wojskowa akademia techniczna im. jarosława ...wojskowa akademia techniczna im. jarosława...
Post on 27-Feb-2018
221 Views
Preview:
TRANSCRIPT
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jaros ława Dąbrowskiego
ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
Przedmiot:
PODSTAWY AUTOMATYKI (studia stacjonarne I stopnia)
ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr 2
OPIS WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH LINIOWYCH UKŁADÓW CIĄGŁYCH
Warszawa 2013
2
ĆWICZENIE RACHUNKOWE NR 2
Temat: Opis własności dynamicznych liniowych układów ciągłych
Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:
zapis równań „wejście-wyjście” dla prostych układów dynamicznych;
przykładowe obliczanie transformat i oryginałów funkcji zgodnie z prostym przekształceniem Laplace’a;
wyznaczanie transmitancji operatorowej i widmowej; zapisu modelu obiektu w postaci równań stanu i równania
wyjścia. 1. Przekształcenie Laplace’a 1.1. Wprowadzenie
Rachunek operatorowy jest metodą rozwiązywania niektórych równań i układów równań różniczkowych i pokrewnych, polegająca na całkowitej lub częściowej „algebraizacji” rozwiązywanego równania lub układu równań.
Istota algebraizacji polega na tym, że rozwiązując za pomocą rachunku operatorowego dane równanie, np. równanie różniczkowe zwyczajne, wyznaczamy najpierw tzw. równanie operatorowe będące równaniem algebraicznym. W zasadzie rachunek operatorowy jest metodą rozwiązywania równań liniowych. Jego zastosowania w zakresie równań nieliniowych są jednak dotąd znikome i ograniczają się do niewielkiej liczby szczególnych przypadków. Dzięki swej prostocie i efektywności, a także ze względu na inne zalety w porównaniu ze znanymi metodami, stał się ogólną metodą badania dynamiki układów liniowych, niezależnie od ich charakteru fizycznego. Rachunek operatorowy okazał się szczególnie dogodny w zakresie teorii obwodów elektrycznych i teorii automatycznej regulacji – w tych dziedzinach znalazł najpełniejsze i najbardziej wszechstronne zastosowanie.
Metody operatorowe można podzielić na trzy zasadnicze grup: metody oparte na pojęciu operatora różniczkowania i operatora
całkowania (metoda operatorów Heaviside’a); metody oparte na przekształceniach całkowych (metoda
przekształcenia Lapalce’a); metody oparte na pojęciach algebry wyższej i analizy
funkcjonalnej (metoda operatorów Mikusińskiego).
Rozdprzeksztprzekszt
Prze
która transformzmiennastronie w
Orygzmienne
Licz
spełnionwykładnfunkcji t
dział ten wtałceniu tałceniem Fekształcenie
funkcji f(matę F(s),a s odgrywwzoru (1) bginałem nej rzeczywis
f(t) = 0 dlf(t) jest wwraz z pof(t) jest fui m > 0 nierównoś
zbę m0 0 na dla m = nikiem wzratypu wykład
Rys1
w całości poLaplace’a
Fouriera. e Laplace’a
)(tfL
(t) zmienn będącą f
wa w całkoędziemy nanazywamy stej t, spełnia t < 0;
w przedzialchodnymi d
unkcją rzędutakie, że
ść:
taką, że m0 + , a n
astania funkdniczego.
