vorlesung compilertechnik sommersemester 2009 optimierung m. schölzel
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Vorlesung CompilertechnikSommersemester 2009
Optimierung
M. Schölzel
2
Einbettung der Optimierung in den Compiler
Gründe für die Optimierung: Vom Frontend generierter Zwischencode ist ineffizient, da er aus der
Struktur des Quellprogramms entstanden ist und sich nicht an der Zielarchitektur orientiert.
Programmierer schreiben "verbesserungsfähigen" Quellcode.
ParserQuell-text
Quell-text Scanner
Zwischencode und
Symbol- tabelle
Zwischencode und
Symbol- tabelle
Ziel-code
Ziel-code
Zielcode-erzeugung
Zielcodeunab-hängige
Optimierungen
Kontext-prüfung
ZielcodeabhängigeOptimierungen
Frontend
Backen
d
3
Klassifizierung der Optimierung
Eliminierung redun-danter Berechnungen,Berechnung konstanter
Ausdrücke, Codeverschiebung
Lokal Global
Masc
hin
enunabhängig
Masc
hin
enabhängig
Registerplanung
Eliminierung redun-danter Berechnungen,Berechnung konstanter
Ausdrücke
Registerplanung,Zielcodeauswahl
4
Grundbegriffe (1)
S = (N,E,q,s) sei ein Steuerflussgraph. N = {b0,…,bn} sind die Basisblöcke im Steuerflussgraphen, wobei
ir0(bi),…,ir#(bi)(bi) die Folge der 3-Adress-Code-Anweisungen in bi
ist. Über b0 = q wird S betreten und über b1 = s (z.B. return)
verlassen. Eine Programmposition ist ein Tupel (i,j) wobei damit die Position
unmittelbar vor der 3-Adress-Code-Anweisung irj(bi) gemeint ist. Mit (0,0) wird Startposition und mit (1,0) Stoppposition
bezeichnet. Ein Pfad im Steuerflussgraphen von Programmposition (i,j) zur
Programmposition (m,n) ist eine Folge 0,…,k von 3-Adress-Code-Anweisungen, für die gilt:
0…k kann in 3-Adress-Code-Folgen 0…c = 0…k zerlegt werden, so dass:
z = ir0(baz)…ir#(baz)
(baz) für 1 z < c und
(0 = irj(ba0)…ir#(ba0)
(ba0) und c = ir0(bac
)…irn-1(bac) falls c > 0) oder
(0 = irj(ba0)…irn-1(ba0
) falls c = 0) und (ba0
, ba1),(ba1
, ba2),…,(bac-1
, bac) E
5
Beispiel
0: Function f: 1: t0 := 1 2: fak = t0 3: while_0_cond: 4: t1 := n 5: t2 := 0 6: t3 := t1 > t2 7: t4 := not t3 8: if t4 then while_0_end 9: t5 := fak10: t6 := n11: t7 := t5 * t612: fak := t713: t8 := n14: t9 := 115: t10 := t8 – t916: n := t1017: goto while_0_cond18: while_0_end:19: t11 := fak20: return t11
t0 := 1
fak = t0
t1 := n
t2 := 0
t3 := t1 > t2
t4 := not t3
if t4 then 21
t11 := fak
f = t11
t5 := fak
t6 := n
t7 := t5 * t6
fak := t7
t8 := n
t9 := 1
t10 := t8 – t9
n := t10
0
3
4
6
7
8
10
return f
21
22
1
9
11
12
13
14
15
16
17
18
6
……
Qualität des Modells
Steuerflussgraph modelliert alle möglichen Abarbeitungspfade des Programms, unabhängig davon, ob alle diese Pfade bei der Ausführung des Programms betreten werden können.
Falls Turingmaschine i auf Eingabe i nach n Schritten stoppt, dann gibt es eine Eingabe n, so dass 4 nach 2 ausgeführt wird, sonst nicht.
if (TMi(i)n) then 4
Eingabe von n0
2
3 4
…1
7
Grundbegriffe (2)
Verwendung einer Variablen v:Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung iri(j) verwendet, falls iri(j) eine der Formen x := v, x := v, x := y v, x := v y, x := @v, @v := x, return v, if v then goto label, x := (Type) v, x := call f(…,v,…) hat.
Definition einer Variablen v:Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung iri(j) definiert, falls iri(j) eine der Formen v := … hat.
Eine definierende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v definiert.
Eine verwendende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v verwendet.
