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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA - UEFS
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA - DTEC
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MARCOS VENICIOS ALMEIDA LIMA
ANÁLISE DE PLACAS LAMINADAS PELO MÉTODO DAS
DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS
Feira de Santana – BA
2010
MARCOS VENICIOS ALMEIDA LIMA
ANÁLISE DE PLACAS LAMINADAS PELO MÉTODO DAS
DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS
Monografia apresentada como Trabalho de
Conclusão de Curso ao Colegiado de Engenharia
Civil, da Universidade Estadual de Feira de
Santana (UEFS), como uma das etapas para
obtenção da graduação de Bacharel em
Engenharia Civil.
Orientador: Dr. José Mário Feitosa Lima
Feira de Santana
2010
MARCOS VENICIOS ALMEIDA LIMA
ANÁLISE DE PLACAS LAMINADAS PELO MÉTODO DAS
DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS
Monografia apresentada como Trabalho de
Conclusão de Curso ao Colegiado de Engenharia
Civil, da Universidade Estadual de Feira de
Santana (UEFS), como uma das etapas para
obtenção da graduação de Bacharel em
Engenharia Civil.
Orientador: Dr. José Mário Feitosa Lima
Feira de Santana, ____ de __________________ de 2010,
Aprovada por:
______________________________________________
Prof. Dr. José Mário Feitosa Lima
______________________________________________
Prof. Dr. Koji de Jesus Nagahama
______________________________________________
Prof. Dr. Paulo Roberto Lopes Lima
Feira de Santana
2010
Aos meus pais,
Bartolomeu Soares de Lima e
Jandira Fonseca de Almeida Lima,
por todo amor, carinho, apoio e
compreensão.
AGRADECIMENTOS
A Deus por me dar saúde e inteligência para a realização desse trabalho.
Ao meu irmão João Carlos Almeida Lima pelas dúvidas tiradas, bons conselhos, e
por simplesmente ser, juntamente com meu pai e minha mãe, um exemplo a ser seguido.
Ao meu orientador José Mário Feitosa Lima pelos ensinamentos transmitidos,
confiança depositada, apoio, compreensão e amizade sem os quais esse trabalho com certeza
não seria possível.
À minha namorada Josiane Freires Gomes pelo incentivo, carinho e companheirismo
e pelas palavras de apoio nos momentos mais difíceis quando achei que não conseguiria
terminá-lo.
Aos meus amigos de república Alex Borges e Ranniere Castro, pelos ótimos
momentos de convivência, essenciais para um bom desenvolvimento, e pela amizade sincera
vivenciada ao longo de todos esses anos.
A todos os meus amigos do curso de engenharia civil da UEFS e da cidade de
Rodelas (em especial a toca), que muitas vezes acreditaram mais do que eu mesmo em minha
capacidade.
A Paulo Roberto e Mônica Leite pela oportunidade da iniciação científica que muito
ajudou na compreensão do que é uma pesquisa científica.
A Samuel Alves pela oportunidade do primeiro estágio e por ser mais que um chefe e
sim um grande amigo.
A Marcelo Pedreira por me proporcionar vivência na prática da construção civil e
pelos ótimos conselhos.
A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização do trabalho aqui
apresentado.
...É preciso força pra sonhar e
perceber que a estrada vai além do
que se vê...
Marcelo Camelo
RESUMO
As placas laminadas têm grande emprego na engenharia. O uso estrutural requer o
conhecimento das deformações e tensões, o que quase sempre constitui uma tarefa complexa,
ou impossível, em termos analíticos. Diante disso, o presente trabalho visa apresentar uma
formulação computacional para a análise estática da flexão de placas laminadas com base na
teoria de laminados e no método das diferenças finitas energéticas. A partir dessa formulação
será desenvolvido um programa escrito em linguagem Fortran, capaz de fornecer
deslocamentos, esforços, deformações e tensões em vários pontos da placa. A validação da
formulação se dará através da comparação das respostas obtidas com o programa, com
respostas fornecidas na literatura.
Palavras - Chave: Placas laminadas, Diferenças Finitas Energéticas, placa ortotrópica.
ABSTRACT
The laminated plates are extensively used in engineering. The structural applications requires
knowledge of the strain and stress, which often is a complex task, or impossible, in analytical
terms. Therefore this work aims to present a computational formulation for static analysis of
bending of laminated plates based on laminated theory and the energy finite difference
method. From this formulation will be developed a program written in Fortran, capable of
providing deflections, strains, deformations and stresses at various points on the plate. The
validation of the formulation will be given by comparing the responses obtained with the
program, with responses provided in the literature.
Keywords: Laminated Plates, energy finite difference, orthotropic plate
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 - Tipos de lâminas a) Lâminas com fibras unidirecionais b) Lâminas com fibras
tecidas c) Laminados compostos por varias lâminas em direções diferentes ......................... 14
Figura 2.1 - Sistema de referência ........................................................................................ 19
Figura 2.2 - Geometria de deformação da placa no plano xz ................................................. 21
Figura 2.3 - Esforços internos .............................................................................................. 24
Figura 2.4 - Camadas de um laminado ................................................................................. 25
Figura 2.5 - Tipos de carregamentos atuantes no domínio e no contorno .............................. 35
Figura 3.1 - Função f(x) Utilizada nas representações em diferenças finitas ......................... 41
Figura 3.2 - Malha de discretização e tipos de elementos...................................................... 42
Figura 3.3 - Sistema de representação local .......................................................................... 43
Figura 4.1 - Esquemas estruturais do caso 1 ......................................................................... 51
Figura 4.2 - Esquema estrutural do caso 2 ............................................................................ 55
Figura 4.3 - xx em função da coordenada z placa ortotrópica ............................................... 56
Figura 4.4 - yy em função da coordenada z placa ortotrópica............................................... 56
Figura 4.5 - Esquema estrutural do caso 3 ............................................................................ 58
Figura 4.6 - xx em função da coordenada z da placa - caso 3A ............................................ 59
Figura 4.7 - yy em função da coordenada z da placa - caso 3A ............................................ 60
Figura 4.8 - xx em função da coordenada z da placa - caso 3B ............................................ 61
Figura 4.9- yy em função da coordenada z da placa - caso 3B ............................................. 61
Figura 4.10- xx em função da coordenada z da placa - caso 4A ........................................... 64
Figura 4.11 - yy em função da coordenada z da placa - caso 4A .......................................... 64
Figura 4.12 - xx em função da coordenada z da placa - Caso 4B ......................................... 66
Figura 4.13- yy em função da coordenada z da placa - caso 4B ........................................... 66
Figura 4.14 – Variação da tensão xx em função da espessura da placa................................. 67
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1- Representação em Diferenças Finitas considerando o sistema de representação
local ..................................................................................................................................... 43
Tabela 3.2- Área de cada trecho de integração ...................................................................... 46
Tabela 3.3- Condições de contorno ...................................................................................... 48
Tabela 3.4- Condições de canto ............................................................................................ 49
Tabela 4.1- Deslocamento w no centro da placa para o caso 1 .............................................. 52
Tabela 4.2- Momento Fletor no centro da placa para o caso 1............................................... 52
Tabela 4.3- Deslocamento e momento fletor no centro dos bordos da placa do caso 1C ........ 52
Tabela 4.4- Deslocamento no centro da placa para o caso 2 .................................................. 55
Tabela 4.5- Distribuição de tensões no centro da placa ......................................................... 55
Tabela 4.6- Deslocamento no centro da placa para o caso 3A ............................................... 58
Tabela 4.7- Distribuição de tensões para o caso 3A .............................................................. 59
Tabela 4.8- Deslocamento transversal para o caso 3B........................................................... 60
Tabela 4.9- Distribuição de tensões para o caso 3B .............................................................. 60
Tabela 4.10- Deslocamento no centro da placa caso 4A ....................................................... 63
Tabela 4.11- Distribuição de tensões caso 4A....................................................................... 63
Tabela 4.12- Deslocamento transversal Caso 4B .................................................................. 64
Tabela 4.13- Distribuição de tensões caso 4B ....................................................................... 65
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 12
1.1 ANÁLISE DE PLACAS ............................................................................................... 12
1.2. MÉTODOS NUMÉRICOS ............................................................................................ 15
1.3. HIPÓTESE .................................................................................................................... 17
1.4. OBJETIVOS ................................................................................................................. 17
1.4.1. Geral ........................................................................................................................... 17
1.4.2. Específicos.................................................................................................................. 18
1.5. METODOS DE PESQUISA .......................................................................................... 18
1.6. ESTRUTURA DA MONOGRAFIA .............................................................................. 18
2 TEORIA CLÁSSICA DE FLEXÃO DE PLACAS LAMINADAS ........................... 19
2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA ....................................................................................... 19
2.2. HIPÓTESES CONSIDERADAS E CAMPO DE DESLOCAMENTOS ......................... 20
2.3. RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO...................................................... 22
2.4. RELAÇÕES CONSTITUTIVAS ................................................................................... 23
2.3. INTEGRAIS DE TENSÕES (ESFORÇOS INTERNOS) ............................................... 24
2.5. TRABALHO VIRTUAL DAS FORÇAS INTERNAS ................................................... 28
2.6. TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS EXTERNAS ......................................... 33
2.7. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ................................................................ 35
2.6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CONDIÇÕES DE CONTONO ................................... 36
3 FORMULAÇÃO COMPUTACIONAL POR DIFERENÇAS FINITAS
ENERGÉTICAS ................................................................................................................ 40
3.1. OPERADORES DE DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS .................................... 40
3.1.1 Representação Centrada .............................................................................................. 40
3.1.2 Representação Reduzida .............................................................................................. 41
3.2. DISCRETIZAÇÃO E SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO LOCAL .............................. 41
3.3. AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO ................................................ 45
3.4. AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS
EXTERNAS ........................................................................................................................ 46
3.5. INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO ................................................. 48
4 VALIDAÇÃO DO TRATAMENTO PELO MDFE .................................................. 50
4.1. PLACA ISOTRÓPICA COM CARREGAMENO UNIFORME ..................................... 50
4.2. PLACA ORTOTRÓPICA ............................................................................................. 54
4.3. PLACA LAMINADA ORTOTRÓPICA FORMADA POR TRÊS CAMADAS
SOBREPOSTAS EM FORMATO DE CRUZ ....................................................................... 57
4.4. PLACA LAMINADA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA COMPOSTA
POR VÁRIAS LÂMINAS ALTERNADAS EM FORMATO DE CRUZ .............................. 62
5 CONCLUSÃO ............................................................................................................. 68
REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 70
12
1 INTRODUÇÃO
A análise do comportamento de placas constitui uma área de grande interesse na
engenharia estrutural, tendo grande aplicação em reservatórios, lajes de edifícios,
componentes automotivos, aeronaves, navios entre outros. Por outro lado, a análise desses
elementos, com comportamento linear ou não linear, estático ou dinâmico, vem merecendo
por parte dos pesquisadores, especial atenção nas últimas décadas, demonstrado pelo
expressivo número de publicações existentes nessa área como Graça (2000), Chaves (1997),
Fernandes (1998) entre outros.
