análise combinatória 2014-04-02

AULA

3Arranjos, Permutaes eCombinaes...

META

Denir e diferenciar a noo de arranjo,permutao e combinao.

OBJETIVOS

Ao nal da aula o aluno dever ser capaz de:

Distinguir arranjo, permutao e combi-nao (com ou sem repetio);

Resolver problemas de combinatria queenvolvem estas noes;

Desenvolver estratgias para resolver pro-blemas de permutaes circulares.

PR-REQUISITOS

Funo fatorial (aula 1);

Princpio do produto (aula 2).

Arranjos, Permutaes e Combinaes

AULA

33.1 Introduo

Prezado aluno, nesta aula focaremos trs tipos de agrupamentos

que provocam muita confuso entre os alunos: arranjos, permu-

taes e combinaes. Qual a diferena entre cada um deles? Esta

ser uma das principais dvidas a serem sanadas nesta aula. Ve-

remos que se voc possuir n objetos e p lugares disponveis para

guardar exatamente 1 desses objetos em cada lugar, isso ser um

arranjo de n objetos tomados p a p. Em particular, se o nmero de

objetos for igual ao nmero de lugares disponveis, teremos uma

permutao de n objetos. Notaremos que nos arranjos, e portanto

nas permutaes, a ordem importante. Contudo, se voc pos-

suir n objetos e p lugares disponveis, mas a ordem cujos objetos

so escolhidos no for importante, isso ser uma combinao de

n objetos tomados p a p. Trataremos ainda dos casos cuja es-

colha repitida de objetos permitida e tambm das permutaes

circulares.

3.2 Arranjos Simples

Suponha que tenhamos n objetos com os quais queremos preencher

p lugares. O primeiro lugar pode ser preenchido de n maneiras

diferentes. Tendo preenchido o primeiro lugar, restam (n 1) ob-jetos para preencher (p 1) lugares e, portanto, o segundo lugarpode ser preenchido de (n1) maneiras diferentes. E assim sucessi-vamente, vamos preenchendo as posies de forma que na p-sima

posio teremos (n (p 1)) maneiras diferentes de preench-la.Pelo princpio do produto, podemos dizer que as p posies po-

dem ser preenchidas de n(n 1)(n 2) . . . (n (p 1)) maneiras

50

Matemtica Discreta

AULA

3diferentes.

Denotando por Apn o nmero de arranjos simples de n elemen-

tos tomados p a p, ou seja, todas as escolhas ordenadas de p desses

n elementos, temos Apn = n(n 1)(n 2) . . . (n (p 1)). Semultiplicarmos e dividirmos Apn por (n p)!, segue que Apn =[n(n1)(n2)...(n(p1))](np)!

(np)! , ou de maneira mais simples:

Apn =n!

(n p)!Exemplo 3.1 (Arranjo de 5, 2 a 2). Considerando os dgitos

1,2,3,4,5, quantos nmeros de 2 algarismos distintos podem ser

formados?

Soluo: Desejamos o arranjo de 5 elementos tomados 2 a 2, isto

,

A25 =5!

(5 2)! = 5.4 = 20

Exemplo 3.2 (Nmeros entre 100 e 1000). Considere os alga-

rismos 1,2,3,4,5. Quantos nmeros distintos, superiores a 100 e

inferiores a 1000, podemos formar se:

(a) o nmero par?

(b) o nmero mpar?

(c) o nmero par ou mpar?

Soluo: Nmeros entre 100 e 1000 possuem trs dgitos, e por-

tanto, temos 3 posies a serem preenchidas. Para que o nmero

seja par, a ltima posio deve ser um algarismo par, caso con-

trrio o nmero ser mpar. Essa ser a primeira diculdade que

devemos resolver.