Erreichende Definition: Die Definition einer Programmvariablen v erreicht eine Verwendung von v, falls es einen Pfad im Steuerflussgraphen von dieser Definition zur Verwendung gibt, auf dem keine andere Definition von v liegt.
8
Beispiel Erreichende Definitionen
t0 := 1
fak = t0
t1 := n
t2 := 0
t3 := t1 > t2
t4 := not t3
if t4 then while_0_end
0
3
4
6
7
8
10
9
Definition zu einer Verwendung ist in unverzweigtem Steuerfluss einfach zu
finden.
t0 := 1
fak = t0
t1 := n
t2 := 0
t3 := t1 > t2
t4 := not t3
if t4 then while_0_end
t11 := fak
kgv = t11
t5 := fak
t6 := n
t7 := t5 * t6
fak := t7
t8 := n
t9 := 1
t10 := t8 – t9
n := t10
0
3
4
6
7
8
10
return kgv
21
22
1
9
11
12
13
14
15
16
17
18
Definition zu einer Verwendung ist bei Verzweigungen im Steuerfluss schwieriger zu finden.
9
Grundidee Datenflussanalyse am Beispiel der Erreichenden Definitionen
t1 := 1
t1 := n
t3 := t1 > t2
if t3 then while_0_end
Es gibt eingehende Informationen I in einen Knoten: I = in(2)
Durch die Anweisung(en) in einem Knoten werden Informationen
zerstört: I := I – Kill(2)
Durch die Anweisung(en) in einem Knoten werden neue Informationen
generiert: I := I Gen(2)
0
1
2
t2 := 2
Es entstehen ausgehende Informationen an einen Knoten: out(2)
3
4
in(2) = {(t2,0),(t1,1)}
out(2) = {(t2,0),(t1,2)}Gen(2) = {(t1,2)}
Kill(2) = {(t1,i) | i }
10
Transferfunktion für einen Basisblock
Steuerfluss in einem Basisblock i mit den Anweisungen ir0(i),…,ir#i(i) ist bekannt.
Damit ist die Transferfunktion für diesen Basisblock:
Vereinfachung der Transferfunktion zu out(i) = (in(i) – kill(i)) gen(i).
t1 := 1
t1 := n
t3 := t1 > t2
if t3 then while_0_end
0
1
2
t2 := 2
3
4
0 0 1 0 # #( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))i iout i in i Kill ir i Gen ir i Kill ir i Gen ir i Kill ir i Gen ir i= - È - È - - ÈK
in(i)
- Kill(0) Gen(0)
- Kill(1) Gen(1)
- Kill(2) Gen(2)
- Kill(3) Gen(3)
- Kill(4) Gen(4)
out(i)
11
Datenflussanalyse bei Verzweigungen im Steuerflussgraphen
Ausgehende Informationen out(i) gelangen zu jedem Steuerflussnachfolger von i.
Treffen Informationen von mehreren Steuerflussvorgängern zusammen, müssen diese zu einer eingehenden Information zusammengefasst werden.
…t3 := t1 + t2…
…t0 := t1 – t9…
…t2 := t3 * t5…
Transformiert eingehende Informatione
n
Ausgehende Informationen
II
I
Hier müssen Informationen
kombiniert werden
Transformiert eingehende Informatione
n
Transformiert eingehende Informatione
n
12
Grundprinzip Datenflussanalyse
Informationen I breiten sich entweder mit oder gegen den Steuerfluss aus.
Für jeden Knoten b gibt es: Eingehenden Informationen: in(b), ausgehende Informationen: out(b), erzeugte Informationen: gen(b), zerstörte Informationen: kill(b).
Abhängig von der Ausbreitungsrichtung der Informationen sind: Vorwärtsanalyse:
in(b) = out(b1) out(b2) … out(bn), wobei die bi die Steuerflussvorgänger von b sind und
out(b) = (in(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt) Rückwärtsanalyse:
out(b) = in(b1) in(b2) … in(bn), wobei die bi die Steuerflussnachfolger von b sind und
in(b) = (out(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt) Durch den Steuerflussgraphen wird eine Mengengleichungssystem
definiert. Falls der Steuerflussgraph Zyklen enthält, ist das
Mengengleichungssystem rekursiv; Lösung durch Fixpunktiteration.
13
Information Erreichende Definitionen
An einer Programmposition (i,j) interessiert für eine Variable v, an welchen Programmpositionen der Wert der Variablen v definiert und bis zur Position (i,j) nicht mehr verändert wurde.