Uma das grandes preocupações da análise estrutural está na obtenção de formulações
matemáticas que descrevam o problema em estudo de maneira satisfatória. Tratando-se de
placas, essas equações, exceto em certos casos com geometria e carregamento simples, são de
difícil, ou até mesmo impossível, resolução analítica tornando necessária a utilização de
métodos numéricos para a obtenção das respectivas soluções aproximadas.
As placas constituídas por laminados merecem atenção por sua grande aplicabilidade
na engenharia. Daí a necessidade do conhecimento de seu comportamento, que é influenciado
pelas orientações, espessuras e materiais de cada lâmina constituinte.
1.1 ANÁLISE DE PLACAS
Placa é um elemento estrutural que apresenta duas dimensões muito grandes em
comparação com a terceira, e que está sujeito principalmente a carregamentos transversais à
sua superfície. Dessa forma, o problema de placas pode ser apresentado como bidimensional.
Graça (2000) comenta que o primeiro trabalho sobre a flexão de placas foi
desenvolvido em 1850 por Kirchoff, que representou através de uma equação diferencial de
quarta ordem, o comportamento de placas delgadas submetidas a carregamentos transversais.
Esse trabalho, ficou conhecido como teoria clássica de placas.
Conforme alerta Graça (2000) as simplificações existentes nas hipóteses básicas
desta teoria levam a resultados incorretos nas proximidades dos bordos e dos cantos da placa.
13
Coda e Paccola (2006) comentam que Reissner em 1944 e posteriormente Mindlin
em 1951 também desenvolveram teorias sobre a flexão de placas, chegando, a equações
diferenciais de sexta ordem, que consideravam as deformações por cisalhamento, o que
permite a análise de placas moderadamente espessas.
Fernandes (1998) cita Hencky e Kromm como autores que desenvolveram teorias
envolvendo os deslocamentos da superfície média da placa e as rotações nesse plano.
Levinson (1980) deduziu uma teoria considerando as deformações por
cisalhamento, que permite a análise dinâmica de placas.
As placas podem ser compostas por um único material, ou por materiais diferentes
(materiais compósitos). Mendonça (2005) define material compósito como sendo o conjunto
de dois ou mais materiais diferentes, combinados em escala macroscópica, para funcionarem
como uma unidade, visando obter um conjunto de propriedades que nenhum dos componentes
individualmente apresenta, o que os diferencia das ligas metálicas que contam com a união
dos materiais em escala microscópica.
Mendonça (2005) relata que embora o conceito de material compósito tenha surgido
no século XX, a ideia de combinar diferentes materiais é tão antiga quanto a civilização, a
exemplo dos egípcios, que milênios antes de Cristo, utilizavam em suas construções mais
simples tijolos constituídos de barro reforçado com vibra vegetal.
As placas de materiais compósitos podem ser enquadradas nas seguintes categorias
a) Compostos reforçados com fibras: As placas de materiais compósitos podem ser
formadas por lâminas compostas por uma matriz reforçada com fibras dispostas em
uma ou mais direções ou então aleatoriamente (Ver figura 1.1), Uma das razões para
o uso de fibras como reforço consiste no fato de que a resistência e rigidez de um
material quando na forma de fibra são algumas ordens de magnitude maiores que os
valores obtidos para o mesmo material em bloco. Embora as fibras possuam grande
resistência, não podem ser utilizadas sozinhas, pois sem a presença de uma matriz
esses elementos só possuem a capacidade de resistir a esforços de tração
longitudinal. Dessa forma, as fibras são geralmente dispostas na direção em que se
deseja obter a melhoria das propriedades do material.
14
Figura 1.1 - Tipos de lâminas a) Lâminas com fibras unidirecionais b) Lâminas com fibras tecidas c)
Laminados compostos por varias lâminas em direções diferentes
FONTE: Mendonça (2005)
b) Compostos reforçados por partículas: Nesse caso a partícula não possui uma
dimensão predominante como nas fibras, e geralmente não incrementam nada em
relação a resistência do material, podendo às vezes até reduzi-la devido a
concentração de tensões em zonas de transição. Porém auxilia em outras
propriedades como:
Condutibilidade ou isolamento térmico e elétrico;
Resistência a altas temperaturas;
Redução de atrito;
Resistência ao desgaste superficial;
Aumento na dureza superficial;
Redução de custos.
Uma das classes mais conhecidas de materiais compósitos é o concreto armado, onde
estão presentes o concreto, (constituído por cimento, areia, água e brita) e o aço. O concreto
possui baixa resistência á tração, porém alta capacidade de resistir à compressão. Já o reforço
com aço contribui com sua elevada resistência à tração e ductilidade.
A primeira teoria aplicada ao estudo de placas laminadas foi a teoria clássica dos
laminados (TCL) que é uma adaptação da teoria clássica de placas proposta por Kirchoff para
o estudo dos laminados, de tal modo que são aplicadas as hipóteses do modelo de placa
isotrópica, e acrescentadas outras hipóteses para materiais laminados.
15
Segundo Mendonça (2005), denomina-se análise macro mecânica de um laminado a
modelagem do comportamento do laminado supondo conhecidas as propriedades mecânicas e
o comportamento individual de cada lâmina.
A TCL não leva em consideração as deformações por cisalhamento, porém segundo
Belo (2006), as componentes de tensões não são nulas e assumem valores
importantes nas interfaces das lâminas, podendo causar delaminação. Por isso, Yang em 1964
e posteriormente Whitney em 1970, citados por belo (2006), estenderam a teoria Mindlin, já
comentada anteriormente para os laminados, desenvolvendo assim a teoria de primeira ordem
dos laminados.
1.2. MÉTODOS NUMÉRICOS
O comportamento das placas pode ser determinado a partir de equações diferenciais
que satisfaçam as condições de geometria, carregamento e condições de contorno. A teoria
clássica de laminados (utilizada nesse trabalho), por exemplo, gera um sistema de equações
diferenciais de quarta ordem acopladas, o que limita sua solução analítica para situações de
carregamentos, geometria e condições de contorno simples. À medida que se passa para
problemas mais complexos, a obtenção da solução analítica para essas equações diferenciais
torna-se mais difícil e muitas vezes impossível, mesmo quando se recorre a séries, o que faz
desse procedimento aplicável apenas a meios homogêneos e contínuos. Segundo Azevedo
(2003) uma maneira de ultrapassar algumas dessas limitações era a substituição das derivadas
exatas por derivadas aproximadas, dessa aplicação resulta o método das diferenças finitas que
antes do advento dos computadores tinha o inconveniente de requerer a resolução de grandes
equações lineares. Atualmente os métodos analíticos são utilizados apenas para a resolução de
problemas mais simples com o objetivo de validar os resultados numéricos.
Com a popularização do uso do computador, surgiram vários métodos para auxiliar
na resolução dos problemas envolvendo placas, sendo aqui relacionados, de forma sucinta,
apenas os mais utilizados.
