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Amplificadores Operacionales

Dante Ferreyra Méndez

Índice Que es un amplificador operacional 1

Historia del amplificador operacional 2

Capitulo 1

Características del amplificador operacional 3

1.1 Diagrama del amplificador operacional 4

1.2 Tipos de encapsulado del amplificador operacional 5

1.3 Alimentación del amplificador operacional 6

1.4 Características ideales y reales 7

Capitulo 2

Lazo abierto 8

2.1 Características de lazo abierto 9

2.2 Comparador de voltaje 11

2.3 Alimentación del comparador de voltaje 12

2.4 Comparador de ventana 13

2.5 Concepto de histéresis 14

2.6 Problemas para resolver 16

2.7 Circuito luz automática 17

Capitulo 3

Lazo cerrado 18

3.1 Amplificador inversor 19

3.2 Corriente de entrada de un amplificador inversor 20

3.3 Tres formas de configuración de un inversor 20

3.4 Amplificador no inversor 21

3.5 Amplificador sumador 22

3.6 Amplificador restador 23

3.7 Amplificador diferenciador 24

3.8 Amplificador integrador 25


3.10 Circuito termostato electrónico 28

Capitulo 4

Osciladores 29

4.1 Circuito RC 30

4.2 Oscilador con amplificador operacional 31

4.3 Introducción al flip-flop SR 32

4.4 Funcionamiento interno del 555 33

4.5 555 estable y mono estable 34


4.7 Circuito Kit policiaco 37

Capitulo 5

Dimer 38

5.1 Concepto de disparo por ángulo de fase 39

5.2 El detector de cruce por cero 40

5.3 La base de tiempo mono estable 41

5.4 Circuito final de dimer 42

Apéndice 1

Conceptos básicos 43

A1.1 Divisor de tensión 44

A1.2 El potenciómetro 45

A1.3 fotorresistencia 46

A1.4 Cálculo de resistencia de led 47

A1.5 Drive para reley por transistor 48

A.6 El Moc Triac 49

Apéndice 2

Circuitos para armar 49

A2.1 Piano electrónico 50

A2.2 Cargador de baterías 51

A2.3 Detector de voltaje en baterías 52

A2.4 Interruptor activado al tacto 53

A2.5 interruptor activado por sonido 54

Apéndice 3

Hojas de datos 55

A3.1 LM741 56

A3.2 LM311 57

A3.3 LM555 58

A3.4 LM35 59

A3.5 Triac 60

A3.6 LDR 61

A3.7 Relevador 62

Bibliografía 63

Que es un amplificador operacional Un amplificador Operacional es un circuito electrónico capas de amplificar una señal a una ganancia determinada. La diferencia de este amplificador con otros es que cuenta con una entrada diferencial en pocas palabras una entrada inversora y una entrada no inversora y puede conectarse en lazo abierto o cerrado. Estas características lo hacen ser un amplificador muy versátil y puede ser capas de ejecutar operaciones aritméticas analógicas, amplificar señales muy débiles, comparar voltajes, etc. Historia del amplificador operacional George A. Philbrick se le atribuye la invención y difusión de los amplificadores operacionales. Trabajo en Huntington Engineering Labs y luego en su propia compañía Philbrick Associates. Intervino en el diseño de un amplificador operacional con un solo tubo de vacío y lo introdujo en el mercado en 1948. Esos primeros amplificadores y las versiones posteriores mejoradas estaban destinadas fundamentalmente a emplearse en las computadoras analógicas. Por aquella época, la palabra “operacional” en estos dispositivos significaba operaciones matemáticas. Los primeros amplificadores operacionales servían para construir circuitos capaces de sumar, restar, multiplicar e incluso resolver ecuaciones diferenciales.

George A. Philbrick Entre los años 1964 y 1967 Fairchild desarrollo los amplificadores operacionales en circuitos integrados 702, 709, 741, mientras que National Semiconductors introdujo el 101/103. Estos amplificadores de circuitos integrados revolucionaron algunas áreas de la electrónica por su pequeño tamaño y bajo costo.

Amplificador operacional de 2 bulbos

Características del amplificador operacional El amplificador operacional (también llamado Op-Amp por sus siglas en ingles) es un circuito electrónico con dos entradas y una salida ver figura 1-1, la salida es la diferencia de las dos entradas multiplicada por un factor al que llamaremos ganancia. Todo Op-Amp necesita de una alimentación esta es independiente de la función que este realizando, si no alimentamos al Op-Amp este no podrá funcionar correcta mente.

Figura 1-1 diagrama electrónico de un amplificador operacional

1.1 Diagrama del amplificador operacional Para identificar el pin numero 1 (terminal externa de conexión) hay que localizar la muesca o punto, leyendo la matricula del integrado de frente, entonces el pin numero 1 es el primer pin de izquierda a derecha, los pines se len en forma de U siendo el ultimo pin el que esta en la parte superior del pin 1 ver figura 1-2. El pin 1 y 5 son el ajuste de Offset null, el pin 2 es la entrada inversora, el pin 3 es la entrada no inversora, el pin 4 es voltaje de alimentación negativa o tierra según se el caso, el pin 6 es la salida del amplificador operacional, el pin 7 es el voltaje de alimentación positiva, el pin 8 es no conexión, no se conecta a nada. Pin8 Matricula Pin 5 Muesca Punto Pin 1 Pin 4

Figura 1-2 Diagrama del amplificador operacional

Entrada Inversora

Entrada No InversoraSalida

Alimentación Positiva

Alimentación Negativa

1

Hoja de datos de

computadora análoga modelo

K3A que efectuaba la operación:

OFFSET NULL Este pin es la anulación de desviación de voltaje. IN (-) Es la entrada inversora del amplificador operacional. No es entrada negativa lo que sucede es que la señal

que entra se invierte. IN (+) Entrada no inversora del amplificador operacional, no es entrada positiva lo que sucede es que la señal que entra no se invierte. VEE Voltaje de alimentación negativa o tierra. Output Salida del amplificador operacional. VCC Voltaje de alimentación positiva. NC No conexión, este pin se deja al aire, desconectado. Los amplificadores operacionales son fabricados por diversas compañías por tal motivo existe una nomenclatura para leer la matricula del circuito integrado, cabe mencionar que no todos los fabricantes usan el mismo formato de nomenclatura, esto puede variar dependiendo del fabricante. Esta nomenclatura consta de un prefijo, numero del circuito, sufijo de letras. Prefijo de letras. Por lo general consiste de dos letras que identifican al fabricante ver tabal 1-1. Prefijo literal Fabricante Logotipo AD Analog Devices CA RCA LM National Semiconductors MC Motorola TL Texas Instrument

