Anais 2º Colóquio de Matemática da Região Sul

Comunicações

Teorema de Hahn­BanachAdemir Benteus Pampu

A inadequação da integral de Riemann­Stieltjes em escalas temporais com funções descontínuasTauane Ricci de Moraes

A Construção da Tabuada utilizando a Ideia de Área: uma tarefa desenvolvida por alunos das séries iniciaisJulio Cézar Rodrigues de Oliveira

Contribuição das Representações Semióticas para a Educação MatemáticaGefferson Luiz dos Santos

A Transformada de Fourier no Espaço de SchwartzBruno Alexandre Rodrigues

Os Teoremas de Gauss e Stokes aplicados no estudo das Equações de MaxwellRian Lopes de Lima

Problema Dissipativo de Viga Extensível com Amortecimento Não­Linear na FronteiraCamila Leão Cardozo

Teorema de Hahn-Banach

Ademir Benteus Pampu (e-mail: ademir_bp@hotmail.com )Luci Harue Fatori (e-mail: lucifatori@uel.br)

Universidade Estadual de Londrina, Londrina, Paraná, Brasil

Resumo

Neste trabalho relacionaremos a densidade de um subspaço vetorial de um espaço vetorial realnormado com o conjunto dos funcionais lineares contínuos que se anulam neste subspaço. Talresultado aparece na teoria de análise funcional como consequência do Teorema de Hahn-Banach.

Palavras-chave: Funcional linear contínuo, densidade.

1 IntroduçãoO Teorema de Hahn-Banach é apresentado na teoria de análise funcional nas formas analítica e ge-ométrica. A forma analítica deste resultado é relativa ao fato de podermos estender continuamente umfuncional linear contínuo definido em um subspaço vetorial do espaço considerado e ainda preservara norma deste funcional. Já a forma geométrica deste resultado, diz respeito ao fato da existência deum hiperplano fechado que separa certos tipos de conjuntos convexos. Como uma das consequên-cias deste resultado obtemos um interessante critério para caracterizar a densidade de um subspaçovetorial em um espaço vetorial real normado. O principal objetivo deste trabalho será discutir talconsequência da forma geométrica do Teorema de Hahn-Banach.

2 Fundamentos TeóricosConsiderando V um R−espaço vetorial, munido de uma norma ‖.‖, uma vez que esta norma de-fine uma métrica em V podemos de modo natural, falar em conjuntos abertos, fechados, limite desequência e densidade de um conjunto neste espaço.

Definimos a bola aberta de centro p ∈ V e raio ε > 0 como o conjunto

B(p, ε) = {x ∈ V ; ‖x− p‖ < ε}

e dizemos que um conjunto A ⊂ V é aberto em V quando para todo p ∈ A existe um ε > 0 tal queB(p, ε) ⊂ A. Um conjunto F é dito fechado quando seu complementar F c é aberto.

Dada uma sequência (xn)n∈N de pontos de V dizemos que esta sequência é convergente quando,existe p ∈ V e para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

‖xn − p‖ < ε

sempre que n > n0.Considerando um ponto p ∈ V , dizemos que p ∈ B se existe uma sequência (xn)n∈N de pontos

de B tal que esta sequência converge para p. O conjunto B é dito denso em V se B = V .

1

Um subconjunto K ⊂ V é dito compacto quando toda sequência de pontos de K possui umasubsequência de pontos que converge para algum ponto deste conjunto K.

Um conjunto C ⊂ V é dito convexo se, para quaisquer dois pontos x, y ∈ C o segmento de reta[x, y] ⊂ C, onde

[x, y] = {(1− t)x+ ty; t ∈ [0, 1]}.Um exemplo natural de conjunto convexo, em um espaço vetorial normado, são as bolas abertas.

Proposição 1 (Funcional de Minkowski). Seja C ⊂ V um conjunto aberto e convexo em um R−espaço vetorial normado V tal que 0 ∈ V . Para x ∈ V , defina

p(x) = inf {α > 0;α−1x ∈ C}

Então, existe M > 0 tal que0 ≤ p(x) ≤M‖x‖, ∀x ∈ V,

Temos também que,C = {x ∈ V ; p(x) < 1}

e que p satisfaz as seguintes propriedades,

p(αx) = αp(x)

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y)

3 Teorema de Hahn-BanachDefinimos um hiperplano afim H como o conjunto ,

H = [f = α] = {x ∈ V ; f(x) = α}

onde f é um funcional linear não nulo em V. É válido que o hiperplano afim [f = α] é fechado se, esomente se, f é um funcional linear contínuo.

A partir desta definição de hiperplano podemos enunciar a forma geométrica do Teorema de Hahn-Banach.

Teorema 2 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam A,B dois subconjuntos do espaço vetorial real nor-mado V , tais que A,B são disjuntos, convexos e não vazios. Assuma que A é aberto. Então, existeum hiperplano fechado que separa A e B, isto é, existe um funcional linear contínuo f tal que

f(x) ≤ α ≤ f(y), ∀x ∈ A,∀y ∈ B.

O teorema acima, por muitos autores, é considerado como a primeira forma do Teorema de Hahn-Banach, pois considerando dois subconjuntos em um espaço vetorial real normado, tal que um sub-conjunto é fechado e o outro compacto podemos podemos separa-los estritatemente por um hiperplanofechado, isto é, podemos enunciar o seguinte resultado:

Teorema 3 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam A,B dois subconjuntos convexos, disjuntos e nãovazios de um espaço vetorial real normado V . Assuma que A é fechado e que B é compacto. EntãoA e B podem ser separados estritamente por um hiperplano fechado, isto é, existe um funcionallinear contínuo f , α ∈ R e ε > 0 tal que

f(x) ≤ α− ε e f(y) ≥ α + ε.

para todo x ∈ A e para todo y ∈ B.

2

Que fica, neste caso, sendo conhecido como segunda forma do Teorema de Hahn-Banach.

Corolário 4. Seja W um subspaço de um espaço vetorial real normado V . Se o único funcionallinear contínuo que se anula em W é o funcional linear nulo então, W é denso em V .

Prova: Suponha que W 6= V , assim existe x0 ∈ V \W . Defina A = W e B = {x0}. É imediatover queA é fechado, queB é compacto e também tais conjuntos são não vazios, disjuntos e convexos.Assim existe um funcional linear contínuo f e α ∈ R tal que, para todo x ∈ W ,

f(x) < α < f(x0).

Uma vez que W é um subespaço vetorial, segue que para todo λ ∈ R, temos λf(x) < α para todox ∈ W . Como 0 ∈ W temos que α > 0. Por outro lado, tomando λ = n ∈ N, para qualquer x ∈ W ,

f(x) <α

n

isto nos mostra que f(x) ≤ 0 para todo x ∈ W . Uma vez que, se x ∈ W então −x ∈ W sendo assim−f(x) ≤ 0 para todo x ∈ W , então f(x) = 0 para todo x ∈ W e f(x0) > α > 0. Logo, existe umfuncional linear não nulo que se anula em W.

4 ConclusõesMostramos neste trabalho um importante e usual critério para provar se um dado subspaço vetorial édenso ou não em um espaço vetorial real normado, tal critério, consequência imediata da versão geo-metrica do Teorema de Hahn-Banach, mostra uma interessante aplicação deste importante resultadoda análise funcional.

Referências[1] LIMA, E. L.Álgebra Linear. Coleção matemática universitária. Rio de Janeiro: IMPA,2006.

[2] KESAVAN, S. Functional Analysis. Hindustan Book Agency,2009.

3

A inadequação da integral de Riemann-Stieltjes em escalas temporais com funções descontínuas

Tauane Ricci de Moraes UFMS-Campus de Três Lagoas(MS)-Departamento de Ciências Exatas

79600-000, Três Lagoas, MS E-mail: tb.ricci@hotmail.com

Luciano Barbanti, Berenice Camargo Damasceno, Neuterlândio Danilo Silva

UNESP-FEIS-Ilha Solteira - Departamento de Matemática 15385-000, Ilha Solteira SP

E-mails: barbanti@mat.feis.unesp.br , berenicei@mat.feis.unesp.br , neuter_d@hotmail.com

Introdução

De acordo com E. T. Bell (1883-1960), “uma das tarefas principais da Matemática é harmonizar o contínuo e o discreto incluindo-os numa matemática abrangente e eliminando a obscuridade de ambos”.

Introduzida pelo S.Hilger em 1988 em sua Tese de Ph.D. o calculo em escalas temporais foi estabelecido para unificar a análise contínua e discreta. Visa também eliminar a duplicação de análise de casos separadamente na medida em que trabalha-se com uma escala temporal geral �, que é um subconjunto não vazio fechado em .

Por outro lado, ao redefinirmos os conceitos fundamentais do cálculo temos que torná-los adequados suficientemente para todas as escalas (que podem ser por exemplo,

�1,2,3�, ℤ, �� ; � ∈ ℕ∗� , ℝ, o conjunto de

Cantor, etc.)

Muitos resultados sobre equações diferenciais são transferidos facilmente a resultados correspondentes para equações de diferenças, enquanto outros resultados parecem ser completamente diferentes da natureza de suas contrapartes contínuas. O estudo de equações dinâmicas em escalas temporais revela tais discrepâncias, e ajuda a evitar resultados que deveriam ser apresentados separadamente, duas vezes, uma para equações diferenciais e uma para a equação a diferenças.