O método das diferenças finitas (MDF) é um dos métodos mais antigos, porém
utilizado até os dias atuais (CHAVES, 1997). Este método consiste em transformar equações
16
diferenciais em equações algébricas, através da aproximação das derivadas por meio de
diferenças finitas.
O método das diferenças finitas energéticas (MDFE) combina o MDF com a
formulação de energia mediante a representação das derivadas dos deslocamentos das
diferenças finitas na expressão dos trabalhos virtuais.
Graça (2000) comenta que o MDFE foi originalmente proposto por Courant em 1928
e posteriormente por Buragohain em 1978, que fazendo uso da teoria do Von Karman na
análise de placas delgadas, apresentou um procedimento denominado método da energia
discretizada, que conserva as mesmas características das diferenças finitas energéticas.
Para Graça (2000), o MDFE apresenta vantagens em relação ao MDF, pois nesse
último as diferenças finitas são aplicadas diretamente nas equações diferenciais que regem o
problema que geralmente são de ordens mais altas que as expressões dos trabalhos virtuais.
Dessa forma no método MDFE trabalha-se com representações de ordem mais baixa que a
convencional, o que conduz a resultados mais precisos.
As etapas de cálculo do MDFE são bastante semelhantes às do método dos elementos
finitos (MEF), que será abordado no próximo parágrafo, sendo que o MDFE aproxima as
derivadas dos deslocamentos, enquanto no MEF são aproximados os próprios deslocamentos,
o que para Mittelbach (2002), conduz muitas vezes a um melhor desempenho do MDFE em
relação ao MEF. Lima (2004) comenta que no MDFE por muitas vezes trabalha-se com um
menor número de graus de liberdade por nó em comparação com MEF, o que proporciona um
menor esforço computacional. O MEF, entretanto torna-se mais eficiente em casos de
contornos irregulares.
O MEF consiste em transformar o domínio em vários subdomínios ou elementos
finitos, nesses elementos as variáveis são aproximadas por funções contínuas. Da mesma
forma que no MDF e MDFE as cargas são aplicadas nos nós. Os elementos mais utilizados
atualmente são os quadriláteros e hexaedros.
Segundo Chaves (1997), o método teve sua divulgação a partir dos trabalhos de
Turner et. al em 1956, apesar de Courant em 1943 ter sido o primeiro a utilizar o conceito de
discretização.
17
O MEF apresenta algumas vantagens sobre o MDF e MDFE. Como uma fácil
aplicabilidade a qualquer situação de geometria (HENNEMAN, 1972), e ainda a facilidade de
introduzir as condições de contorno e o refinamento de malhas em regiões de maior interesse.
Cabe ressaltar que a discretização e modelagem presentes em qualquer um dos
métodos apresentados introduz algumas aproximações e, consequentemente, erros. Tendo
como referência a estrutura real, os erros de modelagem podem ser reduzidos melhorando-se
o modelo. Já os erros de discretização tendem a ser reduzidos com o aumento da quantidade
de elementos (LIMA, 2009).
O método dos elementos de contorno (MEC) é baseado na formulação integral do
problema e, segundo Chaves (1997), vem surgindo como uma ferramenta computacional
poderosa. Esse método necessita apenas da discretização do contorno, e não do domínio como
necessitam o MDF e o MEF, o que, segundo o mesmo autor, torna o MEC mais eficiente que
o MEF para uma série de problemas. Ainda segundo Chaves (1997) uma solução muito
utilizada atualmente para a solução de problemas é a combinação entre o MEC e o MEF.
1.3. HIPÓTESE
A teoria clássica de laminação e o método das diferenças finitas energéticas podem
ser combinados para gerar uma ferramenta numérico-computacional capaz de realizar à
análise linear estática de placas laminadas.
1.4.OBJETIVOS
1.4.1. Geral
O objetivo desse trabalho é apresentar uma formulação computacional para o
problema de análise estática linear da flexão de placas laminadas, com base na teoria da
laminação e no método das diferenças finitas energéticas.
18
1.4.2. Específicos
Verificar se o método das diferenças finitas energéticas é adequado para resolver as
equações do problema resultante da formulação variacional.
1.5.METODOS DE PESQUISA
O trabalho apresenta um cunho teórico-experimental. Em sua parte teórica é
desenvolvida uma formulação para a flexão de placas laminadas e tratada numericamente pelo
método das diferenças finitas energéticas.
Sua parte experimental consiste em escrever um programa em Fortran, com base na
formulação computacional desenvolvida nos estudos teóricos, e comparar os resultados
obtidos para diversas situações com resultados experimentais e teóricos obtidos por outros
autores.
1.6.ESTRUTURA DA MONOGRAFIA
No capítulo 1 é apresentada uma revisão bibliográfica a respeito do tema abordado,
como a definição de placas, placas laminadas, modelos de análise e métodos numéricos mais
utilizados na resolução desses problemas.
No capítulo 2 a teoria clássica de laminação é apresentada numa formulação
variacional, segundo o princípio dos trabalhos virtuais. Para tanto, a partir das hipóteses
básicas, referentes à flexão do elemento estrutural, são deduzidas as equações diferenciais e as
respectivas condições de contorno.
Em seguida, no capítulo 3, são apresentados os conceitos básicos do método das
diferenças finitas energéticas e, progressivamente, a sua aplicação ao modelo teórico
instituído no capítulo anterior.
No capítulo 4 são apresentados diversos problemas visando validar o modelo
estrutural aqui apresentado, mediante a utilização do programa escrito em Fortran com base
na formulação computacional deduzida no capítulo 3.
Por fim, no capítulo 5, são apresentadas as conclusões do trabalho e sugestões para
futuros estudos.
19
2 TEORIA CLÁSSICA DE FLEXÃO DE PLACAS LAMINADAS
No presente capítulo será desenvolvida uma formulação variacional com base no
princípio dos trabalhos virtuais (PTV) para o problema de placa laminada retangular.
Formulações para problemas semelhantes podem ser encontradas em Reddy (2004),
Mendonça (2005) e Faria (2006), entre outros.
2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA
A figura 2.1 apresenta o sistema de representação para uma lâmina k do laminado
que será utilizado na formulação apresentada nesse capítulo
Figura 2.1 - Sistema de referência
FONTE: Reddy(2004)
onde:
= inclinação das fibras do material em relação aos eixos globais;
x, y e z = eixos globais;
x1, x2 e x3 = são os eixos locais referentes a posição 1, 2 e 3 do laminado.
20
2.2. HIPÓTESES CONSIDERADAS E CAMPO DE DESLOCAMENTOS
Inicialmente adota-se, para o laminado, o conjunto de pressupostos que são
comumente conhecidos como hipóteses de Kirchoff. Essas hipóteses gerais juntamente com
outras próprias a laminados constituem o modelo em estudo:
1. O laminado consiste de lâminas perfeitamente coladas entre si, isto é,
sem deslizamento ou descolamento. Isto significa que os deslocamentos são descritos
por funções contínuas;
2. A placa é considerada delgada, ou seja, a espessura é relativamente fina
em relação às outras duas dimensões (da superfície);
3. Linhas inicialmente retas e perpendiculares à superfície que define a
geometria da estrutura (superfície média da placa) permanecem retas e
perpendiculares a essa superfície, quando o laminado for extendido ou flexionado;
4. Os segmentos normais à superfície de referência são considerados
inextensíveis, isto é, têm comprimentos constantes;
5. Supõe-se que o carregamento na placa acarreta rotações e deformações
pequenas perante a unidade, enquadrando o problema no âmbito da elasticidade linear.
6. As lâminas são formadas por materiais ortotrópicos de comportamento
linear elástico;
7. Admite-se que as cargas são aplicadas na superfície média da placa.
As hipóteses três e quatro, em que os segmentos normais à superfície média
permanecem perpendiculares a essa superfície e inextensíveis, após a deformação, elimina as
componentes de deformação .
21
Figura 2.2- Geometria de deformação da placa no plano xz
FONTE: Reddy (2004)
As hipóteses dois a quatro, usadas na teoria de Kirchhoff para placas delgadas,
juntamente com a hipótese um, permitem deduzir as relações mostradas a seguir, entre as
componentes de deslocamento u, v, w de um ponto qualquer da placa, e as componentes u0, v0
e w0 de um ponto situado sobre a superfície média, como indicado para estes últimos na
Figura 2.2.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
onde as derivadas
e
são, respectivamente, as declividades da superfície média nas
direções x e y.
22
2.3. RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO
Com base na hipótese cinco têm-se as seguintes relações deformação-deslocamentos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Substituindo o campo dos deslocamentos (2.1) nessas expressões resultam as
seguintes relações:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
que são as mesmas relações deformações-deslocamentos da teoria clássica de placas.
