- matemática - probabilidade
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Probabilidade elementos
definição
Cálculos
• Conjuntos Numéricos
• Análise Combinatória
• Reconhecer os naipes de um baralhoe a quantidade de cartas de cada naipe
Probabilidade é achance de um eventoocorrer, em um espaçoamostral.
Probabilidade
Chance de um evento ocorrerdefinição
Espaço Amostral
Espaço Amostral é o conjunto de todos os
resultados possíveis de um experimento. É
indicado pela letra grega Ω.
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultadosEspaço
Amostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
definição
Evento
Evento é qualquer subconjunto de um
espaço amostral. É indicado pela letra E.
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
E
definição
definição
Exemplos:
A) Lançamento de um dado.
Espaço Amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Alguns dos possíveis eventos:
. Um número maior que 5 E = 6
. Um número par E = 2, 4, 6
. Um número par e primo E = 2
Exemplos:
B) Lançamento de duas moedas.
Espaço Amostral:
Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(cc)
Alguns dos possíveis eventos:
. Obter duas faces iguais E = (k,k);(c,c)
. Obter apenas uma coroa E = (k,c);(c,k)
1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.
a) Defina o espaço amostral do
experimento: retirar uma bola ao acaso.
b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4amarelas.
a) Defina o espaço amostral do
experimento: retirar uma bola ao acaso.
b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
a) Ω = V1, V2, A1, A2, A3, A4
b) E1 = V1, V2
E2 = A1, A2, A3, A4
Intersecção de conjuntos
Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = 2, 16, 20
B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20
A ∩ B = 20 1 elemento
União de conjuntos
Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = 2, 16, 20
B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20
A ∪ B = 2, 5, 16, 20 4 elementos
Atenção!
A) Evento certo
Eventos certos são aqueles que apresentam
os mesmos elementos do espaço amostral.
n(E) = n(Ω)
Exemplo:
Seja o seguinte evento: obter um número
natural menor que 7, no lançamento de um
dado.
E = Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
n(E)=n(Ω)
tipos
E
definição
definição
Eventocerto
B) Evento impossível
Eventos impossíveis ocorrem quando não
há elementos no conjunto E.
n(E) = 0
Exemplo:
Seja o seguinte evento: obter 3 caras no
lançamento de duas moedas.
E =
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
n(E)=n(Ω)
tipos
E
definição
definição
Eventocerto
Eventoimpossível
n(E)=0
C) Evento complementar
Evento complementar (Ec) é aquele que
ocorre quando o evento E não ocorre.
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
Exemplo:
Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = 2, 16, 20
Ac: ocorrer um número ímpar= 3, 5, 17
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Eventocerto
Eventoimpossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
Probabilidade é a chance de um evento
ocorrer, em um espaço amostral. Ou seja, é
o número de elementos de um evento,
dividido pelo número de elementos do
espaço amostral.
)(
)(
n
EnP
Exemplos:
A) Qual a probabilidade de ocorrer um
número natural maior que 4, no lançamento
de um dado?
E = 5, 6 n(E) = 2
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(Ω) = 6
3
1
6
2
)(
)(
n
EnP
Exemplos:
B) Qual a probabilidade de ocorrer pelo
menos uma cara, no lançamento de duas
moedas?
E = (k,k);(k,c);(c,k) n(E) = 3
Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(c,c) n(Ω) = 4
4
3
)(
)(
n
EnP
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
Fórmula geralCálculo
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Eventocerto
Eventoimpossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
EnP
2) No lançamento de um dado perfeito,
qual é a probabilidade de que o resultado
seja:
a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7?
2) No lançamento de um dado perfeito,
qual é a probabilidade de que o resultado
seja:
a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7?
a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7? %10016
6P
06
0P
6
1P
2
1
6
3P
3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco
vogais e as cinco primeiras consoantes do
alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de que a letra
sorteada seja:
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco
vogais e as cinco primeiras consoantes do
alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de que a letra
sorteada seja:
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
Ω = a, e, i, o , u, b, c, d, f, g n(Ω) = 10
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
2
1
10
5P
5
2
10
4P
4) Um dos anagramas da palavra AMOR é
escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade
de que seja a palavra ROMA?
4) Um dos anagramas da palavra AMOR é
escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade
de que seja a palavra ROMA?
Ω = 4! = 4.3.2.1=24
Logo,24
1P
Total de anagramas da palavra amor
Para calcular a probabilidade da união de
eventos dividimos o número de elementos
do conjunto união pelo número de elementos
do espaço amostral.
)n(
n(AUB))(AUBP
Exemplo:
De um baralho de 52 cartas, uma é
extraída ao acaso. Qual é a probabilidade
de sair um valete ou uma carta de ouros?
A: sair um valete n(A) = 4
B: sair carta de ouros n(B) = 13
A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1
Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
A: sair um valete n(A) = 4
B: sair carta de ouros n(B) = 13
A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1
Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
13
4
52
16(
)n(
n(AUB)AUB)P
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
ProbabilidadeDa união
Variações
Fórmula geralCálculo
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Eventocerto
Eventoimpossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
EnP
)n(
n(AUB)AUB)(P
5) Os dados da tabela seguinte referem-se
a uma pesquisa realizada com 155 moradores
de um bairro revela os hábitos quanto ao uso
de TV e Internet pagas.