. Wykres fun
oświęcony jz uwz
określone j
0)( etf st
nej rzeczyfunkcją zmowaniu rolęazywać całk
funkcję iającą nastę
le (-, +)do rzędu n –u wykładnic
dla wszy
mMetf )(
dla każdegnie jest spełkcji f(t). Na
nkcji typu wy
jest metodzzględnieniem
est zależnoś
)(sFdtt
ywistej tmienną zespę parametruką Lapalce’a
zespolonąępujące waru
) funkcję p– tego; czego, jeśli ystkich wa
mt
go > 0 nłniona dla ma rys.1. prz
ykładniczego
zie operatorm powią
ścią:
przyporząpolonej s =u. Całkę poa funkcji f(t)ą f(t) = u(unki:
przedziałam
istnieją stałartości t z
nierówność m=m0-, nazedstawiono
(m>0)
3
rowej na ązań z
(1)
ądkowuje = u + j; o prawej t). (t) +j(t)
mi ciągła
ałe M > 0 zachodzi
(2)
(2) jest azywamy o wykres
4
Jeśli funkcja f(t) jest oryginałem o wykładniku wzrastania m0, to: całka po prawej stronie wzoru (1) jest jednostronnie zbieżna w
półpłaszczyźnie Re s > m0; funkcja F(s) określona wzorem (1) jest funkcją analityczną w
półpłaszczyźnie Re s > m0; 0lim
Re
sF
s;
Funkcję F(s) nazywamy transformatą (obrazem) oryginału f(t), co zapisujemy:
tfLsF (3) 1.2. Własności przekształcenia Laplace’a
Praktyczne zastosowanie przekształcenia Lapalce’a polega na tym, że prowadzimy obliczenia nie na danych funkcjach, lecz na ich obrazach. Podobnie, gdy mamy do wykonania operację mnożenia, to korzystamy z logarytmów, gdyż to sprowadza się do prostych operacji dodawania. Proces odwzorowania można uważać za coś w rodzaju przekładu z jednego języka na inny, każdemu słowu odpowiada inne słowo. W transformacji Laplace’a każdej funkcji (oryginałowi) odpowiada inna funkcja (transformata, obraz).
Najważniejsze właściwości przekształcenia Laplace’a mające zasadnicze znaczenie dla praktyki i zastosowań, zostaną ujęte w postaci kilku prostych wzorów i reguł, stanowiących w pewnym sensie gramatykę rachunku operatorowego. Na nich oparta jest technika stosowania metody operatorowej w konkretnych problemach:
Liniowość - przekształcenie Laplace’a jest przekształceniem liniowym, tzn. ma następującą własność: jeśli
)()(),()( 2211 sFtfLsFtfL (4) to
)()()()()()( 221122112211 sFcsFctfcLtfcLtfctfcL (5) gdzie: c1, c2 są dowolnymi liczbami.
twierdzenie o podobieństwie:
)(1
)(a
sF
aatfL (6)
5
lub
)(1
a
tf
aLasF (7)
transformata pochodnej funkcji:
)0()()(
fssFdt
tdfL
(8)
transformata całki funkcji (>0):
s
f
s
sFdfL
)0()()(
)1(
(9)
przesunięcie w czasie:
sFeTtTtfL sT 1)( (10)
wartość początkowa:
0lim ( ) limt s
f t sF s
(11)
wartość końcowa, – jeżeli funkcja wymierna sF(s) ma bieguny
leżące wyłącznie w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, to:
ssFtf
st 0lim)(lim
(12)
mnożenie przez czas:
ds
sdFttfL
)( (13)
zmiana skali czasu:
tfLsFgdziea
sF
aatfL
,
1 (14)
zmiana częstotliwości:
6
tfLsFgdzieasFtfeL at , (15) funkcje okresowe, – jeżeli f(t) jest funkcją okresową o okresie T,
wtedy transformata Laplace’a jest dana jako:
sTe
sFtfL
1
1 (16)
gdzie: F1(s) = L{f1(t)} jest transformatą funkcji f(t) w pierwszym okresie
twierdzenie o pochodnej ilorazu funkcji, – jeżeli funkcje L(x) i
M(x) są różniczkowalne oraz funkcja M(x) jest w danym punkcie różna od 0, wówczas tymże punkcie istnieje pochodna iloraz funkcji L(x) i M(x) i wyraża się wzorem
2)(
)()()(
)(
)(
xM
xLxMxMxL
xM
xL
(17)
2. Transmitancja operatorowa układu.
W układach liniowych wyróżnić można następujące rodzaje elementów podstawowych:
elementy powodujące straty energii rozpraszanej na energię cieplną – tracie, oporność czynna w układach elektrycznych, opór przepływu gazów i cieczy;
elementy magazynujące energię w postaci kinetycznej – masa, indukcyjność w układach elektrycznych, bezwładność gazów i cieczy.
W dalszej części opiszemy szczegółowo równania opisujące własności dynamiczne przedstawionych elementów. Założymy przy tym, że ograniczamy się tylko do liniowego zakresu pracy, np. przyjmiemy, że w układach elektrycznych wartości oporności, indukcyjności i pojemności są stałe, niezależne od prądu i napięcia.
O układach mechanicznych załóżmy, że składają się z ciał idealnie twardych i sprężyn idealnych o znikomo małej masie i że siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (tarcie lepkie).