23
2.4. RELAÇÕES CONSTITUTIVAS
Considerando que as lâminas estão em um estado plano de tensões, como é usual na
teoria de laminação, tem-se para uma lâmina k do laminado as seguintes relações entre
tensões e deformações atuantes:
[
] [
] [
]
( )
com as propriedades mecânicas das lâminas (ortotrópicas), como mostra a hipótese 6,
calculadas por:
( )
( )
( ) (
) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) (
) ( )
com representando o ângulo de orientação das fibras de reforço na camada k e:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
onde:
módulo de flexibilidade na direção x1 da camada;
módulo de flexibilidade na direção x2 da camada;
24
coeficientes de Poisson associados as direções x1 e x2 da camada;
módulo de deformação transversal associado às direções x1 e x2;
Cabe ressaltar que as componentes mecânicas são medidas em
relação aos eixos da camada k. Essas grandezas, quando convertidas para o sistema de
referência x, y e z geram as propriedades mecânicas apresentadas nas expressões (2.5).
2.3. INTEGRAIS DE TENSÕES (ESFORÇOS INTERNOS)
Na presente formulação são definidas as seguintes integrais de tensões por unidade
de comprimento, avaliadas na espessura h da placa laminada e mostradas na figura 2.3 com
seus sentidos positivos.
Figura 2.3 - Esforços internos
FONTE: Reddy (2004)
25
∫
⁄
⁄
( )
∫
⁄
⁄
( )
∫
⁄
⁄
( )
∫
⁄
⁄
( )
∫
⁄
⁄
( )
∫
⁄
⁄
( )
Com base na figura 2.4 pode-se escrever essas integrais de tensões em função das
lâminas do laminado:
Figura 2.4 – Camadas de um laminado
FONTE: Reddy (2004)
26
{
} ∑∫ {
}
( )
{
} ∑∫ {
}
( )
onde:
são os esforços de membrana por unidade de comprimento e
são os esforços flexionais (momentos por unidade de comprimento).
Substituindo as equações (2.4) nas equações (2.8) tem-se:
{
} ∑∫ {[
] [
]}
( )
{
} ∑∫ {[
] [
]}
( )
Substituindo agora as expressões (2.3) das deformações tem-se:
{
} ∑∫
{
[
]
[
]
}
( )
{
} ∑∫
{
[
]
[
]
}
( )
27
É possível escrever as integrais de tensões de forma mais compacta:
{
} [
]
[
]
[
]
[
]
( )
{
} [
]
[
]
[
]
[
]
( )
onde a matriz contendo os coeficientes ij é chamada de matriz de rigidez extensional, a
matriz que contém os elementos ij é a matriz de rigidez flexional e a dos elementos Bij de
matriz de rigidez de acoplamento flexo-extensional. Esses coeficientes são definidos em
termos da matriz de rigidez de cada lâmina com:
( ) ∫ ( )
⁄
⁄
∑∫ ( )( ) ( )
ou:
∑ ( )( )
∑
( )(( )
)
∑ ( )(( )
)
( )
28
Desenvolvendo as expressões matriciais dos esforços, obtêm-se:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2.5. TRABALHO VIRTUAL DAS FORÇAS INTERNAS
Pode se escrever o trabalho realizado pelas forças internas da seguinte forma, tendo
em vista as deformações (2.3):
∫( ) ( )
29
onde:
V é o volume da placa em estudo;
são as variações das componentes de deformação do problema.
O cômputo dessas variações de acordo com as equações 2.3 fornece:
( ) (
) ( )
( ) (
) ( )
( ) (
) (
) ( )
Substituindo as equações (2.16) em (2.15), e observando que a integração em volume
pode ser decomposta em termos da área da superfície média e da espessura da placa,
procedimento bem conhecido da teoria clássica de placas delgadas, resulta:
∫ ∫ ( * ( ) (
)+ * ( ) (
)+
⁄
⁄
⌈ ( ) (
) (
)⌉) ( )
Com representando a área da superfície média da placa.
Reconhecendo as integrais de tensões (esforços) na expressão de trabalho interno, tem-se:
∫ , ( ) (
) ( ) (
)
[ ( ) (
)] (
)- ( )
Finalmente, a substituição das equações (2.13) na equação (2.18) acarreta no trabalho
realizado pelas forças internas, escrito em função dos deslocamentos u0 v0, e w0, explicitado
da seguinte forma:
30
∫ ,*
(
)
+ ( )
*
(
)
+ (
)
*
(
)
+ ( )
*
(
)
+ (
)
*
(
)
+ [ ( )
( )]
*
(
)
+ (
)- ( )
Cabe ressaltar que essa expressão será utilizada para avaliar a matriz dos coeficientes
no âmbito do método das diferenças finitas energéticas (Capítulo 3).
Integrando-se por partes os termos da equação (2.19), de forma a compatibilizá-la à
expressão do trabalho externo, pode-se escrever o trabalho interno com o seguinte aspecto:
∫( )
∫ ( )
∫ ( )
( )
31
onde:
( )
( )
( )
( )
( )
32
( )
( )
( )
( )
( )
33
( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
(
)( )
( )
2.6. TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS EXTERNAS
Considerando-se a figura 2.5, onde as cargas atuantes no domínio e no contorno são
mostradas com seus sentidos positivos, pode-se escrever para o trabalho virtual realizado
pelas forças externas a seguinte expressão:
34
∫ ( )
∫ ( ( ))
∫ ( ( ))
( )
onde:
( ) é a força por unidade de área perpendicular a superfície média aplicada no domínio;
são as forças por unidade de comprimento ao longo dos bordos e ,
segundo as direções x, y e z, respectivamente;
- Momento de flexão por unidade de comprimento, aplicado ao longo do bordo e
;
são as forças por unidade de comprimento ao longo dos bordos e ,
segundo as direções x, y e z respectivamente;
- Momento de flexão por unidade de comprimento, aplicado ao longo do bordo e
.
Cabe ressaltar que os carregamentos foram representados com o sinal positivo na
figura 2.5.
35
Figura 2.5 - Tipos de carregamentos atuantes no domínio e no contorno
2.7. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Igualando o trabalho realizado pelas forças internas (2.20.a) ao trabalho realizado pelas forças
externas (2.21) obtêm-se a seguinte equação que representa o princípio dos trabalhos virtuais
(PTV).
∫( ( ))
∫ (( ) ( ) ( ) ( )
)
∫ (( ) ( ) ( ) ( )
)
( )
36
2.6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CONDIÇÕES DE CONTONO
Através da equação (2.22) considerando as variações , presentes no
domínio, arbitrárias e independentes, obtém-se as seguinte equações diferenciais:
( )
( )
( ) ( )
Ainda aplicando o PTV, conforme a equação (2.21), através das variações
independentes presentes no contorno,
(ao longo dos bordos e
) e
(ao longo dos bordos e ), obtêm-se as seguintes condições de
contorno para o problema:
37
Bordos e :
( )
( )
( )
(
) ( )
Para os bordos e :
( )
38
( )
( )
(
) ( )
Com base nas equações (2.13) dos esforços pode-se escrever as condições de contorno ainda
da seguinte forma:
Bordos e :
( )
( )
( )
( )
Para os bordos e :
( )
( )
( )
39
( )
Além das condições vistas para os bordos, o procedimento variacional fornece quatro
condições de canto:
Canto (a,b) = Canto (0,0):
( )
Canto (a,0) = Canto (0,b):
( )
Que a partir das equações 2.13 pode ser reescrito da seguinte forma:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
40
3 FORMULAÇÃO COMPUTACIONAL POR DIFERENÇAS FINITAS
ENERGÉTICAS
A formulação numérica do problema, segundo o método das diferenças finitas
energéticas, consiste em avaliar as equações referentes ao trabalho virtual interno e externo,
definidos no capítulo 2, através da subdivisão do elemento estrutural em trechos, ao longo dos
quais todas as grandezas são supostas constantes, e substituição das derivadas dos
deslocamentos presentes por derivadas aproximadas por diferenças finitas. Tomando o
trabalho interno e externo como o somatório das contribuições de cada trecho e aplicando o
princípio dos trabalhos virtuais, obtêm-se um sistema de equações lineares, cujas incógnitas
são os deslocamentos de cada nó da estrutura, e que deve ser resolvida com o auxílio das
condições de contorno do problema.
3.1. OPERADORES DE DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS
Na formulação numérica do problema em questão são utilizados dois tipos de
representações para as derivadas dos deslocamentos, a representação centrada e a
representação reduzida.
A seguir são apresentadas as correspondentes expressões para cada tipo de
representação por diferenças finitas.
3.1.1 Representação Centrada
Considere o esquema da figura 3.1, onde f(x) representa as funções u0, v0, w0 e m é o
ponto no qual são avaliadas as derivadas, também chamado de ponto pivotal. Todos os pontos
são igualmente espaçados de uma distância λ.
As derivadas de primeira e segunda ordem da função f(x) no ponto m que serão
utilizadas na formulação são representadas abaixo em sua representação centrada.
