zugspannungen im
Querschnitt zur Folge haben. Positive Normalspannungen sind
Zugspannungen
Momente sind positiv, wenn sie in Bereichen mit positivem
Abstand von den Hauptträgheitsachsen Zugspannungen
hervorrufen. Mz ist somit positiv in negative Richtung der Z-Achse.
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 6
Spannungen in dünnen Stäben
Mit der Einführung von sog. Kraftflüssen lassen sich Normal- und Schubspannungen
unabhängig von der Wanddicke darstellen.
Die Richtung des Schubflusses q(s) ist von der Umlaufkoordinate abhängig:
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 7
Kräftegleichgewicht
xy
z
)s(t
L
dx
ds
qdx
dsnx
ds)dxx
nn( x
ds)dxx
qq(
qds
dx)dss
qq(
dxns
dx)dss
nn( s
s
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 8
Folgerungen
.)(0
0
constxqx
q
s
q
x
nx
Am Stabelement tritt kein Normalfluss ns in
Umfangsrichtung auf.
Der Schubfluss q bleibt in x-Richtung
konstant.
Der Schubfluss q ändert sich in
Umfangsrichtung im reziproken Masse zur
Zu- oder Abnahme des Längeskraftflusses
nx in x-Richtung
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 9
Elementare Biegetheorie: Voraussetzungen
Querschnitte des Balkenträgers bleiben bei der Verformung des Trägers
infolge Biegebelastung (Bernoullische Hypothese):
– eben
– senkrecht zur Biegeachse
– in ihrer Geometrie unverändert
Folgen:
– Dehnungen in Balkenachsenrichtung sind linear verteilt über den Querschnitt
– Spannungen in Balkenachsenrichtung sind linear verteilt über den Querschnitt
– Querkontraktion ist nicht behindert
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Kinematische Relation des schubnachgiebigen Balkens
14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 11
Einfluss der Schubdeformation
z
u(z)=z
=w'
w
w
=w'
Schubtheorie erster Ordnung:
nimmt Ebenbleiben der Querschnitte an
Querschnitte verdrehen sich gegenüber
der Mittelebene
Querschnittsverdrehung und das
Negative der Neigung der Biegelinie
und differieren um den Schubwinkel
w
w
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 12
Abschätzung für einen eingespannten Balken
x
z
l
th
x
GA
EJxlx
EJ
Qxw
Eff
y
y
z
62)(
32
6.22.1
78.013
)(
23
G
EAAmit
l
hl
EJ
Qlw Eff
y
z
l/h 1 2 3 4 5 6
Fehler % 78 20 9 5 3 2
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 13
Abschätzung für einen eingespannten Balken
x
z
l
th
l/h 1 2 3 4 5 6
Fehler % 78 20 9 5 3 2
| |
Einführung, allgemeine Beziehungen für stabförmige Tragwerke
Ergänzungen zur Biegung des geraden Balkens
Schubspannungsverteilung bei Querbelastung
Torsion: Einleitung, Grundbegriffe
Torsion geschlossener dünnwandiger Profile
Torsion offener dünnwandiger Profile
14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 14
Leitfaden
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 15
Allgemeine Biegung
Für die Komponenten v,w der
Verschiebung s gilt:
Die zweifache Ableitung führt zu:
Mit:
Folgt:
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 17
Abstand des Flächenelements 𝒅𝑨 von der
neutralen Achse
y
z
xg
g
g
dA
dAy
dAz
dAzgcos
dAygsin
dA
dA
y
z
g
gx
sin
cos
-
=
N
| |
Mit:
Folgt:
14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 18
Gleichgewichtsbedingungen
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Einführen von Biegesteifigkeiten
folgt:
für die Axialspannung gilt:
14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 19
Spannungsverteilung infolge
Biegebeanspruchung
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 20
Elementargleichungen der Balkenbiegetheorie
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 22
Zusammenfassung wichtiger Flächenintegrale
0. Ordnung Fläche
1. Ordnung Statische Momente
Schwerpunkt (statische Momente verschwinden)
2. Ordnung Fächenträgheitsmomente
dAA
ydASzdAS zy ,
yzdAI
dAyI
dAzI
yz
z
y
2
2
z
y S
yos
z0
y0
zos
dA
y
z
Steiner‘scher Satz:
AzyII
AyII
AzII
ososyzyz
oszz
osyy
o
o
o
2
2
A
Sz
A
Sy
y
osz
os ,
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 23
Schiefer Träger mit aufgelöstem Querschnitt
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 24
Schiefer Träger mit aufgelöstem Querschnitt
1
2 3
4
z
y My
Mz
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 25
Koordinatenbezeichnungen
y
z
kz0
Sz0
kSz
Syy 0-
Szz 0-
0S
kS
Skks yyy 00 -=
Skks zzz 00 -=
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 26
Spezialfall: Profil mit aufgelöstem Querschnitt
Als weiterer Spezialfall sei der aufgelöste Querschnitt behandelt, ein
Querschnitt der aus n einzelnen Querschnitten A1, . . . , An besteht.