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AULA

3(a) Se o nmero par, a ltima posio L3 pode ser preenchida

com 2 ou 4. H, portanto, 2 maneiras de preencher a posio

L3. Tomemos, por exemplo, o algarismo 2. Ento para

preenchermos as posies L1 e L2 temos os algarismos 1,3,4,5,

isto , um arranjo de 4 tomados 2 a 2. Logo, existem 2A24

maneiras diferentes de preencher as 3 posies, isto , 2.4!2! =

2.4.3 = 24 nmeros pares maiores do que 100 e menores do

que 1000 formados com os algarismos 1,2,3,4 e 5.

(b) J se o nmero mpar, a posio P3 pode ser preenchida

com 1,3 ou 5. Ento, existem 3 maneiras de preencher L3.

Digamos que tomamos o algarismo 1. Ento restam os alga-

rismos 2,3,4,5 para preenhcer as posies L1 e L2, novamente

um arranjo A24 = 12. Assim, existem 3A24 maneiras diferen-

tes de preencher as 3 posies, isto , 36 nmeros mpares

maiores do que 100 e menores do que 1000, formados com os

algarismos 1,2,3,4 e 5.

(c) Podemos somar a resposta do item (a) e (b) para obtermos 60

ou ento pensarmos que a quantidade de nmeros superiores

a 100 e inferiores a 1000 que podem ser formados com os

algarismos 1,2,3,4 e 5 simplesmente o arranjo de 5 tomados

3 a 3, isto , A35 =5!

(53)! = 5.4.3 = 60.

3.3 Arranjos com Repetio

Caso sejam permitidas repeties de elementos, podemos na posio

L1 escolher n elementos, na posio L2 tambm n elementos, e as-

sim sucessivamente at a posio Lp. Logo, o nmero de arranjos

com repetio de n elementos tomados p a p, denotado por ARpn,

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Matemtica Discreta

AULA

3 igual a

ARpn = np

Exemplo 3.3 (Placas de carro). Qual o total de placas de carro

que podem ser construdas constando de 7 smbolos, sendo os 3

primeiros constitudos por letras e os 4 ltimos por dgitos?

Soluo: Considerando-se o alfabeto com 26 letras, podemos es-

colher os 3 primeiros smbolos de AR326 maneiras diferentes e os 4

ltimos de AR410. Logo, pelo princpio do produto, temos um total

de AR326AR410 = 263.104, isto , podem ser construdas 175760000

placas.

Exemplo 3.4 (Nmero de subconjuntos). Quantos subconjuntos

possui um conjunto A com n elementos?

Soluo: Observe que cada elemento de A pode ou no estar pre-

sente num determinado subconjunto, como A possui n elementos,

ento A possui ARn2 = 2n subconjuntos.

Exemplo 3.5 (Duas caixas e n objetos). De quantas maneiras

podemos distribuir n objetos diferentes em duas caixas diferentes,

de modo que nenhuma caixa que vazia?

Soluo: Para cada objeto podemos escolher entre duas caixas.

Assim, n objetos podem ser distribudos de ARn2 maneiras difer-

entes, incluindo a possibilidade de uma delas car vazia. Como so

2 caixas, devemos excluir 2 dos casos anteriores. Ento, existem

ARn22 = 2(2n11) maneiras de distribuir n objetos em 2 caixasdiferentes, de modo que nenhuma delas que vazia.

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AULA

33.4 Permutaes Simples

Uma permutao simples de n objetos qualquer agrupamento

ordenado desses objetos. Assim, uma permutao de n objetos

um arranjo de n objetos tomados n a n. Denotando o nmero de

permutaes de n objetos por Pn, segue que Pn = Ann =n!

(nn)! =

n!.

Exemplo 3.6 (Carros e vagas de estacionamento). Quantas so

as maneiras de 6 carros serem estacionados em 6 vagas?

Soluo: Claramente o arranjo de 6 carros tomados 6 a 6, ou

seja, uma permutao de 6 carros. Assim, o nmero de maneiras

P6 = 6! = 720.

Exemplo 3.7 (Pares de dana). De quantas maneiras 12 moas e

12 rapazes podem formar pares para uma dana?