( ) ( )
( ) ( )
41
3.1.2 Representação Reduzida
Em trechos localizados nos cantos da placa, o uso da representação centrada nas
derivadas primeiras dos deslocamentos u0 e v0 podem, segundo alguns autores, causar
singularidade na matriz dos coeficientes, impossibilitando a resolução do problema. Por esse
motivo, para as representações acima citadas é adotada a representação reduzida expressa por:
( ) ( )
Figura 3.1 – Função f(x) Utilizada nas representações em diferenças finitas
3.2. DISCRETIZAÇÃO E SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO LOCAL
Na avaliação por MDFE a placa é discretizada em e subdivisões nas direções
x e y respectivamente, com comprimento e , com um total de
( ) ( ) nós e ( ) ( ) trechos de integração distribuídos em nove
tipos diferentes de trechos, conforme mostrado na figura 3.2. Cada trecho de integração é
composto por nove pontos nodais (figura 3.3) para cada ponto são associados três graus de
liberdade u0, v0 e w0, o que gera, para cada trecho, 27 deslocamentos cuja representação é
definida a seguir. Notar que as derivadas segundas dos deslocamentos associados aos nós
42
presentes nos cantos da placa necessitam de nós externos à mesma, e por esse motivo
denominados de nós virtuais.
Cabe ressaltar que os nós da estrutura podem compor mais de um trecho de
integração.
Figura 3.2- Malha de discretização e tipos de elementos
43
Figura 3.3- Sistema de representação local
Na tabela 3.1 são definidas as representações em diferenças finitas das derivadas
primeiras para cada um dos nove tipos de trechos em relação ao sistema de representação
local.
Tabela 3.1- Representação em Diferenças Finitas considerando o sistema de representação local
Representação em Diferenças Finitas
Derivadas de primeira ordem
Trecho1 Trecho 2 Trecho 3 Trecho 4 Trecho 5 Trecho 6 Trecho 7 Trecho 8 Trecho 9
44
A seguir são definidas as representações em diferenças finitas para as derivadas de
segunda ordem que, conforme dito anteriormente, são todas representadas na forma centrada.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Cada nó do trecho esta associado ao sistema de numeração global da placa através
das seguintes expressões:
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
45
onde:
i e j são, respectivamente, a posição vertical e horizontal do trecho de integração;
= número de nós na direção x.
Para cada nó estão associados três deslocamentos que podem ser associados ao sistema global
através das seguintes expressões:
( )
( )
( )
3.3. AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO
Para a avaliação numérica do trabalho virtual interno, sua expressão analítica,
equação (2.19), escrita em função dos deslocamentos, pode ser definida como o somatório das
contribuições de cada um dos ( ) ( ) trechos de integração, podendo ser escrita
da seguinte forma:
∑ ( )
( ) ( )
( )
Em seguida, utilizando as representações em diferenças finitas da tabela 3.1 e a
equação (3.2), juntamente com os sistemas de numeração local e global, define-se a seguinte
expressão:
∑ ∑∑[ ( )]
( ) ( )
( )
∑ ∑ ∑∑[ ( )] [( )( ) ] [( )( ) ]
( )
( )
( )
46
onde C representa os coeficientes relacionados às propriedades geométricas e mecânicas da
placa, além da área do trecho de integração . Os índices p e q estão associados ao sistema
de numeração local e representam respectivamente a posição de um deslocamento e de uma
variação de deslocamento.
Cabe lembrar que esses coeficientes são alterados para cada trecho de integração,
tanto pelo tipo de derivada utilizada, que para o caso de primeira derivada pode ser centrada
ou reduzida, quanto pela área do trecho de integração, conforme mostrado na tabela 3.2.
Tabela 3.2- Área de cada trecho de integração
Área dos trechos de integração
Trecho 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Área
3.4. AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS
EXTERNAS
A avaliação do trabalho virtual externo também é feita somando-se as contribuições
dos diversos trechos de integração, associados à expressão a seguir:
∫ ( )
∫ ( (
))
∫ (
(
))
( )
que pode ser reescrita a partir da discretização da placa e do sistemas de representação global
e local, além das representações em diferenças finitas energéticas, do mesmo modo que para o
, obtendo a expressão a seguir:
47
∑ ∑ [ ( ) [ ( ) ]]
( )
( )
∑ { [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
( )
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( [ ( ) ] [ ( ) ]
) (
[ ( ) ] [ ( )]
)]}
∑ { [( )( ) ] [ ] [( )( ) ]
( )
[ ] [( )( ) ] [ ]
[ ( [( )( ) ] [( )( ) ]
)
( [ ] [ ]
)]} ( )
onde:
( ) é a força transversal por unidade de área aplicada no trecho genérico de integração,
podendo variar de trecho a trecho;
são as forças por unidade de comprimento ao longo dos
bordos. A formulação também permite sua variação para cada trecho, porém no nível de
programação essas forças são consideradas distribuídas uniformemente;
– Área do trecho de integração conforme tabela 3.2;
– Comprimento y do trecho de integração;
– Comprimento x do trecho de integração.
Cabe ressaltar que para os trechos intermediários os valores de e são iguais a
e , respectivamente, enquanto que para os trechos localizados nos cantos da placa esses
valores são respectivamente
⁄ e ⁄ .
48
3.5. INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
As condições de contorno e de canto (cinemáticas), que devem ser aplicadas antes da
resolução do sistema linear, são expressas nas tabelas 3.3 e 3.4, respectivamente. Observar
que os deslocamentos dos nós virtuais que não participam efetivamente da solução do
problema são mantidos com valor nulo.
Tabela 3.3- Condições de contorno
Condições de contorno
x=0 x=la
u=0 [ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
v=0 [ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
w=0 [ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( )]
[ ( ) ] [ ( )]
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( ) ]
y=0 y=lb
u=0 [ ]
[ ]
[( )( ) ]
[( )( ) ]
v=0 [ ]
[ ]
[( )( ) ]
[( )( ) ]
w=0 [ ]
[ ]
[( )( ) ]
[( )( ) ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[( )( ) ] [( )( ) ]
[( )( ) ] [( )( ) ]
49
Tabela 3.4- Condições de canto
Condições de Canto
Canto (0,0) (0,la)
w=0 ( )
( )
( )
( )
Canto (lb,0) (lb,la)
w=0 [( )( ) ]
[( )( ) ]
[( )( ) ]
[( )( ) ]
50
4 VALIDAÇÃO DO TRATAMENTO PELO MDFE
Este capítulo tem a finalidade de apresentar e analisar vários resultados obtidos com
a utilização do programa desenvolvido com base na formulação numérica descrita no capítulo
3, validando assim essa formulação computacional.
Os casos apresentados nos itens 4.1 a 4.4 foram escolhidos de forma que seus
resultados pudessem ser confrontados com soluções existentes, validando-os.
4.1. PLACA ISOTRÓPICA COM CARREGAMENO UNIFORME
Nesse caso examina-se uma placa quadrada, isotrópica, solicitada por um
carregamento transversal uniformemente distribuído , em três situações
distintas de condições de contorno e de canto: bordos simplesmente apoiados (caso1a), bordos
totalmente engastados (caso 1b) e com o deslocamento w0 restringido nos cantos, simulando o
apoio de pilares (caso 1c). Os resultados são comparados com os fornecidos por Timoshenko
e Krieger (1988) e Szilard (1974).
Nas tabelas 4.1 e 4.2 são apresentados, respectivamente, os resultados para o
deslocamento transversal w e momento fletor no centro da placa para 8, 20 e 30 subdivisões,
juntamente com os erros percentuais em relação aos resultados analíticos.
As dimensões da placa analisada e as propriedades do material que a compõe são
dadas a seguir e seu esquema estrutural na figura 4.1:
51
Figura 4.1- Esquemas estruturais do caso 1
52
Tabela 4.1- Deslocamento w no centro da placa para o caso 1
Deslocamento no centro da placa (m)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso Resultado Autor (ano) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
1a 4,43609E-04 * 4,72496E-04 6,51 4,48396E-04 1,08 4,45730E-04 0,48
1b 1,38173E-04 * 1,62570E-04 17,66 1,42252E-04 2,95 1,39995E-04 1,32
1c 3,0683E-03 Szilard (1974) 3,2066E-03 4,51 3,1146E-03 1,51 3,1017E-03 1,09
[*] Timoshenko e Krieger (1988)
Tabela 4.2- Momento Fletor no centro da placa para o caso 1
Momento Fletor no centro da placa (N x m)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso Resultado Autor (ano) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
1a 9,57728E+01 * 9,99136E+01 4,32 9,64400E+01 0,70 9,60670E+01 0,31
1b 4,58102E+01 * 4,90324E+01 7,03 4,63630E+01 1,21 4,60578E+01 0,54
1c 1,8940E+02 Szilard (1974) 2,0901E+02 10,36 2,1312E+02 12,52 2,1348E+02 12,71
[*] Timoshenko e Krieger (1988)
Tabela 4.3- Deslocamento e momento fletor no centro dos bordos da placa do caso 1C
Deslocamento (m) e Momento Fletor (Nxm) no centro dos bordos da placa
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso
Szilard (1974) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
1C w 2,00660E-03 2,20161E-03 9,72 2,09394E-03 4,35 2,08009E-03 3,66
1C Mxx 3,21200E+02 3,23522E+02 0,72 3,20136E+02 -0,33 3,19169E+02 -0,63
Com relação à placa simplesmente apoiada, o resultado obtido para o deslocamento
transversal apresenta boa concordância em relação ao resultado analítico de Timoshenko e
Krieger (1988). O resultado para momento fletor no centro da placa em questão apresenta
concordância ainda melhor, quando comparada com a solução analítica do mesmo autor.