Schwerpunktskoordinaten
Flächenträgheitsmomente
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 27
Anwendungsbeispiel: Schiefer Kasten unter
Biegebeanspruchung
My: 1.76 106 N.cm
Mz: 7.0 105 Ncm
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 28
Bestimmung des Schwerpunktes und der
Flächenträgheitsmomente
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 30
Leitfaden
Einführung, allgemeine Beziehungen für stabförmige
Tragwerke
Ergänzungen zur Biegung des geraden Balkens
Schubspannungsverteilung bei Querbelastung
Torsion: Einleitung, Grundbegriffe
Torsion geschlossener dünnwandiger Profile
Torsion offener dünnwandiger Profile
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 31
FEM Analyse: Eingespannter Balken mit
Rechteckquerschnitt
mm
rad
GJ
M t 510975.3
22max 3.1011
mm
N
ba
M t
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 32
Torsion kreisförmiger Stäbe
tMxy
AA
Ar
d
dx
z
tMx
yr
z
Torsionswiderstand:
Torsionssteifigkeit:
Maximale Schubspannung:
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 33
Torsion von Stäben mit beliebigem Querschnitt
x
y
z
dyyyx
yx
¶
¶+
tt
dzzzxzx
¶
¶+
tt
dxxxy
xy
¶
¶+
tt
dxxxzxz
¶
¶+
tt
x
y
z
xsxz tt =
s
xstxsxy tt -=
xsxs G
Kinematik: Werkstoffgesetz: Gleichgewicht am Volumenelement:
00
xxzy
xzxyxzxy
y
z
r
xz
xy
xs
0
0
0),(
yzzyx
yzzyx
x zyu
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 34
Torsion von Stäben mit beliebigem Querschnitt
Kinematik: Gleichgewicht am Volumenelement:
00
xxzy
xzxyxzxy
xy
z
r
xz
xy
xs
;
xsxs G
Werkstoffgesetz: Spannungsfunktion von Prandtl:
yxzzxyyz
,,
Verträglichkeit (Kinematik):
2,, yxzzxy
Gyxzzxy 2,,
G
Gyyzz
2
2,,
2
Potentialgleichung
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 35
Torsion von Stäben mit beliebigem Querschnitt
s
ds
-dy
dz
n
xy
xz
z
y
z
y
Gleichgewicht der Spannungsverteilung
mit äusserem Moment:
A
yz
A
xzxy
A
xst dydzyzdydzyzdAM ,,
Natürliche Randbedingung auf Zylinderoberfläche:
Rand ist schubspannungsfrei
0
0),cos(,),cos(,
0),cos(),cos(
Rand
yz
xzxy
znyn
znyn
Partielle Integration:
A
t dAM 2
ARA
y
ARA
z
dydzdzydydzy
dydzdyzdydzz
,
,
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 36
Torsion von Stäben mit beliebigem Querschnitt
Berechnung des Flächenträgheitsmomentes:
G
MJGJM t
ttt
A
t dAM 2
22
2
12 GG
2
4 dA
G
MJ t
t
Flächenträgheitsmoment bei Torsion (St. Venant):
Membran-Analogie nach Prandtl
Querschnitt des Torsionsstabes
= Öffnung der Platte mit Seifenhaut
Rauminhalt der Seifenhaut
= proportional zu Torsionsmoment
Schubspannungsrichtung
= Richtung der Tangente an
Höhenlinie
Schubspannungsbetrag
= Gradient der Höhenlinien
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 37
Zur Lösung des Torsionsproblems
Analytische Lösung
Wahl einer „geeigneten“
Ansatzfunktion
Problem: Die Lösung ist nur für
einfache Profile möglich
Lösung der quasiharmonischen
DGl.
Ermittlung der gesuchten
Spannungsverteilung,....
Membrananalogie
Die Membrananalogie liefert die
Beziehungen zwischen einer auf
dem Profil aufgespannten Membran
unter Innendruck und dem
verformten Balken
Kombinierter
Ansatz zur Lösung
von reellen
Problemen
| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 38
Analytische Lösung für einfache Profile: Ellipse
Ansatzfunktion:
Einsetzen:
max
a a
b
b
max
1,
22
0b
z
a
yzy
22
22
0ba
baG
1,
22
22
22
b
z
a
y
ba
baGzy
22
22
ba
zaGxy
22
22
ba
ybGxz
22
33
ba
baGM t
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Analytische Lösung für einfache Profile:
Rechteck
max
a
b
NmmM
mm
NG
b
a
t
6
2
10.50
27500
100
200
5,3,1n,mb
zncos
a
ymcoscz,y
m n
mn
5,3,1n,mJG
b
n
a
mnm
1Gba
256M
m n
22
22
6t
5,3,1n,m
na
bmnm
1256mitbaJ
m n 2
2
222
6
3
5,3,1,13211
2
2
2
2
1
32max
nm
na
bmm
mitba
M
m n
m
t
Ansatzfunktion:
Einsetzen:
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