O cálculo em escalas temporais tem um enorme potencial para aplicações em diversas áreas tais como a biologia, a teoria de controle, a economia e a medicina, onde os sistemas dinâmicos envolvidos contêm freqüentemente uma parte discreta e uma parte contínua.Por exemplo, um consumidor recebe o salário num dado momento do mês (tempo discreto), mas vai ponderando ao longo de todo o tempo quanto deve gastar e quanto deve poupar (tempo contínuo) [1]. A biologia é fecunda em exemplos desta espécie , pois é normal o crescimento de plantas e insetos depender fortemente de uma época do ano, devido a fatores como a temperatura, humidade e pluviosidade [2]. Por exemplo, é natural que se considere um modelo dinâmico em escalas temporais para estudar insetos Magicicada (um tipo de cigarra) , que exibem uma combinação de ciclos de vida longos e curtos. Na verdade, as cigarras passam vários anos de crescimento subterrâneo como jovens (de 4 a 17 anos, dependendo da espécie), saindo depois acima do solo apenas por um curto estágio adulto de várias semanas. Desta forma faz todo o sentido considerar-se uma escala de tempo diferente para os períodos «abaixo» e «acima do solo».

Na Medicina,Jones et al. [3] apresentam uma modelagem em escalas temporais para usar o desbridamento de uma ferida como um controle na cicatrização natural.

Em Matemática encontram-se também várias aplicações, nomeadamente na área das desigualdades [4], na teoria do controle [5],

cálculo das variações [1] e otimização multi-objetivo [6].

O calculo em escalas temporais A seguir usaremos a notação de [7],onde tambem pode-se ver o desenvolvimento histórico do começo da teoria. Seja � uma escala temporal, isto é � é

um subconjunto não vazio fechado de . Para atender toda a diversidade de escalas �, são necessários alguns operadores básicos na teoria:

• o operador de avanço �: � → � por ���� = ����� ∈ �: � > ��, onde ��sup �� = sup � caso sup � < ∞;

• o operador de recuo $: � → � por $��� = �%&�� ∈ �: � < ��, onde $�inf �� = inf � caso inf � > −∞;

• a função de rarefação de avanço +: � → [0, +∞[ por +��� = ���� − �;

• a função de rarefação de recuo /: � → [0, +∞[ por /��� = � − $���.

Os operadores de avanço e recuo permitem classificar os pontos de uma escala temporal. Um ponto � ∈ � diz-se:

� discreto à direita se ���� > �; � denso à direita se ���� = �; � denso à esquerda se $��� = �; � discreto à esquerda se $��� < �.

Um ponto denso à direita e denso à esquerda diz-se simplesmente denso; um ponto diz-se isolado caso seja discreto à esquerda e à direita simultaneamente. Diferenciabilidade Seja � uma escala temporal e considere-se em � a topologia induzida pela topologia usual dos números reais. De modo semelhante ao tempo discreto � = ℤ, onde é usual ter dois operadores de diferenças finitas,consideramos ∆���1� = ���12� − ���1� ∇���1� = ���1� − ���14�

Também na teoria das escalas temporais são comuns duas noções de diferenciação. Derivada Delta. Para introduzirmos a definição de derivada delta é necessário considerar um novo conjunto definido do seguinte modo:

�5: �\��%& �� �8 $�sup �� < sup � < +∞� :;�< :<��=á=�<. @ Definição:Seja �: � → ℝ uma função e seja � ∈ �5. A derivada delta de � em �, que se representa por �∆���, é o número real (caso exista) tal que para qualquer A > 0 existe uma vizinhança BCD de � em � com EF�G����H − ����I − �∆���[���� − �JE

≤ A|���� − �| Para todo � ∈ BCD. Diz-se que � é delta-diferenciável em � se existe derivada delta de � em � para todo o � ∈ �5. Teorema:Seja �: � → ℝ uma função e seja � ∈ �5

1. Se � é delta-diferenciável em �, então � é continua em �.

2. Se � é continua em �, com � um ponto discreto a direita, então � é delta-diferenciável em � e �∆��� =MGN�C�H4M�C�

O�C�

3. Se � é denso a direita, então � é diferenciável no sentido delta em � se

e só se o limite limR→C M�R�4M�C�R4C existe

(e é finito). Nesse caso �∆��� =limR→C M�R�4M�C�

R4C

4. Se � é delta-diferenciável em �, então

�G����H = ���� + +����∆���. Exemplo:Calculando a derivada delta de

���� = �� em � = ℤ e � = ST�, � ∈ ℕ�:

Para � = ℤ temos:

�∆��� = �G����H − ����+���= �� + 1�� − ��

� + 1 − �= 2� + 1

Para � = ST�, � ∈ ℕ� temos:

�∆��� = �G����H − ����+���= U 1254V� − U 125V�

1254 − 125=

325125

= 125 3 = 3�

Analogamente seja ���� = �W temos; Para � = ℤ �∆��� = X�W4 + Y

Para � = ST�, � ∈ ℕ�

�∆��� = �2W − 1��W4 Obs: Para � = ℝ a temos: �∆��� = �Z���

Derivada nabla Analogamente, introduziremos agora a noçao de derivada nabla recorrendo ao operador de recuo. Considere o seguinte conjunto:

�5: [�\���� �� �8 − ∞ < inf � < ��inf ��� :;�< :<��=á=�<. @

Definição:Seja �: � → ℝ uma função e seja � ∈ �5. A derivada nabla de � em �, que se representa por �∇���, é um número real (caso exista) tal que para qualquer A > 0 existe uma vizinhança BCD de � em� com EF�G$���H − ����I − �∇���[$��� − �JE

≤ A|$��� − �| Para todo � ∈ BCD. Diz-se que � é nabla-diferenciável em � se existe derivada delta de � em � para todo o � ∈ �5.É imediato o resultado ,v.[4]: Teorema:Seja �: � → ℝ uma função e seja � ∈ �5.

1. Se � é nabla-diferenciável em �, então � é continua em �.

2. Se � é continua em �, com � um ponto discreto a esquerda, então � é nabla-diferenciável em � e �∇��� =M�C�4MG\�C�H

]�C�

3. Se � é denso a esquerda, então � é diferenciável no sentido nabla em � se

e só se o limite limR→C M�R�4M�C�R4C existe

(e é finito). Nesse caso �∇��� =limR→C M�R�4M�C�

R4C

4. Se � é nabla-diferenciável em �, então

�G$���H = ���� − /����∇���. Exemplo:Calcular a derivada nabla de

���� = �� em � = ℤ e � = ST�, � ∈ ℕ�

Para � = ℤ temos:

�∇��� = ���� − �G$���H/��� = �� − �� − 1��

� − � + 1= 2� − 1

Para � = ST�, � ∈ ℕ� temos:

�∇��� = ���� − �G$���H/���= U 125V� − U 1252V�

125 − 1252

=32�52�1252

= 1252 3 = 3

2 �

Obs: Para � = ℝ temos: �∇��� = �Z��� A integral de Riemann em escalas temporais é classicamente tomada como a anti-derivada [7 ]. É mais recente (2009) o artigo de Mozyrska-Pawleszwicz-Torres,[8], considerando a integral de Riemann-Stieltjes em escalas temporais,e que apresentamos a seguir.

A integral de Riemann-Stieltjes em escalas temporais �

Seja � uma escala temporal e as funções a valores reais �, ^ tomando valores no intervalo _ = [;, `J� = [;, `J ∩ � ( em )

com estritamente crescente e � limitada.

Seja ℘[c,dJ�o conjunto de todas as divisões finitas de l [;, `J� ,isto é se e ∈ ℘[c,dJ� então

e = �; = �f < � < ⋯ < �W = `�.

As somas superior e inferior no sentido de Darboux-Stieltjes de e relativa a � e são:

(a superior ) B�e; �; ^� = ∑ �%&[CklS,CkJ�����Wmn ∆^m e

(a inferior) o�e; �; ^� = ∑ ���[CklS,CkJ�����Wmn ∆^m ,

onde ∆^m = ^G�mH − ^G�m4H para p =1,2, . . �, em [;, `J�.

As integrais superior e inferior de Darboux-Stieltjes □-integral são respectivamente os números :

�B� q ����□^���dc

= infs∈℘[t,uJ�U�P; f; g�

�o� q ����□^���dc

= sups∈℘[t,uJ�L�P; f; g�

em [;, `J�

(O símbolo é usado pelos autores

em [5]).

Se ambos os valores são iguais, dizemos que a -integral de Riemann-

Stieltjes z ����□^���dc é este valor .

Observando esta definição nota-se que há inadequacões graves quando funções descontínuas são consideradas,na integral. Isto é o que se mostra nos exemplos seguintes

Exemplo:.Seja

_ = [−1,1J� = �{ ; k ∈ ℕ∗� ∪ −

�{ ; k ∈ℕ∗� ∪ �0�, e definamos

g�t� = �1 + t, if t ∈ �{ ; k ∈ ℕ∗� ∪ �0�

t, caso contrário @ ,

f�t� = �1, if t ∈ �{ ; k ∈ ℕ∗� ∪ �0�

0, caso contrário @

Então vale : z ����□^���f4 e

z ����□^���f existem ,mas z ����□^���

4 não está definida.

Exemplo:.Seja

_ = [−1,1J� = �−1,0,1� e �, ^: _ → ℝ,com

^�1� = 1; ^�0� = 0; ^�−1� = −1; ��−1� =1; ��0� = 0; ��1� = 4.

Observe que a -integral de � em

relação a não existe. De fato: as -integrais

superior e inferior de Darboux-Stieltjes são respectivamente 5 e 0.

