wykład 3 dynamika ukŁadu punktÓw...
Post on 09-Jul-2020
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1 FIZYKA – wykład 3
DYNAMIKA
Wykład 3
DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
Obłok Oorta
Pas Kupiera
Pluton
Neptun
Uran
Saturn
Jowisz
Planetoidy
Mars
Księżyc
Ziemia
Wenus
Merkury
Słońce
Układ planetarny, w którym planety i Słońce można traktować jak układ punktów materialnych
• Układ punktów materialnych – zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej
konfiguracji przestrzennej
2 FIZYKA – wykład 3
(4.11)
Dynamika układu punktów materialnych
ŚRODEK MASY
Załóżmy, że układ jest złożony z n punktów materialnych
o masach: . Środkiem masy albo
środkiem bezwładności tego układu nazywamy punkt S,
którego położenie dane jest wzorem:
n
i
iiS rmM
r1
1
n
i
imM1
gdzie:
Sr
ir
- promień wodzący i-tego punktu materialnego
- promień wodzący środka masy
(4.12)
3 FIZYKA – wykład 3
(4.13)
(4.14)
Środek masy c.d.
Obiekt o ciągłym rozkładzie masy
W przypadku ciała o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli
na n- małych części o masach , Wzór (4.11)
przyjmuje wtedy postać: nmmm ,...,, 21
n
i
i
n
i
ii
S
m
rm
r
1
1
Gdy liczba części , wtedy n
n
i
i
n
i
ii
nS
m
rm
r
1
1lim
Granice sum w powyższym wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami oznaczonymi, stąd promień
wodzący środka masy:
V
M
M
S dVrM
dm
dmr
r0
0
0 1
przy czym - oznacza calkowitą masę; a Mdm
M
0
- gęstość ciała.
4 FIZYKA – wykład 3
(4.15)
(4.16)
Środek masy c.d.
Wektor pędu układu punktów materialnych
Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego pęd ciała możemy
obliczyć jako sumę pędów wszystkich n- punktów materialnych ciała:
n
i
iivmp1
Pamiętając o wyrażeniu na prędkość:
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii rmdt
d
dt
rdmvmp
111
Po podstawieniu do wyrażenia (4.16) wzoru (4.11) , otrzymamy:
(przypomnienie)
SS
S vMdt
rdMrM
dt
dp
pęd środka
masy układu
(4.17)
Zatem:
Suma pędów układu
Punktów materialnych = Pędowi jego środka masy
(4.18)
5 FIZYKA – wykład 3
(4.19)
(4.20)
Środek masy c.d.
Prędkość środka masy:
Inna postać równania ruchu środka masy układu: wypSS FaM
dt
vdM
Środek masy układu punktu materialnych porusza się tak, jak punkt materialny, w którym
skupiona jest całkowita masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych
przyłożonych do układu.
UOGÓLNIONA II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA I RÓWNANIE ŚRODKA MASY UKŁADU:
nn F
dt
dt
dt
dt
pd
,...,,, 33
22
11
Sumując stronami: , oraz uwzględniając zależność
n
i
i
n
i
i Fdt
pd
11
n
i
ism F
dt
pd
1
dt
pd
dt
pd smn
i
i
1
Otrzymujemy równanie
ruchu środka masy układu :
Z powyższego równania wynika, że:
Jest to twierdzenie o ruchu środka masy.
(4.21)
6 FIZYKA – wykład 3
(4.23)
(4.22)
Dynamika układu punktów materialnych
Ze wzoru (4.20) wynika, że na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne
)()( z
i
w
iii FFF
dt
pd
Oddziaływania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki),
zatem:
n
i
z
i
n
i
i Fdt
pd
1
)(
1
(4.24)
WNIOSKI:
Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu.
0)( zF
Gdy , to przyspieszenie środka masy jest równe zeru, czyli środek masy albo
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, albo spoczywa.
7 FIZYKA – wykład 3
Dynamika punktu materialnego
4.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Układ odosobniony (zamknięty, izolowany): jest to układ, na który nie działają
żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego
układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu).
Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach .Ciała te mają prędkości
. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: – siła, jaką ciało
k-te działa na ciało i-te.
nmmm ,...,, 21
nvvv ,...,, 21 ikF
Z II zasady dynamiki Newtona:
nFFFvmdt
d1131211 ...
wypFdt
pd
nFFFvmdt
d2232122 ...
nnnnnn FFFvmdt
d ...21
…
112112
1
...
nnnn
n
i
ii FFFFvmdt
d Dodając stronami
powyższe równania: (4.25)
8 FIZYKA – wykład 3
(4.26)
(4.27)
Zasada zachowania pędu c.d.
Z III zasady dynamiki Newtona mamy: kiik FF
Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania (4.25), otrzymujemy:
n
i
ii
n
i
ii vmdt
dvm
dt
d
11
0
Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:
n
i
ii
n
i
i vmpp11
Ostatecznie, otrzymujemy:
0dt
pd
constp
stąd (4.28)
Suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała.
(ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU)
9 FIZYKA – wykład 3
(4.29)
(4.30)
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU C.D.
Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły zewnętrznej a dokładniej: układ sił
zewnętrznych, których wypadkową jest .
Wtedy druga zasada dynamiki Newtona dla układu N punktów materialnych:
,0)( z
wypF
Jeżeli to
)( z
wypF
constp
Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub oddziałujące siły się równoważą, to pęd układu
pozostaje stały.
Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał
w dowolnym momencie późniejszym.