UA (µA) Fairchild

Tabla 1-1 Algunos prefijos de fabricantes

1

Un operario maneja una

oblea de silicio, un material

semiconductor, que se utilizará

para la fabricación de

chips

Numero del circuito. El número de circuito se compone de tres a siete números y letras y que identifican el tipo de amplificador operacional y su intervalo de temperatura ver figura 1-3. Fabricante Encapsulado “DIP Plástico” Temperatura “Comercial” Numero del circuito “741”

Figura 1-3 Nomenclatura de circuito integrado

Los tres dígitos de intervalo de temperatura son: C Comercial de 0°C a 70°C

I Industrial de -25°C a 85°C M Militar de -55°C a 125°C Sufijo de letras. El sufijo de una y dos letras identifica el tipo de encapsulado que contiene el chip del amplificador operacional ver figura 1-3. D De plástico, doble en línea para montaje en la superficie en una tarjeta

de circuito impreso. J De cerámica, doble en línea N, P De plástico, doble en línea para inserción en receptáculo through-hold En el ejemplo de la figura 1-3 se aprecia que es un amplificador operacional de la empresa National semiconductor con número de circuito 741 temperatura comercial encapsulado dip de plástico.

1

Varios tipos de encapsulados de los amplificadores

operacionales

1.2 Tipos de Encapsulados del amplificador operacional El amplificador operacional se fabrica en un diminuto chip de silicio y se encapsula en una caja adecuada. Alambres finos conectan el chip con terminales externas que salen de la capsula de metal, plástico o cerámica. Existen diferentes tipos de encapsulado siendo las mas usuales los encapsulados TO-99 “Transistor Outline” Contorno del transistor ver figura 1-4, DIP “Dual In-Line Packages” empaquetado de doble línea ver figura 1-5, SOIC “Small Outline Integrated Circuit” Circuito integrado de contorno pequeño ver figura 1-6, etc. De los cuales el TO-99 y el DIP son through-hold atravesar y sostener o con pines para soldar a través de la placa y el encapsulado SOIC es SMD Surface Mount Device dispositivo de montaje de superficie.

Encapsulado tipo TO-99 (Transistor Outline) (through-hold)

Figura 1-4 Diagramas de encapsulado TO-99

1

Amplificador operacional

encapsulado TO-99

Encapsulado tipo DIP (Dual In-Line Packages) (through-hold)

Figura 1-5 Diagramas de encapsulado DIP

1


encapsulado DIP

Encapsulado tipo SOIC (Small Outline Integrated Circuit) (SMD – Surface Mount Device)

Figura 1-6 Diagramas de encapsulado SOIC

1


encapsulado SOIC

1.3 Alimentación del amplificador operacional La alimentación del Op-Amp se puede hacer con fuente dual “fuente simétrica” ver figura 1-7 y con fuente sencilla ver figura 1-8, el tipo de alimentación depende de la aplicación y tipo de salida que se desea ya que los Op-Amp pueden sacar voltajes positivos y negativos, si trabajamos con un Op-Amp que solo se requiere puros voltajes positivos de salida se puede emplear una fuente sencilla, de lo contrario si se requiere que el Op-Amp entregue voltajes positivos y negativos se alimenta con una fuente Dual.

Figura 1-7 Fuente simétrica con dos baterías de 9 V

Figura 1-8 Fuente simple con una batería de 9 volts Los amplificadores operacionales pueden funcionar con un voltaje de 5V hasta 15V, esto puede variar dependiendo del tipo de amplificador operacional y del fabricante. Para los ejercicios que se presentan en este trabajo se utilizaran 2 baterías de 9 Volts como se describe en este capitulo sin embargo también se pueden usar fuentes de alimentación simétricas para sustituir las baterías.

1

- V + VComún

+ VComún

Baterías de 9 volt conectadas en

fuente dual

Bateria de 9 volt como fuente

simple

Para realizar las conexiones de las baterías se puede utilizar broches de

9V

1.4 Características ideales y reales Los op-amp se basan en un modelo matemático en el cual se pueden simular matemáticamente todas sus funciones, para este modelo matemático el op-amp requiere que se cumplan ciertas características ideales para que todo funcione, pero cuando pasaron del modelo matemático a la vida real trataron de que se mantuvieran lo mas fiel posible estas características. Debido a los materiales y técnicas de fabricación no se puede fabricar los op-amp con las características ideales exactas, pero las características que posee son suficientes para comportarse casi igual al modelo matemático o dicho de otra manera aunque no son las características ideales el op-amp se comporta como si lo fueran.

Figura 1-8 Amplificador operacional Ideal Resistencia de entrada Zi es la resistencia o impedancia que pose en las terminales de entrada Inversora IN- y No Inversora IN+ del amplificador, idealmente debe de ser una resistencia infinita pero en la vida real es de 1 Mega ohm.

Resistencia de salida Zo es la resistencia o impedancia que presenta la salida del amplificador idealmente debe de ser 0 ohm pero en la vida real es de 100 ohm.

Ganancia de tensión en lazo abierto A es el factor que multiplica una señal diferencial de entrada con respecto a la salida o más bien dicho las veces que amplifica la diferencia de las señales de entrada con respecto a la salida, idealmente es infinito pero en la vida real es de 100,000.

1

En las hojas de datos puedes

consultar todas las características

eléctricas del amplificador operacional

Ancho de banda BW es la capacidad que tiene el amplificador de amplificar diferentes señales con frecuencias diferentes o más bien dicho el amplificador puede amplificar señales de una frecuencia baja a una frecuencia alta como decir de 1Hertz a 1 GHz, lo que no esta en este rango no lo puede amplificar, idealmente el ancho de banda es infinito pero en la vida real es de 1 MHz.