Estas dificuldades foram superadas se

consideramos as integrais de Cauchy-Stieltjes como apresentadas em [ 9] .Aplicação usando esta integral em escalas temporais na área da teoria de histerese está em andamento [ 10].

Referências [1] Atici, F.M.; Uysal, F. (2008) A production

inventory model of HMMS on time scales. Appl. Math. Lett. 21, no.3,236–243.

[2] Duke, E.R. (2006) Solving higher order dynamic equations on time scales as first order systems. MSc thesis,MarshallUniversity.

[3] Jones, M.A.;Song, B.; Thomas,D.M.(2004) Controlling wound healing through debridement. Math. Comput. Modelling 40, no. 9–10,1057–1064.

[4] Bohner, M.; Peterson, A. (2001) Dynamic equations on time scales: an introduction with applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA.

[5] Bartosiewicz, Z.; Pawluszewicz, E.(2008)Realizations of nonlinear control systems on time scales. IEEE Trans. Automat. Control 53, no.2,571–575.

[6] Malinowska, A.B.; Torres,D.F.M.(2009) Necessary and sufficient conditions for local Pareto optimality on time scales. J.Math.Sci. (N. Y.)161, no.6,803–810.

[7] Bohner, M.; Peterson, A. (2003) Advances in dynamic equations on time scales. Birkhäuser Boston,Inc.,Boston,MA.

[8] D. Mozyrska, E. Pawluszewicz, D. F. M. Torres, Riemann-Stieltjes integral in time scales , The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications 7(1), 1-14, (2010).

[9] L. Barbanti, B. C. Damasceno, Geraldo N. Silva, M. Federson (2011) ,Linear integral equations with discontinuous kernels and the representantion of operators on regulated functions on time scale ,Springer Series –Proceedings Diff.and Integral Meeting –July 2011 Azores.

[10] B.C.Damasceno, T.R.Moraes, L.Barbanti,(2012) The hysteresis plant operator on time scales ,(2012)-Submitted.

A Construção da Tabuada utilizando a Ideia de Área: uma tarefa desenvolvida por alunos das Séries Iniciais

Julio Cézar Rodrigues de OliveiraGraduando em Licenciatura em Matemática, FECEA

Faculdade Estadual de Ciências Econômicas de Apucarana - Departamento de Matemática 86709-226, Apucarana, PR

E-mail: julioeconomist@hotmail.com

Loreni Aparecida Ferreira BaldiniDoutoranda do curso de Ensino de Ciências e Educação Matemática - UEL

Faculdade Estadual de Ciências Econômicas de Apucarana - Departamento de Matemática868080-030, Apucarana, PRE-mail: loreni@ibest.com.br

RESUMO – Neste trabalho relatamos o desenvolvimento de uma tarefa realizada pelos alunos de uma 4ª série do Ensino Fundamental, na qual associamos à tabuada a ideia de área. A partir da realização dessa tarefa, observamos a importância do diálogo fundamentado em AlrØ e Skovsmose (2006), e reconhecemos suas potencialidades na sala de aula, em especial, no âmbito da Educação Matemática, de modo que privilegia a comunicação dos conteúdos matemáticos propostos pelo professor aos alunos, e que eles também consigam expressar e argumentar suas ideias.

Palavras-chave: Tabuada; Área; Diálogo; Educação Matemática.

Introdução

O presente trabalho apresenta o relato de experiência de uma tarefa desenvolvida com alunos de uma 4ª série por um estudante do Curso de Licenciatura em Matemática. Este trabalho faz parte de um projeto proposto pelo Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática – PECEM da Universidade Estadual de Londrina, e financiado pela CAPES1/INEP por meio do Programa Observatório da Educação.

O projeto tem por finalidade fortalecer o diálogo entre pesquisadores da área de Educação Matemática, estudantes de mestrado e doutorado do PECEM, bem como estudantes de Licenciatura em Matemática da UEL e de outras instituições e professores que ensinam Matemática de Escolas da Rede Pública de Ensino do Paraná.

Uma das escolas parceiras para a realização desse projeto localiza-se na cidade de Apucarana. Trata de uma Escola Municipal de Séries Iniciais do Ensino Fundamental.

1 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.

Para desenvolvimento do projeto uma doutoranda, dois mestrandos e seis estudantes do curso de Licenciatura em Matemática têm uma agenda de trabalho com as professoras e os alunos delas. A doutoranda, auxiliada por uma mestranda, atende as professoras da escola, enquanto os estudantes do curso de Matemática desenvolvem tarefas com os alunos da escola, atendendo desta forma, seis salas de aula, sendo duas dos 2° anos, duas de 3° anos, uma de 4° ano e uma de 4ª série.

Para esta comunicação, escolhemos uma tarefa realizada com a turma de 4ª série que foi desenvolvida por um estudante colaborador do Projeto, do curso de Matemática da FECEA, que denominamos professor, porque na ocasião era o responsável pela turma. A tarefa envolveu a tabuada e o conceito de área de uma figura plana retangular, utilizando o diálogo sob a perspectiva de AlrØ e Skovsmose (2006).

Diálogo

Criar um ambiente de aprendizagem

não consiste em uma tarefa simples, pois envolve muitas variáveis de grande relevância. Entre elas destacamos a comunicação necessária entre o professor, os alunos e os saberes. No entanto, a comunicação a qual nos referimos não trata apenas de transmissão de informação, mas na transformação desta informação em conhecimento, ou seja, na produção de significados (LINS, 1999).

Assim no âmbito da sala de aula, desenvolver um espaço de comunicação entre professores e alunos visando a construção de conhecimentos pode representar um desafio para ambos. Entendemos que o diálogo pode ser um grande aliado neste processo de comunicação que possibilita a produção de significados, e consequentemente, a construção do conhecimento.

Com base em AlrØ e Skovsmose (2006), entendemos que é necessário um olhar mais atento para o diálogo em sala de aula, especialmente nas aulas de Matemática.

Os autores alertam para o conceito de diálogo, que tem por objetivo construir novos significados a partir de um processo colaborativo de investigação, tornando-o uma maneira humilde e respeitosa de cooperação entre os envolvidos nessa relação de confiança mútua.

Ao analisar o diálogo sob a perspectiva de AlrØ e Skovsmose (2006), é necessário nos atentarmos para alguns aspectos como elementos ideais: realizar uma investigação, correr riscos e promover a igualdade.

O diálogo representa uma investigação onde cada participante abandona a comodidade da certeza e deixa-se levar pela curiosidade, sentindo-se incentivado a compartilhar seu desejo de investigar, de buscar descobrir a visão dos outros e em que elas diferem de seu ponto de vista.

Quando entramos no campo do diálogo passamos a correr riscos, porque imprevistos podem acontecer, o que pode ser visto como algo negativo, no caso de uma sugestão ser refutada, causando sentimentos desconfortáveis nos participantes do processo; ou positivo, quando, por exemplo, uma sugestão torna-se pertinente na visão geral do problema e eficaz na discussão envolvida.

Em um diálogo os participantes (professor e alunos) se colocam nas mesmas

posições, nas quais todos têm o direito de expor suas opiniões e incertezas, nenhum deles está acima de outro.

De acordo com AlrØ e Skovsmose (2006), um diálogo não é influenciado pelos papéis, portanto, no ambiente da sala de aula professor e alunos devem ser igualitários no campo das comunicações interpessoais.

Este trabalho apresenta alguns diálogos investigativos, que se constituíram em um instrumento favorável à compreensão de uma tarefa desenvolvida com alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, e evidenciam possibilidades de aprendizagem.

O Relato

A turma era composta por 36 alunos com idades que variavam entre 9 e 10 anos. Os encontros eram realizados semanalmente, às sextas-feiras, das 8h às 11h. As professoras das turmas participavam de um curso, enquanto os estudantes de Licenciatura em Matemática, que participavam do projeto, estavam responsáveis pelas atividades trabalhadas em sala de aula.

Para a coleta de dados, foi utilizado o diário de campo do estudante de graduação, no qual ele anotava as considerações importantes e registrava algumas conversas entre ele e os alunos que ocorreram durante a aula. O relato da tarefa e os diálogos entre o professor e os alunos serão apresentados em três partes, visando proporcionar ao leitor uma melhor compreensão do texto.

Parte I – O Retângulo e a ideia de Área

Para começar a aula, o professor (P) propôs aos alunos uma tarefa diferente e utilizou como recurso o quadro negro, no qual desenhou um retângulo com giz e o dividiu em 6 quadrados, na proporção 2x3, como podemos visualizar na Figura 1.

Figura 1: Retângulo Apresentado aos Alunos

Inicialmente, o professor perguntou aos alunos:

P: Quantos quadradinhos de lado 1 vocês veem nesta figura?

Eles não demonstraram dificuldades em identificar os seis quadrados presentes no retângulo, logo perceberam que quando o retângulo era decomposto, havia duas linhas e três colunas de quadrados. Assim, foi discutido com os alunos sobre a quantidade de quadrados presentes em cada linha e em cada coluna para a composição do retângulo maior (2x3). A seguir apresentamos um trecho do diálogo:

P: Na primeira linha, quantos quadrados vocês veem? E na segunda linha? E na primeira coluna?

Este trecho evidencia a preocupação do professor com a distinção entre linhas e colunas, que os alunos compreenderam rapidamente.

Na sequência, o professor distribuiu folhas de papel quadriculado para os alunos e questionou:

P: Vocês conseguiriam montar um retângulo como esse nesse papel quadriculado?

A12: É fácil, só temos que contornar os quadradinhos.

