· web viewbất đẳng thức-bất phương trình - lớp 10 bất đẳng thức-bất...
Post on 13-Jan-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
BẤT ĐẲNG THỨCBất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư
duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số,…
Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác.
A. Lý thuyết
I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Bất đẳng thức
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “ ”, “ ”, “ ”, “ ” được gọi là những bất đẳng thức.
Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa mãn điều kiện T.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là , nếu:
(1) M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
LOVEBOOK.VN | 1
Chủ đề 4
Vấn đề cần nắm:
1. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
STUDY TIP
Đặc biệt, nếu hàm số
đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký
hiệu hoặc
; nếu hàm
số đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D thì
ta ký hiệu
hoặc .
y f x
maxD
M f x
maxx D
M f x
y f x
minD
m f x
minx D
m f x
a b a b a b a b
maxM f
f
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là , nếu:
(1) với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho
Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau:
- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy
ra bất đẳng thức , trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f.
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết
phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho .
- Bước 3: Kết luận .
II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:
1. và .
2. .
3. Nếu thì .
4. Nếu thì .
5. và .
6. và .
7. và .
8. .
9. .
LOVEBOOK.VN | 2
f M
minm f
f m
f m
f M
f M
max f M
a b b c a c
a b a c b c
0c a b ac bc
0c a b ac bc
a b c d a c b d
0a b 0c d ac bd
0a b * n nn a b
0a b a b
3 3a b a b
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
10. và .
11. .
12. . Đẳng thức xảy ra khi .
13. , với mọi .
14. Với thì .
15. Với thì hoặc .
16. Với mọi , ta có .
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi .
III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh bất đẳng thức theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:
- Cách 1: Lập hiệu . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản
của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra .
- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức,
chúng ta đánh giá vế trái để được .
- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức,
chúng ta đánh giá vế phải để được .
Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:
(1): .
LOVEBOOK.VN | 3
Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của
0, 0a b a b a b 3 3 3a b a b
1 10a ba b
2 0,a a 0a
a a a a
0a x a a x a
0a x a x a x a
,a b 1 2
a b a b a b
0ab 0ab
A B
A B
0A B
A B
B A
; 0x a b a x b x a x b
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
(2): với mọi x sao cho xác định.
Đặc biệt, .
(3): , với mọi a, b, c.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn .
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
.
Lời giải
a) Ta có . ĐKXĐ:
Với mọi , ta có: .
Do đó .
Ta có .
Vậy và .
b) Với thì .
Ta có .
Với mọi x thuộc đoạn thì
LOVEBOOK.VN | 4
Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của
20,f x f x
2 2 2 22 ; 2a b ab a b ab
2 2 2 23 3ab bc ca a b c a b c
3 12
xf xx
1;3
2
22 1xg x
x
1;2
3 2 7 732 2
xf x
x x
2x
1;3x 7 8 7 7 71 2 5 71 2 5 2 5
xx x
84 , 1;35
f x x
84 1 1;3 ; 3 1;35
f x x f x x
1;3max 1 4f x f
1;3
8min 35
f x f
1;2x 2 0;4x
22
2 2 2
2 1 11 1 1 1. .2 1 2 2 1 2 2 2 1
xxx x x
1;22
2
1 11 2 1 9 12 1 9
xx
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Do đó , .
Mặt khác .
Vậy và ./.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Điều kiện: .
Ta có , suy ra .
, suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.
LOVEBOOK.VN | 5
2 2
1 1 1 1 1 41 0 .2 1 9 2 2 2 1 9x x
203
g x 1;2x
20 0 1;2 ; 2 1;23
g x x g x x
1;2
2max 23
g x g
1;2
min 0 0g x g
2 24 21 3 10y x x x x
2
2
4 21 02 5
3 10 0
x xx
x x
2 24 21 3 10 11 0x x x x x 0y
2 22 7 31 2 3 7 2 5y x x x x x x
2
3 5 2 7 2 2x x x x 2y
13 5 2 73
x x x x x
213
x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 3: a) Chứng minh rằng với mọi thì .
b) Cho là ba số không nhỏ hơn và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
.
Lời giải
a) Ta có .
Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi hoặc .
b) Từ giả thiết, ta có .
Tương tự, ta cũng có và .
Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn .
Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:
.
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ./.
Nhận xét: Để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Nếu không có ý a)
LOVEBOOK.VN | 6
STUDY TIP
Khi học về đạo hàm, chúng ta có thể tìm ra biểu thức
một cách đơn giản bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào? Chúng ta dự đoán
được . Với
thì . Sau đó, chúng ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm
. Tiếp tuyến đó có
phương trình là .
3 5;4 2
x 2
18 31 25 50
x xx
, ,a b c34
2 2 2
91 1 1 10
a b ca b c
2
2 2
3 1 4 318 3 3 50, ;1 25 50 4 250 1
x xx x xx x
18 325 50
a
13
a b c
13
a 2
3101
aa
2 1xf x
x
1 3;3 10
M
18 325 50
y x
2
18 3 3 5, ;1 25 50 4 2
x x xx
13
x 34
x
3 3 514 4 2
a b c a a
52
b 52
c
3 5;4 2
2 2 2
18 3 18 3 18 3; ;1 25 50 1 25 50 1 25 50
a b ca b ca b c
2 2 2
18 9 91 1 1 25 50 10
a b c a b ca b c
13
a b c
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Chúng ta có thể tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách sau đây:
Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh.
Thứ hai, giả thiết của bài toán là (các biến số a, b, c có bậc một,
độc lập với nhau) nên cần đánh giá , trong đó m, n là các hằng số phải đi tìm.
Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được
đẳng thức xảy ra khi . Khi thì , do đó ta cần đánh
giá . Lúc này, chúng ta cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.
Xét
Lúc này, ta cần chọn m để nhận làm nghiệm (mục
tiêu là xuất hiện ). Giải điều kiện đó ta tìm được . Khi đó ta có
(do ).
2. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
(Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà toán học người Pháp)
a. Nội dung phương pháp
(1) Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra
khi .
LOVEBOOK.VN | 7
1a b c
2 1a ma n
a
13
a b c 13
a 2
31 10
aa
2
3 3 11 10
a m aa
2
2 2
3 1 3 10 13 3 11 10 10 1
a a m aa m aa a
23 10 1 0a m a 13
a
23 1a 625
m
2
2 2
3 1 4 33 6 3 1 01 10 25 50 1
a aa aa a
34
a
2a b ab
a b
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
1. .
2. .
- Hệ quả:
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất
bằng khi và chỉ khi .
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị nhỏ
nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .
(2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức
xảy ra khi .
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
1. 2. .
- Hệ quả:
+) Nếu a, b, c là các số không âm và không đổi thì abc đạt giá trị
lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị
nhỏ nhất bằng khi .
+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .
LOVEBOOK.VN | 8
2 2
2a b ab
2
4a b
ab
,a b a b S
214
S 12
a b S
,a b ab P a b
2 P a b P
0, 0a b 1 1 4a b a b
a b
3
3a b c abc
a b c
3 3 3
3a b c abc
3
27a b c
abc
a b c S
3127
S 13
a b c S
, ,a b c abc P a b c
33 P 3a b c P
0, 0, 0a b c 1 1 1 9a b c a b c
a b c
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
Lời giải
a) Do nên ta có .
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện ).
Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
b) Do nên ta có .
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
c) Ta có .
Do nên ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
LOVEBOOK.VN | 9
3f x xx
0x
31
g x xx
1x
32 1
h x xx
12
x
34 7
p x xx
2x
0x 3 32 . 2 3f x x x
x x
3 3x xx
0x
f x 2 3 3x
1x 3 31 1 2 1 . 1 2 3 1
1 1g x x x
x x
31 1 31
x xx
3 6 62 2 2 1 12 1 2 1 2 1
h x x h x x xx x x
12
x 62 2 2 1 . 1 2 6 12 1
h x xx
2 6 12
h x
6 6 12 12 1 2
x xx
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
d)
.
Từ giả thiết ta có . Do đó
.
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.
Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn
biểu thức cần phải tìm cách đánh giá .
- Việc đánh giá thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức
.
- Việc đánh giá thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần
điều chỉnh hình thức của biểu thức thành
, còn thành (nhằm khi đánh giá thì
LOVEBOOK.VN | 10
STUDY TIP
Ngoài lời giải trình bày ở bên, chúng ta có thể sử dụng một cách chung nhất để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất đối với hàm số, đó là sử dụng đạo hàm. Về kiến thức này sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12 và bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.
h x2 6 1
2 6 1
2x
34 7
p x xx
124 44 7
p x xx
4 12 714 4 7 4 7 775 4 7 75
p x x xx
4 7 15x
4 12 71 44 114 2 4 7 . .15 775 4 7 75 5 5
p x x p xx
4 124 7275 4 7
2
xxx
x
p x115 2x
, , ,f x g x h x p x
1 2 3 4; ; ;f x m g x m h x m p x m
1f x m
f x
2 3;g x m h x m
31
g x xx
31 11
g x xx
32 1
h x xx
62 2 1 12 1
h x xx
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
về phải không còn biến số).
- Việc đánh giá chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức
Cô-si được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của để đạt được mục
tiêu. Ngay cả khi viết thì chúng ta cũng không thể áp
dụng luôn bất đẳng thức Cô-si .
Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,
trong khi điều kiện của biến là . Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết
thành
?
Và số được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:
Chúng ta để ý khi thì và , trong khi chúng ta đang
cần đánh giá nên ta phải tìm cách ghép , với
để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu ở mẫu thức nhưng
cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi
thì . Dễ dàng tìm được và chúng ta có lời giải như trên.
LOVEBOOK.VN | 11
4p x m
p x
124 4 7 74 7
p x xx
124 2 4 7 . 4 3 74 7
p x xx
12 2 3 74 7 24 7 4
x xx
2x
4 p x
4 12 714 4 7 4 7 775 4 7 45
p x x xx
475
2x 3 1
4 7 5x
12 4
4 7 5x
4p x m 124 74 7
m xx
0m 4 7x
2x
124 74 7
m xx
475
m
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 5: a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Lời giải
Ta có .
a) Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi .
b) Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi ./.
3. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, nhà toán học người Nga)
a. Nội dung phương pháp
(1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).
- Hình thức khác của bất đẳng thức này là: .
LOVEBOOK.VN | 12
5x y
16 1 814 20x y
16 1 814 20x y
5x y
16 1 65 16 65 16 65 812 . 44 4 4 4 4 4 4
y x y xx yx y x y x y
5x y 16 1 81
4 20x y
2 2
5 40 5; ;9 964
x yx y
x y
16 1 814 20x y
5x y
2 2
5 40 5; ;9 964
x yx y
x y
2 2 2 2 2ax by a b x y
ay bxa bx y
0xy
2 2 2 2ax by a b x y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể
trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu hai vectơ và thì do ta luôn
có nên .
(2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có
Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).
- Hình thức khác của bất đẳng thức này là
.
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể
trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu xét hai vectơ và
thì do ta luôn có nên
.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
.
.
LOVEBOOK.VN | 13
STUDY TIP
Liên quan đến Phương pháp tọa độ trong không gian bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn Công phá Toán 3.
;u a b
;v x y
. .u v u v
2 2 2 2ax by a b x y
2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z
ay bxaz cx
a b cx y z
0xyz
2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z
; ;u a b c
; ;v x y z
. .u v u v
2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z
2
3 1
3
xAx
2
22 2 2 22
1 1 283 1 3. . 3 3 3 . 333 3
x x x x
2
2
2 21 3 1 2 213 1 . 33 33
xx xx
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.
Ví dụ 7: a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , với .
Lời giải
a) Đặt , với .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Với mọi , ta luôn có .
Có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy, .
Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Ta có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy, .
Cách 3: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).
Ta có .
LOVEBOOK.VN | 14
3 93 1x x
2 213 9x
3 5 4, 3;5x x x
2 5 4 3A x x 5 4;2 3
x
3 5F x x 3;5x
3;5x 0F
2 8 2 3 5 8 3 5 16 4F x x x x F
3 5 1 3;5x x x
4, 3;5F x
4 3 4 52 2 3 2 5 8 42 2
x xF x x F
3 21 3;5
5 2
xx
x
4, 3;5F x
2 21. 3 1. 5 1 1 . 3 5 2. 8 4F x x x x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, .
b) (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).
Ta có .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.
Nhận xét:
1. Trong ý a) chúng ta có thể áp dụng được cả hai bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-cốp-xki để giải thì trong ý b) việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ gặp nhiều khó khăn vì rất khó để chọn điểm rơi (tức là điều kiện để dấu bằng xảy ra). Tuy
nhiên, nếu để nguyên biểu thức và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì không khử được biến x. Do đó, chúng ta cần biết đổi để hệ số của biến x trong hai số hạng phải đối nhau. Có hai cách để làm điều này, đó là đặt hệ số của biến x làm nhân tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên) hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó, ví dụ
.
2. Từ bất đẳng thức, người ta có thể đề xuất một số phương trình hoặc hệ phương trình giải được bằng cách sử dụng các bất đẳng thức. Chẳng hạn, từ kết quả của ý a) và lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra, chúng ta có thể đề xuất các bài toán sau đây:
Bài 1. Giải phương trình .
Bài 2. Giải phương trình .
LOVEBOOK.VN | 15
STUDY TIP
Ngoài các cách trình bày ở bên, ví dụ này còn có thể giải theo cách lập bảng biến thiên của hàm số (có sử dụng công cụ đạo hàm - sử dụng kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.
3 5 1 3;51 1
x x x
4, 3;5F x
2 25 4 5 4 1152. 3. 2 3 .2 3 2 3 6
A x x x x
452932302 3
xxx
1156
2930
x
2 5 4 3A x x
1 1. 6 15 . 8 63 2
A x x
3 5 4x x
23 5 2 5x x x x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Bài 3. Giải hệ phương trình .
Bài 4. Giải hệ phương trình .
Bài 5. Giải hệ phương trình .
Bài 6. Giải hệ phương trình .
Ví dụ 8: a) Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của biểu thức .
b) Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức .
Lời giải
a) Ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi
LOVEBOOK.VN | 16
3 5 4
3 5 4
x y
y x
2
2
3 5 2 5
3 5 2 5
x y x y
y x y x
3 5 4
3 5 4
3 5 4
x y
y z
z x
2
2
2
3 5 2 5
3 5 2 5
3 5 2 5
x y z z
y z x x
z x y y
2 2
125 16x y
3 4S x y
2 2 5 0x y z
2 2 2 2 4 6 11P x y z x y z
2 2 2
2 224 5. 12. 5 12 1695 4 25 16x y x yS
4 13 9 17S S
22 22 2
12. 5.12. 5. 5 45 412 251525 16
x yx y
x y x x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
hoặc .
Vậy, S đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ; đạt giá trị lớn nhất
bằng 17 khi .
b) Ta có .
.
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi ./.
4. Sử dụng kiến thức hình học
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh một bất đẳng thức theo cách này, chúng ta phải phát hiện được bản chất hình học của bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đó dựa vào tính chất hình học, các bất đẳng thức đã biết và các mối liên hệ hình học để rút ra kết luận.
Một số kết quả hình học thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.
- Kết quả 1: Với ba điểm tùy ý M, A, B, ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng AB (viết là ).
LOVEBOOK.VN | 17
25 48; ;13 13
x y
25 48; ;13 13
x y
9 25 48; ;
13 13x y
25 48; ;13 13
x y
2 2 23 1 2 3P x y z
2 2 5 0 1 2 2 2 3 6x y z x y z
22 2 2 2 22 26 1 2 2 2 3 1 2 2 1 2 3x y z x y z
36 9. 3 1P P
1 2 3
1 2 5; ; ; ;1 2 23 3 32 2 5 0
x y zx y z
x y z
1 2 5; ; ; ;3 3 3
x y z
MA MB AB
M AB
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
- Kết quả 2: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương .
- Kết quả 3: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi ngược hướng
hoặc .
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi cùng hướng
hoặc .
- Kết quả 4: Cho đường tròn và điểm A nằm ngoài . Gọi M là điểm
tùy ý thuộc đường tròn . Khi đó ta luôn có: .
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với
đường tròn , trong đó M thuộc đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức
.
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với
đường tròn , trong đó M nằm ngoài đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ
thức .
- Kết quả 5: Cho hai đường tròn và ngoài nhau (tức là
). Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc và .
LOVEBOOK.VN | 18
1 2 1 2; , ;a a a b b b
. .a b a b
,a b
1 2 2 1a b a b
1 2 1 2; , ;a a a b b b
1 2
a b a b a b
,a b
1 2 2 1
1 1 0a b a ba b
1 2 2 1
2 2 0a b a ba b
,a b
1 2 2 1
1 1 0a b a ba b
1 2 2 1
2 2 0a b a ba b
;I R ;I R
;I R 1 2
IA R MA IA R
;I R
.RIM IAIA
;I R
.RIM IAIA
1 1;I R 2 2;I R
1 2 1 2I I R R 1 1;I R 2 2;I R
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Khi đó ta luôn có: .
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng
với hai đường tròn và , trong đó M, N thuộc đoạn , tức
là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ thức
.
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng
với hai đường tròn và , trong đó M, N nằm ngoài đoạn ,
tức là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ
thức .
- Kết quả 6: Cho đường tròn và đường thẳng không cắt đường tròn.
Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc đường tròn và đường thẳng .
Khi đó ta luôn có: .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng
và M là giao điểm của đoạn IN với đường tròn , tức là M thỏa mãn hệ
thức .
* Chú ý: Trong thực hành giải toán bằng phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến việc chuyển đổi ngôn ngữ cho các biểu thức đại số sang ngôn ngữ hình học để vận dụng phương pháp hoặc kỹ thuật giải cho phù hợp. Chẳng hạn:
Biểu thức đại số Ngôn ngữ hình học
Phương trình đường thẳng .
LOVEBOOK.VN | 19
STUDY TIP
Khi sử dụng một kết quả nào đó trong các kết quả nên trên vào việc tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất chúng ta lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra để có sự điều chỉnh hình thức tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ một cách phù hợp.
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2I I R R MN I I R R
1 2I I 1 1;I R 2 2;I R 1 2I I
11 1 2
1 2
.RI M I II I
22 2 1
1 2
.RI N I II I
1 2I I 1 1;I R 2 2;I R 1 2I I
11 1 2
1 2
.RI M I II I
22 2 1
1 2
.RI N I II I
;I R
;I R
,MN d I R
;I R
.
,RIM IN
d I
0ax by c : 0ax by c
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Phương trình đường tròn có tâm và bán kính
( ).
Độ dài vectơ hoặc khoảng cách giữa
hai điểm và .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 9: a) Chứng minh rằng với mọi , ta có
.
b) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, ta luôn có
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
a) Ta có .
Xét hai vectơ và . Khi đó
và .
Mặt khác, ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng .
b) Cách 1: Xét hai vectơ và .
Suy ra và .
Ta có .
LOVEBOOK.VN | 20
2 2 2x a y b R ;I a b
R 0R
2 2x a y b ;u x a y b
;M x y ;A a b
x
2 24 13 10 41 7 2x x x x
2 2 2 24 6 13 10 8 41 7 2x y x x x y x y
2 24 4 5 4 12 25M x x x x
2 22 2 2 24 13 10 41 2 3 5 4A x x x x x x
2 ;3a x
5 ;4b x
A a b
2 27 7 7 2a b
a b a b
7 2A
,a b 2 5 1
3 4x x x
2 ; 3u x y
5;4v x y
7;7u v 2 27 7 7 2u v
2 2 2 24 6 13 10 8 41B x y x x x y x y u v
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Mặt khác, ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng
.
Cách 2: Xét ba điểm .
Khi đó và đường thẳng EF có phương trình là .
Ta có .
Vì ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi M thuộc đoạn EF hay .
c) Xét hai vectơ và .
Suy ra và .
Ta có .
Mặt khác, ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng .
Vậy, M đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.
LOVEBOOK.VN | 21
u v u v
7 2B
,u v
2 4 5 3 1 0
5 22 5 0
x y x y x yxx x
; , 2; 3 , 5;4M x y E F
7 2EF 1 0x y
2 2 2 24 6 13 10 8 41B x y x x x y x y ME MF
ME MF EF 7 2B
1 05 2
x yx
1 2 ;2u x
2 3; 4v x
4; 2u v 224 2 2 5u v
2 2 221 2 2 2 3 4M x x u v
u v u v
2 5M
,u v 1 2 2 5
2 3 4 2x x
x
2 552
x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn các điều kiện
và
Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có .
Xét điểm và điểm thì M và N lần lượt thuộc đường tròn
và đường thẳng .
Đường tròn có tâm và bán kính .
Ta có .
Mặt khác với mọi điểm thì . Do đó .
Ta lại có .
Vậy, hay ./.
5. Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
a. Nội dung phương pháp
Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình trong chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau đây:
(1) Phương trình , có nghiệm khi và chỉ khi .
(2) Điều kiện để tồn tại hai số u, v sao cho là .
(3) Điều kiện để tồn tại hai số không âm u, v sao cho là
LOVEBOOK.VN | 22
STUDY TIP
Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo cách này chúng ta không cần phải chỉ ra giá trị cụ thể của x để đẳng thức xảy ra nữa (vì chúng ta đã có điều kiện tồn tại x để đẳng thức xảy ra rồi).
2 2 2 4 4 0a b a b 3 4 9 0c d
2 2 2 21 2 ac bd a b c d
2 22 2 2 4 4 0 1 2 9a b a b a b
;M a b ;N c d
2 2: 1 2 9C x y : 3 4 9 0d x y
C 1; 2I 3R
22
3.1 4. 2 9, 4 3
3 4d I d R
,X C Y d ,XY d I d R 1MN
2 22 2 2 2 2 2MN a c b d a b c d ac bd
2 2 2 2 2 1a b c d ac bd 2 2 2 21 2 ac bd a b c d
2 0ax bx c 0a 0
u v Suv P
2 4 0S P
u v Suv P
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số theo cách này, chúng ta có thể tiến hành như sau:
- Bước 1: Gọi là một giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số. Khi đó
phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Biến đổi đưa phương trình về dạng . Sau đó tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm (điều kiện này dẫn đến giải bất
phương trình ẩn ).
- Bước 3: Từ kết quả của bước 2, chúng ta kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị
nhỏ nhất của hàm số .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Vì với mọi nên hàm số xác định trên .
Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình
có nghiệm
có nghiệm
(1) có nghiệm.
Trường hợp 1: .
LOVEBOOK.VN | 23
2
00
4 0
SP
S P
y f x
0y
0f x y
0f x y 2 0ax bx c
0y
y f x
2
2 14
xyx x
22 1 154 0
2 4x x x
x
0y
0 2
2 14
xyx x
20 4 2 1y x x x
20 0 02 4 1 0y x y x y
0 0y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Khi đó (1) trở thành .
Trường hợp 2: .
Khi đó phương trình (1) có nghiệm
.
Kết hợp hai trường hợp ta có
Với ta tìm được .
Với ta tìm được .
Vậy, và ./.
Nhận xét:
1. Qua cách làm của ví dụ này, bạn đọc có thể tự mình đưa ra hướng giải cho bài
toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất và gnn của hàm số , trong
đó và .
2. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể phát biểu lại bài toán dưới hình thức khác như sau:
a) Trong các cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình , hãy tìm cặp số sao cho y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
b) Hàm số nhận giá trị nguyên khi nào?
LOVEBOOK.VN | 24
STUDY TIP
Ngoài cách giải này, chúng ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (đây là cách làm có tư tưởng rõ ràng, dễ hiểu đối với mọi đối tượng học sinh) mà chúng ta sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12.