Voltaje de salida Vout es el voltaje de salida con respecto a la diferencia de los voltajes de entrada Inversora IN- y No Inversora IN+ (Ve), idealmente cuando el voltaje en las entradas diferenciales son iguales V+ = V- la salida debe de ser 0V en la vida real no es así debido a la no simetría que guardan los circuitos semiconductores, dependiendo del fabricante y las temperatura ambiente puede existir un voltaje en la salida cuando debería de ser cero volts. Los op-amp tiene un ajuste de OFFSET NULL y la finalidad es poder ajustar el voltaje de salida para que sea cero volts ver figura 1-9.

Figura 1-9 Ajuste de OFFSET NULL Este ajuste se realiza conectando las dos entradas del op-amp a tierra y midiendo la salida con respectó atierra, se ajusta el potenciómetro para hacer el ajuste, se debe de usar una fuente simétrica.

Características Ideal Real Resistencia de Entrada Zi ∞ 1M Ω

Resistencia de Salida Zo 0 100 Ω

Ganancia Lazo Abierto A ∞ 100,000 Ancho de Banda BW ∞ 1MHz

Voltaje de Salida Vo, V+=V- 0 Dependiendo del op-amp

Tabla 1-2 Comparación entre características ideales y características reales en un op-amp

Las características reales de los op-amp pueden variar dependiendo del fabricante y la temperatura de operación, los valores mostrados son los más comunes en el mercado.

1

Se usa un potenciómetro para ajustar el OFFSET NULL

Lazo abierto Es cuando no existe ninguna retroalimentación de la salida del op-amp a alguna entrada de este, con esto conseguimos operar el op-amp con las características ideales del fabricante.

2.1 Características de lazo abierto Un op-amp en lazo abierto se caracteriza por no poder controlar la ganancia y su operación esta sujeta a la siguiente formula matemática:

En donde la salida Vout es igual a la diferencia de los Voltajes de entrada no inversora e inversora multiplicado por una ganancia. Como podemos apreciar en la formula los signos +Vin y –Vin no están indicando la polaridad del voltaje de entrada solo indican cual es la entrada no inversora en el caso del “+Vin” y la entrada inversora en el caso de “-Vin”. La ganancia G es la cantidad de veces que el op-amp va a amplificar la diferencia de la señal o sea los dos voltajes de entrada inversora y no inversora se restan y la respuesta de esta resta se amplifica G veces, esta ganancia pude ser del orden de los 100,000 veces o mas esto depende del fabricante del op-amp. Como podemos ver amplifican muchísimo y esta ganancia no la podemos controlar. Si en la entrada no inversora tengo 2 volts y en la entrada inversora tengo 1 volt ver figura 2-1 ¿cual será la salida de voltaje del op-amp? Voltaje de alimentación Dual +Vin Voltaje de salida -Vin

Figura 2-1 Ejemplo de op-amp en lazo abierto

Aplicando la formula y sustituyendo valores Vout = (2) – (1) * G Nos queda la diferencia de voltaje por la ganancia Vout = 1 * G Si G=100,000 entonces Vout = 1 * 100,000 La respuesta es Vout = 100,000 Volts

2

"La energía se transforma de una forma a otra pero

no puede ser creada ni

destruida."

Herman Von Helmholtz (1821-

1894)

GVinVinVout ))()(( −−+=

Pero en la vida real es imposible alimentar un op amp con ±9V y obtener a la salida 100,000 volts esto es debido a la ley de la conservación de la energía que dice “La energía no se crea ni se destruye solo se transforma” no podemos sacar mas voltaje que el voltaje de alimentación. A esto se le llama voltaje de saturación. En nuestro ejemplo la salida teórica será de voltaje de saturación positiva en este caso Vout = +9V, en la vida real tampoco saldría +9V en realidad la salida seria un aproximado de Vout ≈ +8V porque en la salida del op-amp hay una pequeña caída de tensión debido a los materiales semiconductores de que esta fabricado el op-amp y por tal motivo no sale el voltaje de alimentación exacto, una aproximación de los voltajes reales de salida seria:

Voltaje de saturación positiva ≈ Voltaje de alimentación positiva - 1V

Voltaje de saturación negativa ≈ voltaje de alimentación negativa +2V

La diferencia de un volt del voltaje de saturación positivo con respecto al negativo es causado por el desbalance de los amplificadores internos que se produce al momento de fabricar el circuito integrado. Estas información puede variar dependiendo del fabricante del op-amp es solo una aproximación. Si a hora ponemos 1 volt en la entrada no inversora y 2 volts en la entrada inversora ver figura 2-2 ¿cual será la salida de voltaje del op-amp? Voltaje de alimentación Dual +Vin Voltaje de salida -Vin

Figura 2-2 Ejemplo de op-amp en lazo abierto

Aplicando la formula y sustituyendo valores Vout = (1) – (2) * G Nos queda la diferencia de voltaje por la ganancia Vout = - 1 * G Si G=100,000 entonces Vout = - 1 * 100,000 La respuesta es Vout = - 100,000 Volts Como no puede salir - 100,000V La salida es voltaje de saturación negativa Vout = - 9Volt Aplicando la aproximación Vout ≈ - 9 + 2 La salida de voltaje aproximada es Vout ≈ - 7 Volt

2

Puedes medir el voltaje de

saturación con un multímetro usando como referencia la

tierra de la fuente dual

¿Será posible poner voltajes negativos en ves de voltajes positivos?, la respuesta es si, las entradas de un amplificador operacional pueden aceptar voltajes positivos y negativos o la combinación de ambos positivos y negativos ver figura 2-3 y 2-4. Voltaje de alimentación Dual +Vin Voltaje de salida -Vin

Figura 2-3 Ejemplo de op-amp en lazo abierto con entradas negativas

Aplicando la formula y sustituyendo valores Vout = (-2) – (-1) * G Nos queda la diferencia de voltaje por la ganancia Vout = - 1 * G Si G=100,000 entonces Vout = - 1 * 100,000 La respuesta es Vout = - 100,000 Volts Como no puede salir - 100,000V La salida es voltaje de saturación negativa Vout = - 9Volt Aplicando la aproximación Vout ≈ - 9 + 2 La salida de voltaje aproximada es Vout ≈ - 7 Volt Voltaje de alimentación Dual +Vin Voltaje de salida -Vin