Soluo: A primeira moa tem 12 possibilidades para escolher um

par. A segunda, 11, e assim sucessivamente de modo que a 12a ter

apenas 1 escolha. Assim, pelo princpio multiplicativo, existem

P12 = 12! = 479001600 maneiras desses pares serem formados.

3.5 Combinaes Simples

Se temos n elementos e desejamos escolher p deles, mas a ordem

com o que fazemos tais escolhas no for importante, dizemos que

queremos a combinao simples de n elementos tomados p a p.

Usamos a notao Cpn para designar a combinao de n tomados

p a p. Vimos anteriormente que o nmero de arranjos simples

de n elementos tomados p a p igual ao nmero de maneiras de

preencher p lugares com n elementos distintos e obtivemos Apn =

54

Matemtica Discreta

AULA

3n!

(np)! .

Embora a ordem seja importante num arranjo simples, ela

deixa de ser numa combinao simples. Ento para cada combi-

nao particular de n elementos p a p (que no importa a ordem),

podemos fazer a permutao de seus p elementos, de forma que

obtemos todos os arranjos de n elementos tomados p a p (onde

importa a ordem). Dessa forma, ca claro que Apn = PpCpn, isto ,

Cpn = Apn

1Pp

=n!

(n p)!1p!

=n!

p!(n p)!

Exemplo 3.8 (Subconjuntos). Quantos subconjuntos de 3 ele-

mentos possui um conjunto A de 5 elementos?

Soluo: Como a ordem dos elementos no conjunto no importa,

basta tomarmos a combinao C35 =5!

3!2! = 10. Portanto, um con-

junto A de 5 elementos, possui 10 subconjuntos de 3 elementos.

Exemplo 3.9 (Quantos tringulos?). Quantos tringulos difer-

entes podem ser traados utilizando-se 14 pontos de um plano,

no havendo 3 pontos alinhados?

Soluo: Como no h 3 pontos alinhados, basta escolhermos 3

pontos dentre os 14 para traarmos um tringulo, no importando

a ordem. Ento, podemos traar C314 =14!

3!11! =14.13.12

3.2 = 364

tringulos diferentes.

3.6 Combinaes Complementares

Observe que

Cpn =n!

p!(n p)! =n!

(n p)!(n (n p))! = Cnpn

Chamamos Cnpn de combinao complementar de Cpn.

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AULA

3Exemplo 3.10 (Sinas (-) e (/)). De quantas maneiras podemos

arrumar em la 5 sinais (-) e 7 sinais (/)?

Soluo: Conside o problema equivalente de se ter 12 lugares

para serem preenchidos por 5 sinais (-) e 7 sinais (/). Observe que

tanto faz escolhermos 5 dos 12 lugares para colocar os sinais (-)

como escolhermos 7 dos 12 lugares para colocar os sinais de (/),

uma vez que C512 = C712 =12!7!5! = 792.

Exemplo 3.11 (Sinais (+) e (-)). Dado A = {1, 2, 3, 4, 5}, dequantos modos possvel formar subconjuntos de 2 elementos nos

quais no haja nmeros consecutivos?

Soluo: Utilizemos o sinal (+) para marcar os elementos que

faro parte do subconjunto e o sinal (-) para marcar os que no

faro parte. Ento podemos representar subconjuntos de 2 elemen-

tos por uma sequncia de 5 sinais sendo que exatamente 2 so (+).

Por exemplo, representamos o subconjunto {1, 5} por (++),e {2, 3} por ( + + ). Observe que no desejamos contarconjuntos como o ltimo exemplo, pois ele possui dois nmeros

consecutivos (dois sinais + consecutivos). Ento, para formar um

subconjunto com 2 elementos no consecutivos, devemos tomar 3

sinais (-) e 2 sinais (+) de forma que no haja dois sinais (+) con-

secutivos. Podemos ento colocar os 3 sinais (-) e deixar espao

entre eles ( ). Assim, h 4 espaos vazios e, paracolocarmos os 2 sinais (+) basta escolher 2 dentre os 4. Isto , h

C24 =4!