Menge aller Informationen: (()V) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {((i,j),v) | irj(i) ist letzte Definition von v in bi} kill(bi) := {((m,n),v) | m, n und bi enthält eine Definition von v}
t0 := at1 := bt2 := t0 + t1
t0 := t2 – t0t0 := b
t3 := t2t4 := t3 * t2t2 := t2 – t4
in(b2) =
in(b3) =
in(b4) =
in(b1) = gen(b3) = {((3,1),t0)}
kill(b3) = {((m,n),t0)}
gen(b4) = {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}
kill(b4) = {((m,n),t3), ((m,n),t4), ((m,n),t2)}
gen(b2) = {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}
kill(b3) = {((m,n),t0), ((m,n),t1), ((m,n),t2)}
out(b0) =
out(b2) =
out(b3) =
out(b4) =
{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}
{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}
{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}
{((3,1),t0)}
{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}
{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}
{((3,1),t0)}
{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}
{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}
{((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0)}
{((2,0),t0), ((2,1),t1)}
{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}
{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}
{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}
{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}
{((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0), ((2,0),t0),
((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}
b2
b3 b4
b1
b0
14
Information Lebendige Variablen
An einer Programmposition (i,j) interessiert für eine Variable v, ob es einen Pfad zu einer Programmposition gibt, an der v verwendet wird, ohne auf diesem Pfad definiert zu werden.
Menge aller Informationen: (V) Rückwärtsanalyse mit := gen(bi) := {v | irj(i) ist Verwendung von v und für alle 0 k < j gilt: irk(i) ist keine Definition
von v} kill(bi) := {v | v wird in bi definiert}
t0 := at1 := bt2 := t0 + t1
t0 := t2 – t0t0 := b
t3 := t2t4 := t3 * t2t2 := t2 – t4
gen(b3) = {b, t2, t0}
kill(b3) = {t0}
gen(b4) =
kill(b4) =
gen(b2) = {a,b}
kill(b2) = {t0,t1,t2} gen(b4) = {t2}
kill(b4) = {t2,t3,t4}
in(b0) = in(b2)
in(b2) = (in(b3) in(b4) – kill(b2)) gen(b2)
in(b3) = (in(b1) – kill(b3)) gen(b3)
in(b4) = ((in(b4) in(b1)) – kill(b4)) gen(b4)
b2
b3 b4
b1
b0
15
Kopier- / Konstanten-Popagierung
Ersetze die Verwendung der Variablen y in einer Anweisung iri(j) durch z falls: auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine
Anweisung irn(m) = "y := z" existiert und es auf allen Pfaden von Positionen (m,n+1) zur Position (j,i) keine definierende
Anweisung für y und z gibt. Nach der Ersetzung kann es sein, dass die Variable y nicht mehr benutzt wird. z darf eine Variable (copy propagation) oder Konstante (constant propagation)
sein. Constant Folding: Ersetze Zwischencodeanweisungen der Form x := y z bzw.
x := z durch x := k, falls y und z konstant sind und k das Ergebnis der Operation ist.
t0 := 7x := t0t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3
t0 := 8y := t0
t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3
t0 := yt1 := x
y darf durch t0 ersetzt werdeny darf nicht
durch t0 ersetzt werden
16
Information für Kopier-/Konstanten-Propagierung
Berechnung der Information Erreichende Kopien RC(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:
Menge aller Informationen: ({x:=y | x:=y ist Kopierbefehl im Programm}) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {x:=y | x:=y ist Zwischencodebefehl irk(bi) und in allen Zwischencodebefehlen
irk+1(bi)… ir#bi(bi) wird weder x noch y definiert}
kill(bi) := {x:=z | x wird in Block bi definiert und x:=z ist Kopieranweisung im Programm} {z:=x | x wird in Block bi definiert und z:=x ist Kopieranweisung im Programm}
t0 := 7x := t0t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3
t0 := 8y := t0
t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3
t0 := yt1 := x
2:
1:
3: 4:
"t0:=8","y:=t0"
"t0:=8","y:=t0"
"t1:=x","t2:=y","z:=t3"
17
Kopier-/Konstanten-Propagierung im Basisblock
In einem Basisblock b wird die Verwendung von x in Anweisung i durch y ersetzt, falls:
x := y in(b) und in allen Anweisungen k mit 0 k < i weder x noch y definiert werden oder
Anweisung j < i die Form x := y hat und in allen Anweisungen k mit j < k < i weder x noch y definiert werden.