12 1 02
x x
0 0y
2 20 0 0 0 02 4 4 1 0 15 8 4 0y y y y y
04 2 19 4 2 19
15 15y
04 2 19 4 2 19
15 15y
014 2 19
15y
01
01
22
yx
y
024 2 19
15y
02
02
22
yx
y
4 2 19max15
y
4 2 19min15
y
21 1 1
22 2 2
a x b x cya x b x c
2 0a 22 2 24 0b a c
2 2 4 1 0x y xy x y
2
2 14
xyx x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng
minh rằng .
Lời giải
Hệ điều kiện đã cho được viết lại là (*).
Do tồn tại a, b đã cho nên hệ phương trình (*) có nghiệm, a, b hay
.
Vai trò của a, b, c trong hệ điều kiện đã cho là như nhau nên chứng minh tương
tự ta cũng có . Vậy, ./.
Nhận xét:
1. Trong ví dụ này vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có cùng kết quả đánh
giá . Cũng có những trường hợp vai trò của các biến là không tương đương, ta cần thực hiện phép biến đổi đưa về dạng vai trò của các biến là tương đương. Hãy nghiên cứu vấn đề thông qua bài tập dưới đây:
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện . Chứng minh rằng
.
2. Nội dung ví dụ này có thể diễn đạt bằng hình thức khác như: Trong các bộ số
thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho c đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Nếu kết hợp với tính chất hàm số, chúng ta có thể đề xuất bài toán sau: Trong
LOVEBOOK.VN | 25
44
a b cab bc ca
80 , ,3
a b c
2
4 44 4 4
a b c a b cab c a b ab c c
2 24 4 4 4 0c c c 2 83 8 0 0
3c c c
8 80 ,03 3
a b 80 , ,3
a b c
8 8 80 ,0 ,03 3 3
a b c
2 3 42 6 3 4x y z
xy yz zx
8 4 80 ,0 ,03 3 9
x y z
; ;a b c4
4a b cab bc ca
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
các bộ số thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
4. Từ hằng đẳng thức và từ giả thiết
của ví dụ này, ta có . Do đó ta có thể đề xuất các bài toán sau đây:
a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh
rằng .
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh
rằng .
6. Sử dụng tính chất của hàm số
a. Nội dung phương pháp
Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, chúng ta cần biết một số kiến thức sau đây:
(1) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai .
Trường hợp Trường hợp
(2) Xét hàm số bậc nhất trên đoạn . Khi đó,
LOVEBOOK.VN | 26
STUDY TIP
Ngoài cách dựa vào các kết quả nêu trên, khi sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, người ta còn sử
; ;a b c4
4a b cab bc ca
P ab
22 2 2 2a b c a b c ab bc ca
2 2 2 8a b c
2 2 2
4
8
a b c
a b c
80 , ,3
a b c
2 2 2
4
8
ab bc ca
a b c
8 8, ,3 3
a b c
2y ax bx c
x 2ba
x 2ba
y
y4a
4a
0a 0a
y ax b ;
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
và .
Đặc biệt: - Nếu thì .
- Nếu thì .
(3) Xét hàm số bậc hai trên đoạn .
Tính . Khi đó
- Nếu thì
- Nếu thì
(4) Xét hàm số xác định trên đoạn .
Khi đó, .
(5) Xét hàm số , trong đó với
. Khi đó .
Đặc biệt, với thì .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
a) , với .
b) , với .
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 27
STUDY TIP
Ngoài cách dựa vào các kết quả nêu trên, khi sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, người ta còn sử
;max max ;y y y
;
min min ;y y y
0a
;;max ;miny y y y
0a
;;max ;miny y y y
2f x ax bx c ;
1 2 3, ;2by f y f y fa
;2ba
1 3 1 3;;max max ; ;min min ;f x y y f x y y
;2ba
1 2 3 1 2 3;;max max ; ; ;min min ; ;f x y y y f x y y y
, 0; 0ax bf x c ad bccx d
;
;;max max ; ;min min ;f x f f f x f f
1 1 2 2 ... n nf x a x b a x b a x b 0ia
1,2,...,i n 1 2
1
min min ; ;...;2
n
n
bb bf x f f fa al a
0a 1 2 1 2ax b ax b b b
1 9f x x x 3 6x
2 1 9 1 9g x x x x x 3 6x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
a) Với thì .
Ta có .
Xét hàm số trên đoạn . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
3 5 6
1216
15
Từ bảng biến thiên, ta có
.
Vậy, và .
Chú ý: Chúng ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn bằng cách đơn giản như nêu ở phần lý thuyết. Cụ thể:
Ta có và nên
và .
b) Đặt (ĐK: ). Suy ra .
Do đó .
Với thì theo ý a) ta có .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
LOVEBOOK.VN | 28
3;6x 0f x
2 28 2 1 9 8 2 10 9f x x x x x
2 10 9h x x x 3;6
x
h x
28 2 12 8 2 16, 3;6f x x
8 4 3 4, 3;6 2 6 4, 3;6f x x f x x
3;6max 5 4f x f
3;6min 3 2 6f x f
h x 3;6
5 3;62ba
3 12; 5 16; 6 15h h h
3;6min 12h x
3;6max 16h x
1 9t x x 0t
2 81 92
tx x
2
28 12 4 82 2
tg x t t t
3;6x 2 6;4t
2 4 8k t t t 2 6;4
2 2 6;42ba
2 6 4 3 2 6 ; 4 8k k
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Do đó .
Suy ra .
Vậy, và ./.
Ví dụ 14: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải
Ta luôn có và .
Do đó, kết hợp với giả thiết ta có .
Đặt thì và .
Suy ra, .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
Do vậy .
+) hoặc .
+) (hệ có nghiệm .
LOVEBOOK.VN | 29
4 3 2 6 8, 2 6;4k t t
4 2 2 6 3 , 3;6g x x
3;6max 2 2 6 3g x
3;6min 4g x
2 2 3x xy y
4 4 2 23 4A x y x y xy
2 2 2x y xy 2 2 2x y xy
3 23 1
3 2xy xy
xyxy xy
t xy 2 2 3x y t 24 4 2 2 2 2 22 6 9x y x y x y t t
22 2 9A t t
22 2 9f t t t 3;1
1 3;12 2ba
1 173 33; ; 1 92 2
f f f
17 332
A
2 2
3 333
3 3
xy xA
x xy y y
3
3
x
y
2 2
117
22 3
xyA
x xy y
14 6 14 6; ;4 4
x y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng 33 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng ./.
7. Sử dụng dồn biến
a. Nội dung phương pháp
Kỹ thuật dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức là một kỹ thuật làm giảm số biến trong bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi biến,… Trong các kỳ thi Trung học phổ thông chúng ta thường chỉ gặp các bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với những kỹ thuật dồn biến khá là cơ bản như đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; …
Một số đánh giá thường sử dụng thì đã được nêu ở các phần trên, ngoài ra còn
cần chú ý đến một vài đánh giá như: Với thì
(1)
(2) , với
Một số cách đổi biến thường gặp là hoặc hoặc hoặc
; hoặc Bên cạnh việc đổi biến số, chúng ta thường sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc kinh điển để tìm tập giá trị của biến mới.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 15: Cho x, y là các số thực khác không. Chứng minh rằng
.
Lời giải
Đặt thì hoặc .
LOVEBOOK.VN | 30
172
0, 0a b
2 32 2 3 3; ;...a b a b a b a b
c a c b c c a b 0;...c
t x y t xy 2 2t x y
x yty x
t a b c ;...t ab bc ca
2 2
2 23 8 10 0x y x yy x y x
x yty x
2 2x yt ty x
2t
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Từ cách đặt, ta có .
Do hoặc nên hoặc
.
Vậy, . Đẳng thức xảy ra khi ./.
Ví dụ 16: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải
Vì nên
.
Đặt (ĐK: ), ta được .
Lại có nên .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
Suy ra, .
LOVEBOOK.VN | 31
2 2
22 23 8 10 3 8 4 2 3 2x y x y t t t t
y x y x
22 3 2 03
t t t 2t 2 3 2 0, 2t t t
2t
2 2
2 23 8 10 0x y x yy x y x
0x y
1x y
2 24 3 4 3 25S x y y x xy
1x y 2 2 3 316 12 34S x y x y xy
3 22 216 12 3 34 16 2 12x y x y xy x y xy xy xy
t xy 0t 216 2 12S t t
2 102 4
x yxy
10;4
t
216 2 12f t t t 10;4
1 10;2 16 4ba
1 191 1 250 12; ;
16 16 4 2f f f
11 0;0;44
1 25 1 191max ;min4 2 16 16
f t f f t f
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy, Giá trị lớn nhất của S bằng ; khi .
Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi
hoặc ./.
Ví dụ 17: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có và .
.
Đặt thì và .
Xét hàm số trên nửa khoảng . Bảng biến thiên của hàm số
là:
0 4
7
Do đó .
Vậy, P đạt giá trị lớn nhất bằng 7; khi ./.
LOVEBOOK.VN | 32
252
1
1 1; ;1 2 24
x yx y
xy
19116
11
16
x y
xy
2 3 2 3; ;4 4
x y
2 3 2 3; ;4 4
x y
2 2 8x y
2 22 2 13P x y xy x y
0x y 2 2 22 16 4x y x y x y
2 22 2 13 5P x y x y x y x y x y
t x y 0;4t 2 5P t t
2 5f t t t 0;4
f t
t 12
f t 5
214
7, 0;4f t t
2 2 8
; 2;24
x yx y
x y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
8. Sử dụng dấu tam thức bậc hai
a. Nội dung phương pháp
- Định lý (về dấu tam thức bậc hai):
Cho tam thức bậc hai .
+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi .
+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi .
+ Nếu thì có hai nghiệm và ( ). Khi đó, trái dấu
với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (tức là với ) và
cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn (tức là với hoặc
).
- Hệ quả: Từ định lý về dấu tam thức bậc hai ta rút ra các hệ quả sau đây:
.
(2) .
(3) Nếu tồn tại số α sao cho thì .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có
.
Lời giải
Cách 1: (Biến đổi tương đương)
Ta có
LOVEBOOK.VN | 33
2 , 0f x ax bx c a
0 f x x
0 f x 2bxa
0 f x 1x 2x 1 2x x f x
1 2;x x 1 2x x x f x
1 2;x x 1x x
2x x
2 01 , 0
0 a
x ax bx c
2 0, 0
0a
x ax bx c
0af 2 4 0b ac
2 2 219 6 8 12 4 0x y z xy yz zx
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Cách 2: (Sử dụng dấu tam thức bậc hai)
Xét .
Có
.
Suy ra, .
Vậy, ./.
Ví dụ 19: Cho dãy số trong đó các số hạng thuộc đoạn . Chứng
minh rằng .
Lời giải
Xét tam thức bậc hai .
Ta có .
Vì nên . Do đó .
Mặt khác hệ số của bằng nên
./.
9. Sử dụng phản chứng
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh một mệnh đề là đúng theo phương pháp phản chứng thì chúng ta có thể tiến hành như sau:
LOVEBOOK.VN | 34
22 2 2 2 2 219 6 8 12 4 2 4 2 4 2 3 4 2x y z xy yz zx x x y z y z y yz z
2 224 2 2 0, , ,x y z y y z x y z
2 2 22 4 2 19 6 12f x x y z x y z yz
2 2 2 2 2' 4 2 19 6 12 3 4 2y z y z yz y yz z
22 2 0, ,y y z y z
0, , ,f x x y z
2 2 219 6 8 12 4 0, , ,x y z xy yz zx x y z
1 2, ,..., na a a 0;1
2 2 2 21 2 1 21 ... 4 ...n na a a a a a
2 2 2 21 2 1 21 .. ...n nf x x a a a x a a a
2 2 21 1 2 21 ... n nf a a a a a a
0 1, 1, 2,...,ka k n 2 0, 1,2,...,k ka a k n 1 0f
2x 1 0 0f
2 2 2 21 2 1 21 ... 4 ... 0n na a a a a a
2 2 2 21 2 1 21 ... 4 ...n na a a a a a
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
- Bước 1: Giả sử mệnh đề đó là sai (lúc này kết quả đó được dùng làm giả thiết, gọi là giả thiết phản chứng).
- Bước 2: Bằng lập luận lôgic, và những kiến thức đã biết, kết hợp với kết quả ở bước 1 để chỉ ra điều mâu thuẫn với điều giả sử hoặc mâu thuẫn với kết quả đúng đã biết.
- Bước 3: Khẳng định mệnh đề đã cho là đúng.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 20: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng . Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
.
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sia. Khi đó .
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được
(*).
Mặt khác, với thì nên
.
Điều này mâu thuẫn với (*). Suy ra điều giả sử là sai hay có ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng./.
B. Các dạng toán điển hình
Trong phần này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp nêu trên.
LOVEBOOK.VN | 35
Dạng 1
1;5
1 5 4; 1 5 4; 1 5 4a b b c c a
1 5 4
1 5 4
1 5 4
a b
b c
c a
31 5 1 5 1 5 4a a b b c c
1;5x 21 50 1 5 4
2x xx x
31 5 1 5 1 5 4a a b b c c
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn
.
A. B. C. D.
Lời giải
Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước.
Xét phương trình
.
Vậy .
Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Ta có .
Do nên . Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
Đáp án C.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
A. B.
C. D.
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
A. B.
LOVEBOOK.VN | 36
STUDY TIP
Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn bất kỳ.
3 27 11 2y x x x
0;2
11m 0m 2m 3m
3 2 3 27 11 2 2 7 11 0x x x x x x
2 7 11 0 0 0;2x x x x
2m
3 27 10 2 2 5 2y x x x x x x x x
0;2x 2 5 0; 2 2x x x x 2y
0 0;2x 2m
3 22 2f x x x x 0;2
0;2max 2f x
0;2
50max27
f x
0;2max 1f x
0;2max 0f x
3 22 4 1y x x x 1;3
1;3
67max27
y 1;3
max 2y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
C. D.
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
A. B.
C. D.
Ví dụ 2: Cho hàm số . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng:
A. B. C. 9 D. 0
Lời giải
Điều kiện: .
Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
- Kiểm tra phương án B:
Xét phương trình
(điều này không thể xảy ra
vì ).
- Kiểm tra phương án A:
Xét phương trình
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì . Thay vào phương trình thấy thỏa
mãn. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
LOVEBOOK.VN | 37
STUDY TIP
Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không
những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn
bất kỳ thuộc .
1;3max 7y
1;3max 4y
3 23 9 2y x x x 0;4
0;4min 18y
0;4min 2y
0;4min 25y
0;4min 34y
22 3 9y x x
6 9
3 3x
2 22 3 9 9 3 9 9 2x x x x
22
22
99 2 02
9 9 9 2 9 9 9 2
x x
x x x x
3 3x
2 22 3 9 6 3 9 6 2x x x x
3;3
3;3
2 22 2
6 2 0 3
9 9 6 2 9 9 2 6
x x
x x x x
3x
6
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Với mọi , ta có .
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Đáp án A.
Nhận xét:
1. Chúng ta cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số dựa vào bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. Cụ thể như sau:
Ta có
.
Vậy .
2. Bằng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói trên, bạn đọc cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
.
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:
A. 2 B. 0 C. 1 D. 18
Lời giải
Ta có .
Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi .
LOVEBOOK.VN | 38
3;3x 22 3 9 2 2. 3 6y x x x
2
33
9 0
xx
x
6
2
2 2 2 2 2 22. 3. 9 2 3 9 9.13 3 13 3 13y x x x x y
29 6 133 132 3 13x xy x
3;3
6 13max13
y
2 22 3 9 ; 3 5 16y x x y x x
3 23 2y x x 2;2
3 23 2 0,x x x
1 2;2x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 0.
Đáp án B.
Ví dụ 4: Biết rằng biểu thức đạt giá trị
nhỏ nhất khi và chỉ khi . Giá trị của bằng:
A. 11 B. 29 C. 40 D. 49
Lời giải
Với thì và
nên biểu thức M xác định khi .
Ta có .
.
Vậy, biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi .
Do đó .
Đáp án D.
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi M và
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có:
LOVEBOOK.VN | 39
3 23 2y x x 2;2
3 2 4 6 4 5M x x x x
;x a b 2 3a b
4x 23 2 4 4 1x x x 2
6 4 5 4 3x x x
4x
2 24 1 4 3 4 1 3 4 2M x x x x
2 4 1 3 4 0 1 4 3 5 13M x x x x
5;13x
5; 13 2 3 49a b a b
2 3 43 4 3 6
x y zx y z
2 3 2A x y z
3 18m M 3 18m M
4132
m M 3532
m M
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
.
Vì x, y, z không âm nên và .
và .
Vậy và .
Đáp án A.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng
biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi . Tính giá
trị của biểu thức .
A. B. C. D.
Câu 2: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số nguyên
của biểu thức là:
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 3: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số giá trị
nguyên của biểu thức là:
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
LOVEBOOK.VN | 40
2 3 4 2 4 3 2 33 4 3 6 3 4 6 3 3
x y z x y z x zx y z x y z y z
4A z
203
z 14 24 , 0;3 3
A z
4 ; ; 2;0;0A x y z 14 2; ; 0;2;3 3
A x y z
143
M 4m
2 3 43 4 3 6
x y zx y z
2 3 2A x y z 0 0 0; ; ; ;x y z x y z
0 0 024 6 2019S x y z
48S 1390S 1358S 66S
2 3 43 4 3 6
x y zx y z
2 3 2A x y z
2 3 43 4 3 6
x y zx y z
2 2 2 3 3E x y x y z
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 4: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên của biểu thức . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S.
A. 415 B. 451 C. 366 D. 2025
Câu 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng
biểu thức nhận giá trị là số nguyên tố p khi
hoặc . Giá trị của biểu thức
thuộc khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó p, q là
các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của bằng
A. B. 286 C. 1606 D.
Lời giải
Ta có . Đẳng thức xảy ra (tức là ) khi và chỉ khi hệ
phương trình có nghiệm .
Nhưng do F đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương nên .
Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi .
LOVEBOOK.VN | 41
2 3 43 4 3 6
x y zx y z
2 2 2 3 3E x y x y z
2 3 43 4 3 6
x y zx y z
2 2 2 3 3E x y x y z
1 1 1; ; ; ;x y z x y z 2 2 2; ; ; ;x y z x y z
1 2 1 2 1 2T p x x y y z z
9;10 10;11 11;12 8;9
2 22 1 2 5F x y x my pq
pq 2 2p q pqm
74 194
0, ,F x y 0F
2 1 02 5 0x y
x my
4m
4m
4m
22 2 11 9 92 1 2 4 5 5 2
5 5 5F x y x y x y
112 0 5 10 11 05
x y x y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy, với thì . Suy ra và .
Do đó .
Đáp án A.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để
giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một số dương.
A. B. C. D.
Câu 2: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất là số dương khi x, y thỏa
mãn điều kiện . Tỷ số nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 3: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi x, y
thỏa mãn điều kiện . Giá trị của bằng:
A. 12 B. 30 C. 36 D. 52
Câu 4: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn .
LOVEBOOK.VN | 42
Dạng 2
STUDY TIP
1. Cách 2 trong lời giải ở bên dựa vào định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp mà cụ thể là dựa vào điều kiện
4m 9min5
F 9p 5q
2 2 2 29 5 9.5. 4 74p q pqm
2 22 1 2 5F x y x my
4m 10m 4m 10m
2 22 1 2 5F x y x my
0ax by c a b
c
1;2 1;0 0;1 2; 1
2 22 1 2 5F x y x my
10 0x ay b 2 3P a b m
2 1 2 5E x y x my 0E
0 0;1E 0 1;2E 0 2;3E 0 3;4E
2 2y xx
1 ;22
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. B. C. D.
Lời giải
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này trước.
Ta có .
Đáp án D.
Nhận xét:
1. Trong ví dụ này nếu thay giả thiết thành giả thiết thì
cách giải cũng không có gì thay đổi vì điểm rơi vẫn thuộc khoảng .
2. Nếu thay giả thiết thành hoặc chẳng hạn thì kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si cũng cần điều chỉnh (do điểm rơi thay đổi).
- Nếu thì và . Do đó ta cần biết đổi như sau:
.
LOVEBOOK.VN | 43
STUDY TIP
1. Cách 2 trong lời giải ở bên dựa vào định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp mà cụ thể là dựa vào điều kiện
3m
174
m 5m 10m 17
4m
10m 5m 3m
2 231 1 1 13 . . 3y x xx x x x
2 1 11 ;22
x xx
3m
3m
22 32 13 3 2 0 1 2 0 1 ;22
x x x x x xx
1 ;22
x 1 ;22
x
1x 1 ;22
1 ;22
x 1 4;5 5
x 2;6x
1 4;5 5
x 2 1 16;
25 25x
2 5 ;102x
2 2364 64 122 64 64 122 1573 . .
125 125 125 125 125 125 50y x x
x x x x x x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Đẳng thức xảy ra khi .
- Nếu thì và . Do đó ta cần biến đổi như sau:
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng là:
A. 4 B. C. D.
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:
A. B. C. D.
Câu 3. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn khi:
A. B. C. D.
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:
A. B. C. D.
Câu 5. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn khi:
A. B. C. D.
LOVEBOOK.VN | 44
45
x
2;6x 2 4;36x 2 1 ;1
3x
2 2 2 237 1 1 1 7 1 1 1.2 3 . . 58 8 8 8
y x x xx x x x
2x
2f x xx
0;
22 2 2 2
2 32f x xx
1 ;12
2 633 36
2 33 3 33 18
2 83f x xx
1;3
1x 3x 3
23
x 3
26
x
2
341
f x xx
0;2
4 3 33 6 33 6 4 4 3 4
2
232 1
f x xx
0; 3
0x
3
3
2 32 3
x
3 3
3
4 32 3
x
3x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng .
A. B.
C. D.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy .
Đáp án A.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
A. B.
C. D.
Lời giải
Hàm số xác định trên đoạn .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si)
Ta có .
LOVEBOOK.VN | 45
2
43y xx
0;
3
0;min 3 9y
3
0;min 2 9y
0;
33min5
y
0;min 7y
332 2 2
4 3 3 4 3 3 43 3 . . 3 92 2 2 2x x x xy x
x x x
32
3 4 8 0;2 3x x
x
3
0;min 3 9y
2 31
xyx
2;4
2;4
19min3
y 2;4min 2y
2;4min 3y
2;4min 6y
2;4
2 1 4 4 41 1 21 1 1
xy x xx x x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Với thì nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Suy ra .
Vậy .
Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Nhận thấy với thì nên loại ngay phương án B và C.
Kiểm tra phương án D trước (vì ).
Ta có . Vậy .
Đáp án D.
Ví dụ 4: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức .
A. B.
C. D.
Lời giải
Từ giả thiết ta có . Do nên suy ra .
Với thì .
Do đó .
Vì nên . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
LOVEBOOK.VN | 46
2;4x 1 0x
4 41 2 1 . 41 1
x xx x
46, 2;4 ; 6 1 3 2;41
y x y x xx
2;4min 3 6y y
2;4x2 3 0
1xyx
1963
2
23 6 6 9 0 3 2;41
x x x xx
2;4min 6y
2xy x y
min P P x y
min 6P min 2 2 3P
min 2 3 2P min 17 3P
21y x x 0, 0x y 1x
1x
221
1xy x x y
x
2 2 1 1 1 12 1 2 1 31 1 1 1
x xP x x x xx x x x
1x 1 0x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy .
Đáp án B.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
1. Qua kết quả trên đây, chúng ta có thể đề xuất một số câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
Câu 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức là:
A. một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5 B. một số vô tỷ lớn hơn 5
C. một số hữu tỷ lớn hơn 5 D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 5
Câu 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó a, b là các số thực dương. Giá trị của
bằng:
A. 7 B. 13 C. 17 D. 22
Câu 3: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất khi . Giá trị của là:
A. một số nguyên dương B. một số hữu tỷ dương
C. một số vô tỷ lớn hơn 1 D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 1
2. Khi học về hàm số lôgarit (Giải thích lớp 12) thì bài toán này có thể được phát biểu dưới một hình thức khác nhưng bản chất giải quyết vấn đề thì không có gì thay đổi. Chẳng hạn:
LOVEBOOK.VN | 47
1 12 1 2 2 1 . 2 21 1
x xx x
2 2 3P
2
12 1 2 2 4 3 21 ; ;2 21
xx x y
y x x
min 2 2 3P
2xy x y
P x y
2xy x y P x y
a b
a b
2xy x y P x y
0 0; ;x y x y 0 03x y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức .
A. B.
C. D.
Ví dụ 5: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ
nhất của của .
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có . Do nên
. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy khi .
Đáp án D.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
LOVEBOOK.VN | 48
STUDY TIP
Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
với có thể dựa vào đạo hàm (kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn
2ln ln lnx y x y
min P P x y
min 6P min 2 2 3P
min 2 3 2P min 17 3P
2 3 3x y xy
minP P x y
min9 11 19
9P
min9 11 19
9P
min18 11 29
21P
min2 11 3
3P
3 2 3 22 3 31 3 1 3
y yx y xy x P yy y
0, 0x y
302
y
9 6 11 2 11 33 3 3 1 3 2 11 31 3 1 3 3
yP y y Py y
113 13 1 11 2 11 1; ;
3 2 3 31 3
yy
x yyxy
3 21 3
yf y yy
30;2
y
min2 11 3
3P
11 2 11 1; ;3 3
x y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 1: Cho x là số thực thay đổi và luôn thuộc khoảng . Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 2: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Biết rằng biểu
thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó a, b, c là các số
nguyên dương. Gọi S là tập hợp các giá trị của , tính tổng bình phương các phần tử của S.
A. 932 B. 2560 C. 1764 D. 4096
Câu 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Biết rằng biểu
thức đạt giá trị nhỏ nhất khi , tính .
A. B. C. D.
Khi học về hàm số mũ, hàm số lôgarit (Giải tích 12) chúng ta có thể gặp bài toán này dưới hình thức khác. Chẳng hạn như câu 47, mã đề thi 101, THPTQG 2017:
Xét các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị
nhỏ nhất của .
A. B.
C. D.
Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức .
LOVEBOOK.VN | 49
STUDY TIP
Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
với có thể dựa vào đạo hàm (kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn
30;2
23 33 1
x xf xx
0;1 1;2 2;3 3;4
2 3 3x y xy
P x y 3a b c
M a b c
2 3 3x y xy
P x y 0 0; ;x y x y 0 03 6S x y
3 11 6 3 11 4 9 11 18 3 11 3
31log 3 2 4
2xy xy x y
x y
minP P x y
min9 11 19
9P
min9 11 19
9P
min18 11 29
21P
min2 11 3
3P
2 2 7ab bc ca
min Q 2 2 2
11 11 128 56 8 56 4 7
a b cQa b c
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. B.
C. D.
Lời giải
Từ giả thiết, ta có
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Tương tự, ta cũng có .
Lại có .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Suy ra
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy khi .
Đáp án C.
Nhận xét: Khi đánh giá biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si
LOVEBOOK.VN | 50
STUDY TIP
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng
, với , chúng ta có thể tiến hành theo một trong ba cách sau đây: Một là, đánh giá
, với ; hai
là, đánh giá , với
; ba là, đánh giá
và ,
với , , .
34min4 6 3
Q
22min9
Q
min 2Q min 1Q
AfB
0, 0A B
.B k A 0k
.A k B
0k
1.A k C 2 .B k C
0C 1 0k 2 0k
2 2 28 56 8 7 8 2 2 8 2a a a ab bc ca a b a c
28 56 2 2 2 2 2 3 2 2a a b a c a b a c a b c
28 56 2 3 2b a b c
2 24 7 4 2 2 2 2c c ab bc ca a c b c
2 2 2 44 7 2 22 2
a c b c a b cc a c b c
2 2 2 11 11 12 11 11 128 56 8 56 4 7 211 11 122
2
a b c a b ca b c Qa b c
2 2
2 2 3; ; 1;1;22 2
2 2 7
a b a c
a b b ca b c
a c b cab bc ca
min 2Q 3; ; 1;1;
2a b c
2 2 2a b a c
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
theo chiều nhỏ hơn hoặc bằng, chúng ta có 2 cách đánh giá. Đó là,
và .
Nếu đánh giá theo cách thứ nhất thì chúng ta có lời giải như trên, còn nếu đánh giá theo cách thứ hai thì ta có:
.
Việc đánh giá biểu thức Q chưa đạt được mục đích và dấu đẳng thức xảy ra khi
(vô lý).
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ
nhất m của biểu thức thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 2: Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn .
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Câu 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Biết rằng
biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi
. Tính giá trị của biểu thức .
A. B. C. D.
LOVEBOOK.VN | 51
2 2 2 2 2 3 2 2a b a c a b a c a b c
2 2 2 2 2 3 4a b a c a b a c a b c
2 2 2 9 9 208 56 8 56 4 72
a b ca b c
0c
2 2 7ab bc ca
2 2 2
11 11 12
8 56 8 56 4 7
a b cQa b c
302
m 3 22
m 522
m 5 32
m
2 2 7ab bc ca
2 2 2
27 27 60
8 56 8 56 4 7
a b cEa b c
5 6m 6 7m 7 8m 4 5m
2 2 7ab bc ca
2 2 2
11 11 12
8 56 8 56 4 7
a b cQa b c
; ; ; ;a b c m n p 2 9 1945P p n m
1957P 1954 7P 1956 35
5P
58572
P
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Biết rằng
khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì
, trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá
trị của biểu thức .
A. B. C. D.
Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Khi đó, giá trị của bằng
A. 4 B. C. D.
Lời giải
Điều kiện
+) Với mọi , ta có (TMĐK) .
+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
.
Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi (TMĐK).
Do đó . Vậy .
Đáp án D.
LOVEBOOK.VN | 52
Dạng 3
2 2 7ab bc ca
2 2 2
11 11 12
8 56 8 56 4 7
a b cQa b c
ma cn
mn
2 5S m n
19S 16S 7S 12S
24y x x M m
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2x
2;2x 2; 2 2y x y x 2m
2
2 2 2 2 2 21. 1. 4 1 1 4 8y x x x x
2 2y
2
2
04 21 1 2
xx x xx
2 2M 2 2 2M m
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tổng bình phương của M và m bằng
A. B. C. D.
Lời giải
- Điều kiện: . Với điều kiện này thì .
- Với mọi , ta có
.
Suy ra (TMĐK).
- Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
.
Suy ra (TMĐK).
Vậy và . Suy ra .
Đáp án B.
Nhận xét: Khi tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
thì chúng ta hoàn toàn giải được các bài toán sau đây:
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.
LOVEBOOK.VN | 53
3 2 3 2y x x
253
356
256
353
2 33 2
x 0y
2 3;3 2
x
2 1 5 51 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 23 3 3
y x x x x x x
5 15 15 2; 3 2 03 3 3 3
y y x x
2
2 3 4 3 4 25. 2 1. 3 2 1 2 3 22 3 2 3 6
y x x x x
4225 5 6 5 6 3 2 7 2 33; ;36 6 6 1 6 3 22
x xy y x
5 66
M 153
m 2 2 356
M m
3 2 3 2y x x
3 2 3 2x x m
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
có nghiệm.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi .
c
Ví dụ 3: Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn . Giá trị
nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của biểu thức là
A. và B. và
C. và D. và
Lời giải
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
.
Do đó .
Đẳng thức xảy ra khi
Vậy, .
Cách 2: (Sử dụng kiến thức hình học)
Đặt . Từ giả thiết suy ra .
Từ cách đặt và , ta có .
LOVEBOOK.VN | 54
3 2 3 2x x m
3 2 3 2x x m 2 3;3 2
x
2 236 16 9x y
2 5P y x
5516
m 10516
M 154
m 254
M
54
m 454
M 54
m 354
M
2
2 2 21 1 1 1 252 .6 .4 . 36 163 4 9 16 16
x y x y x y
5 5 5 15 252 2 2 54 4 4 4 4
x y x y x y
2 2
1 1.6 .4 2 9 2 9; ; ; ;4 35 20 5 2036 16 9
x yx y
x y
15 25;4 4
m M
6 ; 4X x Y y 2 2 9X Y
2 5P y x 4 3 12 60 0X Y P
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Xét trong hệ trục tọa độ OXY, thì phương trình là phương trình
đường tròn có tâm , bán kính , còn là
phương trình đường thẳng .
Do tồn tại x, y nên cũng tồn tại X, Y. Suy ra và phải có điểm chung
.
Vậy, .
Cách 3: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình)
Ta có .
Thay vào giả thiết, ta được
.
Do tồn tại x, y nên phương trình trên phải có nghiệm
.
Vậy, .
Ví dụ 4: Xét các số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức
. Gọi S là tập giá trị của biểu thức
. Tập hợp S có bao nhiêu số nguyên dương?
A. 0 B. 23 C. 25 D. 9
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 55
2 2 9X Y
C 0;0O 3R 4 3 12 60 0X Y P
C
12 60 15 25, 35 4 4
Pd O R P
15 25;4 4
m M
2 5 2 5P y x y x P
2 5y x P 2236 16 2 5 9x x P
22100 64 5 16 5 9 0x P x P
2 22' 32 . 5 100. 16 5 9 0P P
2 25 5 5 15 255 516 4 4 4 4
P P P
15 25;4 4
m M
2 2 22 3 4 16x y z
2 2 4F x y z
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ta có . Do vậy áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
.
Suy ra
.
Đẳng thức xảy ra khi
hoặc .
Suy ra và S có 25 số nguyên dương.
Đáp án C.
Sử dụng kiến thức hình học
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
A. B. C. 9 D. 7
Lời giải
Ta có nên hàm số xác định trên .
Xét hai vectơ và thì và .
Do nên .
LOVEBOOK.VN | 56
Dạng 4
STUDY TIP
Khi học về phương trình, chúng ta cũng có thể gặp một hình thức khác của dạng toán này. Đó là, giải phương trình:
2 2 3 2 4 2 2 9x y z x y z
2 2 2 22 22 2 9 2 1 2 . 2 3 4 12x y z x y z
12 2 2 9 12 25 2 2 4 1x y z x y z
1 2 2 25 1 25x y z F
2 2 2
2 3 42 1 2
2 3 4 16
x y z
x y z
2 13; ; ; ;3 3 3
x y z
14 5 20; ; ; ;3 3 3
x y z
1;25S
2 26 13 14 58f x x x x x
17 41
2 23 2f x x 2 27 3x
2 6 13x x
2 14 58 41x x
3;2a x
7 ;3b x f x a b
41a b
a b a b
41f x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi cùng hướng
.
Vậy .
Đáp án B.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:
A. một số hữu tỷ nhỏ hơn 8 B. một số vô tỷ lớn hơn 6
C. một số vô tỷ nhỏ hơn 5 D. một số nguyên lớn hơn 8
Câu 2. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm:
A. thuộc khoảng B. thuộc khoảng
C. thuộc khoảng D. thuộc khoảng
Câu 3. Biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ
nhất tại điểm , trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối
giản. Giá trị của bằng:
A. 1 B. 9 C. 21 D.
Cũng từ bài toán trên cùng với cách giải của nó, chúng ta có thể phát triển bài toán thành các bài toán sau đây:
Câu 1. Cho hai số thực bất kỳ x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
A. B. C. 9 D. 7
LOVEBOOK.VN | 57
,a b
3 3 2 7 23
53 7 0
x xx
x x
min 41f x
2 26 13 14 58f x x x x x
2 26 13 14 58f x x x x x
1;3 3;5
5;7 0;1
2 26 13 14 58f x x x x x
mxn
mn
2 5m n
3
2 2 2 2, 6 4 13 14 6 58f x y x y x y x y x y
17 41
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
A. 5 B. 7 C. D.
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. 5 B. D. D.
Câu 4. Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. B. C. D.
Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn
nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức .
A. và B. và
C. và D. và
Lời giải
Ta có (*).
Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, thì (*) là phương trình đường tròn có tâm
, bán kính .
Gọi là điểm tùy ý thuộc đường tròn . Khi đó .
Ta có nên O nằm ngoài .
Với mọi điểm , ta có .
LOVEBOOK.VN | 58
STUDY TIP
Trong lời giải này, chúng ta không cần phải chỉ ra tọa độ của điểm P để đẳng thức xảy ra vì ở phần kiến thức cần biết chúng ta đã chỉ ra sự tồn tại và cách xác định điểm P rồi. Nêu câu hỏi có liên quan đến điều kiện để đẳng thức xảy ra thì chúng ta cần phải chỉ ra tọa độ của P. Ta có:
;
.
Đến đây thì bạn đọc có thể tự đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F và điều kiện để đạt được giá trị đó.
2 2 2 2, 3 4f x y x y x y
17 14
2 2, 2 3f x y x y x y
13 10 2 3
225
OP OP OI
8 6;5 5
P
885
OP OP OI
32 24;5 5
P
3 0x y
2 2 2 210 4 29 20 2 101K x y x y x y x y
41 82 2 41 34
2 2 8 6 16 0x y x y
2 2F x y
8M 2m 2 2M 2m
64M 4m 16M 4m
2 22 2 8 6 16 0 4 3 9x y x y x y
C
4; 3I 3R
;P x y C 2F OP
224 3 5 3OI R C
P C 2 8OI R OP OI R OP
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Suy ra và .
Đáp án C.
Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp bài toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lại về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây:
Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của
là:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn . Môđun lớn nhất của số phức z là:
A. B.
C. D.
Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính .
A. B. C. D.
Ví dụ 3: Gọi là nghiệm của hệ phương trình , với m là
tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , khi m thay đổi.
A. B. C. D.
Lời giải
Cách 1: (Lời giải đại số)
LOVEBOOK.VN | 59
28 64M 22 4m
4 3 3z i
z
1 2 3z i
14 6 5 15 14 6 5
5
15 14 6 5
5
14 6 5
1 2 4z i
2z i 2 2S M m
34S 82S 68S 36S
;x y2 43 1
x my mmx y m
2 2 2L x y x
29 852
11 85 10 85
29 852
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ta có và
.
Sử dụng phương pháp miền giá trị, ta có: .
. Do đó, giá trị lớn nhất của là .
Cách 2: (Lời giải hình học)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng
và .
Nhận thấy luôn đi qua điểm cố định luôn đi qua điểm cố định
và vuông góc với nhau.
Điểm là giao điểm của và thì M thuộc đường tròn đường
kính AB có tâm , bán kính .
, với . Có nên J nằm ngoài
.
Với mọi thì
.
Do đó, giá trị lớn nhất của L là .
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 60
2 21 1L x y
1 1 42 43 1 1 2 1
x my mx my mmx y m m x y m
2 2 2 21 1 1 4 2 1x my m x y m m
2 22 2
2 2 94 181 20 191 1
mmx y Lm m
2
9 85 2 9 9 852 1 2
mm
10 85 10 85L L 10 85
1 : 2 4d x my m 2 : 3 1d mx y m
1d 22;4 ,A d
3;1B 1 2,d d
;M x y 1d 2d C
5 5;2 2
I
1 102 2
R AB
2 2 21 1 1L x y JM 1;0J342
IJ R
C
M C34 10 34 10
2 2IJ R JM IJ R JM
2 211 85 11 85 10 85 1 10 85JM JM
10 85
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 4: Xét các số thực x, y thỏa mãn
.
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
. Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
(*).
Xét hai vectơ và .
Ta có .
Do vậy, (*) trở thành .
Điều này xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng
.
Khi thì .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
Suy ra .
LOVEBOOK.VN | 61
STUDY TIP
Nếu chúng ta chỉ tập trung biến đổi đại số điều kiện đã cho thì bài toán trở nên dài dòng và phức tạp. Dấu hiệu để chúng ta có thể nhận dạng sử dụng hình học để giải là biểu thức dưới căn bậc hai viết được dưới dạng tổng bình phương của hai số. Qua lời giải bên, bạn đọc tự đề xuất những câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và điều kiện để đạt được các giá trị đó.
2 2 2 24 2 5 8 14 65 6 2x y x y x y x y
2 2 2 2 2T x y x y P m M
86M 171
2P
123P 123
2P
2 2 2 24 2 5 8 14 65 6 2x y x y x y x y
2 2 2 22 1 4 7 6 2x y x y
2; 1u x y
4 ;7v x y
2 26;6 6 6 6 2u v u v
u v u v
,u v
2 7 1 4 32 42 4 0
x y y x y xxx x
3y x 2 2 22 2 2 2 6 17x y x y x x
22 6 17f x x x 2;4
6 3 2;42.2 2
3 252 13; ; 4 732 2
f f f
2;4 2;4
25min ;max 732
f x f x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Do đó và .
Đáp án B.
Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp dạng toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lạ về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây.
Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn . Gọi m, M lần
lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính .
A. B.
C. D.
Câu 2: Xét các số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ
nhất m của biểu thức .
A. B. C. D.
Ví dụ 5: Cho các số thực x, y thay đổi và luôn thỏa mãn hệ thức
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. B. 34 C. 40 D. 17
Lời giải
Hệ thức đã cho được viết lại thành .
LOVEBOOK.VN | 62
25 ; 732
m M 171
2m M
2 4 7 6 2z i z i
1z i P m M
13 73P 5 2 2 73
2P
5 2 73P 5 2 73
2P
2 1 13z i z i
2z i
1m 2 13
13m
1313
m 1
13m
2 2 2 22 1 6 8 25 10x y x x y x y
2 21 2P x y
172
2 2 221 3 4 10x y x y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Xét các điểm và . Khi đó, hệ thức đã cho trở
thành , còn biểu thức .
Dễ thấy I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (khi đó MAB là tam giác cân tại M
và có có nghĩa là tồn tại M).
Đáp án D.
Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là:
A. 1 và B. và C. và D. và
Lời giải
Cách 1: (Lời giải tự luận)
Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số .
Khi đó phương trình (*) có nghiệm.
- Trường hợp 1: .
(*) trở thành .
- Trường hợp 2: .
LOVEBOOK.VN | 63
Dạng 5
STUDY TIP
Lời giải tự luận trong ví dụ này ngoài cách được trình bày theo miền giá trị của hàm số thì chúng ta còn có thể sử dụng bảng biến thiên của hàm số (dựa vào công cụ đạo hàm trong chương trình Giải tích 12).
; , 1;0 , 3;4M x y A B 1;2I
10MA MB 2P IM
2 2 22
2 4MA MB ABIM
22 8 17 17
2MA MBIM P
5MA MB
4 2AB
2
2
8 71
x xyx
9 9 192
12
132
32
0y2
2
8 71
x xyx
2
20 0 02
8 7 1 8 7 01
x x y y x x yx
0 01 0 1y y
38 6 04
x x
0 01 0 1y y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
(*) có nghiệm khi và chỉ khi
.
Kết hợp hai trường hợp, ta có và .
Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
- Kiểm tra phương án A.
Ta có .
Đến đây, chúng ta không đánh giá được , tức là nên giá trị lớn nhất của hàm số không phải là 1. Do đó, loại phương án A.
- Kiểm tra phương án B.
+) .
+) .
Do vậy, phương án đúng là B (lúc này không cần kiểm tra các phương án còn lại nữa vì trong hai phương án còn lại giá trị lớn nhất nhỏ hơn 9).
Cách 3: (Sử dụng cách loại trừ)
Ta có nên .
Do đó, các phương án A, C và D không phù hợp.
Đáp án B.
Nhận xét: Từ lời giải tự luận của ví dụ này, với chú ý rằng và
, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
Câu 1: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tính trung bình cộng của M và m.
LOVEBOOK.VN | 64
0 0' 16 1 7 0y y
20 0 08 9 0 1 9y y y
max 9y min 1y
2 22
2 2 2
8 7 18 7 8 611 1 1
x x xx x xx x x
2
8 6 0,1
x xx
1y
22 2
2 2
8 7 9 1 2 2 1 19 0, ; 91 1 2
x x x xy x y x
x x
22
2 2
2 22 8 81 0, ; 1 21 1
xx xy x y xx x
0 7y max 0 7y y
192
M x
1m 2x
2
2
8 71
x xyx
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. 8 B. 4 C. D. 2
Câu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của hàm số . Hỏi tập hợp S có bao nhiêu phần tử?
A. 11 B. 10 C. 9 D. 5
Câu 3: Biết rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất khi và đạt giá
trị nhỏ nhất khi . Tính giá trị của biểu thức .
A. B. C. D.
Câu 4: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn . Tính tổng bình phương của M và m.
A. 82 B. 80 C. 64 D. 100
Câu 5: Biết rằng tồn tại các số thực c, d để hàm số đạt giá trị lớn
nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. B.
C. D.
Câu 6: Trong các cặp số thỏa mãn thì là
cặp số mà y đạt giá trị lớn nhất. Trung bình nhân của và bằng
A. B. C. D.
Câu 7: Cho x, y là các số thực không đồng thời bằng không. Gọi M và m lần lượt
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính
.
A. B. C. D.
LOVEBOOK.VN | 65
4
2
2
8 71
x xyx
2
2
8 71
x xyx
x a
x b 4 5F a b
8F 16F 16F 8F
2
2
8 71
x xyx
3;2
2
2 1x cx dy
x
1
27 8 9c d 2285 32 290c d
12 17c d 15 2 22c d
;x y 2 2 8 7 0x yx x y 0 0;x y
0x 0y
292
194
9 22
2 2
2 2
8 7x xy yFx y
P M m
8P 8P 4P 4P
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 8: Xét các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn và biểu
thức . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của S. Kí hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá p, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Ví dụ 2: Cho a là số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của
hàm số theo a.
A. và
B. và
C. và
D. và
Lời giải
Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số .
Khi đó phương trình có nghiệm
(*) có nghiệm.
- Trường hợp 1: .
(*) trở thành .
- Trường hợp 2: .
LOVEBOOK.VN | 66
2 2 3x y
2 28 7S x xy y
p
14M m 2 30M m
2 12M m 17M m
2
1236
x x ax
212 36m a 212 36M a
26 2 36m a 26 2 36M a
212 2 36m a 212 2 36M a
26 36m a 26 36M a
0y
2
1236
x x ay
x
02
1236
x x ay
x
0 012 12 36 0y x ax y
0 012 0 12y y
3612 12.36 0ax xa
0 012 0 12y y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
(*) có nghiệm khi và chỉ khi
.
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có và .
Đáp án D.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho a là số thực khác 0. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của hàm số theo a. Tính tổng bình phương của m và M.
A. 144 B. C. D.
Câu 2: Gọi T là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số đạt
giá trị lớn nhất bằng . Tính tổng các phần tử của tập hợp T.
A. 0 B. C. D.
Câu 3: Cho a là số thực thỏa mãn . Số giá trị của a để giá trị nhỏ
nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất là
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
Câu 4: Cho a là số thực dương. Biết rằng tập giá trị của hàm số
là đoạn và tồn tại a để . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Câu 5: Gọi S là tập hợp các số nguyên a sao cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số đều là các số nguyên. Tập hợp S gồm bao nhiêu phần tử?