P: Vamos tentar reproduzir esse retângulo no papel quadriculado.

Apenas três não conseguiram reproduzir o retângulo facilmente, no entanto, os colegas de classe os auxiliavam quando estavam com dúvidas.

O primeiro objetivo dessa tarefa era familiarizar os alunos com as medidas do lado do retângulo e a ideia de área, especificamente, a área do retângulo, para posteriormente estabelecermos conexões com o conceito de tabuada. A ideia para sistematizar a área do retângulo está associada à observação da quantidade de quadrados em cada uma das linhas ou das colunas, que poderá auxiliar na construção da fórmula para calcular sua área:

2 Para preservar a identidade dos alunos, criamos um código para identificá-los, por exemplo A1 representa o primeiro aluno de uma lista de controle, A2 o segundo aluno, e assim sucessivamente.

3 + 3 = 6 ou 2 + 2 + 2 = 6Que equivale a: 3 . 2 = 6 ou 2 . 3 = 6

Figura 2: Área do Retângulo

Observando o retângulo apresentado na Figura 2, com medidas m e n, e associando à ideia de contar os quadrados, notamos que este retângulo pode ser constituído por n linhas e m colunas. Assim podemos deduzir a fórmula de sua Área (A) da seguinte maneira:

A = (m + m + m + ... + m)

n vezesisto é:

A = m . n

A tabuada muitas vezes é desenvolvida como uma tabela pronta e que deve ser decorada pelos alunos, no entanto, existem muitas estratégias que podem possibilitar a construção de significados desta tabela que envolve as operações aditivas e multiplicativas, entre elas podemos relacionar o conceito de área.

De acordo com Dante (2005, p. 254):

Calcular a área de uma figura plana é medir a região ou a porção do plano ocupada por essa figura. Isso é feito comparando-se a figura plana com uma unidade de área. O resultado é um número que exprime quantas vezes a figura plana contém a unidade de área.

Assim, nesta etapa da tarefa, para expressar a área, os alunos contaram os quadrados 1x1 que compunham o retângulo 2x3, mas ainda sem associar essa ideia à tabuada.

Parte II – Associando a Tabuada à ideia da Área

Na sequência o professor propôs um desafio aos alunos:

P: Vamos montar outros retângulos agora?

A2: Mas de que tamanho?P: Vamos começar com retângulos

pequenos, por um retângulo 2x1. Vou deixar com vocês. E assim que terminarem me apresentem quantos quadrados têm nesse retângulo.

Os alunos fizeram suas representações do retângulo, que podem ser visualizadas na Figura 3.

Figura 3: Diferentes Representações dos Alunos para o Retângulo 2x1

Quando os alunos compararam suas representações com os colegas, surgiu uma discussão:

A3: Professor, o meu retângulo está diferente do retângulo dele, o meu está deitado.

P: Vamos pensar, será que está mesmo diferente ou se virarmos a folha ele será o mesmo?

A3: É o mesmo, só está virado.P: Isso mesmo. Vamos fazer um

acordo então, usamos o primeiro número para a quantidade de quadrados que representa o número de linhas e o segundo número para a quantidade de quadrados que representa o número de colunas. Por exemplo, esse retângulo tem medidas 2x1, então contamos duas linhas e uma coluna, o que vocês acham, ficaria mais fácil?

Os alunos concordaram e na continuação o professor solicitou novas representações:

P: Agora vamos seguir montando retângulos, com todas as medidas com 2 linhas, 2x2, 2x3, 2x4, e assim até chegar no 2x10.

O diálogo estabelecido entre o professor e os alunos e no decorrer da tarefa constituiu uma ferramenta que possibilitou um ambiente de aprendizagem, no qual os alunos sentiram-se a vontade para levantar questões e perguntar tanto para o professor quanto para seus colegas sobre suas dúvidas tanto quanto fazer suas sugestões.

Ao finalizar essa parte da tarefa, os alunos contaram os números de quadrados em cada um dos retângulos formados.

O professor então propôs a mesma tarefa com 3 quadrados em cada linha, nas medidas 3x1, 3x2, 3x3 e assim sucessivamente, até 3x10.

Ao realizar essa parte da tarefa, os alunos começaram a perceber algumas regularidades nos retângulos:

A1: Eu já vi esses números antes.P: Que números?A1: Os números de quadradinhos que

têm dentro dos retângulos.P: Onde você viu?A1: É a tabuada do três.P: Será?A1: É, três vezes um é três, o primeiro

retângulo 3x1, tem três quadrados, três vezes dois é seis e o segundo retângulo tem 6 quadrados...

P: E no caso dos retângulos de duas linhas, o que vocês acham?

A4: É a mesma coisa da tabuada do dois.

P: E se eu quiser saber quantos quadrados teremos em um retângulo 8x7, como posso fazer?

A2: É só desenhar.P: Certo, então vamos tentar....A1: São 56 quadrados dentro desse

retângulo.P: E como fez para saber?A1: Contei os quadrados.A3: Mas nem precisa desenhar, é só

saber quanto é oito vezes sete.P: E se você esquecer a tabuada,

como você pode fazer para encontrar o resultado?

A3: Aí sim você desenha.P: Certo, então descobrimos que um

retângulo 8x7 tem cinquenta e seis quadrados, e se quiséssemos saber quantos quadrados teríamos em um retângulo 7x8?

A2: Podemos desenhar ou fazer sete vezes oito.

A5: São 56 quadrados também.E: Por quê?A5: Eu viro a folha com o desenho

que fiz para um retângulo 8x7 e tenho um retângulo 7x8, e os dois tem cinquenta e seis quadrados.

Nesse trecho do diálogo, os alunos conseguiram associar as áreas dos retângulos

formados com a tabuada, que aprenderam em outro momento com sua professora. Além disso, um dos alunos notou a existência da propriedade comutativa na multiplicação, em que, dados dois números a e b, tem-se que:

a . b = b . a

Parte III – Aplicações da Tabuada em uma Tarefa envolvendo Área

O diálogo entre professor e alunos a respeito da tabuada e a configuração dos retângulos serviu como base para a sequência da tarefa, na qual os alunos receberam uma folha com vários retângulos desenhados, cujas medidas das áreas eram apresentadas no seu interior, e também a medida de um dos lados do retângulo. O objetivo era encontrar a medida do outro lado, como mostra a Figura 4:

Figura 4: Exemplo de Questão

Eles foram a orientados a fazer essa atividade em dupla, para que, em um processo colaborativo, os alunos ajudassem uns aos outros.

Essa tarefa não levou muito tempo, os alunos finalizaram em poucos minutos. O professor desenhou os retângulos da folha de papel no quadro e pediu para que os alunos, uma dupla por vez fosse ao quadro e explicassem como chegaram ao resultado.

P: Como vocês fizeram essa questão?A4: Resolvemos pela tabuada, porque

seis vezes oito é quarenta e oito (Figura 4).P: Certo, mas como sabiam que só

precisavam usar a tabuada?A4: Na outra tarefa, para saber

quantos quadrados havia em cada retângulo, nós só precisávamos saber a tabuada e essa é a mesma coisa, só que não sabemos o lado do retângulo...

A5: Era só saber seis vezes quanto dá quarenta e oito.

...A6: Eu fiz diferente, contei as colunas

com seis quadradinhos, e quando deram oito

colunas, eu já tinha quarenta e oito quadradinhos. Então o lado tinha oito quadradinhos.

A7: Eu também fiz diferente, eu dividi 48 por 6, e sabia que dava oito, por causa da tabuada.

Nessa parte da tarefa foram utilizadas três estratégias diferentes, os alunos que conheciam melhor a tabuada conseguiram finalizar mais rápido, poupando tempo, pois não precisaram desenhar o retângulo. No entanto, houve alunos que não conheciam bem a tabuada e utilizaram o desenho para construí-la. E houve ainda, alunos que utilizaram a operação inversa da multiplicação, a divisão, pois perceberam que ao descobrir o valor do lado desconhecido, estariam dividindo a área pelo valor de um dos lados.

Considerações Finais

É oportuno dizer que por meio do diálogo entre os alunos durante a realização da tarefa e no momento em que estavam apresentando seus resultados e comparando com os colegas, eles tiveram a oportunidade de construir um significado para aquela tarefa. Ao perceber que para descobrir o valor de um dos lados do retângulo, por exemplo, eles perceberam que bastava conhecer a tabuada ou algum recurso que permitisse sua construção, no entanto, alguns estudantes mostraram que saber a tabuada era o caminho mais curto.

Essas estratégias de resolução mostram que os alunos sentiram-se confortáveis para realizar a tarefa a sua maneira, com isso foi possível associar o ensino de tabuada com a área de retângulos, no qual os alunos compreenderam a ideia de área e reelaboraram a tabuada, conhecendo uma nova forma de construí-la, bem como de utilizá-la.

Por fim, o diálogo estabelecido entre professor-aluno e aluno-aluno foi fundamental para o desenvolvimento da tarefa, pois à medida que os alunos apresentavam sua resolução para o grande grupo eles ganhavam auto-confiança e sentiram-se mais seguros, em consonância com o exposto por AlrØ e Skovsmose (2006), pois observaram que não havia somente um caminho que os levava às resoluções, mas que poderiam utilizar diferentes ferramentas para alcançá-las.

Referências

[1] AURØ, Helle; SKOVSMOSE, Ole. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática. 1ª ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2006.

[2] DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática: Ensino Fundamental. 5ª Série. São Paulo: Ática, 2005.