O układach pneumatycznych załóżmy, że ciecze są nieściśliwe, a spadek ciśnienia na oporach przepływu jest proporcjonalny do wielkości tego przepływu, czyli że opory przepływu mają wartości stałe, niezależnie od przepływu ani ciśnienia. Transmitancją operatorową G(s) jednowymiarowego układu liniowego stacjonarnego nazywamy wielkość określoną jako stosunek
7
transformaty Laplace’a odpowiedzi Y(s) do transformaty Laplace’a wymuszenia U(s) tego układu przy zerowych warunkach początkowych.
Liniowy stacjonarny układ dynamiczny można opisać liniowym różniczkowym równaniem wejścia-wyjścia.
)()(
...)()(
)()(
...)()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(18)
lub transmitancją operatorową w dziedzinie zmiennej zespolonej s.
Założywszy w poprzednim równaniu zerowe warunki początkowe oraz stosując transformatę Laplace’a:
)()(
...)()(
)()(
...)()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudbL
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tydaL
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(19)
czyli
)()(00
sUsbsYsam
j
jj
n
i
ii
(20)
gdzie: U(s)=L{u(t)}, Y(s)=L{y(t)}.
można otrzymać wymierną funkcje zmiennej zespolonej s, nazywaną transmitancją operatorową:
.)(
)()(
0
0
n
i
ii
m
j
jj
sa
sb
sU
sYsG (21)
3. Transmitancji widmowa układu. Transmitancją widmową G(j) liniowego układu stacjonarnego nazywamy wielkość określoną jako stosunek wartości zespolonej
składowdo warto
Tran
częstotliukładu u(t)=A1sprocesu częstotli
Prze
przedsta
Ry Char
przy zmstosunekprzesuniczęstotli
Tranpo podst
wej wymuszości zespolo
nsmitancja iwości. Dla
liniowegosint. W t
przejściowiwości, ale o
echodzenie awia rys.2.
ys.2. Przecho
rakterystykimianie częstok amplitudięcie fazowiwości. nsmitancję wtawieniu w
onej Y(j) onej tego wy
G(
widmowa a analizy pro wprowtakim przywego, ustalo innej amp
2y t A
sygnału
odzenie sygna
i częstotliwotliwości (pdy sygnałuwe między
widmową umiejsce op
( )G j
wywołanejwymuszenia
jU
jYj )(
opisuje dyrzyjmuje si
wadza się ypadku na li się sygnplitudzie i fa
2 ( ) sin t
sinusoidaln
ału sinusoidal
wościowe opulsacji) u wyjściowy wyjściem
uzyskuje sięeratora s op
Y jG
U j
j wymuszenU(j):
j
ynamikę ukę, że na we
wymuszjego wyjśc
nał sinusoiazie niż wym
t
nego przez
lnego przez e
określa zachw zakresie
wego do m, a wejśc
ę z transmiperatora j:
s j
G s
niem sinuso
kładu w dzejście elemenie sinuciu, po zandalny o temuszenie o
z element
element liniow
howanie sięod 0 do ,wejścioweg
ciem jako
itancji oper
8
oidalnym
(22)
ziedzinie mentu lub usoidalne niknięciu ej samej postaci:
(23)
liniowy
wy.
ę układu , podając go oraz
funkcję
ratorowej
(24)
9
Transmitancja widmowa jest zespoloną funkcją pulsacji i może być przedstawiona:
w postaci wykładniczej - podstawiając za U(j) i Y(j) parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej:
1 2( ) ( ) ; ( ) ( ) ;j tj tU j A e Y j A e (25)
wówczas transmitancję widmowa w postaci wykładniczej przedstawia zależność:
2 ( ) ( )2 2
1 1 1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
j t jj tj j
j t j t
AA e A e eG j e G j e
A e A e A
(26) w postaci zespolonej (części rzeczywistej P() i części urojonej
Q()): )()()( jQPjG (27)
gdzie: )(Re)( jGP
)(Im)( jGQ Związek między postacią wykładniczą, a zespoloną określają następujące zależności:
2 22
1
( )( ) ( )
( )
AG j P Q
A
(28)
P
Qarctg (29)
Z powyższych zależności wynika, że moduł transmitancji widmowej
|G(j)| określa stosunek amplitudy sygnału wyjściowego A2() do wejściowego A1(), natomiast argument transmitancji () określa przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym i wejściowym.
