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Séries Numéricas
Ana Matos
18 de Outubro de 2000
Conteúdo
1 Séries Numéricas 21.1 Noção de Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Séries Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Séries Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Séries Redutíveis ou de Mengoli . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Propriedades gerais das Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Séries de Termos Não Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Séries de Termos sem Sinal Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Séries Absolutamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Exercícios Propostos 18
3 Exercícios Complementares 22
1 18/Outubro/2000
1 Séries Numéricas
1.1 Noção de Série
Com a noção de série pretende-se estender a noção de soma a uma in�nidadede parcelas.Consideremos a seguinte situação: um corredor desloca-se, a uma veloci-
dade constante, entre dois pontos que se encontram em linha recta, A e B; noque gasta um certo tempo T:Para atingir o ponto B terá primeiro que efectuar o percurso até ao ponto
médio entre A e B; o que lhe demorará o tempo T2; terá depois que chegar
ao ponto médio entre este ponto e B, ou seja percorrer metade da distânciarestante, no que gastará o tempo T
4e assim sucessiva e inde�nidamente.
O tempo total que lhe demorará o trajecto entre A e B é, assim, dadopela expressão
T
2+T
4+ � � �+ T
2n+ � � � :
Temos, então, uma �soma�com uma in�nidade de parcelas, todas positi-vas, o que nos pode levar a pensar que o seu resultado é in�nito. No entanto,o valor desta �soma�tem que ser T , pois este é o tempo que o corredor gastano percurso.A situação aqui exposta está directamente relacionada com um dos mais
conhecidos Paradoxos de Zenão, �lósofo grego que formulou algumasquestões, relacionadas com aparentes contradições, que levaram a uma pro-funda crise na Matemática grega.A Teoria das Séries permite resolver1 este problema, dando uma de�nição
rigorosa da noção de �soma�in�nita e mostrando que existem �somas� in-�nitas, com os termos todos positivos, cujo resultado é �nito.Consideremos novamente a �soma�
T
2+T
4+ � � �+ T
2n+ � � � :
Naturalmente, não podemos somar um número in�nito de parcelas, maspodemos somar cada vez mais parcelas, calculando as chamadas somas par-ciais
S1 =T
2; S2 =
T
2+T
4; : : : ; Sn =
T
2+T
4+ � � � T
2n
e estudar o comportamento destas somas, quando n tende para +1:1A Teoria das Séries permite também resolver outro dos Paradoxos de Zenão, o Para-
doxo de Aquiles e da tartaruga.
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O valor da �soma�in�nita será, caso exista, o limite desta sucessão.Neste caso, a soma parcial Sn é a soma dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica de razão 12e 1o termo T
2; pelo que
Sn =T
2�1� 1
2n�1
1� 12
= T
�1� 1
2n�1
�:
Quando n tende para +1, Sn tende para T , que é o tempo efectivamentegasto pelo corredor a efectuar o percurso.
De�nição 1 Chama-se série numérica a uma expressão do tipou1 + u2 + � � �+ un + � � � , representada em geral por
+1Xn=1
un ,Xn�1
un ou somente porX
un ,
em que os números reais u1; u2; � � � ; un; � � � se dizem os termos da série econstituem a sucessão de termo geral un, dito o termo geral da série. Assomas
S1 = u1 ,S2 = u1 + u2 ,S3 = u1 + u2 + u3 ,...Sn = u1 + u2 + � � �+ un ,...
designam-se por somas parciais da série e a sucessão S1; S2; S3; : : : ; Sn; : : :é conhecida por sucessão das somas parciais da série. A Sn chama-sea soma parcial de ordem n.
De�nição 2 (Natureza de uma série) Uma sérieP+1
n=1 un diz-se con-vergente se a sucessão das somas parciais, Sn = u1+u2+ � � �+un, convergepara um número real S. Neste caso, o número S diz-se a soma da série, eescreve-se2
+1Xn=1
un = S .
Uma série que não é convergente diz-se divergente.Duas séries dizem-se da mesma natureza se forem ambas convergentes
ou ambas divergentes.2Embora esta seja a convenção usual, convém ter presente o facto de estarmos a usar
a mesma notação para representar duas entidades diferentes - a série e, caso esta sejaconvergente, a sua soma. Pelo contexto deve ser claro qual o sentido em que estamos ausar a notação; onde não o seja, tal deve ser explicitamente dito.
