xadrez, matemática e computação

Xadrez, Matematica e Computacao

Adalberto Ayjara Dornelles Filhoaadornef@ucs.br

24 de dezembro de 2005

Resumo

Este texto e uma coletanea de breves consideracoes matematicas e computacionais sobre algunsaspectos do jogo de Xadrez. Os fragmentos aqui expostos nao tem a pretensao de serem ineditos,absolutamente rigorosos ou enciclopedicamente abrangentes mas pretendem ser (na medida dopossvel) corretos, instrutivos e divertidos. Sugestoes e comentarios sao bem-vindos.

Sumario

1 Trigo 2

2 Primeiros lances 2

3 Dois reis 2

4 Caminhos para o rei 3

5 Mates elementares 45.1 Rei e dama versus rei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2 Rei e torre versus rei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 O passeio do cavalo 5

7 O problema das 8 Damas 6

8 Glossario 8

Lista de Algoritmos

1 OitoDamas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1

1 Trigo

Uma das muitas lendas acerca das origens do xa-drez diz que:

Sissa, bramane ou filosofo indiano te-ria inventado o jogo de xadrez para curaro tedio do enfastiado rei Kade. Como estelhe houvesse prometido a recompensa quedesejasse, Sissa pediu 1 grao de trigo pelaprimeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda,4 pela terceira, 8 pela quarta e assim su-cessivamente, ate chegar a 64a casa. Orei ficou espantado perante um pedido quelhe pareceu tao humilde e acedeu imedia-tamente a` aparente insignificancia da peti-cao, mas ... Feitos os calculos, verificou-seque todos os tesouros da India nao eramsuficientes para pagar a recompensa pe-dida [1, p. 259].

Qual e a quantidade Q de graos pedida?

Q = 1 + 2 + 4 + 8 + ...+ 263

=63k=0

2k

= 264 1= 18 446 744 073 709 551 615.

Este e um numero inacreditavelmente grande.Para se ter uma ideia de seu tamanho, verifique-seque a producao de trigo no Brasil em 2003 foi de6 029 396 toneladas de graos [4]. Supondo que, emmedia, mil graos de trigo pesem 35 g [6] entao serianecessario juntar a producao brasileira de mais de107 mil anos para pagar a recompensa!

2 Primeiros lances

Na posicao inicial, o primeiro lance (das brancas)pode ser efetuado de 20 modos distintos. Doismodos para cada um dos oito peoes e dois modospara cada um dos dois cavalos (82+22 = 20).Para o segundo lance (resposta das pretas) tam-bem se dispoe de 20 modos distintos, assim, aposos dois primeiros lances, podem ser produzidas2020 = 400 posicoes distintas no tabuleiro. Aposos oito primeiros lances (quatro das brancas e qua-tro das pretas), a quantidade de posicoes distintaseleva-se para

318 979 564 000.

Apos os 20 primeiros lances (dez das brancas e dezdas pretas), tem-se

169 518 829 100 544 000 000 000 000 000

posicoes distintas [1, p. 264].

3 Dois reis

Quantas posicoes distintas podem ser formadascom dois reis sozinhos no tabuleiro?

Se o rei branco for colocado em uma casa docanto do tabuleiro como mostrado na Figura 1, orei preto pode ocupar outras 64 4 = 60 casas(as 4 casas em vermelho sao proibidas). Comoo rei branco pode ocupar 4 cantos, sao possveis4 60 = 240 posicoes.

Figura 1: Rei branco em um canto: 240 posicoes.

Se, no entanto, o rei branco for colocado emuma das 6 4 = 24 casas das bordas do tabuleirocomo na Figura 2, o rei preto pode ocupar 646 =58 casas, totalizando 24 58 = 1392 posicoes.

Figura 2: Rei branco em uma borda: 1392 posi-coes.

Finalmente, se o rei branco for colocado emuma das 6 6 = 36 casas nao-perifericas do tabu-leiro como na Figura 3, o rei preto pode ocupar64 9 = 55 casas, totalizando 36 55 = 1980posicoes.

No total tem-se 240 + 1392 + 1980 = 3612 po-sicoes distintas [1, p. 264].