2. Opisi ope
ZestawidziedzinLp. Na
1. Re
2. Ko
3. Ce
Właściw
rw
rr
p
s
p
r
s podstaeratorowej
enie opisunie operatorazwa elementu
ezystor
ondensator
ewka
wości układórezystancja wynosi:
rezystancja równolegle
pojemność szeregowo w
11
C
pojemność równolegle
awowych .
u elementówrowej. u Zapis w
uR
tuc
uL
ów elektryczastępcza d
R
zastępczwynosi:
1
11
RRRz
zastępczawynosi:
1
11
CCz
zastępczawynosi:
C
elementów
w elektryc
w dziedzinie c
tiRtR
tiC
0
1
dt
tdiLt
cznych: dwóch rezys
1 RRRz za dwóch
2
1R
R
a dwóch
2
11
C
a dwóch
1 CCCz
w w d
cznych dzie
czasu
dt
storów połą
2R
h rezystor
21
21
RR
RRRz
kondensato
1
1
C
CCz
kondensato
2C
dziedzinie
edzinie cza
Zapis w dzieoperatorow
RsU R
sC
sU c
1
sLsU L
ączonych sz
rów połą
2
orów połą
2
2
C
C
orów połą
10
czasu
asu i w
edzinie wej
sIR
sIs
)(ssI
zeregowo
ączonych
ączonych
ączonych
Lp
1.
2.
3.
4.
ZestawiLp.
N
1. Rez
2. Opópost
3. Opóobro
4. Opó
Zestawikinetycz
p. Nazwa
Cewka el
Ciało twam wpostępow
Ciało twaobrotowy
Bezwładncieczy
enie opisu eNazwa elemen
zystor
ór tarcia w rutępowym
ór tarcia w ruotowym
ór przepływu
enie opisuznej.
a elementu
lektryczna
arde o masie w ruchu
wym
arde w ruchu ym
ność gazów i
elementów ptu Zapis
u
uchu
f
uchu
rf
1p t
u elementó
Zapis w d
tuL
f t
rf t
1p t p
powodującys w dziedzinie
tiRtuR
mt R v
rt R
2p t R
ów magazy
dziedzinie cza
dt
tdiL
dv tm
dt
r
d tM
dt
2 pp t m
ych straty (oczasu
t
t
t F
p pR i t 1P
ynujących
su Zapis
F
pdi
dt 1P s
opory). Zapis w dzied
operatorow
RsU R
mF s R
r rF s R
2s P s
energię w
s w dziedzinie
LsU L
F s m
r rF s M
2s P s
11
edzinie wej
sIR
V s
s
p pR I s
postaci
e operatorowe
)(ssIL
sV s
s s
p pm sI s
ej
ZestawipotencjaLp.
N
1. Kon
2. Elemukłamecpost
3. Elemukłamecobro
4. Sprękompneu
5. Napciecukłahyd
3. Opis
Linirównanirównań wykorzyo wiel
enie opisualnej. Nazwa eleme
ndensator
ment sprężyadach chanicznych tępowym
ment sprężyadach chanicznych otowym
ężystość gamorze umatycznej
pełnianie zbczą nieściśliwadach raulicznych
układów w
owy, stacjoia różniczk
stanu. ystujących plu zaletac
u elementó
ntu Z
sty w
ruchu
f
sty w
ruchu
rf
zu w
p
iornika wą w
p
w przestrzen
onarny obiekowego, tran
Opis pojęcie zmi
ch. Opisuj
ów magazy
Zapis w dziedz
C
tuc 1
0
1 t
m
tC
0
1 t
r
tC
0
1 t
p
t iC
0
1 t
h
t iC
ni stanu
kt może byćnsmitancjiwłasności iennych staje zarówn
ynujących
zinie czasu
dtti
0
(v t dt f
rt dt f
(pi t dt p
(pi t dt p
ć opisany zaoperatorow
układówanu, jest nono układy
energię w
Zapis w doperato
C
sU c
0 F sC
(0 rF sC
(0 P sC
0 P sC
a pomocą liwej oraz za w dynam
woczesnymy jedno-,
12
postaci
dziedzinie orowej
sIsC
1
1
m
V sC s
1
r
sC s
1p
p
I sC s
1p
h
I sC s
iniowego pomocą
micznych, m opisem
jak i
13
wielowymiarowe, przy czym jego postać w obu przypadkach jest taka sama.