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É importante �car claro qual o papel de cada uma das duas sucessões quese encontram presentes ao considerarmos uma série
P+1n=1 un:
Temos a sucessão (un) ; a partir da qual de�nimos a série, e a sucessão(Sn), das suas somas parciais. A natureza da série é determinada pela con-vergência ou não da sucessão das suas somas parciais. Como iremos ver, emmuitos casos podem-se tirar conclusões quanto à natureza da série, a partirdo seu termo geral, aplicando certos resultados; no entanto, o facto do termogeral da série ser convergente não garante, de modo nenhum, que esta sejaconvergente.Considere-se, por exemplo, a série
P+1n=1 1:
O seu termo geral, un = 1; é, obviamente, convergente. No entanto asérie
P+1n=1 1 é divergente, visto que a soma dos seus n primeiros termos é n,
pelo que Sn ! +1:Vejamos mais alguns exemplos:
Exemplo 1
1. Consideremos a sérieP+1
n=1 n: O seu termo geral é n e a sua somaparcial de ordem n é Sn = 1 + 2 + � � �+ n = n:1+n2 :Como limSn = +1; a série é divergente.
2. Consideremos a sérieP+1
n=1 (�1)n : O seu termo geral é (�1)n e a
sucessão das somas parciais é �1; 0;�1; 0; : : : ; ou seja
Sn =
��1 se n é ímpar0 se n é par
:
Como (Sn) é oscilante; a série é divergente.
3. Consideremos, agora, a série+1Xn=1
1
2n�1:
O seu termo geral é�12
�n�1e a sua soma parcial de ordem n é
Sn =1�( 12)
n
1� 12
; que converge para 2:
A série é convergente e a sua soma é 2.
De�nimos série numérica indexada em N, mas podemos também consi-derar o conjunto dos índices como sendo N0 ou Np , com p 2 N; �xo3: Asde�nições e propriedades são perfeitamente análogas às das séries indexadasem N:
3Por de�nição, Np = fn 2 N : n � pg :
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1.2 Séries Importantes
Os dois últimos exemplos apresentados enquadram-se na situação que sesegue (o primeiro com r = �1 e o segundo com r = 1
2).
1.2.1 Séries Geométricas
Chama-se série geométrica de razão r à série
+1Xn=1
rn�1 = 1 + r + r2 + r3 + � � �+ rn�1 + � � � ,
em que r é um número real.A soma parcial de ordem n desta série é a soma dos n primeiros termos
da progressão geométrica de razão r e 1o termo 1, pelo que
Sn =
8<:1�rn1�r ; se r 6= 1
n ; se r = 1;
donde se conclui que:- se jrj < 1 então limSn = 1
1�r ;- se r � 1 então limSn = +1;- se r < �1 então limSn =1;- se r = �1 então Sn não tem limite.Assim:
� se jrj < 1; a série geométrica é convergente e a sua soma é S = 11�r ;
� se jrj � 1; a série geométrica é divergente.
Exemplo 2
1. Considere-se a sérieP+1
n=1
�14
�n�1.
Trata-se de uma série geométrica de razão r = 14, cujo valor abso-
luto é inferior a 1, donde se conclui que a série é convergente tendo-seP+1n=1
�14
�n�1= 1
1� 14
= 43.
2. A série geométricaP+1
n=1 (�2)n�1 ; de razão r = �2, é divergente uma
vez que jrj � 1.
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1.2.2 Séries Redutíveis ou de Mengoli
As séries da forma+1Xn=1
(un � un+k) ;
em que k é um número natural �xo, chamam-se séries redutíveis, sériesde Mengoli ou ainda séries telescópicas.Em particular, quando k = 1, a série é da forma
+1Xn=1
(un � un+1) = (u1 � u2) + (u2 � u3) + (u3 � u4) + � � �
sendo a sua sucessão das somas parciais
Sn = u1 � un+1:
Assim, tendo presente que limun+1 = limun; conclui-se que:
� se un é convergente, a sérieP+1
n=1 (un � un+1) é convergente e a suasoma é S = u1 � limun;
� se un é divergente; a sérieP+1
n=1 (un � un+1) é divergente.
Exemplo 3
1. A série+1Xn=1
1
n (n+ 1)
é uma série de Mengoli pois é da formaP+1
n=1 (un � un+1), com un = 1n.
Como un = 1n! 0, a série é convergente e a sua soma é
S = 1� lim 1
n= 1:
2. A série de Mengoli+1Xn=1
�pn�
pn+ 1
�é divergente, uma vez que limun = lim
pn = +1.