2

Figura 3: Rei branco em casa nao-periferica: 1980posicoes.

4 Caminhos para o rei

Partindo de e1 (sua casa inicial) o rei pode atingire8 (a casa inicial do rei adversario) em 7 lances.Quantos caminhos distintos existem?

A cada lance, o rei deve avancar uma fileiramas pode mover uma coluna a` esquerda, a` direitaou manter a mesma coluna. Um caminho poss-vel e, por exemplo, 1.Rd2 2.Rd3 3.Rc4 4.Rd55.Re6 6.Re7 7.Re8 como mostra a Figura 4.

Figura 4: Um possvel caminho para o rei, desdee1 ate e8.

Se representamos o movimento de avanco dorei movendo-se uma coluna a` esquerda por E, a`direita porD e mantendo a mesma coluna C entaoo caminho descrito acima pode ser representadopela sequencia (E,C,E,D,D,C,C). Como a casade partida e a de chegada estao na mesma coluna,deve-se ter a mesma quantidade de movimentosdo tipo D e E. Assim os possveis caminhos saopermutacoes dos conjuntos

{C,C,C,C,C,C,C}, {D,E,C,C,C,C,C},{D,D,E,E,C,C,C}, {D,D,D,E,E,E,C}.

O primeiro conjunto possui apenas uma per-mutacao possvel, nos demais a quantidade de per-mutacoes e dada por

(nD + nE + nC)!nD!nE !nC !

,

onde nD, nE e nC sao, respectivamente, o numerode movimentos do tipo D, E e C possveis emcada conjunto. Deste modo, a quantidade n depossveis caminhos e

n = 1 +7!

1!1!5!+

7!2!2!3!

+7!

3!3!1!= 1 + 42 + 210 + 140= 393. (1)

Existem, portanto, 393 caminhos distintos parao rei mover-se de e1 ate e8 [1, p. 264].

Agora poderamos perguntar: De quantos mo-dos pode o rei atravessar o tabuleiro? Isto e, par-tindo de e1 quantos caminhos existem ate a ultimafileira? E possvel calcular isso de modo seme-lhante ao que foi feito acima. Tambem e possvelcalcular da maneira descrita a seguir.

Na figura 5, a casa e1 foi marcada com o nu-mero 1 pois so existe uma maneira do rei estar emsua posicao inicial.

Figura 5: Caminhos para o rei, desde e1 ate aultima fileira.

Em seguida, na segunda fileira, as casas d2, e2e f2 foram marcadas com o numero 1 pois somenteexiste uma maneira do rei chegar em cada umadessas casas, vindo de e1.

Na terceira fileira a casa c3 foi marcada como valor 1 pois somente existe uma maneira do reichegar nessa casa vindo de d2. A casa d3 foimarcada com o valor 2 pois existem duas maneiras

3

do rei chegar nessa casa vindo de d2 ou e2. Acasa e3 foi marcada com o valor 3 pois existemtres maneiras do rei chegar nessa casa vindo ded2, e2 ou f2. As demais casas da fileira forammarcadas seguindo o mesmo raciocnio.

Note que o valor marcado em uma dada casae obtido pela soma dos valores das tres casas dafileira inferior das quais o rei pode vir. Por exem-plo, o valor marcado na casa d4 e 6 pois e a somados valores marcados nas casas c3, d3 e e3. Exis-tem 6 maneiras de o rei chegar a d4: um caminhopassando por c3, dois caminhos passando por d3e tres caminhos passando por e3.

Esse procedimento e efetuado fileira por fileiraate chegar a ultima fileira. Os valores marcadosem cada casa da ultima fileira corresponde ao nu-mero de caminhos possveis desde e1 ate aquelacasa. Note que o valor marcado na casa e8 e 393, omesmo resultado obtido em (1). A soma dos valo-res marcados na ultima fileira corresponde as pos-sveis modos do rei atravessar o tabuleiro: 1994.