Diese Ersetzung muss gegebenenfalls wiederholt werden, bis keine weiteren Ersetzungen möglich sind.
t0 := 7x := t0t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3
t0 := 8y := t0
t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3
t0 := yt1 := x
2:
1:
3: 4:
"t0:=8","y:=t0"
"t0:=8","y:=t0"
"t1:=x","t2:=y","z:=t3"
t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := yt3 := 7 + yz := t3
t0 := 8y := 8
t1 := xt2 := t0t3 := t1 + t2z := t3
t0 := yt1 := x
2:
1:
3: 4: t1 := xt2 := 8t3 := x + 8z := t3
Erneute Informationssammlung ergibt, dass y durch 8 ersetzt werden darf
18
Eliminierung toten Codes
Eine Zwischencodeanweisung iri(j) = "x := e" kann aus dem Zwischencode entfernt werden, falls
für alle Programmpositionen (m,n) an denen x verwendet wird und alle Pfade von (j,i+1) nach (m,n) gilt: x wird auf diesen Pfaden definiert. Dabei ist e ein beliebiger Ausdruck des Zwischencodes oder
kein Pfad von (0,0) nach (j,i) existiert. Es kann neuer toter Code entstehen.
t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15
t0 := 8y := 8
t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3
t0 := 8t1 := x…
2:
1:
3: 4:
Kann gestrichen werden.
Darf nicht gestrichen werden.
19
Information zur Eliminierung toten Codes
Berechnung der Information Lebendig: LE(x) = out(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:
Menge aller Informationen: (V) Rückwärtsanalyse mit := gen(bi) := {v | irj(i) ist Verwendung von v und für alle 0 k < j gilt: irk(i) ist keine Definition von
v} kill(bi) := {v | v wird in bi definiert}
t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15
t0 := 8y := 8
t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3
t0 := 8t1 := x…
2:
1:
3: 4:
"x"
"x" "x"
20
Eliminierung toten Codes im Basisblock
Entferne die Anweisung x := expr an Position i im Basisblock b, falls: x an Position j > i definiert wird und für alle Anweisungen irk(b) mit i < k j gilt: irk(b) verwendet
x nicht oder x out(b) und in keiner Anweisung irk(b) mit i < k < #b wird x verwendet.
Durch das Entfernen einer Anweisung x := expr entfällt die Verwendung der Variablen in expr.
Konsequenz: Wiederholung der Eliminierung toten Codes erforderlich.
t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15
t0 := 8y := 8
t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3
t0 := 8t1 := x…
"x"
2:
1:
3: 4:
"x" "x"
x := 7t1 := x
t3 := t1 + 8x := t3
t0 := 8t1 := x…
2:
1:
3: 4:
21
Weitere Anwendung der Information Lebendig
Registerallokation: Treffen der Spill-Entscheidung in Basisblöcken. Bestimmung der zu sichernden Variablen am
Ende eines Basisblocks. Globale Registerallokation durch Graphfärbung:
Konstruktion eines Interferenzgraphen Variablen sind Knoten Eine Kante zwischen zwei Knoten existiert gdw. es eine
Programmposition gibt, an der beide Variablen lebendig sind.
Färbung des Interferenzgraphen liefert eine Registerallokation (Jede Farbe entspricht einem Prozessorregister).
Details…
22
Globale Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke
Die Zuweisung iri(j) = "x := e" mit dem Ausdruck e kann durch x := t ersetzt werden, falls: auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine Anweisung
irn(m) = "y := e" existiert und es auf allen Pfaden von Positionen (m,n) zur Position (j,i) keine definierenden Anweisungen für die
Verwendungen in e gibt und an allen Positionen (m,n+1) die Anweisung "t := y" eingefügt wird.
Konsequenz: Es entstehen neue Kopierbefehle.
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * j
m := 5 * yn := 6 * jx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
Hier darf 6 * j ersetzt werden.
Hier darf 6 * j nicht ersetzt werden.