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1.2.3 Séries de Dirichlet
As séries da forma+1Xn=1
1
n�
com � um número real �xo, chamam-se séries de Dirichlet.Chama-se série harmónica, à série de Dirichlet para � = 1;
+1Xn=1
1
n= 1 +
1
2+1
3+ � � �+ 1
n+ � � �
Esta série é divergente pois, como será justi�cado adiante, tem-se que:
� se � > 1;P+1
n=11n�é convergente;
� se � � 1;P+1
n=11n�é divergente.
Considerem-se as séries de Dirichelet
+1Xn=1
1
n3e
+1Xn=1
1pn:
A primeira é convergente (� = 3) e a segunda é divergente (� = 12).
1.3 Propriedades gerais das Séries
Das propriedades operatórias dos limites de sucessões, concluem-se imediata-mente os resultados que se seguem.
Proposição 1 Se a partir de certa ordem un = vn, entãoPun e
Pvn são
da mesma natureza.
Portanto, a natureza de uma série não se altera modi�cando um número�nito dos seus termos. No entanto a soma das séries é, em geral, alterada.De igual modo, duas séries cujos termos gerais estejam apenas desfasados
de um certo p 2 N, têm a mesma natureza, isto é:
Proposição 2 Se existe p 2 N tal que, a partir de certa ordem, un = vn+p,então as séries têm a mesma natureza.
Assim, as sériesP+1
n=11n,P+1
n=11n+1
eP+1
n=31n�2 têm a mesma natureza.
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De�nição 3 (Resto de uma série) SejaPun uma série convergente com
soma S. Chamamos resto de ordem p; com p 2 N; à soma da série queresulta de suprimir os termos de ordem menor ou igual a p, isto é
Rp = up+1 + � � �+ un + � � � =Xn>p
un = S � Sp .
Note-se que, pelo resultado anterior, temos a garantia que esta série éconvergente. A sua soma é precisamente o erro que se comete quando setoma para soma da série
Pun o valor da soma parcial Sp.
Exemplo 4 Consideremos a sérieP+1
n=1
�12
�n�1; que já vimos ser conver-
gente com soma 2: O seu resto de ordem p é
Rp = S � Sp = 2�1�
�12
�p1� 1
2
=1
2p�1:
Exemplo 5 No caso da série de MengoliP+1
n=11
n(n+1); que vimos ser conver-
gente com soma 1, o resto de ordem p é
Rp = S � Sp = 1��1� 1
p+ 1
�=
1
p+ 1:
Nos dois exemplos anteriores, conseguimos determinar o valor exacto doresto de ordem p das séries, visto que conseguimos também determinar ovalor exacto da soma. No entanto, o estudo dos restos é particularmenteimportante nos casos em que não conseguimos determinar o valor exacto dasoma da série, interessando então conhecer majorantes do valor absoluto doresto. Podemos, assim, garantir que ao tomar para aproximação da somada série o valor de uma certa soma parcial, o erro cometido não excede umdeterminado valor.
Proposição 3 (Operações com séries)
1. SePun e
Pvn são duas séries convergentes, então a série
P(un + vn)
é convergente eP(un + vn) =
Pun +
Pvn.
2. SePun é uma série convergente, então a série
Pcun; com c 2 R; é
convergente ePcun = c
Pun.
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Dem.
1. Sejam (Un) e (Vn) as sucessões das somas parciais das sériesPun eP
vn, respectivamente, isto é:
Un = u1 + � � �+ un e Vn = v1 + � � �+ vn:
Como as séries são convergentes, existem reais U e V tais quelimUn = U e limVn = V .
Consideremos agora (Sn) ; a sucessão das somas parciais deP(un + vn).
Como
Sn = (u1 + v1) + � � �+ (un + vn) = Un + Vn ! U + V;
a sucessão (Sn) é convergente e o seu limite é U + V .
Conclui-se assim que a sérieP(un + vn) é convergente e a sua soma éP
un +Pvn.
2. Seja Un a sucessão das somas parciais da sériePun: Como esta série
é convergente, existe um número real U tal que limUn = U .
Consideremos agora (Sn) a sucessão das somas parciais da sériePcun.
ComoSn = cu1 + � � �+ cun = cUn ! cU;
a sériePcun é convergente e a sua soma é c
Pun.
Observação 1 Da alínea 2 do resultado anterior resulta que não se altera anatureza de uma série multiplicando o termo geral por uma constante dife-rente de zero.