[3] LINS, R.C. Por que discutir teoria do conhecimento é relevante para a Educação matemática. In: BICUDO, M. A. V. (org.) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999.

Contribuição das Representações Semióticas para a Educação Matemática

Gefferson Luiz dos Santos , Rosana Figueiredo Salvi

Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina, Paraná

E-mail: gefferson_luiz@uol.com.br, salvi@uel.br

Introdução

O estudo das linguagens e dos

signos é muito antigo e a preocupação

com os problemas da linguagem já

iniciaram no mundo grego. O

aparecimento da semiótica desde o

final do século XIX coincidiu com a

expansão das tecnologias de

linguagem e ambas foram essenciais

na evolução do pensamento

matemático. Este artigo destaca os

estudos relevantes de Raymond Duval

na Educação Matemática e as

contribuições da semiótica na

Educação Matemática.

Semiótica e Educação Matemática

Nos últimos dez anos, os

educadores matemáticos têm

desenvolvido pesquisas com

perspectivas teóricas baseadas na

Semiótica. Trabalhos desenvolvidos em

outras ciências tais como a Psicologia,

Antropologia, Lingüística e Sociologia

buscando uma melhor análise e

compreensão dos processos que

abarcam o ensino e aprendizagem da

Matemática. Dentre os autores

podemos mencionar Steinbring (2006),

o qual afirma que os signos

matemáticos possuem as funções

semióticas e epistemológicas. Na visão

deste autor, a função semiótica

corresponde ao signo matemático que,

sob certos aspectos, significa algo para

alguma coisa, cuja evidência consiste

em privilegiar o caráter

representacional do signo. A função

epistemológica corresponde ao papel

do signo na perspectiva da construção

do saber e do pensamento matemático.

Baseado nas referidas funções,

Steinbring (2006) propõe uma relação

ilustrada por um triângulo

epistemológico cujos “vértices” se

encontram conectados.

Este triângulo nos auxilia a

compreender que as ações entre os

vértices do triângulo devem ser mútuas

e devem ser produzidas ativamente na

interação professor/estudantes ou

estudantes/estudantes. Steinbring

(2006) faz uma ressalva ao afirmar que

o conhecimento matemático não deve

ser traduzido e interpretado apenas por

uma mera leitura de signos, símbolos

ou princípios. Essa leitura requer

experiência e conhecimento tácito, ou

seja, não podemos entender esses

signos sem algumas conjecturas de tal

conhecimento, bem como atitudes e

maneiras de utilizá-lo.

Na concepção de Otte (2006), a

generalização também desempenha

um papel essencial na determinação do

signo, sob a perspectiva da construção

do saber e do pensamento matemático.

Miskulin et al, (1996) afirmam que a

representação possui uma função instrumental e um caráter de semioticidade. Ambas são complementares e indissociáveis. A semioticidade é abordada por diferentes modos de representação: gestos, imagem, linguagem, entre outros. A instrumentalidade de representação garante ao sujeito a possibilidade de refletir sobre os objetivos e meios com os quais atua. (MISKULIN ET AL, 1996, p.12)

A representação é o conteúdo

concreto apreendido pelos sentidos,

pela imaginação, pela memória ou pelo

pensamento. Quando um sistema de

representação está sendo estabelecido

pelo sujeito, observam-se avanços e

retrocessos temporários, pois quando

um dado conhecimento é expresso por

diferentes sistemas de representação,

torna-se mais compreensível pelo

sujeito. E ao concebê-lo sob diferentes

perspectivas, maior será a sua

capacidade de sintetização

(MISKULIN ET AL, 1996).

Na própria história da

Matemática, as representações

semióticas desempenham um papel

importante na produção do

conhecimento matemático quando se

analisa a sua origem, nos primeiros

esforços do homem primitivo para

sistematizar os conceitos de grandeza,

forma e número; ou no Oriente Antigo

como uma ciência prática ligada à

agricultura, engenharia e comércio; ou

ainda nos rituais religiosos e até

mesmo na arte (EVES, 2007). Paralelo

ao desenvolvimento da Matemática nas

diferentes civilizações houve o desenvolvimento

de formas simbólicas para registrar as

descobertas matemáticas. Houve um tempo no

qual a Matemática era escrita por meio de uma

mistura de geometria e retórica1, o que dificultou

de certo modo, o desenvolvimento de muitas de

suas noções. Isso pode ser observado, por

exemplo, em Boyer (1974, p. 70), quando afirma

que “foram as deficiências das notações

algébricas que mais fortemente influenciaram

para evitar que os gregos construíssem uma

verdadeira geometria de coordenadas.

Mas a essência real desse campo da matemática (referindo-se ao nascimento da geometria analítica) reside na transferência de uma investigação geométrica para uma investigação algébrica correspondente. Antes de a geometria analítica poder desempenhar

1 Estágio em que a Álgebra apresentava-se a resolução dos problemas em prosa, sem abreviações ou símbolos específicos.

plenamente esse papel, teve de esperar o desenvolvimento do simbolismo e dos processos algébricos. (EVES, 2007, p.383)

Podemos inferir então que, em

contrapartida, uma das principais causas para o

fortalecimento, a constituição e desenvolvimento

da Matemática foi a organização de uma

linguagem particular para representá-la, uma

linguagem semiotizada. Ao se

estabelecer essa linguagem simbólica para

representar cálculos, iniciada com Viète no fim

do século XVI, torna-se aceitável o

desenvolvimento de cálculos complexos por

meio da linguagem algébrica, a formalização

das operações aritméticas e, por fim, a

abstração em matemática (EVES, 2007). Isso

também se deve ao fato de que a partir da

segunda metade do século XVII, no mundo

ocidental moderno, a representação, segundo

Foucault (1992), passa a ocupar um lugar

central na estrutura geral dos saberes. Os

modos pelos quais as idéias matemáticas são

representadas por uma determinada cultura,

num determinado momento histórico, são

essenciais para se entender como essas

culturas compreendem e utilizam essas idéias.

A teoria dos registros de

representação semiótica apresentada

por Raymond Duval contribui com a semiótica e

para a realização de pesquisas no

campo da Didática da Matemática,

principalmente no que diz respeito a

organização de situações de

aprendizagem. “O acesso aos objetos

matemáticos2 passa necessariamente por

representações semióticas” (DUVAL APUD

MACHADO, 2003, p.21). a partir de três

registros de representação: a

representação subjetiva e mental3, na

qual se estudam crenças, explicações

e conhecimentos da infância, por meio

do método da conversão4; a

representação interna ou

computacional, não consciente do

sujeito nas quais nem todos os passos

necessários para a execução de

determinadas atividades são pensados

anteriormente (como os algoritmos das

operações) e as representações

semióticas externas e conscientes do

sujeito. A apreensão ou a produção de

uma representação semiótica,

“semiósis” e, “noésis”, a apreensão

conceitual de um objeto, são formadas

por atividades cognitivas distintas,

sendo possível tanto examiná-las como

relacioná-las entre si.

2 O objeto matemático é caracterizado pela aparição de "conteúdos formais", ausentes da lógica (GRANGER, 1990). Duval (1995, p.1-2) considera como objeto matemático: os números, as funções, as retas, etc., e suas representações como as escritas decimais, fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados de figuras...

3 As representações mentais [...] são sempre representações semióticas interiorizadas. (DUVAL APUD MACHADO, 2003, p.31)

4 Converter uma representação é “mudar a forma pela qual um conhecimento é representado”. (DAMM, 1999, p.140)

Duval (2004) ainda aponta as

três atividades cognitivas inerentes a

toda representação: constituir uma

marca ou um conjunto delas que se

identifiquem como uma representação

de alguma coisa; transformar

representações utilizando as regras

próprias do sistema, com o intuito de

obter outras representações que

possam ter vantagens, em comparação

com as representações iniciais, quanto

ao ganho de conhecimento e converter

as representações entre os diversos

sistemas de representação, de forma

que as outras representações permitam

apontar outras significações relativas

àquilo que é representado. Em meio

aos inúmeros sistemas de

representação semiótica como a

linguagem natural e as linguagens

simbólicas, as representações gráficas

e figuras geométricas, cumprem a

função de representação, pois, além de

comunicarem, os registros destes

sistemas permitem as operações

cognitivas de tratamento e conversão.

O autor constata a formação e o

tratamento, atividades estas ligadas a

semiósis, sem considerar a conversão

de um sistema de representação a

outro ou a utilização simultânea de

vários registros de representação,

como algo apreendido pela maior parte

dos alunos. Geralmente, o que se tem

observado é que os sujeitos

habitualmente não reconhecem o

mesmo objeto por meio de diferentes

sistemas semióticos de representação:

escrita numérica de uma relação e sua

respectiva representação geométrica

sobre uma reta, um plano ou a escrita

algébrica de uma relação e sua

representação gráfica, etc.

A conversão compreende a

transformação de certa representação

em outra, num outro sistema semiótico,

de modo a preservar a totalidade ou

parte da representação inicial, sendo

necessária a organização pelo sujeito

que a efetua. É uma atividade de

transformação representacional

fundamental que conduz aos

mecanismos subjacentes da

compreensão.

“A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação” (DUVAL APUD MACHADO, 2003, p.14)

Segundo o autor, a atividade de

conversão não deve ser considerada

como uma mera codificação, pois esta

exige uma percepção global e

qualitativa que não é permitida pela

atividade de codificação. É esta

habilidade que torna possível relacionar

os coeficientes positivos ou negativos

de uma função apresentada em

linguagem algébrica com os pontos de

interseção com os eixos ou com a

inclinação de uma reta representada no

plano cartesiano. Quando esta

mobilização for estabelecida, as

variáveis cognitivas específicas do

funcionamento de cada um dos

registros estão sendo articuladas. Isso

significa que ambos os registros de

representação são compreendidos no

que diz respeito às unidades de

significado.