Pod pojęciem zmiennych stanu rozumie się pewien minimalny zestaw zmiennych, tak zdefiniowanych dla danego układu, że znajomość zależności tych zmiennych od czasu określa jednoznacznie jego właściwości. Liczba zmiennych, wystarczająca do opisu układu jest zazwyczaj równa rzędowi równania różniczkowego, wiążącego sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym.
Jeżeli kolejne zmienne stanu są zdefiniowane w taki sposób, że każda następna jest równa pochodnej poprzedniej zmiennej, to takie zmienne są nazywane zmiennymi fazowymi. Przykładem zmiennych fazowych mogą być: droga, prędkość, przyspieszenie.
Zmienne stanu można przyjąć w taki sposób, aby były kombinacjami liniowymi zmiennych fazowych. Odpowiednie zdefiniowanie zmiennych stanu może prowadzić do uproszczenia obliczeń oraz łatwiejszych interpretacji fizycznych.
Przestrzenią stanu nazywamy prostokątny układ współrzędnych, na którego osiach odkładamy wartości zmiennych stanu. W miarę upływu czasu punkt, wyznaczony przez zmienne stanu, przesuwa się w tej przestrzeni wzdłuż linii nazywanej trajektorią. Jeżeli jako zmienne stanu wybierzemy zmienne stanu fazowe, to przestrzeń stanu nosi nazwę przestrzeni fazowej, a trajektoria jest nazywana trajektorią fazową.
Przebieg dowolnej wielkości fizycznej będącej nośnikiem informacji nazywać będziemy zmienną lub sygnałem. Wielkości oddziaływujące na układ u1(t), u2(t), …, up(t) nazywać będziemy wymuszeniami lub zmiennymi wejściowymi, a miejsca ich oddziaływania – wejściami układu. Wymuszenia przedstawiają wielkości generowane w innym układzie niż badany. Wśród wymuszeń wyróżniać będziemy wielkości reprezentujące oddziaływania celowe, zwane sterowaniami, oraz wielkości reprezentujące oddziaływania niepożądane, zwane zakłóceniami. Wielkości oddziaływujące na inne układy y1(t), y2(t),…,yq(t) nazywamy odpowiedziami lub zmiennymi wyjściowymi, a miejsca ich oddziaływania – wyjściami układu.
Przebieg procesu dynamicznego w czasie zależy nie tylko od wartości wymuszeń w danej chwili, ale również od wartości tych wymuszeń w przeszłości. Można, więc powiedzieć, że proces (układ) dynamiczny ma pamięć, w której są gromadzone skutki przeszłych oddziaływań.
Stanem procesu nazywać będziemy najmniejszy liczebnie zbiór wielkości x1(t), x2(t), …, xn(t), określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań na proces, który jest wystarczający do przewidywania przebiegu procesu w przyszłości.
Wielbędzproc[t0, tproc
Liczwarunkórozwiąz
Rów
gdzie
Dla
B(t), C(przyporz
Ry Dla
od czasuW tym p
lkości x1(t)ziemy zmiencesu w chwt1] wystarczcesu w przed
zba zmiennów początkania równań
wnania układ
e: A(t) – maciwymiarze ntransmisyjn
układów li(t), D(t) są ządkować n
ys.4. Schemat
układów liu) elementyprzypadku p
, x2(t), …,nnymi (wsp
wili początkoza do okreśdziale [t0,t1)
Rys.3. Schem
nych stanu owych koniń opisującydu w przest
x t A
y t C
erz stanu ukłanxp, C(t) – maa o wymiarze
iniowych nfunkcjami
następujący
t blokowy ciąg
niowych sty macierzy powyższe ró
x t
y t
, xn(t) okrpółrzędnymi)kowej t0 oraślenia przeb).
mat układu dy
równa się iecznych do
ych układ. trzeni stanu
A t x t B
C t x t D
adu o wymiaracierz odpowi qxp.
niestacjonarczasu t. Pschemat bl
głego układu
tacjonarnychA, B, C, Dównania sta
Ax t B
Cx t D
reślające pri) stanu. Znaz wymuszebiegów odp
ynamicznego
liczbie lino wyznacze
mają ogóln
B t u t
D t u t
rze nxn, B(t) –iedzi o wymia
rnych elemePowyższym lokowy:
liniowego nie
h (o paramsą stałe i n
anu przyjmu
Bu t
Du t
roces nazynajomość steń w przedzowiedzi i st
niowo niezania jednozn
ną postać:
– macierz wymarze qxn, D(t)
enty macierrównaniom
estacjonarneg
etrach niezanie zależą oują postać:
14
ywać tanu ziale tanu
ależnych nacznego
(30)
muszenia o ) – macierz
rzy A(t), m można
go.
ależnych od czasu.