Exemplo 6 Consideremos a série
+1Xn=1
�1
2n+5
3n
�:
Como as sériesP+1
n=1
�12
�n�1eP+1
n=1
�13
�n�1são convergentes, com somas 2 e
32, respectivamente, a série dada é convergente e a sua soma é
+1Xn=1
�1
2n+5
3n
�=1
2
+1Xn=1
�1
2
�n�1+5
3
+1Xn=1
�1
3
�n�1=7
2:
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Proposição 4 (Condição necessária de convergência) SePun é uma
série convergente então un ! 0:
Dem. SendoPun uma série convergente, a sucessão das suas somas parciais,
Sn = u1 + � � �+ un; tende para um certo real S:A sucessão Sn+1 = u1 + � � �+ un + un+1 tende para o mesmo limite, pois
é uma subsucessão da anterior.Como Sn+1 = Sn + un+1, tem-se que un+1 = Sn+1 � Sn: Uma vez que
limSn+1 = limSn; conclui-se que limun+1 = 0 e, portanto, que limun = 0:
Na prática este resultado é muitas vezes usado na forma contra-recíproca:
Se (un) não tende para zero, entãoX
un é divergente.
Note-se que (un) não tender para zero engloba duas situações - o caso de (un)não ter limite e o caso de (un) ter limite diferente de zero. Por exemplo, asséries
+1Xn=1
n
n+ 1e
+1Xn=1
(�1)n n
n+ 1
são ambas divergentes (no primeiro caso o termo geral tende para 1 e nosegundo caso não tem limite).Note-se ainda que a recíproca desta a�rmação é falsa, isto é,
un ! 0não implica queX
un seja convergente.
Por exemplo, a sérieP+1
n=11pn, série de Dirichlet com � = 1
2, é divergente
embora 1pn! 0 .
1.4 Séries de Termos Não Negativos
De�nição 4 Uma sériePun diz-se de termos não negativos se un > 0, para
qualquer n 2 N:
A sucessão das somas parciais de uma série de termos não negativos écrescente. Tendo presente que uma sucessão monótona é convergente sse élimitada (para o que, no caso de uma sucessão crescente, basta veri�car queé majorada pois todos os seus termos são maiores ou iguais ao primeiro),conclui-se imediatamente o seguinte resultado:
Proposição 5 (Condição necessária e su�ciente de convergência)Uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sucessão dassuas somas parciais é majorada.
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Proposição 6 (1o Critério de comparação) SejamPun e
Pvn duas
séries de termos não negativos tais que, para qualquer n 2 N, un � vn:Tem-se que:
� sePvn é convergente, então
Pun é convergente;
� sePun é divergente, então
Pvn é divergente.
Dem. SejamPun e
Pvn duas séries de termos não negativos tais que, para
qualquer n 2 N, un � vn:Considerem-se (Sn) e (Tn) as sucessões das suas somas parciais, isto é
Sn = u1 + � � �+ un e Tn = v1 + � � �+ vn:
Como para qualquer n 2 N, un � vn; tem-se também que, para qualquern 2 N; Sn � Tn:Sendo
Pvn uma série convergente, pela condição necessária e su�ciente
de convergência, a sucessão das suas somas parciais, (Tn) ; é majorada eportanto a sucessão (Sn) também o é. Novamente pela condição necessáriae su�ciente de convergência, conclui-se que a série
Pvn é convergente.
A segunda a�rmação é equivalente à primeira (é a sua forma contra-re-cíproca).
Observação 2 Da demontração anterior resulta imediatamente que, nascondições do 1o critério da comparação, sendo
Pvn uma série convergente,
para além de concluirmos quePun é uma série convergente, concluímos
ainda que a sua soma é menor ou igual à soma da sériePvn.
Exemplo 7
1. A série de termos não negativos
+1Xn=1
1
n2 + n
é convergente pois 1n2+n
� 1n2e a série
P+1n=1
1n2é convergente.
2. A série de termos não negativos
+1Xn=1
1pn+ 3
pn
é divergente pois 1pn+ 3pn �
12pne a série
P+1n=1
12pné divergente.
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Proposição 7 (2o Critério de comparação) SejaPun uma série de ter-
mos não negativos ePvn uma série de termos positivos tais que un
vn! L:
Tem-se que:
� se L 6= 0;+1, então as séries são da mesma natureza;
� se L = 0 ePvn é convergente, então
Pun também é convergente;
� se L = +1 ePvn é divergente, então
Pun também é divergente.