Figura 2-4 Ejemplo de op-amp en lazo abierto con entradas negativas y positivas

Aplicando la formula y sustituyendo valores Vout = (2) – (-1) * G Nos queda la diferencia de voltaje por la ganancia Vout = 3 * G Si G=100,000 entonces Vout = 3 * 100,000 La respuesta es Vout = 300,000 Volts Como no puede salir 300,000V La salida es voltaje de saturación positiva Vout = + 9Volt Aplicando la aproximación Vout ≈ + 9 - 1 La salida de voltaje aproximada es Vo ≈ + 8 Volt

2

Recuerda la ley de los signos de la

multiplicación al realizar

operaciones con la formula de lazo

abierto

+=−−−=+−−=−++=++

))((

))((

))((

))((

2.2 Comparador de voltaje Como podemos ver el op-amp en lazo abierto solo puede entregarnos en la salida voltaje de saturación positiva o voltaje de saturación negativa esto es debido a la gran ganancia que tiene, para darnos una idea, para que el op-amp en lazo abierto nos entregue a la salida 1 volt tendríamos que poner en la entrada no inversora 10 µVolt o sea .00001 volt, dejar la entrada inversora a tierra ver figura 2-5 y alimentar el op-amp con ±9V.

Figura 2-5 Ejemplo de op-amp en lazo abierto con entrada de 10 µVolt Son voltajes muy pequeños que difícilmente podremos manejar salvo en casos muy espaciales. Por tal motivo nos hacemos la pregunta ¿para que nos sirve un op-amp que amplifica mucho y no podemos controlar su ganancia?, pues para comparar voltajes, gracias a la gran ganancia que tiene el amplificador en lazo abierto podemos hacer comparadores de voltaje. Un comparador de voltaje es un circuito que tiene una entrada para un voltaje de referencia “Vref” y una entrada para monitorear el voltaje que queremos comparar “Vin”, cuando el voltaje de entrada exceda al voltaje de referencia el comparador de voltaje avisara en su salida haciendo un cambio de voltaje. Los cambios de voltaje pueden ser de negativo a positivo ver figura 2-6, positivo a negativo ver figura 2-7 según sea la configuración deseada.

Si Vin < Vref entonces Vout = - Vsat

Si Vin > Vref entonces Vout = + Vsat

Figura 2-6 Comparador de voltaje con op-amp lazo abierto cambio de negativo

a positivo

2

Diagrama y formula del Divisor resistivo

VinRR

RVout

21

2

+=

En la figura 2-6 tenemos un comparador de voltaje en lazo abierto con alimentación dual, el voltaje de referencia Vref esta conectada a la entrada inversora por medio de un potenciómetro conectado en divisor de voltaje (ver apéndice A1.2) y el voltaje de entrada Vin esta conectada a la entrada no inversora. Si el voltaje de entrada Vin es menor al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será –Vsat. Si el voltaje de entrada Vin es mayo al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vo será +Vsat. Si Vin < Vref entonces Vout = + Vsat Si Vin > Vref entonces Vout = - Vsat Figura 2-7 Comparador de voltaje con op-amp lazo abierto cambio de positivo

a negativo En la figura 2-7 tenemos un comparador de voltaje en lazo abierto con alimentación dual, el voltaje de referencia Vref esta conectada a la entrada no inversora por medio de un potenciómetro conectado en divisor de voltaje (ver apéndice A1.2) y el voltaje de entrada Vin esta conectada a la entrada inversora. Si el voltaje de entrada Vin es menor al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será +Vsat. Si el voltaje de entrada Vin es mayo al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será –Vsat.

En resumen si el voltaje a comparar Vin se pone en la entrada no inversora la transición de salida Vout será de –Vsat a +Vsat cuando el voltaje de entrada Vin sea mayor al voltaje de referencia Vref. Por otro lado si el voltaje a comparar Vin se pone en la entrada inversora la transición de salida Vout será de +Vsat a –Vsat cuando el voltaje de entrada Vin sea mayor al voltaje de referencia Vref.

2.3 Alimentación del comparador de voltaje En el tema anterior 2.2 se analizo el comportamiento de un op-amp en lazo abierto como comparador de voltaje pero no se explico que sucede cuando Vin = Vref bueno sucede que el comportamiento del op-amp como comparador de voltaje puede variar dependiendo de el tipo de alimentación que se este

2

Usa un protoboard para armar y comprobar el

funcionamiento de los circuitos

descritos en este trabajo

usando, nos referimos al voltaje de alimentación con fuente simple o fuente dual. Si alimentamos el comparador con fuente dual su comportamiento será el siguiente ver figura 2-8 y 2-9. Si Vin < Vref entonces Vout = - Vsat Si Vin = Vref entonces Vout = 0 V, tierra Si Vin > Vref entonces Vout = + Vsat

Figura 2-8 Comparador de voltaje con op-amp lazo abierto cambio de negativo

a positivo alimentación dual En la figura 2-8 tenemos un comparador de voltaje en lazo abierto con alimentación dual, el voltaje de referencia Vref esta conectada a la entrada inversora por medio de un potenciómetro conectado en divisor de voltaje (ver apéndice A1.2) y el voltaje de entrada Vin esta conectada a la entrada no inversora. Si el voltaje de entrada Vin es menor al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será -Vsat. Si el voltaje de entrada Vin es igual al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será 0V. Si el voltaje de entrada Vin es mayo al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será +Vsat.

Si Vin < Vref entonces Vout = + Vsat Si Vin = Vref entonces Vout = 0 V, tierra Si Vin > Vref entonces Vout = - Vsat

Figura 2-9 Comparador de voltaje con op-amp lazo abierto cambio de positivo a negativo alimentación dual

En la figura 2-9 tenemos un comparador de voltaje en lazo abierto con alimentación dual, el voltaje de referencia Vref esta conectada a la entrada no inversora por medio de un potenciómetro conectado en divisor de voltaje (ver apéndice A1.2) y el voltaje de entrada Vin esta conectada a la entrada

2

Puedes usar una fuente simétrica para alimentar a

los op-amp

inversora. Si el voltaje de entrada Vin es menor al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será +Vsat. Si el voltaje de entrada Vin es igual al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será 0V. Si el voltaje de entrada Vin es mayo al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será -Vsat. Si alimentamos el comparador con fuente simple su comportamiento será el siguiente ver figura 2-10 y 2-11. Si Vin < Vref entonces Vout = 0 V, tierra Si Vin = Vref entonces Vout = 0 V, tierra Si Vin > Vref entonces Vout = + Vsat