Os símbolos são necessários para identificar objetos matemáticos, tornar claro suas propriedades e suas relações com outros objetos. A língua natural e os símbolos matemáticos, como tabelas, diagramas, gráficos, escrita algébrica e outros, são partes importantes no processo de conceitualização e também no controle e regulamentação de esquemas e algoritmos, na resolução de novos problemas e no raciocínio sobre eles, isto é, na combinação e transformação de relações, planejamento, escolha de dados e operações. (VERGNAUD APUD BASSOI, 2006, p.25)

Na matemática, a todo o

momento, a substituição se faz

presente na representação de uma

forma por outra: passa-se da

linguagem natural para a linguagem

algébrica e desta, para a representação

gráfica ou geométrica; transforma-se

uma relação expressa algebricamente

para uma expressão aritmética ou

geométrica.

A teoria dos registros de

representação estabelece que, para um

indivíduo ampliar o funcionamento do

seu pensamento na aquisição de um

conhecimento matemático faz-se

necessário tanto diferenciar uma noção

científica dos registros semióticos que

a representam, quanto reconhecer a

funcionalidade desses registros. Para

Duval (1993) as representações

semióticas apresentam três funções

principais:

- no desenvolvimento das representações mentais: estas aí dependem de uma interiorização de representações semióticas, do mesmo modo que as representações mentais são uma interiorização daquilo que é percebido (VYGOTSKY, 1962; PIAGET, 1968),- na realização de diferentes funções cognitivas: a função de objetivação expressão privada) que é independente daquela de comunicação (expressão para outrem), e a função de (algumas atividades de tratamento são diretamente ligadas a utilização de sistemas semióticos, por exemplo o cálculo), - na produção de conhecimentos: as representações semióticas permitem representações radicalmente diferentes de um mesmo objeto, na medida em que elas podem revelar sistemas semióticos diferentes (Benveniste, 1979; Bresson, 1978). Assim, o desenvolvimento das ciências está ligado a um desenvolvimento de sistemas semióticos cada vez mais específicos e independentes da língua natural (GRANGER, 1979).

É próprio da atividade

matemática a mobilização simultânea

ou alternadamente vários registros de

representação semiótica. Como os

objetos matemáticos não têm

existência física e não estão

diretamente acessíveis na percepção,

há a necessidade de uma diversidade

para as representações semióticas

destes. Para Duval (2003) existem

dois tipos de registros: os

multifuncionais cujos tratamentos não

são algoritmizáveis, caracterizados

como um aspecto discursivo, a língua

natural, ou não discursiva, as figuras

geométricas e os monofuncionais,

cujos tratamentos são algoritmizáveis,

de natureza discursiva como no caso

dos sistemas de escrita (numéricas,

algébricas ou simbólicas) ou não

discursiva, como no caso dos gráficos

cartesianos.

A semiótica funciona, desta

forma, como um mapa lógico que

delineia as linhas dos diferentes

aspectos por meio dos quais uma

análise deve ser conduzida, trazendo,

porém, alguns recortes no

conhecimento específico da história,

teoria e prática de um determinado

processo de signos. Estudá-la torna-se

algo interessante e desafiador

principalmente no que se refere à

Educação Matemática, pois

consideramos que a matemática

guarda uma forte dependência das

formas de representações e da

manipulação dos seus objetos.

Considerações Finais

Em termos particulares da

conceitualização em Matemática, a

linguagem desempenha um papel

importante enquanto recurso à função

semiótica. Nesse contexto, a grande

diversidade de usos da linguagem e

das representações em Matemática

tem instigado professores e

pesquisadores a debruçar-se sobre as

potencialidades dessas representações

para a constituição de conhecimento.

A Matemática demanda a

utilização de outros sistemas de

expressão e representação além da

linguagem natural e das imagens,

como por exemplo, diversos sistemas

de escritas para os números, notações

simbólicas para os objetos, escritas

algébricas e lógicas que assumem o

estatuto de língua paralela à língua

natural para exprimir as relações e

operações, figuras geométricas,

representações em perspectiva,

gráficos cartesianos, redes, diagramas,

esquemas, etc.”(DUVAL APUD

VIZOLLI, 2004).

Tratar os objetos matemáticos

escolares por meio de seus múltiplos registros

de representação, realizar conversões entre os

registros considerando diferentes tipos de

tarefas são ações que podem contribuir

expressivamente para a melhoria do processo

de ensino-aprendizagem da matemática, pois

está trata-se de aspectos cognitivos

relacionados às especificidades da matemática.

Referências

BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

BRANDT, Célia Finck. Contribuições dos registros de representação semiótica na conceituação do sistema de numeração decimal. 2005. Tese (Doutorado em Educação Científica). Universidade Federal de

Santa Catarina, Florianópolis, Santa Catarina.

DAMM, Regina F. Registros de Representação. In: MACHADO, Silvia Dias A. Educação Matemática: uma introdução. São Paulo: EDUC, 2002, 155-196.

DUVAL, Raymond. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives 5. IREM de Strasbourg, p.37-65. 1993

_____________. Sémiosis et pensée humaine. Registres semiótiques et apprentissages intellectuels. Exploration Recherches en Sciences de L’Éducation. Bern, Berlin, Frankfurt/ M., New York, Paris, Wien: Peter Lang S. A. Editions scientifiques européennes, 1995

EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 2 ed. Campinas: Unicamp, 2007.

GRANGER, G. G. Langage et epistémologie. Paris: Klinksieck, 1979

FOUCAULT, M. As palavras e as coisas: uma arqueologia das ciências humanas. 6. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1992.

LÉVY, P. As tecnologias da inteligência. Rio de Janeiro: Editora 34, 1993.MACHADO, S.D.A. (org.) Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. 7 ed. Campinas, SP: Editora Papirus, 2010.

MISKULIN, R.G.S; MARTINS, M.C; MANTOAN, M.T.E. Análise Microgenética dos Processos Cognitivos em Contextos Múltiplos de Resolução de Problemas. Campinas: NIED NIED/UNICAMP,

memo nº 31, 43 p., 1996 Disponível em http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/memos/Memo31.PDF acesso 02 de janeiro de 2012.

OTTE, Michael. Mathematical Epistemology from a Peircean’s Semiotic Point of View. In: Educational Studies in Mathematics, Netherlands, v. 61, n. 1-2, 2006, p. 1-38

STEINBRING, Heinz. What Makes a Sign a Mathematical Sign? An Epistemological Perspective on Mathematical Interaction. In: Educational Studies in Mathematics, Netherlands, v. 61, n. 1-2, p. 133-162, 2006.

VERGNAUD, G. What is a mathematical behavior? In: Theoretical Frameworks and empirical facts in the Psychology Mathematics Education. Plenary Conference. ICME VI. Budapest. July 27 – August 3. 1988.

VIZOLLI, I. Análise dos procedimentos utilizados por alunos da Educação de Jovens e Adultos na resolução de situações-problema de proporção-porcentagem. Contrapontos v.4 – n. 3- p. 461-473- Itajaí, set/dez. 2004

A Transformada de Fourier no Espaço de Schwartz

Bruno Alexandre Rodrigues (e-mail: bruno_rodriguess@hotmail.com)Luci Harue Fatori (e-mail: lucifatori@uel.br)

Universidade Estadual de Londrina,Rodovia Celso Garcia Cid, Pr 445 Km 380, CEP 86051-980,

Londrina, Paraná, Brasil.

Resumo

Neste trabalhoa faremos um breve estudo do espaço de Schwartz, com o objetivo de avaliar neste o comportamentoda Transformada de Fourier. Em outros termos, buscamos expor resultados que garantam um bom comportamento àTransformada em tal espaço, por exemplo, a bijetividade e a possibilidade de invertê-la de modo prático.

Palavras-chave: Fourier, Schwartz, transformada.

1 IntroduçãoSupondo conhecida a noção de integral em um intervalo compacto de R, pode-se ampliar este conceito para toda a reta demaneira natural através das chamadas integrais impróprias, que são definidas como∫ ∞

−∞f(x)dx = lim

a,b→∞

∫ a

−bf(x)dx (1)

Entretanto, aqui aparece um problema: o limite pode não existir (por exemplo, f(x) ≡ 1). Busca-se então umamaneira de contornar tal situação.

É razoável pensar que o limite (1) existe se a função f(x) se aproxima suficientemente de zero à medida que |x| → ∞.Sendo assim, diz-se que uma função f é de decrescimento moderado se f é contínua e existe M > 0 tal que para todox ∈ R

|f(x)| ≤ M

x2 + 1(2)

Note que de (2) segue imediatamente que f é limitada por M e decresce no infinito mais rapidamente queM

x2, pois

M

x2 + 1≤ M

x2. Denota-se o conjunto de todas as funções de decrescimento moderado porM(R). Um bom exemplo deste

tipo de função é a exponencial f(x) = e−|x|, pois1

e|x|≤ 1

x2 + 1.