5 Mates elementares

Denominam-se mates elementares a`s posicoes demate em que o bando perdedor possui apenas o reie o bando vencedor possui um conjunto mnimo depecas, sem peoes. Existem quatro tipos de mateselementares:

Rei e dama versus rei; Rei e torre versus rei; Rei e dois bispos (de cores diferentes) versusrei;

Rei, bispo e cavalo versus rei.O mate somente pode ser dado quando o rei

do bando perdedor esta em um canto ou na bordado tabuleiro. Com excecao das posicoes em queocorre empate por afogamento ou em que umapeca possa ser imediatamente capturada, o matepode ser forcado em, no maximo, 10, 16, 19 e 33lances, respectivamente [3].

Nas secoes seguintes determina-se quantas po-sicoes distintas podem ser obtidas para cada tipode mate elementar. Como de costume na litera-tura, as brancas sao o bando vencedor.

5.1 Rei e dama versus rei

A Figura 6 mostra o rei negro em um canto dotabuleiro. Nessa situacao o rei branco pode ocupar

2 casas (marcadas em azul) e a dama branca 8casas (marcadas em verde). Estas posicoes podemser refletidas 8 vezes, portanto podem ocorrer 28 8 = 128 posicoes de mate.

Figura 6: Rei e dama versus rei, situacao 1.

A Figura 7 mostra o rei negro em uma bordado tabuleiro e o rei branco em oposicao (unicaposicao possvel). O par de reis pode estar emqualquer uma das 6 colunas de b a g. A damabranca pode ocupar uma das 5 casas (marcadasem verde) ultima da fileira. Essas posicoes podemser rotacionadas nas 4 bordas do tabuleiro e assim6 5 4 = 120 posicoes de mate podem ocorrer.

Figura 7: Rei e dama versus rei, situacao 2.

As Figuras 8, 9 e 10 mostram as demais poss-veis situacoes.

Figura 8: Rei e dama versus rei, situacao 3.

Um resumo das contagens e mostrado na Ta-bela 1. No total, tem-se 364 posicoes de mate [1,p.264], [5].

4

Figura 9: Rei e dama versus rei, situacao 4.

Figura 10: Rei e dama versus rei, situacao 5.

Fig. R D desl. refl. total6 2 8 1 8 1287 1 5 6 4 1208 3 1 6 4 729 1 1 5 8 4010 1 1 1 4 4

Total 364

Tabela 1: Resumo das 364 possveis situacoes demate para rei e dama versus rei.

5.2 Rei e torre versus rei.

Assim como no caso anterior, o mate somente podeser dado quando o rei negro esta em um cantoou na borda do tabuleiro. As Figuras 11 e 12mostram as possveis situacoes.

Figura 11: Rei e torre versus rei, situacao 1.

Figura 12: Rei e torre versus rei, situacao 2.

Um resumo das contagens e mostrado na Ta-bela 2. No total, tem-se 216 posicoes de mate [1,p.264], [5].

Fig. R T desl. refl. total11 2 6 1 8 9612 1 5 6 4 120

Total 364

Tabela 2: Resumo das 216 possveis situacoes demate para rei e torre versus rei.

6 O passeio do cavalo

O problema denominado Passeio do Cavalo ouKnight Tour consiste em fazer um cavalo percorrertodas as 64 casas do tabuleiro passando uma unicavez em cada uma. O matematico Leonhard Euler(1707 - 1783) dedicou-se a analise desse problema[1, p. 269]. As muitas solucoes para o problemapodem ser divididas em caminhos abertos ou fe-chados. A Figura 13 mostra um caminho aberto.O passeio inicia em a1 e segue com b3, e1, ...observando a numeracao 1, 2, 3, ... O passeio ter-mina em f1.

5

Figura 13: Passeio do cavalo em caminho aberto.

A Figura 14 mostra um caminho fechado naqual o passeio inicia em a1 termina em b3 (po-dendo pular para a1 em seguida).

Figura 14: Passeio do cavalo em caminho fechado.

7 O problema das 8 Damas

E possvel colocar 8 damas em um tabuleiro demodo que nenhuma fique em casa guardada poroutra?