Ainda para a placa simplesmente apoiada, Graça (2000), utilizando o método MDFE
para a análise do problema em questão, utiliza a dupla simetria apresentada para discretizar
apenas 1/4 da placa em uma malha 16x16, melhorando assim a capacidade de refinamento
encontrando um erro de 0,011% em relação à mesma solução analítica. Utilizando artifício
semelhante e 30 subdivisões o programa do presente trabalho obtém um erro de 0,11%,
resultado que pode ser explicado pela utilização de diferentes representações em diferenças
finitas para as derivadas cruzadas. Para o momento fletor no centro da placa, Graça (2000)
53
encontrou, através do mesmo artifício, um erro de 0,23% em relação ao resultado analítico,
enquanto o programa do presente trabalho obtém com 16 subdivisões um erro de 0,27% e
com 30 subdivisões 0,08%, o que mostra uma ótima concordância entre as duas formulações.
Como para o cálculo do momento fletor as derivadas dos deslocamentos são novamente
utilizadas, juntamente com os deslocamentos encontrados, o que em tese reduz a influência
das mesmas na determinação do momento fletor, a hipótese de que a diferença entre os
resultados para os deslocamentos deve-se as representações em diferenças finitas é reforçada.
Para a placa engastada nos quatro bordos, o resultado numérico obtido pelo
programa, também apresenta uma boa concordância quando comparado ao resultado analítico,
porém apresentando erros relativos maiores que os encontrados para a placa simplesmente
apoiada, tanto para o deslocamento transversal quanto para o momento fletor, o que é
perfeitamente aceitável devido a maior dificuldade de representação da superfície deformada.
Graça (2000) também encontrou erros maiores para a placa engastada nos quatro bordos,
obtendo para a discretização apresentada anteriormente um erro relativo de 0,84% para o
deslocamento w0.
A placa apoiada nos cantos apresenta alguns aspectos interessantes, apesar de
apresentar para discretizações mais pobres erros menores até mesmo que os encontrados para
a placa simplesmente apoiada, tratando-se do deslocamento w0, apresenta uma convergência
mais lenta, chegando a 30 subdivisões, com erros maiores que a placa simplesmente apoiada
quando comparada ao resultado analítico de referência. Cabe lembrar porém, que o autor
considerado na avaliação não é o mesmo para as duas situações, o que pode ocasionar
divergências nos resultados encontrados. Outro aspecto interessante é que o momento fletor
no centro da placa converge a partir de resultados mais baixos, diferentemente do encontrado
para as demais condições de contorno, que convergem a partir de resultados mais altos, uma
explicação possível para essa diferença está no fato de que nesse caso, diferentemente dos
outros estudados, o momento máximo não está associado a um deslocamento máximo, o que
pode gerar uma diferença no comportamento. Outro problema é que o resultado para
momento fletor aparenta convergir para uma solução diferente da analítica, o que pode está
associado a uma dificuldade de representação das derivadas por diferenças finitas nos bordos
da placa. De todo modo cabe uma investigação futura sobre as razões desse problema.
Como para a placa apoiada nos cantos o momento máximo está nos seus bordos
apresentam-se na tabela 4.3 os resultados para o deslocamento e momento fletor, destacando-
se que o último volta a convergir a partir de valores mais altos, porém ainda para uma solução
diferente da analítica.
54
4.2. PLACA ORTOTRÓPICA
Examina-se uma placa ortotrópica quadrada com espessura de 1 cm, solicitada por
um carregamento uniformemente distribuído , simplesmente apoiada em
todos os bordos.
Esse exemplo é de fundamental interesse, pois mostra o comportamento de uma
placa ortotrópica de material cujo módulo de elasticidade é muito maior em uma das direções.
Os resultados dos deslocamentos e tensões normais são comparados com os obtidos
por Reddy (2004), através do método de Navier, apresentados nas tabelas 4.4 e 4.5
respectivamente.
As dimensões da placa e as propriedades do material que a compõe são dados abaixo,
e o seu esquema estrutural na figura 4.1:
Os gráficos das tensões normais xx e yy em função da coordenada z, da placa,
medidas no centro da mesma são apresentados nas Figuras 4.3 e 4.4 respectivamente.
55
Figura 4.2- Esquema estrutural do caso 2
Tabela 4.4- Deslocamento no centro da placa para o caso 2
Deslocamento no centro da placa (m)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso Reddy (2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
2 1,624E-03 1,632E-03 0,49 1,626E-03 0,10 1,625E-03 0,05
Tabela 4.5- Distribuição de tensões no centro da placa
Tensões no centro da placa (N/m²)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Tensões z Reddy (2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
xx -0,005 -1,615E+07 -1,561E+07 -3,37 -1,571E+07 -2,70 -1,572E+07 -2,63
0,005 1,615E+07 1,561E+07 -3,37 1,571E+07 -2,70 1,572E+07 -2,63
yy -0,005 -4,8800E+05 -4,8183E+05 -1,27 -4,87E+05 -0,17 -4,882E+05 0,04
0,005 4,8800E+05 4,8183E+05 -1,27 4,87E+05 -0,17 4,882E+05 0,04
56
Figura 4.3- xx em função da coordenada z placa ortotrópica
Figura 4.4 - yy em função da coordenada z placa ortotrópica
Em relação ao deslocamento transversal vertical encontra-se um resultado excelente
em comparação com a referência mesmo em discretizações mais pobres, chegando com 30
subdivisões à diferença de 0,05%.
-1,572E+07
1,572E+07
-0,005
0
0,005
-2,000E+07 -1,000E+07 0,000E+00 1,000E+07 2,000E+07
z (m)
σxx (N/m²)
-4,882E+05
4,882E+05
-0,005
0
0,005
-2,000E+07 -1,000E+07 0,000E+00 1,000E+07 2,000E+07
z (m)
σyy (N/m²)
57
Reddy (2004) também encontrou uma solução numérica para o problema em questão
através do método dos elementos finitos, a partir de uma discretização com 8x8 nós obtendo
um erro percentual de 0,30%, 1,36% e 0,82% para o deslocamento vertical, tensão normal xx
e tensão normal yy, respectivamente, todos medidos no centro da placa.
Note que para o exemplo em questão ainda não existe influência do acoplamento
membrana e flexão (Bij=0), o que torna o comportamento da mesma equivalente ao de placa
isotrópica, no que se refere ao não aparecimento de deslocamentos u0 e v0 para o
carregamento em questão.
4.3. PLACA LAMINADA ORTOTRÓPICA FORMADA POR TRÊS CAMADAS
SOBREPOSTAS EM FORMATO DE CRUZ
O terceiro caso consiste de uma placa quadrada formada por três camadas
ortotrópicas dispostas em forma de cruz (0º/90º/0º), denominada de placa simétrica, solicitada
por uma carga uniformemente distribuída q = 2,0 x 10³ N/m², em duas situações distintas de
condições de contorno:
Caso 3A – Simplesmente apoiada em todos os bordos;
Caso 3B - livre no bordo , totalmente engastada no bordo e
simplesmente apoiada nos bordos e .
As dimensões da placa analisada e as propriedades do material que a compõe são
dadas abaixo. O seu esquema estrutural está representado na figura 4.5:
58
Figura 4.5- Esquema estrutural do caso 3
Os resultados também são comparados com os obtidos por Reddy (2004), através do
método de Lévy. Os resultados para o caso 3A estão apresentados nas tabelas 4.6 e 4.7 e
graficamente nas figuras 4.6 e 4.7. Já os resultados do caso 3B é mostrado nas tabelas 4.8 e
4.9 e figuras 4.8 e 4.9 todos medidos no centro da placa.