23
Information zur globalen Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke
Berechnung der Information Verfügbare Ausdrücke AE(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:
Menge aller Informationen: ({e | e ist Ausdruck in einem Zwischencodebefehl}) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {e | irj(i) hat die Form x := e und für alle j k < #bi gilt: irk(i) definiert keine in e
verwendete Variable} kill(bi) := {e | Variable im Ausdruck e wird in bi definiert}
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * j
m := 5 * yn := 6 * jx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
2:
1:
3: 4:
4*i, 6*j
6*j
24
Globale Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke in Basisblöcken
Ersetze die Anweisung x := e an Position i im Basisblock b durch x := t falls: die Anweisung irj(b) die Form y := e hat und j < i und für alle Anweisungen irk(b) mit j k < i gilt: irk(b)
definiert keine Variable, die in e verwendet wird oder e in(b) und in keiner Anweisung irk(b) mit 0 k < i wird eine Variable definiert, die in e verwendet
wird. Nach den Anweisungen y := e, die e berechnen, wird t := e eingefügt (t ist neue
Variable). Durch Ersetzung mit x := t entstehen neue Kopieranweisungen. Konsequenz: Wiederholung der Copy-/Constant-Propagation erforderlich.
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * j
m := 5 * yn := 6 * jx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
2:
1:
3: 4:
4*i, 6*j
6*j
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * jt := x
m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
25
Entfernen schleifeninvarianter Berechnungen
Es sei L die Menge der Knoten des Steuerflussgraphen, die auf einem Zykel liegen und d L der einzige Knoten der nicht zu L gehört und eine Kante zu einem Knoten in L besitzt (d dominiert L).
Eine Anweisung iri(j) = "x := e" kann im Block bj L durch x := t ersetzt und am Ende des Blocks d t := e eingefügt werden, falls kein Block in L eine Definition einer Verwendung in e enthält.
Um eine spekulative Ausführung von e zu vermeiden, Einfügen eines neuen Basisblocks auf der Kante von d nach L und Einfügen von t := e in diesen neuen Basisblock.
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * jt := x
m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
5*y ist schleifeninvariant
i und x sind nicht schleifeninvariant
26
Informationen zum Finden schleifeninvarianter Berechnungen
Berechnung der Information Erreichende Definiton RD(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:
Menge aller Informationen: (()V) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {((i,j),v) | irj(i) ist letzte Definition von v in bi} kill(bi) := {((m,n),v) | (m,n) ist Programmposition und bi enthält eine Definition von v}
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * jt := x
m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
2:
1:
3: 4:
((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t)
((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t),((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i)
((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t),((3,0),j),((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i)
27
Entfernen schleifeninvarianter Berechnungen in L
Finde in L Anweisungen der Form x := e, wobei e nur Konstanten und Variablen v enthält, die außerhalb der Blöcke von L definiert wurden.
Ersetze x := e durch x := inv (inv ist neue Variable) und füge am Ende von d die Anweisung inv := e ein.
Es entstehen neue Kopieranweisungen. Konsequenz: Wiederholung von Konstanten- und Kopierpropagierung.
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * jt := x
m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
2:
1:
3: 4:
((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t),((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i)
j := j +1
y := 4 * ix := 6 * jt := xinv := 5 * y
m := invn := tx := x * 5i := i + 1
n := 6 * jm := i + 1
28
Weitere Anwendung der Information Erreichende Definitionen
Erkennung der Benutzung einer Variablen vor ihrer Definition.
Definiere out(b0) := {((0,0),v) | v hat Verwendung im Steuerflussgraph}.
Berechne Erreichende Definitionen. Falls bei einer Verwendung von v die Information
((0,0),v) vorhanden ist, dann kann es einen Pfad zu dieser Verwendung geben, auf dem v nicht initialisiert wird.
29
Strength-Reduction in Schleifen
Es sei L die Menge der Blöcke einer Schleife und d der Schleifenkopf (Dominator von L) Suchen einer Variablen i (Induktionsvariablen), die in jedem Schleifendurchlauf um eine Konstante c
erhöht wird. Suchen nach einer Berechnung y := f(i), wobei f(i + c) – f(i) = di Statt f(i) in jeder Iteration zu berechnen, wird in jeder Iteration zu y di addiert.
j := j +1
i := 0y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'
z := x * ii := i + 2…
n := 6 * jm := i + 1
i ist Induktionsvariable und x schleifeninvariant. Dann wird
z in jeder Iteration um 2*x größer.
30
Strength-Reduction im Schleifenkörper
Finden von Anweisungen der Form z := inv i oder z := i inv, wobei i eine Induktionsvariable ist, die in jedem Schleifendurchlauf um cexpr erhöht wird und inv schleifeninvariant ist.
Füge am Ende von d ein: dz := inv cexpr und nz := inv i
Im Schleifenkörper : Füge nach der Anweisung i := i + cexpr die Anweisung nz := nz + dz ein und ersetze z := inv i durch z := nz.
