analise combinatoria e probabilidade

2010

Cleiton Batista VasconcelosManoel Americo Rocha

Análise Combinatória e Probabilidade

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EXPEDIENTE Design instrucionalAntonio Germano Magalhães JuniorIgor Lima RodriguesPedro Luiz Furquim Jeangros

Projeto gráficoRafael Straus Timbó VasconcelosMarcos Paulo Rodrigues Nobre

Coordenador EditorialRafael Straus Timbó Vasconcelos

DiagramaçãoMarcus Lafaiete da Silva Melo

IlustraçãoMarcos Paulo Rodrigues Nobre

CapaEmilson Pamplona Rodrigues de Castro

PRESIDENTE DA REPÚBLICALuiz Inácio Lula da Silva

MINISTRO DA EDUCAÇÃOFernando Haddad

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIACarlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS EM EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – DPEADHélio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILCelso Costa

GOVERNADOR DO ESTADO DO CEARÁCid Ferreira Gomes

REITOR DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁFrancisco de Assis Moura Araripe

VICE-REITORAntônio de Oliveira Gomes Neto

PRÓ-REITORA DE GRADUAÇÃOJosefa Lineuda da Costa Murta

COORDENADOR DA SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIAAntonio Germano Magalhães Junior

COORDENADOR GERAL UAB/UECEFrancisco Fábio Castelo Branco

COORDENADORA ADJUNTA UAB/UECEJosete de Oliveira Castelo Branco Sales

COORDENADOR DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICACleiton Batista Vasconcelos

COORDENADOR DE TUTORIA E DOCÊNCIA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICAGerardo Oliveira Barbosa

Sumário

Unidade 1Princípios de Contagem ........................................................................................................ 7

1. Introdução .........................................................................................................................92. Uma primeira ati vidade ....................................................................................................93. Ati vidades de contagem ....................................................................................................114. Princípios de contagem .....................................................................................................19

Unidade 2Arranjos e Permutações e o Fatorial de um Número ............................................................. 27

1. Introdução .........................................................................................................................292. Arranjos simples e arranjos com elementos repeti dos .....................................................293. Permutações simples e permutações com elementos repeti dos......................................324. O fatorial de um número e o número de arranjos e o de permutações ...........................355. Permutação Circular ..........................................................................................................37

Unidade 3Combinações, Números Binomiais e Binômio de Newton ..................................................... 45

1. Introdução .........................................................................................................................472. Combinações Simples .......................................................................................................473. Combinações completas e equações diofanti nas .............................................................494. Números binomiais ...........................................................................................................535. Binômio de Newton ..........................................................................................................55

Unidade 4Tópicos Complementares ...................................................................................................... 67

1. Introdução .........................................................................................................................692. Permutações caóti cas .......................................................................................................693. Lemas de Kaplansky ..........................................................................................................724. Princípio das gavetas de Dirichlet .....................................................................................75

Unidade 5Noções Preliminares e Operações entre Eventos ................................................................... 81

1. Introdução .........................................................................................................................832. Experimentos: aleatórios versus determinísti cos .............................................................833. Espaço amostral associado a um experimento aleatório ..................................................844. Operações entre eventos e eventos mutuamente excludentes ........................................86

Unidade 6Definições de Probabilidade e Principais Resultados ............................................................. 93

1. Introdução .........................................................................................................................952. Definições de Probabilidade .............................................................................................953. Probabilidade condicional e eventos independentes .......................................................1004. Distribuição binomial de probabilidade ............................................................................106

Dados dos Autores ............................................................................................................... 115

Unidade

Objetivos:

• Apresentaraanálisecombinatóriacomoosramosdamatemáticaquesepreocupacomosmétodosdecontagem,sejamelesdiretosouindiretos.

• Exemplificarosprincípiosdecontagemapartirdesuautilizaçãoemalgumasatividades.

• Enunciareaplicarosprincípiosaditivoemultiplicativodacontagem.• Enunciareaplicaroprincípiodecontagemconhecidocomoprincípiodainclusão

eexclusão.

1Princípios de Contagem

9ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

1. IntroduçãoUmadaspreocupaçõesbásicasdaAnálisecombinatória,masnãoa

única,écomosmétodosdecontagem,querdiretaquerindireta.Suponha,porexemplo,quedesejemoscontarossubconjuntosdocon-

juntoA={1,2,3}.Umamaneira de realizarmos essa contagem seria listar todos os

subconjuntosdoconjuntoA—contagemdireta—para,emseguida,con-tá-los.Assim:

• Subconjuntoscomzeroelementos:∅;• Subconjuntoscomumelemento:{1},{2}e{3};• Subconjuntoscomdoiselementos:{1,2},{1,3}e{2,3};• Subconjuntoscomtrêselementos:{1,2,3}.

Contandoossubconjuntoslistados,concluímosqueoconjuntoApos-sui8(=1+3+3+1)subconjuntos.

Outramaneiraseriaencontrarumprocedimentogeral—contagemindireta—quenospermitadeterminaronúmerodesubconjuntosdeumconjuntoAemfunçãodoseunúmerodeelementos,semprecisarcontá-los.

Emalgunscasos,éclaro,émaisfácillistarecontarossubconjuntosdoqueprocurartalmétodo.Notadamente,quandoosconjuntospossuemumaquantidadepequenadeelementos.Emoutros,não.ImagineseApos-suísse10ou20elementos.

Nestaunidaderesolveremosalgumasatividadesrelacionadasàcon-tagemdeconjuntospara,emseguida,enunciarmoseaplicarmososprincí-piosaditivoemultiplicativodacontagemalém,éclaro,doprincípiodain-clusãoeexclusão,umaespéciedegeneralizaçãodoprincípiodacontagem.

2. Uma primeira atividadeComodissemosanteriormente,nocasodoconjuntoA={1,2,3},um

conjuntocomapenastrêselementos,émuitomaisfácillistarossubconjun-tose,emseguida,contá-losdoqueprocurardeterminarummétodoparaacontagemindireta.

Mas,esefossem10ou20elementos?

Umconjuntocom10elementospossuiquantossubconjuntos?Ecom20elementos?

10 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

UmprocedimentobastanteinteressanteequeconduzrapidamenteaumageneralizaçãoconsisteempensarcadasubconjuntodeAcomosendoumasequênciaordenadadetrêsletrasquepodemserescolhidasentreSeN,obedecendoàseguinteconvenção:asequência(S,N,N),porexemplo,representaosubconjunto{1},poisaletraSsignificaqueoelemento1per-tenceaosubconjunto,oprimeiroNsignificaqueonúmero2nãopertenceaosubconjunto,eosegundoNsignificaqueoelemento3nãopertenceaosubconjunto;demaneirasemelhante,osubconjunto{2,3}seriarepresen-tadopelasequência(N,S,S),naqualoNsignificaqueo1nãoéelementodosubconjunto,istoé,o1nãopertenceaosubconjunto,oprimeiroSsignificaqueo2pertenceaosubconjuntoeosegundoSsignificaqueo3pertenceaosubconjunto.Assim,desejamossaberquantassequênciasordenadasdetrêselementosnaqualparaoprimeiroelementotemosduasopções,SouN.

S

N

Escolhidooprimeiroelemento,temosduasopçõesparaaescolhadosegundo—SouN—;

SS

NS

NN

e,finalmente,escolhidososdoisprimeirostemosduasopçõesdees-colhaparaoterceiro—novamente,SouN—;

S

Nperfazendoumtotalde8(=2X2X2)sequências.ComocadasequênciarepresentaumsubconjuntodeA={1,2,3},

podemosconcluirqueoconjuntoApossui8subconjuntos.Generalizando.Comodissemosanteriormente,ficafácildegeneralizarore-sultadoparaumconjuntoAcomnelementos.Nestecaso,asequênciaquedevemosformarvaipossuirnletrasquepodemserescolhidasentreSeNe,portanto,onúmerodesubconjuntosdeumconjuntocomnelementosé2n.

Afiguraaseguir,denominadadeárvoredaspossibilidades,nosper-mitevisualizaras8sequênciaspossíveis,oumelhor,os8subconjuntosdoconjuntoA.


Logoaseguirtemosarelaçãodasoitosequênciasemcorrespondênciacomosubconjuntoquecadaumadelasrepresenta.

Sequência Subconjunto

S S S { 1, 2, 3 }

S S N { 1, 2 }

S N S { 1, 3 }

S N N { 1 }

N S S { 2, 3 }

N S N { 2 }

N N S { 3 }

N N N ∅

OconjuntodetodosossubconjuntosdeumconjuntoAéindicadoporP(A)echamadodeconjuntodaspartesdeA.

3. Atividades de contagemNestaseçãoapresentaremosváriasatividadesdecontagemcomoob-

jetivodemostrarmosalgunsprocedimentosquepodemserempregadosemsituaçõesdestanatureza.Apresentaremosalgunsconjuntosdesituaçõespara,emseguida,apresentarmossuassoluções.Sugerimosque,antesdeverificarasoluçãoapresentada,cadaalunotenteencontrá-laporsimesmo.

• Situação01:Dequantasmaneiraspodemosdistribuirquatrobo-las,sendoumavermelha,umapreta,umaazuleumabranca,entreduaspessoas,demodoquecadapessoa recebapelomenosumabola?Esequalquerumadaspessoaspuderficarcomasquatrobolas?Eseforemseisbolas?Eseforemnbolas?

• Situação02:Dequantasmaneiraspodemosdistribuirquatrobo-lasiguaisentreduaspessoas,demodoquecadapessoarecebapelomenosumabola?Esequalquerumadaspessoaspuderficarcomasquatrobolas?Eseforemsetebolas?Eseforemnbolas?


• Situação03:Dequantasmaneiraspodemosdistribuirquatrobo-lasdiferentesemduascaixasiguais,demodoqueemcadacaixafiquepelomenosumabola?Esequalquerdascaixaspuderficarvazia?Eseforemseisbolas?Eseforemnbolas?

Agoravamosapresentarasoluçãodastrêsatividadespropostasan-teriormente.

Inicialmente,insistimosnaimportânciadatentativaderesoluçãoporpartedosalunos.Afinal,éapartirdesuaprópriasoluçãooudesuaspró-priasdúvidasqueseaprendearesolverproblemasconfrontando-as-dúvi-dasousoluções-comoutrassoluçõesapresentadaseoutrasquevenhaaencontrarpelocaminho.

Paraasituação01,“Dequantasmaneiraspodemosdistribuirquatrobolas,sendoumavermelha,umapreta,umaazuleumabranca,entreduaspessoas,demodoquecadapessoarecebapelomenosumabola?”,iniciare-mosdenotandoporV,P,AeBasbolasvermelha,preta,azulebranca,res-pectivamente,eporP1eP2asduaspessoas.Assim,paraasbolasvermelhaepreta,temosasseguintesopções:abolavermelhaouficacomP1ouficacomP2e,distribuídaabolavermelha,abolapretaouficacomP1oucomP2.Naárvoredepossibilidadestemososeguinte:

Comosepercebe,jáforamencontradas4possibilidadesdedistribui-çãodasduasprimeirasbolas.

Para a distribuição das outras duas bolas, procedemos do mesmomodo.Faltandodistribuirabolaazuleabranca,játemosasquatropossi-bilidadesseguintes:

VERMELHA PRETA AZUL BRANCA

1 P1 P1

2 P1 P2

3 P2 P1

4 P2 P2

Nadistribuiçãodabolaazul,paracadaumadaspossibilidadesaci-ma,temosoutrasduaspossibilidades:abolaazulficacomP1ouabolaazulficacomP2.Assim,paraapossibilidade1,temos:



1P1 P1 1 P1

P1 P1 2 P2

Paraaspossibilidades1e2,temos:


1P1 P1 1 P1

P1 P1 2 P2

2P1 P2 3 P1

P1 P2 4 P2

E,finalmente,paraasquatropossibilidades,temosasoitopossibili-dadeslistadasaseguir:


1P1 P1 1 P1

P1 P1 2 P2

2P1 P2 3 P1

P1 P2 4 P2

3P2 P1 5 P1

P2 P1 6 P2

4P2 P2 7 P1

P2 P2 8 P2

Agora só falta distribuirmos a bola branca. Novamente, para cadaumadaspossibilidadesanteriores,temosduaspossibilidades,perfazendoasdezesseispossibilidadesseguintes:8nasquaisabolavermelhaficacomP1eoutras8comabolavermelhaficandocomP2.


1P1 P1 P1 1 P1

P1 P1 P1 2 P2

2P1 P1 P2 3 P1

P1 P1 P2 4 P2

3P1 P2 P1 5 P1

P1 P2 P1 6 P2

4P1 P2 P2 7 P1

P1 P2 P2 8 P2



5P2 P1 P1 9 P1

P2 P1 P1 10 P2

6P2 P1 P2 11 P1

P2 P1 P2 12 P2

7P2 P2 P1 13 P1

P2 P2 P1 14 P2

8P2 P2 P2 15 P1

P2 P2 P2 16 P2

Observemos,entretanto,queaspossibilidades1e16 listadasante-riormentenãosatisfazemaoproblemainicial.

Vocêsaberiadizerporquê?Pense,antesdecontinuaraleitura.

Napossibilidade1,apessoaP1ganhaas4bolas,enquantonapos-sibilidade16,apessoaP2ganhaas4bolas.E,comooproblemapedequecadapessoaganhepelomenos1bola,essasduaspossibilidadesnãosa-tisfazemaoproblemaoriginal.Portanto,a respostaparaapergunta “Dequantasmaneiraspodemosdistribuirquatrobolas,sendoumavermelha,umapreta,umaazuleumabranca,entreduaspessoas,demodoquecadapessoarecebapelomenosumabola?”é

“Dequatorzemaneiras”.Paraapergunta“Esequalquerumadaspessoaspuderficarcomas

quatrobolas?”arespostaé“Dedezesseismaneiras”.

Sefossemseisbolas,paraadistribuiçãodaquintabola,cadaumadas dezesseis possibilidades daria origem a duas novas possibilidades,perfazendoumtotaldetrintaeduaspossibilidadese,paraadistribuiçãodasextabola,cadaumadastrintaeduaspossibilidadesdariaorigemaduasoutras,perfazendoumtotalde64possibilidades.Istoparaocasoemqueumapessoapoderecebertodasasbolas.Paraocasoemqueissonão pode ocorrer, devemos tirar duas dessas possibilidades e teremos,portanto,62possibilidades.

Paraocasogeral,“seforemnbolas?”bastaobservarmosqueaoacres-centarmosumabola, o totaldepossibilidadesanterior serámultiplicadopor2.Assim,paraumabola,temos2possibilidades;paraduasbolas,te-mos4possibilidades;paratrêsbolas,temos8possibilidades.Generalizando.Demaneirageral,paranbolas,temos2npossibilidades,paraocasoemqueumadaspessoaspoderecebertodasasbolase2n–2,paraooutrocaso.

Paraasituação02,“Dequantasmaneiraspodemosdistribuirquatrobolasiguaisentreduaspessoas,demodoquecadapessoarecebapelomenosumabola?”comoasbolassãoiguais,umapossibilidadediferedaoutra,sim-plesmente,pelonúmerodebolasquecadapessoarecebe.Usandoamesmanotaçãodasituaçãoanterior,apessoaP1podereceberuma,duasoutrêsbolas.Observeque,aodefinirmosaquantidadedebolasqueapessoaP1re-cebe,automaticamenteestamosdefinindoaquantidadequeP2recebe.


Portanto,são3aspossibilidadesprocuradas.Seumadaspessoaspuderficarcomasquatrobolas,entãodevemos

acrescentarmaisduaspossibilidades:P1ficacomas4eP2ficasemnenhu-mabola,eP1ficasemnenhumabolaeP2ficacom4bolas.

Se foremsetebolas,asituaçãoésemelhante.Podemos,novamente,construirumatabelacomoaanterioreobtermosaresposta.

Comopodemosperceber,temos6possibilidadeseseaceitarmosqueumsópessoarecebatodasasbolasdevemosacrescentarmaisduaspossi-bilidades,obtendoumtotalde8possibilidades.Generalizando.Ese foremnbolas?Comosepercebe,apessoaP1podereceber1,2,3,…,n–1bolas,ouseja,temosn–1possibilidadesdedistri-buirasbolas,nocasoemquenenhumadaspessoaspoderecebertodasasbolas.Mas,seumadelaspuderrecebertodasasbolasdevemosacrescentarduaspossibilidades,obtendon+1.

Finalmente,temosasituação03,“Dequantasmaneiraspodemosdis-tribuirquatrobolasdiferentesemduascaixasiguais,demodoqueemcadacaixafiquepelomenosumabola?”que,apesardebastantesemelhante,édiferentedoscasosanteriorescomoveremoscomasrespostasencontradas.

Podemosresolveresseproblemademaneirasemelhanteaoproble-maanterior, lembrandoapenasque,comoascaixassãoiguais,asdis-tribuições1e3,umabolaemumadascaixasetrêsbolasnaoutra,éamesmadistribuiçãoque3e1,trêsbolasemumadascaixase1naoutra.Assim,temossomenteduasdistribuiçõespossíveis:adistribuição1e3eadistribuição2e2.

Seumadascaixaspodeficarvazia,entãodevemosacrescentarmaisumadistribuição:adistribuição0e4ou4e0.

Seforemseisbolasoprocedimentoésemelhante.Teremosasseguin-tesdistribuições:


ouseja,3ou4distribuições,dependendodeseascaixaspodemounãoficarvazia.

Antesdegeneralizar,vejamosoqueocorrecomcincobolas.Podemosfazerasseguintesdistribuições:

Comosepercebe,nocasodeumaquantidadepardebolas(4ou6,porexemplo),cadacaixapodeficarcomatémetadedasbolas(2ou3).Nocasodeumaquantidadeímpar,5ou7porexemplo,umadascaixasficacom,nomáximo,2ou3,quecorrespondeàmetadedototalmenosum.

Generalizando.Paraocasodenbolas,devemosconsiderarduassitua-

ções:nparen ímpar.Nocasoemquenépar, teremos possibilida-

des, se nenhumadas caixas puder ficar vazia, ou +1 possibilidades,

seumadascaixaspuderficarvazia.Nocasoemquenéímpar,teremos

ou +1possibilidades,conformeumadascaixaspossaou

nãoficarvazia.Para concluir essa seção apresentaremosmais três situações para

seremanalisadas.Sãoelas:Situação04:Dequantasmaneiraspodemosdistribuirtodasasle-trasA,A,A,A,B,B,Centreduaspessoas,semqualquerrestrição?

Situação05:Emumparquedediversões,existemquatrodosbrin-quedosqueTobymaisgostadebrincar,maselesódispõededinhei-roparacomprardoisbilhetes.DequantasmaneirasTobypoderáfazeraescolhadosbrinquedos?

Situação06:Dentreosnúmerosde1a20,quantossãoosmúlti-plosde7oude5?Equantossãoosmúltiplosede3oude5?

Comonassituaçõesanteriores,éimportantequevocê,antesdelerasrespostasnolivro,tenteresolverosproblemaspropostosparaque,apartirdesuasdúvidasousoluçõesvocêpossaconstruirseuconhecimento.

Paraasituação04,denotemosporP1eP2asduaspessoas.ApessoaP1podereceber0,1,2,3ou4letrasAe,paracadaumadessaspossibilida-des,aquantidadedeletrasAqueapessoaP2receberájáficaautomatica-mentedeterminada:seP1recebe1,entãoP2recebe3,seP1recebe2,entãoP2recebe2,eassimpordiante.Portanto,bastasabermosquantasletrasdecada(A,BeC)umadaspessoasreceberá.Portanto,existem5maneirasdesedistribuirasletrasA.Demaneirasemelhante,existem3maneirasdesedistribuirasletrasB(P1recebe1,2ou0letrasB)e2maneirasdedistribuiraletraC(ouP1recebealetraCouP2recebealetraC).


Pessoa Letra A Letra B Letra C

P1 0 1 2 3 4 0 1 2 0 1

P2 4 3 2 1 0 2 1 0 1 0

Cadaumadas5possibilidadesdedistribuiçãoda letraApode sercombinadacomas3possibilidadesdedistribuiçãodaletraB,perfazendoas15possibilidadesseguintes:

PESS

OA

1

A B

PESS

OA

2

A B

00

52

1 12 0

10

42

1 12 0

20

32

1 12 0

30

22

1 12 0

40

12

1 12 0

50

02

1 12 0

Finalmente,cadaumadas15distribuiçõesanteriorespodesercom-binadacomasduasdistribuiçõesdaletraC,totalizando30distribuiçõesdistintas.Notequeessas30distribuiçõessãoconsequênciadoproduto5X3X2,sendoo5onúmerodedistribuiçõesdaletraA,3onúmerodedistri-buiçõesdaletraBe2onúmerodedistribuiçõesdaletraC.

PESSOA 1A B C

0 001

Nasituação05,denotandoporA,B,CeDosquatrobrinquedosdosquaisTobymaisgosta,percebemosqueelepodecomprarasseguintescom-binaçõesdebilhetes

AA AB AC AD

BB BC BD

CC CD

DD

Aotodo,são10combinaçõesdedoisbilhetes.


ObservequecomestasoluçãoestamosaceitandoapossibilidadedeTobycomprardoisbilhetesdeummesmobrinquedo.Seestenãoforocaso,ouseja,seTobydeveobrigatoriamentecomprarbilhetesparabrinquedosdiferentes,entãoexistemapenas6possibilidades.Aquelasdestacadasnafiguraanterior.Generalizando.Paraconseguirmosageneralização,vamosexaminarpri-meiramenteocasodecincobrinquedos,digamosA,B,C,DeE.Aspossí-veiscombinaçõesseriam

AA AB AC AD AE

BB BC BD BE

CC CD CE

DD DE

EE

perfazendoumtotalde(5+4+3+2+1=)15combinações,sepude-remsercompradosdoisbilhetesdeummesmobrinquedo,ou15-5(4+3+2+1=10)combinações,senãopuderemsercompradosbilhetesiguais.Lembremosquenocasodosquatrobrinquedostivemos10(=4+3+2+1)combinações,sepodíamoscomprarbilhetesiguaise10-4(1+2+3=6),senãopodíamos.Assim,generalizandoparanbrinquedos,temos

n+(n–1)+(n–2)+…+3+2+1=

possibilidades,sepuderemsercompradosdoisbilhetesparaummes-mobrinquedo,ou

–n= ,

somentecombilhetesparabrinquedosdiferentes.Paraasituação06,denotemosporM(3),M(5)eM(7),respectivamente,

oconjuntodosmúltiplosde3,odosmúltiplosde5eodosmúltiplosde7,compreendidosentre1e20.

TemosqueM(3)={3,6,9,12,15,18},M(5)={5,10,15,20}eM(7)={7,14}.Oconjuntodosmúltiplosde5oude7éoconjuntoM(5)∪M(7)={5,7,10,14,15,20}eoconjuntodosmúltiplosde3oude5éoconjuntoM(3)∪M(5)={3,5,6,9,10,12,15,18,20}.Notequeonúmerodemúltiplosde5oude7éasomadonúmerode

múltiplosde5comonúmerodosmúltiplosde7.

n(M(5)∪M(7))=n(M(5))+n(M(7))=4+2=6


Jáonúmerodemúltiplosde3oude5(nove)NÃOéasomadonúmerodemúltiplosde3(seis)comodosmúltiplosde5(quatro).

Vocêsabeexplicarporquê?

NoqueM(5)∩M(7)=∅,enquantoM(3)∩M(5)≠∅.Esseéomotivo.Adiferençaentren(M(3)∪M(5))en(M(3))+n(M(5))éexatamenteonúme-rodeelementosdeM(3)∩M(5)que,nasoman(M(3))+n(M(5))somasãocontadosduasvezes.

n(M(3)∪M(5))=n(M(3))+n(M(5))–n(M(3)∩M(5))=6+4–1=9

4. Princípios de contagemNassituaçõesdaseçãoanteriorforamapresentadoseresolvidospro-

blemasdecontageme,diretaouindiretamente,nasuaresoluçãofoiutiliza-dooprincípioaditivodacontagemouoprincípiomultiplicativodacontagem.

Nestaseçãoenunciaremoseaplicaremosessesprincípiosnaconta-gemdonúmerodeelementosdecertosconjuntos.

Paratanto,denotaremosporn(X)onúmerodeelementosdoconjun-tofinitoX.

Iniciaremoscomoprincípioaditivodacontagemquepermitedeter-minaronúmerodeelementosdoconjuntoA∪BemfunçãodonúmerodeelementosdosconjuntosAeBepodeserenunciadocomosegue.

• Princípio aditivoda contagem.SeA eB são conjuntosfinitostaisqueA∩B=∅,entãoA∪Btambéméfinitoevaleaigualdaden(A∪B)=n(A)+n(B).

SeAeBsãoconjuntostaisqueA∩B=∅,dizemosqueAeBsãoconjuntosdisjuntos.

NocasoemqueAeBsãoconjuntosdisjuntos,istoé,conjuntostaisqueA∩B≠∅,valeaigualdade

n(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B).

Oprincípioaditivodacontagempodesergeneralizadopara trêsoumaisconjuntos,comosegue.

• Princípioaditivo.Casode3conjuntos.SejamA,BeCconjuntosfinitosedoisadoisdisjuntos,istoé,conjuntostaisqueA∩B=∅,A∩C=∅eB∩C=∅.Nestascondições,valeaigualdaden(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C).

• Princípio aditivo.Caso geral. SejamA1,A2,A3,…,An conjuntosdoisadoisdisjuntos,istoé,conjuntostaisque,parai≠j,Ai∩Aj=∅.Nestascondições,valeaigualdaden( )= .

Outrasgeneralizaçõespossíveisparaoprincípioaditivodacontagemsãoasqueseguem.

Ocasoanterior-dostrêsconjuntos-permiteestenderoprincípioadi-tivodacontagemparaconjuntosnãodisjuntos,comonocorolárioaseguir.Corolário1.4.01.SeAeBsãoconjuntosfinitos,entãovalea igualdaden(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B).


• Prova.SejamAeBconjuntosfinitos.SabemosqueA∪B=(A-B)∪(A∩B)∪(B-A)equeosconjuntosA-B,A∩BeB-A,sãodoisadoisdisjuntos.Assim,pelaproposição1.3.01,temosquen(A∪B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A∩B).Sabemos ainda que para os conjuntos A e B vale a igualdadeA=(A-B)∪(A∩B)e,consequentemente,comoA-BeA∩Bsãodisjuntos,temosquen(A)=n(A-B)+n(A∩B).Portanto,daigualdaden(A∪B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A∩B),temosn(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B).Mostrandooresultado.□

Ocasomaisgeraldoprincípioaditivodacontagem,aqueleparanconjuntosnãonecessariamentedisjuntos,éconhecidocomoprincípiodainclusãoeexclusãoepossuioenunciadoqueapresentaremosaseguir,inicialmenteparaocasodetrêsconjuntosedepoisnasuaversãoparaocasodenconjuntos.

• Princípiodainclusãoeexclusão.Casode3conjuntos.SeA,BeCsãoconjuntosfinitos,entãon(A∪B)=n(A)+n(B)+n(C)–n(A∩B)–n(A∩C)–n(B∩C)+n(A∩B∩C).

Vocêconseguevisualizarnaigualdadeanteriorainclusãoeaexclusão?Tentefazê-lo.

• Princípiodainclusãoeexclusão.Casogeral.SeA1,A2,…,Ansãoconjuntosfinitos,então

= – + +…+(-1)n-1

Outroprincípioquefoiutilizadonasatividadesdaseçãoanteriorequeémuitoutilizadonosproblemasdecontagemindiretaéoprincípiomultiplicativo da contagem, também conhecido como princípio funda-mentaldacontagem.

Todos nós já ouvimos falar no conhecido problema domenino quepossuitrêscalçasequatrocamisasedesejasaberquantascombinaçõespossíveis—conjuntodecalçaecamisa—épossívelformar.Esseéumpro-blematípicoqueseresolvepormeiodaaplicaçãodoprincípiomultiplicativodacontagem,quepodeserenunciadocomosegue.