Dem. Vamos começar por provar os casos L = 0 e L = +1:
� Se unvn! 0; existe uma ordem a partir da qual un
vn� 1; pelo que un � vn:
Pelo 1o critério da comparação (que é aplicável, pois as séries são determos não negativos), conclui-se que, sendo
Pvn convergente,
Pun
também o é.
� Analogamente, se unvn! +1; existe uma ordem a partir da qual un
vn� 1;
e portanto un � vn:Pelo 1o critério da comparação, conclui-se que, sendo
Pvn é divergente,P
un também o é.
� Consideremos agora o caso em que unvn! L, com L 6= 0;+1 (ou seja
L é um real positivo, pois as séries são de termos não negativos).
Por de�nição de limite de uma sucessão, para qualquer real � > 0,existe uma ordem a partir da qual se tem L� � < un
vn< L+ �:
Tomando � su�cientemente pequeno, de modo a que L�� > 0, podemosgarantir que existem dois números reais positivos, a e b (que são, respec-tivamente, L�� e L+�); tais que, a partir de certa ordem, a < un
vn< b:
Então, a partir dessa ordem, tem-se que avn < un e un < bvn:
O resultado decorre agora do 1o critério da comparação e das pro-priedades operatórias das séries.
De facto:
- sePun é uma série convergente,
Pbvn é convergente e, como b 6= 0,P
vn também o é;
- sePun é uma série divergente,
Pavn é divergente e, consequente-
mente,Pvn também o é.
Portanto, neste caso, as séries são ambas convergentes ou ambas diver-gentes, pelo que têm a mesma natureza.
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Exemplo 8
1. A sérieP+1
n=1 sin�1n
�é divergente visto que lim
sin( 1n)1n
= 1 e a série
harmónica é divergente (note-se que sin 1n� 0, 8n2N).
2. Consideremos a série de termos positivosP+1
n=1 e�n:
Como lim1en1n
= lim nen= 0 e
P+1n=1
1né divergente, nada se pode con-
cluir.
Como lim1en1n2= lim n2
en= 0 e
P+1n=1
1n2é convergente, conclui-se que a
sérieP+1
n=1 e�n é convergente.
Proposição 8 (Critério do integral) Seja f : [1;+1[ ! R uma funçãocontínua, positiva e decrescente. Considerando a sucessão de termo geralun = f (n) ; tem-se que:X
un é convergente sse o integral impróprioZ +1
1
f (x) dx é convergente.
Corolário 9 A série de DirichletP+1
n=11n�; com � 2 R; é convergente se
� > 1 e divergente se � � 1:
Dem. Se � � 0 a sérieP+1
n=11n�é divergente (repare-se que o termo geral
não tende para zero).Se � > 0, considerando f (x) = 1
x�estamos nas condições do critério do
integral, pelo que a sérieP+1
n=11n�é convergente se e só se o integral impróprioR +1
11x�dx é convergente, o que se veri�ca apenas para � > 1:
Proposição 10 (Critério de Cauchy) SePun é uma série de termos não
negativos tal que limn!+1
npun = L (com L �nito ou in�nito), então:
� se L < 1;Pun é convergente;
� se L > 1;Pun é divergente;
� se L = 1; nada se pode concluir.
Dem. SejaPun uma série de termos não negativos tal que
limn!+1
npun = L:
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� Se limn!+1
npun = L < 1; considerando um número real r tal que
L < r < 1; existe uma ordem a partir da qual se tem npun < r (se assim
não fosse, existiriam in�nitos termos para os quais se tinha npun � r,
pelo que o limite superior de npun seria maior ou igual a r, o que não
se pode veri�car pois o seu valor é L e estamos a supor que r > L).
Então, a partir dessa ordem, tem-se que un < rn:
A sériePrn é uma série geométrica de razão r, com r < 1, pelo
que é convergente e, portanto, pelo 1o critério da comparação,Pun é
convergente.
� Se limn!+1
npun = L > 1; a sucessão n
pun tem uma subsucessão que
tende para L > 1, pelo que existem in�nitos valores de n para os quaisnpun > 1. Para esses valores de n, un > 1; pelo que un não tende para
zero e, consequentemente, a sériePun é divergente.
