Parte 1Conjuntos nitos, enumer aveis en ao-enumer aveis Georg Ferdinand LudwigPhilipp Cantor(1845-1818) R ussia.Para saber mais sobre os n ume-ros cardinais, consulte:Halmos, Paul R., Teoria Ing enuadosConjuntos, EditoraPolgono,S ao Paulo, 1970.Giuseppe Peano(1858-1932) It alia.Julius WihelmRichard Dedekind(1831-1916) Braunschweig,hoje Alemanha.A descoberta de que h a diversos tipos de innito deve-se a GeorgCantor. Mas,para os objetivos do nosso curso,ser a necess ario distin-guir os conjuntos, quanto ao n umero de elementos, apenas em tr es ca-tegorias: os conjuntos nitos; os conjuntos enumer aveis e os conjuntosn ao-enumer aveis.A noc ao de conjunto enumer avel, como veremos, est a estritamenteligada ao conjunto N dos n umeros naturais. Por isso iniciamos o cursocom uma breve apresentac ao da teoria dos n umeros naturais a partir dosaxiomas de Peano, que exibem os n umeros naturais como n umeros ordi-nais, isto e, objetos que ocupam lugares determinados numa sequ enciaordenada.Depois, empregaremos os n umeros naturais para a contagemdos conjuntos nitos, mostrando que eles podem ser considerados comon umeros cardinais.Dedekind deniu o conjunto Ndos n umeros naturais a partir da teoriados conjuntos e demonstrou os axiomas de Peano (ver [Halmos]).Do ponto de vista de Peano, os n umeros naturais n ao s ao denidos.E apresentada uma lista de propriedades (axiomas) que eles satisfazemetudoomaisdecorreda. N aointeressaoqueosn umeross ao, masapenas as suas propriedades.Instituto de Matem atica - UFF 1J. Delgado - K. Frensel 2Os n umeros naturais1. Os n umeros naturaisToda a teoria dos n umeros naturais pode ser deduzida dos tr es axi-omas abaixo, conhecidos como axiomas de Peano.S aodados, comoobjetosn ao-denidos, umconjunto, quesede-signa pela letra N,cujos elementos s ao chamados n umeros naturais,eumafunc aos : N N. Paracadan N, on umeronatural s(n) echamado o sucessor de n.A func ao s satisfaz aos seguintes axiomas:(I) s : N N e injetiva, ou seja, se s(m) = s(n), ent ao m = n.(II) Ns(N)consistedeum unicoelemento, ouseja, existeum unico n umero natural que n ao e sucessor de outro n umero natural. Esten umero, chamado um, e representado pelo smbolo 1.Assim, s(n) = 1 para todo n N e, se n = 1, existe um unico m Ntal que s(m) = n.Uma demonstrac ao na qual o axi-oma (III) e empregado, chama-seuma demonstrac ao por induc ao.Ver exemplo 1.1.(III) (Princpio de Induc ao) SeX N e tal que1 X e,para todon X tem-se s(n) X, ent ao X = N.Exemplo 1.1Demonstrar por induc ao que s(n) = n para todo n N.Soluc ao: Seja X = {n N| s(n) = n} .(1)1 X, pois, pelo axioma (II),s(n) =1 para todon N. Em particulars(1) = 1.(2) Seja n X, ou seja, s(n) = n.Como s e injetiva, pelo axioma (I), s(s(n)) = s(n). Isto e, s(n) X.Ent ao, pelo princpio de induc ao, axioma (III), X= N, ou seja, s(n) =npara todo n N.