2!2! = 6 maneiras diferentes de fazermos tal escolha. Por-

tanto, existem 6 subconjuntos de A com dois elementos sem que

estes sejam consecutivos.

Exemplo 3.12 (Sinais (+) e (-): parte 2). Dado A = {1, 2, . . . , n},de quantos modos possvel formar subconjuntos de p elementos

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Matemtica Discreta

AULA

3nos quais no haja nmeros consecutivos?

Soluo: Para formarmos subconjuntos de p elementos no con-

secutivos, devemos tomar p sinais (+) e (np) sinais (-). Colocando-se os (n p) sinais (-), haver (n p + 1) espaos onde se podercolocar os p sinais (+). Devemos ento fazer uma escolha de p

espaos dentre os (np+1) espaos disponveis. Tal escolha podeser feita de Cpnp+1 maneiras.

3.7 Combinaes com repetio

Suponha que devemos escolher p objetos entre n objetos distintos

sendo que cada objeto pode ser escolhido at p vezes. Se denotar-

mos por xi o nmero de vezes que escolhemos o objeto i, o nmero

total de maneiras de fazermos tal seleo igual ao nmero de

solues inteiras no-negativas da equao

x1 + x2 + + xn = p (3.5)

Se escrevermos uma sequncia de p 1s e n 1 sinais (|) podere-mos associar cada soluo inteira no-negativa da equao acima

a exatamente uma dessas sequncias. Por exemplo, se p = 7 e

n = 3, teramos a equao x1 + x2 + x3 = 7 onde solues como

(3, 1, 3) e (5, 0, 2) podem ser escritas como 111|1|111 e 11111||11,respectivamente.

Sendo assim, o nmero total de solues inteiras no-negativas

da equao (3.5) igual ao nmero total de sequncias de p 1s e

n1 sinais | a elas associadas. Tal nmero a combinao Cpp+n1.Denotando por CRpn o nmero total de maneiras de selecion-

armos p objetos dentre n objetos distintos onde cada objeto pode

ser tomado at p vezes, temos CRpn = Cpp+n1.

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AULA

3Exemplo 3.13 (Refrigerantes num bar). De quantos modos pode-

mos comprar 4 refrigerantes num bar que vende 2 tipos de reprig-

erantes?

Soluo: Temos que escolher p = 4 refrigerantes entre n = 2

opes, isto , podemos fazer tal compra de CR42 = C45 = 5

maneiras diferentes.

Exemplo 3.14 (Bombons nas caixas). De quantos modos difer-

entes podemos distribuir 10 bombons idnticos em 4 caixas dife-

rentes?

Soluo: simplesmente o nmero de solues inteiras no-

negativas da equao

x1 + x2 + x3 + x4 = 10,

onde xi denota o nmero de bombons na caixa i, para i = 1, 2, 3, 4.

Logo, igual a CR104 = C1013 = 286.

3.8 Permutao com repetio

J consideramos permutao simples de n elementos distintos. Ire-

mos considerar agora o caso em que dentre os n elementos existem

ni iguais a ai com i = 1, . . . , r. Inicialmente, temos N0 = n lugares

dos quais devemos escolher n1 para neles colocarmos os elementos

a1. Aps a primeira escolha, restam ainda N1 = n n1 lugarese devemos escolher n2 deles para alocarmos os elementos a2. E

assim sucessivamente teremos Ni1 = n i1

j=1 nj , lugares dos

quais devemos escolher ni deles para alocarmos os elementos ai,

para cada i = 1, . . . , r. Como em cada i = 1, . . . , r dispomos de

Ni1 lugares para escolhermso ni elementos, temos como fazer isso

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Matemtica Discreta

AULA

3de CniNi1 maneiras diferentes. Pelo princpio do produto, temos

que o nmero total de permutaes de n elementos onde existem

ni elementos iguais a ai, i = 1, . . . , r, e dado por

PR(n;n1, . . . , nr) =r

i=1

CniNi1 =n!

n1! . . . nr!,

Exemplo 3.15 (Time de futebol). Se um time de futebol jogou

13 partidas em um campeonato, tendo perdido 5 jogos, empatado

2 e vencido 6 jogos, de quantos modos isto pode ter ocorrido?