(31)
15
Dla układów dających się opisać za pomocą równań różniczkowych równanie stanu i równanie wyjścia można opisać równaniem:
,
,
x t F u t x t
y t G u t x t
(32)
Powyższe równanie stanu jest równaniem różniczkowym
pierwszego rzędu, w ogólnym przypadku nieliniowym i zależnym jawnie od czasu, a funkcja F jest n – elementową funkcją wektorową. Równanie to można, więc rozpisać szczegółowo:
11 1 2 1 2
22 1 2 1 2
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
, ,..., , , ,...,
, ,..., , , ,...,
n k
n k
nn n k
dx tf x x x u u u t
dtdx t
f x x x u u u tdt
dx tf x x x u u u t
dt
(33)
Równanie wyjścia układu jest równaniem algebraicznym, przy czym
G jest l-elementowa funkcją wektorową. Rozpisując to równanie otrzymamy:
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
, ,..., , , ,...,
, ,..., , , ,...,
n k
n k
n n n k
y t g x x x u u u t
y t g x x x u u u t
y t g x x x u u u t
(34)
Powyższe równania mogą być linearyzowane w otoczeniu punktu
wybranego stanu układ (punktu pracy). Często współrzędne wektora stanu x1, x2, x3, …, xn wybiera się w ten
sposób, aby:
12 1
23 2
1n
n n
dxx x
dtdx
x xdt
dxx x
dt
(35)
Tak fazowymfazowymwybranepołożenpo krzypoglądow układfazowymnazywa będziem
Na r
wejściowopis w p
Załóznaną, w
oraz
wielomiPodz
wprowa
G
Wpr
następuj
wybrane wmi, a wektom układu. ej chwili t je
nie punktu, ywej zwaneową, geomedzie. Rodzim układu,
się przestmy o płaszcz
Rys.5. Sche
rys.5 przedswym u(t) i przestrzeni sóżmy, że dlwymierną fu
sG
z, że stopieianu w mianzielmy lic
adźmy nowe
n
nmm
b
asa
sU
sYsG
1
rowadźmy jący sposób
współrzędneor x o sk
Współrzędednoznacznzwanego puej trajektoretryczną iluinę trajekt
natomiast trzenią fazzyźnie fazow
emat blokowy
stawiono blwyjściowy
stanu. la tego ukłunkcją oper
a
sU
sY
eń wielominowniku (mznik i m
e oznaczeni
n
nmm
nm
n
m
bs
sa
sb
a
11
11
...
.
1
sygnał pomb:
e stanu nazykładowych dne fazownie określająunktem fazorią fazową
ustrację prztorii fazowt powyższązową. W pwej.
jednowymiar
lokowo ukłaym y(t), dla
ładu transmratora s:
1
1
sbsb
sasan
nn
n
mm
m
ianu w licm < n). mianownik
a współczy
nn
n
n
n
nm
n
m
sbsb
sa
sb
b
sb
a
01
1
11
11
11
...
...
mocniczy
ywać będziex1, x2, x3,
we x1, x2, x3
ą w przestrzowym. Punk. Trajektorebiegu proc
wych nazyą n – wym
przypadku,
rowego układ
ad jednowya którego c
mitancja ope
11
11
...
...
sb
san
m
czniku jest
transmitannników:
n
n
n
n
n
n
sa
b
bs
b
b
sb
a
0
11
11...
e(t) o tran
emy współr…, xn – w3, …, xn wzeni n - wymkt ten przesria fazowa cesu dynamwa się p
miarową prgdy n = 2
u liniowego.