Este problema foi proposto pela primeira vezna revista Schachzeitung em 1848. Por volta de1850 o matematico Johann Karl Friedrich Gauss(1775 - 1855) e o astronomo Heinrich Schumacher(1780 - 1850) descobriram 12 solucoes fundamen-tais que por rotacao e reflexao dao origem a umtotal de 92 solucoes distintas, duas delas represen-tadas nas Figuras 15 e 16.

Note-se que, devido a` simetria da solucao re-

Figura 15: Uma solucao nao-simetrica para o pro-blema das 8 damas.

Figura 16: Uma solucao simetrica para o problemadas 8 damas.

6

produzida na Figura 16, o total de solucoes e in-ferior a 8 12 = 96.

Encontrar solucoes para esse problema nao etao facil quanto parece a` primeira vista pois exis-tem

C648 =64!

8!(64 8)! = 4 426 165 368

maneiras distintas de dispor as 8 damas no tabu-leiro. Se for utilizado o criterio de que cada co-luna deve conter uma, e apenas uma, dama entaoa quantidade de possibilidades diminui para

88 = 16 777 216.

Se for utilizado o criterio de que cada coluna ecada fileira deve conter uma, e apenas uma, damaentao a quantidade de possibilidades diminui para

8! = 40 320.

Com esse ultimo criterio, pode-se representar cadauma das disposicoes como uma permutacao doconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Usando essa nota-cao, as solucoes das Figuras 15 e 16 sao represen-tadas por

(1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4) e (3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6),

respectivamente. As outras 10 solucoes fundamen-tais do problema sao dadas por

(1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5), (2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5),(2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4), (2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3),(2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5), (2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5),(2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4), (2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3),(3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6), (3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4).

E possvel estender esse problema para o posi-cionamento de n damas em um tabuleiro de nncasas. Do ponto de vista computacional, esse pro-blema e de complexidade elevada pois, a` princpio,a quantidade de disposicoes a ser verificada e n!.Apenas para valores relativamente pequenos de ne possvel gerar e verificar todas as permutacoesdo conjunto {1, . . . , n}. A Tabela 3 mostra, paraalguns valores de n, a quantidade de permutacoespossveis (n!), a quantidade total de solucoes (nT )e a quantidade de solucoes fundamentais (nF ).

Do ponto de vista computacional, existem di-versas maneiras de resolver o problema. Um dosalgoritmos mais simples utiliza a tecnica de back-tracking. O algoritmo OitoDamas determina asm solucoes para o problema de n damas em umtabuleiro nn. O algoritmo armazena as possveis

Algoritmo 1: OitoDamasEntrada: nSada: S,m{ Inicializacao }1:m 02:T zeros(n)3:T1 14:v 15:i 16:{ Laco principal }7:enquanto Ti n faca8:{ Avanca ou grava solucao }9:se v = 1 entao10:

se i < n entao11:i i+ 112:

senao13:m m+ 114:Sm T15:

fim16:fim17:{ Calcula valor da coluna }18:enquanto Ti = n e i > 1 faca19:

Ti 020:i i 121:

fim22:Ti Ti + 123:{ Teste da validade }24:v 125:j 126:enquanto j < i faca27:

t Ti Tj28:se t = i j ou t = j i ou t = 029:entao

v 030:quebra de laco31:

fim32:j j + 133:

fim34:fim35:

7

n n! nT nF1 1 1 12 2 0 03 6 0 04 24 2 15 120 10 26 720 4 17 5 040 40 68 40 320 92 129 362 880 352 4610 3 106 724 9211 3 107 2 680 34112 4 108 14 200 1 787

Tabela 3: Quantidade de solucoes para o problemadas 8 damas.

solucoes em um vetor T como na notacao acima.Cada solucao encontrada e armazenada na matrizS.

Uma variacao do problema das oito damas con-siste em colocar oito damas em um tabuleiro demodo que o numero de casas guardadas pelas da-mas seja mnimo. Ate o momento conjectura-seque o numero minimo de casas guardadas seja 53e que pode ser obtido com 6 disposicoes distintassegundo [3, p. ???]. A Figura 17 mostra uma des-sas solucoes. As 11 casas marcadas em verde naosao guardadas por nenhuma dama.

Figura 17: Oito damas guardando um mnimo decasas.