Figura 2-10 Comparador de voltaje con op-amp lazo abierto cambio de 0V, tierra a positivo alimentación simple

En la figura 2-10 tenemos un comparador de voltaje en lazo abierto con alimentación simple, el voltaje de referencia Vref esta conectada a la entrada inversora por medio de un potenciómetro conectado en divisor de voltaje (ver apéndice A1.2) y el voltaje de entrada Vin esta conectada a la entrada no inversora. Si el voltaje de entrada Vin es menor al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será 0V. Si el voltaje de entrada Vin es igual al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será 0V. Si el voltaje de entrada Vin es mayo al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será +Vsat. Si Vin < Vref entonces Vout = + Vsat Si Vin = Vref entonces Vout = 0 V, tierra Si Vin > Vref entonces Vout = 0 V, tierra

Figura 2-11 Comparador de voltaje con op-amp lazo abierto cambio de

positivo a 0V, tierra alimentación simple

En la figura 2-11 tenemos un comparador de voltaje en lazo abierto con alimentación simple, el voltaje de referencia Vref esta conectada a la entrada no

2

Utiliza potenciómetros

de vástago o preset para

generar el voltaje de referencia

inversora por medio de un potenciómetro conectado en divisor de voltaje (ver apéndice A1.2) y el voltaje de entrada Vin esta conectada a la entrada inversora. Si el voltaje de entrada Vin es menor al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será +Vsat. Si el voltaje de entrada Vin es igual al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será 0V. Si el voltaje de entrada Vin es mayo al voltaje de referencia Vref entonces la salida Vout será 0V. En general cuando alimentamos un op-amp con fuente simple no podemos obtener voltajes negativos en ves de eso tenemos cero volts a la salida. En cambio con fuente simétrica si podemos obtener voltajes negativos y cero volts según sea el caso ver figura 2-12 y 2-13.

Si V1 > V2 entonces Vout = +Vsat Si V1 = V2 entonces Vout = 0V Si V1 < V2 entonces Vout = -Vsat

Figura 2-12 comparador de voltaje lazo abierto fuente dual Si V1 > V2 entonces Vout = +Vsat Si V1 = V2 entonces Vout = 0V Si V1 < V2 entonces Vout = 0V

Figura 2-13 comparador de voltaje lazo abierto fuente simple

2

Los Led requieren de resistencia limitadora

cunado se usan con 9V

2.4 Comparador de ventana

El comparador de ventana ver figura 2-12, se utiliza cuando queremos tener un set point de comparación o sea un voltaje de referencia máximo y un voltaje de referencia mínimo y deseamos que el comparador nos avise si el voltaje a comparar se sale por arriba del voltaje de referencia máximo o por abajo del voltaje de referencia mínimo la idea es tener una ventana de operación y cuando el voltaje a comparar este fuera de esta ventana de operación nos avise. El comparador de ventana esta sujeto al análisis del tema anterior 2.3 o sea puede hacerse con fuente dual o con fuente simétrica según sea el caso. Este tipo de comparador se utiliza entre otras cosas para hacer termostatos electrónicos.

Figura 2-14 comparador de ventana con fuente simple

Como se aprecia en la figura 2-14 el comparador de ventana consta de 2 op-amp conectados como comparador de voltaje en lazo abierto en los cuales el IC2 maneja el voltaje de referencia máximo y el IC1 el voltaje de referencia mínimo. Cuando el voltaje de entrada Vin es menor o igual al voltaje de referencia mínimo y por lógica menor al voltaje de referencia máximo, la salida del IC1 es 0V y polariza correctamente al diodo D1 y este polariza correctamente al LED D3 haciendo que encienda, indicando que el voltaje de entrada es menor al voltaje de referencia mínimo, en esta misma condición el voltaje de entrada del IC2 es mucho menor al voltaje de referencia máximo y

2

Termostato electrónico

por lo tanto su salida es de +Vsat polarizando inversamente al diodo D2 este bloquea el voltaje de saturación positiva. Si el voltaje de entrada Vin es mayor al voltaje de referencia mínimo pero menor al voltaje de referencia máximo, la salida del IC1 es +Vsat y polariza inversamente al diodo D1 este bloquea el voltaje de saturación positiva, en esta misma condición el voltaje de entrada del IC2 es menor al voltaje de referencia máximo y por lo tanto su salida es de +Vsat polarizando inversamente al diodo D2 este bloquea el voltaje de saturación positiva, esto indicando que el voltaje de entrada esta en el rango de ventana entre el voltaje de referencia mínimo y el voltaje de referencia máximo. El LED D3 no enciende porque el voltaje esta en el rango de ventana. Ahora si el voltaje de entrada Vin es mayor o igual al voltaje de referencia máximo es obvio que el voltaje de entrada Vin es mucho mayo al voltaje de referencia mínimo, la salida del IC1 es +Vsat y polariza inversamente al diodo D1 este bloquea el voltaje de saturación positiva, en esta misma condición el voltaje de entrada del IC2 es mayor al voltaje de referencia máximo y por lo tanto su salida es de 0V y polariza correctamente al diodo D2 y este polariza correctamente al LED D3 haciendo que encienda, indicando que el voltaje de entrada es mayor al voltaje de referencia mínimo. Si alimentamos el comparador de ventana con una fuente dual ver figura 2-15.

Figura 2-15 comparador de ventana con fuente Dual

2

Los boiler usan un termostato para

controlar la temperatura del

agua

El comparador podrá sacar voltaje de saturación negativa y 0V, sabemos que cuando el voltaje de entrada Vin se igual al voltaje de referencia mínimo o máximo la salida de los op-amp será 0V por lo contrario si el voltaje de entrada Vin es menor que el voltaje de referencia mínimo la salida del op-amp mínimo será –Vsat, si el voltaje de entrada Vin es mayor que el voltaje de referencia máximo la salida del op-amp máximo será –Vsat. Sabemos que el LED D3 enciende cuando cualquiera de los dos op-amp nos da 0V en su salida pero en este caso los op-amp también nos entregaran –Vsat en la salida la pregunta obligada es si el LED prende con voltajes de salida de 0V y con voltajes de salida de –Vsat. La respuesta es si, para el LED el voltaje de salida –Vsat es tierra también, para entender porque sucede esto imaginemos que el op-amp lo sustituimos por 3 interruptores ver figura 2-16, estos interruptores no se pueden activar al mismo tiempo solo puede estar activado una a la vez. Si SW1 activado, Vout = +Vsat Si SW2 activado, Vout = 0V Si SW3 activado, Vout = -Vsat