Exemplo 9 Consideremos a série de termos não negativosP+1
n=1
�2n3n+5
�2n:
Como
n
s�2n
3n+ 5
�2n=
�2n
3n+ 5
�2! 4
9< 1;
conclui-se que a série é convergente.
O critério que se segue, devido a D�Alembert, é uma consequência imedi-ata do anterior e da seguinte propriedade das sucessões de termos positivos:
seun+1un
! a (com a �nito ou in�nito) então npun ! a:
Note-se, no entanto, que o resultado anterior é mais geral, isto é, hásituações em que podemos aplicar o critério de Cauchy mas não podemosaplicar ocritério que se segue (por não existir o limite de un+1
un).
Proposição 11 (Critério de D�Alembert) SePun é uma série de ter-
mos positivos tal que limn!+1
un+1un
= L (com L �nito ou in�nito), então:
� se L < 1;Pun é convergente;
� se L > 1;Pun é divergente;
� se L = 1; nada se pode concluir.
Exemplo 10
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1. Considere-se a série de termos positivosP+1
n=13n
n!:
Comolim
n!+1
un+1un
= limn!+1
3
n+ 1= 0 < 1;
conclui-se que a série é convergente.
2. Apliquemos este mesmo critério à série de termos positivosP+1
n=14nn!nn:
Comolim
n!+1
un+1un
=4
e> 1;
concluimos que esta série é divergente.
1.5 Séries de Termos sem Sinal Fixo
De�nição 5 Uma série diz-se de termos sem sinal �xo se possui in�ni-tos termos positivos e in�nitos termos negativos. Em particular, uma sérieda forma
+1Xn=1
(�1)n+1 un = u1 � u2 + u3 � :::+ (�1)n+1 un + ::::
em que un > 0; 8n 2 N;diz-se uma série alternada.
Exemplo 11 A sérieP+1
n=1 (�1)n+1 1
né uma série alternada. A esta série
chama-se série harmónica alternada.
Proposição 12 (Critério de Dirichlet) Se a sucessão das somas parciaisda série
Pvn é limitada e se (un) é uma sucessão decrescente com limite
nulo, então a sériePunvn é convergente.
Corolário 13 (Critério de Leibniz) Se (un) é uma sucessão decrescentee com limite nulo, então a série
P+1n=1 (�1)
n+1 un é convergente.
O Critério de Leibniz resulta imediatamente do Critério de Dirichlet, vistoque (un) é uma sucessão decrescente, com limite nulo, e a série
P+1n=1 (�1)
n+1
tem as somas parciais limitadas.
Exemplo 12 A série harmónica alternada,P+1
n=1 (�1)n+1 1
n, é convergente
visto que�1n
�é uma sucessão decrescente que tende para zero.
15 18/Outubro/2000
Observação 3 No caso de uma série alternada nas condições do critério deLeibniz, mesmo não conseguindo determinar o valor exacto do resto de umacerta ordem, temos uma majoração para o seu valor absoluto. De facto,em valor absoluto, o resto destas séries não excede o primeiro termo que sedespreza, isto é: se
P+1n=1 (�1)
n+1 un é uma série alternada nas condições docritério de Leibniz, então jRpj � up+1:
1.6 Séries Absolutamente Convergentes
De�nição 6 Uma sériePun diz-se absolutamente convergente se a
série dos módulos Xjunj = ju1j+ ju2j+ � � �+ junj+ � � �
é convergente. Uma série convergente que não seja absolutamente conver-gente diz-se simplesmente convergente.
Exemplo 13 A sérieP+1
n=1 (�1)n+1 1
né simplesmente convergente visto que
é convergente mas a série dos módulos, que é a série harmónica, é divergente.A série
P+1n=1 (�1)
n+1 1n2é absolutamente convergente, visto que a série
dos módulos,P+1
n=11n2; é convergente.
Proposição 14 Toda a série absolutamente convergente é convergente.
Dem. SejaPun uma série absolutamente convergente, isto é, tal que
Pjunj
é convergente.Por de�nição
junj =�
un se un � 0�un se un � 0
pelo que
un + junj =�2un = 2 junj se un � 00 se un � 0
e, portanto, 0 � un + junj � 2 junj :O resultado é, agora, consequência do 1o critério da comparação e das
propriedades operatórias das séries.De facto, sendo
Pjunj uma série convergente,
P2 junj é convergente e,
pelo 1o critério da comparação,P(un + junj) também o é.
ComoPun =
P[(un + junj)� junj], sendo as séries
P(un + junj) eP
junj convergentes, conclui-se quePun é convergente.