Quando se passa a considerar apenas funções pertencentes aM(R) o impasse exposto acima desaparece, pois paraqualquer que seja f ∈M(R) a integral ∫ ∞

−∞f(x)dx

está bem definida. De fato, para provar que lima,b→∞

∫ a

−bf(x)dx existe, é suficiente construir uma sequência de integrais

em intervalos fechados com extremos naturais e mostrar que tal sequência é de Cauchy.Esta exposição é útil para ilustrar a maneira como a Transformada de Fourier se comporta com respeito ao espaço de

Schwartz, como veremos a seguir.

1

2 Transformada de Fourier e funções de decrescimento rápido

2.1 A Transformada de FourierSeja f uma função real integrável a Riemann em cada intervalo [a, b] ⊂ R. Nestas condições, se∫ ∞

−∞|f(x)|dx =

∫R|f(x)|dx <∞

diz-se que f é uma função absolutamente integrável, de modo que a integral∫ ∞−∞

f(x)e−2πixξdx

existe. Define-se então tal integral como sendo a Transformada de Fourier de f , denotando-a por f(ξ).

2.2 O espaço de SchwartzAssim como M(R) foi definido com base nas funções de decrescimento moderado, o espaço de Schwartz, S(R), éformado por todas as funções de decrescimento rápido, as quais definimos como sendo funções de classe C∞ que, junta-mente com todas as suas derivadas, vão para zero mais rápido do que as potências de |x|k vão para infinito, i.e. decrescem

para zero mais rapidamente que qualquer potência de1

|x|. Equivalentemente, dizemos que f é de descrescimento rápido

sesupx∈R|xnf (k)(x)| <∞, ∀k, n ∈ N

ou ainda, selim|x|→∞

|x|nf (k)(x) = 0, ∀k, n ∈ N

Em linguagem matemática, podemos expressar o espaço de Schwartz como

S(R) =

{f ∈ C∞; sup

x∈R|xnf (k)(x)| <∞, ∀k, n ∈ N

}Observação: Pode-se provar que conjunto S(R) é um C-espaço vetorial.

Como exemplo de funções deste espaço temos as chamadas funções de suporte compacto e a função Gaussiana e−x2

.Abaixo enunciamos algumas propriedades que relacionam o espaço de Schwartz e a Transformada de Fourier:

Proposição 1. Se f ∈ S(R), então f (k), xnf ∈ S(R), para quaisquer k, n ∈ N.

Com a proposição acima fica fácil ver que os operadores de multiplicação por polinômios e os operadores polinomiaisdiferenciais são transformações lineares em S(R).

Proposição 2. Se f ∈ S(R), então

(i) f (k)(ξ) = (2πiξ)kf(ξ), ξ ∈ R;

(ii) f (k) = (−2πi)k (xkf)(ξ).

Proposição 3. Se f ∈ S(R), então f ∈ S(R).

Proposição 4 (Linearidade da Transformada). Se f ∈ S(R), então

(αf + g) = αf + g.

Veja que as duas últimas proposições nos dizem que a Transformada de Fourier é um operador linear de S(R) emS(R).

Para descrever completamente o comportamento da Transformada de Fourier no espaço de Schwartz ainda restamalgumas questões:

(i) A Transformada é injetora? Ou seja, se f, g ∈ S(R) e f = g, então f = g?

(ii) A Transformada é sobrejetora? Ou seja, dada F (ξ) ∈ S(R), existe f ∈ S(R) tal que f = F ?

2

Respostas satisfatórias para (i) e (ii) são obtidas como consequência imediata do

Teorema 5 (Fórmula de inversão de Fourier). Se f ∈ S(R), então vale a fórmula de inversão

f(x) =

∫ ∞−∞

e2πixξ f(ξ)dξ

para qualquer que seja x ∈ R.

Dada f ∈ S(R), podemos definir a transformada inversa por

f(x) =

∫ ∞−∞

e2πiξxf(ξ)dξ.

Temos assim a seguinte relação:¯f = f = ˆf

A partir disto, é possível provar a injetividade e a sobrejetividade da transformada, o que pode ser resumido no seguinte

Teorema 6. A Transformada de Fourier f : S(R)→ S(R) é um operador linear bijetor e f−1 = f .

3 ConclusõesOlhando com atenção para a proposição 2, podemos perceber que, a menos de fatores constantes 2πi, a Transformada

de Fourier permuta o operador de derivaçãodk

dxkcom o operador de multiplicação por ξk. E é justamente este fato

que designa à Transformada um papel de suma importância na teoria das equações diferenciais, pois com ela podemosconverter equações diferenciais lineares com coeficientes constantes em equações algébricas.

Além disso, também ficou evidente a importância de esclarecer o comportamento da Transformada no espaço deSchwartz, determinar, por exemplo, uma maneira de invertê-la e a imagem de S(R).

Em estudos mais extensos, pode-se utilizar a Transformada de Fourier para tratar de problemas de condução de calore de vibração em cordas infinitas, entre outros, de modo que fica clara não somente a importância desta teoria paradesenvolvermos mais teoria matemática, mas também sua grande importância em problemas aplicados.

AgradecimentosAgradeço à minha orientadora, Luci Harue Fatori, pela atenção cedida nos últimos meses e ao MEC/SESu pelo apoiofinanceiro.

Referências[1] Djairo Guedes de Figueiredo; Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. 4aed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.

[2] Elias M. Stein and Rami Shakarchi; Fourier Analysis: an introduction. Princeton: Princeton University Press, 2003.

[3] Marcelo Moreira Cavalcanti, Valéria Neves Domingos Cavalcanti; Introdução à teoria das distribuições e aos espaçosde Sobolev. Maringá: EDUEM, 2009.

[4] Rafael Iório Júnior, Valéria de Magalhães Iório; Equações diferenciais parciais: uma introdução. 2aed. Rio deJaneiro: 2010.

[5] Srinivasan Kesavan; Topics in Functional Analysis and Applications. New Jersey: John Wiley and Sons Inc., 1989.

3

Os Teoremas de Gauss e Stokes aplicados no estudo das Equações de Maxwell

(Comunicação Oral)

Rian Lopes de Lima Depto de Matemática, UFSM 97105-900, Santa Maria, RS

E-mail: rianlopesl@yahoo.com.br

Prof. Dr. Marcio Violante Ferreira

Universidade Federal de Santa Maria - Departamento de Matemática 97105-900, Santa Maria, RS

E-mail: v.f.marcio@gmail.com

Resumo

As equações de Maxwell são um grupo de equações a derivadas parciais ou a forma integral que, juntamente com a lei da força de Lorentz, são alicerce para o eletromagnetismo clássico.

A formulação das equações de Maxwell, e um melhor entendimento do eletromagnetismo, contribuíram muito para a grande revolução tecnológica que se iniciou no final do século XIX e que assim ganhou força e segue até nossos dias. As equações de Maxwell podem ser classificadas em dois grupos. O grupo "microscópico" das equações de Maxwell se vale dos conceitos de carga total e corrente total, onde estão inclusas as cargas e correntes a níveis atômicos, onde geralmente se encontra dificuldade na manipulação dos cálculos. O segundo grupo das equações de Maxwell, o "macroscópico", define dois novos campos que auxiliam no sentido que podem evitar a necessidade do conhecimento de tais cargas e correntes em dimensões atômicas.

As equações de Maxwell são assim chamadas em homenagem ao físico e matemático escocês James Clerk Maxwell, já que podem ser encontradas em um artigo dividido em quatro partes, intitulado On Physical Lines of Force (Acerca das linhas físicas de força), que Maxwell publicou entre 1861 e 1862.

Tem-se por objetivo desta comunicação oral a explanação e discussão dos seguintes resultados:

Estabelecer as equações de Maxwell na forma integral para o eletromagnetismo;

Reescrever as equações de Maxwell de forma que estas sejam equações na forma diferencial:

Onde J é o vetor densidade de corrente elétrica e é a densidade de carga.

Usar resultados acerca dos operadores rotacional e divergente a fim de que seja possível a obtenção das equações da onda do campo magnético e elétrico, as quais são:

Onde c é a velocidade da luz no vácuo, x é uma variável de posição e t é uma variável temporal.

METODOLOGIA

Para a obtenção exitosa dos objetivos já relacionados, são necessários alguns resultados, os quais serão alicerce para o trabalho aqui proposto. São eles:

Lei de Gauss

A Lei de Gauss relaciona o fluxo total Ф de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total que é envolvida por essa superfície. Em notação matemática,

Onde é a constante de permissividade no vácuo e é o campo elétrico.

Lei de Gauss para o magnetismo

A estrutura magnética mais simples que pode existir é o dipolo magnético. Monopolos magnéticos (até onde se sabe) não existem.

Onde é o fluxo magnético através de uma superfície gaussiana fechada.

Lei de Faraday-Lenz

A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético produzido pela corrente se opõe ao campo magnético que induz a corrente.

Onde é a força eletromotriz induzida e é o fluxo magnético através da área A.

Lei de Ampère com a correção de Maxwell

A Lei de Ampère diz que:

Onde é a corrente envolvida pela curva. Assim, as equações que especificam o campo magnético produzido por outros meios que não tem um material magnético fornecem o campo exatamente da mesma forma.

A Lei de Indução de Maxwell é:

Onde é o fluxo elétrico na região envolvida pela curva e é a constante de permeabilidade do vácuo.

E assim, a Lei de Ampère com a correção de Maxwell fica:

Operador Divergência em

O Operador divergência é um operador que mede a magnitude de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

Seja um campo vetorial, então, o operador divergência em coordenadas cartesianas será:

Operador Rotacional em

O Operador rotacional é um operador que calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. O rotacional de um campo vetorial é, também, um campo vetorial, ou seja, a cada ponto do espaço aonde definimos o rotacional ele será dado por um vetor.