Tabela 4.6- Deslocamento no centro da placa para o caso 3A
Deslocamento no centro da placa (m)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
3A 5,726E-04 5,825E-04 1,72 5,743E-04 0,30 5,734E-04 0,13
59
Tabela 4.7- Distribuição de tensões para o caso 3A
Tensões no centro da placa (N/m²)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Tensões Camada/Coord. REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
xx
1 -0,015 -1,611E+06 -1,619E+06 0,46 -1,613E+06 0,11 -1,612E+06 0,05
-0,005 - -5,396E+05 - -5,377E+05 - -5,374E+05 -
2 -0,005 - -5,129E+04 - -5,120E+04 - -5,119E+04 -
0,005 - 5,129E+04 - 5,120E+04 - 5,119E+04 -
3 0,005 - 5,396E+05 - 5,377E+05 - 5,374E+05 -
0,015 1,611E+06 1,619E+06 0,46 1,613E+06 0,11 1,612E+06 0,05
yy
1 -0,015 - -1,324E+05 - -1,332E+05 - -1,334E+05 -
-0,005 - -4,412E+04 - -4,441E+04 - -4,446E+04 -
2 -0,005 -4,3067E+05 -4,258E+05 -1,13 -4,298E+05 -0,20 -4,305E+05 -0,05
0,005 4,3067E+05 4,258E+05 -1,13 4,298E+05 -0,20 4,305E+05 -0,05
3 0,005 - 4,412E+04 - 4,441E+04 - 4,446E+04 -
0,015 - 1,324E+05 - 1,332E+05 - 1,334E+05 -
Figura 4.6 - xx em função da coordenada z da placa - caso 3A
-1,612E+06
-5,374E+05
-5,119E+04
5,119E+04
5,374E+05
1,612E+06
-0,015
-0,005
0,005
0,015
-2,000E+06 -1,000E+06 0,000E+00 1,000E+06 2,000E+06
z (m)
σxx (N/m²)
60
Figura 4.7- yy em função da coordenada z da placa - caso 3A
Tabela 4.8- Deslocamento transversal para o caso 3B
Deslocamento no centro da placa (m)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
3B 1,128E-03 1,169E-03 3,63 1,135E-03 0,58 1,131E-03 0,26
Tabela 4.9- Distribuição de tensões para o caso 3B
Tensões no centro da placa (N/m²)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Tensões Camada/Coord. REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
xx
1 -0,015 3,744E+05 3,904E+05 4,26 3,769E+05 0,65 3,754E+05 0,26
-0,005 - 1,301E+05 - 1,256E+05 - 1,251E+05 -
2 -0,005 - -7,223E+03 - -7,128E+03 - -7,117E+03 -
0,005 - 7,223E+03 - 7,128E+03 - 7,117E+03 -
3 0,005 - -1,301E+05 - -1,256E+05 - -1,251E+05 -
0,015 -3,744E+05 -3,904E+05 4,26 -3,769E+05 0,65 -3,754E+05 0,26
yy
1 -0,015 - -2,334E+05 - -2,274E+05 - -2,268E+05 -
-0,005 - -7,779E+04 - -7,580E+04 - -7,558E+04 -
2 -0,005 -9,5844E+05 -9,904E+05 3,34 -9,648E+05 0,66 -9,620E+05 0,37
0,005 9,5844E+05 9,904E+05 3,34 9,648E+05 0,66 9,620E+05 0,37
3 0,005 - 7,779E+04 - 7,580E+04 - 7,558E+04 -
0,015 - 2,334E+05 - 2,274E+05 - 2,268E+05 -
-1,334E+05
-4,446E+04
-4,305E+05
4,305E+05
4,446E+04
1,334E+05
-0,015
-0,005
0,005
0,015
-2,000E+06 -1,000E+06 0,000E+00 1,000E+06 2,000E+06
z(m)
σyy (N/m²)
61
Figura 4.8- xx em função da coordenada z da placa - caso 3B
Figura 4.9- yy em função da coordenada z da placa - caso 3B
Para ambos os casos os resultados são bons em relação à solução analítica, tanto para
os deslocamentos quanto para as tensões normais, com destaque para a placa simplesmente
apoiada nos quatro bordos, que obteve resultados ainda melhores, o que já era esperado pelo
mesmo motivo já comentado no exemplo 1.
3,754E+05
1,251E+05
-7,117E+03
7,117E+03
-1,251E+05
-3,754E+05
-0,015
-0,005
0,005
0,015
-1,500E+06 -1,000E+06 -5,000E+05 0,000E+00 5,000E+05 1,000E+06 1,500E+06
z (m)
σxx (N/m²)
-2,268E+05
-7,558E+04
-9,620E+05
9,620E+05
7,558E+04
2,268E+05
-0,015
-0,005
0,005
0,015
-1,500E+06 -1,000E+06 -5,000E+05 0,000E+00 5,000E+05 1,000E+06 1,500E+06
z (m)
σyy (N/m²)
62
Em relação à distribuição de tensões, conforme apresentado nas hipóteses básicas da
teoria (Capítulo 2), as tensões variam linearmente ao longo da espessura da camada. Quando
se passa para camadas ortotrotópicas dispostas em direções diferentes, observa-se uma
alteração no comportamento com o aparecimento de descontinuidade nas tensões entre as
camadas, inclusive com mudança na inclinação da reta que representa a evolução das tensões
ao longo da coordenada z. Na realidade, o comportamento é diferenciado do visto em placas
de material isotrópico e homogêneo ou ortotrópico.
Para o caso 3B, um comportamento interessante foi notado para as tensões xx, ao
passar para a camada central, a combinação de sua baixa rigidez, associada à proximidade da
linha neutra, o que reduz naturalmente a influência da flexão nas tensões normais e o fato de
que o outro sentido da placa está submetido a um momento fletor positivo, fizeram com que
ocorresse uma inversão no sentido das tensões, evidenciando assim a influência da matriz de
acoplamento Bij.
4.4. PLACA LAMINADA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA COMPOSTA
POR VÁRIAS LÂMINAS ALTERNADAS EM FORMATO DE CRUZ
Para este exemplo avalia-se uma placa quadrada simplesmente apoiada nos quatro
bordos, sujeita a um carregamento uniformemente distribuído q=2,0x10³ N/m², constituída
por uma sequência de lâminas posicionadas de forma assimétrica conforme apresentado
abaixo:
CASO 4A – Placa formada por quatro lâminas com espessura de 0,0075 m
posicionadas em cruz (0º/90º/0º/90º);
CASO 4B – Placa formada por oito lâminas com espessura de 0,00375 m
posicionadas em cruz (0º/90º/0º/90º/0º/90º/0º/90º).
Note que para cada caso a altura total da placa não é alterada, o que é modificada é a
espessura das lâminas que compõem o laminado. Essa consideração é importante para que se
possa avaliar a influência do número de camadas no comportamento da placa.
As propriedades geométricas da placa juntamente com as propriedades do material
que compões as lâminas são apresentadas a seguir. Não se fez necessária a apresentação do
esquema estrutural já que o mesmo já foi apresentado em exemplos anteriores.