Dadurch kann nz selbst wieder zu einer Induktionsvariablen werden. Konsequenz: Wiederholung der Strength-Reduction.
j := j +1
i := 0y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'
z := x * ii := i + 2…
n := 6 * jm := i + 1
j := j +1
i := 0y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'dz := x * 2nz := x * i
z := nznz := nz + dzi := i + 2
n := 6 * jm := i + 1
i ist Induktionsvariable und x schleifeninvariant. Dann wird
z in jeder Iteration um 2*x größer.
nz und z sind
Induktions-variable.
31
Komplexbeispiel: Matrixmultiplikation
for(i = 0; i < n; i = i+1) {
for(j = 0; j < n; j = j+1) {
c[j][i] = 0.0;
for(k = 0; k < n; k = k+1) {
c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i]
}
}
}
innerLoop: t0 := &c t1 := j t2 := n t3 := t1*t2 t4 := i t5 := t3+t4 t6 := t0+t5 t7 := @t6 t8 := &a t9 := j t10:= n t11:= t9*t10 t12:= k t13:= t11+t12 t14:= t8+t13 t15:= @t14 t16:= &b t17:= k t18:= n t19:= t17*t18 t20:= i t21:= t19+t20 t22:= t16+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t26 := &c t27 := j t28 := n t29 := t27*t28 t30 := i t31 := t29+t30 t32 := t26+t31 @t32:= t25
Quelltext für Matrixmultiplikation:
Erz
eu
gte
r Z
wis
ch
en
cod
e
32
Konstanten- und Kopierpropagierung und Eliminierung toten CodesinnerLoop: t0 := &c t1 := j t2 := n t3 := t1*t2 t4 := i t5 := t3+t4 t6 := t0+t5 t7 := @t6 t8 := &a t9 := j t10:= n t11:= t9*t10 t12:= k t13:= t11+t12 t14:= t8+t13 t15:= @t14 t16:= &b t17:= k t18:= n t19:= t17*t18 t20:= i t21:= t19+t20 t22:= t16+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t26 := &c t27 := j t28 := n t29 := t27*t28 t30 := i t31 := t29+t30 t32 := t26+t31 @t32:= t25
innerLoop:
t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25
innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25
Copy-/Constant-Propagation und anschließende
Dead-Code-Elimination
33
Common Subexpression Elimination
innerLoop: t3 := j*n
t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25
innerLoop: t3 := j*n s1 := t3 s0 := t3 t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= s0 t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29:= s1 t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25
innerLoop: t3 := j*n
t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t32 := &c+t5 @t32:= t25
innerLoop: t3 := j*n
t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25
innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t31 := t3+i t32 := &c+t31 @t32:= t25
Kopierpropagierung und anschließende
Eliminierung toten Codes
Eliminierung des
gemeinsamen Teilausdrucks
j*n
Eliminierung des
gemeinsamen Teilausdrucks
t3+i und anschließende
Kopierpropagierung und
anschließende Eliminierung toten Codes
Eliminierung des gemeinsamen Teilausdrucks
&c+t5 und anschließende
Kopierpropagierung und
anschließende Eliminierung toten Codes
c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i]
34
Schleifeninvariante Ausdrücke entfernen
k := 0innerLoopTest: t53:= k<n if t53 then innerLoop goto innerLoopEnd innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35 goto innerLoopTestinnerLoopEnd: ...
for(k = 0; k < n; k = k+1) { c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i] }
k := 0
t53:= k<nif t53 then 3
t3 := j*nt5 := t3+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= t3+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35
...
k := 0inv0 := j*n
t53:= k<nif t53 then 3
t3 := inv0t5 := t3+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= t3+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35
...
k := 0inv0 := j*n
t53:= k<nif t53 then 3
t5 := inv0+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35
...
35
Schleifeninvariante Ausdrücke entfernen
k := 0inv0 := j*n
t53:= k<nif t53 then 3
t5 := inv0+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35
...
k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+i
t53:= k<nif t53 then 3
t6 := &c+inv1t7 := @t6t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35
...
k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+iinv2:= &c+inv1
t53:= k<nif t53 then 3
t7 := @inv2t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@inv2:= t25t35:= k+1k := t35
...