Figura 2-16 Representación en interruptores de un op-amp lazo abierto Como se puede apreciar en la figura 2-16 para el voltaje de salida Vout con respecto atierra en una fuente dual podemos obtener +Vsat cuando activamos el interruptor 1 y los interruptores 2 y 3 están desactivados, 0V cuando activamos el interruptor 2 y los interruptores 1 y 3 están desactivados, -Vsat cundo activamos el interruptor 3 y los interruptores 1 y 2 están desactivados. Agreguemos al circuito un LED en la salida como en el comparador de ventana ver figura 2-17

2

Se utilizan tres interruptores un polo un tiro para

representar el funcionamiento de un op amp en

lazo abierto

Si SW1 activado, LED apagado Si SW2 activado, LED prendido Si SW3 activado, LED prendido

Figura 2-17 Representación en interruptores de un op-amp laso abierto con

LED En la figura 2-17 podemos apreciar que el ánodo del LED esta conectado a V+ de la fuente dual y el cátodo esta conectado a la salida Vout, cuando Vout es +Vsat el LED esta polarizado inversamente y no prende, cuando Vo es 0V el LED esta polarizado directamente y el LED prende, cuando Vout es –Vsat el led esta polarizado directamente y el LED prende. El truco es que la referencia de voltaje que no cambia es V+ y con respecto a esta referencia para el LED es como si lo conectáramos a una sola batería B1 cuando la salida Vout sea 0V y cuando la salida Vout sea –Vsat para el LED es como si conectáramos las dos baterías B1 y B2 en serie. En resumen cuando Vo es 0V el Led lo conectamos a la batería B1 de 9V, cuando Vout es –Vsat el LED lo conectamos a las baterías B1 y B2 en serie y nos da 18V.

2.5 Concepto de histéresis Hemos analizado el comportamiento de los op-amp como comparadores de voltaje en la vida real existen ruidos eléctricos y variaciones en los voltajes de alimentación, por tal motivo a veces el voltaje de entrada que queremos comparar tiende a variar y provoca una pequeña oscilación en la salida, para evitar esto se tiene que hacer que el voltaje de referencia varíe como si tuviéramos un comparador de ventana pero en este caso se hace con un solo op-amp, esta variación es muy pequeña pero es suficiente para eliminar estas variaciones no deseadas ver figura 2-18. Resistencia de histéresis

Figura 2-18 Resistencia de histéresis

2

Símbolo de Histéresis

2.6 Problemas para resolver 1 – Si tiene un op-amp ideal alimentado con una fuente dual de 9 volts, calcule la salida Vout para los siguientes voltajes de entrada. a) +Vin = 3 -Vin = 1 b) +Vin = -2 -Vin = 4 c) +Vin = 2.5 -Vin = 3.7 d) +Vin = 4 -Vin = -2 e) +Vin = .5 -Vin = .8

2 – Si tiene un op-amp ideal alimentado con una fuente simple de 9 volts, calcule la salida Vout para los siguientes voltajes de entrada. a) +Vin = 4.7 -Vin = 5.2 b) +Vin = -6 -Vin = 8 c) +Vin = 2.5 -Vin = 3.7 d) +Vin = 4 -Vin = -3 e) +Vin = .2 -Vin = .4 3 – Analice el siguiente diseño, si el potenciómetro MIN entrega 2 volts y el potenciómetro MAX entrega 4 volts, calcule los voltajes de salida de los 2 IC según los siguientes voltajes de entrada. Mencione en que momento encenderá el Led. a) Vin = 1V b) Vin = 3V c) Vin = 5V

2

Se requiere uso de calculadora para

resolver los problemas

2.7 Circuito Luz automática El siguiente circuito es un detector de luz ambiente ver figura 2-19, detecta que se esta haciendo de noche y prende un foco y cuando se hace de día lo apaga como en los circuitos de control de iluminación mercurial. El funcionamiento es el siguiente, tenemos una fotorresistencia R1(ver apéndice A1.3) conectada en divisor de tensión con R2(ver apéndice A1.1) el voltaje de salida varia con respecto a la luz ambiente, la salida del divisor que es el voltaje que queremos comparar se conecta a la entrada inversora del op-amp IC1, en la entrada no inversora del IC1 tenemos un voltaje de referencia proporcionado por el potenciómetro VR1 (ver apéndice A1.2), cuando es de día el voltaje de entrada es menor al voltaje de referencia y la salida del op-amp es +Vsat polarizando inversamente al LED D2 y al transistor Q1 haciendo que el LED no prenda y el transistor no active al relevador RL1 y este no prenda el foco. Cuando se hace de noche el voltaje de entrada es mayor que el voltaje de referencia y la salida del op-amp es 0V polarizando directamente al LED D2 y al transistor Q1 haciendo que el LED prenda y el transistor active al relevador RL1 y este prenda el foco que esta conectado a 127V. La resistencia R3 es para controlar el lazo de histéresis.

Figura 2-19 Diagrama Circuito luz automática

2

Puedes armar el circuito en placa fenólica con el diseño de PCB

Diseño PCB lado de cobre Diseño PCB lado de componentes

2

Fotocopia un Press and Peel

con el diseño de PCB para

transferirlo a una placa fenólica

Lista de materiales y herramientas 1 – LM741 1 - 2N2907 1 - 1N4148 Op-amp Transistor NPN Diodo

1 – Led 2 - 330 Ω ¼ W 1 - 10k Ω ¼ W Diodo Led Resistencia Resistencia

1 1 1 1 ---- 100k Ω ¼ W 1 - 10k Ω 1 - LDR

Resistencia Potenciómetro Fotorresistencia 1 – Relevador 9V 1 – Batería 9V 1 – Broche 9V Relevador Batería Broche para batería

2

Lista de materiales y herramientas 1 – Foco de 110V 1 – Base para foco 1 – tomacorriente Foco Base para foco Cable

Protoboard Pinzas de punta Pinzas de corte Para armar en proto Para armar en proto Para armar en proto

Cable protoboard Cloruro Ferrico Placa Fenólica

Para armar en proto Solo para hacer PCB Solo para hacer PCB

Soldadura 60/40 Pasta para soldar Cautín tipo lápiz Solo para hacer PCB Solo para hacer PCB Solo para hacer PCB

2

Lazo cerrado Es cuando existe retroalimentación de la salida del op-amp con alguna de las entradas de este, cuando esto sucede podemos tener control de la ganancia y podemos configurar el op-amp de diferentes maneras.