miarowy, ochcemy wy
eratorowa G
0
0
b
as
niższy od
cji przez
n
n
n
n
n
sb
b
sb
a
0
0
nsformacie
16
rzędnymi wektorem
w każdej miarowej suwa się stanowi
micznego portretem rzestrzeń
2 mówić
o sygnale yznaczyć
G(s) jest
(36)
d stopnia
bn’sn i
(37)
E(s) w
17
sU
sE
sE
sY
sU
sYsG (38)
Transmitancję daną wzorem (38) możemy przedstawić jako iloczyn
dwóch następujących czynników:
nnn
n sbsbsbsU
sE
01
11
1 ...1
1 (39)
nnnmm
nmm sasasasa
sE
sY
01
11
1 ... (40)
Przekształcając wzory (39) i (40) można otrzymać następujące
zależności:
sEsbsEsbsEsbsUsE nnnn
0
11
11 ... (41)
sEsasEsasEsasEsasY nnnmm
nmm
01
11
1 ... (42)
Na rys.6. przedstawiono schemat blokowy, będący ilustracją równań
(41) i (42). Umieszczono na nim w postaci trójkątów n członów całkujących połączonych szeregowo. Transformatę Laplace’a sygnału wejściowego pierwszego z tych członów oznaczono E(s). Zgodnie z zasadą działania członu całkującego na jego wyjściu uzyskamy sygnał o transformacie s-1E(s). Na wyjściu ostatniego n - tego elementu całkującego otrzymamy sygnał o transformacie s-nE(s).
Jak widać z tego rysunku, sygnał o transformacie E(s) uzyskujemy z wyjścia pierwszego węzła sumacyjnego, do którego wejść doprowadzony sygnał u(t) układu przedstawionego na rys.6. oraz sygnały sprzężenia zwrotnego pobrane z wyjść odpowiednich członów całkujących poprzez elementy proporcjonalne, zgodnie z równaniem (41).
Wytworzenie sygnału wyjściowego y(t) układu z rys.6 wymaga, zgonie ze wzorem (42), zsumowania odpowiednich sygnałów wyjściowych członów całkujących, doprowadzonych do drugiego węzła sumacyjnego poprzez odpowiednie elementy proporcjonalne.
Ryss.6. Schemat bblokowy ilusttrujący sposóbb wyboru zmieennych fazow
18
wych
19
Zdefiniujemy obecnie fazowe zmienne stanu. Jako zmienną stanu x1(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy ostatniego elementu całkującego. Jako drugą zmienna stanu x2(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy przedostatniego elementu całkującego, który jako sygnał wejściowy ostatniego elementu całkującego może być pochodną poprzedniej zmiennej stanu. Ostatnia zmienną stanu jest xn(t), gdzie jak widać, sygnał wyjściowy pierwszego elementu całkującego i będzie równy pochodnej sygnału xn-1(t). Pochodna zmiennej stanu xn(t) jest równa sygnałowi pomocniczemu e(t).
Wykorzystując zdefiniowane zmienne stanu, można utworzyć następujący układ równań:
uxbxbxbxbx
xx
xx
xx
nnn
nn
1322110
1
32
21
(43)
Wprowadzając następujące oznaczenia macierzowe:
1
0
0
0
100000
000100
000010
;
123210
1
2
1
B
bbbbbb
A
x
x
x
x
x
nnn
n
(44)
można układ równań (43) zapisać w postaci macierzowej:
BuAxx (45) Po wprowadzeniu zmiennych stanu równanie (44) przyjmuje postać:
12110 ... mm xaxaxay (46)
którą dzięki oznaczeniu :
0010 maaac (47)
można przekształcić do postaci macierzowej:
Cxy (48)
Otrzw przest
który
5. Zada
PrzyWyzgdziwyjś
Zakł
zachowawynikaj
Tran
(zgodnieukład ró
Pods
operator
zymaliśmy trzeni stanu
y jest opisem
ania rachun
ykład 1. znaczyć tranie wielkościściową napi
ładając, żeanie omawącym z met
nsformują e z opisem
ównań:
stawiając prową układu
w ten spou:
m układu pr
nkowe.
nsmitancję cią wejściowięcie u2(t).