LOVEBOOK.VN | 67
20 0' 36 36 12 0a y y
2 2 2 20 0 012 0 6 36 6 36y y a a y a
26 36m a 26 36M a
2
1236
x x ay
x
2144 2a 2360 2a 2576 8a
2
1236
x x ay
x
6 7 2
144 248 144
10 7a a
2
1236
x x ay
x
2
1236
x x ay
x
;m M 2 3 4 4 0M M m
1 3a 3 4a 6 8a 12 14a
2
1236
x x ay
x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. 4 B. 2 C. 3 D. 8
Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Tìm giá
trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức .
A. B.
C. D.
Lời giải
Từ giả thiết, ta có .
- Nếu thì từ giả thiết ta có . Suy ra .
- Nếu thì , trong đó .
Ta có (*).
+) Với thì (*) trở thành .
+) Với thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi
.
Kết hợp hai trường hợp, ta có và .
Đáp án A.
Nhận xét: Từ lời giải ở trên, với chú ý rằng thì và thì
, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
LOVEBOOK.VN | 68
STUDY TIP
1. Lời giải bên cũng là một ví dụ cho cách dồn biến thông
qua đổi biến . Ngoài lời giải trên thì ví dụ này còn được giải dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác thông qua việc đổi biến (một cách dồn biến khác)
như ; . Bạn đọc có thể tìm hiểu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trong cuốn sách Công phá Toán 2.
2. Ví dụ này được chuyển sang dạng trắc nghiệm khách quan dựa trên câu IV.2 đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2018.
2 2 1x y
2
2
2 6
1 2 2
x xyP
xy y
3; 6M m 6; 3M m
6; 12M m 12; 6M m
2
2 2
2 6
2 3
x xyP
x xy y
0y 2 1x 2P
0y 2
2
2 6
2 3
t tP
t t
xty
xty
sinx t cosy t
2
22
2 62 2 6 3 0
2 3
t tP P t P t P
t t
2P 38 6 04
t t
2P 2' 6 3 2 0P P P
2 3 18 0 6 3P P P
3M 6m
3M 3t 6m
32
t
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Gọi
là giá trị lớn nhất của biểu thức thì thuộc khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 2: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức là:
A. một số nguyên dương B. một số nguyên âm
C. một số vô tỷ dương D. một số vô tỷ âm
Câu 3: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Biết rằng
khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì , trong đó m, n
là các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của bằng:
A. 53 B. 67 C. 34 D. 62
Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức . Biểu thức
đạt giá trị lớn nhất khi , tính giá trị của
.
A. B. C. D.
Câu 5: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Biết rằng
biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi .
Tính giá trị của biểu thức .
LOVEBOOK.VN | 69
2 2 1x y max P
2
2
2 6
1 2 2
x xyP
xy y
max P
2;5 0;2 7; 4 4;0
2 2 1x y
2
2
2 6
1 2 2
x xyP
xy y
2 2 1x y
2
2
2 6
1 2 2
x xyP
xy y
my xn
mn 19 5m n
2 2 1x y
2
2
2 6
1 2 2
x xyP
xy y
0 0; ;x y x y
2 20 0 0 0S x x y y
1310
713
710
1913
2 2 1x y
2
2
2 6
1 2 2
x xyP
xy y
0 0; ;x y x y
20 0130L m x y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. 96 B. C. 48 D.
Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn
nhất của biểu thức là
A. B. C. D.
Lời giải
- Nếu thì từ điều kiện suy ra . Do đó, .
- Nếu thì , với .
Suy ra (*).
+) thì (*) trở thành .
+) thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi
. Suy ra .
Kết hợp hai trường hợp, ta luôn có . Vậy, .
Đáp án B.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn
nhất của biểu thức là
A. một số nguyên dương B. một số vô tỷ dương
C. một số nguyên tố D. một số chính phương
Câu 2: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Gọi S là tập
giá trị của biểu thức . Hỏi tập hợp S có bao nhiêu số nguyên tố?
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
LOVEBOOK.VN | 70
24 30
2 22 3 4x xy y
max P 2P x y
max 8P max 12P max 16P max 4P
0y 2 4x 4P
0y 2 2
2 2 2
2 14 2 3 2 3
x yP t tQx xy y t t
xty
21 2 1 3 1 0Q t Q t Q
1Q 14 2 02
t t
1Q 2' 1 1 3 1 0Q Q Q
2 3 0 0 3Q Q Q 0 3 0 124P P
0 12P max 12P
2 22 3 4x xy y
2P x y
2 22 3 4x xy y
2 2 2P x y xy
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Biết rằng giá
trị lớn nhất của biểu thức là một số nguyên m. Gọi S là tập hợp các ước số dương của m. Tổng các phần tử thuộc S bằng
A. 28 B. 27 C. 15 D. 16
Câu 4: Xét hệ phương trình , với a là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để hệ phương trình có nghiệm.
A. 13 B. 12 C. 4 D. 5
Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn
nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức .
A. và B. và
C. và D. và
Lời giải
Điều kiện: và .
Từ giả thiết, ta có .
Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức Cô-si)
Từ điều kiện đã cho ta có .
.
+) Do nên
.
LOVEBOOK.VN | 71
2 22 3 4x xy y
2 2 2P x y xy
2 2
2 2
2 3 4
2
x xy y
x xy y a
3 1 3 2x x y y
K x y
9 3 15M 9 3 15m 9 3 15M 0m
9 3 15M 9 3 21
2m
3 15M 3 21
2m
1x 2y
1 2x y x y
0x y
23 1 2 9 3 18 1 2x y x y x y x y x y
1 0; 2 0x y 2 9 3x y x y
2 9 3 219 27 02
x y x y x y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Đẳng thức xảy ra khi hoặc .
+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .
Do đó ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy và .
Cách 2: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm)
Đặt và , với .
Từ điều kiện ban đầu, ta có .
Điều kiện tồn tại các số a, b không âm thỏa mãn là
.
Lại do nên .
Vậy và .
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 72
STUDY TIP
Ví dụ này được chuyển sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan dựa vào câu 1, đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2005 (VMO 2005).
1 2 0 1
11 3 219 3 2122
x y x
yx y
13 3 212
2
x
y
2 1 2 3x y x y
2 9 3 9 3 18 54x y x y x y x y
2 18 54 0 9 3 15x y x y x y
1 2 10 3 5 8 3 5; ;
2 29 3 15
x yx y
x y
9 3 15M 9 3 21
2m
1; 2a x b y m a b 0, 0a b
2
2 2 3 33 32
m ma b a b ab
21 3 32
a b m
ab m m
2
2 2
03 213 3 0 3 15
22 3 3 0
m
m m m
m m m
3 3x y a b m 9 3 21 9 3 15
2x y
9 3 15M 9 3 21
2m
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Giá trị lớn nhất
của biểu thức là
A. một số nguyên dương nhỏ hơn 7 B. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 7
C. một số nguyên dương lớn hơn 20 D. một số vô tỷ lớn hơn 20
Câu 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức có dạng , trong đó a, b, c là các số nguyên
dương. Giá trị lớn nhất của là
A. 25 B. 73 C. 75 D. 199
Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Biết rằng khi
biểu thức đạt giá trị lớn nhất thì x có dạng , trong đó p, q là
các số nguyên dương. Giá trị của bằng
A. 25 B. 36 C. 55 D. 66
Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Gọi S là tập giá
trị của biểu thức . Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp S?
A. 3 B. 9 C. 10 D. 12
Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
.
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 73
3 1 3 2x x y y
F x y
3 1 3 2x x y y
F x y .
2a b c
a b c
3 1 3 2x x y y
F x y 2p q
p q
3 1 3 2x x y y
F x y
1 23
x y mx y m
9 3 15;9 3 15 0;9 3 15
3 21 ;3 152
9 3 21 ;9 3 152
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 6: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn .
Tập giá trị của biểu thức là
A. B. C. D.
Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính tổng bình phương của M và m.
A. B. 10 C. 17 D. 16
Câu 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ
nhất m của biểu thức là
A. B. C. D.
Sử dụng tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn .
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt . Do nên .
Hàm số đã cho trở thành .
Ta có và nên .
Đáp án D.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn .
LOVEBOOK.VN | 74
Dạng 6
STUDY TIP
Qua lời giải trên chúng ta tìm được
.
1 2 2 3x y x y
T x y
7;7 1;7 1 3;7 3;7
2 9 4 1 2x y x y
F x y
172
2 3 3x y x y
2 24 15P x y xy
80m 91m 83m 63m
0; 3min 1 2y y
4 22 3y x x 0; 3
9M 8 3M 1M 6M
2t x 0; 3x 0;3t
2 2 3y t t
1 0;32ba
0 3; 1 2; 3 6y y y 6M
4 2 13y x x 2;3
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. B. C. D.
Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng:
A. 50 B. 5 C. 1 D. 122
Câu 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
lần lượt là:
A. 5 và B. và C. và D. và
Câu 4: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng 1.
A. B. C. D.
Ví dụ 2: Cho hàm số (m là tham số thực) thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên đoạn và .
Cách 1: Vì và nên
.
Cách 2: Xét hiệu .
LOVEBOOK.VN | 75
STUDY TIP
Trong cách 1 thì chúng ta không biết được hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại điểm nào. Còn trong cách 2 lời giải tuy hơi dài nhưng chúng ta biết được hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu và đạt được khi nào.
514
m 494
m 13m
512
m
4 24 5f x x x 2;3
4 22 3y x x
2;2
4 3 4 5 3 1 1
4 2 22 1y x m x m
0;1
3m 11;2
m m 1m 2m
1x myx
2;4
min 3y
1m 3 4m 4m 1 3m
2;4 42 2; 43
my m y
2;min min 2 ; 4
yy y y
2;min 3
yy
2 3
4 3
y
y
2 35
4 9m
mm
2 142 4 23 3
mmy y m
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
- Nếu thì (loại).
- Nếu thì (nhận).
- Nếu thì . Do đó không thể xảy ra .
Vậy .
Đáp án C.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là:
A. 1 và 3 B. 0 và C. 0 và 1 D. và 0
Câu 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn . Giá trị của biểu thức là:
A. B. C. D.
Câu 3: Cho hàm số (m là tham số thực) thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng khi m nhận giá trị bằng:
A. B. 1 C. 0 D.
Câu 5: Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên đoạn .
LOVEBOOK.VN | 76
1m
2;2 4 min 2 2 3 1
yy y y y m m
1m
2;2 4 min 4 4 9 5
yy y y y m m
1m 1 1, 2;4
1xy xx
2;4
min 3y
5m
12 1xyx
1;3
27
27
2
21
xyx
0;1 4 4P M m
4P 8P 1P 16P
1x myx
1;2 1;2
16min max3
y y
0m 4m 0 2m 2 4m
2 1mxf xm x
2;313
5 2
4mxyx m
2;6
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. B. C. D.
Ví dụ 3: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
0 2
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là một số nguyên dương M. Gọi S là tập hợp các ước nguyên dương của M. Tập hợp S có bao nhiêu phần tử?
A. 8 B. 4 C. 6 D. 10
Lời giải
Ta có . Suy ra, bảng biến thiên của hàm số
trên đoạn là
0 2 4
14
Do đó, với mọi thì . Suy ra .
Vậy, nên . Khi đó, S có 8 phần tử.
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
LOVEBOOK.VN | 77
13
m 45
m 34
m 67
m
3 23 2f x x x
x
f x 2
6
y f x 3;4
3 56; 4 14f f y f x
3;4
x 3
f x 2
56 6
3;4x 56 14f x 0 56f x
56M 1;2;4;7;8;14;28;56S
2 12x x y 0y
min M3 2 29M xy x y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có .
+) .
+) .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
Suy ra hay , đạt được khi .
Đáp án A.
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định của hàm số.
A. B. .
C. D.
Lời giải
Điều kiện: .
Đặt . Ta có .
+) Do nên hoặc .
LOVEBOOK.VN | 78
STUDY TIP
Qua lời giải bên, chúng ta
tìm được .
10min3
M 10min9
M
min 2M 34min3
M
max 93M
2 212 12x x y y x x
20 12 0 4 3y x x x
2 3 2 212 2 12 29 3 10 5M x x x x x x x x
23 10 5f x x x 4;3
10 5 4;32.3 3
5 104 93; ; 3 23 3
f f f
4;3
10min3
f x
10min3
M 5 50; ;3 9
x y
1 3 1 3y x x x x
1;3min 2 2 1y
1;3min 2 2 2
1;3
8min10
y
1;3
9min10
y
1 3x
1 3 , 0t x x t 2 4 2 1 3t x x
1 3 0x x 2 4 2; 2 1t t t x 3x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
+) Lại do nên .
Đẳng thức xảy ra khi .
Từ cách đặt, ta có , với .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và nên
.
Suy ra .
Đáp án B.
Sử dụng kỹ thuật dồn biến
Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn . Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
A. và B. và
C. và D. và .
Lời giải
Ta có
Đặt . Do nên .
LOVEBOOK.VN | 79
Dạng 7
2 1 3 1 3 4x x x x 2 8 2 2t t
1 3 1x x x
224 1 2
2 2ty t t t
2 2 2t
21 22
f t t t 2;2 2
1 2;2 22ba
2 2; 2 2 2 2 2f f
2;2 2min 2 2 2f t
1;3min 2 2 2y
2 2 2x y
max P min P 3 3 1P x y xy x y x y
min 3P max 1P min 3P max 2P
min 3P 3max2
P min 3P
5max3
P
3 33 1 2 1P x y xy x y xy x y x y x y xy x y x y
t x y 22 2 2 2 2x y x y xy 2 22
txy
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Suy ra .
Do nên .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và nên và
. Do đó và .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn và . Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Với a và b dương, , ta luôn có (*).
Thật vậy, (*)
, luôn đúng với
a và b dương, .
Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi hoặc .
Với x và y thuộc đoạn và (tức ), ta có
LOVEBOOK.VN | 80
2
3 22 12 1 12 2
tP t t t t t
2 4x y xy
22 224. 4 2 2
2tt t t
21 12
f t t t 2;2
1 2;22ba
32 3; 1 ; 2 12
f f f
2;2
3max2
f t
2;2min 3f t
min 3P
3max2
P
1;4 ,x y x z
2 3x y zP
x y y z z x
4742
1433
3433
65
1ab 1 1 2
1 1 1a b ab
2 1 2 1 1a b ab a b
22 2 1 0a b ab ab a b ab ab a b
1ab
1ab a b
1;4 x y1. 1xy
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc .
Đặt thì . Khi đó .
Ta có và . Ta sẽ chỉ ra .
Thật vậy,
hay .
Đẳng thức xảy ra khi (khi đó ).
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và .
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng .
Đáp án C.
Sử dụng dấu tam thức bậc hai
Ví dụ 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để biểu thức
luôn dương với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0. Đếm số giá trị nguyên của tham số m trong tập hợp S.
A. 27 B. 9 C. 26 D. 13
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 81
Dạng 8
1 1 1 22 3 1 1 2 3. 1
xPz x yx y xy z x y
z xy z
1xy
xty
1;2t 2
2
22 3 1
tP f tt t
615
f 34233
f 2f t f
2
2
34 4 2 233 2 3 11 1 3
tf tt t
2
2
2 35 27 480, 1;2
33 1 2 3
t t tt
t t
34 , 1;233
f t t
2t 4 4, 1x x y
y
3433
P 4, 1x y 2z
3433
2 2 29 20 4 12 6x y z xy myz zx
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Đặt
.
- Nếu thì với mọi x, z không đồng thời bằng 0.
- Nếu thì với mọi x, y không đồng thời bằng 0.
- Nếu thì
.
.
Kết hợp các trường hợp, ta có .
Do đó, trong tập hợp S có 27 số nguyên.
Đáp án A.
Sử dụng phản chứng
Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số thực tùy ý thuộc . Xét các bất đẳng thức:
(I): (II): ; (III): .
Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?
A. Có đúng một bất đẳng thức là sai.
B. Cả ba bất đẳng thức đều sai.
C. Có ít nhất là một bất đẳng thức là sai.
D. Có ít nhất hai bất đẳng thức là sai.
LOVEBOOK.VN | 82
Dạng 9
2 2 29 20 4 12 6F x y z xy myz zx
2 2 29 6 2 20 4x y z x y z myz
0y 22 2 29 6 4 3 3 0F x zx z x z z
0z 22 2 29 12 20 3 2 16 0F x xy y x y y
0yz 2 2 29 6 2 20 4 0, , ,F x y z x y z myz x y z
2/ 2 29 2 9 20 4 0, , 0x y z y z myz y z
2 216 4 3 0, , 0y m yz z y z
2 2 24 4.16.3 0, 0y m z z z
24 64.3 4 8 3 4 8 3m m
4 8 3; 4 8 3S
3;6
3 6 3;a b 3 6 3b c 3 6 3c a
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Lời giải
Cách 1: (Lời giải tự luận)
Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng. Do đó:
.
Với mọi , ta lại có nên
.
Suy ra, điều giả sử là sai hay trong ba bất đẳng thức đã cho có ít nhất một bất đẳng thức là sai.
Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm)
Cho thì (I) là đúng, còn (II) và (III) là sai nên loại ngay được các phương án A và B.
Cho thì (I) và (II) là đúng, còn (III) là sai nên loại được phương án D.
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 83
6 3 6 3 6 9a a b b c c
3;6x 3 6 3 6 3x x x x
3 6 3 6 3 6 3 3 3 9a a b b c c
3; 6; 0a b c
3; 0; 6a b c
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 193
Câu hỏi ở mức độ nhận biết
Câu 1: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
B. .
C.
D.
Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Cho a, b, c, d là các số thực bất kỳ thỏa
mãn . Mệnh đề nào dưới đây là SAI?
A. B.
C. D.
Câu 4: Cho a, b là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là SAI?
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Bất đẳng thức nào dưới đây KHÔNG
tương đương với bất đẳng thức ?
A.
B.
C.
D.
Câu hỏi ở mức độ thông hiểu
Câu 6: Nếu và thì bất đẳng thức nào dưới đây là SAI?
A. B.
C. D.
Câu 7: Nếu và thì bất đẳng thức nào dưới đây là luôn đúng?
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 84
a b ac bc
a ba c b d
c d
1 1c dc d
a bac bd
c d
a ba d c b
c d
a ba c b d
c d
00
a b a bc d c d
00
a b a dc d b c
0; 0a b c d
ad bd 2018 2018c d
ac bd ad bc
a b a b
0a b a b ab
a b a b
0a b a b ab
0a b
2019 2019 0a b
3920 1945 1975a a b
1 10a b
1 1a b
a b a b a b
0ab a b a b
0a b a b a b
2 2a b
4 4b c
a c 2019 2019a c
ab bc 2018 2018c a
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 8: Nếu thì bất đẳng thức nào dưới đây là SAI?
A. B.
C. D.
Câu 9: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. B.
C. D.
Câu 10: Cho x, y, z là độ dài các cạnh của một
tam giác và biểu thức . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 11: Cho biểu thức
, với ,
. Biểu thức F đạt giá trị lớn nhất nếu
cặp nhận giá trị:
A. B.
C. D.
Câu 12: Hàm số đạt giá trị
nhỏ nhất trên khi x nhận giá trị nào dưới đây?
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
Câu 13: Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x nhận giá trị nào dưới đây?
A. B.
C. D.
Câu 14: Hàm số đạt
giá trị lớn nhất trên đoạn khi:
A. B.
C. D.
Câu 15: Cho các số thực x, y thỏa mãn hệ:
.
Biểu thức đạt giá trị bé nhất khi cặp
nhận giá trị:
A. B.
C. D.
Câu 16: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
A. B. 3 C. D.
LOVEBOOK.VN | 85
0 1a
1 aa
2
1 aa
3 2a a 3a a
0 1ab
0 a b 0b a
2a ab 2 2b a
x y zTy z z x x y
0 1T 1 2T
2 3T 3 4T
3 4 2 3F x y x y 0 3x
0 4y
;x y
3;4 0;2
0;4 3;0
22 3 3
1x xf x
x
0;3
2 4 8f x x x
4x 8x
245
x 365
x
3 28 16 9f x x x x
1;3
1x 3x
43
x 53
x
2 22
5 4
x yx yx y
2F y x
;x y
2;6 0;2
1 7;3 3
4 2;3 3
2 4 7f x x x
3 2 7
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 17: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng:
A. 3 B. 4 C. 3 D. 7
Câu 18: Hàm số đạt:
A. giá trị lớn nhất bằng 15
B. giá trị nhỏ nhất bằng 6
C. giá trị lớn nhất bằng 6
D. giá trị nhỏ nhất bằng 15
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn là:
A. B. 1 C. 3 D. 9
Câu 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa
mãn điều kiện và xét các bất đẳng thức:
(I): ; (II): ; (III): .
Mệnh đề nfao dưới đây đúng?
A. Chỉ (I) đúng B. Chỉ (II) đúng
C. (I) và (II) đúng D. (II) và (III) đúng
Câu 21: Cho a, b là hai số thực dương thỏa
mãn và xét các bất đẳng thức:
(I): ; (II): ;
(III): .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Chỉ (I) đúng
B. Chỉ (II) đúng
C. (I) và (II) đúng
D. (I), (II) và (III) đúng
Câu 22: Cho x, y, z là các số thực dương và xét
các bất đẳng thức: ;
(II): ;
(III): .
Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là:
A. 3 B. 0 C. 2 D. 1
Câu 23: Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa
mãn . Xét các bất đẳng thức sau:
(I): (II):
(III): ; (IV):
Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao
Câu 24: Tập giá trị của biểu thức
là:
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 86
2
2
3 4 4x xf xx
2 6 15f x x x
3 3 1f x x x 0;2
1
a b c
a c b cb a b a
ab acb bc a
2a b
2 2 2a b 1 1 2a b
2 2
1 1 32ab a b
: 3x y zIy z x
8x y y z z x xyz
1 1 1 9x y z x y z
2 2 4x y
2 2x y 2 2xy
2 2
1 1 1x y
4 4 8x y
7 9y x x
4;4 2 0;4 2
0;4 4;8 2
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 25: Cho a, b là hai số thực không âm thỏa
mãn . Tập giá trị T của là:
A. B.
C. D.
Câu 26: Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn bằng:
A. 54 B. 201 C. 9 D. 2
Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ
nhất m của hàm số trên đoạn .
A. và
B. và
C. và
D. và
Câu 28: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn bằng . Số phần tử của tập hợp S là:
A. 2 B. 4 C. 1 D. 3
Câu 29: Biết rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên đoạn
đạt được lần lượt tại và .
Giá trị của bằng:
A. 49 B. 19 C. 39 D. 109
Câu 30: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tính giá trị của biểu
thức .
A. B.
C. D.
Câu 31: Tập giá trị của hàm số:
có bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 32: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Tổng bằng:
A. 27 B. 24 C. 18 D. 36
Câu 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 87
2 2 9a b f a b
3 2;3 2T 0;3 2T
3;6T 3;3 2T
4 24 9y x x 2;3
3 22
xyx
0;3
1M 13
m
1M 75
m
75
M 1m
13
M 1m
4 2
1x m mf x
x
0;1 2
2
2 11
xf xx
1 ;32
x p x q
2 24 12p q
7 2 3 4f x x x
2 26 12T M m
261T 319T
338T 667T
2 21 44
f x x x x x
29f x x x
2 2M m
3 2 4 3 5 4f x x x x
min 1f x
3min5
f x
1min2
f x
1min4
f x
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 34: Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều
kiện và . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức .
A. 2 B. C. D.
Câu 35: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
hệ thức . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
bằng:
A. 53 B. 56 C. D.
Câu 36: Xét các tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và chu vi bằng 2. Biểu thức
đạt giá trị
nhỏ nhất khi . Giá trị của
bằng:
A. 19 B. 4 C. 14 D. 11
Câu 37: Xét các số thực x, y thỏa mãn và
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là:
A. một số hữu tỉ lớn hơn 3
B. một số vô tỉ lớn hơn 3
C. một số vô tỉ nhỏ hơn 3
D. một số nguyên nhỏ hơn 3
Câu 38: Xét các số thực x, y thỏa mãn và
. Biểu thức đạt giá
trị nhỏ nhất khi . Giá trị của
bằng:
A. B.
C. 70 D.
Câu 39: Xét các số thực x, y thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là:
A. B.
C. 3 D. 4
Câu 40: Cho hai tập hợp bằng nhau:
.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức . Tổng của M và m bằng
A. 7210 B. 6076
C. 6350 D. 7574
Câu 41: Xét các số thực x, y, z thuộc đoạn
và có tổng bằng 5. Số giá trị của bộ số
khi biểu thức đạt giá trị lớn nhất là
A. 1 B. 3 C. 6 D. Vô số
LOVEBOOK.VN | 88
2 0x y 2 24 4x y
Q x y
3 3 2
2 3 2x y
2 2
4 94 9
Ax y xy
68552
3685
4 9a b cSb c a c a b a b c
; ; ; ;a b c m n p
18 15 12m n p
x y
1xy
2 2x yPx y
x y
3xy
2 28 2 132
x yPx y
; ;x y p q
2 24 p q
175 3 6494
352
175 3 649
0x y
2
41
M xx y y
33 4 1 33 4 1
, , , 2,9,19,45x y z t
2 2A x y z t
0;2
; ;x y z 2 2 2x y z xyz
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 42: Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn điều
kiện . Giá trị lớn nhất của bằng
A. 4 B. 5 C. 7 D. 6
Câu 43: Cho a, b là hai số thực không âm, còn
c là số thực bất kỳ thỏa mãn .
Tập giá trị của biểu thức có bao nhiêu số nguyên dương?
A. 15 B. 11 C. 10 D. 13
Câu 44: Biết rằng tồn tại các giá trị của a và b
sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 và giá trị lớn nhất bằng 3. Tính
.
A. 8 B. 3 C. 7 D. 22
Câu 45: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b
sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất đều là các số nguyên. Tính
giá trị của , biết rằng tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên
A. 36 B. 34 C. 41 D. 25
Câu 46: Cho hai số thực không âm x, y thỏa
mãn điều kiện . Biểu thức
đạt giá trị lớn nhất bằng
khi , trong đó a, b là các số nguyên dương, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là
A. 19 B. 382 C. 46 D. 43
Câu 47: Cho p, q là hai số cho trước và khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.
A.
B.
C.
D. .
Câu 48: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn
và với mọi
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
A. B.
C. D.
Câu 49: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn
và . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
LOVEBOOK.VN | 89
2 2
2 2
9
1612
x y
z txt yz
x z
3 5 4 232 6 4
a b ca b c
2 3 6T a b c
2
2
21
x ax byx
3T a b
2 1ax byx
2 22a b
103
5 4 35
x yx yx y
; 5 6P x y x y ab
0 0; ;x y x y
0 0a b x y
2 2 2 22 2 2 2y x px p x qx q
2 p q
2 22 p q
2. p q
2 22 p q pq pq
0, 0a b 2 0f x ax bx c
x minF
4a cFb
min 1F min 2F
min 3F min 5F
1 1x 3 5y
Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Tính trung bình cộng của M và m.
A. 40 B. 80 C. D.
Câu 50: Cho a, b, c là ba số thực có tổng bằng
2019 và thỏa mãn , , . Biết
rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
khi . Tính
.
A. 107070 B. 3676938
C. 3795203 D. 80974
LOVEBOOK.VN | 90
2 23 4 6 5 4P x y xy x y
494
498
2a 9b 1945c 2 2 2a b c
0 0 0; ; ; ;a b c a b c
0 0 019 5 1890T c b a
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IV
Xem đáp án chi tiết tại trang 196
Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây là SAI?
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Cho còn c là số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D. , .
Câu 3: Cho x là số thực tùy ý. Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào SAI?
A.
B.
C.
D.
Câu 4: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. đạt giá trị nhỏ nhất khi
LOVEBOOK.VN | 91
1a a a cb b b c
1a a a cb b b c
3a b cb c a
3 3 3
3 1abca b c
a b
2 2a b 3 3a c b c
1 1a b
a bc c
0c
3 4 7x x
2 5 7x x
2 1 3 2 2x x
3 1 5 3 6x x
23f x x x
f x 3x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
B. có giá trị nhỏ nhất bằng
C. có giá trị lớn nhất bằng
D. đạt giá trị lớn nhất khi
Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây SAI?
A.
B.
C.
D.
Câu 6: Cho hàm số với . Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi:
A. B. C. D.
Câu 7: Với thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
A. B. 2 C. D. 6
Câu 8: Cho x, y là các số thực dương. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi:
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 92
f x94
f x94
f x 3x
1 1 4a b a b
1 1 43 3a b b a a b
1 4a b ab ab
3 3a b ab a b
3 5f x x x 3 5x f x
3x 1x 5x 2x
0x 3f x x
x
2 3 3
3
2
x yP
xy
2x y 2y x
3x y 3y x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 9: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất khi:
A. B.
C. D.
Câu 10: Cho x, y, z là các số thực dương và xét biểu thức
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 11: Cho a, b là các số thực dương. Biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng:
A. 3 B. 1 C. D.
Câu 12: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng:
A. 8 B. 64 C. 16 D. 36
Câu 13: Cho . Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi:
A. B.
C. D.
Câu 14: Hàm số đạt:
LOVEBOOK.VN | 93
2 2
1 1 12x y
A x y
2x y 2x y
1x y 4x y
x y z x y y z z xPy z z x x y z x y
0 3P 3 5P
5 7P 7P
2 2
2 2
a ab bSa ab b
13
72
216f x x x
0x 32f x x
x
2 6x 3
2x
62
x 6
3x
2
20199 6 4
f xx x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
A. giá trị lớn nhất bằng 673
B. giá trị nhỏ nhất bằng 673
C. giá trị lớn nhất bằng 2019
D. giá trị nhỏ nhất bằng 2019
Câu 15: Cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
A. 4 B. 3 C. 6 D.
Câu 16: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 17: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
A. B. 3 C. 4 D. 2
Câu 18: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 19: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:
A. B. hoặc
C. D.
Câu 20: Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi:
LOVEBOOK.VN | 94
0x 2
24P xx
4 2
3 51
xf xx
0;1min 5f x
0;1min 3f x
0;1min 4f x
0;1min 1f x
2
2
12 11
S xx
2 2
2 2 3x xy y
1 3xy 3xy
3 1xy 3xy
2 22 1 6 9F a a a a
3a 3a 1a
3 1a 1a
2 22 4 2 10 3F x xy y x y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
A. và B. và
C. và D. và
Câu 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Giá trị
nhỏ nhất của là:
A. 4 B. 2 C. 1 D.
Câu 22: Cho a, b, c là các số thực dương và xét các bất đẳng thức sau: (I):
;
(II): ;
(III): .
Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là:
A. 0 B. 3 C. 1 D. 2
Câu 23: Cho x, y, z là ba số thực dương có tích bằng 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 24: Cho a là số thực thay đổi, luôn thuộc đoạn và xét biểu thức
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 95
3x 2y 3x 2y
1x 2y 1x 2y
a b ab
a b
14
1 1 1 9a b c a b c
1 1 1 8a b c abc
32
a b cb c c a a b
24x y z
3 3 2 24x y z
2 2 2 12x y z
64x y y z z x
2;10
3 32 10K a a
3min 12K min 8K
min 2K min 0K
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Câu 25: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
A. 2 B. 7 C. 3 D.
Câu 26: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện . Giá
trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:
A. B. 1 C. 3 D.
Câu 27: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của ab bằng:
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
Câu 28: Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức . Biểu thức
đạt giá trị lớn nhất thì trường hợp nào dưới đây xảy ra?
A. B.
C. D.
Câu 29: Cho a, b là hai số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn . Khi tích ab đạt giá trị lớn nhất thì xảy ra trường hợp nào dưới đây?
A. B.
C. D.
Câu 30: Cho hai số dương x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn . Giá trị của xy là lớn nhất khi và chỉ khi
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 96
4 5 2A x x
2
3x y z
1 1 12 2 2
Fx y y z z x
49
43
4a b
6a b c 2 2 2Z a b c
2a b c 6; 0a b c
4; 2; 0a b c 3; 0a b c
2019a b
1009; 1010a b 1002; 1017a b
1009,5a b 1011; 1008a b
2 6x y
2x y 4; 1x y
33;2
x y 23;3
x y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 31: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số là các số nguyên. Biết rằng tập giá trị của hàm số đã cho có đúng 11 số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 32: Biết rằng hàm số:
đạt giá trị nhỏ nhất tại mọi . Giá trị của bằng:
A. B. C. 8 D. 7
Câu 33: Cho m là tham số, còn x, y là các biến số thay đổi. Biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 34: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:
A. B. 68 C. 0 D.
Câu 35: Biết rằng là đa thức thỏa mãn:
.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn . Giá trị của bằng
A. 147 B. 119 C. 151 D. 123
Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số:
LOVEBOOK.VN | 97
2
2 1x ax by
x
22 1 100a b 22 1 100a b
22 1 10a b 22 1 10a b
2 21 1 4 2f x x x x x
;x a b 3 2a b
7 8
2 1 2 1T x y x my
0 0; ;x y x y
0 02 4 5 0x y 0 02 1 0x y
0 02 4 1 0x y 0 02 2 0x y
3 22 7y x x x 0;4
259 4
f x
22 1 3 2 5,f x f x x x x
f x
4;2 3 4M m
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
với .
A. B. C. D.
Câu 37: Cho a, b, c là các số thay đổi thuộc . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 38: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Gọi M và m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Trung bình cộng của M và m bằng:
A. B. C. 11 D. 22
Câu 39: Gọi S là tập giá trị của hàm số
Trong tập hợp S có bao nhiêu số nguyên?
A. 6 B. 3 C. 2 D. 5
Câu 40: Cho x, y, z, t thỏa mãn và . Biết rằng giá trị lớn nhất
của biểu thức bằng , trong đó m, n, p là các số nguyên
dương. Giá trị lớn nhất của bằng
A. 82 B. 20 C. 81 D. 104
LOVEBOOK.VN | 98
3 23 1x xf x
x
0x
94
m 154
m 33 3m 278
m
0;2
min 2 ; 2 ; 2 1a b b c c a
max 2 ; 2 ; 2 1a b b c c a
max 2 ; ; 2 2 4a c bc b c
min 2 ; 2 ; 2 0a b b c c a
2 8 02 0
2 4 0
x yx y
x y
2 2S x y
1165
585
2
2
20 10 33 2 1
x xyx x
2 2 1x y 3z t
xz yt zt 4m n p
m n p
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 41: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là
A. 25 và B. 625 và
C. 24 và D. 24 và
Câu 42: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức .
A. 1 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 43: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
.
A. 12 và 108 B. 16 và 108
C. 12 và 36 D. 8 và 36
Câu 44: Xét các tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn
. Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức .
A. 2018 B. 8072 C. 1009 D. 4036
Câu 45: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
A. B.
C. D.
Câu 46: Cho các số thực x, y, z có tổng bằng 5 và thỏa mãn điều kiện
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
LOVEBOOK.VN | 99
23 4 25y x x
15 15
15 75
2 2x y xy x y xy
S x y
2 2 2 3 36a b c abc 2 2 2S a b c
1964 15 10 2018a bc ca abc
1974 1979 25Mp a p b p c
2 3 6a b c
3 12 6 18 9 6F a b b c c a
9 2 2 6 15
572 6 3
2 2 2 9x y z P xy
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
A. B. 4 C. D.
Câu 47: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:
A. B. 10 C. 1 D. 5
Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
A. B. C. D.
Câu 49: Biết rằng hệ có hai nghiệm là và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
Câu 50: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng đối với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
?
A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số nguyên dương
B. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số hữu tỷ dương
C. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số vô tỷ dương
D. Giá trị lớn nhất và số hữu tỷ dương còn giá trị nhỏ nhất là số nguyên dương
LOVEBOOK.VN | 100
92
74
169
2 3 5 33 4 18 13
x y zx y z
2 2 24T x y z
134
2 210 793 14 292P x x x x
2019 291 1879 151
2 2
2 3
4
mx y m
x y y
1 1;x y 2 2;x y
2 22 1 2 1P x x y y
2 24 17x y
2 24M x xy y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 4
I. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Câu 1: Đáp án B.
Câu 2: Đáp án D.
Câu 3: Đáp án D.
Câu 4: Đáp án D.
Câu 5: Đáp án B.
Câu 6: Đáp án C.
Câu 7: Đáp án B.
Câu 8: Đáp án C.
Câu 9: Đáp án C.
Câu 10: Đáp án B.
Câu 11: Đáp án B.
Câu 12: Đáp án C.
Câu 13: Đáp án D.
Câu 14: Đáp án C.
Câu 15: Đáp án C.
Câu 16: Đáp án A.
Câu 17: Đáp án B.
Câu 18: Đáp án D.
Câu 19: Đáp án C.
Câu 20: Đáp án D.
Câu 21: Đáp án C.
Câu 22: Đáp án C.
Câu 23: Đáp án B.
Câu 24: Đáp án A.
Điều kiện: . Ta có .
Suy ra
.
Câu 25: Đáp án D.
+) Ta có
Suy ra
hoặc .
+) Lại có .
Suy ra .
Vậy, .
Câu 26: Đáp án A.
Đặt .
Do nên .
Xét hàm số .
LOVEBOOK.VN | 101
7 9x 0y
2 16 2 7 9y x x
216 2 64 1x
216 16 2 64 32y
4 4 2y
2 2 2 2 22 9a b a b ab a b
3; 3a b a b
30
ab
03
ab
2 2 22 18a b a b
3 23 2; 3 22
a b a b a b
3;3 2T
2t x
2;3x 0;9t
2 4 9y f t t t
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Ta có và .
Suy ra, .
Câu 27: Đáp án C.
Ta có nên .
Câu 28: Đáp án A.
Ta có
Do
nên .
Theo giả thiết thì
.
Câu 29: Đáp án B.
Với thì và .
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi
.
Khi đó, .
Do đó, .
Vậy .
Câu 30: Đáp án A.
Điều kiện: .
Khi đó, .
+)
Suy ra, .
+)
.
Suy ra, .
Do đó, và .
Vậy .
LOVEBOOK.VN | 102
2 0;92ba
0 9, 2 5, 9 54f f f
2;3max 54y
70 1; 35
y y 71;5
m M
2 2 4 210 ; 1 12
f m m f m m
4 210 1 1 02
f f m m
4 2
0;1min 0f x f m m
4 2 4 22 2 0m m m m
2 2 2m m
1 ;32
x 0f x 0f x 12
x
2 2 22 1 2 1 1 5. 1x x x
1 12 ;32 1 2x x
2
2 1 51
x
x
12,2
p q
2 24 12 19p q
4 73 2
x
0f x
2 11 2 7 2 3 4f x x x x
1 29 293 4 2 7 2 3 43 3 3
x x x
29 29 4,3 3 3
f x f x x
2
2 42. 3.2 3
f x x x
7 4 1452 3 .2 3 6
x x
1456
f x
47
145 47326 2 3 30
xxf x x
1456
M 293
m
2 26 12 261M m
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 31: Đáp án D.
Điều kiện: .
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi
hoặc .
Lại có nên
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Suy ra, tập giá trị của hàm số là . Các số nguyên
thuộc tập giá trị của hàm số là .
Câu 32: Đáp án A.
Điều kiện: .
+) Có ;
.
+)
.
.
Do đó, nên .
Câu 33: Đáp án C.
Ta có nên
.
Câu 34: Đáp án A.
Từ điều kiện đã cho, ta có và . Suy
ra, .
.
Do tồn tại y nên phương trình trên phải có nghiệm
Vậy .
Câu 35: Đáp án B.
Đặt .
Khi đó, ta có và .
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Từ giả thiết , ta có .
LOVEBOOK.VN | 103
24 0 0 4x x x
2 21 4 4 4 04
f x x x x x
24 0 0x x x 4x
224 4 2 4x x x
1 4 4 4 34
f x
2x
3;0
3; 2; 1;0
3 3x
3f x x
3 3f x x
2 2 21 1 9 18f x x x
3 2f x
3 23 22
f x x
3; 3 2m M 2 2 27M m
2 3 1 4 31; ;3 4 2 5 5
f f f
1min2
f x
2 0x y 2x y
0Q
Q x y x Q y
2 24 4Q y y
2 23 2 4 0y Q y Q
2 2' 3 4 0Q Q
2 4 2Q Q
2 42 3 4 0 0;3
Q y y y y
min 2Q
2 ; 3a x b y
0; 0; 2a b a b 2 2
4 54Aa b ab
2a b ab
2a b 1ab
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Áp dụng bất đẳng thức với ta
được: .
Suy ra
.
.
Khi đó .
Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 56.
Câu 36: Đáp án A.
Đặt
Khi đó, và .
Suy ra .
Do đó
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Do đó, .
.
Với thì .
Suy ra, .
Câu 37: Đáp án C.
Do nên .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
hoặc .
Do đó, .
Câu 38: Đáp án B.
Ta có
LOVEBOOK.VN | 104
1 1 4x y x y
0; 0x y
22 2
1 1 4 12a b ab a b
2 2
4 4 52 4 52 562
Aa b ab ab
2 2
256 1 1
2
a bA ab a b
a b ab
1 1;2 3
x y
, ,x b c a y c a b z a b c
0, 0, 0x y z 2x y z
; ;2 2 2
y z z x x ya b c
1 4. 9.2
y z z x x ySx y z
1 4 9 4 92
y x z x z yx y x z y z
4 4; 9 6;4 9 12y x z x z yx y x z y z
11S
211 3
2
y xS z x
x y z
1 2; ; ; ;13 3
x y z
1 2; ; ; ;12 3
x y z
5 2 1; ; ; ;6 3 2
a b c
18 15 12 19m n p
x y 0x y
2 2 2 2 2x y xy
P x yx y x y
22 21
x yPxy
6 2 6 2; ;2 2
x y
2 6 2 6; ;2 2
x y
min 2 2 3P
22 2 8 132
x y xyP
x y
112 22
x yx y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vì nên .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .
Suy ra .
Câu 39: Đáp án C.
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Do đó, .
Câu 40: Đáp án A.
Ta có
Vì nên
.
.
Suy ra, .
Câu 41: Đáp án D.
Do x,y, z thuộc đoạn nên , ,
.
Ta có .
và nên
+)
LOVEBOOK.VN | 105
0;x x y 2 0x y
2 22P
112 222 22
3
x yx yP
xy
118 22 118 22; ;8 4
x y
2 2 3542
p q
1 12 2
y yM x y
2
4 11x y y
1 22 2 12 1
x y yM
x y y
1 24 . 1 32 1
x y yx y y
2
1 432 1
yM x yx y y
1 22
11 2
y xx yyy
min 3M
2 2 2 2 2A x y z t xy zt
2 2 2 22 9 19 45 2 xy zt
2471 2 xy zt
, , , 2,9,19,45x y z t xy zt
2.9 19.45;2.19 9.45;2.45 9.19
873;443;261xy zt
2993;3357;4217A
2993, 4217m M
7210m M
0;2 2 0x 2 0y
2 0z
2 2 2T x y z
8 4 2x y z xy yz zx xyz
2 2 2 212 x y z x y z xyz
2 2 213 x y z xyz 0T
2 2 20 13 x y z xyz
2 2 2 13x y z xyz
2 2 2 13x y z xyz
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
hoặc
hoặc .
Rõ ràng tồn tại vô số giá trị của bộ số để biểu thức đã cho đạt được giá trị lớn nhất.
Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho, chúng ta có thể dựa vào bất đẳng thức:
.
Câu 42: Đáp án B.
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
.
Theo giả thiết thì,
.
Do đó,
Từ suy ra z, t không đồng thời bằng 0.
- Nếu thì và . Lúc này, ta có
hoặc .
- Nếu thì
Do đó,
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
.
+)
hoặc .
Khi thì và .
Vậy, .
Câu 43: Đáp án B.
Ta có: .
Do nên .
Suy ra .
Tập giá trị của T có 11 số nguyên dương là 1; 2; 3; …; 11.
Câu 44: Đáp án A.
LOVEBOOK.VN | 106
2 2 2 05
x y zx y z
23
xy z
23
yz x
23
zx y
; ;x y z
2 2 2x y z
32 2 2 13 27
x y z
22 2 2 2x y t z xt yz
22 2 2 2x y t z xt yz
22 2 2 2x y t z xt yz xz yt
2 2 16z t
0t 2 16z 20, 9x y
4x z 4x z
0t
22 2 2169
9z zy x x x t xt t
2 2 2 216 16 16 9 1449
z x x z
2x z
2
2 21 1 1 1.4 .3 16 94 3 16 9
x z x z
2 25 5 5x z x z
2
2 2
16 925
16 9 144
x zx z
x z
9 16; ;5 5
x z
9 16; ;5 5
x z
9 16; ;5 5
x z
125
y t 5x z
max 5x z
3 5 4 23 6 22 6 4 2 1
a b c a ca b c b c
9 4T c
0, 0a b 1 32
c
3 11T
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
+) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 nên với
mọi x và đẳng thức xảy ra
+) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 nên với mọi x và đẳng thức xảy ra
Giải hệ
ta được . Suy ra .
Câu 45: Đáp án B.
Bằng cách sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương
trình, chúng ta có: Khi thì hàm số chỉ đạt giá trị
lớn nhất (khi ) hoặc chỉ đạt giá trị nhỏ nhất (khi
). Còn khi thì
.
Do đó, và
Vì là các số nguyên nên tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên khi và chỉ khi
Suy ra, và
Theo giả thiết, thì b là số nguyên lẻ và nên
.
Do đó, .
Câu 46: Đáp án B.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta được miền tam giác ABC, trong đó
, , .
Ta có: ;
Suy ra, khi .
Theo giả thiết, ta có nên nhỏ nhất khi và
chỉ khi .
Lúc đó .
Câu 47: Đáp án D.
Ta có
Xét hai vectơ
.
LOVEBOOK.VN | 107
1 0y
2
2
1 0,1
x ax b xx
21 4 1 0a b
3 0y
2
2
3 0,1
x ax b xx
22 4 3 0a b
2
2
4 1 0
4 3 0
a b
a b
22
ab
3 8a b
0a
0b
0b 0a
2 2 2 2
2 2b a b b a by
2 2
min2
b a by
2 2
max2
b a by
min ;maxy y
max min 5y y
2 2 2 25 25a b a b
5min2
by
5max2
by
0a 2 216, 9a b
2 22 34a b
103
5 4 350, 0
x yx yx y
x y
47 20;9 9
A 3;0B 7;0C
47 20 355;9 9 9
P
3;0 15; 7;0 35P P
355max ;9ABC
P x y 47 20; ;9 9
x y
3559
ab
a b
355, 9a b
0 0 382a b x y
2 22 2y x p p q x q
; , ;a x p p b q x q
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Do nên .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy,
Câu 48: Đáp án B.