Seja um campo vetorial, então, o operador rotacional em coordenadas cartesianas será:

Uma propriedade interessante

É importante lembrar que:

Onde é o operador laplaciano e é o operador gradiente.

Teorema de Gauss

Seja um sólido tal que é uma superfície fechada e limitada,

orientada positivamente. Se um campo de vetores de classe definido no conjunto aberto tal que , então:

Teorema de Stokes

Seja uma superfície regular orientada de classe tal que é uma curva

fechada simples de classe por partes orientada positivamente. Se um campo de vetores de classe , definido num aberto tal que , então:

Equação diferencial Parcial da Onda

Seja onde x é uma variável de posição, t uma variável temporal, a uma constante, então, a equação da onda é

Usando estes tópicos, far-se-á um entrelaçamento entre o campo elétrico e campo magnético a fim de escrever as Equações de Maxwell na forma diferencial, observando que tais campos

tem comportamento norteado pela equação da onda. Outro item interessante é a conclusão de que os planos onde o campo elétrico e magnético se propaga são ortogonais.

RESULTADOS

Releitura das equações de Maxwell na forma diferencial;

Estabelecimento de uma relação entre o rotacional de um campo (elétrico ou magnético) e as equações de Maxwell;

Estabelecimento de uma relação entre o divergente de um campo (elétrico ou magnético) e as equações de Maxwell;

Estabelecimento da equação diferencial parcial de segunda ordem (equação da onda) do campo elétrico;

Estabelecimento da equação diferencial parcial de segunda ordem (equação da onda) do campo elétrico;

CONCLUSÃO

Quando se trabalha com física-matemática, é interessante pontuar que o enfoque matemático com que determinada teoria é abordada é fundamental para a obtenção de resultados extraordinários. No caso das equações de Maxwell, ao transpor tais equações, que inicialmente estão na forma de equações integrais, para a forma diferencial, pode-se observar o comportamento da propagação do campo elétrico e do campo magnético.

Com este aporte, pode-se ver que a forma diferencial das equações de Maxwell permite a obtenção de duas equações da onda, uma para campo elétrico, outra para campo magnético, perfilando assim características da onda eletromagnética. Também, podemos observar a relação com que o campo magnético varia em relação à variação do campo elétrico, e vice-versa.

Por fim, salienta-se a importância deste tipo de abordagem no sentido de propiciar ao acadêmico uma formação que o permita tentar ver conceitos físicos através de formas diferenciadas de investigação matemática.

REFERÊNCIAS

HALLIDAY, D.; RESNICK, R;, WALKER, J. Fundamentos da física. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v. 3. TIPLER, P. A. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. v. 3. ROGAWSKI, J. Cálculo, volume 2, Bookman, 2009. BUTKOV, E. Física matemática. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1988.

Problema Dissipativo de Viga Extensível com Amortecimento NãoLinear na Fronteira

Camila Leão Cardozo (e-mail: leaocarter@hotmail.com)Luci Harue Fatori (e-mail: lucifatori@uel.br)

Rodovia Celso Garcia Cid (PR 445) Km 308, Campus Universitário, Londrina, Paraná, Brasil

Resumo

Estamos interessados na existência, unicidade e na taxa de decaimento de solução para um problema de viga extensívelcom amortecimento não linear na fronteira acoplados a uma dissipação térmica. A existência da solução é mostradausando o Método de Galerkin e o decaimento exponencial da solução é obtida via técnicas multiplicativas e multiplica-dores convenientes.

Palavras-chave: Vigas extensíveis, amortecimento não linear, decaimento exponencial.

1 IntroduçãoNeste trabalho estudaremos a existência de solução e taxa de decaimento associada a um problema de viga extensível comamortecimento não linear na fronteira dado por

utt + uxxxx −M

(∫ L

0

|ux(t)|2dx

)uxx + αθxx = 0, em [0, L]× R+, (1)

θt − θxx − αuxxt = 0, (2)u(0, t) = ux(0, t) = ux(L, t) = 0, (3)θ(0, t) = θx(L, t) = 0, (4)uxxx(L, t) = f(u(L, t)) + g(ut(L, t)), (5)u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), θ(x, 0) = θ0(x), (6)

onde α é uma constante positiva. Nos baseamos no problema

utt + uxxxx −M

(∫ L

0

|ux|2dx

)uxx = 0

u(0, t) = ux(0, t) = uxx(L, t) = 0

uxxx(L, t)−M

(∫ L

0

|ux(x, t)|2dx

)ux(L, t) = f(u(L, t)) + g(ut(L, t))

(7)

proposta por Ma em [1], onde g representa um amortecimento e f uma força externa em x = L. O problema (7) descreveo movimento transversal de uma viga extensível que está presa em x = 0 e apoiada em x = L por uma mola com reaçãonão linear caracterizada pela função f . Foram obtidos resultados de existência global e decaimento exponencial supondof e g monótonas não lineares. Pazoto e Perla Menzala (em [3]) estudaram o problema (7) assumindo uma dissipaçãotérmica onde foi considerado com um termo de inercia rotacional uxxtt na equação e f = 0. Eles obtiveram taxa dedecaimento exponencial assumindo um outro termo de dissipação dado por uxx(L, t) = −uxt(L, t). O modelo queestudaremos está relacionado a (7) com uma dissipação do tipo térmica, análogo ao estudado por Pazoto e Perla em [3].A diferença fundamental com [3] foi que neste caso retiramos o termo uxxtt e consideramos outras condições de fronteira.

1

2 Hipóteses e Resultados PrincipaisNossas análises são baseadas sobre os espaços de Sobolev

V ={u ∈ H2(0, L) : u(0) = ux(0) = ux(L) = 0

},

W = V ∩H4(0, L),

U ={θ ∈ H2(0, L) : θ(0) = θx(L) = 0

},

onde as normas em V , W e U são, respectivamente,

‖u‖V = ‖uxx‖2, ‖u‖W = ‖uxx‖2 + ‖uxxxx‖2 e ‖θ‖U = ‖θxx‖2,

onde ‖.‖p denota a norma de Lp. Assumimos que f, g : R→ R são continuamente diferenciáveis tais que

f(s)s ≥ 0 e f(s)s− 2f(s) ≥ 0,∀s ∈ R (8)

onde f(s) =∫ s0f(z)dz,

g(0) = 0, (g(r)− g(s))(r − s) ≥ ρ|r − s|2, ∀r, s ∈ Re |g(r)| ≤ Cg|r|, ∀r ∈ R

(9)

para algum ρ > 0 e alguma constante Cg > 0.

Definição 1. Consideremos as funções u, θ : [0, L]× [0, T ]→ R. Dizemos que o par (u, θ) é solução fraca do problemade valor inicial e de fronteira (1)− (6) quando satisfaz a formulação fraca∫ L

0

uttϕdx+

∫ L

0

uxxϕxxdx+M(‖ux(t)‖22

) ∫ L

0

uxϕxdx+

−α∫ L

0

θxϕxdx+ f(u(L, t))ϕ(L) + g(ut(L, t))ϕ(L) = 0,∫ L

0

θtwdx+

∫ L

0

θxwxdx+ α

∫ L

0

uxtwxdx = 0

para todas ϕ ∈W, w ∈ U no sentido de D′(0, T ), e satisfaz as condições iniciais

u(x, 0) = u0(x),d

dtu(x, 0) = u1(x), θ(x, 0) = θ0(x).

Teorema 2. Seja M ∈ C1([0,∞]), uma função não negativa e assuma que (8) e (9) valem. Então para cada u0, u1 ∈ Ue θ0 ∈W satisfazendo a condição de compatibilidade

u0xxx(L) = f(u0(L)) + g(u1(L))

existe um único par de funções (u, θ) tal que

u ∈ L2 (0,∞;W ) ∩ C0 (0,∞;V ) ∩W 2,∞ (0,∞;L2(0, L)),

θ ∈W 1,∞ (0,∞;L2(0, L))∩ L∞ (0,∞;U) .

Consideraremos uma hipótese adicional para M

M(s)s ≥ M(s), ∀s ∈ R. (10)

Defina a energia do sistema (1)− (5) por

E(t) =1

2

[‖ut(t)‖22 + ‖uxx(t)‖22 + ‖θ(t)‖22 + M

(‖ux(t)‖22

)+ 2f(u(L, t))

].

Teorema 3. Seja (u, θ) a solução do problema (1)− (5). Então existe uma constante positiva γ tal que

E(t) ≤ 3E(0)e−γt ∀t ≥ 0.

2

3 ConclusõesNeste trabalho foi estudado o problema da viga extensível com amortecimento não linear na fronteira com dissipaçãotérmica. A existência e unicidade de solução para o problema foi obtida via Método de Faedo-Galerkin.

A principal contribuição foi exibir a taxa de decaimento exponencial, o que conseguimos por meio dos funcionais deLiapunov. Deste modo, concluímos que as dissipação térmica foi suficientes pra obter o decaimento.

AgradecimentosEste trabalho contou com a ajuda da Profa. Dra. Luci Harue Fatori.

Referências[1] T. F. Ma; Boundary stabilization for a non-linear beam on elastic bearings. Mathematical Methods in the Applied

Sciences; 24:583-594, 2001.

of Differential Equations; 128:103-124, 1996.

[2] Pazoto A. F., Menzala G. P.; Uniform stabilization of a nonlinear beam model with thermal effects and nonlinearboundary dissipation. Funkcialaj Ekvacioj; 43:339-360, 2000.

3