8 Glossario

Segue um vocabulario basico de termos de xadrez,matematica e computacao usados.

casa: cada uma das 64 divisoes do tabuleiro.Existem 32 casas brancas e 32 casas pretas.Na notacao padrao cada casa e identificadapor uma letra (de a a h) seguido de um nu-mero (de 1 a 8). Por exemplo, a1, b3, h7.

coluna: conjunto de 8 casas justapostas verti-calmente. Nos diagramas as colunas sao as-sociadas as letras de a a h da esquerda paraa direita.

combinacao:

fileira: conjunto de 8 casas justapostas horizon-talmente. Nos diagramas as fileiras sao nu-meradas de 1 a 8 de baixo para cima. Aspecas brancas ocupam as fileiras 1 e 2 e aspecas pretas as fileiras 7 e 8.

lance: movimento realizado por um jogador oubando. Pode ser o movimento de uma pecapara uma casa vaga, ou captura de uma pecaadversaria, ou captura en passant de peao,ou roque ou promocao. Na notacao padrao,a contagem dos lances e feita em conjuntopara cada jogador, isto e, apos o primeirolance das brancas segue o primeiro lance daspretas, em seguida o segundo lance das bran-cas e o segundo lance das pretas e assim su-cessivamente. Ja no jargao dos programado-res de computador, cada lance e contado in-dividualmente e denominado ply. Por exem-plo, se os primeiros lances de uma partidasao 1.e4 e5 2.Nf3 Nc6 3.Bb5, tem-se 3lances brancos e 2 lances pretos ou 5 plies.

mate elementar:

oposicao:

permutacao: Cada uma das possveis ordena-coes de objetos de um conjunto. Em umconjunto de n objetos distintos, o numerode ordenacoes possveis e

n! = n (n 1) 2 1.

Por exemplo, e possvel ordenar as letras dapalavra xadrez em 6! = 720 modos dis-tintos. Em um conjunto de objetos comn1, . . . , np repeticoes, o numero de ordena-coes possveis e

(n1 + . . .+ np)!n1! . . . np! .

8

Por exemplo, e possvel ordenar as letras dapalavra matematica de

(3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1)!3!2!2!1!1!1!

= 151 200

modos distintos. [2, p. 23, 40].

posicao inicial:

posicao legal/ilegal:

tabuleiro, ou tabuleiro de xadrez, um tabuleiroquadrado composto de 64 quadrados meno-res coloridos alternadamente de cores clara(brancas) e escuras (pretas) dispostos em 8colunas e 8 fileiras. Nos diagramas a casainferior direita (h1) deve ser clara.

xeque: Diz-se que o rei esta em xeque quandoesta sob ataque de alguma peca adversaria.Neste caso, uma acao imediata e necessaria.Ao bando sob ataque, existem tres alternati-vas de defesa: (1) capturar a peca atacante,(2) interpor uma peca na linha de acao dapeca atacante (se essa nao for um cavalo),(3) Deslocar o rei para uma casa nao guar-dada por nenhuma peca adversaria. Se ne-nhuma dessas acoes puder ser efetuada o reiesta sob xeque-mate e a partida e encerrada.

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Referencias

[1] Idel Becker, Manual de xadrez, 16a ed., Ed. Nobel, Sao Paulo, 1982.

[2] Augusto Cesar de Oliveira Morgado Carvalho, Joao Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Ce-zar Pinto Carvalho, and Pedro Fernandez, Analise combinatoria e probabilidade, Colecao do pro-fessor de Matematica, Sociedade Brasileira de Matematica - SBM, Rio de Janeiro, 1991.

[3] David Hooper and Kenneth Whyld, The oxford companion to chess, Oxford University Press,Oxford, 1996.

[4] Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica IBGE, Levantamento sistematico da producaoagrcola, www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/agropecuaria/lspa, junho 2004.

[5] Ari Luiro and Aerre Tiilikainen, The number of simple endgame mates, http://www.geosites.com/TimesSquare/Metro/9154/lopmates.htm, outubro 2004.

[6] H. A. Stedile, Relatorio Tecnico, www.stedile.com.br/trigo.html, junho 2004.

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