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
.
.
Vậy, .
Câu 49: Đáp án A.
.
Với thì .
Đặt .
Ta có: và
;
.
Lại có nên
và .
Dựa vào cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai trên một đoạn, ta được
và .
Như vậy, với mọi thì
.
và
Do đó, và
.
Câu 50: Đáp án A.
Đặt .
Ta có:
Lại do
nên
LOVEBOOK.VN | 108
a b a b
22y q p p q
p q q px
p q
22min y q p p q
2 22 p q pq pq
200, 4
0a
f x x ac b
24 2 4 2 2 2a c ac b bFb b b b
2
42 4
4
c aF b c a
b ac
min 2F
2 22 2 3 3 5 4P x y x y y
3;5y 2 3 3;7y
2 22 2 3 3 5 4f x x y x y y
2 3 1;12b ya
211 3 1f y y g y
221 3 9 11f y y g y
1 1 4 2 3 0f f y
1;1min 1f x f
1;1
max 1f x f
2 23;5
min 3 11g y g
1 13;5max 5 69g y g
1;1 , 3;5x y
11 1 1 69f P f
111
3x
Py
169
5x
Py
69M 11m
402
M m
2019k
2 2 2a b c
2 2a b c ab bc ca
2 2 2k ab c k c
2 22 2 2c kc ab k
2 2
2 21 22 2 4
a b k cab c kc k
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Vì nên .
Suy ra
Đẳng thức xảy ra khi
.
.
II. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 4
Câu 1: Đáp án D.
Câu 2: Đáp án B.
Câu 3: Đáp án B.
Câu 4: Đáp án C.
Câu 5: Đáp án B.
Câu 6: Đáp án B.
Câu 7: Đáp án A.
Câu 8: Đáp án B.
Câu 9: Đáp án A.
Câu 10: Đáp án D.
Câu 11: Đáp án A.
Câu 12: Đáp án A.
Câu 13: Đáp án C.
Câu 14: Đáp án A.
Câu 15: Đáp án C.
Câu 16: Đáp án C.
Câu 17: Đáp án B.
Câu 18: Đáp án A.
Câu 19: Đáp án C.
Câu 20: Đáp án A.
Câu 21: Đáp án A.
Câu 22: Đáp án D.
Câu 23: Đáp án D.
Câu 24: Đáp án C.
Câu 25: Đáp án B.
Câu 26: Đáp án B.
Câu 27: Đáp án D.
Câu 28: Đáp án B.
Câu 29: Đáp án A.
Câu 30: Đáp án C.
Câu 31: Đáp án A.
Gọi là giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số đã
cho. Khi đó, phương trình
có nghiệm
+) Nếu thì phương trình có nghiệm
khi hoặc .
LOVEBOOK.VN | 109
2 2 2 2 23 12 2
a b c c kc k
223 1 1
2 3 3c k k
1945c 1 1945 673 12723
c k
2 2 2 2 23 .1272 673 37857632
a b c
194537
19452019
ca b
a bc
a b c
0 0 019 5 1890 107 070 T c b a
0y
2
02 1x ax b y
x
20 01 0y x ax b y
01 0y 0 1y
0a 0, 1a b
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
+) Nếu thì phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi
Kết hợp hai trường hợp, ta có tập giá trị của hàm số là
Vì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là các số nguyên và tập giá trị của hàm số có đúng 11 số nguyên dương nên
Câu 32: Đáp án B.
Ta có
.
.
Câu 33: Đáp án C.
Ta có .
có nghiệm .
Với , thì .
Đặt thì .
Xét hàm số trên .
Ta có
nên .
Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi
.
Câu 34: Đáp án D.
Với thì nên loại ngay được phương án A.
Xét phương án D: Phương trình nhận
làm nghiệm nên .
Câu 35: Đáp án D.
Từ giả thiết, thay x bởi , ta được
.
Do đó, ta có hệ phương trình
LOVEBOOK.VN | 110
0 1y
20 04 1 0a y b y
2 20 04 4 1 4 0y b y a b
221 12
b a b
22
0
1 12
b a by
2 22 21 1 1 1;
2 2b a b b a b
2 22 21 1 1 110
2 2b a b b a b
2 22 21 10 1 100a b a b
2 21 4 2 1f x x x x x
2 21 4 2 1 4x x x x
2 21 4 04
2 1 0
x xf x
x x
2 1x
0, ,T x y
2 1 00
2 1 0x y
Tx my
4m
4m 2 1 2 4 1T x y x y
2 1t x y 2 3T t t
2 3f t t t
3 30 3;2 2
f f
3 3min2 2
f t f
32
32 1 2 4 1 02
x y x y
0;4x 7 28y x
3 22 7 4x x x
1 0;4x 0;4min 4y
1 x
22 1 3 8 10f x f x x x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
.
Thử lại, thấy thỏa mãn. Vậy,
.
Ta có và nên
và . Do đó, .
Câu 36: Đáp án B.
Ta có
Do nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Suy ra ,
.
Câu 37: Đáp án A.
Cách 1: (Lời giải tự luận)
Do a, b, c thuộc
nên .
Theo bất đẳng thức Cô-si thì
.
Tương tự,
.
Suy ra .
Do đó, .
Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm)
Do a, b, c thuộc
nên
và nên loại được phương án D.
Cũng từ giả thiết, ta có
và nên loại ngay được phương án C.
Cho thì
Do đó, loại được phương án B.
Câu 38: Đáp án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét điểm với x, y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho. Khi đó, ta có
. Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất
LOVEBOOK.VN | 111
2
2
2 1 3 2 5
2 1 3 8 10
f x f x x x
f x f x x x
2 6 5f x x x
2 6 5f x x x
2 6 5f x x x
3 4;22ba
4 45; 2 3f f
45M 3m 3 4 123M m
2 13f x x xx
2 1 1 138 8 4
x xx x x
0x
2 1 1 3 1; 18 8 4 4
x xx x x
3 1534 4
f x
15 10;4 2
x f x x
0;2
2 0,2 0, 2 0a b c
220 2 1
2a aa a
0 2 1;0 2 1b b c c
2 2 2 1a b b c c a
min 2 ; 2 ; 2 1a b b c c a
0;2
2 0; 2 0a b b c
2 0c a
2 4; 2 2 4a c b c
4bc
3 1; ; 12 2
a b c
max 2 ; 2 ; 2a b b c c a
9 1 1 9max ; ; 14 2 2 4
;P x y
2S OP
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
phương trình đã cho là miền tam giác ABC, trong đó
, và .
Dựa vào tính chất hình học, ta có
và .
Câu 39: Đáp án D.
Bằng phương pháp miền giá trị của hàm số, chúng ta có
.
Do đó, S chứa 5 số nguyên.
Câu 40: Đáp án A.
Ta có:
.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn có
phương trình (tâm , bán kính )
và đường thẳng .
Khi đó, điểm và điểm .
Lại do Δ và không có điểm chung nên
Suy ra
.
Vậy, đạt giá trị lớn nhất bằng .
Với cách viết thì đạt giá trị lớn nhất, và giá trị đó bằng 82.
Câu 41: Đáp án A.
Điều kiện .
+) Với thì ;
+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
Lại có
.
Khi thì .
Vậy .
Câu 42: Đáp án B.
LOVEBOOK.VN | 112
0;4A 2;0B 4;2C
2 16,5
m d O AB
2 2 2max ; ; 20M OA OB OC
5 ;72
S
xz yt zt
2 2 22 212
x y z t x z y t
2 2152
x z y t
C
2 2 1x y 0;0O 1R
: 3x y
;P x y C ;Q z t
C
3 2 2,2
PQ d O R
2
2 2 3 2 2 11 6 22 2
x z y t
xz yy zt
1 11 6 2 9 6 25 .2 2 4
xz yt zt 9 6 2
4
9 6 2 9 1. 724 4
m n p
5 5x
5;5x 3 15y x
2
3 1515 5
25 0
xy x
x
22 23 4 25y x x
2 2 2 23 4 25 625x x
22 25625 3
3 4x xy x
3x 25y
5;55;5max 25;min 15y y
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ta có:
Vì nên .
Do đó,
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Câu 43: Đáp án C.
+) Vì không âm nên
.
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
.
+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
.
Đặt thì từ giả thiết và đánh giá trên, ta có
Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy, đạt giá trị lớn nhất bằng 36 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12.
Câu 44: Đáp án B.
Từ giả thiết, ta có
.
Lại có ;
;
nên .
Đẳng thức xảy ra khi
Câu 45: Đáp án A.
LOVEBOOK.VN | 113
2 2 3x y xy x y xy
1 1 3x yx y
0, 0x y 1 1 4x y x y
4 3x yx y
2 3 4 0x y x y
4x y
2x y
, ,a b c
2 2 2 36a b c
6, 0a b c
32 2 22 2 2
3a b cabc a b c
2 2 2t a b c
3
36 327tt
3
23
36 036
3 3 36
tt tt t
2
36
12 9 324 0
t
t t t
12 36t
2 2 2 12a b c
2 2 2 3 362
a b c abca b c
a b c
2 2 2a b c
15 10 1964 2018a b c
1 1 1 11964 15Mp a p b p b p c
1 110p c p a
1 1 4 4p a p b p a p b c
1 1 4p b p c a
1 1 4p c p a b
15 10 19644 8072Ma b c
19892018
a b c
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Đặt
thì và
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
;
và
.
Suy ra
hay .
Vậy, F đạt giá trị lớn nhất bằng .
Câu 46: Đáp án D.
.
Do tồn tại x, y nên hệ trên có nghiệm
.
Xét hàm số
trên đoạn .
Ta có
và .
Suy ra, .
Câu 47: Đáp án D.
Ta có
.
Vì x, y, z không âm nên .
.
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có
và .
LOVEBOOK.VN | 114
; 2 ; 3x a y b z c
6x y z
3 6 3 6 3 6F x y y z z x
18 3 618 3 62x yx y
18 3 618 3 62x yy z
18 3 618 3 62z xz x
54 918. 54
2x y z
F
9 2F
9 2 2F x y z
2; ; 2;1;3
a b c
9 2
2 2 2
5 589
x y z x y zxy yz zxx y z
2
5
5 8
x y z
xy z z
2 25 4 5 8 0z z z
713
z
2 5 8f z z z
71;3
5 71;2 2 3ba
7 161 4;3 9
f f
71;3
16min min9
xy f z
2 3 5 3 3 23 4 18 13 1 3
x y z x zx y z y z
103
z
2 2 23 2 1 3 4T z z z
29 18 10z z
29 18 10f z z z 10;3
11 0;2 3ba
10 10; 53
f f
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy, .
Câu 48: Đáp án A.
Ta có
Xét hai vectơ và .
Khi đó
và .
Lại do nên .
Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng .
Câu 49: Đáp án C.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng d và
đường tròn có phương trình lần lượt là
và .
có tâm và bán kính
Do hệ có hai nghiệm nên d cắt tại hai điểm phân biệt
Với điều kiện trên thì , là hai giao
điểm của d và , đồng thời .
d đi qua I khi và chỉ khi
™.
Với thì d cắt theo dây cung là đường kính
nên P lớn nhất bằng .
Câu 50: Đáp án B.
Lại có
.
+)
+)
LOVEBOOK.VN | 115
10;3
min min 5T f z
2 22 25 16 3 7 9 3P x x
5 ;16 3a x 7;9 3b x
P a b
2212 25 3 2019a b
a b a b
2019P
2019 9 3 5 16 3 7P x x
6725
x
2019
C
2 3 0mx y m 2 2 4 0x y y
C 0;2I 2R
C
2
3 2, 2
4 1
md I d R
m
3 04
m m
1 1;A x y 2 2;B x y
C 2P AB
22 3 03
m m
23
m C
22 16R
2 2 17 1717 4 44 4
x y xy xy
17 17 85 514 4 4 4
xy M
514
M
2 2
22344 174
x yx y
x y y
854
M
2 2
22344 174
x yx y
x y y
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bất phương trình là khái niệm mà học sinh đã được làm quen ở cấp THCS. Chủ đề này sẽ hoàn thiện hơn khái niệm bất phương trình, đồng thời cung cấp cho học sinh những kiến thức mới như vấn đề xét dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải và biện luận các phương trình và bất phương trình. Học sinh cần nắm vững các kiến thức đó, đồng thời rèn luyện kĩ năng áp dụng chúng để giải các bài toán trong khuôn khổ của chương trình lớp 10.
§1. Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn
A. Lý thuyết
I. Đại cương về bất phương trình
1. Khái niệm bất phương trình một ẩn
- Định nghĩa:
Cho hai hàm số và có tập xác định lần lượt là và .
Đặt . Mệnh đề chứa biến “ ” được gọi là bất phương trình một ẩn, x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định của bất phương trình.
- Số được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu “
” là một mệnh đề đúng.
- Giải bất phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của nó, tức là
tập hợp , S được gọi là tập nghiệm của bất phương
trình. Nếu thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
LOVEBOOK.VN | 116
Chủ đề 3
Vấn đề cần nắm:
1. Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn
2. Bất phương trình, hệ bất phương trình hai ẩn
STUDY TIP
Ta trình bày lý thuyết cho bất phương trình
. Các kết quả này cũng đúng cho các bất phương trình
,
,
.
f x g x
f x g x
f x g x
f x g x
y f x y g x fD gD
f gD D D f x g x
0x D f x g x
0 0f x g x
f x g x
|S x D f x g x
S
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 1: Số thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có “ ” là một mệnh đề đúng. Vậy thuộc tập
nghiệm của bất phương trình .
(Ta còn nói thỏa mãn bất phương trình ).
Đáp án B.
Lưu ý: Trong thực hành ta không cần viết rõ tập D mà chỉ cần tìm điều kiện của
x để và có nghĩa. Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình.
Ví dụ 2: Điều kiện của bất phương trình là ,
và .
2. Hệ bất phương trình một ẩn
- Định nghĩa:
Hệ bất phương trình một ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
- Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
- Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm của các bất phương trình đó.
LOVEBOOK.VN | 117
STUDY TIP
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi
xác định và
.
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi
.
+ Biểu thức xác
định khi và chỉ khi
xác định và .
+ Biểu thức
xác định khi và chỉ khi
2
2 1 1x x 22 1 1x x x
1 2 01 x
22 2 0x x
A xB x
,A x B x
0B x
A x
0A x
A x
B x
A x
0B x
A x B x
0A x 0B x
22. 2 1 1 2 2 2
22 1 1x x x
2 22 1 1x x x
f x g x
1 6 32
xxx
2 0x
6 0x 0x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
3. Một số phép biến đổi bất phương trình
- Định nghĩa:
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương.
Nếu bất phương trình tương đương với bất phương trình
thì ta viết .
- Định nghĩa:
Phép biến đổi tương đương và phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.
Định lí:
Cho bất phương trình có tập xác định là D; là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên D, ta có:
+ .
+ nếu .
+ nếu .
+ nếu .
Hệ quả: .
Ví dụ 3: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là:
A. B. C. D.
LOVEBOOK.VN | 118
LƯU Ý
Định nghĩa tương tự cho hệ bất phương trình.
LƯU Ý
có thể là một hằng số.
STUDY TIP
Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
f x g x
h x k x f x g x h x k x
h x f x g x y h x
f x g x f x h x g x h x
. .f x g x f x h x g x h x 0 h x x D
. .f x g x f x h x g x h x 0 h x x D
2 2f x g x f x g x 0; 0 f x g x x D
f x g x h x f x h x g x
33 2 15
6 3 2 1 22
x x
x x
5 ;2
5;2
7 5;
10 2
7;10
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Lời giải
Giải từng bất phương trình ta có:
* (chuyển vế, đổi dấu)
(rút gọn từng vế của bất phương trình)
(chia cả hai vế cho ).
* (nhân cả hai vế với )
(chuyển vế, đổi dấu)
(rút gọn từng vế của bất phương trình)
(chia cả hai vế cho ).
Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình:
Tập nghiệm của bất phương trình (1):
Tập nghiệm của bất phương trình (2):
Giao của hai tập hợp trên là đoạn .
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là đoạn .
Ta viết ngắn gọn như sau:
.
LOVEBOOK.VN | 119
3 33 2 3 25 5
x x x x
725
x
710
x 2 0
6 3 2 1 6 3 4 22
x x x x
2 0
6 4 2 3x
2 5x
52
x 2 0
7 5;10 2
7 5;10 2
3 77 73 2 2 7 55 105 106 3 5 10 26 3 4 2 2 52 1
2 2
x x xx xx
x x x xx x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Đáp án C.
Lưu ý:
- Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
- Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với biểu thức
ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của . Nếu nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
- Khi giải bất phương trình mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp.
+ cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
+ cùng có giá trị âm, ta viết: rồi bình phương hai vế bất phương trình mới (sau khi bình phương thì bất phương trình đổi chiều).
Ví dụ 4: Bất phương trình (*) tương đương với bao nhiêu bất phương trình cho dưới đây?
(I) (II) ;
(III) ; (IV)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Ta có (*) xác định trên . Mặt khác .
LOVEBOOK.VN | 120
f x g x h x
h x h x
f x g x
,f x g x
,f x g x f x g x f x g x
1 0x
2 2
1 111 1
xx x
1 2 2x x x
1 113 3
xx x
2 2
1 114 4
xx x
1 0 1x x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
+ Xét bất phương trình (I):
Cộng cả 2 vế của (*) với ta được bất phương trình (I). Mà hàm số
xác định trên nên suy ra (*) tương đương với (I).
+ Xét bất phương trình (II): Cộng cả 2 vế của (*) với ta được bất phương
trình (II). Tuy nhiên hàm số xác định trên nên ta chưa thể khẳng định được ngay (*) có tương đương với (II) hay không.
Ta có:
Vậy (*) không tương đương với (II).
+ Xét bất phương trình (III): Tương tự như trên, ta chưa thể khẳng định ngay được là (*) có tương đương với (III) không.
Ta có: .
Vậy (*) tương đương với (III).
+ Xét bất phương trình (IV): Tương tự, ta có:
.
Vậy (*) không tương đương với (IV).
+ Tóm lại (*) tương đương với hai bất phương trình (I) và (III).
Đáp án B.
LOVEBOOK.VN | 121
STUDY TIP
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
STUDY TIP
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà làm thay đổi điều kiện của bất phương trình thì ta chưa thể khẳng định ngay là bất phương trình mới thu được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không.
2
11x
2
11
yx
2x
2y x 2;
2 0 2 21 2 2 2
1 0 11 2 2 0
x x xx x x x
x xx x x
3 0 31 11 11 0 13 3
x xx x
x xx x
2 2
4 0 41 111 0 14 4
x xx
x xx x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Ví dụ 5: Bất phương trình tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. B.
C. D.
Lời giải
- Với đáp án A: và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương
trên nên khi bình phương hai vế, bất phương trình mới thu được không tương đương.
- Với đáp án B: Vì là biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên
nên khi nhân cả hai vế của bất phương trình ban đầu với ta được bất phương trình không tương đương.
- Với đáp án C: nên chia cả hai vế của bất phương trình
cho ta được bất phương trình tương đương. Vậy C là đáp án đúng.
- Với đáp án D: Vì và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương
trên nên khi nghịch đảo (dù có cả đổi chiều) ta không thu được bất phương trình tương đương.
Đáp án C.
II. Dấu của nhị thức bậc nhất
Định nghĩa:
Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng , trong đó a, b là các
hệ số, .
Định lí:
Nhị thức có giá trị:
LOVEBOOK.VN | 122
STUDY TIP
Nếu hai vế của một bất phương trình đều dương trên D thì khi nghịch đảo hai vế và đổi chiều ta được bất phương trình tương đương trên D.
2 1x x
2 22 1x x 2 1 5 5x x x x
2 2
2 13 3
x xx x
1 1
2 1x x
2 1x
5x
5x
2 3 0 x x
2 1x x 2 3x
2 1x
f x ax b
0a
0 f x ax b a
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
- Cùng dấu với a khi ;
- Trái dấu với a khi .
Bảng tóm tắt về dấu của :
trái dấu với a 0 cùng dấu
với a
Ta có . Ta nói số là nghiệm của nhị thức .
Nghiệm chia trục số thành hai khoảng mà trên đó dấu của nhị thức là trái nhau.
cùng dấu với a
trái dấu với a
Một số kết quả quan trọng:
Xét nhị thức :
+ .
+ .
+ .
LOVEBOOK.VN | 123
STUDY TIP
Cách ghi nhớ: “trái khác, phải cùng”.
STUDY TIP
Dấu của nhị thức bậc nhất
phụ thuộc vào dấu của hệ số a.
bxa
bxa
0 f x ax b a
x ba
f x ax b
0bfa
0
bxa
f x
f x ax b
0bxa
f x
f x ba
x
f x ax b
0 00 ; 0
0 0 a a
f x x f x xb b
0 0
0 ; 00 0
a af x x f x x
f f
0 0
0 ; 00 0
a af x x f x x
f f
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
+ .
Ví dụ 6: Cho nhị thức , m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:
a) ; c) ;
b) ; d)
Lời giải
a) .
b) .
c) .
d) .
III. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai
1. Dấu của tam thức bậc hai
- Định nghĩa:
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng , trong đó a,
b, c là các hệ số; .
- Định lí: Cho .
LOVEBOOK.VN | 124
STUDY TIP
Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của Δ và dấu của hệ số a.
0 00 ; ; 0 ;
0 0 f f
f x x f x xf f
1 3f x m x m
0 f x x 0 1 f x x
0 2 f x x 0 0;5 f x x
1 0 10 1
3 0 3 m m
f x x mm m
1 0 1 1
0 2 12 0 1 0 1
m m mf x x m
f m m
1 0 1 1
0 1 11 0 2 4 0 2
m m mf x x m
f m m
30 0 3 00 0;5 14 2 05 0
2
mf mf x x m
m mf
2f x ax bx c
0a
2 20 , 4 f a ax bx c a b ac
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Nếu thì luôn cùng dấu với a, tức là .
cùng dấu với a
+
Nếu thì luôn cùng dấu với a trừ khi , tức là :
(hay , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).
cùng dấu với a 0 cùng dấu với a
+ 0 +
Nếu thì cùng dấu với a khi hoặc , trái dấu với a khi
, trong đó là hai nghiệm của , tức là:
;
.
cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
+ 0 0
Lưu ý: Ta có thể dùng thay cho Δ.
* Một số kết quả quan trọng:
LOVEBOOK.VN | 126
STUDY TIP
Quy tắc xét dấu của tam
thức bậc hai khi : “trong trái, ngoài cùng”.
0
0 f x : 0x af x
x
f x
af x
0 f xbxa
bxa
0af x : 0x af x 2bxa
x ba
f x
af x
0 f x 1x x 2x x
1 2x x x 1 2 1 2,x x x x f x
1 20af x x x x
1
2
0x x
af xx x
x 1x 2x
f x
af x
2' 'b ac
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
+ ;
+ ;
+ ;
+ .
Ví dụ 7: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) b)
Lời giải
a) mà . Vậy .
b) có 2 nghiệm là và .
Bảng xét dấu :
1 2
0 + 0
Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
xác định với mọi . Hỏi S chứa khoảng nào trong các khoảng sau?
A. B. C. D.
LOVEBOOK.VN | 127
2 00,
0a
ax bx c x
2 00,
0a
ax bx c x
2 00,
0a
ax bx c x
2 00,
0a
ax bx c x
2 1f x x x 2 3 2g x x x
1 4.1.1 3 0 1 0a 0 f x x
g x 1 1x 2 2, 1 0x a
g x
x
g x
2 2 2 1 4y f x mx m x m x
2;0 0;2 2;4 0;4
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Lời giải
Hàm số xác định .