36
Bestimmung der Induktionsvariablen
k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+iinv2:= &c+inv1
t53:= k<nif t53 then 3
t7 := @inv2t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@inv2:= t25t35:= k+1k := t35
...
k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+iinv2:= &c+inv1
t53:= k<nif t53 then 3
t7 := @inv2t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@inv2:= t25t35:= k+1k := t35
...
37
Strength-Reduction
k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+iinv2:= &c+inv1
t53:= k<nif t53 then 3
t7 := @inv2t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@inv2:= t25t35:= k+1k := t35
...
cexpr für k ist 1
k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+iinv2:= &c+inv1d := 1*nnn := k*n
t53:= k<nif t53 then 3
t7 := @inv2t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= nnnn := nn + dt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@inv2:= t25t35:= k+1k := t35
...
38
Rahmenwerk zur Datenflussanalyse (DFA)
DFA-Rahmenwerk: (D, I, , ) besteht aus: Der Richtung D der Analyse (vorwärts oder rückwärts) Einem Halbverband (I, ), d.h. für alle x, y, z I
x x = x x y = y x x (y z) = (x y) z es ex. ein I, so dass für alle x I gilt x = x
Einer Menge , die für jeden Basisblock des Steuerflussgraphen eine Transferfunktion f : I I enthält, die monoton und stetig ist.
Induzierte Ordnung auf I: x y gdw. x y = y Voraussetzungen für den Fixpunktsatz von Tarski und
Knaster sind erfüllt. Damit existiert der kleinste Fixpunkt und kann durch Iteration berechnet werden, weil:
(I, ) ist eine vollständig geordnete Menge, weil für alle x, y I gilt: x y ist kleinste oberer Schranke von x und y.
Jedes f F ist monoton und stetig.
39
(I,) ist eine geordnete Menge
Reflexivität:x x gilt wegen x x = x.
Antisymmetrisch:x y und y x x y = y und y x (= x y) = x x = y.
Transitivität:x y und y z x y = y und y z = z z = (x y) z = x (y z) = x z x z.
40
(I,) ist eine vollständig geordnete Menge
Wir zeigen: Für alle x, y I ist z = x y die kleinste obere Schranke von x und y:
x z x z = x (x y) = (x x) y) = x y = z.
y z y z = y (x y) = y (y x) = (y y) x) = y x = x y = z.
Angenommen x u und y u, dann x u = u und y u = u und z u = u u = u u = x u y u = x u y = z u z u
Damit ist für jede endliche nicht leere Kette K I mit K = {k1, k2, k3,…,kn} k1 k2 k3 … kn die kleinste obere Schranke von K.
41
Fixpunktiteration
Es ist der Fixpunkt einer Funktion F (out(b0),…,out(bm)) = F((out(b0),…,out(bm))) bzw. (in(b0),…,in(bm)) = F((in(b0),…,in(bm))) gesucht.
Durch den Steuerflussgraphen wird für jede Komponente out(bi) bzw. in(bi) eine Mengengleichung erzeugt:
Vorwärtsanalyse:out(bi) = fi(out(bk1
)…out(bkn)), wobei bk1
,…,bkn die Steuerflussvorgänger
von bi sind und 0 kj m. Rückwärtsanalyse:
in(bi) = fi(in(bk1)…in(bkn
)), wobei bk1,…,bkn
die Steuerflussvorgänger von bi sind und 0 kj m.
Wir schreiben kurz: (b0,…,bm) = F((b0,…,bm)) und abstrahieren von der Richtung.
Die induzierte Ordnung auf I wird zu einer Ordnung auf Im+1 erweitert:(a0,…,am) (b0,…,bm) gdw. j: 0 j m aj bj. Analog wird der Operator für einen Vektor erweitert.
Unter der Voraussetzung, dass die Transferfunktionen fi monoton und stetig sind, ist es F auch (Beweis folgt).
42
Monotonie von F
F monoton gdw. aus (a0,…,am) (b0,…,bm) folgt F(a0,…,am) F(b0,…,bm).
a = (a0,…,am) (b0,…,bm) = b gdw. i: ai bi. Für jedes ai und bi gilt nun:
Es seien ak1,…,akn
bzw. bk1,…,bkn
die Komponenten in a bzw. b, die den in/out-Resultaten der Steuerflussvorgänger/-nachfolger von ai bzw. bi entsprechen.
Wegen akj bkj
ist ak1…akn
bk1
…bkn. (Bew. durch
Induktion; im Schritt: a b a b = b und a' b' a' b' = b' b b' = a b a' b' = (a a') (b b') (a a') (b b')).