3.1 Amplificador inversor Se caracteriza por amplificar e invertir la señal o voltaje de entrada ver figura 3-1, la ganancia se controla con la resistencia final RF e inicial Rin. Su operación esta sujeta a una formula matemática.

Figura 3-1 Formula y diagrama de amplificador Inverso En donde la salida Vout es igual al voltaje de entrada negado multiplicado por una ganancia, en este caso la ganancia es la división de Rf entre Rin. Si en Rin ponemos una resistencia de 1K y lo sustituimos en la formula tenemos que: Ahora si ponemos en Rf una resistencia de 10K tenemos que:

3

Rin

RfVinVout −=

K

RfVinVout

1−=

K

KVinVout

1

10−=

Cancelamos las K:

Nos queda: Dividimos y el resultado es:

Haremos una pausa, porque nos estaremos preguntando porque se cancelaron las “K”, que significa una K ???, Bueno K es de kilo y esto significa mil (1,000) como debemos de saber al decir una resistencia de un 1K significa que tenemos una resistencia de 1000 ohm y si tenemos 10K o sea 10,000 ohm dividido entre 1K o sea 1,000 ohm los ceros iguales se cancelan y nos que da una división de 10/1 y como sabemos si dividimos 10/1 el resultado es 10. En este caso la ganancia seria de 10 o sea el voltaje de entrada se amplificara 10 veces, si tuviéramos un voltaje de entrada de .5V y la ganancia es de 10, el voltaje de salida seria de -5V ver figura 3-2. Aplicando la formula de ganancia 10: Sustituimos el voltaje de entrada y multiplicamos: Y la respuesta es:

3

K

KVinVout

110−=

1

10VinVout −=

)10(VinVout −=

)10(VinVout −=

)10)(5(.−=Vout

5−=Vout

Figura 3-2 Diagrama de amplificador Inversor por diez Básicamente si dejamos Rin en 1K la ganancia estará determinada por la resistencia Rf detal manera que si Rf es de 2.7K la ganancia será 2.7 veces, o si la Rf es de 5K la ganancia será de 5 veces etc. Ahora si en Rin ponemos una resistencia de 10K y en Rf una resistencia de 100K la ganancia seria de: Aplicando los valores de Rf y Rin y cancelando los ceros y las K: Nos queda: Dividimos y nos da: Como ya nos dimos cuenta la ganancia también es de 10 y eso significa que si dejamos Rin en 10K la ganancia estará determinada por la resistencia Rf detal manera que si Rf es de 27K la ganancia será 2.7 veces, o si la Rf es de 50K la ganancia será de 5 veces etc. Ahora analizaremos un voltaje de entrada negativo, si tuviéramos un voltaje de entrada de -.5V y la ganancia es de 10, el voltaje de salida seria de +5V ver figura 3-3.

3

K

KVinVout

01010−=

1

10VinVout −=

)10(VinVout −=

Aplicando la formula de ganancia de 10: Sustituimos el voltaje de entrada y multiplicamos: Nos queda:

Figura 3-3 Diagrama de amplificador Inversor por diez El resultado es positivo porque hay que recordar que el amplificador es inversor detal manera que si entra un voltaje positivo sale un voltaje negativo y si entra un voltaje negativo sale un voltaje positivo.

3.2 Corriente de entrada de un amplificador inversor

Como vimos en el tema anterior podemos usar diferentes configuraciones de resistencia y obtendríamos la misma ganancia. Entonces cual es la diferencia de usar una Rin de 1K a una Rin de 10K si en ambos casos podemos obtener la misma ganancia, bueno la diferencia es la corriente que el op-amp le va a pedir a la señal de entrada. Como habíamos estudiado en el capitulo 1.4 el op-amp tiene una resistencia de entrada aproximadamente de 1 mega ohm pero como estamos controlando la

3

)10(VinVout −=

)10)(5.(−−=Vout

5=Vout

ganancia por medio de la resistencia de retroalimentación Rf y la resistencia de entrada Rin la resistencia de entrada del op-amp será ahora la resistencia Rin, para saber la corriente que la entrada del op-amp le va a pedir a la señal de entrada se calcula con el voltaje de entrada Vin, la resistencia Rin y la ley de ohm ver figura 3-4.

Figura 3-4 Formula y diagrama de Corriente de entrada de un op-amp Pero que significa eso de la corriente de entrada, significa que el op-amp va a pedirle a la señal de entrada una corriente y esta corriente la determina el voltaje de la señal de entrada Vin entre la resistencia de entrada Rin como lo indica la ley de ohm. Entonces entre mas grande sea la resistencia de entrada Rin menor será la corriente que el op-amp le pide al voltaje de entrada Vin. Y esto en que afecta, para entender la importancia de la corriente de entrada supongamos que necesitamos amplificar la señal diez veces de un sensor de temperatura que nos entrega una señal de .1 volt y una corriente máxima de 50 micro amper. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el valor de resistencias Rin y Rf para obtener la ganancia de 10, sabemos que si ponemos una resistencia Rin de 1K y una resistencia Rf de 10K. Aplicando los valores de Rf y Rin:

3

Rin

VinIin =

K

KVinVout

1

10−=

Cancelamos las K y nos queda: Obtenemos una ganancia de diez, si sustituimos en la formula el voltaje de entrada del sensor de .1 volt. Nos queda: Obtendríamos el voltaje de salida amplificado de -1 volt. Para calcular la corriente de entrada tendríamos que sustituir en la formula de corriente el valor del voltaje de entrada de .1 volt y el valor de la resistencia Rin de 1K (1000 ohm). Sustituimos los valores en la formula: Nos queda: La corriente que el op-amp le pediría al sensor de temperatura seria una corriente de .0001 amper o 100 micro amper, pero nuestro sensor no es capas de dar esa corriente por tal motivo nuestro amplificador no va a funcionar porque el sensor de temperatura no puede dar la corriente que necesita el op-amp para poder amplificar. Para solucionar el problema tendríamos que aumentar el valor de Rin de tal manera que pida una corriente que el sensor pueda dar. Si proponemos una resistencia Rin de 10K y una resistencia Rf de 100K.