Rys.7. Czw
e prąd obwianego czw
tody praw K
1u t
2u
powyższe elementów
1U s
2U
powyższe u otrzymam
osób macie
Cxy
BuAxx
rzedstawion
czwórnika pwą jest nap
wórnik elektr
bciążenia cwórnika moKirchoffa:
1Ri t
C
0
1 t
t i tC
równania w elektryczn
RI sC
2
1s I
Cs
równania my:
erzowy ukł
u
nego na rys
przedstawiopięcie u1(t)
ryczny typu R
czwórnika ożna opisa
0
t
i t dt
t dt
do dziednych) otrzy
1I s
Cs
s
do wzoru
ład równań
.5.
onego na ry), a wielko
RC.
jest równć układem
dziny operymamy oper
u na trans
20
ń układu
(49)
ys.7, ością
ny zeru, równań
ratorowej ratorowy
smitancję
Pods
transmit
PrzyWyzrys.8
Wid
Pods
otrzymu
W powyższmianowotrzyma
G j
UG s
U
sumowująctancja opera
ykład 2. znaczyć tran8, zarówno
dząc, że ukła
stawiając ujemy:
celu wyznzą transmi
wnika, czylamy:
1
1RCj
1
2
RIU s
U s
, czwórniatorowa czło
nsmitancję ww postaci w
Rys.8. Czw
ad ten opisa
G s
do powy
naczenia tritancję pomli: 1-RCj
1
1
RCj
RCj
G j
1
1
s I sCs
I sCs
ik przedstonu inercyj
widmową uwykładniczej
wórnik elektry
any jest tran
1
2
U s
U s R
yższej tra
ransmitancjmnożyć p. Dokonu
2
1
1
RCj
RC
1j
RCj
1
1
s RCs
Cs
tawiony nnego stałej
układu przedj, jak i zesp
ryczny typu RC
nsmitancją o
1
1RCs
ansmitancji
ji widmowprzez wartoując dalsz
2
2 2
Cjj
j
1
1
1RCs
na rys.7. czasowej T
dstawionegoolone.
C.
operatorową
zależność
wej układuość zespolzych przek
1
11
21
opisuje T=RC.
o na
ą:
ć s=j
u należy loną do kształceń
2 2
RCj
RC
22
Na podstawie powyższej postaci transmitancji widmowej wyznaczamy cześć rzeczywistą P() i część urojoną Q(), które przyjmują postać:
2 2
1
1P
RC
2 21
RCQ
RC
Przykład 3.
Dany jest układ o jednym wejściu i jednym wyjściu, opisany
transmitancją operatorową: 32
122
ss
s
sU
sYsG
W pierwszym korku licznik i mianownik dzielimy przez s2 i rozdzielamy na dwa czynniki:
2121
321
12
ssss
sU
sE
sE
sY
sU
sYsG
Z podziału tego wynika, że:
21
21
321
1;2
sssU
sEss
sE
sY
Przekształcające te zależności do postaci zgodnej z wzorami (41) i
(42) otrzymujemy:
sEssEssUsE 21 32
sEssEssY 222 Na podstawie tych równań można zbudować schemat blokowy,
przedstawiony na rys.6 w skład którego wchodzą dwa elementy całkujące. Sygnał na wyjściu drugiego elementu całkującego oznaczymy jako zmienną x1, a na wyjściu pierwszego elementu całkującego jako zmienną x2. Układamy następnie układ równań dla zmiennych stanu:
uxxx
xx
212
21
23
oraz
Rów
zapi
R
6. Liter
1. Zbig
EkspWar
2. JanuWydSygn
3. Tadei dys
4. DariI”, W
z równanie d
wnania te po
2
1
x
xx
sujemy w o
Rys.9. Mode
atura
gniew WAploatacja rszawa 1983usz KOWdawnictwa natura: 6037eusz Kaczoskretne”. Paiusz Horla „Wydawnictw
dla sygnału
y
o przyjęciu o
3
0;
A
ostatecznej p
el układu w sG
AŁACH „osprzętu”
3 WAL „Pod
Naukowo78 rek „Teoriaaństwowe W„Podstawy awo Politech
wyjścioweg
21 2xxy
oznaczeń:
;23
10
B
postaci:
Cxy
BuAxx
w przestrzen
2
22
s
s
sU
sY
„Cybernetyk”, Wydz
dstawy auo-Dydaktycz
a sterowaniaWydawnictwautomatyki.
hniki Poznań
go:
;1
0
CB
u
ni stanu o tr
32
1
s
ka technicział Wyd
utomatyki zne AGH
a. Tom I Ukwo Naukow Ćwiczeniańskiej, Pozn
21
ransmitancj
czna. Częśdawniczy
T1”, Uc, Kraków
kłady liniowwe, Warszaw
rachunkownań 2003.
23
cji
ść I – WAT,
czelniane w 2004,
we ciągłe wa 1977. we. Część
top related