Soluo: apenas a permutao de 13 elementos com repeties

(5 derrotas, 2 empates e 6 vitrias). Assim, isso pode ocorrer de

PR(13; 5, 2, 6) = 13!5!2!6! = 36036 modos diferentes.

3.9 Permutaes circulares

Considere o conjunto A = {a1, . . . , an}. Desejamos permutar essesn elementos em torno de um crculo. As permutaes circulares

(a1, a2, . . . , an), (a2, a3, . . . , an, a1), (an, a1, a2, . . . , an1)

so todas iguais por que uma pode ser obtida da outra a partir

de uma rotao. Ento, para cada permutao circular de n ele-

mentos, existem n permutaes simples desses n elementos. Se

denotarmos por PCn o nmero de permutaes circulares com n

elementos, segue que Pn = n.PCn, e portanto

PCn =n!n

= (n 1)!

Exemplo 3.16 (Brincadeira de roda). De quantas maneiras 8 cri-

anas podem dar as mos para brincar de roda?

Soluo: o nmero de permutaes circulares de 8 elementos,

isto , PC8 = 7! = 5040 maneiras.

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AULA

3Exemplo 3.17 (Brincadeira de roda: parte 2). Se Pedro e Ana

so 2 das 8 crianas do problema anterior, de quantas maneiras

elas podem brincar cando Ana e Pedro sempre lado a lado?

Soluo: Se considerarmos Pedro e Ana como uma nica criana,

teremos a permutao circular de 7 elementos. Como eles podem

car um ao lado do outro de duas maneiras diferentes, segue que

as 8 crianas podem brincar de 2PC7 = 2.6! = 1440 maneiras

diferentes de maneira que Ana e Pedro quem sempre lado a lado.

3.10 Concluso

Nesta aula, aplicamos o princpio do produto estudado na aula

2 para denirmos arranjo, permutao e combinao. Vimos que

a diferena entre arranjo simples e combinao simples est no

fato de ser ou no importante a ordem dos objetos escolhidos no

agrupamento. Tratamos ainda como obter frmulas fechadas e

simples para problemas de arranjo, permutao e combinao com

repetio. Para completar a aula, denimos permutao circular,

que um pouco diferente da permutao simples (em la), mas que

possui relao ntima com esta, como pode ser visto pela prpria

frmula obtida.

60

Matemtica Discreta

AULA

3...

...

RESUMO

...

Num arranjo simples de n objetos tomados p a p, a ordem de

escolha dos objetos importante e o nmero total de arranjos sim-

ples desse tipo igual a Apn = n!(np)! .

Uma permutao simples de n objetos, nada mais do que um

arranjo simples de n objetos tomados n a n, logo o nmero total

de permutaes simples de n objetos Pn = n!.

J numa combinao simples de n objetos tomados p a p, a

ordem no importante, e o nmero total de combinaes de tal

combinao dada por Cpn = n!p!(np)! .

Fica evidente, portanto,que o nmero de combinaes comple-

mentares de uma combinao simples de n objetos tomados p a

p, isto , uma combinao simples de n objetos tomados n p an p, igual a Cpn.

O nmero de arranjos com repetio de n objetos tomados p a

p simplesmente ARpn = np. Enquanto que o nmero de combi-

naes com repetio de n objetos tomados p a p CRpn = Cpn+p1e o nmero de permutaes de n elementos onde existem ni elemen-

tos iguais a ai, com i = 1, . . . , r dado por PR(n;n1, . . . , nr) =n!

n1!...nr!.

61


AULA

3J o nmero de permutaes circulares de n objetos dado por

PCn = (n 1)!.

...

...

PRXIMA AULA

...