Wegen der Monotonie der Transferfunktion fi gilt dann fi(ak1
…akn)
fi(bk1
…bkn)
Und damit F(a0,…,am) F(b0,…,bm)
43
Stetigkeit von F
F stetig gdw. F(a0,…,am) F(b0,…,bm) = F(a0b0,…,ambm).
Es seien ai' und bi' die i-ten Komponenten des Resultats von F(a) bzw. F(b), d.h.: b'i = fi(bk1
,…,bkn ) und a'i = fi(ak1
,…,akn)
Wegen der Stetigkeit von fi gilt: a'i b'i = fi(ak1
,…,akn) fi(bk1
,…,bkn)
= fi(ak1)… fi(akn
)fi(bk1)…fi(bkn
) = fi(ak1
) fi(bk1)…fi(akn
)fi(bkn)
= fi(ak1bk1
)…fi(aknbkn
) = fi(ak1
bk1,…,akn
bkn).
fi(ak1bk1
,…,aknbkn
) ist auch die i-te Komponente des Resultats von F(a0b0,…,ambm)
Ende der Optimierung
Ende der Vorlesung
45
Beispiel Steuerflussgraph/Interferenzgraph
d := 0a := 1c := 3
f := c
d:= d+1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5
d:= a+fu := cv := u+1w := v+1e := v
c:= d+3a := e*c
z:= a+d
(d)(a,d)(a,d,c)
(a,c,f,d)
(c,d)(c,d,r)(d,s,r)(d,t)(d,e)
(c,d)(d,u)(d,v)(d,w)(d,e)
(d,c)(d,c,a)
(z)
a d s
f c r
vu
w
t
e
z
46
Färbung des Interferenzgraphen
Gesucht Färbung I : V R mit I(u) I(v) gdw. {u,v} E, wobei R die Menge der Prozessorregister ist.
Finden einer Färbung durch schrittweises Entfernen von Knoten v mit adjazenten Kanten, falls v mit echt weniger als |R| Knoten adjazent ist:
Falls kein Knoten mit weniger als |R| Nachbarn existiert, dann Spillentscheidung treffen.
Falls I zum leeren Graphen reduziert wurde, Einfügen der Knoten mit Kanten in umgekehrter Reihenfolge und Färben der Knoten.
a d s
f c r
vu
w
t
e
I = (V, E), R = {0,1,2}
a d s
f c r
v uw t e
z
z
d4
d1 d2 d3v uw t e d4 z d1 d2 d3 s r c f a
a d s
f c r
v uw t e
z
d4
d1 d2 d3
47
Spillen
d := 0a := 1c := 3
f := c
d:= d+1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5
d:= a+fu := cv := u+1w := v+1e := v
c:= d+3a := e*c
z:= a+d
(d)(a,d)(a,d,c)
(a,c,f,d)
(c,d)(c,d,r)(d,s,r)(d,t)(d,e)
(c,d)(d,u)(d,v)(d,w)(d,e)
(d,c)(d,c,a)
(z)
d := 0@&d := da := 1c := 3
f := c
d1 := @&dd1:= d1+1@&d := d1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5
d2 := a+f@&d := d2u := cv := u+1w := v+1e := v
d3 := @&dc:= d3+3a := e*c
d4 := @&dz:= a+d
(d)()(a,d)(a,c)
(a,c,f)
(c,d1)(c,d1)(c)(c,r)(s,r)(t)(e)
(c,d2)(c)(u)(v)(w)(e)
(d3,c)(c)(c,a)
(d4)(z)
Spillen von d
48
Auswahl der Spillvariablen
Falls ein Interferenzgraph nicht weiter reduziert werden kann, dann wird aus den verbleibenden Knoten der ausgewählt, für den
minimal ist. Dabei sind DefUse(v) alle Programmpositionen, an denen v verwendet/definiert wird. und deepth(p) die Schachtelungstiefe der innersten Schleife, die die Programmposition p enthält.
Vor/nach allen Verwendungen/Definitionen von v wird Spillcode in den Zwischencode eingefügt.
Interferenzgraph muss neu konstruiert werden. Es können mehrere solcher Iterationen erforderlich sein, bis
eine Färbung des Interferenzgraphen gefunden wird. Variablen zwischen deren Definition und Verwendung keine
anderen Variablen sterben, werden nicht gespillt.
( )
( )
( ), wobei ( ) 10
( )deepth p
p DefUse v
spillCost vspillCost v
deg v Î
= å
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