• Princípiomultiplicativodacontagem.SeumadecisãoApodesertomadademmaneirasdistintase,tomadaadecisãoA,outradeci-sãoBpodesertomadadenmaneirasdistintas,entãoonúmerodemaneirasdetomassucessivamenteasdecisõesAeBémXn.

Comonocasodoprincípioaditivo,oprincípiomultiplicativodacon-tagempode ser generalizado paraumaquantidadefinita de tomadasdedecisãoindependentesesucessivos,conformeenunciadoaseguir.


• Princípiomultiplicativodacontagem.Ocasogeral.Seasdeci-sõesindependentesA1,A2,A3,…,Anpodemocorrerdem1,m2,m3,…,mnmaneiras,respectivamente,entãoonúmerodepossibilidadesdetomaradecisãoA1,seguidadeA2,seguidadeA3,eassimsucessi-vamenteatétomaradecisãoAnédadoporm1Xm2Xm3X…Xmn.

Exemplo1.3.01.Resolvendooproblemadomeninoesuascalças.Omeninopossui3calçase4camisasedesejamossaberquantosconjuntosdecalçaecamisaépossívelformarmos.Paratanto,bastaqueobservemosquecadaconjuntoéformadoapartirdeduasdecisõessucessivas:aescolhadacalça,quepodeserfeitade3maneiras,eaescolhadacamisa,quepodeserfeitade4maneiras.Assim,peloprincípiomultiplicativodacontagem,onúmerodeconjuntospossíveisdeseremformadosé4X3,queéiguala12.Exemplo 1.3.02. Com4homens e 5mulheres é possível formar 20 ca-sais.Defato,paraformarmosumcasaldevemosfazerduasescolhas:umhomem,entreos4,eumamulher,entreas5.Paraaescolhadohomemtemos4possibilidadeseparaadamulhertemos5possibilidades.Assim,peloprincípiomultiplicativodacontagem,existem4X5possibilidadesdeescolhadeumcasal.Exemplo1.3.03.Seexistem4empresasdeônibuse3deaviãoligandoaci-dadeXàcidadeY,aviagempodeserfeitadeônibusoudeaviãode7modosdiferentes.Aviagempodeserfeitadeônibusde4maneirasdiferentes:O1,O2,O3eO4,queformamoconjuntoO;edeaviãode3maneirasdiferen-tes:A1,A2eA3,queformamoconjuntoA.Queremosdeterminarn(O∪A).Temosquen(O∪A)=n(O)+n(A)–n(O∩A)ecomoosconjuntosOeAsãodisjuntos,n(O∪A)=n(O)+n(A)=4+3=7.Exemplo 1.3.04. Se dois conjuntosA eB são disjuntos e são tais quen(A∪B)=20 en(A) =15, entãon(B) =5.De fato, peloprincípio aditivodacontagem,temosquen(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B).ComoAeBsãodisjuntos,temosquen(A∪B)=n(A)+n(B),ouseja,20=15+n(B)e,con-sequentemente,n(B)=5.Exemplo1.3.05.Existem2caminhosligandoascidadesAeB,3caminhosligandoascidadesBeCe4caminhosligandoascidadesCeD.OnúmerodecaminhosdiferentesligandoAeDepassando,obrigatoriamenteporBeCé24(=2X3X4).

NestaUnidadeiniciamosoestudodaAnálisecombinatóriaqueéumramodaMatemáticaque,entreoutrosobjetivos,pretendedeterminartéc-nicasparacontaronúmerodeagrupamentospossíveisdeseconstruir,sobcertascondições.Apartirdealgumasatividades,estudamosasprimeirasnoçõesdosprincípiosdecontagem.Emseguida,enunciamoseaplicamosoprincípioaditivoeoprincípiomultiplicativodacontagememsuasver-sõesmaisgerais,emalgunsexemploseatividadesresolvidas.EncerramosaUnidadecomoprincípiodainclusãoeexclusãoquepodeserconsideradooprincípioaditivodacontagemnasuaversãomaisgeral.


1.Resolvido.Se5cavalosdisputamumpáreo,quantossãoosresultadospossíveisparaosdoisprimeiroslugares?

Solução.Devemosfazerduasescolhas:ocavaloquevaitiraroprimeirolugareoquevaitirarosegundo.Paraocavaloquevaitiraroprimeirolugartemoscincopossibilidades.Qualquerumdoscincocavalospodetiraroprimeirolugar.Paracadaumadascincopossibilidadesparaoprimeiro lugar,temosquatropossibilidadesparaosegundolugar.Te-mos,portanto,20(=5X4)resultadospossíveis.

2.Umexperimentoconsisteemjogar,simultaneamente,umamoedaeumdadoparacimaeobservarosparesderesultados(moeda,dado).Quan-tossãoosparesderesultadospossíveis?

3.Umamontadoradeautomóveisapresentaumcarroemquatromodelosdiferenteseemseiscoresdiferentes.Umconsumidorteráquantasop-çõesdeescolhaparaesseautomóvel?

4.Quantosnúmerosnaturaisparesoumúltiplosde5,com4algarismosdistintos,podemserformadoscomosalgarismos0,3,4,7e9?

5.Dequantosmodosdiferentesépossívelpintar emummapa,usandocoresdiferentesdentreseiscoresdadas,ostrêsestadosdaregiãosuldoBrasil?

6.Umasalatem5portas.Dequantasmaneirasdistintasessasalapodeseraberta?Esefossem10portas?

7.Verifiqueseaseguinteafirmaçãoéverdadeiraoufalsa:

Sen(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C),entãoA,BeCdevemserdisjuntosdoisadois.

8.Emumaescoladecursoslivres,há43alunosfazendoocursoA,57ocursoBe29ocursoC.Há10alunosmatriculadosemAeB,5emBeC,5emAeCe2nostrêscursos.Quantosalunosestãofazendoaomenosumcursonestaescola?

9.Resolvido.Umamigomostrou-me10livrosdiferentes,sendo5dema-temática,3deportuguêse2defísica,epediu-mequeescolhessedoisdeles,comacondiçãoquefossemdedisciplinasdiferentes.Dequantasmaneiraseupossofazerminhaescolha?

Solução.Nesteproblematemosumexemplodeaplicaçãosimultâneadoprincípioaditivodacontagemedoprincípiomultiplicativodacontagem.

Observequeoslivrosescolhidospodemserdematemáticaeportuguês(conjuntoA),dematemáticaefísica(conjuntoB)oudeportuguêsefísica(conjuntoC).

Paradeterminarmosonúmerodeelementosdecadaumdostrêscon-juntos,podemosaplicaroprincípiomultiplicativodecontagem.Assim,temosque:


A: 5 X 3 = 15Matemática Português

B: 5 X 2 = 10Matemática Física

C: 3 X 2 6Português Física

Finalmente, paradeterminarmosonúmeroque estamosprocurando,bastautilizarmosoprincípioaditivoda contagemedeterminarmosonúmerodeelementosdeA∪B∪C.ComoA,BeCsãodoisadoisdisjun-tos,temosque

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)=15+10+6=31.

Assimeupossofazerminhaescolhade31maneirasdiferentes.

10.Resolvido.Quantossãoosnúmerosquepodemserformadoscomtodososdígitos1,1,1,1,2e3?

Solução.Observequetemosquatroalgarismos1,umaalgarismo2eumalgarismotrêsparaformarmososnúmeros.

Vamosinicialmentedistribuirosquatroalgarismos1,deixandoumes-paçoentreeles.Assim:

1 1 1 1

Agoradevemosescolheraposiçãodeumdosoutrosalgarismos,digamoso2.

Podemoscolocaroalgarismo2nolugardequalquerumdostraços.As-sim,temos5possibilidadesdeescolhaparaoalgarismo2.Considere-mosumadessasposições.

1 2 1 1 1

Paraessaescolha(e,portanto,paraqualqueroutraescolha)temos6pos-sibilidadesparacolocaroalgarismo3,umavezqueo3podeocuparolugardequalquerumdostraços.

Assim,épossívelformar30(=5X6)númerosdiferentes.

11.Quantossãoosnúmerosquepodemserformadoscomtodososdígitos1,1,1,1,1,1,1,1,1,2e3?

12.Quantossãoosdivisoresdonúmero360?Determineumafórmulaquepermitacalcularonúmerodedivisoresdeumnúmeroqualquer,justifi-candoseuraciocínio.

13.Emumramaldemetrôhá10estações.Cadatipodebilhetepermiteviajardeumaestaçãoparaoutra.Assim,parairmosdaestaçãoAparaaestaçãoBénecessário1bilheteeparairmosdeBparaAénecessáriooutrobilhete.Quantos tiposdebilhetesdepassagemsãonecessáriosparapermitiraviagementreduasestaçõesquaisquer?

14.Dequantasmaneirasépossívelsentarcincocasaisem10cadeirasemfila,semaridoemulherdevemsentarsemprejuntos?

15.Dequantasmaneiraspodemosescolherumaconsoanteeumavogaldeumalfabetoformadopor12consoantese5vogais?


Texto 1: Análise Combinatória

Texto extraído do livro Tópicos de Matemática, v.2, de Gelson Ie-zzi e outros. São Paulo: Atual Editora, 1980. p.104. Adaptado.

A Análise Combinatória trata basicamente dos problemas de contagem das possibilidades com que um acontecimento pode ocorrer.

Contar diretamente os possíveis resultados de uma experiência é, em geral, muito trabalhoso se as possibilidades são muito numerosas. Por isso desenvolveram-se as chamadas técnicas de contagem.

As afi rmações a seguir constituem-se problemas típicos da Análise Com-binatória: com 5 professores podemos formar 10 comissões diferentes, cada uma com dois membros; se existem 4 empresas de ônibus ligando São Paulo ao Rio, e 3 de aviões, a viagem pode ser feita de ônibus ou de avião de 7 modos diferentes; se 5 cavalos disputam um páreo, para os dois primeiros lugares podemos ter 20 resultados distintos

A Combinatória estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento e seu estudo é de grande interesse nos mais va-riados campos: o químico o utiliza, ao estudar as possíveis uniões entre os átomos; o diretor de uma escola, ao distribuir os professores pelas classes; o linguista, ao estudar os possíveis signifi cados dos símbolos de um idioma desconhecido; o diretor de trânsito, ao determinar quantos símbolos são ne-cessários para emplacar todos os automóveis do seu Estado.

Mais geralmente, a Combinatória é utilizada na indústria e na ciência em todos os níveis, e, associada à Probabilidade e à Estatística, torna-se um instrumento poderoso, responsável, muitas vezes, por tomadas de decisões até na área governamental

Texto 2: Estratégia para resolver problemas de Combinatória

Texto extraído do livro A Matemática do ensino médio, v.2, de Elon Lages Lima e outros. Rio de Janeiro: SBM, 1990. pp.86-87. Adaptado.

Neste livro os autores apontam a seguinte estratégia para resolver pro-blemas de Combinatória:

Postura. Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada e ver que decisões devemos tomar.

Por exemplo, se o problema pede para construir um número de três al-garismos, devemos nos colocar no papel dessa pessoa que deve escrever um número de três algarismos; se o problema pede para pintar uma bandeira, devemos nos colocar no papel dessa pessoa; e assim por diante.

Divisão. Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples.

Por exemplo, se o problema pede para formamos um casal, podemos dividi-lo em escolher o homem e, em seguida, escolher a mulher; formar um número de três dígitos pode ser dividido em escolher o algarismo das cente-nas, o das dezenas e o das unidades.


Não adiar difi culdades. Pequenas difi culdades adiadas costumam se transformar em imensas difi culdades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar.

DANTE,LuizR.Matemática:contextoeaplicações,v.2.SãoPaulo:EditoraÁtica,2004.

DASSIE,BrunoAlves eoutros.CursodeAnáliseCombinatória eProba-bilidade: aprendendo coma resoluçãodeproblemas.Riode Janeiro:Ed.CiênciaModerna,2009.

HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar, v.5: AnálisecombinatóriaeProbabilidade.SãoPaulo:AtualEditora,2004.

LIMA,ElonLages eoutros.Temaseproblemas.ColeçãodoProfessordeMatemática.RiodeJaneiro:SBM,2003.

LIMA,ElonLageseoutros.Amatemáticadoensinomédio,v.2.ColeçãodoProfessordeMatemática.RiodeJaneiro:SBM,1998.

MORGADO,AugustoC.deO.eoutros.AnáliseCombinatóriaeProbabilida-de:comassoluçõesdosexercícios.ColeçãodoProfessordeMatemática.RiodeJaneiro:SBM,2006.

SANTOS,J.PlínioO.eoutros.Introduçãoàanálisecombinatória.Campi-nas:Ed.daUNICAMP,2002.

SCHEINERMAN,E.R.Matemáticadiscreta.SãoPaulo:ThomsonLearningEdições,2006.

Unidade

Objetivos:

• Conceituareexemplificararranjosepermutaçõessimplesearranjosepermutaçõescomelementosrepetidos.

• Determinaronúmerodearranjosepermutaçõessimplesearranjosepermutaçõescomelementosrepetidos.

• o fatorial de umnúmero e utilizá-lo na fórmula para determinar o número dearranjosedepermutações.

• Conceituar permutações circulares de n objetos e determinar seu número emfunçãoden.

Arranjos e Permutações e o Fatorial de um Número

2


1. IntroduçãoNestaUnidadeabordaremosalgunstiposespeciaisdeagrupamentos

que,porserepetiremcombastantefreqüência,recebemnomesespeciais:osarranjoseaspermutações.

Aproveitaremosoestudodaspermutaçõesparaintroduziroconceitodefatorialdeumnúmerointeiropositivo,estendendoadefiniçãoaosnúme-rosinteiros0e1.

Estudaremososagrupamentosconhecidoscomoarranjossimplesecomelementosrepetidoseaspermutaçõessimples,comelementosrepeti-dosecirculares.

2. Arranjos simples e arranjos com elementos repetidos

Nestaseçãotrataremosdosarranjossimplesedosarranjoscomele-mentosrepetidos.Essesagrupamentosconsistemnaescolhaeordenaçãodepartedoselementosdeumacoleçãofinitadeobjetosdados.

Porexemplo,dentreosalgarismos1,2,3,4e5podemosescolhertrêse formarcomelesumnúmerode trêsalgarismosdistintos -umarranjosimples-oucomalgarismosrepetidos—umarranjocomelementosrepeti-dos.Osseguintesnúmeros,entreoutros,sãoarranjossimplesdessesalga-rismostomados3a3:123,324,154,135,145,132.Jáosnúmeros113,235,233,344,555,432,454sãoexemplosdearranjosdessesalgarismostomados3a3.

Nossointeresseédeterminaronúmerosdearranjossimpleseonú-merodearranjosdessesalgarismostomados3a3.

Vocêsabedeterminaronúmerodearranjossimplesde5objetostomados3a3?

Eseforemarranjoscomelementosrepetidos,vocêsabedeterminaronúmerodeles?

Inicialmentetemosasseguintesdefinições.• Arranjosimples.Dadososnúmerosinteirospositivosnep,com1≤p≤n,umarranjosimplesdosnobjetosdistintosa1,a2,a3,…,antomadospapéqualquerordenaçãodepobjetosdiferentesescolhi-dosdentreessesobjetos.

• Arranjocomelementosrepetidos.Dadososnúmerosinteirospo-sitivosnep,com1≤p≤n,umarranjocomrepetiçãodosnobjetos


distintosa1,a2,a3,…,antomadospapéqualquerordenaçãodepobjetos,diferentesounão,escolhidosdentreessesobjetos.

Temosaindaqueumarranjosimplesoucomelementosrepetidosdenobjetostomados1a1équalquerumdosnobjetos.

Exemplo2.2.01.Sedeumasalacom20alunospremiarmosos5primeiroscolocados,comprêmiosdiferentes,cadapremiaçãopossíveléumarranjosimplesdos20alunostomados5a5.Exemplo2.2.02.Assequênciasdeletrasabc,acd,bca,cdb,eabdpodemserpensadascomoarranjossimplesdasletrasa,b,c,edtomadas3a3.Exemplo2.2.03.Assequênciasdeletrasabc,acd,bba,cdb,eaaapodemserpensadascomoarranjoscomelementosrepetidosdasletrasa,b,c,edtomadas3a3.

Agoraquedefinimosarranjossimplesearranjoscomelementosre-petidos,evimosalgunsexemplosdeondeencontrá-los,vamosorganizaronossopensamentoparadeterminaronúmerodetaisagrupamentos.

Calculando o número de arranjos simples.

Suponhaquequeiramossaberquantosnúmerosdetrêsalgarismosdistintosépossívelformarcomosalgarismos1,2,3,4e5.Sabemosquedevemosescolherumalgarismo,dentreoscinco,paraocuparaordemdascentenas,outro,entreosquatroquesobraram,paraocuparoalgarismodasdezenase,finalmente,outro,entreostrêsquerestam,paraocuparaordemdasunidades.

Centena Dezena Unidade

Vocêsabeexplicaromotivodareduçãocinco,quatroetrês?Experimente.

Oalgarismodascentenaspodeser1,2,3,4ou5.

1, 2, 3, 4, 5Centena Dezena Unidade

Seoalgarismodaordemdascentenasfor1,porexemplo,entãoodadezenapodeser2,3,4ou5

1 2, 3, 4, 5Centena Dezena Unidade

Sefor2,entãoodadezenapodeser1,3,4ou5

2 1, 3, 4, 5Centena Dezena Unidade

Eassimpordiante.Assim,paracadaumadas5escolhaspossíveisparaoalgarismodascentenas,temos4escolhaspossíveisparaoalgarismodasde-zenas,perfazendoumtotalde(5X4=)20possibilidades.



2 1 2 X

1 3 1 3 X4 1 4 X5 1 5 X


1 2 1 X

2 3 2 3 X4 2 4 X5 2 5 X

•••

•••

•••

Figura:5X4possibilidades

Escolhidosoalgarismodacentenaeodadezena,restamtrêsalgaris-mosquepoderãoocuparaordemdasunidades,perfazendoassim60(=5X4X3)númerosdetrêsalgarismosdistintos.


1 2

3 1 2 3

4 1 2 4

5 1 2 5


1 3

2 1 3 2

4 1 3 4

5 1 3 5

•••

•••

•••

Figura:5X4x3possibilidades


Calculando o número de arranjos com elementos repetidos.

Seosalgarismosnãotivessemqueserdiferentes,entãoparaaordemdascentenasteríamos5possibilidadesdeescolhadosalgarismos,umavezquequalquerdosalgarismos1,2,3,4,ou5poderiaocupá-la;paraaordemdasdezenas,umavezqueosalgarismospodemseriguais,teríamosnova-mente5possibilidadesdeescolha—1,2,3,4,ou5—;eparaoalgarismodasunidadesteríamos,ainda,5possibilidadesdeescolha—1,2,3,4,ou5—;perfazendo125(=5X5X5)númerosdetrêsalgarismos.

Notequenãohouveareduçãodecincoparaquatroeparatrêspossibilidades,porqueosalgarismospodemserrepetidos.

Comisso,concluímososresultadosseguintes.• Númerodearranjossimples.OnúmerodearranjossimplesdenobjetostomadospappodeserdeterminadopeloprodutonX(n–1)X(n–2)X(n–3)X…X(n–p+1).

IndicandoessenúmeroporAn,p,temos

An,p=nX(n–1)X(n–2)X(n–3)X…X(n–p+1).

• Númerodearranjoscomrepetição.Onúmerodearranjoscomre-petiçãodenobjetostomadospap(1<p≤n)podeserdeterminadopeloprodutonXnXnX…Xn,pfatores.

Indicandoessenúmeropor(AR)n,p,temos

(AR)n,p=nXnXnXnX…Xn=np.

Notequeonúmerodearranjosquersimplesquercomelementosrepetidosdenobjetostomados1a1éigualan.

Exemplo2.2.04.Onúmerodemaneirasdepremiar,comprêmiosdiferen-tes,os5primeiroscolocadosdeumaturmade20alunosédadoporA20,5eéiguala20X19X18X17X16=1.860.480.Exemplo 2.2.05.Onúmero de sequências de três letras distintas quepodemosformarcomasletrasa,b,c,edédadoporA4,3,sendoiguala4X3X2=24.Exemplo2.2.06.Onúmerodesequênciasdetrêsletras,podendoterletrasiguaisoudistintas,quepodemosformarcomasletrasa,b,c,edédadopor(AR)4,3,eéiguala43=4X4X4=64.

3. Permutações simples e permutações com elementos repetidos

Nestaseçãotrataremosdaspermutaçõessimplesedaspermutaçõescomelementosrepetidos.

O nome permutação vem de permutar que significa trocar e aquinãoserádiferente.Iremostrocardeposiçãooselementosdeumconjuntodado,ordenando-os.

Nadefinição de arranjo den objetos distintos, tomados p a p, nãoexcluímosapossibilidadedetermosn=p.Assim,qualquerordenaçãodosalgarismos1,2e3éumarranjode3objetostomados3a3ecadaumade-laséapenasumatrocadelugarentreosalgarismos;qualquerfilaformadacomasmesmas5pessoaséumaordenaçãodessaspessoaseé,portanto,


umarranjodas5pessoastomadas5a5.Aessetipodeagrupamentocha-mamosdepermutação.Maisprecisamente,temosadefiniçãoseguinte.

Permutação simples.

Dadosnobjetosdistintos,umapermutaçãosimplesdessesobjetoséqualquerordenaçãodosmesmos.

Conformedissemosanteriormente,umapermutaçãodenobjetosdis-tintoséumarranjosimplesdessesnobjetostomadosnan.Exemplo2.3.01.Qualquerfilaformadacom5pessoaséumapermutaçãodessaspessoas.Exemplo2.3.02.Qualquerordenaçãoquevocêderaoarrumar4livrosnaprateleiradeumaestanteéumapermutaçãodosquatrolivros.

Anagramasdeumapalavrasãopalavras(comsignificadosemânticoounão)quesepodeformarcom

todasasletrasdapalavradada,ouseja,umareordenaçãodasletrasdapalavra.

Exemplo2.3.03.ApalavraROMAéumanagramadapalavraAMORe,consequentemente,umapermutaçãosimplesdasletrasA,M,OeR.OutroanagramaeoutrapermutaçãosimplesdeAMORéMORA.

Calculando o número de permutações simples.

Conformedissemos anteriormente, umapermutação den objetos éumarranjodessesobjetostomadosnan.Assim,onúmerodepermutaçõesdenobjetospodesercalculadopelafórmulaAn,ne,portanto,éigualanX(n-1)X(n-2)XX1.OnúmerodepermutaçõesdenobjetosédenotadoporPne,portanto,

Pn=An,n=nX(n-1)X(n–2)X…X1.

Exemplo2.3.04.Onúmerodefilasdistintasqueépossívelformarcom5pessoaséP5=5X4X3X2X1=120.Exemplo2.3.05.Onúmerodemaneirasdistintasdesearrumar4livrosnaprateleiradeumaestanteéP4=4X3X2X1=24.Exemplo2.3.06.OnúmerodeanagramasdapalavraAMORéP4=4X3X2X1=24.

Permutaçõescomelementosrepetidos.Umapermutaçãodenobjetoscomelementosrepetidoséqualqueror-

denaçãodenobjetosdosquais,pelomenosdois,sãoiguais.Porexemplo,apalavraIRACEMAéumanagramadapalavraAMÉ-

RICAeéumapermutaçãodasseteletrasA,M,E,R,I,C,AcomrepetiçãodeduasletrasA.Emumanagramanãoselevaemconsideraçãoacentosnemcedilhas.

Contando o número de permutações com elementos repetidos.Paraentenderoquevemaserpermutaçãodenobjetoscomelementosre-petidosecalcularseunúmero,vamostomarcomoexemploosanagramasdapalavraESSES.

NotequeemESSESexistemduasletrasiguaisaEetrêsletrasiguaisaS.Assim,osseusanagramassãosomenteaspalavras

ESSES ESSSE ESESS EESSS SESSESESES SSESE SSEES SSSEE SEESS


Éclaroqueissoocorreporcontadasletrasiguais,poissetodasasletrasfossesdiferentesteríamos120(=5X4X3X2X1)anagramas.

Parasabercomodeterminaronúmerodeanagramascomelementosrepetidos,vamostomarumdessesanagramasevercomoelesecomportacomrelaçãoaos120possíveis.ParatantovamospensaroanagramaES-SEScomosetivesseascincoletrasdistintas.Assim:E1S1S2E2S3.Dentreos120anagramaspossíveis,12deramorigemaESSES.Sãoeles:

Grupo 1

E1S1S2E2S3

E1S1S3E2S2 E1S2S1E2S3 E1S2S3E2S1 E1S3S1E2S2 E1S3S2E2S1

Grupo 2

E2S1S2E1S3

E2S1S3E1S2 E2S2S1E1S3 E2S2S3E1S1 E2S3S1E1S2 E2S3S2E1S1

Osanagramasdogrupo1foramobtidosdeixando-seE1eE2nassuasposiçõesoriginaisepermutando-seastrêsletrasSentresi,dandoorigema6.Osdogrupo2foramobtidosapartirdosanagramasdogrupo1,permu-tando-seasduasletrasEentresi,cadaumdandoorigemaoutro.Portanto,cadaumdos10anagramaslistadosanteriormenteforamorigináriosde12anagramasobtidospelapermutaçãodasduasletrasEedastrêsletrasS.

Assim,paradeterminarmosonúmerodaspermutaçõesdapalavraES-SEStemosquedividiras120permutações(pensadascomoletrasdiferentes)pelaspermutaçõesdastrêsletrasSepelaspermutaçõesdasduasletrasE.

Denotandopor onúmerodeanagramasdapalavraESSES,temos

que = .

Generalizando.Onúmerodepermutaçõesdenobjetoscomrepetiçãodea1,a2,a3,…,ardessesobjetosédenotadopor epodesercal-culadocomosegue:

= .


Exemplo2.3.07.OnúmerodeanagramasdapalavraMARIANAéP7,3que

éiguala840.Defato,temosque 37P =

3

7

PP

=321

7...21××

××× =840.

Exemplo2.3.08.Aquantidadedenúmerosde5algarismosquepodemos

formarusandotodososalgarismos1,1,1,2e2é 2,35P = 12123

12345××××××××=10.

4. O fatorial de um número e o número de arranjos e o de permutações

Nestaseçãoapresentaremosumanotaçãoparaumprodutoqueapa-rececombastante freqüêncianaanálisecombinatóriaequesimplificarábastanteonossotrabalho.

Comovimos,todavezquedesejamoscalcularonúmerodepermuta-çõesdenobjetos,nosdeparamoscomnúmerosdotipo:

• Paran=2:1X2;• Paran=3:1X2X3;• Paran=4:1X2X3X4;eassimpordiante.Comoprodutosdessanaturezavãoaparecercombastantefrequência

naresoluçãodeexercíciosrelacionadosàcontagemdeobjetosouagrupa-mentos,érazoávelquecriemosumsímbolopararepresentá-los.

Temos,portanto,aseguintedefinição.

Fatorial de um número.

Dadoonúmerointeiron,comn≥0,ofatorialdenéindicadopelosímbolon!(queselê:nfatorialoufatorialden)edefinidopor:

Exemplo2.4.01.Ofatorialde4éindicadopor4!que,porsuavez,éiguala4!=1X2X3X4=24.

Exemplo 2.4.02. Para calcular o valor da expressão , basta desen-

volvermososfatoriaiseefetuarmosassimplificações,quandoforocaso.É

importanteobservarmosque10!=10X9!=10X9X8!E,portanto,teremos:

= = = 45.

Demaneirageral,temosquen!=nX(n–1)!=nX(n–1)X(n–2)!.

Exemplo2.4.03.Pararesolveraequação(n-4)!=120,bastaobservarmosque,peloteoremafundamentaldaaritmética,sepeqsãonúmerosinteirosmaioresdoqueouiguaisa1,etaisquep!=q!,entãop=q.Notemosaindaque120=5!.Assim,daigualdade(n–4)!=120,segueque(n–4)!=5!e,consequentemente,n–4=5,ouseja,n=9.