63
Tabela 4.10- Deslocamento no centro da placa caso 4A
Deslocamento no centro da placa (m)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
4A 7,486E-05 7,564E-05 1,04 7,500E-05 0,18 7,492E-05 0,08
Tabela 4.11- Distribuição de tensões caso 4A
Tensões no centro da placa (N/m²)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Tensões Cam/Coord. REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
xx
1 -0,015 -1,637E+06 -2,137E+06 30,54 -2,130E+06 30,11 -2,127E+06 29,93
-0,0075 - -1,069E+06 - -1,065E+06 - -1,064E+06 -
2 -0,0075 - -5,290E+04 - -5,273E+04 - -5,265E+04 -
0 - -8,753E-10 - -8,528E-10 - -8,451E-10 -
3 0 - 0,000E+00 - 0,000E+00 - 0,000E+00 -
0,0075 - 1,069E+06 - 1,065E+06 - 1,064E+06 -
4 0,0075 - 5,290E+04 - 5,273E+04 - 5,265E+04 -
0,015 1,202E+05 1,058E+05 -12,00 1,055E+05 -12,29 1,053E+05 -12,41
yy
1 -0,015 -1,202E+05 -1,058E+05 -12,00 -1,055E+05 -12,29 -1,053E+05 -12,41
-0,0075 - -5,290E+04 - -5,273E+04 - -5,265E+04 -
2 -0,0075 - -1,069E+06 - -1,065E+06 - -1,064E+06 -
0 - -8,400E-08 - -8,184E-08 - -8,111E-08 -
3 0 - 0,000E+00 - 0,000E+00 - 0,000E+00 -
0,0075 - 5,290E+04 - 5,273E+04 - 5,265E+04 -
4 0,0075 - 1,069E+06 - 1,065E+06 - 1,064E+06 -
0,015 1,637E+06 2,137E+06 30,54 2,130E+06 30,11 2,127E+06 29,93
64
Figura 4.10- xx em função da coordenada z da placa - caso 4A
Figura 4.11 - yy em função da coordenada z da placa - caso 4A
Tabela 4.12- Deslocamento transversal Caso 4B
Deslocamento no centro da placa (m)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Caso REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
4B 6,620E-05 6,678E-05 0,88 6,631E-05 0,16 6,625E-05 0,07
-2,127E+06
-1,064E+06
-5,265E+04
-8,451E-10
0,000E+00
1,064E+06
5,265E+04
1,053E+05
-0,015
-0,0075
0
0,0075
0,015
-3,000E+06 -2,000E+06 -1,000E+06 0,000E+00 1,000E+06 2,000E+06
z (m)
σxx (N/m²)
-1,053E+05
-5,265E+04
-1,064E+06
-8,111E-08 0,000E+00
5,265E+04
1,064E+06
2,127E+06
-0,015
-0,0075
0
0,0075
0,015
-2,000E+06 -1,000E+06 0,000E+00 1,000E+06 2,000E+06 3,000E+06
z (m)
σyy (N/m²)
65
Tabela 4.13- Distribuição de tensões caso 4B
Tensões no centro da placa (N/m²)
Resultado analítico
MDFE
Número de subdivisões
Tensões Cam/Coord. REDDY(2004) 8 ∆(%) 20 ∆(%) 30 ∆(%)
xx
1 -0,015 -1,666E+06 -1,879E+06 12,78 -1,883E+06 13,02 -1,883E+06 13,01
-0,0112 - -1,409E+06 - -1,412E+06 - -1,412E+06 -
2 -0,0112 - -6,975E+04 - -6,990E+04 - -6,990E+04 -
-0,0075 - -4,650E+04 - -4,660E+04 - -4,660E+04 -
3 -0,0075 - -9,393E+05 - -9,413E+05 - -9,413E+05 -
-0,0037 - -4,697E+05 - -4,707E+05 - -4,706E+05 -
4 -0,0037 - -2,325E+04 - -2,330E+04 - -2,330E+04 -
0 - -3,867E-10 - -3,771E-10 - -3,738E-10 -
5 0 - 0,000E+00 - 0,000E+00 - 0,000E+00 -
0,0037 - 4,697E+05 - 4,707E+05 - 4,706E+05 -
6 0,0037 - 2,325E+04 - 2,330E+04 - 2,330E+04 -
0,0075 - 4,650E+04 - 4,660E+04 - 4,660E+04 -
7 0,0075 - 9,393E+05 - 9,413E+05 - 9,413E+05 -
0,0112 - 1,409E+06 - 1,412E+06 - 1,412E+06 -
8 0,0112 - 6,975E+04 - 6,990E+04 - 6,990E+04 -
0,015 9,978E+04 9,300E+04 -6,79 9,320E+04 -6,59 9,319E+04 -6,60
yy
1 -0,015 -9,978E+04 -9,300E+04 -6,79 -9,320E+04 -6,59 -9,319E+04 -6,60
-0,0112 - -6,975E+04 - -6,990E+04 - -6,990E+04 -
2 -0,0112 - -1,409E+06 - -1,412E+06 - -1,412E+06 -
-0,0075 - -9,393E+05 - -9,413E+05 - -9,413E+05 -
3 -0,0075 - -4,650E+04 - -4,660E+04 - -4,660E+04 -
-0,0037 - -2,325E+04 - -2,330E+04 - -2,330E+04 -
4 -0,0037 - -4,697E+05 - -4,707E+05 - -4,706E+05 -
0 - -3,71E-08 - -3,619E-08 - -3,587E-08 -
5 0 - 0,000E+00 - 0,000E+00 - 0,000E+00 -
0,0037 - 2,325E+04 - 2,330E+04 - 2,330E+04 -
6 0,0037 - 4,697E+05 - 4,707E+05 - 4,706E+05 -
0,0075 - 9,393E+05 - 9,413E+05 - 9,413E+05 -
7 0,0075 - 4,650E+04 - 4,660E+04 - 4,660E+04 -
0,0112 - 6,975E+04 - 6,990E+04 - 6,990E+04 -
8 0,0112 - 1,409E+06 - 1,412E+06 - 1,412E+06 -
0,015 1,666E+06 1,879E+06 12,78 1,883E+06 13,02 1,883E+06 13,01
66
Figura 4.12 - xx em função da coordenada z da placa - Caso 4B
Figura 4.13- yy em função da coordenada z da placa - caso 4B
-1,883E+06
-1,412E+06 -6,990E+04
-4,660E+04 -9,413E+05
-4,706E+05 -2,330E+04
-3,738E-10 0,000E+00
4,706E+05 2,330E+04
4,660E+04 9,413E+05
1,412E+06 6,990E+04
9,319E+04
-0,015
-0,01125
-0,0075
-0,00375
0
0,00375
0,0075
0,01125
0,015
-2,000E+06 -1,000E+06 0,000E+00 1,000E+06 2,000E+06
z (m)
σxx (N/m²)
-9,319E+04
-6,990E+04 -1,412E+06
-9,413E+05 -4,660E+04
-2,330E+04 -4,706E+05
-3,587E-08 0,000E+00
2,330E+04 4,706E+05
9,413E+05 4,660E+04
6,990E+04 1,412E+06
1,883E+06
-0,015
-0,01125
-0,0075
-0,00375
0
0,00375
0,0075
0,01125
0,015
-2,000E+06 -1,000E+06 0,000E+00 1,000E+06 2,000E+06
z (m)
σyy (N/m²)
67
Figura 4.14 – Variação da tensão xx em função da espessura da placa
Novamente foi encontrada uma boa aproximação para o deslocamento transversal no
centro da placa, tanto para o caso 4A quanto para o caso 4B. Porém, as tensões normais
obtidas pelo programa apresentam diferenças muito altas, em relação ao valor de referência,
chegando a um erro de 30,54%. Nenhuma explicação plausível para esse resultado foi a
principio encontrada, cabendo futuras investigações visando esclarecer essas diferenças
encontradas.
A principal função desse exemplo é analisar a influência do número de camadas no
comportamento da placa. O que pode ser observado é que a placa com oito camadas possui
um deslocamento vertical e tensões normais menores que o obtido para a placa com 4
subdivisões, o que está de acordo com os resultados observados por Reddy (2004) resultado
influenciado pela presença da matriz Bij.
-1,88E+06
9,32E+04
-2,13E+06
1,05E+05
-0,015
-0,01125
-0,0075
-0,00375
0
0,00375
0,0075
0,01125
0,015
-3,000E+06 -2,000E+06 -1,000E+06 0,000E+00 1,000E+06 2,000E+06 3,000E+06
z (m)
Oito Lâminas Quatro Lâminas
68
5 CONCLUSÃO
Neste capítulo são apresentadas as considerações finais sobre o trabalho e algumas
sugestões para trabalhos futuros.
A partir da revisão bibliográfica pode-se dizer que a teoria clássica de laminados é
capaz de representar o problema em questão para placas delgadas, porém quando se trata de
placas espessas, deve-se utilizar uma formulação que leve em consideração as deformações
por cisalhamento, a exemplo da teoria de primeira ordem de laminados.
Os casos apresentados como exemplos de aplicação foram escolhidos de forma a
apresentar o máximo possível de possibilidades, e ao mesmo tempo fornecer uma base para
comparação entre os mesmos, buscando manter algumas características semelhantes, levando
em consideração o curto tempo para a apresentação do trabalho e a limitação de soluções
analíticas existente para o problema.
Os resultados para deslocamentos verticais encontrados pelo programa tiveram boa
ou ótima convergência para todos os casos apresentados, quando comparados às soluções
analíticas existentes, ficando ainda próximos das soluções numéricas apresentadas por outros
autores. Através do caso 1 constatou-se que a capacidade da formulação numérica de
convergir para a solução analítica, depende entre outros fatores das condições de contorno e
de canto do mesmo, não tendo influência a quantidade de camadas utilizadas para discretizar
as laminas da placa.
Tratando dos esforços, embora o programa tenha obtido bons resultados para a
maioria dos casos apresentados, em alguns deles foram encontrados erros maiores, cabendo
um aprofundamento da investigação das razões de tais discrepâncias nesses resultados para os
esforços.
De modo geral, uma discretização com 20 subdivisões pode ser considerada
suficiente para a maioria dos casos apresentados, em função bons resultados encontrados sem
a necessidade de um grande esforço computacional.
Diante dessas constatações acima pode-se concluir que o objetivo de apresentar uma
formulação computacional para a análise estática linear da flexão de placas laminadas com
base na teoria da laminação e no método das diferenças finitas energéticas pode ser
considerado plenamente atingido, demonstrando a capacidade desse método de oferecer
soluções satisfatórias também para o problema em foco.
Para finalizar, seguem-se algumas sugestões para trabalhos futuros:
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Considerar outros exemplos de aplicação, com novas condições de contorno e
disposição de camadas, inclusive simulando placas de concreto armado, além
de outras formas de carregamento já inclusas na formulação e no programa,
como carregamento trapezoidal, em linha, carregamentos de bordo entre
outros que infelizmente não foram apresentadas devido ao tempo disponível
para o desenvolvimento do trabalho;
Verificar se a substituição das representações para as derivadas
utilizadas no presente trabalho pelas utilizadas por Graça (2000) acarreta em
soluções mais precisas que as encontradas no presente trabalho, usando o
MDFE;
Aplicar o MDFE a uma formulação de placas laminadas de 1ª ordem e testar
essa formulação para todos os casos aqui estudados;
Incluir na formulação numérica a análise não linear física e/ou geométrica;
Estender a avaliação numérica para placas em L, trapezoidais e circulares.
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