Na prxima aula trataremos de expanses binomiais e multino-

miais. Veremos como fazer expanso binomial utilizando recorrn-

cia sobre os coecientes de um polinmio. Se ainda tiver dvida

sobre relaes de recorrncia, faa uma nova leitura desse tema

na aula 1. Iremos tambm demonstrar a expanso de Newton

utilizando o princpio da induo, portanto, se no se sentir se-

guro volte a seo que trata desse tpico, tambm na aula 1. J se

combinaes simples, complementares e permutao com repetio

ainda no foram bem assimiladas e distinguidas, refaa a leitura

desses tpicos nesta aula e tente resolver as atividades referentes a

seguir.

...

...

ATIVIDADES

...

ATIVIDADE 3.1. Considere num plano 10 pontos. Pede-se para

calcular o nmero de tringulos tendo os vrtices nos seguintes ca-

sos: a) no existem mais que dois pontos em linha reta; b) existem

6 pontos em linha reta; c) existem 4 numa reta e 3 numa outra.

62

Matemtica Discreta

AULA

3ATIVIDADE 3.2. Considere no espao 12 pontos. Quantos

tetraedros existem tendo-os por vrtices nos seguintes casos?

1. no existem mais que 3 pontos num plano;

2. existem 5 pontos num plano e 7 num outro plano.

Obs.: Os pontos dos planos no esto mais que dois em reta.

ATIVIDADE 3.3. Duas urnas possuem respectivamente 6 e 7

bolas coloridas em cores diferentes, mas existem 3 cores que so

comuns s duas urnas. De quantas maneiras diferentes podemos

selecionar 2 bolas, retirando-as de uma mesma urna simultanea-

mente?

ATIVIDADE 3.4. Dispe-se de um quadriculado 33, de quan-tas maneiras podemos colocar quatro chas, sendo duas de um tipo

indistinguveis entre si, e duas de outro tipo indistinguveis entre

si, colocando no mximo uma cha em cada quadrcula?

ATIVIDADE 3.5. Quantas diagonais possui um polgono (con-

vexo) de n vrtices? E um prisma?

ATIVIDADE 3.6. Seja A o conjunto dos pontos de a retas duas

a duas paralelas contidas num plano , e seja B o conjunto dos

pontos de b retas, duas a suas paralelas contidas em , concor-

rentes com as a retas. Quantos paralelogramos existem de vrtices

pertencentes ao conjunto A B e de lados contidos no conjuntoAB? Em particular, calcule o nmero de paralelogramos quandoa = 6 e b = 5.

ATIVIDADE 3.7. Calcule n sabendo-se que A5n = 180C3n.

ATIVIDADE 3.8. Calcular x sabendo que A13, C3x e A2x formam

nessa ordem uma progresso geomtrica.

63


AULA

3ATIVIDADE 3.9. Numa quitanda existem as seguintes verduras:

6 ps de alface, 4 de couve, 2 de almeiro, 1 de repolho e 2 de couve-

or. De quantas maneiras diferentes possvel efetuar a compra

de verduras?

ATIVIDADE 3.10. Determine o nmero de divisores de 360.

ATIVIDADE 3.11. Considere a palavra P A P A D O. Quantos

so os anagramas que no possuem 2 vogais juntas? E quantos

no possuem letras iguais juntas?

ATIVIDADE 3.12. De quantos modos 8 casais xos podem

sentar-se em uma roda gigante de 8 bancos de dois lugares cada

um, com cada casal em um banco?

ATIVIDADE 3.13. Um cubo deve ser pintado, cada face de uma

cor, utilizando-se exatamente 5 cores, sendo que as nicas faces de

mesma cor devem ser opostas. De quantas maneiras isto pode ser

feito?

ATIVIDADE 3.14. Se 4 meninos e 4 meninas vo brincar de

roda, de quantas maneiras podero dar as mos, com a condio

de que pelo menos 2 meninas estejam juntas?

...

...

REFERNCIAS

...

BARBOSA, R.M. Combinatria e Grafos. vol.1. Nobel: So

Paulo, 1974.

SANTOS, J.P.O., et al. Introduo Anlise Combinatria. Mod-

erna: Rio de Janeiro, 2007.

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