Oteoremafundamentaldaaritméticaafirmaquetodonúmerointeiromaiordoque1ouéprimoouseescrevedemaneiraúnica

comoumprodutodenúmerosprimos.

Depossedestanotação,podemosreescreveronúmerodepermutaçõesdenobjetoseonúmerodearranjosdenobjetostomadospapcomosegue.

• Anotaçãodefatorialeonúmerodepermutaçõessimples.Comosabemos,onúmerodepermutaçõessimplesdenobjetoséindicadoporPnecalculadopor

Pn=nX(n–1)X(n–2)X…X3X2X1.

Deacordocomadefiniçãodefatorialdeumnúmero,temosque

Pn=nX(n–1)X(n–2)X…X3X2X1=n!.

• Anotaçãodefatorialeonúmerodearranjossimples.Comofoidefinidoanteriormente,onúmerodearranjossimplesdenobjetostomadospapéindicadoporAn,pepodesercalculadopor

An,p=nX(n–1)X(n–2)X…X(n–p+1).

Comadefiniçãodefatorialdeumnúmero,essaigualdadepodeserreescritacomo

An,p=nX(n–1)X(n–2)X…X(n–p+1)= .

• Anotaçãodefatorialeonúmerodepermutaçõescomelemen-tosrepetidos.Vimosqueonúmerodepermutaçõesdenobjetoscomrepetiçãoden1,n2,n3,…,nrobjetospodesercalculadopor

= .

Adefiniçãodefatorialdeumnúmeronospermiteescrever

= = .

Exemplo2.4.03.Onúmerodefilasdistintas,noexemplo4,podeserindi-cadoporP5=5!.

Exemplo2.4.04.Onúmerodesequênciasdetrêsletrasdistintasnoexem-

plo2.2.05podeserindicadoporA4,3= )!34(!4

-=4!

Exemplo2.4.05.Aquantidadedenúmerosde5algarismosquepodemos

formarusando todos os algarismos1, 1, 1, 2 e 2 pode ser indicadapor

2,35P =

!2!3!5 .


5. Permutação CircularAtéagoravimosquecom3pessoas,A,BeC,épossívelformarmos

trêsfilasouordenaçõesdistintas.Sãoelas:ABC,ACB,BAC,BCA,CABeCBA.Cadaumadessasfilasouordenaçõeséditaumapermutaçãosimplesdastrêspessoas,éformadapelasmesmaspessoasediferedasoutras,ape-nas,pelaordememqueaspessoasseencontram.Assim,aspermutaçõesABCeCAB,porexemplo,sãocompostaspelaspessoasA,BeC,sendoqueemABC,Aéoprimeiro,BosegundoeCoterceiro,enquantoemCAB,Céoprimeiro,AéosegundoeBéoterceiro.

Vimostambémqueonúmerodepermutaçõesdenobjetospodesercalculadopelaigualdade

Pn=n!

emqueosímbolon!representaoproduto

nX(n–1)X(n–2)X…X3X2X1,

paraqualquernúmeronaturaln,n>1.Suponhaagoraquequeiramosdistribuirastrêspessoas,A,BeC,em

tornodeumamesacircular.

Seráqueteremosasmesmasseispossibilidades?Pense,antesdeprosseguir.

Tomemosasseispermutaçõesanterioresefaçamossuadistribuiçãoemtornodeumcírculo,conformeafiguraaseguir.

Fig.Distribuiçãodaspermutaçõessimplesde3objetos

emtornodeumcírculo

Istosugereadefiniçãoquesegue.• Permutaçãocircular.Umapermutaçãocirculardenobjetosdis-tintoséqualquerdistribuiçãodessesobjetosemtornodeumcírculo(realouimaginário).

Notemos,entretanto,quesefizermosumarotaçãode120o(aproxima-damente)emtornodocentrodocírculodequalquerumadaspermutaçõesdaprimeiralinhaobteremosoutrapermutaçãodaprimeiralinha.Esefi-zermosumarotaçãode120o(aproximadamente)dequalquerumadasper-mutaçõesdasegundalinhaobteremosumapermutaçãodasegundalinha.

Estasituaçãonoslevaàsseguintesquestões:Quantasdestasdistri-buiçõespodem,realmente,serconsideradasdiferentes?Comofazerdistin-çãoentreduasdistribuiçõesdestetipo?


Umaboamaneiradetentarresolveresseproblemaéescolherumsen-tido-horárioouanti-horário-parapercorreracircunferênciadocírculoeanotarosobjetosnasequênciaquevãoaparecendo.Assim,seguindoacircunferênciadadistribuiçãoI(primeiralinhaeprimeiracoluna)nosen-tidohorário,ecomeçandopelapessoamaisacima(pessoaA),obtemosaseguintesequência:

A — B — C — A — B — C — …

procedendodemaneira semelhanteparaadistribuição II (primeiralinhaesegundacoluna),obtemosasequência:

B — C — A — B — C — A — …e,finalmente,paraadistribuiçãoIII(segundalinhaeprimeiracolu-

na),obtemosasequência:

A — C — B — A — C — B — …Vistascomoumafilaoupermutaçãosimples,éclaroqueestastrês

sequênciassãodiferentes.Nasduasprimeiras,oprimeiroobjetodeumaédiferentedoprimeiroobjetodaoutra,porexemplo.Nasegundaenatercei-raosprimeirosobjetostambémsãodiferentes.Comrelaçãoàprimeiraeàterceira,osegundoelementodeumaédiferentedosegundoelementodaou-tra.Assim,percebe-seclaramenteque,comopermutaçõessimples,astrêssãodiferentes.Acontecequeemumadistribuiçãocircularnãoexisteumprimeironemumsegundo.Qualquerumpodeseroprimeiro,dependendodeporondesequercomeçaraenumeração.Assim,umaalternativaparasetentarcompararasdistribuiçõesanterioreséseguirumsentido-horárioouanti-horário-e,aoinvésdecomeçarsemprepelamesmaposição,come-çarpelomesmoobjeto.Destaforma,asdistribuiçõesanteriores,naformadesequência,ficariam:

I: A — B — C — A — B — C — …II: A — B — C — A — B — C — …III: A — C — B — A — C — B — …

Observemosqueprocedendodestamaneiraasduasprimeirasdistri-buiçõespassamaseriguais,enquantoaterceiraédiferente.Assequênciasqueficaramiguaissãoexatamenteasdamesmalinha,ouseja,aquelasquesetornamiguaisporrotaçõessucessivasde120o,emtornodocentrodocírculo,nosentidohorário.

Istosugereadefiniçãoquesegue.• Distribuiçõescircularesiguais.Duasdistribuiçõescircularesdenobjetosdistintossãoiguaisseumapodeserobtidadaoutrapormeiodeumarotaçãoemtornodocentrodocírculo,nosentidoho-rárioouanti-horário.

Deacordocomoquefoifeito,existemapenasduaspermutaçõescir-cularesdos3objetosA,BeC.ComeçandocomA,sãoelasABCeACB.

Calculando o número de permutações circulares.

Paracalcularonúmerodepermutaçõescircularesdenobjetosdis-tintos, podemos proceder de duas maneiras. A primeira é procedermos


comofizemosanteriormenteeescolhermosumdosobjetosparainiciaradistribuiçãoeumsentido-horárioouanti-horário-parapercorreracir-cunferência.Assim,devemosescolheroprimeiro,logoapósoescolhido,osegundo,oterceiro,e,finalmente,oúltimoqueéodeordemn-1.Assim,devemosordenarn-1objetos.Istosugereaseguinteproposição.

Número de permutações circulares.

Onúmerodepermutaçõescircularesdenobjetosdistintoséindicadopor(PC)n,valendoaigualdade(PC)n=(n–1)!.

Outramaneira de determinar onúmerodepermutações circularesden objetos distintos é considerar a todas as permutações den objetosecontarquantasdelassão iguaiscomopermutaçõescirculares,ouseja,quantassãoobtidasporrotaçãoemtornodaorigemdocírculo.Paraexem-plificar,tomemososobjetosA,B,CeD.Sabemosquecomesses4objetosépossívelfazermosas24permutaçõesdistintaslistadasaseguir:

ABCD DABC CDAB BCDA

ABDC CABD DCAB BDCA

ACBD DACB BDAC CBDA

ACBD BACD DBAC CDBA

ADBC CADB BCAD DBCA

ADCB BADC CBAD DCBAEmcada linha, temos,apenas,umarotaçãodapermutaçãoquese

encontranaprimeiracolunae,portanto, são todas iguais. Issopodeservistoseobservarmosque,emcadalinha,osobjetosforamsedeslocandoumaposiçãoparafrente.Assim,paracontarmosonúmerodepermutaçõescircularesde4objetos,devemostomaronúmerototaldepermutaçõessim-plesedividirpor4,queéonúmerodepermutaçõessimplesquesãoiguaisaumadadapermutação.Portanto,podemosescrever

(PC)4= .6123!34!4

=××==

Generalizando.Paraocasodenobjetos,bastaobservarmosque,emcadalinhateremosnpermutaçõesiguais,obtidaspelodeslocamentoparafrentedoobjetoqueseencontranaprimeiraposiçãoatéelechegaràúltimapo-sição.Assim,onúmerodepermutaçõescircularesdenobjetosédadopor

(PC)n= !.)1(!-= n

nn

Exemplos2.5.01.Quatromeninospodemformarumarodadecirandade(PC)4=3!maneirasdiferentes.Exemplos2.5.02.Onúmeroderodasdecirandadistintasquesepodeformarcomseismeninos,nasquaisdoisdelessempreestãojuntos,é2X(PC)5=2X4!.


Dandoprosseguimentoaonossoestudodeanálisecombinatória,nes-taUnidadeabordamososagrupamentosconhecidoscomoarranjoseaque-les conhecidos comopermutações.Vimosqueaspermutações são casosparticularesdosarranjosequetantoestesquantoaquelespodemserclas-sificadoscomosimplesoucomelementosrepetidos.VimostambémqueonúmerodearranjossimplesdenobjetostomadospapéindicadoporAn,peodepermutaçõessimplesdenobjetoséindicadoporPn.Jáosarranjoscomrepetiçãodenobjetostomadospapeaspermutaçõesdenobjetoscomrepetiçãodeelementossãodenotadaspor(AR)n,pePn

α1,α2,α3,…αr,respectiva-mente.Aprendemosacalcularonúmerodecadaumdessesagrupamentos,diferenciando uns dos outros e introduzimos a notação fatorial que nospermiteabreviaroprodutodasequênciadenúmerosnaturaisdesde1atén,indicandotalprodutoporn!.Porfim,estudamosaspermutaçõescircu-lares,queconsistemnadistribuiçãodeobjetosoupessoasemtornodeumcírculo,formandosequênciasordenadasedeterminandoaquantidadedes-tassequênciasemfunçãodonúmerodeobjetosoudepessoas.

1. Quantos números pares, com quatro algarismos distintos, é possívelformarcomosalgarismos0,1,2,3,4,5e6?

2. Quantos números compreendidos entre 200 e 1000, com algarismosdistintos,épossívelformarcomosalgarismos0,1,2,34e5?Eseosalgarismospuderemseriguais?

3.Resolvaasequações:

Ax,3=4Ax,2

An,2+An-1,2+An-2,2=20

4.Calculeovalorde .

5.ResolvaaequaçãoPn=24An,3.

6.Calcularovalorde:


7.Simplifiqueaexpressão

8.Resolvaasequações

9.Determineointeiron,sabendoque(n+4)!+(n+3)!=15(n+2)!.

10.Simplifiqueaexpressão . .

11.Determineointeiron,sabendoque =

12.Resolvido.Determineosvaloresdentaisque .

Solução.Noteinicialmenteque

Assim,aigualdade fica .

Quenosdáaequaçãodosegundograun2+3n-40=0,cujasraízessão5e-8.

Comonãoestádefinidoofatorialdeumnúmeronegativo,temosqueasoluçãodaequaçãodadaén=5.

13.Determineaquantidadedenúmerosdistintosquepodemosfazerusan-dotodososalgarismos2,2,3,4e4.

14.Resolvido.Dequantasmaneiraspodemosdispor4casaisemtornodeumamesacircular,semaridoemulherdevemsentarjuntos?Ese,alémdisso,duasmulheresnãopodemsentarjuntas?

Solução.DenotemosporH1,H2,H3 eH4 os quatromaridos eM1,M2,M3eM4suasrespectivasmulheres.Vamosinicialmentedispordeformacircularos4maridos.Sabemosqueexistemas6maneirasdeexecutarmosessatarefa:


• H1,H2,H3eH4;

• H1,H2,H4eH3;

• H1,H3,H2eH4;

• H1,H3,H4eH2;

• H1,H4,H2eH3;

• H1,H4,H3eH2.

Tomemosumadessasdistribuiçõeseobservemososlugaresondeases-posaspodemsentar.

H1 H2 H3 H4

AesposaM1podesentarnasposiçõesou.SeaesposaM1sentarnaposição,teremosduasposiçõesparaesposaM2sentar,quaissejam,asposiçõesou.

M1 H1 H2 H3 H4

OmesmoocorreseM1sentarnaposição,teremosduasposiçõesparaM2sentar.Asposiçõese.

H1 M1 H2 H3 H4

Demaneirasemelhante,escolhidaumadasseisdistribuiçõesdosma-ridos,cadaesposatemduaspossibilidadesdeescolhaparasentar.Por-tanto,temosaotodo3!X24,possibilidadesdedistribuiçãodoscasaisemtornodamesa.

15.Determineonúmerox,x≥2,demodoquesetenhaAx,2=110.

16.Comosalgarismos1,3,5,7e9,quantosnúmerosinteiros,compreendi-dosentre100e1000,dealgarismosdistintos,podemosformar?

17.Umacorridaédisputadapor5atletas.Quantassãoaspossibilidadesdepremiaçãonostrêsprimeiroslugares?Eseforem10atletas?Generalizeoresultadoparanatletas.

18.Umasenhoraquerusaraomesmotempo2anéis,colocando-osemdedosdiferentesdamãoesquerdaoudamãodireita,ambosnamesmamão,excetuando-seosdedospolegares.Dequantasmaneiraselapodefazê-lo?

19.Resolvido.QuantossãoosanagramasdistintosdapalavraARARA?

Solução.ApalavraARARApossui5letrassendo3letrasAe2letrasR.Assim,onúmerodeanagramasdessapalavraédadoporP5

2,3,queéiguala10.

20.QuantosequaissãoosanagramasdapalavraATA?EdapalavraPE-TELECO?

21.Dequantasmaneirasdistintaspodemosdistribuir7bombonsdiferentesemumacaixacom7lugares,comonafiguraaolado?

22.Resolvido.Quantaspulseirasdistintas,deoitocontas,podemserfeitascom8contasdecoresdiferentes?

Solução.Emprincípiopodemospensarquesetratadeumasimplesper-mutaçãocircularde8eque,portanto,seunúmeroé

(PC)8=7!=7X6X5X4X3X2X1=5040.


Acontecequepulseirascomoasdafiguraaoladosãoamesmapulseira.As-sim,devemosdividirototal5040por2,obtendo2520pulseirasdiferentes.

23.Umarranjodefloresdeformacirculardeveserenfeitadocomfloresefitas.Sedispomosde8floresdiferentesefitasde8coresdiferentes,dequantosmodosdistintospodemosenfeitaroarranjosecadaflordeveficarentreduasfitasedeve-seusarumafitadecadacoreumaflordecadatipo?

24.Determineaquantidadedemúltiplosde3comquatroalgarismosquepodemserformadoscomosalgarismos2,3,4,6e9.

25.DosanagramasdapalavraPERNAMBUCO,quantoscomeçamPelasí-labaPER?EquantoscomeçampelasletrasP,E,R,emqualquerordem?

26.Umafamíliade5pessoastemumacarrode5lugares.Dequantosmo-dospodemseacomodarnocarroparaumaviagemse:

a)sóumadaspessoassabedirigir?

b)todassabemepodemdirigir?

27.Dequantosmodos5pessoaspodemsentaremumbancode5lugaresseduasdelasdevemsempresentarjuntas?

28.Resolvido.Exprimir,usandoanotaçãodefatorial,oprodutodosnpri-meirosnúmerospares.

Solução.Osnprimeirosnúmerosparessão2,4,6,8,,2neseupro-dutoPédadoporP=2.4.6.8..2n,quepodeserescritocomo

P=2.1.2.2.2.3.2.4.….2.n=2.2.2.….2.1.2.3.…n=2n.n!

29.Exprimir,usandoanotaçãodefatorial,oprodutodosnprimeirosnú-merosímpares.

30.Quantossãoosnúmerosde7algarismosnãoiniciadospor0equecon-tém5vezesoalgarismo1?

Texto 1: A função Gama de Euler

A função gama de x, denotada por Γ(x) e defi nida por

, para x > 0,

pode ser vista como uma generalização, ao conjunto dos números reais, da função fatorial de n, defi nida para todo número natural n.

A partir da defi nição por meio da integral indefi nida, é fácil ver, que

G(x + 1) = xG(x)

e que Γ(1) = 1. Consequentemente, teremos

Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1Γ(1) = 1

Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2Γ(2) = 2 X 1

Γ(4) = Γ(3 + 1) = 3Γ(3) = 3 X 2 X 1

Γ(5) = Γ(4 + 1) = 4Γ(4) = 4 X 3 X 2 X 1


e, de maneira geral,

Γ(n+1) = nΓ(n) = n X (n – 1) X … X 4 X 3 X 2 X 1

ou ainda, Γ(n+1) = n!.

Assim, a função Γ(X) pode ser vista como uma extensão da função fato-rial de x ao conjunto dos números reais.

Sabendo que π=Γ )21( , é possível determinar o valor da função para

qualquer fração cujo denominador é igual a 2, como veremos a seguir.

Se o numerador for um inteiro positivo par, então a fração será um intei-ro positivo e já vimos como calcular o valor da função, neste caso.

Se o numerador for um inteiro positivo ímpar, então teremos

e assim por diante.









Unidade

Combinações, Números Binomiais e Binômio de Newton

Objetivos:

• Conceituarosagrupamentoschamadosdecombinaçõessimplesedecombinaçõescompletas,diferenciandoumtipodooutro.

• Relacionar as combinações simples com os arranjos simples, determinando onúmerodeumemfunçãodonúmerodooutro.

• Determinaronúmerodecombinaçõescompletasdenobjetostomadospap.• Utilizarascombinaçõescompletasnocálculodonúmerodesoluçõesdecertas

equaçõeseinequaçõesdiofantinas.• Conceituarnúmerosbinomiaiseestudaralgumasdesuaspropriedades.• Relacionarodesenvolvimentodobinômio(a+b)ncomoestudodascombinações

simples.

3


1. IntroduçãoNestaUnidadeabordaremosmaisdoistiposespeciaisdeagrupamen-

tosquediferemdosanteriorespostoqueestesnãosãoordenados.Sãoeles:ascombinaçõessimpleseascombinaçõescompletas.Veremosqueascom-binaçõessimplescoincidemcomossubconjuntosdeumdeterminadocon-juntoeque,portanto,determinaronúmerodecombinaçõessimplesdenobjetos,tomadospap,coincidecomdeterminaronúmerodesubconjuntocontendopelementosdoconjuntocujoselementossãoosnobjetosdados.Aprenderemosacalcularonúmerodecombinaçõessimpleseestabelece-remosarelaçãoentreestenúmeroeonúmerodearranjossimples.Defi-niremos combinações completas e, a partir da determinação do númerodesoluçõesdecertasequaçõesdiofantinas,determinaremosonúmerodecombinaçõescompletasdenobjetos,tomadospap.Estudaremosascom-binaçõescomplementareseestabeleceremosarelaçãodeStiefel.Definire-moseestudaremosasprincipaispropriedadesdosnúmerosbinomiaise,porfim,estudaremosodesenvolvimentodaexpressão (x+a)n,expressãoconhecidacomobinômiodeNewton.

2. Combinações SimplesQuandoestudamososarranjossimplesdenobjetostomadospap,

com1≤p≤n,vimosqueelesconsistemnaescolhaeordenaçãodepdessesobjetos.Assim,paraosalgarismos2,3,4e5,seescolhermoso3eo4,porexemplo,podemosordená-losdeduasformas:34ou43;seescolhermososalgarismos2e5,podemosordená-los,também,deduasformas:25ou52;escolhendoosalgarismos2,3e5,podemosordená-losdeseisformas:235,253,325,352,523ou532.

Comosepercebe,paracadaescolhadepdentreosnobjetosdadoste-mosumnúmerodeordenaçõesquecoincidecomonúmerodepermutaçõesdepobjetos,ouseja,éigualaPp.

DenotandoporCn,ponúmerodeescolhadepdentrenobjetosdistin-tos,conclui-seque

An,p=Cn,pXPp.

Cadaumadessasescolhaséditaumacombinaçãodosnobjetosto-madospap.Maisprecisamente,temosadefiniçãoseguinte.

Combinaçãosimplesdenobjetos.Umacombinaçãosimplesoucom-binaçãodenobjetostomadospap,com1≤p≤n,équalquerescolhadepdessesobjetos.


Noteque,enquantonoarranjonóstemosumaescolhaseguidadeumaordenação,nacombinaçãotemosapenasaescolha,ouseja,aordemnaqualosobjetossãoescolhidosnãointeressa.Narealidade,ascombinaçõescorres-pondemasubconjuntosdoconjuntocujoselementossãotodososnobjetos.Exemplo3.2.01.Dadasasvogaisa,e,i,o,u,ascombinaçõesdessasletrastomadas3a3sãoosconjuntos{a,e,i},{a,e,o},{a,e,u},{a,i,o},{a,i,u},{a,o,u},{e,i,o},{e,i,u}e{i,o,u}e,portanto,são10.NotequeessascombinaçõessãotodosossubconjuntosdoconjuntoV={a,e,i,o,u}quepossuem,exatamente,3elementos.Exemplo3.2.02.OssubconjuntosdoconjuntoV={a,e,i,o,u},comexata-mente2elementossãoos10conjuntos:{a,e},{a,i},{a,o},{a,u},{e,i},{e,o},{e,u},{i,o},{i,u},{o,u},esãoossubconjuntosdascombinaçõesdosobjetos―a,e,i,o,u―tomados2a2.Exemplo3.2.03.Ascombinaçõesdasvogaisa,e,i,o,utomadas1a1cor-respondemaoscincosubconjuntosunitáriosdoconjuntoV={a,e,i,o,u}.

Estendendo o conceito de combinação.

Dostrêsexemplosanteriorespodemosconcluirqueascombinaçõesdosnobjetosa1,a2,a3,…,an,tomadospap,podemservistoscomoossubconjun-tosdoconjuntoV={a1,a2,a3,…,an},possuindo,cadaumdeles,exatamentepelementos.Istosugerequeestendamosoconceitodecombinaçãosimplesdenobjetos,tomadospap,paraocasoemquep=0,definindoestacombinaçãocomosendooconjuntovazio.

• Combinaçãoden,0a0.Dadososnobjetosa1,a2,a3,…,an,acombi-naçãodessesobjetostomados0a0édefinidacomooconjuntovazio.

Calculandoonúmerodecombinações.Onúmerodecombinaçõesdenobjetosdistintos,tomadospap,com1≤p≤n,podesercalculadoemfunçãodonúmerodearranjosdosnobjetos,tomadospapedonúmerodepermutaçõesdep,selembrarmosque

An,p=Cn,pXPp,

emqueAn,péonúmerodearranjosdenobjetos,tomadospap,ePpéonúmerodepermutaçõesdepobjetos.

Daigualdadeanterior,temosque

.

Nanotaçãodefatorial,temosqueonúmerodecombinaçõesdenob-jetosdistintos,tomadospap,édadopor

.

Exemplo 3.2.04. Qualquer que seja o número natural n, 1 ≤ n, temos

,comojátínhamosvisto,umavezqueCn,1corres-

pondeaonúmerodesubconjuntosunitáriosdeumconjuntocomnelementos.

Exemplo3.2.05.OsnúmerosC7,3eC7,4sãoiguais,poisC7,3= !4!3!7 eC7,4= !3!4

!7 .

Exemplo3.2.06.Deacordo comadefinição,Cn,0 =1,poisumconjuntocom n elementos possui, exatamente, um subconjunto com 0 elementosqueéosubconjuntovazio.Deacordocomafórmuladofatorial,temosqueCn,0= 1

!!0!

)!0(!0!

==- n

nnn .


Combinações complementares.

Dadosnobjetosdistintos,qualquerescolhadepdestesobjetoscor-respondeàescolhadosn-prestantesouquecompletamoconjunto.Porexemplo,aoescolhermososalgarismos1,2e3doconjuntoA={1,2,3,4,5},automaticamenteosalgarismos4e5ficamescolhidoscomoelementosdoconjuntocomplementarde{1,2,3}.Dizemos,porisso,quetaiscombi-naçõessãocombinaçõescomplementares.

Emvirtudedoquefoifeito,podemosenunciaroseguinteresultado.• Propriedadedascombinaçõescomplementares.Dadososintei-rosnep,com1≤p≤n,temosqueCn,p=Cn,n-p.

3. Combinações completas e equações diofantinasVimosqueascombinaçõessimplesdostrêsobjetosa,bec,tomados

2a2,sãoosparesnãoordenadosdeobjetosdistintosab,acebc.Masépossívelformarmosoutrosparescomessesobjetos,senãofi-

zermosaexigênciadequeoselementossejamdistintos.Porexemplo,pode-mosformarosparesaa,bbecc,perfazendo,assim,umtotaldeseispares.

aa,ab,ac,bb,bc,cc

ComosobjetosA,B,CeDpodemosformarosseguintespares:

AB AC AD AA

BC BD BB

CD CC

DD

Osparesqueseencontramnastrêsprimeirascolunassãocombina-çõessimplesdasquatroletrastomadasduasaduaseosdaúltimacoluna,porapresentaremletrasrepetidas,nãosão.Istosugereadefiniçãoseguinte.

• Combinaçãocompleta.Dadososnobjetosa1,a2,a3,…,an,umacombinaçãocompletadessesobjetostomadospap,équalquerlistanãoordenadadepdessesobjetos,distintosounão.

Exemplo3.3.01.Dadososalgarismos1,2,3,4,5e6,osnúmeros345,335,333,344e343sãocombinaçõescompletasdessesalgarismos,to-mados3a3.

Note,entretanto,que,comocombinações,ossímbolos345,354,435e453são,todos,iguais,poispossuemosmesmosalgarismos.

Nascombinações,aordemnaqualosobjetosseapresentamnãoimporta.Adiferençaentreascombinaçõesencontra-sena

naturezaenãonaordemdessesobjetos.

Determinando o número de permutações completas.

No exemplo 3.3.01, para determinarmos o número de permutaçõescompletasdosseisalgarismos,tomados3a3,podemospensarcadaumadessascombinaçõescomoumasoluçãodaequação

n1+n2+n3+n4+n5+n6=3,emquenirepresentaaquantidadedealgarismosipresentesnacombi-

nação.Assim,asolução(1,1,1,0,0,0)representaacombinação123;asolução


(2,0,0,0,0,1)representaacombinação116;asolução(0,0,1,2,0,0)representaa combinação344; e assimpordiante.Reciprocamente, as combinações455,666,456e222se fazemrepresentadaspelas soluções (0,0,0,0,0,3),(0,0,0,1,2,0),(0,0,0,1,1,1)e(0,3,0,0,0,0),respectivamente.Portanto,onossoproblemadedeterminaronúmerodecombinaçõescompletasde6objetos,tomados3a3,setransformanoproblemadedeterminaronúmerodesolu-ções,comcertaspropriedades,deequaçõesdiofantinas.

Equaçõesdiofantinas.Asequaçõesdiofantinasnasquaisestamosinteressadossãoequaçõesdotipox1+x2+x3+…+xp=N,emquex1,x2,x3,…,xpsãoincógnitasquesomentepodemassumirvaloresinteiroseNéumnúmerointeiropositivo.Ap-upla(a1,a2,a3,…,ap),denúmerosinteiros,éditaumasoluçãodaequaçãose,esomentese,a1+a2+…+ap=N.Setodososaisãopositivos,dizemosqueap-upla(a1,a2,…,ap)éumasoluçãoeminteirospositivos.Sealgunsdosaisãopositivoseosdemaissãoiguaisazero,dizemosqueap-uplaéumasoluçãoeminteirosnãonegativos.