- TH1: (Hệ vô nghiệm).
- TH2: .
Vậy . Do đó S chứa khoảng .
Đáp án C.
2. Bất phương trình bậc hai
- Định nghĩa:
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng (hoặc
, , ) trong đó a, b, c là các hệ số,
.
- Các bước giải bất phương trình bậc hai:
+ Xét dấu biểu thức .
+ Dựa vào kết quả xét dấu để kết luận về nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 9: Tập nghiệm S của bất phương trình là:
A. B.
C. D.
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 128
STUDY TIP
Khi xét dấu tam thức bậc hai mà hệ số a chứa tham số, ta lưu ý trường hợp
. 0a
2 2 2 1 4 0 x mx m x m x
00
0 2 2 1 00 4 0
mab mc m
00 0 11' 0 4 1 0 44
ma mm
m m
1 ;4
S 2;4
2 0ax bx c 2 0ax bx c 2 0ax bx c 2 0ax bx c
0a
2f x ax bx c
22 1 0x x
1; 1;2
S
1; 1;2
S
1 ;12
S
1 ;12
S
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
có hai nghiệm là 1 và , có .
Bảng xét dấu :
2
+ 0 0 +
Vậy . Do đó .
Đáp án C.
IV. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
1. Xét dấu biểu thức có dạng tích, thương các đa thức
* Xét biểu thức có dạng tích các đa thức:
- Cách 1: Xét dấu bằng phương pháp lập bảng xét dấu (độc giả đọc trong Sách giáo khoa Đại số 10).
- Cách 2: Xét dấu bằng phương pháp khoảng.
+ Bước 1: Giải phương trình được các nghiệm .
+ Bước 2: Đặt các điểm lên trục số. Các điểm này chia trục số thành
khoảng.
+ Bước 3: Xác định dấu của trên một trong các khoảng nói trên (dấu của
trùng với dấu của với a là một điểm tùy ý thuộc khoảng đó).
+ Bước 4: Suy ra dấu của trên các khoảng còn lại theo quy tắc: “qua”
nghiệm bội lẻ thì đổi dấu, “qua” nghiệm bội chẵn thì không đổi dấu.
LOVEBOOK.VN | 129
STUDY TIP
Có thể sử dụng chức năng giải bất phương trình bậc hai của máy tính cầm tay!
STUDY TIP
Ở bước 3, ta thường chọn khoảng chứa số 0 (nếu 0 không phải là một trong
các điểm ) rồi
chọn .
22 1f x x x 12
2 0a
f x
x 12
f x
10 ;12
f x x
1 ;12
S
P x
P x
P x
0P x 1 2 .. nx x x
1 2, ,..., nx x x
0a
1 2, ,..., nx x x
1n
P x
P x P a
P x
P x P x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Ví dụ 10: Xét dấu biểu thức .
Lời giải
hoặc .
Trong đó và là các nghiệm bội lẻ, là nghiệm bội chẵn.
Ta có . Từ đó ta có kết quả xét dấu :
1 2 3
+ 0 0 0 +
* Xét các biểu thức có dạng thương các đa thức: .
Giải phương trình và được các nghiệm . Các
nghiệm này chia trục số thành khoảng.
Ta có một kết quả quan trọng: Dấu của phân thức trùng với dấu của tích
trên các khoảng đó.
Ta tìm hiểu cụ thể qua ví dụ sau:
Ví dụ 11: Xét dấu của biểu thức .
Lời giải
- Giải phương trình được các nghiệm: (bội 2) và
(bội 1).
- Giải phương trình được các nghiệm: (bội 2),
(bội 1) và (bội 1).
LOVEBOOK.VN | 130STUDY TIP
Tại các điểm 2, 3, 4:
không xác định.
2 31 2 3P x x x x
2 30 1 2 3 0 1; 2P x x x x x x 3x
1x 3x 2x
2 30 1 . 2 . 3 0P P x
x
P x
P x
R x
P xS x
0R x 0S x 1 2 ... nx x x
1n
R xS x
.R x S x
2
2 2
1 3 2
2 7 12
x x xP x
x x x
21 3 2 0x x x 1x
2x
P x
2 22 7 12 0x x x 2x
3x 4x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy ta có thể coi là nghiệm bội 2, là “nghiệm” bội 3, và
là các “nghiệm” bội 1 của .
.
Từ đó ta có kết quả xét dấu như sau:
1 2 3 4
0 + +
2. Áp dụng giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ 12: Cho phương trình . Số nghiệm nguyên trong
đoạn của bất phương trình là:
A. 1 B. 2018 C. 2019 D. 0
Lời giải
Ta có hoặc .
Kết quả xét dấu của biểu thức :
1/4
+ 0 0 + 0
Vậy .
Do đó các nghiệm nguyên của bất phương trình trong đoạn là 0; 2; 3; …; 2018 Có 2018 số.
Đáp án B.
LOVEBOOK.VN | 131
STUDY TIP
Với bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, không được tùy tiện quy đồng khử mẫu khi chưa xác định được dấu của các biểu thức trong bất phương trình.
1x 2x 3x 4x
P x
2
1.20 02 .12
P
P x
x
P x
4 1 2 5 3 0x x x
0;2018
14 1 2 5 3 0 ; 24
x x x x x 53
x
4 1 2 5 3P x x x x
x 2 5 / 3
P x
1 50 2; ;4 3
P x x
0P x 0;2018
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Ví dụ 13: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
A. 0 B. 7 C. 6 D. Vô số
Lời giải
Điều kiện: và .
Kết quả xét dấu vế trái:
VT + 0 + 0 +
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Suy ra bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên âm là .
Đáp án C.
V. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Một số kết quả quan trọng thường sử dụng:
1. ;
2. .
3. Với thì:
+ ;
+ ;
LOVEBOOK.VN | 132
STUDY TIP
Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến số 0 trên trục số.
2 5 3 23 2 2 5
x xx x
23
x 52
x
2 22 5 3 2 5 3 72 5 3 2 2 5 3 2 0 0 03 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5
x x x xx x x xx x x x x x x x
x 7 2 / 3 3 / 5 5 / 2
2 3 57; ;3 5 2
x
6; 5; 4; 3; 2; 1
0
0
nÕu nÕu
f x f xf x
f x f x
2 2f x f x
0a
f x a a f x a
f x af x a
f x a
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
4. Cho và là các biểu thức của x:
+ ;
+ ;
+ .
Ví dụ 14: Biết tập nghiệm của bất phương trình là đoạn .
Tính .
A. B. C. 4 D.
Lời giải
.
Vậy .
Đáp án D.
Ví dụ 15: Có bao nhiêu số tự nhiên khác 0 thuộc tập nghiệm của bất phương
trình: (1)?
A. 0 B. 2 C. 5 D. Vô số
Lời giải
Lập bảng chia khoảng xét dấu hai biểu thức và :
0 4 5
LOVEBOOK.VN | 133
STUDY TIP
Ta thường sử dụng phương pháp chia khoảng xét dấu khi bất phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối nhưng không được đưa về dạng cơ bản như trong mục 3, 4 ở trên.
f x g x
2 2 0f x g x f x g x f x g x f x g x
f x g x g x f x g x
f x g xf x g x
f x g x
2 1 2x x ;a b
b a
43
83
103
33 12 1 2 2 2 1 2 313 1 3
3
xxx x x x x x
x x
1 1 10; 3 33 3 3
a b b a
2
2
4 31
5
x x
x x
2 4x x 5x
x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
+ 0 0 + +
0 0
- TH1: Với hoặc , bất phương trình (1) trở thành:
(do )
.
Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là .
- TH2: Với , bất phương trình (1) trở thành:
.
Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là .
- TH3: Với , bất phương trình (1) trở thành:
(do với thì )
(loại).
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .
Do đó 2 số tự nhiên khác 0 thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
Đáp án B.
VI. Bất phương trình chứa căn thức
(Trong chương trình chuẩn không có nội dung bất phương trình chứa căn thức. Vì vậy phần này chỉ mang tính chất tham khảo).
LOVEBOOK.VN | 134
2 4x x
5x
0x 4 5x
22 2
2
4 3 1 4 3 55
x x x x x xx x
2 5 0 x x x
23 23
x x
2;3
x
0 4x
22 2 2
2
4 3 11 4 3 5 2 5 2 0 25 2
x x x x x x x x xx x
1 ;22
x
5x
22 2
2
4 3 1 4 3 55
x x x x x xx x
5x 2 5 0x x
85 85
x x
2 1; ;23 2
x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
* Một số kết quả quan trọng:
+ có nghĩa ;
+ ;
+ ;
+ .
Ví dụ 16: Bất phương trình có tập nghiệm là nửa khoảng
. Tính .
A. B. C. D. 6
Lời giải
.
.
LOVEBOOK.VN | 135
A 0A
2 00
nÕu nÕu
A AA A
A A
2
0
0
f x
f x g x g x
f x g x
2
0
0
0
g x
f xf x g x
g x
f x g x
22 6 1 2x x x
;a b 2a b
6 79 7
2
5 7
2 2
22
2 0 12 6 1 2 2 6 1 0 2
2 6 1 2 3
xx x x x x
x x x
1 2x
3 7 3 72 ; ;2 2
x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Do đó .
Đáp án A.
B. Các dạng toán điển hình
Bài tập về phép biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Điều kiện: .
Ta có: .
(Lưu ý: Ta nói là hệ quả của bất phương trình )
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình
?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có: .
LOVEBOOK.VN | 136
STUDY TIP
Cần lưu ý đến điều kiện xác định khi giải bất phương trình chứa căn thức.
Dạng 1
STUDY TIP
Trong nhiều trường hợp, giải bất bất phương trình thì mới khẳng định được phép biến đổi có tương đương hay không.
23 2 3 0 1;3x x x
3 7 ;32
S
2 6 7a b
2 2 2x x x
; 2 2 2;2
2 0 2x x
2 2 2 2x x x x
2x 2 2 2x x x
2 2x
3 0x
3 4 0x x 3 1 1x x x
25 3 0x x 2 3 0x x
3 0 3x x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Với A: .
Vậy bất phương trình và bất phương trình có cùng tập nghiệm, do đó tương đương với nhau. A là đáp án đúng.
Giải thích thêm:
* .
Vậy bất phương trình và bất phương trình không có cùng tập nghiệm. Do đó chúng không tương đương với nhau.
* .
Tương tự suy ra C không phải là đáp án đúng.
* .
Do đó D cũng không phải là đáp án đúng.
Đáp án A.
Giải bất phương trình, hệ bất phương trình
Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ?
A. B.
C. D.
Lời giải
Điều kiện: .
Dễ thấy không thỏa mãn bất phương trình đã cho.
LOVEBOOK.VN | 137
Dạng 2
STUDY TIP
Cần lưu ý đến điều kiện xác định khi giải bất phương trình.
4 0 43 4 0 3
3 0 3x x
x x xx x
3 4 0x x 3 0x
1 0 13 1 1 3 1
3 0 3x x
x x x xx x
3 1 1x x x 3 0x
2 5 55 3 0
3 0 3x x
x xx x
2 0 03 0
3 0 3x x
x xx x
2018 2018x x
2018S S
;2018S 2018;S
2018 0 20182018
2018 0 2018x x
xx x
2018x
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Vậy .
Đáp án B.
Ví dụ 4: Cho bất phương trình có tập nghiệm S. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. S có 3 nghiệm nguyên không âm.
B. S có 1 nghiệm duy nhất.
C. Số là phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất của S.
D. S chứa khoảng .
Lời giải
.
Ta có có các nghiệm (bội 1), (bội
3) và (bội 1). Xét dấu vế trái:
1 2
0 + 0 0 +
Vậy . Do đó C là đáp án đúng.
Đáp án C.
Ví dụ 5: Gọi M, m lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất
phương trình . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Điều kiện: và .
LOVEBOOK.VN | 138
STUDY TIP
Lời giải sai: Bất phương trình tương đương với
.
STUDY TIP
Không được tùy tiện chia 2 vế của bất phương trình cho một biểu thức khi chưa xác định được dấu của biểu thức đó.
STUDY TIP
Lời giải sai: Bất phương trình tương đương với
S
2 2 21 4 1 4 4 4x x x x x x
0 1x
3;4
2 4 4x x
22 0x 2x
2 2 2 2 21 4 1 4 4 4 1 4 4 4 0x x x x x x x x x x
2 21 4 4 4 0x x x x 1x 2x
2x
x 2
VT
; 2 1;2S
2 210 2 4 6x x x x
2 5 4 0x
4; 1x
2
2
10 22 3
x xx x
M m
5 4 3 2
2 2 3 0 1x x x 3x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Bảng xét dấu vế trái:
1
VT + 0 + 0 +
Suy ra nghiệm của bất phương trình là .
Do đó và .
Đáp án B.
Ví dụ 6: Bất phương trình có tập nghiệm (
). Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
.
(2) .
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .
Do đó .
Đáp án D.
LOVEBOOK.VN | 139
STUDY TIP
Không được tùy tiện quy đồng khử mẫu khi giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.
2 2 2 2
2 2 2 2
10 10 5 4 5 42 2 0 0 02 3 2 3 2 3 2 3
x x x x x x x xx x x x x x x x
x 4 3 1
4;3 1;1x
0M 4 4m M m
24 4 5 2 1x x x ;S a b
a b 2 2a b
2 2 174
a b 2 2 52
a b 2 2 54
a b 2 2 5a b
22
2
2 1 4 4 5 12 1 4 4 5
2 1 4 4 5 2
x x xx x x
x x x
2 31 4 2 6 0 12
x x x
2 14 6 4 0 22
x x x
3 1;1 2; 2;12 2
S
2 2 5a b
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Ví dụ 7: Biết tập nghiệm của bất phương trình là nửa
khoảng . Tìm .
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Lời giải
.
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
Từ đó ta có .
Đáp án A.
Ví dụ 8: Hệ bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 140
STUDY TIP
Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí
hiệu . Ví dụ:
.
STUDY TIP
Cho hàm số xác định trên D. Khi đó
.
2 4 5 2 3x x x
;a a
x
2,5 2; 2,5 3
2
2 2
22
3 2 0
4 5 04 5 2 3 4 5 3 2
3 2 0
4 5 3 2
xI
x xx x x x x x
xII
x x x
3
32
2x
I xx
2
332 322
2 3 223 8 4 03
xxII x
xx x
2 3 3 2; ; ;3 2 2 3
S
2 03
a a
y f x
0,f x x D
2
2
7 6 0
4 0
x x
x x
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
* (*).
* (do )
hoặc , trong hai giá trị này của x
chỉ có giá trị thỏa mãn (*).
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Đáp án B.
Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất chứa tham số
Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
nghiệm đúng là:
A. Vô số B. 1 C. 3 D. 4
Lời giải
.
Đặt .
.
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là
giá trị .
Đáp án B.
Ví dụ 10: Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
LOVEBOOK.VN | 141
Dạng 3
STUDY TIP
.
STUDY TIP
Hệ bất phương trình trong Ví dụ 10 vô nghiệm
.
2 7 6 0 1 6x x x
2 24 0 4 0x x x x 2 4 0 x x x
2 4 0 4 0 0x x x x x 4x
4x
4x
0
; f x ax b
x
0
0
f
f
2 1 3 0m x x 5;2x
2 2 21 3 0 1 3 0m x x m x m
2 21 3f x m x m
2
2
5 0 6 8 00 5;2
2 0 1 0 f m
f x xf m
2
2
6 8 01 1 1
1
mm m
m
0m
14 55
m
11m
3 6 35 7
2
xx m
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
A. B. C. D.
Lời giải
* .
* .
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
.
Đáp án D.
Tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai chứa tham số
Ví dụ 11: Cho bất phương trình , trong đó m
là tham số, . Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để bất phương trình vô nghiệm?
A. Vô số B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Bất phương trình vô nghiệm
.
Mà .
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 142
Dạng 4
11m 11m 11m 11m
3 6 3 6 1 5x x x
5 147 5 142 5
x m mx m x
14 5 14 25 115
m m m
23 2 2 1 4 0f x x m x m
m
0f x
0 ' 0 f x x
2 114 7 11 0 14
m m m
0;1;2m m
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Ví dụ 12: Cho bất phương trình (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. S chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta tìm điều kiện của m để bất phương trình vô nghiệm.
- TH1: . Khi đó .
Vậy với thì bất phương trình có nghiệm.
- TH2: . Khi đó bất phương trình vô nghiệm
.
Vậy thì bất phương trình vô nghiệm.
Suy ra với thì bất phương trình có nghiệm .
Vậy S chứa khoảng .
Đáp án A.
LOVEBOOK.VN | 143
STUDY TIP
Phương pháp “tìm phần bù”: Thay vì tìm m để bất
phương trình có nghiệm, ta tìm m để bất
phương trình vô nghiệm.
2 2 1 1 0f x mx m x m
1;0 0;1 1;2 2;3
0f x
0m 1 0 1f x x x
0f x
0f x
0m 0f x
0m 0f x
0 f x x
00 0 110 1 8 0 88
mm mm
m m
18
m 0f x
18
m 0f x 1;8
S
1;0
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
nghiệm đúng .
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có có , nên .
Do đó .
Bất phương trình nghiệm đúng
nghiệm đúng .
Đáp án B.
Biện luận về nghiệm của phương trình bậc hai
Ví dụ 14: Cho phương trình . Biết tập hợp các giá
trị của tham số m để phương trình vô nghiệm là khoảng . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
* TH1: . Phương trình đã cho trở thành:
.
* TH2: . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm.
.
LOVEBOOK.VN | 144
STUDY TIP
Việc xác định chính xác dấu của tử thức
giúp ta có được lời giải đơn giản cho bài toán này.
Dạng 5
2
2
2 5 01
x xx mx
x
m 2;2m
2;2m ; 2 2;m
2 2 5x x
2 2 5f x x x ' 0 0a 0 f x x
22
2
2 5 0 1 01
x x x mxx mx
2
2
2 5 01
x xx mx
2 1 0x x mx
2 24 0 4 2 2x m m m
22 2 1 4 0m x m x
;a b b a
8b a 6b a 8b a 6b a
2 0m 2m
26 4 03
x x
2 0 2m m
2' 6 7 0 1;7m m m
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy với thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Do đó .
Đáp án A.
Ví dụ 15: Gọi là giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số m để phương
trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó số ước
nguyên dương của là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu
.
Vậy . Do đó có 1 ước nguyên dương.
Đáp án A.
Ví dụ 16: Cho phương trình . Biết tập hợp các giá trị
của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là khoảng .
Tìm độ dài của đoạn trên trục số.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
Lời giải
Phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt
LOVEBOOK.VN | 145
STUDY TIP
Khi phương trình dạng
có hệ số a chứa tham số ta cần phải chú ý đến trường hợp
.
STUDY TIP
Phương trình
có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ
khi .
STUDY TIP
Độ dài của đoạn
trên trục số là .
1;7m
2 0ax bx c
0a
7 1 8b a
0m
2 22 2 1 5 6 0x m x m m
0m
2 0ax bx c
0ac
22 5 6 0m m
2 5 6 0 ;2 3;m m m
0 1m 0m
2 2 1 4 8 0x m x m
;a b
;a b
;a b
b a' 0
00
SP
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
.
Vậy đoạn có độ dài là .
Đáp án A.
Lưu ý:
Cho phương trình bậc hai , , , .
+ Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt ;
+ Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt ;
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ;
+ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu .
LOVEBOOK.VN | 146
2 ; 1 7;6 7 02 1 0 1 2; 1
24 8 0
mm mm m m
mm
;a b 1 2 1
2 0 0 ax bx c a 2 4b ac bS
a
cPa
000
SP
000
SP
00P
0 0P ac
Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 228
Câu hỏi ở mức độ nhận biết
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để bất
phương trình vô nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 2: Có bao nhiêu số nguyen nhỏ hơn 10 thuộc tập
nghiệm của bất phương trình ?
A. Vô số B. 4 C. 5 D. 6
Câu 3: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình
ẩn x, tham số m: là:
A. B.
C. D.
Câu 4: Cho phương trình:
Gọi a và b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính .
A. B. 4 C. D. 2
Câu 5: Cho hàm số
. Tập hợp các giá trị
của tham số m để hàm số có tập xác định là:
A. B. C. D.
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A.
B.
C.
D.
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
hàm số xác định trên khoảng
?
LOVEBOOK.VN | 147
2mx m x
1 12 3 5x x
1m
22 1 1 1m x m x
1;1
mm
1;1
mm
1;1
mm
1;1
mm
22 2 2 3 5 6 0m x m x m
a b
4 2
2 2
2 1
5 4 4 1
xym m x m x
41;3
41;3
1;4
2 29 5 4 0x x x
; 3 3;S
; 3 1 3;S
; 3 1 4;S
; 3 3;4 4;S
2 2 2x x x
2
;2 2;
2 3 3x x x
2
1 0 1 02
x xx
1 0 1 0x x x
1 2 1 2x x x x
1 2 6y m xx m
1;0
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
ta luôn có ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 12: Gọi M là số dương nhỏ nhất và m là số âm lớn nhất thuộc tập xác định của hàm số:
.
Tính .
A. 4 B. C. 2 D. 0
Câu 13: Cho hệ bất phương trình: .
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số m để hệ vô nghiệm?
A. 8 B. 7 C. 10 D. 19
Câu 14: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m
để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 trên trục số. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng:
A. B. 1 C. 5 D. 8
Câu 15: Biết bất phương trình
có tập nghiệm . Tính .
A. B. 3 C. D.
LOVEBOOK.VN | 148
x
2
2
22 32 3 2x x mx x
22 4 4 4x x x
; 2 2;2
2;
2 3 6y x x x
M m
2
24 2 13 2 2 1x m mxx x
10;10
2 2 5 8 0x mx m
5
22 4 9 5 6 7 11 0x x x x
;S a b a b
45 1 1
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
§2. Bất phương trình, hệ bất phương trình hai ẩn
A. Lý thuyết
I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Định nghĩa:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là (hoặc
; ), trong đó a, b, c là các hệ số, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Cặp số sao cho “ ” là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm
của bất phương trình .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất
phương trình được gọi là miền nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 1: Bất phương trình có một nghiệm là vì “ ” là một mệnh đề đúng.
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình .
- Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng .
- Bước 2: Lấy một điểm không thuộc Δ (ta thường lấy gốc tọa độ O).
- Bước 3: Tính và so sánh với c.
- Bước 4: Kết luận.
+ Nếu thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa là miền nghiệm của bất
phương trình .
LOVEBOOK.VN | 149
STUDY TIP
Ta trình bày lí thuyết cho bất phương trình dạng
. Hoàn toàn tương tự cho các dạng
; ;
.
STUDY TIP
Các bước vẽ đường thẳng
( ):
- Cho thì .
Ta được điểm . Vẽ điểm A trên mặt phẳng
.
- Cho thì .
Ta được điểm . Vẽ điểm B trên mặt phẳng
.
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Đó chính là đường thẳng Δ.
ax by c
ax by c ax by c
ax by c
ax by c
ax by c ;ax by c ax by c
0 0;x y 0 0ax by c
ax by c
: ax by c , 0a b
0x /y c b
0; /A c b
Oxy A Oy
0y /x c a
/ ;0B c a
Oxy B Ox
ax by c
2 3x y 1;1 2.1 1 3
ax by c
: ax by c
0 0 0;M x y
0 0ax by 0 0ax by
0 0ax by c 0M
ax by c
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
+ Nếu thì nửa mặt phẳng bờ Δ không chứa là miền nghiệm của
bất phương trình .
Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình .
Lời giải
- Vẽ đường thẳng Δ có phương trình .
- Lấy gốc tọa độ , ta thấy .
- Ta có: .
Vậy nửa mặt phẳng bờ Δ chứa gốc O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị gạch bỏ trong hình).
LOVEBOOK.VN | 150
STUDY TIP
Miền nghiệm của bất
phương trình bỏ đi đường thẳng
là miền nghiệm của bất phương
trình
0 0ax by c 0M
ax by c
ax by c
ax by c
ax by c
2 3x y
2 3x y
0;0 O
2.0 0 3
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
* Định nghĩa:
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ví dụ 3: là một nghiệm của hệ bất phương trình .
* Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
- Miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ví dụ 4: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình hai ẩn .
Lời giải
- Vẽ các đường thẳng và
.
- Lấy điểm . Ta thấy tọa độ của
thỏa mãn cả bốn bất phương trình trong hệ.
LOVEBOOK.VN | 151
STUDY TIP
- Đường thẳng là đường thẳng chứa trục Oy.
- Đường thẳng là đường thẳng chứa trục Ox.
1;11
3 5x yx y
0x
0y
3 64
00
x yx yxy
1 : 3 6d x y
2 : 4d x y
0 1;1M
0M
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
- Miền không bị gạch (miền tứ giác OAIC, kể cả bốn cạnh của nó, với ,
và , chứa điểm ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
* Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng
, trong đó x, y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
- Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác.
- Tính giá trị của F ứng với là tọa độ các đỉnh của miền đa giác nói trên rồi so sánh các kết quả, từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trong đó là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho ở Ví dụ 4.
Lời giải
Lập bảng:
Đỉnh
0 4 6,8 6,4
LOVEBOOK.VN | 152
2;0A
1;3I 0;4C 0M
F ax by
;x y
2 1,6F x y ;x y
0;0O 2;0A 1;3I 0;4C
2 1,6F x y
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
B. Các dạng toán điển hình
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1: Miền không bị gạch bỏ (không tính đường thẳng d) trong hình bên dưới là miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. B.
C. D.
Lời giải
Đường thẳng d trong hình có phương trình: .
Lấy điểm ta có và .
Từ đó suy ra miền không bị gạch bỏ (không tính đường thẳng d) là miền nghiệm
của bất phương trình .
Đáp án B.
Ví dụ 2: Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình là một miền đa giác. Tính diện tích S của đa giác đó.
A. B. C. D.
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 153
Dạng 1
STUDY TIP
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
Đường thẳng đi qua 2
điểm và
với có phương trình là
.
;0A a 0;B b
0ab
1x ya b
4 0x y 2 4 0x y
2 4 0x y 4 0x y
1 2 4 04 2x y x y
0;0O O d 0 2.0 4 0
2 4 0x y
22
2 8
yx
x y
25S 4S 9S 18S
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh AB, BC, CA, trong đó
và . Dễ thấy
vuông tại A. Do đó ta có:
.
Đáp án C.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng F = ax + by. Áp dụng vào bài toán tối ưu trong thực tế
Ví dụ 3: Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. và B. và
C. và D. và
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 154
STUDY TIP
- Đường thẳng là đường thẳng song song với trục Oy, cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng a.
- Đường thẳng là đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b.
x a
y b
2; 2 , 5; 2A B 2;4C
ABC
1 1. .3.6 92 2ABCS S AB AC
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh
AB, BC, CA với ; và
.
Lập bảng:
Đỉnh
2
Vậy và .
Đáp án A.
Ví dụ 4: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:
Nhóm Số máy trong mỗi nhóm
Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm
Loại I Loại II
A 10 2 2
B 4 0 2
C 12 2 4
Mỗi đơn vị sản phẩm I lãi 3.000 đồng, mỗi đơn vị sản phẩm II lãi 5.000 đồng. Để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất thì cần dùng đến mấy máy thuộc nhóm A?
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
LOVEBOOK.VN | 155
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Lời giải
Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất (
). Khi đó số lãi thu được là
(nghìn đồng).
Theo giả thiết thì x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:
.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền đa giác OABCD, kể cả các cạnh của nó. Lập bảng:
Đỉnh
0 15 17 16 10
Vậy cần sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II để số lãi thu được cao
nhất. Khi đó cần dùng đến máy thuộc nhóm A.
Đáp án D.
LOVEBOOK.VN | 156
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 230
Câu 1: Miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) trong hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Cho hệ bất phương trình: . Miền nghiệm của hệ bất phương trình là:
A. Một nửa mặt phẳng.
B. Một miền tam giác
C. Một miền tứ giác
D. Một miền ngũ giác
Câu 3: Cho biểu thức với x và
y thỏa mãn hệ bất phương trình:
. Biết T đạt giá trị nhỏ nhất khi và
. Tính .
A. 5 B. 41 C. 26 D. 0
Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị pro-tein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá tiền mỗi kg thịt bò là 250.000 đồng, giá tiền mỗi kg thịt lợn là 85.000 đồng. Hỏi chi phí ít nhất để mua thịt mỗi ngày của gia đình đó là bao nhiêu?
A. 226.000 đồng B. 209.500 đồng
C. 167.000 đồng D. 168.500 đồng
LOVEBOOK.VN | 157
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ V
Xem đáp án chi tiết tại trang 230
Câu 1: Bất phương trình nào sau đây không
tương đương với bất phương trình ?
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Cho bất phương trình . Một học sinh giải như sau:
.
Hỏi học sinh giải sai từ bước nào?
A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV)
Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
.
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình:
chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 7: Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương?
A. và
B. và
C. và
D. và
Câu 8: Điều kiện của bất phương trình:
LOVEBOOK.VN | 158
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
là:
A. B.
C. và D. và
Câu 9: Bất phương trình có tập nghiệm là:
A.
B. .
C.
D.
Câu 10: Gọi a và b lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của hệ bất
phương trình . Tính .
A. 3 B. 2 C. 6 D. 10
Câu 11: Bất phương trình
có tập nghiệm là:
A. B.
C. D.
Câu 12: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Bất phương trình luôn có nghiệm
.
B. Bất phương trình vô nghiệm khi
và
C. Bất phương trình có tập nghiệm
là khi và
D. Bất phương trình có nghiệm khi
Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên không thuộc tập nghiệm của bất phương trình
?
A. 6 B. 8 C. 4 D. 2
Câu 14: Cho bất phương trình . Nghiệm lớn nhất của bất phương trình gần với số nào nhất trong các số sau?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 15: Cho hệ bất phương trình
. Xét các khẳng định sau:
(I) Khi thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.
(II) Khi thì hệ bất phương trình đã cho
có tập nghiệm là .
(III) Khi thì hệ bất phương trình đã cho
có tập nghiệm là .
(IV) thì hệ bất phương trình đã cho có
nghiệm là .
LOVEBOOK.VN | 159
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 16: Giá trị lớn nhất của tham số m để hệ
bất phương trình vô nghiệm là:
A. B. C. D.
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A.
B.
C.
D.
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
có 2 nghiệm dương phân biệt?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 19: Cho hệ bất phương trình
. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất?
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 20: Bất phương trình: có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
A. Vô số B. 23 C. 22 D. 21
Câu 21: Cho hệ bất phương trình:
. Gọi là tập nghiệm của bất
phương trình (1), là tập nghiệm của bất phương trình (2) còn S là tập nghiệm của hệ bất phương trình. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 22: Biết hệ bất phương trình:
có miền nghiệm là một miền đa giác (kể cả các cạnh của nó). Tính diện tích đa giác đó.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 23: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
là:
A. Một nửa mặt phẳng B. Một miền tam giác
C. Một miền tứ giác D. Một miền ngũ giác
LOVEBOOK.VN | 160
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
, với x và y thỏa mãn hệ bất phương
trình là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 25: Cho hệ bất phương trình . Biết miền nghiệm của hệ bất phương trình là một đa giác. Diện tích của đa giác đó gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
A. 6 B. 6,5 C. 7 D. 5,5
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A. B.
C. D.
Câu 27: Phương trình
có nghiệm khi và chỉ khi:
A. B.
C. D.
Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 10 thuộc tập nghiệm của bất
phương trình ?
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
Câu 29: Tập xác định của hàm số
là:
A.
B.
C.
D.
Câu 30: Cho bất phương trình:
.
Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất
phương trình vô nghiệm là đoạn . Tính độ
dài đoạn trên trục số.
A. 6 B. C. 4 D.
Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A. B.
C. D.
LOVEBOOK.VN | 161
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Câu 32: Gọi a và b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của hệ bất phương trình:
.
Tính .
A. B. C. D.
Câu 33: Tập xác định của hàm số
có dạng là một đoạn
(với ) khi và chỉ khi:
A. B. C. D.
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A. B.
C. D.
Câu 35: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A. B.
C. D.
Câu 36: Tập nghiệm của phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 38: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm.
A. B.
C. D.
Câu 39: Biết phương trình có
tập nghiệm là nửa khoảng , a gần với số nào nhất trong các số sau?
A. B. 0 C. 1 D. 2
Câu 40: Bất phương trình tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
A. B.
LOVEBOOK.VN | 162
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
C. D.
Câu 41: Biết tập nghiệm của bất phương trình
có dạng
(với ). Tính .
A. B.
C. D.
Câu 42: Giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất
phương trình
có tập nghiệm bằng gần với số nào nhất trong các số sau đây?
A. 4,5 B. 5 C. 5,5 D. 6
Câu 43: Gọi lần lượt là tập nghiệm của
các bất phương trình và
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 44: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để
bất phương trình có tập nghiệm
bằng ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị thuộc khoảng
của tham số m để hàm số
xác định khi ?
A. 0 B. 1 C. 2 D.Vô số
Câu 46: Cho bất phương trình:
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
A. B.
C. D.
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình
có nghiệm?
A. 7 B. 8 C. 9 D. Vô số
Câu 48: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
nghiệm đúng
là nửa khoảng , trong đó a là một số nguyên dương. Tính số ước nguyên dương của a.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình
LOVEBOOK.VN | 163
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 trên trục số?
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 50: Bác Thùy dự định trồng đậu và cà trên
diện tích ( ). Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu lãi 3.000.000 đồng trên mỗi a, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu lãi 4.000.000 đồng trên mỗi a. Biết tổng số công cần dùng không được vượt quá 180. Tính số tiền lãi lớn nhất thu được.
A. 24 (triệu đồng) B. 25 (triệu đồng)
C. 26 (triệu đồng) D. 27 (triệu đồng)
LOVEBOOK.VN | 164
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 5
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Câu 1: Đáp án B.
Ta có:
(*).
Bất phương trình (*) vô nghiệm
.
Câu 2: Đáp án D.
Điều kiện:
Ta có:
Bảng xét dấu vế trái:
5
VT + 0 +
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm
.
Vậy có 6 số nguyên nhỏ hơn 10 thuộc S, đó là
các số .
Câu 3: Đáp án A.
(*).
Vì nên .
Do đó (*)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
.
Câu 4: Đáp án B.
* .
Phương trình trở thành:
.
* . Khi đó phương trình đã
cho có nghiệm
* Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.
Do đó .
Câu 5: Đáp án D.
Hàm số có tập xác định
LOVEBOOK.VN | 165
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
.
* TH1:
hoặc .
- Với :
;
.
- Với :
.
Vậy hoặc không thỏa mãn hàm số
có tập xác định .
* TH2: .
Khi đó
.
* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn ycbt.
Câu 6: Đáp án C.
Điều kiện:
.
* Với hoặc :
Vậy là các nghiệm của bất phương trình.
* Với thì
.
Vậy trường hợp này bất phương trình có
nghiệm là .
* Vậy .
Câu 7: Đáp án D.
Điều kiện: (1).
Ta có:
(2).
Từ (1) và (2) suy ra .
Câu 8: Đáp án C.
Cách 1: * Giải bất phương trình:
(1).
Điều kiện: .
- Với thì . Do đó không là nghiệm của bất phương trình (1).
- Với :
LOVEBOOK.VN | 166
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm
.
* Giải bất phương trình (2). Dễ thấy bất phương trình (2) có tập nghiệm
.
* Ta thấy .
Vậy .
Cách 2: Ta có .
Với thì . Do đó nhân hai vế
của bất phương trình với ta được bất phương trình tương đương. Vậy C đúng.
Câu 9: Đáp án D.
Điều kiện: .
Để hàm số xác định trên khoảng thì ta phải có
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu
cầu bài toán. Đó là các giá trị .
Câu 10: Đáp án C.
Ta có (do có
và ).
Do đó
Để bất phương trình đã cho thỏa mãn
thì (1) và (2) phải nghiệm đúng
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu
cầu bài toán, đó là các giá trị .
Câu 11: Đáp án D.
.
Ta có
.
Vậy bất phương trình
LOVEBOOK.VN | 167
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
vô nghiệm.
Do đó .
Câu 12: Đáp án D.
Điều kiện xác định của hàm số:
(do )
.
Vậy .
Do đó và .
Suy ra .
Câu 13: Đáp án A.
* .
*
(*)
- TH1: .
(*) trở thành .
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm
.
- TH2: .
Khi đó (*) .
Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì ta phải có
.
- TH3: .
Khi đó (*) .
Suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.
* Tóm lại hệ bất phương trình đã cho vô
nghiệm .
Câu 14: Đáp án C.
Đặt .
Có .
- Nếu thì .
Khi đó bất phương trình vô nghiệm.
- Nếu thì ; .
Khi đó bất phương trình có 1 nghiệm duy nhất .
- Nếu thì có 2 nghiệm phân
biệt . Khi đó bất phương trình
có tập nghiệm là .
LOVEBOOK.VN | 168
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 thì ta phải
có:
.
Vậy . Do đó tổng các phần tử của S bằng 5.
Lưu ý: Ta có thể giải như sau:
.
Sau đó áp dụng định lí Vi-et để tìm m.
Câu 15: Đáp án C.
Điều kiện:
Khi đó ta có:
(*)
Với thì
LOVEBOOK.VN | 169
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Do đó (*)
.
Kết hợp với điều kiện ta có
.
Do đó .
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
Câu 1: Đáp án C.
Phương trình đường thẳng d:
.
Lấy điểm , ta có và
.
Vậy miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình
.
Câu 2: Đáp án C.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền
tứ giác ABOC với , và
.
Câu 3: Đáp án C.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền
tam giác ABC với và
. Lập bảng:
Đỉnh
3
LOVEBOOK.VN | 170
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi
và . Do đó và
.
Câu 4: Đáp án D.
Gọi x và y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày. Khi đó x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:
.
Lượng tiền để mua thịt là
(nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là
miền tứ giác ABCD với ,
, và .
Lập bảng:
Đỉnh
Đỉnh
Vậy chi phí mua thịt ít nhất là 168.500 đồng.
III. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 5
Câu 1: Đáp án D.
Xét bất phương trình:
(*)
Điều kiện: .
* Dễ thấy thỏa mãn bất phương trình (*).
* Với :
Vậy trong trường hợp này bất phương trình (*)
có nghiệm .
* Vậy (*) có tập nghiệm
.
Mặt khác xét bất phương trình . Bất phương trình này có tập nghiệm
.
Vậy . Do đó bất phương trình
không tương đương với bất phương trình
.
Câu 2: Đáp án D.
LOVEBOOK.VN | 171
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
* Xét bất phương trình
(*)
Điều kiện: .
+ không thỏa mãn bất phương trình (*).
+ : (*) .
Vậy trong trường hợp này bất phương trình có
nghiệm .
Vậy tập nghiệm của (*) là .
* Xét bất phương trình: có tập nghiệm
.
Ta thấy .
Do đó .
Câu 3: Đáp án B.
Học sinh giải sai từ bước (II), vì
chỉ đúng khi .
Câu 4: Đáp án C.
vì .
Câu 5: Đáp án C.
.
Phương trình có nghiệm
duy nhất (nghiệm bội 1).
Xét dấu vế trái:
2
VT 0 +
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
.
Câu 6: Đáp án C.
Hệ bất phương trình đã cho tương đương với
.
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình chứa 2
số nguyên là và 0.
Câu 7: Đáp án D.
* Xét bất phương trình . Dễ thấy bất
phương trình có tập nghiệm .
* Xét bất phương trình
(*).
+ Dễ thấy không thỏa mãn bất phương trình (*).
+ Với thì . Khi đó:
.
Vậy trong trường hợp này (*) có nghiệm
.
+ Vậy (*) có tập nghiệm
LOVEBOOK.VN | 172
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
* Ta thấy . Do đó và
không tương đương với nhau.
Câu 8: Đáp án D.
Điều kiện của bất phương trình đã cho là:
.
Câu 9: Đáp án A.
vì ta luôn có
.
Câu 10: Đáp án B.
.
Vậy và .
Câu 11: Đáp án C.
Ta có: .
Xét có
và .
Do đó .
Suy ra .
.
Câu 12: Đáp án A.
Chẳng hạn với thì bất phương trình
là vô nghiệm.
LOVEBOOK.VN | 173
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Câu 13: Đáp án B.
Bảng xét dấu các nhị thức và :
4
0 + +
0 +
* :
Bất phương trình trở thành:
.
Vậy trong trường hợp này bất phương trình có
nghiệm .
* : Bất phương trình trở thành:
(vô lí).
Vậy trong trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
* : bất phương trình trở thành:
.
Vậy trong trường hợp này bất phương trình có
nghiệm .
* Tóm lại, bất phương trình có nghiệm là
.
Vậy có 8 số nguyen không thuộc tập nghiệm
của bất phương trình, đó là các số .
Câu 14: Đáp án A.
Điều kiện: .
*
.
Ta có:
.
* Bảng xét dấu
:
0
+ 0 0 + 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
Suy ra nghiệm lớn nhất của bất phương trình đã
cho là .
Câu 15: Đáp án B.
LOVEBOOK.VN | 174
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
* .
* .
+ : Hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ : trở thành (vô lý) Hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ : Hệ bất
phương trình có nghiệm .
* Vậy và là các khẳng định đúng.
Câu 16: Đáp án C.
.
Hệ trên vô nghiệm .
Câu 17: Đáp án D.
Điều kiện: .
* Trường hợp 1:
* Trường hợp 2:
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
Câu 18: Đáp án A.
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
.
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn ycbt.
Câu 19: Đáp án A.
* .
* Xét bất phương trình
LOVEBOOK.VN | 175
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
(*).
+ : (*) trở thành
thỏa mãn . Vậy với
hệ bất phương trình đã cho có tập
nghiệm là . Do đó không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+ :
(*) .
Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy
nhất thì ta phải có
.
Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ :
.
Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy
nhất thì ta phải có
.
Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Đáp án C.
Với thì . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
(do )
.
Vậy bất phương trình đã cho có 22 nghiệm nguyên âm.
Câu 21: Đáp án B.
Ta có:
hay .
Vậy .
Câu 22: Đáp án C.
Hai đường thẳng và
giao nhau tại điểm .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh AB, AC, BC) với
; và .
.
LOVEBOOK.VN | 176
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Câu 23: Đáp án C.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC, với
.
Câu 24: Đáp án B.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác ABC (kể cả các cạnh của nó), trong đó
, , .
Lập bảng:
Đỉnh
F 2 1 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 1, đạt được khi
và .
Câu 25: Đáp án B.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là
tứ giác OABC với .
.
LOVEBOOK.VN | 177
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Câu 26: Đáp án B.
Điều kiện: .
Ta có .
Ta có: .
Dấu bằng xảy ra khi .
Do đó
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
Câu 27: Đáp án A.
.
Phương trình có nghiệm
.
Câu 28: Đáp án C.
Điều kiện:
.
* Dễ thấy và thỏa mãn bất phương trình.
* Với thì . Khi đó:
* Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho
là .
Câu 29: Đáp án D.
Hàm số xác định
.
Vậy .
Câu 30: Đáp án C.
* Trường hợp 1:
.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
.
* Trường hợp 2: .
Khi đó bất phương trình đã cho vô nghiệm
LOVEBOOK.VN | 178
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
.
Vậy đoạn có độ dài là
.
Câu 31: Đáp án C.
.
Câu 32: Đáp án A.
Vậy và .
Câu 33: Đáp án B.
Điều kiện của hàm số:
.
Do đó để tập xác định của hàm số có dạng là
một đoạn (với ) thì ta phải có
.
Câu 34: Đáp án D.
.
Dấu bằng xảy ra khi
.
Tức là
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
Câu 35: Đáp án B.
Ta có:
Vậy
.
Câu 36: Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 179
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Điều kiện: .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
.
Câu 37: Đáp án D.
Điều kiện: .
.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm
.
Câu 38: Đáp án A.
Điều kiện: .
.
Phương trình đã cho có nghiệm
.
Câu 39: Đáp án C.
.
Câu 40: Đáp án C.
* Xét bất phương trình
(1)
Điều kiện: .
Với thì .
Do đó .
LOVEBOOK.VN | 180
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm
.
* Xét bất phương trình:
Điều kiện: .
Với thì .
Do đó .
Vậy bất phương trình (2) có tập nghiệm
.
* Ta có . Suy ra bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình (2).
Câu 41: Đáp án B.
* Trường hợp 1:
* Trường hợp 2:
.
* Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm
và
.
Câu 42: Đáp án C.
* TH1: . Khi đó bất phương trình trở thành
.
Vậy không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* TH2: . Bất phương trình đã cho có
tập nghiệm bằng .
.
Câu 43: Đáp án D.
*
.
*
.
LOVEBOOK.VN | 181
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
* Vậy .
Câu 44: Đáp án B.
Ta có .
Do đó
Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm bằng
thì ta phải có .
Câu 45: Đáp án D.
Ta có .
Do đó hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
.
* TH1: :
.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* TH2: :
.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* TH3: :
.
Để hàm số đã cho xác định khi thì ta
phải có .
* Vậy các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài
toán là .
Câu 46: Đáp án D.
Bất phương trình đã cho tương đương với
.
Ta có:
.
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm thì ta phải có
.
Câu 47: Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 182
Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com
(vì ).
Đặt .
Đặt thì
Vì nên .
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
.
Vậy .
Dấu bằng xảy ra khi .
Do đó điều kiện để bất phương trình đã cho có
nghiệm là .
Câu 48: Đáp án B.
Điều kiện:
.
Ta có:
k
Đặt .
Ta có với thì .
Bất phương trình đã cho trở thành
(*)
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi
(*) thỏa mãn với mọi
.
Ta có thì
.
Vậy ta phải có có 2 ước nguyên dương là 1 và 5.
Chú ý: Xem lại chủ đề Hàm số.
Câu 49: Đáp án B.
* .
* Tam thức có 2
nghiệm và (do có ).
- Nếu thì Bất
phương trình có nghiệm duy nhất
không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Nếu thì
.
LOVEBOOK.VN | 183
Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com
Do đó hệ bất phương trình đã cho có nghiệm
duy nhất không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Nếu thì
.
Do đó để hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 thì ta phải
có .
* Vậy là giá trị duy nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 50: Đáp án C.
Gọi và lần lượt là diện tích trồng đậu và trồng cà.
Điều kiện: và .
Số công cần dùng là
.
Số tiền lãi thu được là (triệu đồng).
Ta tìm giá trị lớn nhất của với x, y
thỏa mãn hệ bất phương trình .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền
tứ giác OABC với , và
.
Lập bảng:
Đỉnh
T 0 24
Đỉnh
T 26 24
Vậy số lãi lớn nhất thu được là 26 (triệu đồng), đạt được khi trồng 6a đậu và 2a cà.
LOVEBOOK.VN | 184
top related