Exemplo 14 A sérieP+1
n=1 (�1)n+1 1
n2é convergente, visto que é absoluta-
mente convergente.
16 18/Outubro/2000
Referências
[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;
[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em R eRn, McGraw-Hill, 1995;
[3] Caraça, Bento de Jesus, Conceitos Fundamentais de Matemática,Gradiva, 1998;
[4] Piskounov, N., Calcul Di¤érentiel et Intégral, MIR, 1976;
[5] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;
17 18/Outubro/2000
2 Exercícios Propostos
Exercício 1 Utilizando a de�nição de convergência de uma série, determinea natureza das séries seguintes e sempre que possível calcule a sua soma:
1. 2 + 4 + 6 + 8 + � � �
2. 2� 2 + 2� 2 + 2� � � �
3. 7 + 710+ 7
102+ 7
103+ � � �
4. 1� 12+ 1
4� 1
8+ � � �+
��12
�n+ � � �
5.+1Pn=2
65n�2
6.+1Pn=1
2n+3n
4n
7.+1Pn=1
2n+1n2(n+1)2
8.+1Pn=1
log�1 + 1
n
�9. 1
1�3 +12�4 +
13�5 +
14�6 + � � �
10.+1Pn=1
pn+2�
pnp
n(n+2)
11.+1Pn=3
24n2�1
Exercício 2 Seja+1Pn=1
un uma série convergente de soma S. Indique, justi-
�cando, os limites das sucessões de termos gerais Uk =2kPn=1
un e Vk =2kP
n=k+1
un:
Exercício 3 Diga qual a natureza e determine o termo geral de uma sériecuja sucessão das somas parciais é Sn = n
n+1:
Exercício 4
1. Represente, como quociente de dois inteiros, os números racionais cor-respondentes às seguintes dízimas in�nitas periódicas:
18 18/Outubro/2000
(a) 3; 333 � � � ;(b) 1; 125125125 � � � ;(c) 2; 04125125125 � � � ;
2. Mostre que o número racional associado à dízima 0; 125000 � � � tambémpode ser representado por 0; 124999 � � � :
Exercício 5 Calcule a expressão geral do resto de ordem p da sériePn�1
2n�1
5n�2 :
Exercício 6
1. Calcule o resto de ordem 100 da sériePn�1
1n2+n
:
2. Determine uma ordem a partir da qual o erro que se comete ao tomarpara valor da soma da série
Pn�1
1(n+1)2
a sua soma parcial, não exceda
0; 1.
Exercício 7 Diga, justi�cando, quais das seguintes a�rmações são verdadeirae quais são falsas:
1. A soma de duas séries divergentes é uma série divergente.
2. A soma de uma série convergente com uma série divergente é uma sériedivergente.
3. Se an ! 0 então a sériePan é convergente.
4. As sériesPn�1
1pn+1
ePn�100
1pn+1
são da mesma natureza.
Exercício 8 Determine a natureza das séries de termos não negativos cujostermos gerais são:
1. 1 + (�1)n 12n
2. jsen njn2
3. cos 1n
4. n+1n3�n+2
5. 1pn(n+2)
19 18/Outubro/2000
6. log nn
7. 1n log n
8. 1�3�5�����(2n+1)3�6�9�����(3n+3)
9. (n+1n )
n2
4n
10.�(�1)n+1n�1
3n+1
�n11. 2nn!
nn
Exercício 9 Determine, em função de � 2 R, a natureza da série de termogeral log
�1 + 1
n�
�:
Exercício 10 SejamPan e
Pbn duas séries de termos positivos conver-
gentes. Que pode a�rmar acerca da natureza das sériesPa2n;
Pan:bn;
Ppanbn
eP�
1an+ 1
bn
�?
Exercício 11 Seja (an) uma sucessão de termos positivos com limite +1:
1. Indique a natureza das sériesP
an1+an
eP
13n+an
:
2. Mostre que a série+1Pn=1
(an+1 � an) é divergente e que+1Pn=1
�1
an+1� 1
an
�é
convergente.
Exercício 12 Indique quais das seguintes séries são absolutamente conver-gentes, simplesmente convergentes ou divergentes:
1.+1Pn=1
(�1)npn
2.+1Pn=1
(�1)n n2n3+1
3.+1Pn=1
(�1)n n4
n4+1
4.+1Pn=1
cos(n�)logn(n+1)
20 18/Outubro/2000
5.+1Pn=1
��3n
�n6.