Umap-uplaéumasequênciaordenadadepnúmeros.

Emnossosproblemasdecontagem,estamosinteressadosemsoluçõeseminteirospositivosesoluçõeseminteirosnãonegativos.Nocasoespecí-ficode determinar onúmero de combinações completas, nosso interesserecaisobreassoluçõeseminteirosnãonegativos.

Soluções em inteiros positivos.

Nestaseçãoestamosinteressadosemdeterminaronúmerodesoluçõeseminteirospositivosdeumaequaçãodiofantinadada.Atítulodeilustraçãoecomoformadeconhecermosocomportamentodonúmerodetaissoluções,vamosestudaraequaçãodiofantina

X+Y+Z=5.

Cadasoluçãodestaequaçãoconsisteemdividirocincoemtrêspar-tes,sendocadaumadelasmaiordoqueouiguala1.

Vamos imaginar o 5 como as cinco unidades representadas, cadauma,porumabarra.Assim:

Vamosanalisarasfiguras,aseguir:

Cadaumadelaspodeserpensadacomoumasoluçãodaequaçãoefoi obtidapela inserçãodebolas em2dos4espaçosexistentesentreas5unidades(representadaspelasbarrashorizontais),dividindo-asemtrêspartes.Defato,nasfigurasde1a5temosassoluções(1,2,2),(2,1,2),(3,1,1),(1,1,3)e(1,3,1),respectivamente.


Portanto, de acordo com o que fizemos, podemos determinar todasassoluçõeseminteirospositivosdaequaçãodadapormeiodesseartifício:escolher2dos4espaçoseinserirumabolaemcadaumdeles.

Assim,onúmerodesoluçõeseminteirospositivosdaequaçãoX+Y+Z=5édadoporC4,2.Generalizando. Notemos que, na equação anterior, se tivéssemos apenasduasincógnitas,ouseja,seaequaçãofosseX+Y=5,deveríamosdividiras5unidadesemduaspartes.Issopoderiaserfeitopelainserçãodeumaúnicabolaemumdosquatroespaços,oumelhor,deveríamosescolher1dos4es-paços.AssimteríamosC4,1soluçõeseminteirospositivosdistintas.

Demaneirageral,paradeterminarmosonúmerodesoluçõesemin-teirospositivosdaequaçãodiofantinax1+x2+x3+…+xp=N,emquex1,x2,x3,…,xpsãoincógnitasquesomentepodemassumirvaloresinteiroseNéumnúmerointeiropositivo,devemosdistribuirp-1bolinhasnosp-1espaçosentreasNbarrasquerepresentamasunidades,ouseja,devemosescolherp-1,entreosn-1espaçosexistentes.

Logo,onúmerodesoluçõeseminteirospositivosdaequação

x1+x2+x3+…+xp=N

éCn–1,p–1.

Exemplo3.3.02.OnúmerodesoluçõeseminteirospositivosdaequaçãoX+Y+Z+T=8éC7,3.Exemplo3.3.03.Onúmerodemaneirasdistintasderepartirmos16bom-bonsentre4irmãos,deformaquecadaumdelesreceba,pelomenos2bom-bonséonúmerodesoluções,eminteirospositivos,daequaçãonX+nY+nZ+nT=12.Defato,chamemosX,Y,ZeTosquatroirmãosedenX,nY,nZenTaquantidadedebombonsquecadaumdelesrecebe,respectivamente.Sedermoslogo,antesdadivisão,1bombomparacadaumdosirmãos,fi-caremoscom12bombonspararepartirentreosquatro.CadasoluçãoeminteirospositivosdaequaçãonX+nY+nZ+nT=12garantequecadaumdosirmãosreceba,pelomenos,maisumbombom.Eassim,aofinal,cadairmãoteráganhado,pelomenos,2bombons.

Retomando o cálculo do número de combinações completas.

Vimos anteriormente que para determinarmos onúmero de combi-naçõescompletasde6objetos,tomados3a3,bastaquedeterminemosonúmerodesoluçõeseminteirosnãonegativosdaequaçãodiofantina

x1+x2+x3+x4+x5+x6=3.

Notemosqueessaequaçãonãopossuisoluçãoeminteirospositivos,poisseatribuirmosovalor1paracadaumdosxi,teremos

asomaiguala6quejáémaiordoque3.Nossoproblemaé“Comodeterminaronúmerodesoluçõeseminteiros

nãonegativosdaequaçãodiofantinadotipo:

x1+x2+x3+…+xp=N?”

Tomemos, novamente, um exemplo para esclarecermos o processo.ConsideremosaequaçãoX+Y+Z=3.

Aúnicasoluçãoeminteirospositivosdessaequaçãoéoterno(1,1,1).Asoutrassoluções,eminteirosnãonegativos,sãoosternos:(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0)e(0,0,3).


Tomandocadaumadessassoluçõeseacrescentando1acadaumadascoordenadasobtemososseguintesternos:

CadasoluçãoeminteirosnãonegativosdaequaçãoX+Y+Z=3dáorigemaumasoluçãoeminteirospositivosX+Y+Z=6.Reciprocamente,se(x0,y0,z0)éumasoluçãoeminteirospositivosdaequaçãoX+Y+Z=6,então(x0–1,y0–1,z0–1)éumasoluçãoeminteirosnãonegativosdaequaçãoX+Y+Z=3.

Defato,comox0≥1,y0≥1ez0≥1,temosquex0–1≥0,y0–1≥0ez0–1≥0.

Alémdisso,comox0+y0+z0=6,temosque

(x0–1)+(y0–1)+(z0–1)=6–3=3

provandoque(x0–1,y0–1,z0–1)éumasoluçãoeminteirosnãone-gativosdeX+Y+Z=3.

Portanto,onúmerodesoluçõeseminteirosnãonegativosdaequaçãoX+Y+Z=3éigualaonúmerodeequaçõeseminteirospositivosdaequa-çãoX+Y+Z=6que,comosabemos,éigualaC6–1,3–1=C5,2.Generalizando.Parageneralizarmosoresultadoanterior,bastadescobri-mosdeondevieramos índicesdacombinação.Temosqueo6 foiobtidoquandosomamos1unidadeacadaumadasincógnitas.Comisso,trans-formamosaequação

x1+x2+x3+…+xp=n

naequação

x1+x2+x3+…+xp=n+p,

cujonúmerodesoluçõeseminteirospositivosédadoporCn+p-1,p-1.Comissoprovamosoresultadoseguinte.• Númerodecombinaçõescompletas.Onúmerodecombinaçõescompletasdenobjetos, tomadospap, é indicadopor (CR)n,p e écalculadoporCn+p-1,p-1.

Exemplo3.3.04.Onúmerodesoluçõeseminteirosnãonegativosdaequa-çãodiofantinaX+Y+Z+T=4é(CR)4,4queédadoporC4+4-1,4-1=C7,3queéiguala35.Essaequaçãopossuiumaúnicasoluçãoeminteirospositivosqueé(1,1,1,1).Todasasdemaispossuemalgumaoualgumascoordenadasiguaisazero.Vamoslistarasdemaissoluções?


4. Números binomiaisSejamnepnúmerosinteirosnãonegativos,com0£p£n.Onúmero

decombinaçõessimplesdenobjetostomadospapéchamadodenúmerobi-nomialdendeclassepeédenotadoporCn,pou ,queselê:nsobrep.

Assim, = .Anotação édevidaaomatemáticosuíçoLeonhardEuler.

Nanotação ,onúmeronéchamadonumeradoreonúmeropéchamadodenominadordonúmerobinomial.

Exemplo3.4.01.Onúmerobinomialdenumerador4edenominador2éo

número = = = =6.

Exemplo3.4.02.Osnúmerosbinomiais e são iguais.De fato,

temosque = = =1.

Poroutrolado, = = =1.Provandoqueosdoisnúmeros

binomiaissãoiguais.

Números binomiais de classes complementares.

Os números binomiais e são ditos números binomiais

declassescomplementaresou,simplesmente,númerosbinomiaiscomple-mentares,poisvaleaigualdadep+(n–p)=n.Demaneirageral,temosadefiniçãoseguinte.

Definição.Osnúmerosbinomiais e sãoditosdeclasses

complementaresse,esomentese,p+q=n.

Exemplo3.4.03.Osnúmerosbinomiais e sãonúmerosbinomiais

declassescomplementares.Defato,3+4=7e,alémdisso, = e

= .

Exemplo3.4.04.Seosnúmerosbinomiais e sãonúmerosbino-

miaisdeclassescomplementares,então3+p=8e,portanto,p=5.Temos

aindaque = e = .

Essa igualdade entre os números binomiais complementares nosexemplos3e4nãoécoincidência.Defato,valeoseguinteresultado.

• Propriedade01dosnúmerosbinomiais.Dadososnúmerosbino-

miais e sep+q=n,então = .

Aprovaalgébricadestapropriedadeéimediata,pois = e

= .Comop+q=n,temosq=n–pe,portanto,temosque

= = = .


Éimportantelembrarmosqueonúmero representaaquantida-

dedeescolhaspossíveisdepdentrenobjetosdadosequecadaescolhadepobjetoscorrespondeaumaescolha(complementar)den–pobjetos.

Assim,existeumacorrespondênciabiunívocaentreascombinaçõessimplesdosnobjetostomadospapeascombinaçõessimplesdosmes-mosnobjetos tomadosn–pan–p.Logo,mostramosnovamenteque

= .

Números binomiais com mesmo numerador.

Outrapropriedadedosnúmerosbinomiaispermitedeterminaremque

condiçõesdoisnúmerosbinomiaiscomomesmonumeradorsãoiguais.É

óbvioque = .Vimos tambémquenúmerosbinomiaisdeclasses

complementaressãoiguais,istoé, = .

Emqueoutrascondiçõespodemoster = ?

Narealidade,estassãoasduasúnicascondiçõesemquenúmerosbino-miaisdemesmonumeradorsãoiguais.Istoseencontraexpressonaproprie-dadequeseráenunciadaaseguirecujaprovaserádeixadacomoexercício.

• Propriedade02dosnúmerosbinomiais.Osnúmerosbinomiais

e sãoiguaisse,esomentese,p=qoup+q=n.

Exemplo3.4.05.Seosnúmerosbinomiais e sãoiguais,entãode-vemosterp=4oup+4=10,ouseja,p=6.

Exemplo3.4.06.Osnúmerosbinomiais

+16

q e

-1

6p

somenteserãoiguais

sep–1=q+1ousep+q=6.Porexemplo,parap=6eq=0,temos

16

=

56;parap=4eq=2,temosasigualdadesp+q=6ep–1=3=q

+1e

36 =

36 .Noteque,comodevemoster0≤q+1≤6e0≤p–1≤6,não

bastaquep+q=6oup–q=2.

Relação de Sti efel.

Outra relação existente entre os números binomiais é a conhecidacomorelaçãodeStiefelqueafirmaque

.

Aprovaalgébricadestarelaçãoédefácilverificação,comoveremosaseguir.


Temos

= +

= +

=

=

= = = .

Exemplo3.4.07.VamosverificararelaçãodeStiefelparaocasoemquen

=5ep=3.Temosque

35 =

!2!3!5 =10.Poroutrolado,temosque

34 +

24

=!1!3

!4 +!2!2

!4 =4+6=10.

5. Binômio de NewtonNósjáestudamosodesenvolvimentodaexpressão (x+a)2evimos

quevaleaigualdade

(x+a)2=x2+2ax+a2.

Sabemosaindaquetambémvalemasigualdades:

• (x+a)0=1e• (x+a)1=x+a,

umavezquetodonúmeronãonuloelevadoazeroéiguala1etodonúmeroelevadoauméigualaelemesmo.

Nossoobjetivoé,usandoosconhecimentosdeanálisecombinatória,estudarocomportamentododesenvolvimentode(x+a)n,paratodointeiropositivon,expressãoconhecidacomobinômiodeNewton.

Estudando o comportamento do desenvolvimento de (x + a)2.

Paradesenvolvermosaexpressão(x+a)2,usamosadefiniçãodepo-tênciaeapropriedadedistributivadamultiplicaçãocomrelaçãoàadição.

• Definiçãodepotênciacomexpoentenatural.Paratodonúmerorealaetodonúmeronaturaln(n≥0),tem-se

.

• Propriedadedistributivadamultiplicaçãocomrelaçãoàadição.Dadososnúmerosreaisa,bec,valemasigualdades:aX(b+c)=aXb+aXce(b+c)Xa=bXa+cXa.


Deacordocomadefiniçãodepotência,temosque

(x+a)2=(x+a)X(x+a),

e,usandoapropriedadedistributiva,temosque

(x+a)2=(x+a)X(x+a)=xX(x+a)+aX(x+a)=xx+xa+ax+aa.Comopodemosperceber,nodesenvolvimentode (x+a)2,encontra-

mosuma adição de 4 parcelas, resultante do produto dos 2 termos doprimeirobinômio(x+a)pelos2termosdosegundobinômio(x+a),cadaumadelasformadapeloprodutodeduasletras:xporx,xpora,aporxouapora.Istopodesermaisbemvisualizadoapartirdoestudododesen-volvimentodosprodutos

(a+b)(c+d)

e

(a+b)(c+d)(e+f).

Estudando o desenvolvimento de (a + b)(c + d).

Queremos entender como se comporta o desenvolvimento de (a+b)(c+d).Usandoapropriedadedistributivadamultiplicaçãoemrelaçãoàadi-ção,temosque:

(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=(ac+ad)+(bc+bd).

Analisandoatentamenteo resultado,podemosperceberque,node-senvolvimentodoproduto (a+b)(c+d)encontramosquatromonômios,cadaumdelescompostodoprodutodeumaletrade(a+b)porumaletrade(c+d).Inicialmenteoprodutofoitransformadonasomaindicadaa(c+d)+b(c+d),quepossuiduasparcelas:umatendoaletra“a”comofatoreoutratendoaletra“b”comofator.Emseguida,oprodutoa(c+d)deuorigemadoismonô-mios:umformadopeloprodutoaceooutroformadopeloprodutoad.Demaneirasemelhante,oprodutob(c+d)deuorigemaosdoismonômiosbcebd.Podemosconcluirquenodesenvolvimentodoproduto(a+b)(c+d)obtive-mos2X2(=4)monômios:oprodutoac,deaporc;oprodutoad,deapord;oprodutobc,debporc;eoprodutobd,debpord.


Estudando o desenvolvimento do produto (a+b)(c+d)(e+f).

Vamosestudarocomportamentododesenvolvimentodoprodutodostrêsbinômios(a+b),(c+d)e(e+f).Temosque:

(a+b)(c+d)(e+f) = [(a+b)(c+d)](e+f)

(1) = [a(c+d) + b(c+d)](e+f)

(2) = [(ac+ad) + (bc+bd)](e+f)

(3) = (ac+ad+bc+bd)(e+f)

(4) = ac(e+f) + ad(e+f) + bc(e+f) + bd(e+f)

(5) = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf

Analisandooresultadoobtido,percebemosqueaassociatividadedoprodutode(a+b)por(c+d)por(e+f)deuorigemaoprodutoinicialde(a+b)por(c+d)que,porsuavez,deuorigemàsomados4(=2X2)monômios:ac,ad,bcebd.Adistributividadedoprodutoemrelaçãoàadiçãodeuorigemàsomadosquatroprodutos:ac(e+f),ad(e+f),bc(e+f)ebd(e+f).Estesprodutos,porsuavez,deramorigemaos8(4X2=2X2X2)monômios:ace,acf,ade,adf,bce,bcf,bdeebdf,cadaumdelessendooprodutodetrêsletras,sendoumadobinômio(a+b),umadobinômio(c+d)eumadobinômio(e+f).

Oproduto(a+b)(c+d)(e+f)(g+h).Aluzdoquefoifeito,oprodutodea+bporc+dpore+fporg+h,vaidarcomoresultadoasomade16(=2X2X2X2)parcelascomposta,cadaumadelas,de4letras,aprimeirapodendoseraoub;asegundapodendosercoud;aterceira,eouf;eaquartagouh.Comooprodutoécomutativo,essaordemnãointeressa,ouseja,cadamonômioécompostode4letras,sendoelasaoub,coud,eoufegouh.Osdezesseismonômiossão:


Quadro03

aceg aceh bceh bceh

acfg acfh bcfh bcfh

adeg adeg bdeg bdeg

adfg adeh bdeh bdeh

Pensandoemtermosdeanálisecombinatória.DeacordocomaAnáli-secombinatóriaebaseadonoquefoifeito,oprodutodea+bporc+dpore+fporg+h,podeserpensadocomoumatarefacompostade4eventosE1,E2,E3eE4,emque

E1:escolhadeumadasduasletrasaoub;

E2:escolhadeumadasduasletrascoud;

E3:escolhadeumadasduasletraseouf;

E4:escolhadeumadasduasletrasgouh.

PararealizaçãodoeventoE1,temosduaspossibilidades:aoub.2

E1 E2 E3 E4ParacadaumadasescolhasdoeventoE1,temosduaspossibilidades

—coud—paraaescolhadeE2.

2 X 2

E1 E2 E3 E4Peloprincípiomultiplicativodacontagem,temos2X2(=4)possibili-

dadesparaaocorrênciadeE1seguidadaocorrênciadeE2.Paracadaumadas4possibilidadesanteriores,temosduaspossibili-

dadesdeescolhadeE3:eouf.Perfazendo,peloprincípiomultiplicativodacontagem,2X2X2(=8)possibilidadesparaaocorrênciadeE1,seguidodeE2eseguidodeE3.

2 X 2 X 2

E1 E2 E3 E4Finalmente,comoE4podeocorrerdeduasmaneirasdistintas,pelo

princípiomultiplicativodacontagem,temos2X2X2X2(=16)possibilida-desparaaocorrênciasimultâneadeE1,E2,E3eE4.

2 X 2 X 2 X 2E1 E2 E3 E4

Potências de binômios.

Consideremosagora obinômio x+a e vejamoso acontece comsuaspotências:(x+a)2,(x+a)3,(x+a)4,…

Cadaumadessaspotênciaséumprodutodebinômios,semelhanteaoqueestudamosanteriormente.Narealidade,aúnicadiferençaéque,nessesprodutos,osbinômiossãosempreiguais.Assim,asletrasc,d,e,f,…sãotodasiguaisaaouab.


Jáestudamos(x+a)nparan=0,n=1en=2.Para(x+a)3,deacordocomoquefoifeitoanteriormente,temosasoma

de8(=2X2X2)monômios,cadaumdelescompostode3letras.Essasletrassãoumadoprimeirobinômio,umadosegundobinômioeumadoter-ceirobinômio.Como,emcadabinômio,asletrasousãoxousãoa,teremosqueos8monômiosde(x+a)3são:

Quadro04

(1) x x x (5) a x x(2) x x a (6) a x a(3) x a x (7) a a x(4) x a a (8) a a a

Escrevendoosmonômiosnaformadepotência,teremos:

Quadro05

(1) x3 (5) x2a(2) x2a (6) xa2

(3) x2a (7) xa2

(4) xa2 (8) a3

Agrupandoostermossemelhantes,temosque:

(x+a)3 = x3 + x2a + x2a + x2a + xa2 + xa2 + xa2 + a3

(2) (3) (5) (4) (6) (7)

(x+a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3.

Demaneirasemelhanteaocasoanterior,deacordocomoquefoifeitoanteriormente,(x+a)4éasomade16(=2X2X2X2)monômios,cadaumdelescompostode4letras.Essasletrassãoumadoprimeirobinômio,umadosegundo,umadoterceiroeumadoquarto.Como,emcadabinômio,asletrasousãoxousãoa,os16monômiosde(x+a)4são:


Quadro06

(1) x x x x(2) x x x a(3) x x a x(4) x x a a(5) x a x x(6) x a x a(7) x a a x(8) x a a a(9) a x x x(10) a x x a(11) a x a x(12) a x a a(13) a a x x(14) a a x a(15) a a a x(16) a a a a

queescritasnaformadepotênciaficam:

Quadro07

(1) x4 (9) x3a(2) x3a (10) x2a2

(3) x3a (11) x2a2

(4) x2a2 (12) xa3

(5) x3a (13) x2a2

(6) x2a2 (14) xa3

(7) x2a2 (15) xa3

(8) xa3 (16) x4

Agrupandoostermossemelhantes,temosque:

(x+a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4.Generalizando.Demaneirageral,nodesenvolvimentode(x+a)ntemos2nparcelas,cadaumadelassendoumprodutodeumapotênciadex,digamosxp,porumapotênciadea,digamosaq,comp+q=n.

Paradeterminarmosocoeficientedexpan-p (xpaq),basta lembrarmosquetemosnespaçosparacolocaraspletrasx,ondeaescolhadessespes-paçospodeserfeitadeCn,pouCn,n-pmaneirasdistintas.Observemosaindaquepodemos começarnossa escolhapelas letrasb,deixandoos lugaresvaziosparaseremocupadospelasletrasx.


Assim,desdequeosnúmerosbinomiais

pn e

- pn

n sãoiguaisporse-remcomplementares,temosque

(x+a)n=

0n

xna0+

1n

xn-1a+

2n

xn-2a2+…+

nn x0an.

Exemplo3.5.01.Nodesenvolvimentode(x+a)4,temos

(x+a)4=

04

x4a0+

14

x3a+

24

x2a2+

34

xa3+

44

x0a4

=x4+4x3a+6x2a2+4xa3+a4.

Exemplo3.5.02.Emtodasasparcelasdodesenvolvimentode(x+ x1)7o

expoentedexédiferentedezero,ouseja,nãoexistetermoindependentedexnodesenvolvimentode(x+1/x)7.Defato,cadaparcelaumprodutodotipoA(

x1 )px7–p,emqueAepsãonúmerosinteiros.Assim,emcadaparcela,

oexpoentedex.Oumelhor,emcadaparcela,oexpoentedexédaforma7–2pqueésempreumnúmerodiferentede0,poispéinteiro.

Otermogeral.Vimosqueodesenvolvimentode(x+a)nédadopor(x+a)n=(x+a)n=

0n xna0+

1n xn-1a+

2n xn-2a2+…+

nn x0bn.Assim,oprimeiro,o

segundoeoterceirotermossãodados,respectivamente,porT1=

0n xna0,

T2=

1n xn-1aeT3=

2n xn-2a2.E,demaneirageral,temosqueotermode

ordemp+1édadopor

Tp+1=

pn xn-pap.

Afórmulaanterioréconhecidacomofórmuladotermogeraldode-senvolvimentodobinômiodeNewton.

Exemplo3.5.03.Oquintotermododesenvolvimentode(x+a)8,se-gundoaspotênciasdecrescentesdexpodesercalculadocomoT5=T4+1=

48 x8-4a4=

48 x4a4.

IniciamosestaUnidadedefinindoeexemplificandoascombinaçõessimples,quesãoumtipodeagrupamentonoqualaordememqueosob-jetosaparecemnãoéimportanteeque,portanto,podemserutilizadosnadeterminaçãodonúmerodesubconjuntosdeumdeterminadoconjunto.Emseguida,estudamosacombinaçãocomelementosrepetidosoucom-binaçãocompleta,conceituando-aeaplicando-anadeterminaçãodonú-merodesoluçõesdecertasequaçõesdiofantinas.Aproveitandoadefiniçãodecombinações,apresentamososnúmerosbinomiaiseumanovanotaçãoparaonúmerodecombinaçõesdenobjetostomadospap,notaçãoessadevidaaEuler.Definimosnúmerosbinomiaiscomplementareseapresen-tamosa relaçãodeStiefel. Porfim, estudamososbinômiosdeNewton,comoobjetivodedeterminaroscoeficientesdosmonômiosqueocorremnodesenvolvimentode(x+a)n.


1.Resolvido.Provequedadososinteirosnep,com1≤p≤n,temosque

pn =

- pnn .

Solução.Temosque

- pnn

= = e,poroutrolado

pn = .Valendoaigualdade.

2.Determineovalordex,sabendoqueCx,3=Cx,4.

3.Resolvaoexemplo3.3.03usandocombinaçõescompletas.

4.Mostrequeosnúmerosbinomiais

pn e

qn sãoiguaisse,esomentese,

p=qoup+q=n.

5.Mostrequeonúmero éinteiro,quaisquerque

sejamosinteirospositivosmen.

6.Mostrequea relaçãodeStiefel éválidaparaosnúmerosbinomiais

e .

7.Calculeosnúmerosbinomiais

a)

b)

8.Resolvido.Calcule ,sabendoque = .

Solução.Sabemosque = se,esomentesep+q=moup=q.

Como4≠ 6,devemosterm=6+4=10.

Logo, = =1.

9.Determineovalordex,sabendoque = .

10.Paraquevaloresden∈Ntem-seAn,3=12Cn,4?

11.Obteronúmerodeelementosdeumconjunto,sabendo-sequeelepossui45subconjuntosde2elementos.

12.Calcularonúmerodediagonaisdeumpolígonoconvexodenlados.

13.Tomam-se10pontossobreumaretare8pontossobreoutraretas,paralelaar.Quantostriângulosexistemcomosvérticesnessescon-juntosdepontos?


14.Umaempresatem5diretorese10gerentes.Quantascomissõescom1diretore4gerentespodemserformadas?

15.Tomando-setrêsfatoresdistintosentreoselementosdoconjunto{2,3,5,7,11,13},quantosprodutosdevaloresdiferentespodemosobter?

16.Quantassãoassoluçõeseminteirospositivosdaequaçãodiofantinax1+x2+x3+x4=20,nasquaisx4≥5?

17.Calculeonúmerodesoluçõeseminteirospositivosdasequaçõesdio-fantinas:

a)x+y+z=20.b)x+y+z+t=15.

18.Calculeonúmerodesoluçõeseminteirosnãonegativosdasequaçõesdiofantinasdoexercícioanterior.

19.Emquantasdassoluçõeseminteirospositivosdaequaçãox1+x2+x3+x4=20,tem-se:(a)exatamente2variáveisiguaisa1?(b)pelomenos2variáveisiguaisa1?

20.Dequantasmaneiraspodemosdistribuir30bombonsentre5criançasdemodoquecadaumarecebapelomenos3bombons?

21.Determineocoeficientedex7nodesenvolvimentode(x2–1/x)8.

22.Determineoquartotermododesenvolvimentode(2x–1/x)7,supondoodesenvolvimentoordenadosegundoaspotênciasdecrescentesdapri-meiraparcela.

23.Resolvido.Calculeasomadoscoeficientesdodesenvolvimentode(x3+3x2)8.

Solução.Noteinicialmentequese

p(x)=A0+A1x+A2x2+…+Anxn,então

p(1)=A0+A1+A2+…+An,ouseja,p(1)éasomadoscoeficientesdopolinômiop(x).

Assim,fazendop(x)=(x3+3x2)8,temosqueasomadosseuscoeficientesép(1)=(1+3)8=48=216=65.536.

24.Resolvido.Considereodesenvolvimentode(x+a)6ordenadosegundoaspotênciasdecrescentesdex.Determineasomadostermosdeordemparemfunçãode(x+a)6ede(x–a)6.

Solução.Temosque(x+a)6=T1+T2+T3+…+T7etemosaindaque(x–a)6=T1–T2+T3–T4+T5–T6+T7.Assim,subtraindoaprimeiraigualdademenosasegunda,temosque

2(T2+T4+T6)=(x+a)6–(x–a)6.

Ou,ainda,T2+T4+T6=

É possível generalizar esse resultado para um expoente n, naturalqualquer?

25.Mostrequeparatodointeiropositivon,temos

Cn,0–Cn,1+Cn,2–Cn,3+...+(-1)nCn,n=0.

26.Determineodesenvolvimentode(2x+ 2x

1)5.

27.Determineotermoindependentedexnodesenvolvimentode(2x+2x

1 )6.

28.ProvequeCn+2,p+2=Cn,p+2Cn,p+1+Cn,p+2.