(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:
10 FIZYKA – wykład 3
Zasada zachowania pędu - konsekwencje
Przykład: ”rakieta” z butelki
Z butelki plastikowej, w połowie wypełnionej wodą i odwróconą do góry dnem, wypompowujemy
powietrze. Zwolnienie spustu umożliwia wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę.
Pęd układu pozostaje równy zeru.
11 FIZYKA – wykład 3
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ (Czy istnieje idealna bryła sztywna?)
Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej
masie ciała: M
n
i
imM1
Bryła sztywna ,to takie ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. odległości
między dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi pozostają stałe.
Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych.
Rodzaje ruchu bryły sztywnej:
Pierwszym człowiekiem, który opisał śrubę, był grecki uczony i fizyk -Archimedes (około 287-212 p.n.e.).
W całym antycznym świecie śruba Archimedesa używana była do podnoszenia poziomu wody.
a) ruch postępowy- dowolny odcinek łączący dwa punkty
bryły zachowuje stale położenie do siebie równoległe.
W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły zakreślają takie same tory,
maja jednakowe prędkości i przyspiezenia.
b) ruch obrotowy – wszystkie punkty danego ciała
poruszają się po okręgach, których środki znajdują się
na jednej prostej – osi obrotu.
4.5. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
12 FIZYKA – wykład 3
(4.31)
(4.32)
Ruch obrotowy c.d.
Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy (przypomnienie):
Okres, T (1s)- czas, w którym ciało wykonuje jeden pełen
obrót.
Częstotliwość, - liczba obrotów wykonanych
przez ciało w czasie jednej sekundy; odwrotność okresu.
Częstość kołowa - zwana też predkością prędkością
kątową, kąt zakreślony w jednostce czasu przez ciało
będące w ruchu obrotowym.
)11( 1 Hzs
… i ich wzajemne związki:
(4.33)
2
2
dt
d
dt
d (4.34)
przyspieszenie kątowe
13 FIZYKA – wykład 3
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
MOMENT SIŁY
Rozważmy ruch bryły sztywnej wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu ciała. Umieśćmy w
tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech oznacza wypadkową wszystkich sił
zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.
.
iF
Moment siły względem punktu O: iF
iii FrM
(4.35) (definicja wektorowa)
14 FIZYKA – wykład 3
(4.36)
(4.37)
MOMENT BEZWŁADNOŚCI UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
. MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI bryły sztywnej względem pewnej osi nazywamy
wyrażenie:
W przypadku ciał rzeczywistych, a więc takich dla których masa
jest rozłożona w sposób ciągły stosuje się postać całkową definicji
pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty bezwładności:
Gdzie: r2- oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu.
Momenty bezwładności kilku popularnych brył:
a) rura
b) walec pełny
c) kula
d) pręt
POSTAĆ CAŁKOWA:
(WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY)
15 FIZYKA – wykład 3
(4.38)
Dynamika bryły sztywnej
TWIERDZENIE STEINERA (twierdzenie o osiach równoległych)
d
O O’
m
Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała ( ) względem pewnej
osi obrotu ( ), ale ciało obraca się względem innej osi ( ),
równoległej do niej (rys). O
Jeżeli moment bezwładności bryły o masie M liczony
względem osi przechodzącej przez jej środek masy wynosi I0, to
moment bezwładności I liczony względem innej osi równoległej do
poprzedniej i oddalonej od niej o d jest równy :
'O
2
0 mdII
WNIOSKI: * Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu.
*Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności
ciała względem tej osi wzrasta.
16 FIZYKA – wykład 3
(4.39)
(4.40)
RÓWNANIE NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
II Zasada dynamiki Newtona
dla ruchu obrotowego z
z
I
M
Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej obracającej się wokół nieruchomej osi jest wprost
proporcjonalne do wypadkowego momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych
działających na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała.
17 FIZYKA – wykład 3
(4.41)
(4.42)
Dynamika bryły sztywnej
Momentu pędu
Związek między momentem
pędu a prędkością kątową
def.
Czy wektory momentu pędu i prędkości kątowej bryły sztywnej zawsze są równoległe?
18 FIZYKA – wykład 3
(4.43)
Dynamika bryły sztywnej
Równanie ruchu obrotowego –c.d.
Równanie Newtona dla ruchu obrotowego wiąże moment siły działającej na punkt materialny
będący w ruchu obrotowym z pochodną po czasie jego momentu pędu.
Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się
wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił zewnętrznych działających na ciało.
19 FIZYKA – wykład 3
(4.44)
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
Z zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: Mdt
Ld
wynika wprost: tconstLdt
LdM
00
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa
się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie.
Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego
punktu nieruchomego jest stały.
Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to
moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.
(Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)
Dynamika bryły sztywnej
20 FIZYKA – wykład 3
(4.45)
ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
2
2IEK
Aby zwiększyć energie kinetyczną ciała w ruchu obrotowym trzeba nie tylko nadać mu
dużą prędkość kątową, ale także uczynić możliwie dużym jego moment bezwładności.
Można to zrealizować zwiększając masę ciała, co nie zawsze jest wygodne w praktyce,
a można też (i to skuteczniej, bo zależność od kwadratu) poprzez rozmieszczenie masy
w możliwie dużej odległości od osi obrotu.
WNIOSEK:
Energia kinetyczna ciała
w ruchu obrotowym
21 FIZYKA – wykład 3
Dwa walce (rys.) o tej samej masie i średnicy staczają się z tej samej równi pochyłej.
Który pierwszy osiągnie podstawę ? Co jest powodem tej różnicy?
Dynamika bryły sztywnej
Przykład. (Rola momentu bezwładności)
22 FIZYKA – wykład 3
KONIEC
top related