+1Pn=1
(1 + sen x)n
Exercício 13 Determine, justi�cando, aproximações à soma das séries seguintescom um erro inferior a 0; 001 :
1.+1Pn=1
(�1)n+12n3�1
2.+1Pn=0
(�1)nn!
3.+1Pn=0
(�1)n2nn!
Exercício 14 Prove que sePjanj converge então
Pa2n é convergente. Mostre
que a proposição recíproca é falsa.
Exercício 15 Mostre que sePa2n e
Pb2n são convergentes, a série
Panbn
é absolutamente convergente.
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3 Exercícios Complementares
Exercício 16 Mostre que:
1.Pn�2
1(n�1)n(n+1) =
14;
2.+1Pn=1
2n+n2+n2n+1n(n+1)
= 1:
Exercício 17 Estude, quanto à convergência, as seguintes séries:
1.+1Pn=1
pnp
n+1+1;
2.+1Pn=1
lnnn2pn+1;
3.+1Pn=1
pn3+2n+1n5+3
;
4.+1Pn=1
1+p2+���+
pn
n2+1;
5.+1Pn=1
1[3+(�1)n]2n ;
6.+1Pn=1
n e�(2n+1);
7.+1Pn=1
�n sin 1
n� (n+ 2) sin 1
n+2
�:
Exercício 18 Indique quais das seguintes séries são absolutamente conver-gentes, simplesmente convergentes ou divergentes:
1.+1Pn=1
sin(n�)n2
, com � 2 R;
2.+1Pn=1
(�1)n n2
1+n2;
3.+1Pn=1
�3
3+sin(n�2 )
�n;
22 18/Outubro/2000
4.+1Pn=1
(�1)n 1n+pn:
Exercício 19 Calcule a soma da série+1Pn=1
(�1)n n�2 com um erro inferior a
0; 1.
Exercício 20 Determine os valores de p 2 R, para os quais as seguintesséries são convergentes:
1.+1Pn=1
np�pn+ 1�
pn� 1
�;
2.+1Pn=1
�sin 1
n
�p:
Exercício 21 Seja (an)n2N uma sucessão convergente para a 2 R. Sendop 2 N, mostre que a série
Pn�1
(an � an+p) é convergente e calcule a sua soma.
Exercício 22 Determine os valores do número real �; para os quais a série:Pn�0
(�1)n (n+ 1)�� é
1. simplesmente convergente;
2. absolutamente convergente.
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Soluções
1.1: divergente;1.2: divergente; 1.3: convergente, 709; 1.4: convergente, 2
3;
1.5: convergente, 152; 1.6: convergente, 4; 1.7: convergente, 1; 1.8: diver-
gente; 1.9: convergente, 34; 1.10: convergente, 2+
p2
2; 1.11: convergente, 1
5
2: S, 03: convergente, 1
n(n+1)
4.1a: 103; 4.1b: 1124
999; 4.1c: 203921
99900; 4.2: -
5: 253
�25
�p6.1: 1
101; 6.2: 9
7.1: falsa; 7.2: verdadeira; 7.3: falsa; 7.4: verdadeira8.1: divergente; 8.2: convergente; 8.3: divergente; 8.4: convergente; 8.5:divergente; 8.6: divergente; 8.7: divergente; 8.8: convergente; 8.9: conver-gente; 8.10: convergente; 8.11: convergente9: convergente se � > 1, divergente se � � 110: convergente, convergente, convergente e divergente, respectivamente11.1: divergente, convergente; 11.2 -12.1: simplesmente convergente; 12.2: absolutamente convergente; 12.3:divergente; 12.4: absolutamente convergente; 12.5: absolutamente conver-gente; 12.6: absolutamente convergente se x 2 ](2k � 1)�; 2k�[ ; com k 2 Z;divergente caso contrário13.1: S7 ' 0:947478; 13.2: S6 ' 0:368055; 13.3: S4 ' 0:60677014: -15: -16: -17.1: divergente; 17.2: convergente; 17.3: convergente; 17.4: divergente;17.5: convergente; 17.6: convergente; 17.7: convergente18.1: absolutamente convergente; 18.2: divergente; 18.3: divergente; 18.4:simplesmente convergente19: S3 = �31
36
20.1: p < �12; 20.2: p > 1
21: S = a1 + a2 + � � �+ ap � a� p;22.1: 0 < � � 1; 22.2: � > 1;
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