Texto 1: Um pouco de história

Texto extraído do livro Análise combinatória e probabilidade, de Augusto Cesar Morgado e outros, Coleção do Professor de

Matemática. SBM: Rio de Janeiro, 2006. pp.2-4. Adaptado.

O desenvolvimento do binômio (x + a)n está entre os primeiros pro-blemas estudados ligados à Análise Combinatória. O caso n = 2 já pode ser encontrado nos Elementos de Euclides, em torno de 300 a.C. O triângulo de Pascal era conhecido por Chu Shih-Chieh, na China (em torno de 1300) e an-tes disso pelos hindus e árabes. O matemático hindu Báskhara (1114-1185?), conhecido geralmente pela “fórmula de Báskhara” para a solução de equações do 2o grau, sabia calcular o número de permutações, de combinações e de ar-ranjos de n objetos O nome coefi ciente binomial foi introduzido mais tarde por Michael Stiefel (1486?-1567), que mostrou, em torno de 1550, como calcular (1 + x)n a partir do desenvolvimento de (1 + x)n-1. Sabemos Também que o matemático árabe Al-Karaji (fi ns do século X) conhecia a lei de formação dos elementos do triângulo de Pascal,

p 1 p 1 p

n 1 n nC C C+ +

+= + .

O primeiro aparecimento do triângulo de Pascal no Ocidente foi no fron-tispício de um livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nicolò Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os elementos do triângulo de Pascal com as potências de (x + y). Pascal (1623-1662) publicou um tratado em 1654 mostrando como utilizá-los para achar os coefi cientes do desenvolvimento de (a + b). Jaime Bernoulli (1654-1705) usou a interpretação de Pascal para demonstrar que

(x + y)n = n in i

i 0

ni yx -

=

∑ …

Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calcular diretamente (1+x)n sem antes calcular (1+x)n-1. Ele mostrou que cada coefi ciente pode ser deter-minado, usando o anterior, pela fórmula

n nn rr 1 rr 1

-= + +

.

Em verdade, Newton foi, além disso, e mostrou como desenvolver (x + y)r, onde r é um número racional, obtendo neste caso um desenvolvi-mento em série infi nita.

Unidade

Objetivos:

• Complementareaprofundarosconhecimentosdeanálisecombinatóriaapartirdoestudodeoutrosmétodosdecontagem.

• Conceituarpermutaçõescaóticasedeterminaronúmerodepermutaçõescaóticasdenobjetos.

• Apresentar e utilizar os lemas de Kaplansky no cálculo do número de certosargumentos.

• ApresentareutilizaroprincípiodasgavetasdeDirichlet,tambémconhecidocomoprincípiodacasadospombos.

Tópicos Complementares

4


1. IntroduçãoNestaUnidade, como intuito de completarmosnossa formação em

termosdeconhecimentodaAnáliseCombinatória,estudaremosalgunstó-picosquesãodamaiorimportâncianessesentido.Inicialmentedefiniremospermutaçãocaóticae,emseguida,retomaremosoprincípiodainclusãoeexclusãopara,utilizá-lonadeterminaçãodonúmerodetaispermutações,nocasodenelementos.Dandocontinuidadeàcomplementaçãodanossaformação,estudaremososlemasdeKaplanskye,porfim,oprincípiodasgavetasdeDirichletquetambéméconhecidocomoprincípiodacasadospomboseque,diferentementedoquevínhamosfazendoatéagora,emqueestávamosinteressadosnacontagemdonúmerodeobjetoscomcertaspro-priedades,esseprincípiogaranteaexistênciadeobjetoscomalgumapro-priedadedada,semsepreocuparcomsuaquantidade.

2. Permutações caóticasSabemosqueumapermutaçãodenobjetos é qualquer ordenação

desses objetos. Assim, se os objetos são os algarismos 2, 3, 4 e 5, porexemplo, então osnúmeros2345, 2435, 4532, 5432 e 5324 são, todos,permutaçõesdosalgarismosdados,poisemtodoselesforamutilizadososalgarismos2,3,4e5eaúnicadiferençaentreeleséaordemnaqualosalgarismosaparecem.

Sepensarmososalgarismos2,3,4e5ordenadosdesta forma,ouseja,o2ocupaaprimeiraposição,o3asegunda,o4aterceiraeo5aquar-ta,entãononúmero2435o2eo3mantiveramsuasposiçõesenquantoo4eo5trocaramdeposição.Jánonúmero5324nenhumdosalgarismosmantevesuaposiçãooriginal,todostrocaramdeposição.Esteéumexem-plodepermutaçãocaótica.Maisprecisamentetemosaseguintedefinição.

• Permutaçãocaótica.Umapermutaçãocaóticadosobjetosa1,a2,a3,…,an,tomadosnestaordem,équalquerpermutaçãodessesob-jetosquenãodeixenenhumdelesemsuaposiçãooriginal.

Exemplo4.2.01.Dadososalgarismos1,2,3e4,osnúmeros2143,4321,4312e3412sãopermutaçõescaóticasdessesalgarismos.Exemplo4.2.02.AspalavrasROMAeORAMsãoanagramasdapalavraAMOR,quesãopermutaçõescaóticasdessasletras.Exemplo4.2.03.Dosnúmeros3421,1243,4132e1423,somente3421épermutaçãocaóticadosalgarismos1,2,3e4,tomadosnestaordem.Onú-mero1243deixaosalgarismos1e2nosseuslugaresoriginais;4132deixao3noseulugaroriginal;1423deixao1noseulugaroriginal.


Agoraquejásabemosdoquesetrata,resta-nosdeterminaronúmerodepermutaçõescaóticasdenobjetos.Paratanto,inicialmente,retomare-mosoprincípiodainclusãoeexclusão.

• Princípiodainclusãoeexclusão.Oprincípiodainclusãoeexclu-são,emsuaformamaisgeral,afirmaqueonúmerodeelementosdauniãoderconjuntosquaisquerédadapor

n( Ur

1iiA

=)=n( 1A )+n( 2A )+…+n( rA )

-n( 21 AA I )-n( 31 AA I )-n( 31 AA I )-…-n( r1 AA I )

-n( 32 AA I )-n( 42 AA I )-…-n( r1 AA I )

...

-n( r1r AA I- )

+n( 321 AAA II )+n( 421 AAA II )+…+n( r21 AAA II )

+n( 432 AAA II )+n( 532 AAA II )+…+n( r32 AAA II )

+...+

+n( r1r2r AAA II -- )

+...+

+(-1)n-1n( r321 A...AAA IIII )Assim,incluímosnacontagemtodososelementosdeA,deBedeC;

depoisexcluímososqueestãoaomesmotempoemdoisquaisquerdessesconjuntos,poisestes foramcontadosmaisdeumavez;depois incluímosaquelesqueforamretiradosamaisporseencontrarememtrêsdosconjun-tos;eassimpordiante,excluindoeincluindo.Exemplo4.2.04.NocasodosconjuntosA,BeC,oprincípiodainclusãoeexclusãoficariaassim:

)CBA(n UU = )CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n IIIII +---++ .Comopodemosperceber,contamostodososelementosdeA,osdeBeosdeC,depoisexcluímososqueestãoaomesmotempoemdoisquais-querdessesconjuntos(AeB,AeC,BeC),depoisincluímosaquelesqueforamretiradosamaisporseencontraremnostrêsconjuntos.Determinando o número de permutações caóticas de 4 elementos.

Atítulodeexemplo,vamosdeterminaronúmerodepermutaçõescaóti-casdoselementos1,2,3e4,nestaordem.

Vamosdividironossoproblemadedeterminaronúmerodepermu-taçõescaóticasdoselementos1,2,3e4,nestaordem,emváriasetapas,constituídasdeperguntasque iremos respondendoumaaumapara,aofinal,termosasoluçãoprocurada.

• Quantassãoaspermutaçõesde1,2,3e4?Inicialmente,recor-demosqueonúmerodepermutaçõesdosquatroalgarismos,é4!,comojávimosanteriormente.

• Quantassãoaspermutaçõesde1,2,3e4,nestaordem,quedeixamoumdosalgarismosfixo?Detodasas4!permutaçõesde1,2,3e4,nestaordem,6deixamo1fixo.Defato,temos4algaris-mosparapermutar.Deixandoo1fixo,temosP3=3!=6permuta-ções.Demaneirasemelhante,temos3!permutaçõesdeixandoo2fixo,3!permutaçõesdeixando3fixoe,finalmente,3!permutaçõesdeixandoo4fixo.


• Quantasdaspermutaçõesde1,2,3e4,nestaordem,deixamo1e2fixos?Paraessapergunta,estamosinteressadosnasper-mutaçõesde1,2,3e4queiniciampor1e2(nestaordem).Assim,parao terceiroalgarismo temos2possibilidadeseparaoquartoelementotemos1possibilidade.Assim,denotandopor 1A oconjuntodaspermutaçõesde1,2,3e4(nestaordem)quedeixamo1fixoepor 2A oconjuntodasquedeixamo2fixo,temosquen(A1I A2)=2!.

• Quantasdaspermutaçõesde1,2,3e4,nestaordem,deixamo1ou2fixos?Pararespondermosaessapergunta,devemoscalcu-laronúmerodeelementosde 21 AA U ,emque 1A éoconjuntodaspermutaçõesquedeixamo1fixoe 2A éoconjuntodasquedeixamo2fixo.Peloprincípiodainclusãoeexclusãoepeloquevimosan-teriormente,temosque

n( 21 AA U )=n( 1A )+n( 2A )-n( 21 AA I )=3!+3!–2!.

• Quantasdaspermutaçõesde1,2,3e4,nestaordem,deixampelomenosumdosalgarismosfixos?Usandoamesmanotaçãoqueusamosatéagora,estamosinteressadosnonúmerodeelemen-tosdeA1U A2U A3U A4,emqueAiéoconjuntodaspermutaçõesquedeixamoalgarismoifixonasuaposiçãooriginal.Peloprincípiodainclusãoeexclusão,temosque

)A(n)A(n)A(n)A(n)AAAA(n 43214321 +++=UUU

)AA(n)AA(n)AA(n)AA(n)AA(n)AA(n 434232413121 IIIII --∩----

)AAA(n)AAA(n)AAA(n)AAA(n 432431421321 IIIIIIII ++++

)AAAA(n 4321 III- .Assim,

!0!1!1!1!1!2!2!2!2!2!2!3!3!3!3)AAAA(n 4321 -++++------+++=UUU

!.01!14!26!34 ×-×+×-×=

Finalmente.• Quantasdaspermutaçõesde1,2,3e4,nestaordem,sãocaóti-cas,istoé,nãodeixamnenhumalgarismofixo?DenotandoporD4onúmerodepermutaçõescaóticasde1,2,3e4,nestaordem,temosqueD4podeserobtidocomoadiferençaentreonúmerototaldepermutaçãodos4algarismoseonúmerodepermutaçõesdos4algarismosquedeixam,pelomenosum,algarismofixo.Assim,temosque

D4=4!–(4.3!–6.2!+4.1!–1.0!).

Antesdeconcluirmos,éimportantemencionarmosqueo4(de4.3!)correspondeaonúmerodecombinaçõesdos4algarismostomados1a1;o6(de6.2!)correspondeaonúmerodecombinaçõesdos4algarismostomados2a2;o4(de4.1!)correspondeaonúmerodecombinaçõesdos4algarismostomados3a3;eo1(de1.0!)corres-pondeaonúmerodecombinaçõesdos4algarismostomados4a4.

Istonosdá9(D4=24-24+12-4+1=9)permutaçõescaóticasdos4algarismos1,2,3e4,nestaordem.Sãoelas:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312e4321.Generalizando.Mesmosabendoquenãosepodegeneralizarumresul-tadoobtidoapartirdeumúnicoexemplo,ageneralizaçãodoresultadoanteriornospermiteconcluirqueonúmerodepermutaçõescaóticasdenobjetosédadopor


Dn=n!–[ )!1n(1n

-

– )!2n(

2n

-

+…+ 1n)1( -- n)!(n

nn

-

].

Estafórmulapodeserreescritacomo

Dn= !n!n - +!2!n –

!3!n +…+ n)1(-

!n!n ,

ouainda

Dn=n![ !01 –

!11 +

!21 –

!31 +…+ n)1(-

!n1 ],

Exemplo4.2.05.Deacordocomafórmulaanterior,onúmerodepermuta-çõescaóticasdosalgarismos1,2,3,4e5,nestaordem,é44.Defato,temosquen=5e,portanto,

3. Lemas de KaplanskyDadooconjuntoA={1,2,,3,4,5,6,7},sabemosqueépossívelcons-

truir7!/3!4!=35subconjuntosdeA,contendotrêselementos,númeroesseencontradoapartirdacombinaçãode7tomados3a3.Osconjuntos{1,2,3,4},{2,4,5,6},{3,4,6,7},{1,3,5,7}sãoalgunsexemplosdessessubconjuntos.Noteque,detodosossubconjuntosdeA,com4elementos,oúnicoquenãopossuielementosconsecutivoséoconjunto{1,3,5,7}.Istopodeservistodeformabemsimples―mastrabalhosa―seenumerarmostodosossubconjuntosdeAcom4elementos.

Mas,seráqueesteéoúnicomeiodeprovaressaafirmação?Seráquenãoconseguimosumresultadomaisgeralquenospermitaconcluiressaafirmação?Éoquetentaremosfazeragora.

Narealidade,esteresultadoexiste,éconhecidocomoprimeirolemadeKaplanskyepodeserenunciadocomosegue.

• PrimeirolemadeKaplansky.Onúmerodesubconjuntosdoconjun-to{1,2,3,,n},compelementos,nosquaisnãoháelementoscon-secutivoséindicadoporf(n,p)epodeserobtidoporf(n,p)=Cn–p+1,p.

Veremosinicialmenteoresultadoparaonossoproblemaoriginal,qualseja,ocasoemquen=7ep=4.Emseguidabuscaremosageneralizaçãodoresultado.

RetomandoossubconjuntosdeA={1,2,3,4,5,6,7}com4elemen-tos,vamosrepresentá-losporumasequênciade7sinaisescolhidosentre+ouX,associandoacadanúmeroumsinal+ouXconformeeleestejaounãonosubconjunto.Assim,osubconjunto{1,3,4,6}serárepresentadopelasequência

+ X + + X + X;osubconjunto{1,3,5,6}serárepresentadopelasequência

+ X + X + + X;


easequência

X + X + X + +

representaosubconjunto{2,4,6,7}.

Comessanotação,nossoproblemaseresumeadistribuirquatrosi-nais+e3sinaisX,semquetenhamos2sinais+consecutivos.Distribuindoprimeiroos3sinaisX,passamaexistir4espaçosnosquaispoderemosdistribuirossinais+,semquedoisdelesfiquemjuntos,conformeseperce-benafiguraaseguirnaqualosespaçosestãorepresentadospelascaixas.

X X X

Figura

Ouseja,temosumaúnicapossibilidadededistribuiçãoparaosqua-trosinais+quecoincidecomf(7,4)=C7–4+1,4.

Antesdedemonstrarmosocasogeral,vamosfazeroutroexemplocomoobjetivodecompreendermosmelhoroquefoifeito.

Vejamos o caso em que devemos formar subconjuntos do conjuntoA={1,2,3,4,5,6,7},com3elementos,semquetenhamos2elementosconsecutivos.

Comonocasoanterior,vamostransformarnossossubconjuntosemsequênciasdesinais+ouX,conformeoelementopertençaounãoaosub-conjunto.Nestecaso,ossubconjuntosquenosinteressamsãoaquelesquedãoorigemasequênciascontendo3sinais+e4sinaisX,semquetenha-mosdoissinais+consecutivos.

Distribuindo, como no caso anterior, os sinais X, temos 5 espaçosparadistribuirossinais+.

X X X X

Assim,devemosescolher3desses5espaçosparadistribuirossi-nais+.Temos,portanto,C5,3possibilidadesque,novamente,coincidecomf(7,3)=C7–3+1,3.Generalizando.Nocasogeral,teremosquedistribuirpsinais+en-psinaisX.Quandodistribuímososn-psinaisXficamoscomn-p+1pos-sibilidadesdeescolhaparaospsinais+.Assim,paraocasogeral,temosf(n,p)=Cn–p+1,ppossibilidades.

Exemplo 4.3.01. Existem 1050 anagramas da palavra MISSISSIPI nosquaisnãotemosduasletrasSjuntas.Defato,paraformamosanagramasdapalavraMISSISSIPInestascondições,podemosinicialmenteescolher4lugares,semquehajadoisconsecutivos,paracolocarasletrasS.Essaes-colhapodeserfeitadef(10,4)maneirasdiferentes.Finalmente,paracadaumadessasescolhas,devemospermutaras6letrasrestantes,lembrandoquenelas existem4 letras I.Essaspermutações são emnúmerode P6

4.Assim,temosf(10,4)× P6

4anagramassemduasletrasSjuntas.Temosquef(10,4)=

6

.Poroutrolado,P64=

anagramassemduasletrasSjuntas.TemosqueAssim,onúmerode

permutaçõesé35× 30=1050.


Segundo lema.

OresultadoconhecidocomosegundolemadeKaplanskytratadeumproblemasemelhanteaodoprimeirolema—odedeterminaronúmerodesubconjuntoscompelementosdoconjuntoA={1,2,3,,n-1,n},nosquaisquaisquerdoisdelesnãosãoconsecutivos―sendoqueagoraconsi-deraremoso1eoncomoelementosconsecutivos.Kaplanskyafirmaque

• SegundolemadeKaplansky.Onúmerodesubconjuntosdocon-juntoA={1,2,3,,n},compelementostaisquequaisquerdoisde-lesnãosãoconsecutivos,considerandoo1eoncomoconsecutivos,édadoporg(n,p)=

pnn-

Cn–p,p.Comonocasoanterior,inicialmenteveremosumexemploparaocaso

emquen=5ep=2.DeacordocomosegundolemadeKaplansky,ares-postaparaoproblemaé

g(5,2)=25

5-

C5–2,2= 35 C3,2=5.

Sabemosqueexistem10subconjuntosdeA={1,2,3,4,5}com2elementosevamoslistá-los.

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}{2,3},{2,4},{2,5}{3,4},{3,5}{4,5}

Observandoossubconjuntoslistados,temosqueosúnicosquesatis-fazemoproblemasão:{1,3},{1,4},{2,4},{2,5}e{3,5}.Quesãoemnúmerode5,comoafirmaolema.

• Provandoosegundolema.Paraprovarmosolema,vamosdividiros subconjuntos procurados em duas categorias: a dos que pos-suemo1comoumdoselementoseadosquenãopossuem.Ototalprocuradoseráasomadessesdoistotais.

ParadeterminarmosonúmerodesubconjuntosdeA={1,2,3,,n},compelementos,contendoo1enãocontendoelementosconsecutivosbastave-rificarmosqueemcadaumdessessubconjuntosnãopodefiguraro2nemon.Assim,sobramosn-3elementosdoconjunto{3,4,5,,n-2,n-1}ecomdevemosconstruirconjuntoscomp-1elementosesemelementoscon-secutivos.DeacordocomoprimeirolemadeKaplansky,onúmerodetaisconjuntoséCn–3–(p–1)+1,p–1=Cn–p–1,p–1.

ParadeterminarmosonúmerodesubconjuntosdeA={1,2,3, ,n},compelementos,nãocontendoo1enãocontendoelementosconsecutivosbastaverificarmosquecadaumdessessubconjuntoséumsubconjuntodoconjuntoB={2,3,4,,n},compelementosesemelementosconsecutivos.Assim,deacordocomoprimeirolemadeKaplanskyonúmerodetaissub-conjuntoséCn–1–p+1,p=Cn–p,p.

Somandoestesdoisnúmeros,obtemosque

g(n,p)=pn

n-

Cn–p,p.

provandoosegundolemadeKaplansky.


Exemplo4.3.02.Com5meninase8meninosépossívelformar91rodasdecriançassemquehaja2meninasemlugaresconsecutivos.Defato,quere-moscalcularg(13,5)que,peloresultadoanterioréigualag(13,5)=

4. Princípio das gavetas de DirichletNestaseçãomostraremosumresultadoconhecidocomoprincípiodas

gavetasdeDirichletqueafirmaoquesegue.• PrincípiodasgavetasdeDirichlet.Sen+1oumaisobjetossãocolocadosemngavetas,entãopelomenosumagavetarecebemaisdeumobjeto.

resultadoestetambémconhecidocomoprincípiodacasadospombos,poispossuiumaversãoqueafirmaoseguinte.

• Princípio da casa dos pombos.Sen + 1 oumais pombos sãocolocadosemncasas,entãopelomenosumacasarecebemaisdeumpombo.

Este resultado pode ser visto como uma consequência imediata deoutroconhecidocomopropriedadedamédiaaritméticadennúmerosequepodeserenunciadodaformaaseguir.

• Propriedadedasmédias.Seamédiaaritméticadosnnúmerosx1,x2,…,xném,entãopelomenosumdosxiémaiordoqueouigualam.

Ademonstraçãodeste resultado ébastante simples e será feitaporreduçãoaoabsurdo.

Supondo,porabsurdo,quenãoéverdadequeexistepelomenosumxi0talquexi0≥m,entãodevemosterque,paratodoi,xi<me,portanto,teremosadesigualdade

x1+x2+x3+…+xn<m+m+m+…+m=nXm.Estadesigualdadenosdáque <m,ouseja,m<m.Oque

éabsurdo!Logodevemosterxi0≥m,paraalgumi0.

Exemplo4.4.0.Amédiaaritméticadosnúmeros3,5,8,12e16é8,8,pois

Exemplo4.4.0.Amédiaaritméticadosnúmeros3,5,8,12e16é8,8,.Noteque12e16sãomaioresdoqueamédia.Confir-

mandooresultado.

Provando o princípio das gavetas de Dirichlet.

Temosngavetasepelomenosn+1objetos.Podemosencontraronú-meromédiodeobjetosqueserácolocadoemcadagavetadividindoonúmerodeobjetospornqueéonúmerodegavetas.Comotemospelomenosn+1objetos,onúmeromédiodeobjetosporgavetaserámaiordoqueouiguala

que,porsuavez,émaiordoque1.Assim,onúmeromédiodeobjetosporgavetaémaiordoqueouiguala2e,peloresultadoprovadoanteriormente,existeumagavetaquereceberáumaquantidademaiordoqueouigualaessenúmeromédio,ouseja,umagavetareceberápelomenos2objetos.ProvandooprincípiodeDirichlet.


Exemplo4.4.02.Emumgrupode15pessoas,hásemprepelomenos2quenasceramnomesmomês.Defato,seconsiderarmosos12mesesdoanocomo12gavetaseas15pessoascomoosobjetosquedevemsercolocadosnas gavetasdeacordo comomêsde seunascimento,peloprincípiodasgavetasdeDirichlet,pelomenos2objetosficamnamesmagaveta,ouseja,pelomenosduaspessoasaniversariamnomesmomês.

Oprincípiodasgavetasouprincípiodacasadospombospodeserge-neralizadocomosegue.

GeneralizaçãodoprincípiodeDirichlet.Seemngavetassãodis-tribuídosnk+1objetos,entãoemumadelasserádistribuídopelomenosk+1objetos.

Provando a generalização do princípio das gavetas de Dirichlet.

Ademonstraçãodesteresultadoésimpleseseráfeitaporreduçãoaoabsurdo.Suponhaqueoresultadonãosejaverdadeiro.Istoé,suponhaqueemcadagavetatenhamosnomáximokobjetos.Comosãongavetas,seemcadaumadelastivéssemosnomáximokobjetos,onúmerototaldeobjetosnasgavetasseriamenordoqueouigualank.Comosãonk+1objetos,istoéumabsurdo.Logo,emumadasgavetasdevemosterpelomenosk+1objetos,provandooresultado.Exemplo4.4.03.Emumasaladeaulacom50pessoas,pelomenos5de-lasnasceramnomesmomês.Defato,deacordocomageneralizaçãodoprincípiodeDirichlet,oresultadojávalepara49pessoas,setomarmososcadamêscomoumagaveta,istoé,n=12ek=4.Nestecaso,temos49=12× 4+1.

NestaUnidade,comointuitodecomplementaronossoconhecimentodeAnálisecombinatória,abordamostópicosquenãosãousualmenteabor-dadosemlivrosdoensinomédio,comoaspermutaçõescaóticas,oslemasdeKaplanskyeoprincípiodeDirichlet.Vimosqueaspermutaçõescaóticassãoaquelaspermutaçõesquenãodeixamnenhumelementonasuaposiçãooriginaleaprendemosacalcularseunúmeroemfunçãodaquantidadedeelementosqueestamospermutando.EstudamososlemasdeKaplansky,cujoprimeironospermitedeterminaronúmerodesubconjuntosdoconjunto{1,2,3,,n},compelementos,nosquaisnãoháelementosconsecutivoseosegundolemaquenospermitedeterminaronúmerodesubconjuntoscompelementosdoconjuntoA={1,2,3,,n-1,n},nosquaisquaisquerdoisdelesnãosãoconsecutivos,considerandoagorao1eoncomoelementosconsecu-tivos.Finalmente,apresentamosedemonstramosoprincípiodeDirichletouprincípiodacasadospombosque,diferentementedoquefoifeitoatéagora,abordaumproblemadeexistênciaenãodecontagem.Apesardepossuirumenunciadobastantesimples,porafirmarque“Sen+1oumaispombossãocolocadosemncasas,entãopelomenosumacasarecebemaisdeumpom-bo.”,esseéumprincípiodamaiorimportâncianamatemática.


1.QuantossãoosanagramasdapalavraPERMUTAquedeixamexata-mente3letrasnasuaposiçãooriginal.

2.Proveque,paran ≥3,Dn=(n–1)[Dn–1+Dn–2].

3.QuantassãoaspermutaçõesdasletrasA,B,C,D,E,F,G,HeI,nes-taordem,quedeixamapenasasvogaisnosseuslugaresdeorigem?Equantassãoasquedeixamsomenteasconsoantesfixas?

4.Quantassãoaspermutaçõesdosnúmeros1,2,3,4,5,6,7,8e9,nestaordem,demodoqueosnúmerosímparesnãofiquememsuasposiçõesoriginais?Eemquantasosnúmerosparesnãoficamnassuasposi-çõesoriginais?

5.Doisprofessoresparticulares,umdematemáticaeoutrodefísica,re-solvemjuntar5alunosemcomumparadaraulaemumúnicodia,nohoráriodas7horasàs12horas.Cadaumdoscincoalunosteráaulade1horacomcadaumdosprofessores.Dequantasmaneirasdistintasépossívelfazeraagendadecadaumdeles?

6.Resolvido.Mostrequeemumconjuntocom8númerosinteirossemprehádoisdelescujadiferençaéuminteiromúltiplode7.

Solução.Sejama1,a2,a3,a4,a5,a6,a7ea8osoitointeiros.Quandodividi-mos(divisãoeuclidiana)umnúmerointeiropor7,osretospossíveissão0,1,2,3,4,5e6.Assim,comotemos8númerose7restospossíveis,aodividirmoscadaumdessesnúmerospor7,pelomenos2delesdeixa-rãoomesmoresto.Digamosque,apósumareordenaçãoseforocaso,osnúmerosa1ea2sejamdoisdosquedeixamomesmorestoquandodivididospor7.

Assimteremosa1=7q1+rea2=7q2+re,portanto,a1–a2=7(q1–q2)éumadiferençaqueéummúltiplode7.

7.Qualonúmeromínimodepessoasquedevehaveremumgrupoparaquepossamosgarantirquenelehápelomenos7pessoasquenasceramnomesmomês.

8.Considereumquadradodelado2etomemosnasuperfíciedestequadra-do5pontosdistintos.Mostrequehá2dessespontostaisqueadistânciaentreelesémenordoqueouigualado5pontosdistintos.Mostrequehá2dessespontostaisqueadistância

.

9.Mostrequeemumareuniãode5pessoashásempre2comomesmonúmerodeconhecidos.Eseforem6pessoas,oresultadoaindavale?

10.Resolvido.Mostre que se S é um subconjunto qualquer, contendo 7elementos,deA={1,2,…,10,11,12},entãoSpossuidoissubconjuntoscujasomadoselementoséamesma.