Um dos entrevistados é selecionado ao
acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV
ou Internet pagas?
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita 76 44
Internet paga 14 21
5) Os dados da tabela seguinte referem-se
a uma pesquisa realizada com 155 moradores
de um bairro revela os hábitos quanto ao uso
de TV e Internet pagas.
Um dos entrevistados é selecionado ao
acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV
ou Internet pagas?
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita 76 44
Internet paga 14 21
A: TV paga n(A)=44+21=65
B: Internet paga n(B)=14+21=35
n(A∩B)=21 n(A∪B)= 65+35-21=79
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita 76 44
Internet paga 14 21
155
79(
)n(
n(AUB)AUB)P
Temos um caso de probabilidade
condicional quando um evento A ocorre,
sabendo que o evento B já ocorreu.
O cálculo da probabilidade condicional
é dado pela fórmula:
P(B)
B)P(AA/B)
(P
Exemplo:
Ao retirar uma carta de um baralho de
52 cartas, qual é a probabilidade de sair
um ás vermelho sabendo que ela é de copas?
A: sair ás vermelho n(A)=2
B: sair carta de copas n(B)=13
A∩B: ás de copas n(A∩B)=1
Exemplo:
A: sair ás vermelho n(A)=2
B: sair carta de copas n(B)=13
A∩B: ás de copas n(A∩B)=1
13
1
52
1352
1
(P(B)
B)P(AA/B)
P
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostral
elementos
Chance de um evento ocorrerdefinição
representação
Probabilidadecondicional
ProbabilidadeDa união
Variações
Fórmula geralCálculo
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Eventocerto
Eventoimpossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
EnP
P(B)
B)P(AA/B)
(P
)n(
n(AUB)AUB)(P
6) Uma família planejou ter 3 crianças.
Qual é a probabilidade de que a família
tenha 3 homens, já que a primeira criança
que nasceu é homem?
6) Uma família planejou ter 3 crianças.
Qual é a probabilidade de que a família
tenha 3 homens, já que a primeira criança
que nasceu é homem?
Ω = HHH, HHM, HMH, MHH, MMH, MHM, HMM, MMM n(Ω)=8
A: ter 3 homens n(A)=1
B: primeira é homem n(B)=4
A∩B=HHH n(A∩B)=1
4
1
8
48
1
(P(B)
B)P(AA/B)
P
Questões de Vestibular
7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras
(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é
um deles). Diariamente, devem permanecer
de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual
a probabilidade de Karla e Lucas estarem
de plantão no mesmo dia?
3
2)
5
1)
45
8)
4
1)
3
1) edcba
7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras
(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é
um deles). Diariamente, devem permanecer
de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual
a probabilidade de Karla e Lucas estarem
de plantão no mesmo dia?
3
2)
5
1)
45
8)
4
1)
3
1) edcba
45
8
1260
224
)(
)()(
224)!14(!1
!4
)!38(!3
!8.)(
1260)!25(!2
!5
)!49(!4
!9.)(
1,43,8
2,54,9
n
EnEp
CCEn
CCn
letra c
8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas
numeradas de 1 a 9. Três fichas são
escolhidas ao acaso e sem reposição. A
probabilidade de não sair a ficha 7 é:
3
2)
4
1)
9
2)
3
1)
6
1) edcba
8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas
numeradas de 1 a 9. Três fichas são
escolhidas ao acaso e sem reposição. A
probabilidade de não sair a ficha 7 é:
3
2)
4
1)
9
2)
3
1)
6
1) edcba
Probabilidade
de não sair 7
na primeira:
9
8P
8
7P
Probabilidade
de não sair 7
na segunda:
Probabilidade
de não sair 7
na terceira:
7
6P
3
2
7
6
8
7
9
8P letra e
9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,
cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro
moças entram nesse ônibus e devem ocupar os
bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos
aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco
Seja ocupado por um rapaz e uma moça é:
7
2)
35
8)
14
3)
35
6)
70
1) edcba
9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,
cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro
moças entram nesse ônibus e devem ocupar os
bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos
aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco
seja ocupado por um rapaz e uma moça é:
7
2)
35
8)
14
3)
35
6)
70
1) edcba
n(Ω)=8! n(E)=4!.4!.24
letra d
2
34
5678
1 1122
3344 x2
x2
x2x2
35
8
!8
!4!424
P
10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos
com forma, massa e aspecto exterior exatamente
iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4
de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se
retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,
a probabilidade de se retirar um bombom de cada
sabor é, aproximadamente:
%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba
10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos
com forma, massa e aspecto exterior exatamente
iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4
de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se
retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,
a probabilidade de se retirar um bombom de cada
sabor é, aproximadamente:
%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba
letra e145,03276
476
)(
)()(
4761747.)(
3276)(
1,171,41,7
3,28
n
EnEp
CCCEn
Cn
• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 391 a 412
• Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –2008 - Páginas: 338 a 367
• Figuras: google imagens
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