3

)10(VinVout −=

)10)(1(.−=Vout

1−=Vout

1000

1.=Iin

AIin 0001.=

Aplicando los valores de Rf y Rin: Cancelamos las K y nos queda:

Obtenemos una ganancia de diez, si sustituimos en la formula el voltaje de entrada del sensor de .1 volt. Nos queda: Obtendríamos el voltaje de salida amplificado de -1 volt. Para calcular la corriente de entrada tendríamos que sustituir en la formula de corriente el valor del voltaje de entrada de .1 volt y el valor de la resistencia Rin de 10K (10000 ohm). Sustituimos los valores en la formula: Nos queda:

3

K

KVinVout

10

100−=

)10(VinVout −=

)10)(1(.−=Vout

1−=Vout

10000

1.=Iin

AIin 00001.=

La corriente que el op-amp le pediría al sensor de temperatura seria una corriente de .00001 amper o 10 micro amper y en este caso el sensor da una corriente máxima de 50 micro amper, entonces el sensor es capaz de dar la corriente que requiere el op-amp para poder amplificar. En resumen si la señal de entrada no puede entregar la corriente que el op-amp le pide entonces el amplificador no podrá funcionar correctamente si esto ocurre tendríamos que calcular los valores de resistencia que cumplan con una baja corriente de entrada y la amplificación que se desea, se buscaría que la Rin fuera lo mas alta posible para que pida a la señal de entrada una corriente mínima y a la vez que con esta resistencia Rin alta se pueda calcular la ganancia requerida.

3.3 Ganancia Unitaria En el tema 3.1 vimos como podíamos controlar la ganancia del op-amp con las resistencias Rin y Rf, propusimos una resistencia Rin de 1K y nos dimos cuenta que ahora la ganancia dependía de RF y dijimos si Rf es de 2.7K entonces la ganancia seria de 2.7 veces, si Rf es de 10K la ganancia seria de 10 veces, etc. Esta es una de las tres formas en que se puede configurar un amplificador inversor. Y siguiendo esta lógica que pasaría si Rin es de 1K y Rf de 1K o sea resistencias iguales. Aplicando los valores de Rf y Rin: Cancelando los unos y las K: Nos queda: Obtenemos una ganancia de 1 o sea no amplifica, el voltaje de salida es el mismo que el voltaje de entrada pero negado ver figura 3-3.

3

K

KVinVout

1

1−=

K

KVinVout

1

1−=

VinVout −=

Figura 3-3 Amplificador inversor por uno A este tipo de configuración se le llama de ganancia unitaria porque la ganancia es uno simplemente el voltaje de salida es el mismo que el voltaje de entrada pero negado, en la figura 3-3 vemos como tiene las resistencias Rin y Rf de 1K y el voltaje de entrada es de 1 V, por lo tanto el voltaje de salida es de -1V (el mismo voltaje de entrada pero negado). La pregunta obligada y para que me sirve un amplificador que no amplifica y peor aun aparte de que no amplifica la señal la niega. Pues sirve para acondicionar señales o mas bien dicho para cambiar la polaridad de una señal o voltaje. Por ejemplo si amplificamos la señal se un sensor de temperatura con la configuración de amplificador inversor tendríamos que la señal amplificada seria invertida y de ese modo no nos serviría de mucho para corregir el problema tendríamos que poner a la salida del amplificador inversor otro amplificador inversor pero de ganancia unitaria para obtener la señal deseada ver figura 3-4. Figura 3-4 Amplificador inversor X10 con acondicionador de señal amplificador

de ganancia unitaria X1 De esta manera acondicionamos la señal para que sea positiva y no negativa.

3

En resumen el amplificador de ganancia unitaria sirve para invertir la señal de entrada, si entra una señal positiva sale una señal negativa de la misma magnitud que la entrada y si entra una seña negativa sale una señal positiva de la misma magnitud que la entrada ver figura 3-5. Figura 3-5 A) Entra señal positiva sale señal negativa, B) entra señal negativa

sale señal positiva. En ambos casos es un amplificador de ganancia unitaria

3.4 Disminución de señal En el tema 3.1 y 3.3 hemos estado manipulando los valores de resistencia de tal manera que si Rin es menor a RF el op-amp amplifica, si Rin es igual a RF el op-amp es ganancia unitaria y por supuesto que pasaría si Rin es mayor a Rf ??. Bueno supongamos que Rin es de 10k y Rf es de 1K Aplicando los valores de Rf y Rin y cancelando las K: Nos queda: Dividimos y nos da:

K

KVinVout

101−=

101

VinVout −=

)1(.VinVout −=

3

Si nos fijamos en este caso la ganancia es menor a la unidad, es diez veces menor esto quiere decir que la señal de entrada será diez veces menor a la salida. Si tuviéramos un voltaje de entrada de -5V y la ganancia es de .1, el voltaje de salida seria de +.5V ver figura 3-6.

Aplicando la formula de ganancia de .1 o diez veces menor: Sustituimos el voltaje de entrada y multiplicamos: Nos queda:

Figura 3-6 Amplificador inversor disminución de señal Y la pregunta obligada para que nos sirve un amplificador que no amplifica sino que disminuye la señal de entrada?. Bueno para acondicionar señales por ejemplo tenemos un sesor que nos entrega una señal de 0 a 8 volt y este sensor lo queremos conectar a una entrada análoga de una tarjeta de adquisición de datos pero la entrada análoga de esta tarjeta es de 0 a 5 volt, como podemos ver no podemos poner el sensor directamente a la tarjeta porque correríamos el riesgo de quemarla entonces tenemos que acondicionar la señal o sea hacer que la señal del sensor de 0 a 8 volt pase hacer de 0 a 5 volt, para hacer esto hay que hacer un calculo en el cual tenemos que disminuir

3

)1(.VinVout −=

)1)(.5(−−=Vout

5.=Vout

la señal máxima del sensor en este caso 8 volt a 5 volt y para hacer esto hay que recurrir a las matemáticas como sigue: De la formula amplificador inversor:

3

Rin

RfVinVout −=

amplificadores operacionales.pdf

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