Solução.DentretodosossubconjuntosdeA,comseteelementos,aquelecujasomadoselementoséamaiorpossíveléosubconjuntoS={6,7,8,9,10,11,12},cujasomadoselementosé63.Assim,paratodosubcon-juntonãovaziodeA,comnomáximo7elementos,asomadosseusele-mentosvariade1a63.DadoumsubconjuntoS1deA,com7elementos,


S1possuiexatamente127(=27–1)subconjuntosnãovazios,cujassomasdoselementosvariamde1a63.PeloprincípiodasgavetasdeDirichlet,devemexistirpelomenosdoissubconjuntosdeS1comamesmasomadoselementos.

11.Mostrarquedentre9pontosquaisquerdeumcubocom2cmdearesta,existempelosmenosdoiscujadistânciaentreelesémenordoqueouigualaexistempelosmenosdoiscujadistânciaentreelesémenordoqueou

.

12.Mostrequeemumareuniãonaqualestãopresentes49pessoas,pelomenos5nasceramnomesmomês.

13.OteoremadeRamseyafirmaquedadoqualquerconjuntodenpontosnoplano(n≥6),talquequaisquer3delesnãosãocolineares,sepintarmoscomapenasduascorestodosossegmentosligandodoisdessespontos,entãoteremosumtriângulocujosladossãodamesmacor.Proveoteo-remadeRamseyparaocasoemquen=6.

14.Umaurnacontém22bilhetesnumeradoscadaumdelescontendoumadezena.Em7deles,oalgarismodasdezenasé1;em6,oalgarismodasdezenasé2;eem9,oalgarismodasdezenasé5.Quantosbilhetesde-vemsersorteados,nomínimo,paratermoscertezadequeem5delesoalgarismodasdezenaséigual?

Texto 1: O princípio da inclusão-exclusão

Texto extraído do livro Matemática discreta, de Edward R. Schei-nerman, São Paulo: Thomson Learning Edições, 2006. p.124.

Para achar o tamanho de uma união, somamos os tamanhos dos con-juntos individuais (inclusão), subtraímos os tamanhos de todas as interseções duas a duas (exclusão), somamos os tamanhos de todas as interseções três a três (inclusão) e assim por diante.

A ideia é que, quando somamos todos os tamanhos dos conjuntos in-dividuais, somamos demais, porque alguns elementos podem estar em mais de um conjunto. Assim, para compensar, subtraímos os tamanhos das inter-seções duas a duas; mas então estamos subtraindo em demasia. Corrigimos somando os tamanhos das interseções triplas, mas isto causa um excesso, o que nos obriga a subtrair novamente. Surpreendentemente, no fi nal, tudo está perfeitamente equilibrado

Texto2: Casas de pombos

Adaptado do livro Matemática Discreta, de Lászlo Lo-vász e outros. SBM: Rio de Janeiro, 2003. pp.34-35.

Será que podemos achar em Fortaleza duas pessoas que tenham o mes-mo número de fi os de cabelo na cabeça? Poder-se-ia pensar que é impossível responder a essa pergunta, pois não sabemos sequer quantos fi os de cabelo existe na nossa própria cabeça, imagine sobre o número de fi os de cabelo na cabeça de todas as pessoas que vivem em Fortaleza, cujo número exato é por si só um tanto difícil de determinar. Mas existem alguns fatos que sabemos

A palavra “tamanho” estásendoempregadanosen-tidodenúmerodeelemen-tosdeumconjuntofinito.


com segurança: ninguém tem mais de 500.000 fi os de cabelo (uma observa-ção científi ca) e há aproximadamente 2.470.000 habitantes em Fortaleza. Po-demos agora responder nossa pergunta original? O que você acha? A resposta é sim. E isso pode ser visto com o seguinte argumento: Se não houvesse duas pessoas com o mesmo número de fi os de cabelo, então haveria no máximo uma pessoa careca, ou seja, com zero fi os de cabelo, no máximo uma pessoa com exatamente 1 fi o de cabelo; no máximo uma pessoa com exatamente 2 fi os de cabelo, e assim por diante, até, no máximo, uma pessoa com exata-mente 500.000 fi os de cabelo. Mas, então, isso signifi caria que em Fortale-za existiriam, no máximo, 500.001 habitantes. Como em Fortaleza existem 2.470.000 habitantes aproximadamente e como esse número é maior do que 500.000, deve haver duas pessoas com o mesmo número de fi os de cabelo. Esse fato é decorrente do princípio da casa dos pombos, um resultado com um enunciado simples e, aparentemente óbvio, mas que é de grande importância na matemática, tanto assim que frequentemente ele é utilizado como ferra-menta básica de muitas provas.









Unidade

Objetivos:

• Apresentar a noção de experimento aleatório, fazendo a distinção entre taisexperimentoseosdeterminísticos.

• Definiredeterminarespaçosamostraisdeexperimentosaleatórios.• Definireexemplificareventosdeexperimentosaleatórios.• Operarcomeventosdeexperimentosaleatórios.• Definireexemplificareventosmutuamenteexcludentes.• Definireeventoscomplementares.

Noções Preliminares e Operações entre Eventos

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1. IntroduçãoNestaUnidadeintroduziremososconceitosdeexperimentosaleatórios

eexperimentosdeterminísticosapartirdeumexemplopara,emseguida,definiredeterminarespaçosamostraisdealgunsexperimentosaleatórios.ApresentaremosadefiniçãodeeventodeumespaçoamostralWcomoqual-quersubconjuntodeWeoperaremoscomeventos,obtendooutroseventos:união,interseçãoeoeventocomplementar.FinalizaremosaUnidadecomanoçãodeeventoscomplementares.

2. Experimentos: aleatórios versus determinísti cosQuandosoltamosumamoedadeumaalturade80centímetros,temos

algumascertezasealgumaspossibilidades.Dentreascertezastemosadequesuatrajetóriadescreveráummovimentoverticalatéatingirosoloeadequeelaatingiráosolocomumavelocidadeaproximadade4m/s2.Alémdisso,temosacertezadequeveremosnafacesuperioroucaraoucoroa.

Dafísicatemosque,nestascondições,valeaigualdade ,ondeMéamassadamoeda,géaaceleraçãodagravidade,quepodeserconside-radasendode10m/s2,héaalturadaqualamoedaélargada,quenestecasoéde0,80metros,evéavelocidadedamoedaemmetrosporsegundo.Substituindoosvaloresdadosnestafórmula,encontraremosv=4m/s.

Entreasváriaspossibilidades,temosadequeépossível,masnãoécerto,quedêcara;épossívelquevocêrepitaoexperimento,etc.

Experimentos determinísti cos ou aleatórios.

Experimentoscomo (1)soltar uma moeda de certa altura e observar sua trajetóriae(2) soltar uma moeda de certa altura e anotar sua velocidade ao tocar o solosãoditosexperimentosdeterminísticos,poisseusresulta-dospodemserdeterminadosantesmesmodeseremrealizados.Enquanto,experimentoscomo(3)soltar uma moeda de certa altura e observar sua face superior; (4) lançar um dado e observar sua face superior; (5)retirar uma bola de uma urna que contém três bolas pretas e cinco bolas vermelhas e observar a cor da bola sãoditosexperimentosaleatórios,poisseusresul-tados,apesardeprevisíveis,sópodemserdeterminadoscomarealizaçãodoexperimento.Paracadarealizaçãodoexperimentopodemosobterresul-tadosdiferentes,poisnestesexperimentostemosaparticipaçãodoacaso.

Maisprecisamente,temosadefiniçãoquesegue.• Experimentos aleatórios. Experimentos aleatórios são aquelescujosresultados,apesardeprevisíveis,sópodemserdeterminados


comarealizaçãodoexperimento.Paracadarealizaçãodoexperi-mento,nasmesmascondições,podemosobterresultadosdiferen-tes,poistemosaparticipaçãodoacaso.

Exemplo5.2.01.Sãoexemplosdeexperimentosaleatórios: (1) lançarsi-multaneamentedoisdadoseobservarasomadosnúmerosnasfacessupe-riores;(2)emumaproduçãodelâmpadas,aretiradadeumalâmpadadecadaloteparaobservarseelaéounãodefeituosa;(3)emumafesta,anotarosexodecadaconvidadoquechega;(4)efetuarlançamentossucessivosdeumamoedanormalatéqueseconsigacarapelaprimeiravez;(5)jogarumdadodeseisfaces,sendoumaverde,duasamarelasetrêsvermelhas,paracimaeobservaracordafacesuperior;(6)deumlotede30peçasperfeitase5defeituosas,retirar10delasaoacasoeobservaronúmerodepeçascomdefeito;(7)injetarumadosedecertomedicamentoemumapessoaeobser-varotempoqueapessoalevaparamelhorar(deumafebre,porexemplo).Exemplo 5.2.02.São exemplos de experimentos determinísticos: (1) deumaurnacontendo10bolasazuis,retirarumadelaseobservaracor;(2)lançarumamoedacomduascarasouduascoroaseobservarafacesupe-rior;deixaráguafervera100ºCeobservarseelaentraemebulição.

3. Espaço amostral associado a um experimento aleatório

No lançamentodeumdadodeseis faces,numeradasde1a6,ospossíveisresultadosnafacesuperiorsão1,2,3,4,5e6.Dizemos,porisso,queoconjuntoW={1,2,3,4,5,6}éumespaçoamostralassociadoaesseexperimento.

Maisprecisamentetemosadefiniçãoseguinte.

Espaço amostral.

Um espaço amostral associado a um experimento aleatório é umconjuntodetodosospossíveisresultadosparaesseexperimento.

Oespaçoamostralassociadoaumexperimentoaleatórioserádeno-tadopelaletragregaΩ(omega).NotequeΩpodeserfinitoouinfinito.Nocasodeeleserfinito,onúmerodeelementosdeΩseráindicadoporn(Ω)etambémseráchamadodecardinalidadedeΩ.Nocasodeeleserinfinito,podeserdiscretoounão.Exemplo 5.3.01. Para o experimento aleatório E: lançar uma moedaumavezeobservarsuafacesuperior,umespaçoamostraléoconjuntoΩ={cara,coroa}.Exemplo5.3.02.Nolançamentosimultâneodeduasmoedas,ospossíveisresultadossãoKK,KC,CKeCC,emquealetraCsignificacaraealetraKsignificacoroa.Assim,KKsignifica“coroanoprimeiroenosegundolança-mentos”,enquantoKCsignifica“coroanoprimeiroecaranosegundolança-mentos”.Oespaçoamostralparaesseexperimentoé,portanto,oconjuntoΩ={KK,KC,CK,CC}.Exemplo5.3.03.Osdoisexemplosanterioresforamdeespaçosamostraisfinitos.Veremosagoraumexperimentocomespaçoamostralinfinito.SejaEoexperimentoqueconsisteemlançar uma moeda para cima até que se obtenha cara.O espaço amostral deste experimento aleatório éΩ ={C,KC,KKC,KKKC,KKC,…},poispodemosobservar“cara”(C)jánopri-meirolançamento,ounosegundolançamento(KC),ounoterceirolança-


mento(KKC),eassimpordiante.EsseespaçoamostraltambémpodeserrepresentadopeloconjuntoW={0,1,2,3,4,…},emquecadaelementorepresentaonúmerodevezesquedeucoroaantesdedaraprimeiracara.Exemplo5.3.04.Sedeumaurnacontendo3bolasazuis,2brancase3pretasretirarmosumabolaeobservarmosacor, temosumexperimentoaleatóriocujoespaçoamostraléΩ={azul,branca,preta}.

Restringiremosnossoestudoaosexperimentosaleatórioscujosespa-çosamostraissãofinitos,maisprecisamenteàquelesexperimentocujocon-juntoΩéumconjuntonão-vaziocomumaquantidadefinitadeelementos.

Eventos associados a um experimento aleatório.

Definindo o espaço amostral associado a um experimento aleatóriocomoum conjuntoΩ, podemos definir um evento desse espaço amostralcomoumsubconjuntodeΩ.Porexemplo,paraoexperimentoaleatórioE: lançar um dado e observar sua face superiortemosoconjuntoΩ={1,2,3,4,5,6}comoumespaçoamostralassociadoaE.OsubconjuntodeΩdadoporA={2,4,6}podeserpensadocomooeventoA:o número observado foi um número par.OconjuntoB={1,2}podeserassociadoaoeventoB:o número observado foi um número menor do que 3.

Deformamaisprecisatemosadefiniçãoseguinte.Evento.SejaΩumespaçoamostralassociadoaoexperimentoaleató-

rioE.UmeventodesseexperimentoéqualquersubconjuntodeΩ.Eventoimpossíveléumeventoquenuncaocorre.Observar

umabolavermelharetiradadeumaurnaquecontémsomentebolaspretasebolasbrancaséumeventoimpossível.

Comooconjuntovazioeopróprioconjuntosãosubconjuntosdeumdadoconjunto,entãoelestambémsãoeventosdeumexperimentoaleatório.Oconjuntovazioéditoumeventoimpossível,enquantooconjuntoΩéditoumeventocerto.Alémdisso,cadaelementoxdoespaçoamostralΩcons-tituiumeventodoexperimentoaleatório,asaber,oevento{x},queéditoeventosimplesouelementar.

SabemosqueseAémconjuntofinitocomnelementos,entãoApossui,exatamente,2nsubconjuntos.Assim,seΩéumconjuntofinitocomnelementos,queéumespaçoamostraldeumexpe-rimentoaleatórioE,entãoΩpossuiexatamente2neventos.Observeque,deacordocomoquefoifeitoanteriormente,quandore-

alizamosumexperimentoaleatórioedizemosqueocorreuoeventoA,que-remosdizer que o resultadodo experimento foi umdos elementosdeA.Assim,quandojogamosumdadodeseisfaces,nãoviciadoecomasfacesnumeradasde1a6,diremosqueocorreuoeventoA={1,2,3}senafacesuperiorforobservadoonúmero1ouo2ouo3.Exemplo5.3.05.DadooexperimentoaleatórioE: lançar duas moedas distinguíveis, simultaneamente, e observar a face superior,seuespa-çoamostraléoconjuntoW={CC,CK,KC,KK}emqueCrepresenta“cara”eKrepresenta“coroa”.OsubconjuntodeWdadoporA={CC,KK}podeserpensadocomooeventoA: observou-se resultados iguais.OsubconjuntoB={CK,KC,KK}podeserpensadocomooeventoB: observou-se pelo menos uma coroa. Exemplo5.3.06.Nolançamentosimultâneodedoisdadosdistinguíveisenãoviciados,oconjuntoA={(1,2),(2,1)}podeserpensadocomooeventoA: a soma dos números nas faces superiores é 3.OconjuntoB={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}podeserpensadocomooeventoB: a soma dos


números nas faces superiores é 7.OconjuntoC={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}podeserpensadocomooeventoC: o maior número observado foi 5.

4. Operações entre eventos e eventos mutuamente excludentes

Quandoestudamososconjuntos,vimosqueépossíveldefiniralgu-masoperaçõesentreelese,comisso,obtermosnovosconjuntos.

Comooseventosdeumexperimentoaleatóriosãosubconjuntosdoes-paçoamostralassociadoaoexperimento,podemosutilizaressasoperaçõesparaobternovoseventos.

Defato,dadoumexperimentoaleatórioEcomespaçoamostralas-sociadoΩ,seAeBsãoeventosdesteexperimento,temosastrêsdefini-çõesqueseguem.

• União.OeventouniãodeAcomBéoeventoA∪BqueocorrequandooresultadodoexperimentoéumelementodeAouumelementodeB.

Assim,deacordocomadefiniçãoanterior,ocorreoeventoA∪Bquan-doocorreoeventoAouoeventoB.Exemplo5.4.01.OexperimentoaleatórioE: lançar duas moedas distin-guíveis, simultaneamente, e observar suas faces,auniãodoseventosA: observar duas carase B: observar duas coroaséoeventoA∪B: observar dois resultados iguais.Defato,oseventosAeBsão,respectivamente,A={CC}eB={KK}e,assim,oeventoA∪BédadoporA∪B={CC,KK}.

• Interseção.Oevento interseçãodeAcomBéoeventoA∩BqueocorrequandooresultadodoexperimentoéumelementodeAedeBaomesmotempo.

Deacordocomadefinição1.4.2,ocorreoeventoA∩BquandoocorremoseventosAeB,simultaneamente.

Asdefinições1.4.1e1.4.2devemseradaptadasparaocasoemqueAouBouambossãooeventoimpossível,ouseja,oconjuntovazio.

Exemplo5.4.02.NoexperimentoaleatórioE: lançar duas moedas dis-tinguíveis, simultaneamente, e observar suas faces,ainterseçãodoseventosA: observar pelo menos uma cara e B: observar pelo menos uma coroaéoeventoAÇB: observar resultados diferentes.Defato,oseventosAeBsãoA={CC,CK,KC}eB={KK,KC,CK}e,assim,oeventoA∩BédadoporA∩B={CK,KC}.

• Eventocomplementar.OeventocomplementardeAéoeventoAcqueocorrequandooresultadodoexperimentoéumelementodeΩquenãoestáemA.

Comosepercebe,oeventoAcocorresemprequenãoocorreoeventoA.Comoainterseçãodedoisconjuntospodeseroconjuntovazio,pode

acontecerdeoeventointerseçãodeAcomBseroeventoimpossível.Nestecaso,diremosqueAeBsãomutuamenteexcludentes. IstosignificaqueseocorreroeventoAnãopodeocorreroeventoBevice-versa,ouseja,seocorrerBnãopodeocorrerA.

Maisprecisamentetemosadefiniçãoquesegue.• Eventosmutuamenteexcludentes.DizemosqueoseventosAeBdeumexperimentoaleatórioEsãomutuamenteexcludentesseA∩B=∅.


Exemplo5.4.03.NoexperimentoaleatórioE: lançar um dado e observar o número na face superior,oseventosA: observar um número maior do que 5 eB: observar um número ímparsãoexcludentes.Defato,temosqueA={6}eB={1,3,5}e,assim,oeventoA∩Béoconjunto∅.

OsconjuntosA={1,2}eB={1,2,3,4}sãoeventosdoexperimentoaleatórioqueconsisteemlançarumdadoeobservaronúmeronafacesu-perior,cujoespaçoamostralassociadoéoconjuntoΩ={1,2,3,4,5,6}.Noteque,deacordocomateoriadosconjuntos,AestácontidoemB,umavezquetodoelementodeAétambémelementodeB.Nalinguagemdapro-babilidadedizemosqueoeventoAimplicanoeventoB.

Maisprecisamente,seEéumexperimentoaleatóriocomespaçoamos-tralassociadoΩeAeBsãoeventosdeE,ambosnãoimpossíveis,temosadefiniçãoquesegue.

• Inclusãodeeventos.DizemosqueoeventoAimplicaoeventoBeescrevemosA⊂BsetodoelementodeAé,também,elementodeB.

NotequedizerqueoeventoA implicaoeventoBquerdizerqueseocorreroeventoAentão,comcerteza,ocorreráoeventoB.

Propriedades das operações entre eventos.

As operações entre eventospossuemasmesmaspropriedadesdasoperaçõesentreconjuntos.Éoqueafirmamosnasproposiçõesseguintes,cujasdemonstraçõesnãoserãofeitasaqui.

• Proposição5.4.01.SeA,BeCsãoeventosdeumexperimentoale-atórioE,entãovaleoseguinte:

1.(A∪B)c=Ac∩Bc

2.(A∩B)c=Ac∪Bc.• Proposição5.4.02.SeA,BeCsãoeventosdeumexperimentoale-atórioE,entãovaleoseguinte:

1.(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)2.(A∩B)∪C=(A∪C)Ç(B∪C).

Asdefiniçõesdeuniãoeinterseçãodeeventosdeespaçosamostraisassociadosaexperimentosaleatóriospodemserestendidasparaumaquan-tidadeenumeráveldeeventos,comoveremosnasduasdefiniçõesaseguir.

• Uniãoenumeráveldeeventos.DadososeventosA1,A2,A3,oeven-

touniãodosAi,i=1,2,3,éoeventoU∞

=1iiA queocorrequandooresul-

tadodoexperimentoéumelementodealgumdosAi.• Interseçãoenumeráveldeeventos.DadososeventosA1,A2,A3,oeventointerseçãodosAi,i=1,2,3,éoeventoI

∞

=1iiA queocorrequan-

dooresultadodoexperimentoaleatórioéumelementocomumatodososAi.


Nesta Unidade iniciamos o estudo da Probabilidade introduzindoos conceitos básicos de experimentos aleatórios, em contraposição a ex-perimentosdeterminísticos.Introduzimostambémosconceitosdeespaçoamostralassociadoaumexperimentoaleatórioedeeventos.Aproveitandoparaconceituareventossimplesouelementares.Aprendemosaoperarcomeventos,determinandooeventounião,oeventointerseçãoeocomplemen-tardeumeventoemrelaçãoaoespaçoamostral.Vimosqueauniãoeainterseçãodeeventospodemserrealizadascomquantidadesfinitasoucomquantidades infinitasenumeráveisdeeventos.Definimoseventosmutua-menteexcludentescomoaquelescujainterseçãoéoeventoimpossível,ouseja,oconjuntovazio.

1.Resolvido.Umaurnacontémumabolavermelhaetrêsbolaspretas.DetermineoespaçoamostraldoexperimentoaleatórioE: retirar uma bola e observar sua cor.DefinaoseventosA: retirar bola vermelha,B: retirar bola azul,C: retirar bola vermelha ou azuleD: retirar bola ver-melha ou preta.

Solução01.Sabemosqueaurnacontémbolasvermelhas(V)ebolaspretas(P).Assim,paraoexperimentoaleatórioE: retirar uma bola e ob-servar sua cor,oespaçoamostraléoconjuntoΩ={V,P}.OseventosA,B,CeDsãodadosporA={V};B=∅,poisnãoexistebolaazulnaurna;C={V}eD={V,P}=Ω.

Solução02.Paradeixarclaroquenaurnaexistemquatrobolas,sendo1vermelhae3pretas,podemospensaroespaçoamostraldoexperimen-toaleatórioE: retirar uma bola e observar sua corcomosendooconjuntoΩ={V,P1,P2,P3},emqueVrepresentaabolavermelhaePi(i=1,2,3)representacadaumadasbolaspretas.Nestascondições,oseventosA,B,CeDsãodadosporA={V};B=∅,poisnãoexistebolaazulnaurna;C={V}eD={V,P1,P2,P3},ouseja,D=Ω.

2.Resolvido.Aogirarmosaroletaaolado,determineoespaçoamostraleoseventosA: ocorrência de número pareB: ocorrência de número primo.

Solução 01.Ao girarmos a roleta do problema, ospossíveis valores obtidos são dados pelo conjuntoΩ={1,2,3,4,5}.OeventoAéoconjunto{2,4}eoeventoBéoconjunto{2,3,5}.

Solução02.Paradeixarmos explicitadoque existemdoisnúmeros2etrêsnúmeros3esomenteumnúmero1,um4eum5,poderíamosescreveroespaçoamostralcomoΩ={1,21,22,31,32,33,4,5}.Nes-tecasoteríamosoeventoAdadopor{21,22,4}eoeventoBdadopor{21,22,31,32,33,5}.Essarepresentaçãoéinteressantequandoestiver-


mosestudandoaprobabilidadedeumevento.

3. Dê exemplo de dois experimentos aleatórios e de dois experimentosdeterminísticos.

4.Umtetraedroregularéumapirâmidedequatrofacestriangularescon-gruentes.Nolançamentodeumtetraedro,cujasfacesestãonumeradasde1a4,considera-sequesaiuonúmero“x”seafacecomonúmero“x”estáviradaparaochãoouamesa,apósolançamento.Considereoexperimentoaleatóriodadopelolançamentodeumtetraedro.DefinaseuespaçoamostraleoseventosA: ocorrência de um múltiplo de 3,B: ocorrência de um número menor do que ou igual a 3,C: ocorrência de um número maior do que 4eD: ocorrência de um número menor do que 5.

5.Umafamíliatemexatamentetrêscriançasdeidadesdiferentes.Deno-tandoporMosfilhosdosexomasculinoeporFosdosexofeminino,determineasváriaspossibilidadesparaoexperimentoaleatórioE: ob-servar a sequência dos filhos, do mais novo para o mais velho.DetermineoseventosA: todas as crianças são do mesmo sexoeB: duas crianças são meninas ou exatamente duas são meninos.

6.Nolançamentosimultâneodeumamoedaeumdado,determineoespa-çoamostraleoseventosA: dar cara e um número pareB: dar coroa e um número maior do que ou igual a 5.

7.Umaurnacontém5bolasbrancase3bolaspretas.Umabolaéretiradaaoacaso,semreposição,atéquesurjaumabolapreta.Determineoes-paçoamostraldesseexperimentoaleatório.DetermineoeventoA: foram retiradas no máximo duas bolas brancas.Escolhadoisoutroseventosedetermine-os.

8.Umacartaéescolhidadeumbaralhocomumde52cartaseobserva-seseunaipe.Determineoespaçoamostral.DetermineoeventoA: a carta escolhida foi de copas ou de ouro.

9.Deumacaixacontendo3lâmpadasdefeituosase7lâmpadasperfeitas,sãoescolhidas4lâmpadaseobserva-seonúmerodepeçasdefeituosas.Determineoespaçoamostral.DetermineoseventosA: exatamente duas lâmpadas são defeituosas,B: são defeituosas duas ou três lâmpadaseC: são defeituosas menos de três lâmpadas.

10.Resolvido.Dentretodososnúmerosdetrêsalgarismosquepodemserobtidospelapermutaçãodosalgarismos1,2e3,sorteia-seum.OeventoC: o número sorteado é múltiplo de 2 ou de 3 éauniãoentreoseventosA: o número sorteado é múltiplo de 2eB: o número sorteado é múltiplo de 3.Assim,C=A∪B.OeventoD:onúmerosorteadoémúltiplode2ede3éoeventointerseçãodeAcomBe,portanto,D=A∩B.

11.Resolvido.Nolançamentodeumdadoduasvezes,oeventoocorreonú-mero5noprimeirolançamentoeasomadosdoisnúmerosobtidosé9éainterseçãoentreoseventosC: ocorre o número 5 no primeiro lançamen-to e B: a soma dos dois números obtidos é 9.Oumelhor,éainterseçãoentreoseventosA={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}eB={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}.Assim,C=A∩B={(5,4)}.

12.EscolhaumexperimentoaleatórioEeeventosA,BeCdeE,nãoimpos-síveis,everifiqueositensaebdaproposição5.4.01.

13.EscolhaumexperimentoaleatórioEeeventosA,BeCdeE,nãoimpos-síveis,everifiqueositensaebdaproposição5.4.02.


14.EscolhaumexperimentoaleatórioEeeventosAeBdeE,nãoimpossí-veis,equesejammutuamenteexcludentes.

15.Nolançamentodeduasmoedasdistinguíveis,determineoeventocom-plementardoeventoA: observar pelo menos uma caraedoeventoB:nãoobservarcara.

16.Definaeventosmutuamenteexcludentes.

17.Umaurnacontém20bolasiguais,numeradasde1a20.Umabolaére-tiradaaoacasoeseunúmeroéobservado.Determineoespaçoamostralassociadoaesseexperimentoeexpliciteporenumeraçãodoselementos,osseguinteseventos:(a)A:onúmeroobservadoépar;(b)B:onúmeroobservadoéprimo;(c)C:onúmeroobservadoémenordoqueouiguala20;(d)onúmeroobservadoémaiordoque20;(e)E:onúmeroobservadoémúltiplode6oude7;(f)F:onúmeroobservadoéparemúltiplode3;(g)G:onúmeroobservadonãoémúltiplode5.

Texto 1: Um pouco de história

Texto extraído do livro Análise combinatória e probabilida-de, de Augusto Cesar Morgado e outros, Coleção do Professor de

Matemática. SBM: Rio de Janeiro, 2006. pp.6-7. Adaptado.

Diz-se geralmente que a teoria das probabilidades originou-se com Blai-se Pascal e Pierre de Fermat devido à curiosidade do Chevalier de Méré, jo-gador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos à probabilidade de ganhar em certo jogo de cartas. Despertado seu interesse pelo assunto, Pascal correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamarí-amos de probabilidades fi nitas.

Mas em verdade a teoria elementar das probabilidades já tinha sido objeto de atenção bem antes. Levando em conta o fascínio que os jogos de azar sempre exerceram sobre os homens, estimulando-os a achar maneiras seguras de ganhar, não é de se espantar que muito cedo problemas relativos a jogos de cartas ou de dados tenham atraído a atenção de pessoas...

A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades é o livro De Ludo Aleae (Sobre os jogos de Azar), de Jerônimo Cardano, publicado em 1663. É possível que o interesse de Cardano pelo assunto se deva a sua paixão pelos jogos de azar Uma tradução para o inglês moderno do livro de Cardano encontra-se no livro Cardano, the Gambling Scholar, Oysten Ore.

Na parte dedicada à probabilidade Cardano mostra, entre outras coisas, de quantas maneiras podemos obter um número, lançando dois dados. Assim, por exemplo, 10 pode ser obtido de 3 maneiras: 5 em cada dado, 6 no primeiro e 4 no segundo, e 4 no primeiro e 6 no segundo.

Além de Cardano, Johannes Kepler fez algumas observações sobre pro-babilidades, em um livro publicado em 1606, no qual estuda as diferentes opiniões sobre o aparecimento de uma estrela brilhante, em 1604.

Também Galileu preocupou-se com as probabilidades, estudando os jo-gos de dados, para responder à pergunta de um amigo: Com três dados, o número 9 e o número 10 podem ser obtidos de seis maneiras distintas, cada


um deles. No entanto, a experiência mostra que 10 é obtido mais frequen-temente do que 9. Como explicar isso. Galileu estudou cuidadosamente as probabilidades envolvidas e mostrou, corretamente, que, de 216 casos possí-veis, 27 são favoráveis ao aparecimento do número 10 e 25 são favoráveis ao aparecimento do número 9.

Malgrado investigações destes precursores, a Teoria das Probabili-dades só começa a se desenvolver a partir dos trabalhos de Pascal, que aplicou seu estudo com o triângulo aritmético que leva seu nome ao estudo dos jogos de cartas.

HARIKI,SeijieONAGA,DulceS.Cursodematemática,vol.3.Ed.Harper&Row.SãoPaulo:1981.

DANTE,LuizR.Matemática:contexto&aplicações,vol.2.Ed.Ática.SãoPaulo:2004.

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DANTAS,C.A.B.Probabilidade:umcursointrodutório.Edusp.SãoPaulo:2008.

MORGADO,A.C.O.eoutros.AnálisecombinatóriaeProbabilidade.Cole-çãodoProfessordeMatemática.SBM.RiodeJaneiro:2006.

Unidade

Objetivos:

• Apresentar as definições de probabilidade, distinguindo entre a clássica, afrequentistaeaaxiomática.

• Enunciar e demonstrar as principais propriedades da probabilidade, de acordocomadefiniçãoclássica.

• Utilizaraspropriedadesdaprobabilidadenaresoluçãodeproblemas.• Definireexemplificaraprobabilidadecondicional.• Definireexemplificareventosindependentes.• Enunciaredemonstraroteoremadaprobabilidadetotal.• Definireexemplificaradistribuiçãobinomialdeprobabilidade.

Definições de Probabilidade e Principais Resultados

6


1. IntroduçãoAprobabilidadedeumeventoéamedidadachancedesseeventoocor-

rer.Porexemplo,noexperimentoE: lançamento de uma moeda honesta,oeventoA: observar cara na face superiorocorrecomprobabilidade1/2,ouseja,achancedeocorrercaraéde1em2resultadospossíveis.Defato,quandolançamosumamoedahonesta,podemosobservarcaraoucoroanafacesuperior.Assimobservarcaraéumdosdoisresultadospossíveis.Nes-taunidadeapresentaremostrêsdefiniçõesdeprobabilidade—aclássica,afrequentistaeaaxiomática—todaspossuindoasmesmaspropriedades,intrínsecasàdefinição,quesãoapresentadasedemonstradas.Definiremosprobabilidadecondicional,exemplificandoeapresentandosuasproprieda-deseprincipaisresultados,comooteoremadaprobabilidadetotaleote-oremadeBayes,aproveitandoesteconceitoparadefinirmoseventosinde-pendentes.Porfim,estudaremosadistribuiçãobinomialdeprobabilidadecomoomodelo probabilístico adotadoparaumexperimento aleatórionoqualestamosinteressadosnaocorrênciadeumeventoespecífico.

2. Definições de ProbabilidadeComodissemosanteriormente,nãosepodepreverdeantemãoore-

sultadodeumexperimentoaleatório.Entretanto,sabemosquealgunsre-sultados sãomais fáceis de ocorrer do que outros. Por exemplo, quandolançamosumamoedaeobservamossuafacesuperior,osúnicosresulta-dospossíveissãocaraecoroa,quedenotaremos,respectivamente,porCeK.Assim,oespaçoamostralnolançamentodeumamoedaéW={C,K}e,seamoedaforperfeita,acreditamosquequalquerumadasfacespodeocorrercomamesmachance.Jánolançamentodeumdadocujasfacesencontram-senumeradascomosnúmeros1,2,4,8,16e32,pareceóbvioqueachancedeocorrernafacesuperiorumnúmeroparémaiordoqueadeseobterumnúmeroímpar.Éessachancequedesejamosmensurar.AmedidadachancedeumeventoAocorreréchamadaprobabilidadedeAeserádenotadaporp(A).

Definição clássica de probabilidade.

Nolançamentodeumamoedaperfeita,ospossíveisvaloressãoC(cara)ouK(coroa),amboscomamesmachancedeocorrer.Assim,nolançamentodeumamoedaperfeita,oeventoA: observar cara representa1dos2possíveisvalorese,portanto,érazoávelquedigamosqueaprobabilidadedeAéiguala1resultadofavorávelem2resultadospossíveis,ouseja,1/2.Demaneirasemelhante,aprobabilidadedoeventoB: observar coroa éiguala1/2.


Nolançamentodeumdadonormal,ospossíveisvaloressão1,2,3,4,5e6,todoscomamesmachancedeocorrer.Assim,nolançamentodeumdadonormal,cadaeventosimplesrepresentaumdosseispossíveisresul-tadose,portanto,comonocasodasmoedas,érazoávelquedigamosqueaprobabilidadedoeventoA={1}éiguala1/6,ouseja,1resultadofavo-rávelem6resultadospossíveis;adoeventoB={2}éiguala1/6;omesmovalendoparaosdemaiseventoselementares.JáaprobabilidadedoeventoC={2,4,6}deveser3/6,poisCpossui3dos6resultadospossíveis.Alémdisso,3/6=1/2,significandoqueCpossuimetadedosresultadospossíveis.

Quandoemumexperimentoaleatóriocomespaçoamostralfinitoto-dososeventoselementarestêmamesmachancedeocorrer,dizemosqueoespaçoamostraléequiprovável.Assim,osexperimentosaleatóriosE1: lan-çar uma moeda e observar a face superioreE2: lançar um dado e observar a face superior possuemespaçosequiprováveis.

Oquefizemosatéagorasugereadefiniçãoquesegue.• Probabilidadedeumevento.Emumespaçoamostralequiprová-velΩ,aprobabilidadedeocorrerumeventoAéindicadaporp(A)edefinidacomop(A)=n(A)/n(Ω),emquen(A)significaonúmerodeelementosdoeventoAen(Ω)significaonúmerodeelementosdoespaçoamostralW.

Assim,onúmerop(A)medeachancedeocorreroeventoA.Emgeral,oconjuntoWéditoconjuntodosresultadospossíveisoudos

casospossíveiseoconjuntoAéditoconjuntodosresultadosfavoráveisoudoscasosfavoráveis.Assim,podemosredefiniraprobabilidadedeocorreroeventoAcomo

Exemplo6.2.01.Aprobabilidadedeocorrerumnúmeroprimoímparno

lançamentodeumdadohonestoé 62ou 3

1.Defato,temosqueW={1,2,3,

4,5,6}eoeventoA: observar número primo ímparcorrespondeaoconjunto

A={3,5}.Assim,p(A)= )(n)A(n

W= 6

2 e,portanto,p(A)= 31 .

Exemplo6.2.02.No lançamento simultâneodedois tetraedrosperfeitosdistinguíveis,aprobabilidadedeseobternúmerosiguaisé1/4.Defato,te-mosqueoespaçoamostraldesteexperimentoaleatórioéoconjuntoW={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

OeventoA: observar números iguaiséoconjuntodadoporA={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.

Assim,p(A)=

Propriedades da probabilidade.

Deacordocomadefinição,aprobabilidadedeumeventoAdeumes-paçoamostralfinitoeequiprovávelWpossuiaspropriedadesqueseguem.

• Propriedade6.2.1.SeA=∅,entãop(A)=0.


Prova

Defato,seA=∅,entãon(A)=0e,consequentemente,

p(A)=)()(

WnAn

= )(

0Wn =0.

• Propriedade6.2.2.SeA=Ω,entãop(A)=1.ProvaDefato,seA=W,entãop(A)= )(

)(WW

nn

=1.

• Propriedade6.2.3.Paracadax∈Ω,p(x)=p({x})=)(Wn

1 .ProvaDeixadaparaoleitor.

• Propriedade6.2.4.SeAeBsãoeventostaisqueA∩B=∅,entãop(A∪B)=p(A)+p(B).

Prova

ComoA∩B=∩,temosquen(A∪B)=n(A)+n(B).Assim,

p(A∪B)=)(

)(W∪

nBAn =

)()()(

W+

nBnAn =

)()(

WnAn +

)()(

WnBn =p(A)+p(B).

Apropriedadeaseguirgeneralizaapropriedadeanterior.

• Propriedade6.2.5.SeAeBsãoeventosquaisquer,entãop(A∪B)=p(A)+p(B)–p(A∩B).Prova

Temosquen(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B)eassim,

p(A∪B)=)(

)(W∪

nBAn =

)()()()(

W∩-+

nBAnBnAn

= )()(

WnAn

+ )()(

WnBn

– )()(

W∩

nBAn

= p(A)+p(B)–p(A∪B).

EfinalmentetemosaPropriedade6.2.6querelacionaaprobabilidadedeumeventocomadeseucomplementar.

• Propriedade2.2.6.SejaAcoeventocomplementardeA.Temosquep(Ac)=1–p(A).

ProvaDefato,temosqueΩ=A∪Ac.Assim, 1 = p(Ω) = p(A∪Ac) = p(A) + p(Ac).Donde se conclui que

p(Ac)=1–p(A).

Exemplo6.2.03.Nolançamentodeduasmoedasdistinguíveis,temosqueo espaço amostral éW = { CC,CK, KC, KK }. A probabilidade do eventoA: observar pelo menos uma caraép(A)=3/4.AprobabilidadedoeventoAc: observar zero caraé

p(Ac)=1–p(A)=1–43=

41.


Exemplo 6.2.04. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre os números de 1 a 10. A probabilidade de o número escolhido ser múlti plo de 6 ou de 9 é 1/5. De fato, os eventos A: o número escolhido é múlti plo de 6 e B: o número escolhido é múlti plo de 9 são dados pelos conjuntos A = { 6, 12, 18 } e B = { 9, 18 }. Os eventos A∪B e A ∩ B são os con-juntos A∪B = { 6, 9, 12, 18 } e A ∩ B = { 18 }. Temos que n(A∪B) = 4 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 3 + 2 – 1 = 4, e, portanto, p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).

Exemplo 6.2.05. No experimento aleatório anterior, a probabilidade de o número esco-

lhido ser múlti plo de 10 ou de 11 é 3/10, pois os eventos C: o número escolhido é múlti plo

de 10 e D: o número escolhido é múlti plo de 11 são mutuamente excludentes. Assim,

p(A∪B) = p(A) + p(B) =

Defi nição frequenti sta de probabilidade.

Suponhaquetenhamosumamoedaenãosaibamosseelaéounãoviciada,ouseja,seelaéounãoumamoedacomprobabilidadesdiferentesparaoeventoA: observar caraeoeventoB: observar coroa.Qualseriaumaboaestratégiaparadescobrirseamoedaéounãohonesta?

Vocêresolvefazer10lançamentos,observareanotarosresultados.

Lançamentos Cara Coroa

10 7 3

Apósosdezprimeiroslançamentos,qualéasuaopinião,amoedaéperfeitaounão?

Éclaroquecomumaquantidade tãopequenade lançamentosnão

épossíveldecidirseamoedaéperfeitaounão.Oquepodemosafirmaré

que,nosdezlançamentos,afrequênciadoevento“cara”foi7,enquantoa

freqüênciadoevento“coroa”foitrêsequesecontinuarmoscomaexperiên-

ciaeoresultadosemantiverentãopodemosdizerquep(C),aprobabilidade

doeventocara,deveser (afinal,foram7resultadosem10)equep(K),a

probabilidadedoevento“coroa”,deveser .

Como se percebe, definimos as probabilidades dos eventos “cara”e“coroa”comoafreqüênciarelativadecadaumdesseseventosnosdezlançamentos.

Suponha que apósmais 10 lançamentos, tenhamos os seguintesresultados:

Lançamentos Cara Coroa

10 7 3

10 6 4

Total 20 13 7

Eagora,amoedaéperfeitaounão?


Éclaroquenuncapoderemosrespondercomcerteza,apartirdeexpe-rimentos,seamoedaéounãoperfeita.Masdepoisdemuitoslançamentos,épossívelqueconsigamosdefinir,comcertaprecisão,aprobabilidadedeumeventoocorrer.Essadefiniçãodeprobabilidadeéditadefiniçãofrequentista.

Éimportantemencionarmosqueafreqüênciarelativadoevento{ai}tendeaseestabilizaremumcertovalor,apósumnúmerosuficientementegrandederepetições.Estefatoéquenospermiterecorreràdefiniçãofre-quentistadeprobabilidade.

Alémdisso,afunçãofreqüênciarelativafn(ai)= ,ondenrepresen-

taonúmeroderepetiçõesdoexperimentoEen(ai)representaonúmeros

devezesqueocorreuoevento{ai},paranmuitogrande,possuiasmesmas

propriedadesdafunçãoprobabilidadedadefiniçãoclássicadeprobabilida-

de,paraeventosnãovaziosdeespaçosamostraisfinitos.

Definição axiomática de probabilidade.

Atéagoravimosaprobabilidadecomo frequência relativa (definiçãofrequentista)daocorrênciadeeventossimplesecomoquocienteentreoscasosfavoráveiseoscasospossíveis(definiçãoclássica)deumevento.Ago-ravamosdefiniraprobabilidadedemaneiraaxiomática,independentedeexperimentoconcreto.Paratanto,precisaremosdadefiniçãodefunçãodedistribuiçãodeprobabilidadeou,simplesmente,distribuiçãodeprobabili-dadequeconsisteemassociar,aoselementosdeumconjuntonãovazioW,númerosreaispositivosemenoresdoqueouiguaisa1,possuindodeter-minadaspropriedades.

Temosadefiniçãoseguinte.• Definição.SejaΩ={a1,a2,a3,…,an}umespaçoamostralfinito,istoé,umconjuntofinito,nãovazio,comnelementos.Umadistri-buiçãodeprobabilidadeéuma funçãop,queassociaacadaele-mentoai(i=1,2,…,n)umnúmerorealp(ai)queseráindicadoporpi,satisfazendo:0<pi<1,paratodoi;p1+p2+…+pn=1.

Onúmeropiéditoaprobabilidadedoeventoelementar {ai }eserárepresentadoporp({ai})ou,simplesmente,p(ai).

Para finalizarmos esta definição axiomática, basta que definamos a probabilidade de um evento qualquer de W.

Para tanto, seja W = { a1, a2, a3, …, an } um espaço amostral finito munido de uma distribuição de freqüência p, isto é, um conjunto finito, não vazio, com n elementos munido de uma distribuição de frequência.

• Definição.DadoumeventoA,definimosaprobabilidadedeA,quedenotaremosporp(A),comosegue:p(A) = 0, se A = ∅;

p(A) = ∑∈Aa

ii

)a(p .

Nestascondições,temosaspropriedadesseguintes.


• Propriedade6.2.7.SeA=∅,entãop(A)=0.ProvaOresultadoseguedadefinição.

• Propriedade6.2.8.SeA=Ω,entãop(A)=1.Prova

Defato,temosqueΩ=Ui

i }a{ e,portanto,p(W)=∑W∈ia

i )a(p =1,umavez

quepéumadistribuiçãodeprobabilidade.• Propriedade6.2.9.SeAeBsãoeventostaisqueA∩B=∅,entãop(A∪B)=p(A)+p(B).

ProvaTemosque

p(A∪B)=p( UUBb

iAa

iii

ba∈∈

∪ )()}{( )=∑∈Aa

ii

ap )( +∑∈Bb

ii

bp )( =p(A)+p(B).

• Propriedade 6.2.10. Se A e B são eventos quaisquer, entãop(A∪B)=p(A)+p(B)–p(A∩B).ProvaDeixamosparaoleitor.

• Propriedade6.2.11.SejaAc o evento complementardeA.Temosquep(Ac)=1–p(A).ProvaDeixamosparaoleitor.

3. Probabilidade condicional e eventos independentes

Oconceitodeprobabilidadecondicionaléumdosconceitosmaisim-portantesdaprobabilidadeepermitechegaràideiadeeventosindependen-tes,outroconceitodamaiorimportânciaparaaprobabilidade.Definiremosprobabilidadeapartirdeumexemploemespaçosamostraisequiprováveis.

SuponhaqueThiago eMarianaestejambrincandode jogardado ecadaumtenhaescolhidotrêsnúmerosparajogar,conformeindicadonoseventosT = { 1, 2, 3 }: Thiago ganhaeM = { 4, 5, 6 }: Mariana ganha.

Sabemos que, nestas condições, a probabilidade de Thiago ganhar

é amesma probabilidade deMariana ganhar e é igual a21, pois p(T) =

21

63

)(n)T(n

==W ep(M)= 2

163

)(n)M(n

==W

,ondeW,oconjuntodadoporW={1,2,3,

4,5,6},éoespaçoamostraldoexperimentoaleatórioE: lançar um dado e

observar sua face superior.SejamaindaoseventosA: o número observado é pareB: o número ob-

servado é ímpar.Suponhamosquesejafeitoumlançamentoesejaobservadooresultado.Consideremosasseguintesperguntas:


PERGUNTA 1: QualaprobabilidadedeThiagoganharojogoequalaprobabili-dadedeMarianaganharojogo?

PERGUNTA 2:Sabendoqueonúmerosorteadofoipar,qualaprobabilidadedeThiagoganharojogoequalaprobabilidadedeMarianaganharojogo?

PERGUNTA 3:Sabendoqueonúmerosorteadofoiímpar,qualaprobabilida-dedeThiagoganharojogoequalaprobabilidadedeMarianaganharojogo?

Asprobabilidadesprocuradasnasperguntas2e3sãooquechama-mosdeprobabilidadecondicional.Napergunta2,estamosinteressadosemcalcularasprobabilidadesdoseventosTeMdadoqueocorreuoeventoA: o número observado é par.Essasprobabilidadessãoindicadasporp(T/A)ep(M/A),respectivamente.Napergunta3,estamosinteressadosnasprobabi-lidadesdoseventosTeMdadoqueocorreuoeventoB: o número observado foi ímpar,quesãoindicadasporp(T/B)ep(M/B),respectivamente.

Nestecaso,asprobabilidadesprocuradaspodemserobtidascomo:

•)(

)()/(An

ATnATp ∩= ;

•)(

)()/(An

AMnAMp ∩= ;

•)B(n

)BT(n)B/T(p ∩= ;

•)B(n

)BM(n)B/M(p ∩= .

Emgeral,temosadefiniçãoquesegue.• Probabilidade condicional. Dados um experimento aleatório E,comespaçoamostralΩ,eAeBeventosdeE,comB≠∅,aprobabi-lidadedeocorreroeventoAdadoqueocorreuoeventoB(probabi-lidadedeAdadoB)ouaprobabilidadedoeventoAcondicionadoaoeventoBéindicadaporp(A/B)edefinidapor

p(A/B)=)(

)(Bp

BAp ∩ .

AprobabilidadedeAdadoBpodeserpensadacomoaprobabilidadedeocorreroeventoA,quandooespaçoamostralficareduzidoaoeventoB.

Exemplo6.3.01.Deumaurnacontendo55bolasnumeradasde1a55,

umabolaésorteadaaoacaso.Aprobabilidadedeonúmeronabolasortea-

daserumnúmeroparé .Jáaprobabilidadedeonúmeronabolasorte-

adaserpar,dadoqueonúmerosorteadofoiummúltiplode11é52 .Defato,

denotandoporAeBoseventosA: o número sorteado é pareB: o número

sorteado é múltiplo de 11,temosqueoeventoBéoconjuntoB={11,22,33,

44,55}enquantooevento BA ∩ édadopeloconjunto BA ∩ ={44,22}.


Assimp(A/B)=52 .Aplicandoafórmula,temosque:

52

55)B(n

55)BA(n

)B(p)BA(p)B/A(p =

∩

=∩

=

Exemplo6.3.02.No lançamentosucessivodeumamoedaduasvezes,a

probabilidadedeocorrercaranosegundolançamento,tendoocorridocoroa

noprimeirolançamentoéaprobabilidadedoevento{KC}doexperimento

aleatóriocujoespaçoamostralequiprovável,dadopeloconjuntoW ={CC,

CK,KC,KK }.Assim,aprobabilidadeprocuradaé21 .Essaprobabilidade

podesercalculadacomoaprobabilidadecondicionalp(A/B),emqueAéo

eventoA: deu cara no segundo lançamentoeBéoeventoB: deu coroa no

primeiro lançamento.Nestascondições, temosqueAeBsãodadospelos

conjuntosA={CC,KC}eB={KC,KK}e,portanto,

21

)()(

)()()/( =

∩=

∩=

BnBAn

BpBApBAp

Aprobabilidadecondicionalpossuiaspropriedadesseguintes.• Probabilidadecondicional.Propriedade01.SeAéumeventodeumexperimentoaleatórioEcomespaçoamostralΩ,comp(A)>0,então:a)p(∅/A)=0.

b)p(W /A)=1.ProvaParaambosos itens,bastausarmosadefiniçãodeprobabilidadecondicional.Defato,temosquea) p(∅/A) = p(∅∩A)/p(A) = p(∅)/p(A) = 0/p(A) = 0;

b) p(W/A) = p(Ω∩A)/p(A) = p(A)/p(A) = 1.

• Probabilidadecondicional.Propriedade02.SeA,BeCsãoeven-tosdeumexperimentoaleatórioEcomespaçoamostralΩ,taisquep(C)>0eA∩B=∅,então

p(A∪B/C)=p(A/C)+p(B/C).ProvaPordefinição,temosque

p(A∪B/C) = p[(A∪B)∩C)/p(C)

epelafórmuladeDeMoivreparaescreverp(A∪B/C) = p[(A∩C)∪(B∩C)]/p(C).

Desde que A∩C e B∩C são disjuntos, pois A e B o são, temos que p[(A∩C)∪(B∩C)] = p(A∩C) + p(B∩C) e, portanto, vamos ter

p(A∪B/C) = [p(A∩C) + p(B∩C)]/p(C) = p(A/C) + p(B/C).


Experimentos realizados em sequência.

Da igualdade p(A/B) = )B(p)BA(p ∩, podemos deduzir que p(A∩B)

=p(A/B).p(B).Nestaversão,afórmulaémuitoútilparaocálculodepro-

babilidadedeeventosdeexperimentosaleatóriosrealizadosemsequência,

nasquaisaocorrênciadeumeventona2aetapadependedesuaocorrência

na1aetapa;aocorrênciadesseeventona3aetapadependedesuaocorrên-

ciana2aetapa;eassimpordiante.Ouseja,temosumasucessãodeproba-

bilidadescondicionais.Comoexemplo,citamosoexperimentoaleatórioE:

retirada sucessiva e sem reposição de bolas de uma urna contendo 8 bolas

pretas e 6 bolas brancas.Aproposiçãoaseguir,queéumageneralizaçãodafórmuladadefi-

niçãodeprobabilidadecondicionalparaocasodeneventos,sendonuminteiropositivomaiordoque2,tambéméconhecidacomoTeoremadoPro-duto.Suademonstraçãopodeserfeitaporinduçãosobren,onúmerodeeventos,eserádeixadaparaoleitor.

• Proposição6.3.1.SejamA1,A2,A3,…,An eventosdeumespaçoamostralΩepumaprobabilidadedefinidaemΩ.Temosque:

)A...A/A(p)...AA/A(p)A/A(p)A(p)A...AA(p 1n1n213121n21 -∩∩∩=∩∩∩

Paraauxiliaroleitornasuatarefadedemonstraroresultadoanterior,faremosademonstraçãoparaocasoemquen=3,ouseja,demonstraremosaproposiçãoquesegue.

• Proposição6.3.2.SejamA1,A2eA3eventosdeumespaçoamostralΩepumaprobabilidadedefinidaemΩ.Temosque:

)AA/A(p)A/A(p)A(p)AAA(p 213121321 ∩=∩∩ .

ProvaDadososeventosA1,A2eA3,chamemosdeA,oeventoA=A1ÇA2.Temosque

p(A∩A3)=p(A)p(A3/A)ouseja

p(A1∩A2∩A3)=p(A1∩A2)p(A3/A1∩A2)oquenosdá

p(A1∩A2∩A3)=p(A1)p(A2/A1)p(A3/A1ÇA2)Mostrandooresultado.

Exemplo6.3.03.NoexperimentoaleatórioE: retirada sucessiva e sem re-

posição de bolas de uma urna contendo 8 bolas pretas e 6 bolas brancas, ao

retirarmos3bolas,aprobabilidadedequesejam3bolasbrancasé .De

fato,consideremososeventosA1: a primeira bola é branca,A2: a segunda bola

é brancaeA3: a terceira bola é branca.Queremosdeterminarp(A1ÇA2ÇA3).

Deacordocomaproposição,temosque:

p(A1∩A2∩A3)=p(A1)p(A2/A1)p(A3/A1∩A2)= .


Exemplo6.3.04.Noexperimentoaleatórioanterior,aoretirarmos5bolas,aprobabilidadedequesejam5bolaspretasédadaporp(A1∩A2∩A3∩A4∩A5),emqueoseventossãodadosporA1: a primeira bola é preta,A2: a segunda bola é preta,A3: a terceira bola é preta,A4: a quarta bola é pretaeA5: a quinta bola é preta.Deacordocomaproposição,temosque

p(A1∩A2∩A3∩A4∩A5) = = 143

4.

Eventosindependentes.Quandolançamosumamoedahonestaduasoumaisvezes,ofatodedarcaranoprimeirolançamentonãovaiinfluenciarnoresultadodosegundolançamentonemnoresultadodosdemaislança-mentos.Dizemos,porisso,que,porexemplo,oseventosA: dar cara no pri-meiro lançamentoeB: dar cara no segundo lançamentosãoindependentes.Essaéaideiaintuitivadeeventosindependentes.Maisprecisamente,temosadefiniçãoseguinte.

• Eventosindependentes.SejamAeBeventosdeumexperimentoEcomespaçoamostralΩ.DizemosqueAeBsãoindependentesse,esomentese,valeaigualdadep(A∩B)=p(A).p(B).

Exemplo 6.3.05.No caso dasmoedas, temos p(A) = 1/2, p(B) = 1/2 ep(A∩B)=1/4,umavezqueoespaçoamostralparaoexperimentoE: lançar uma moeda honesta 2 vezes e observar o resultado na face superiorédadoporΩ={CC,CK,KC,KK}eoseventosA: observar cara no primeiro lan-çamento eB: observar cara no segundo lançamentosão,respectivamente,A={CC,CK}eB={CC,KC}e,consequentemente,oeventoAÇBédadoporAÇB={CC}.Assim,temosquep(A)=1/2,p(B)=1/2ep(A∩B)=1/4,valendoaigualdadep(AÇB)=p(A).p(B).Das igualdades p(A∩B) = p(A). p(A/B), p(B∩A) = p(B). p(B/A) e p(A∩B)=p(A).p(B),segueque,seAeBsãoeventos independentes, taisquep(A)≠0ep(B)≠0,entãop(A/B)=p(A)ep(B/A)=p(B).Esteresultadoencontra-sesintetizadonaproposiçãoseguinte.

• Proposição 6.3.8. Sejam A e B eventos independentes, tais quep(A)≠0ep(B)≠0.Nestascondiçõesp(A/B)=p(A)ep(B/A)=p(B).

TeoremadeBayes.Encerraremosestaseçãocomdoisresultadosbastanteutilizados e úteis na resolução de problemas envolvendo a probabilidadecondicional,nosquaisosexperimentosaleatóriossugerempartiçõesdosespaçosamostrais:oteoremadaprobabilidadetotaleoteoremadeBayes.Paratantonecessitaremosdadefiniçãodepartiçãodeumconjunto.

• Partição.Dizemosqueumacoleçãodeconjuntos{Ai}éumaparti-çãodeumconjuntoBsevaleoseguinte:(i) ∪ Ai = B.

(ii) Se i ≠ j, Ai ∩ Aj = ∅.

Exemplo6.3.07.OsconjuntosA1={2,4,6,8}eA2={1,3,5,7,9}sãoele-mentosdeumapartiçãodeB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Exemplo6.3.08.OsconjuntosA1={2,4,6},A2={1,3},A3={5},A2={7,8,9}sãoelementosdeumapartiçãodoconjuntoB,dadoporB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Enunciaremosedemonstraremosoteoremaseguinteparaocasodeumapartiçãocom3elementos.Ocasogeralpodeserfeitoporinduçãoso-breonúmerondeelementosdapartição.


• Teorema da Probabilidade Total. Caso n = 3. Dados os eventos A1, A2, A3 e B de um experimento aleatório, tais que o conjunto { A1, A2, A3 } é uma partição do espaço amostral W, então vale a igualdade

p(B)=p(A1)p(B/A1)+p(A2)p(B/A2)+p(A3)p(B/A3).ProvaComooconjunto{A1,A2,A3}éumapartiçãodoespaçoamostralΩ,temosqueB=(B∩A1)È(B∩A2)È(B∩A3).EcomoosconjuntosAisãodisjuntos,temosque

p(B)=p(B∩A1)+p(B∩A2)+p(B∩A3).Dafórmuladaprobabilidadecondicional,sabemosque:p(B∩A1)=p(A1)p(B/A1),p(B∩A2)=p(A2)p(B/A2),p(B∩A3)=p(A3)p(B/A3),oqueprovaoresultado.

Comodissemos,oteoremadaprobabilidadetotalpodesergeneraliza-doparaocasodeumapartiçãocomqualquernúmerofinitodeelementos.Defato,temosoresultadoseguinte.

• TeoremadaProbabilidadeTotal.Casogeral.DadososeventosA1,A2,…,AneBdeumexperimentoaleatório,taisqueoconjunto{A1,A2,…,An}éumapartiçãodoespaçoamostralΩ,entãovaleaigualdadep(B)=p(A1)p(B/A1)+p(A2)p(B/A2)+…+p(An)p(B/An).ProvaAdemonstração deste teoremano caso geral é semelhante à docaso anterior e pode ser feita por indução sobre onúmerondeelementosdapartição.

Exemplo6.3.09.Emumtorneiodexadrezoscompetidoresestãodivididosem3categorias:osdotipo1,quecorrespondemàmetadedogrupo;osdotipo2,quesãoumquartodogrupo;eosdotipo3,quesãoumquartodogrupo.AprobabilidadedeJoãoganharumapartidaéde0,3quandoelejogacomosdotipo1;éde0,4quandojogacomosdotipo2;ede0,5quandoseuoponenteédotipo3.Emumapartidacontraumcompetidorescolhidoaoacaso,aprobabilidadedeJoãoganharéde0,375.Defato,sedenotar-mosporAioeventoJoãojogacomumcompetidordotipoieporBoeventoJoãoganhaapartida,teremos:

p(A1)=0,5;p(A2)=0,25;ep(A3)=0,25.Alémdisso,temosque

p(B/A1)=0,3;p(B/A2)=0,4;ep(B/A3)=0,5.Assim,peloteoremadaprobabilidadetotal,

p(B)=p(B∩A1)+p(B∩A2)+p(B∩A3),ouseja,p(B)=p(A1)p(B/A1)+p(A1)p(B/A1)+p(A1)p(B/A1)p(B)=0,5.0,3+0,25.0,4+0,25.0,5=0,375.

FinalmentetemosoteoremadeBayesque,paraocason=3,podeserenunciadocomosegue.


• TeoremadeBayes.Cason=3.DadososeventosA1,A2,A3eBdeumexperimentoaleatório, taisqueoconjunto {A1,A2,A3 }éumapartiçãodo espaçoamostralΩ, p(B)>0 ep(Ai)>0,∀i, então vale aigualdadep(Ai/B)=p(B/Ai)p(Ai)/p(A1)p(B/A1)+p(A2)p(B/A2)+p(A3)p(B/A3).ProvaSabemosque,pordefinição,p(Ai/B)=p(Ai∩B)/p(B)ep(B/Ai)=p(Ai∩B)/p(Ai).Assim,podemosescreverp(Ai/B)=p(Ai∩B)/p(B)=p(B/Ai)p(Ai)/p(B).Peloteoremadaprobabilidadetotal,temosquep(Ai/B)=p(B/Ai)p(Ai)/[p(A1)p(B/A1)+p(A2)p(B/A2)+p(A3)p(B/A3)].Oquemostraoresultado.

Assim como no caso do teorema da probabilidade total, o teoremadeBayestambémpodesergeneralizadoparaocasodeumapartiçãocomqualquernúmerofinitodeelementos.Defato,temosoresultadoseguinte.

• TeoremadeBayes.Casogeral.DadososeventosA1,A2,…,AneBdeumexperimentoaleatório,taisqueoconjunto{A1,A2,…,An}éumapartiçãodoespaçoamostralW,entãovaleaigualdadeP(Ai/B)=p(B/Ai)p(Ai)/p(A1)p(B/A1)+p(A2)p(B/A2)+…+p(An)p(B/An).ProvaAdemonstraçãodesteteoremanocasogeralésemelhanteàdocasoanteriorepodeserfeitaporinduçãosobreonúmerondeelementosdapartição.

Exemplo6.3.10.Noexemploanterior,sabendoqueJoãoganhou,aproba-bilidadedeseuoponenteserdotipo1é0,4.Defato,queremosdeterminarp(A1/B).PeloteoremadeBayes,temosque

p(A1/B) =)A/B(p)A(p+)A/B(p)A(p+)A/B(p)A(p

)A/B(p)A(p

332211

11 .

Assim, p(A1/B) = 0,4.

4. Distribuição binomial de probabilidadeParaentendermosoquevemaserumadistribuiçãobinomialdepro-

babilidade,vamosiniciarresolvendooseguinteproblema:

Problema:Em um jogo de dados, Toby aposta nos números 5 e 6. Em três lançamentos do dado, qual a probabilidade de Toby ganhar exatamente duas vezes?

• Compreendendo o problema.Nosso problema consiste em3 re-petiçõesconsecutivasdoexperimentoaleatórioE: jogar um dado e observar sua face superior.EstamosinteressadosnaobservaçãodoeventoS: Toby obtém sucessoouS: Toby ganha o jogoedoseucom-plementarF: Toby fracassaouF: Toby perde o jogo.SabemosqueaprobabilidadedoeventoS,quechamaremosdeprobabilidadedesu-cessoeseráindicadaporp(S),é2/6ou1/3.SabemostambémqueaprobabilidadedeF,quechamaremosdeprobabilidadedeFracassoedenotaremosporp(F),édadaporp(F)=1–p(S)=1–1/3.Assim,p(F)=2/3.


Aorepetirmosoproblemapor3vezeseanotarmoso resultado,pode ocorrer qualquer uma das oito situações (sequências) doquadroseguinte:

LinhaLançamentos

1 2 3

1 S S S

2 S S F

3 S F S

4 S F F

5 F S S

6 F S F

7 F F S

8 F F F

EmqueSsignificaqueTobyganhououobtevesucessonolançamentoeFsignificaqueTobyperdeuouobtevefracassonolançamento.

Aprobabilidadedasequênciaemcadaumadaslinhasdatabelaante-rioréumaprobabilidadecondicionalepodesercalculadapeloteoremadoproduto,comoaseguir.

Paraaprimeira linhatemosp(SSS)=p(S).p(S).p(S)= 31. 31. 31= 3)

31

( ;

paraasegunda,p(SSF)= 31. 31. 32= 2)

31

( . )32

( ;paraaterceira linha,apro-

babilidadeédadaporp(SFS)=31 .

32 .

31 = 2)

31

( . )32

( ;eassimpordiante.Isso

porqueasrepetiçõesprobabilidadedoexperimentosãoindependentesentre

si,ouseja,oresultadodeumarepetiçãonãoinfluinoresultadodaoutra.• Solucionandooproblema.Pararespondermosàpergunta“QualaprobabilidadedeTobyganharexatamente2vezesem3repetiçõesdoexperimentoE,ouseja,em3lançamentosdodado”,bastacal-cularmosaprobabilidadedoevento (SSF)∪ (SFS)∪ (FSS),ouseja,basta somarmosasprobabilidadesdas sequênciasSSF (linha2),SFS(linha3)eFSS(linha5).

Oquadroaseguirmostraaprobabilidadedecadaumdosoitoeventoslistadosanteriormente.


LinhaLançamentos

Probabilidade1 2 3

1 S S S

31

.31

.31

2 S S F

32

.31

.31

3 S F S

31

.32

.31

4 S F F32

.32

.31

5 F S S31

.31

.32

6 F S F

32

.31

.32

7 F F S

31

.32

.32

8 F F F

32

.32

.32

Comosepercebenoquadroanterior, asprobabilidadesprocuradas

são:p(SSF)= ,p(SFS)= ep(FSS)= .Portanto,arespostaparao

problemaé .

Outroproblema.Seoexperimentoanterior,aoinvésdetrêsvezes,fosserepetido5vezes,qualseriaaprobabilidadedeTobyganharemexatamen-te3delas?Deacordocomoquefoifeitoanteriormente,estamosinteressadosnasse-quênciasde5letras,sendo3letrasSe2letrasF.Assim,pararesolveroproblema,podemospensarquetemos5espaçosparaescolher3ecolocaras3letrasS.Comosabemos,issopodeserfeitodeC5,3maneirasdistintas.Comoasetapassãoindependentes–sucessooufracassoemumaetapanãointerferenoresultadodaetapaseguinte–e,emcadaumadelasapro-babilidadedesucesso(S)é1/3eadefracasso(F)é2/3,aprobabilidadedecadaumadessasC5,3maneirasé 23 )

32

()31

( × .Portanto,aprobabilidadedeTobyganharemexatamente3dos5 lança-mentoséC5,3×

23 )32

()31

( × .

Umaprimeirageneralização.Nosnossosproblemas,arepetiçãodoexpe-rimentoaleatórioEdeuorigemaoexperimentoE×E×EouE×E×E×E×E,comseusespaçosamostraiscorrespondentes,nosquaisaprobabilidadedecadaeventoelementarédadapor

knk )32

()31

( -×,

emquen=3oun=5.


Alémdisso,paracadak,aquantidadedeeventoselementarescomaprobabilidade knk )

32

()31

( -× éCn,k.Esteresultadolembraosnúmerosbinomiais,as fórmulasanteriores lembrama fórmulado termogeraldodesenvolvi-mentodoproduto(x+y)n.

Essaéaideiadadistribuiçãobinomialdeprobabilidade.O teorema binomial.Consideremosum experimento aleatório no qualestamosinteressadosnaocorrênciadeumeventoespecífico,queseráin-dicadoporS,denominadodesucessoecujaprobabilidadeseráindicadaporp[p=p(S)].SeucomplementarseráindicadoporFedenominadodefracasso.Suaprobabilidadep(F)serádenotadaporq.ComoSeFsãocom-plementares,temosquep+q=1,ouainda,q=1–p.Esse experimento é repetido n vezes, dando origem ao experimentoE×E×E×…×E,cujoespaçoamostral éoconjuntode todasasn-uplasdesucessosoudefracassos,sucessosefracassosessesqueocorremsemprecomamesmaprobabilidadepou1–p,respectivamente,sendoqueaocor-rênciadedeterminadoeventoemumaetapanãoinfluencianoresultadodaetapaseguinte.Nestascondiçõesvaleoteoremabinomialqueafirmaoquesegue.

• Teorema binomial. A probabilidade de ocorrerem exatamente ksucessos emuma sequênciadenprovas independentes,na qualaprobabilidadedesucessoemcadaetapaép,éiguala .)p1(p

kn knk --

ProvaAprovadeste teoremaseguedoque foi feitoanteriormenteesuasistematizaçãoserádeixadaparaoleitor.

Exemplo6.4.01.Umamoedahonestaélançada10vezes.Aprobabilidadedeocorreremexatamente6carasé que,porsuavez,éiguala .

Exemplo6.4.02.Emumaprovacom20questões,cadaumadelascomqua-troalternativasdasquaissomenteéacorreta,aprobabilidadedeumapes-soaquenãosaibaamatériaacertarexatamente12delasé que,porsuavez,éiguala .

NestaUnidadeapresentamosaprobabilidadedeumeventodeumex-perimentoaleatóriocomoamedidadachancedesseeventoocorrer.Inicia-mos introduzindoadefiniçãoclássicadeprobabilidade,ouseja,aproba-bilidadecomooquocienteentreonúmerodecasosfavoráveiseodecasospossíveis,emque,porcasospossíveisentendemostodososelementosdoespaçoamostraleporcasosfavoráveisentendemostodososelementosdoeventodoqualdesejamoscalcularaprobabilidade.Emseguida,apresentar-mosasdefiniçõesfrequentistaeaaxiomática,todaspossuindoasmesmaspropriedades.Vimosque,nadefiniçãoaxiomática,asprobabilidadesatri-buídasaoseventoselementaresdeumespaçoamostralnãodependemda


realização desse experimento. Elas são atribuídas segundo certas regras,demodoquesatisfaçamaspropriedadesdasprobabilidades,propriedadesestasqueforamobtidasdadefiniçãoclássica,aorealizarmosefetivamenteosexperimentosequequeremosintrínsecasàdefiniçãodeprobabilidade.Estudamosasprobabilidadescondicionais,ouseja,aprobabilidadedeocor-rênciadeumeventoquandosabemosdaocorrênciadeoutroevento.Comisso,definimoseestudamososeventosindependenteseosteoremasdapro-babilidadetotaledeBayes,teoremasbastanteúteisnaresoluçãodealgunsproblemas envolvendo probabilidade condicional. Por fim, estudaremos adistribuiçãobinomialdeprobabilidadecomoomodeloprobabilísticoadota-doparaumexperimentoaleatórionoqualestamosinteressadosnaocorrên-ciadeumeventoespecíficoparaserutilizadanoestudodaprobabilidadedeeventosdeexperimentosaleatóriosquesãorealizadosemsequência.

1.Resolvido.ConsidereoexperimentoaleatórioE: jogar uma moeda duas vezes para cima, observando a cada lançamento sua face superior.De-terminaraprobabilidadedoeventoA: obter duas caras.

Solução.DenotandoporWoespaçoamostraldoexperimentoaleatórioE,temosqueW={CC,CK,KC,KK},emqueCrepresenta“observou-secara”eKrepresenta“observou-secoroa”.OeventoA: observar duas ca-raséoconjuntoA={CC}.Assim,p(A)= )(

)(WnAn = 4

1 .

2.Resolvido.Nolançamentode2dadosnãoviciadosedistinguíveis,qualaprobabilidadedequeosnúmerosnasfacessuperioressejamdiferentes?

Solução.SejamEoexperimentoaleatórioE: lançar os dois dados e ob-servar os números nas faces superioreseAoeventoA: os números nas faces superiores são iguais.TemosqueemWpossui36elementos(6X6)eApossuiosseiselementos(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)e(6,6).Assim,aprobabilidadedeAédadapor

p(A)= .

ComooeventoB:osnúmerosnas facessuperioressãodiferenteséocomplementardeA,ouseja,B=Ac,aprobabilidadedetermososnúme-rosdiferentesép(Ac)=1–p(A)=1–

61 =

65 .

3.Resolvido.Nolançamentodedoisdadosnormaisedistinguíveisqualaprobabilidadedeobtermossoma8ousoma6?

Solução.SejamoseventosA:asomadosnúmerosnasfacessuperioresé6eB:asomadosnúmerosnasfacessuperioresé8.Queremosdeter-minarp(A∪B).

Temos que p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) e como A e B são mutuamente excludentes, uma vez que se a soma for 6 não será 8 e se for 8 não será 6, temos que p(A∩B) = 0. Assim, p(A∪B) = p(A) + p(B).


SabemosqueA={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}e

B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)}e,consequentemente,p(A)= ep(B)= .Portanto,

p(A∪B)=p(A)+p(B)= .

4.Noexperimentoaleatóriodoexercício6.01,determineaprobabilidadedoeventoB: observar pelo menos uma cara.

5.Dentretodososnúmerosdetrêsalgarismosquepodemserobtidospelapermutaçãodosalgarismos1,2e3,sorteia-seum.Qualaprobabilidadedeonúmerosorteadoser:

a)par?

b)maiordoque200?

c)múltiplode2oude3?

6.Nolançamentosimultâneodedoisdadosnãoviciados,umvermelhoeoutrobranco,qualaprobabilidadedeque:

a)asomanafacesuperiorsejamaiordoque1?

b)asomanafacesuperiorseja7?

c)ambososnúmerossejamiguais?

7.Umnúmerointeiroéescolhidoaleatoriamenteentreosnúmerospositi-vos1,2,3,,100.Qualaprobabilidadedeonúmeroescolhidosermúl-tiplode6oude9?

8.Umaurnacontém2bolaspretase3bolasbrancas.Quantasbolasazuisdevemsercolocadasnaurnaparaqueaprobabilidadedeseretirarumabolaazulseja2/3?

9.Nolançamentosimultâneode4moedasperfeitasedistinguíveis,qualaprobabilidadedeseobter:

a)exatamente3caras?

b)pelomenos2coroas?

10.Deumaurnacontendo30bolasiguaisnumeradasde1a30retira-seuma bola e anota-se seu número. Considere os eventos A: o númeroobservadoémúltiplode2eB:onúmerosorteadoémúltiplode5.Deter-minep(A),p(B)ep(A∪B).

11.Umjuizdefutebolpossuiemseubolsotrêscartõessendoumtodover-melho,umtodoamareloeumcomumadasfacesvermelhaeaoutraamarela.Emumlance,ojuizretiradobolso,semolhar,umdoscartõesemostraaojogador.Qualaprobabilidadedeojuizverumafaceverme-lhaeojogadorverumafaceamarela?

12.Emumapopulaçãode500pessoas,280sãomulherese60exercemafunçãodeadvogado,sendo20dosexofeminino.Tomando-seaoacasoumadessaspessoas,qualéaprobabilidadedeque,sendomulher,sejaadvogada.Tenteresolverporprobabilidadecondicional.

13.DadooespaçoamostralW={a1,a2,a3,a4,a5},sejapiumnúmerorealpertencenteaointervalo[0,1],talquepi=p(ai)paraalgumafunçãop.Quaisdosnúmeros(pi)abaixodefinemumadistribuiçãodeprobabili-dadeemW?


a)p1=p2=p3=p4=p5=1/5.

b)p1=p2=1/3ep3=p4=p5=3/5.

c)p1=p2=1/4,p3=p4=2/3ep5=1/5.

14.Umamoedaéviciadadetalformaqueaprobabilidadededarcaraéoquádruplodaprobabilidadededarcoroa.Qualaprobabilidadededarcaraequalaprobabilidadededarcoroa?

15.Emumaurnaexistem10bolasnumeradasde1a10.Umabolaésorte-adaaoacaso.Seaprobabilidadedeumabolacomnúmeromaiordoque5sersorteadaéodobrodaprobabilidadedeumabolacomnúmerome-nordoqueouigualacincosersorteada,qualaprobabilidadedoeventoA={1,2,6}eaprobabilidadedoeventoB={5,6,7}?

16.Nolançamentodeumtetraedro,osnúmerosparesocorremcomodobrodechancedosnúmerosímpares.Determineaprobabilidadedeocorre-remoseventosA:onúmerosorteadoéprimo,B:onúmerosorteadoépar,C:onúmerosorteadoé2eD:onúmerosorteadoé3.

17.Nolançamentodeumdadoduasvezes,determineoevento:

a)ocorreomesmonúmeronasduasvezes.

b)ocorreonúmero5noprimeirolançamento.

c)ocorre9nasomadosdoisnúmerosobtidos.

18.Nolançamentode1dadosejamoseventos

A:ocorredivisorde3.

B:ocorrenúmeroímpar.

C:ocorremúltiplode3.

DetermineoseventosA∪B,B∪C,A∪C,B∩C,A∩B,Ac,Bc.

19.DadososeventosAeBdoespaçoamostraldeumexperimentoaleatórioE,definimosoeventodiferençaA-BcomooeventoqueocorrequandoocorreAenãoocorreB.MostrequeA-BeA∩Bsãomutuamenteexclu-dentes.Concluaquep(A-B)=p(A)-p(A∩B).

20.Numaremessade100aparelhosdetelevisão,12têmdefeitodeimagem,10têmdefeitodesome8têmambososdefeitos.Escolhendo-seaoacasoumaparelho,qualaprobabilidadedequeestenãotenhadefeitoalgum?

21.OdiagramadeVennaoladorepresentaumespaçoamostralWequipro-váveletrêseventosA,BeC.Calculeoquesepede.

a)p(A).

b)p(B).

c)p(C).

d)p(A∩B).

e)p(A∪B∪C).

22.Resolvido.Bolassãocolocadasem5urnas,umadecadavez,atéquealgumaurnarecebaduasbolas.Qualéaprobabilidadedecolocarmosexatamente4bolas?

Solução. Sejap(4)aprobabilidadedecolocarmosexatamente4bolas.Sabemosquep(4)éoquocienteentreonúmerodecasosfavoráveiseo


númerode casospossíveis.Como casopossível entendemosqualquerformadedistribuiras4bolaspelas5urnas.Assim,onúmerodecasospossíveisé54,poisaprimeirabolapodesercolocadaemqualquerumadas5urnas;asegundabolapodesercolocadaemqualquerumadas5urnas;omesmoacontecendocomasterceiraequartabolas.

5 5 5 5

B1 B2 B3 B4

Oscasosfavoráveissãoaquelesemqueas4bolassãodistribuídasdemodoqueastrêsprimeirasbolasfiquememurnasdistintaseaquar-tabolasejacolocadaexatamenteemumadas3urnasquejácontém1bola.Assim,onúmerodecasosfavoráveisé180,poisaprimeirapodesercolocadaemqualquerumadas5urnas;asegundapodesercolocadaemqualquerumadas4urnassembola;aterceirapodesercolocadaemqualquerumadas3urnassembola;e,finalmente,aquartaboladevesercolocadaemqualquerumadas3urnasquejácontémumabola.

5 4 3 3

B1 B2 B3 B4

Assim,p(4)= =0,288.

23.Emumaprovade20questõesdotipoverdadeirooufalso,qualaproba-bilidadedeumapessoaacertarexatamente12questões?Qualaproba-bilidadedessapessoaacertarnomínimo15questões?

24.Nolançamentodeumdadohonesto8vezesseguidas,qualaprobabi-lidadedeobtermos5númerosprimos?E6númerosmaioresdoque4?

25.Nolançamentodeumdadoatéaobtençãodoterceiro6,qualaproba-bilidadedeseremnecessários10 lançamentos? (Sugestão:paraqueoterceiro6apareçaexatamenteno10olançamento,devemoster,atéo9olançamento,doisnúmeros6e7númerosdiferentesde6.)

26.Doismeninos,AeB,disputamumasériede10partidas.Seaprobabili-dadedeomeninoAganharcadapartidaé0,6esenãoháempate,qualaprobabilidadedeomeninoAtermaisvitóriasdoqueB?


Probabilidade Geométrica

Extraído do livro Curso de Análise Combinatória e Probabilidade: apren-dendo com resolução de problemas, de Bruno Alves Dassie e outros, pp. 136-137.Alguns problemas de probabilidades são equivalentes à seleção aleatória de pontos em espaços amostrais representados por fi guras geométricas. Nesses modelos, a probabilidade de um determinado evento se reduz à seleção ou ao seu limite, caso exista, entre medidas geométricas homogêneas, tais como comprimento, área ou volume.

Diversas atividades interessantes podem ser usadas na introdução des-ses conceitos, como o disco das cores, o jogo dos discos e ladrilhos.

vamos reproduzir o relato do professor Eduardo Wagner, de uma expe-riência desenvolvida com seus alunos do Ensino Médio. Esse relato se encon-tra na Revista do Professor de Matemática, no 34, pág.28.

“Noensinomédio,oensinodeprobabilidadesserestringeaocasofinitoeosproblemassãobasicamentedecontagemdecasosfavoráveisecasospossíveis.Existem,entretanto,problemasmuitosimpleseinteressantesdeprobabilidadesondeoespaçoamostralpossuiasituaçãoanálogaaoseguinteexemplo:umatirador,comosolhosvendados,procuraatingirumalvocircularcom50cmde raio, tendonocentroumdiscode10cmderaio.Seemcertomomentotemosainformaçãodequeoatiradoracertouoalvo,perguntamosqualdeveseraprobabilidadedequetenhaatingidoodiscocentral.

Tenhosugeridoesseproblemaaalunosdoensinomédioefrequentemen-teobtenhodelesrespostascorretas,baseadasunicamentenaintuição.Comoobviamentenãosepodecontarcasosfavoráveisepossíveisecomoparaumatiradorvendadonãohápontosprivilegiadosdoalvo,aproba-bilidadeacertarodiscocentraldeveserarazãoentreasáreasdodiscoedoalvo.Umcálculoelementar levaàrespostacerta:4%.EsseéumexemplodoquesechamaProbabilidadegeométrica.”

(Wagner, Revista do Professor de Matemática, 34, p. 28)


HARIKI,SeijieONAGA,DulceS.Cursodematemática,vol.3.Ed.Harper&Row.SãoPaulo:1981.

DANTE,LuizR.Matemática:contexto&aplicações,vol.2.Ed.Ática.SãoPaulo:2004.

DOLCE,Osvaldo, IEZZI,G. e outros. Tópicos dematemática, vol. 2.Ed.Atual.SãoPaulo:1980.

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BOYER,C.B.Históriadamatemática.Trad.ElzaF.Gomide.Ed.EdgardBlücher.SãoPaulo:1976.

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MORGADO,A.C.O.eoutros.AnálisecombinatóriaeProbabilidade.Cole-çãodoProfessordeMatemática.SBM.RiodeJaneiro:2006.

Cleiton Bati sta VasconcelosPossui graduação emBacharelado emMatemáticapelaUniversida-

deFederaldoCeará (1980)emestradoemMatemáticapelaUniversidadeFederaldoCeará (1983).AtualmenteéprofessoradjuntodaUniversidadeEstadualdoCeará.TemexperiêncianaáreadeEducação,comênfaseemEnsinodeMatemática.TrabalhacomAvaliaçãodeLivrosDidáticoseLabo-ratóriodeMatemática.

Manoel Americo RochaMestre,títuloobtidonaUniversidadeFederaldoCearáem1980,Ba-

charelemMatemáticatambémpelaUFCem1972.EspecialistaemMeto-dologiadoEnsinoSuperiortambempelaUFCem1975.Areadeconheci-mento:Matemática.AtualmenteatuacomoprofessordaFanor-FaculdadesNordesteedaUECE-UniversidadeEstadualdoCeará.LargaexperienciaemdocenciasuperiornaUniforeUFC.

analise combinatoria e probabilidade

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