N ao menos importante do que de-monstrar proposic oes usando oprincpiodeinduc ao esaberde-nir objetos por induc ao.As denic oes por induc ao baseiam-se na possibilidade de se iteraruma func ao f : X X um n umero arbitr ario, n, de vezes.Mais precisamente, sejamX um conjunto ef: X X uma func ao.A cada n N podemos associar, de modo unico, uma func ao fn: X Xtal que:Instituto de Matem atica - UFF 3An alise na Retaf1= f e fs(n)= f fn.Usando as iteradas da func ao s : N N vamos denir por induc aoa adic ao de n umeros naturais.Numaexposic aosistem aticadateoria dos n umeros naturais, aexist encia do n esimo iterado fndeumafunc aof : XX eumteorema, chamadoTeoremada Denic ao por Induc ao.A operac ao de adic ao den umerosnaturais eumafunc aoque a cada par de n umerosnaturais (m,n) N Nfazcorresponder o n umero natu-ral sn(m)designado m+nechamado a soma de me n.Isto e,+ : N N N(m,n) m+n=sn(m)Denic ao 1.1Sejamm, n N. O n umero natural sn(m) e chamado asoma de m e n e e designado por m+n. Isto e,m+n = sn(m) .A operac ao que consiste emsomar n umeros naturais e denominada adic ao,e e designada pelo smbolo +.Assim, m+1 = s(m) (somar m com 1 signica tomar o sucessor de m). m+s(n) = ss(n)(m) = s(sn(m)) = s(m+n),ou seja,m+ (n +1) = (m+n) +1 .Proposic ao 1.1A adic ao de n umeros naturais possui as seguintes pro-priedades:(a) Associatividade:m+ (n +p) = (m+n) +p.(b) Comutatividade:m+n = n +m.(c) Tricotomia: dados m, n N, exatamente uma das seguintes tr es alter-nativas ocorre: oum=n, ou existep N tal quem=n + p, ou existeq N tal que n = m+q.(d) Lei de cancelamento:m+n = m+p =n = p.Prova.(a) Sejam m, n N n umeros naturais arbitr arios e sejaX = {p N| m+ (n +p) = (m+n) +p} .Ent ao 1 X e se p X, tem-se quem+ (n +s(p)) = m+s(n +p) = s(m+ (n +p)) = s((m+n) +p)= (m+n) +s(p) .Logo,s(p) X e, portanto,X= N, ou seja,m + (n + p)=(m + n) + p,quaisquer que sejam m, n, p N.J. Delgado - K. Frensel 4Os n umeros naturais(b) Seja X = {m N| m+1 = 1 +m} . Ent ao, 1 X e se m X, tem-se1 +s(m) = s(1 +m) = s(m+1) = s(s(m)) = s(m) +1 ,ou seja, s(m) X. Logo, X = N, isto e, m + 1 = 1 + m, qualquer que sejam N. Seja Y= {m N| m+n = n +m}, onde n N.Ent ao, pelo provado acima, 1 Y. E se m Y, tem-se quen +s(m) = s(n +m) = s(m+n) = m+s(n)= m+ (n +1) = m+ (1 +n) = (m+1) +n= s(m) +n,ou seja, s(m) Y. Logo, Y= N, isto e, m + n=n + m quaisquer quesejam m, n N.(c) Seja m N e sejaX = {n N| n e m satisfazem a propriedade de tricotomia} .(1)1 X. De fato, oum=1 oum =1 e, neste caso,m e o sucessor dealgum n umero n0 N, ou seja, existe n0 N tal que1 +n0 = n0 +1 = s(n0) = m.(2) Sejan X. Ent ao, oun=m, ou existep N tal quen=m + p, ouexiste q N tal que m = n +q.Vamos provar que s(n) X.De fato, se n = m =s(n) = s(m) = m+1 . se n = m+p =s(n) = s(m+p) = (m+p) +1 = m+ (p +1) . sem=n + q= ouq=1 ouq =1. Seq=1,m=n + 1, ou seja,s(n) = m. Se q = 1, existe q0 N tal que q0 +1 = q.Logo,m = n +q = n + (q0 +1) = n + (1 +q0) = (n +1) +q0 = s(n) +q0.Em qualquer caso, provamos que ous(n)=m, ou exister N tal ques(n) = m+r, ou existe N tal que m = s(n) +.Logo, X= N, ou seja, dadosm, n N temos que, oum=n, ou existep N tal que m = n +p, ou existe q N tal que n = m+q.Exerccio 1: Para provar que valeexatamente uma das tr es alterna-tivas ao lado, verique antes quen+p =n quaisquer que sejamn,p N.Instituto de Matem atica - UFF 5An alise na Reta(d) Sejam m, n, p N tais que m+n = m+p.Pela propriedade de tricotomia, temos que oup=n ou existeq N talque n = p +q, ou existe N tal que p = n +.Ent ao, se p = n, temos que:n=p + q = m + (p + q)=m + p = (m + p) + q=m + p, o que euma contradic ao (ver o exerccio 1 acima).oup=n + = m + n=m + (n + )=(m + n) +que e tamb em umacontradic ao.Logo, p = n.

A relac ao de ordem no conjunto dos n umeros naturais e denida emtermos da adic ao.Denic ao 1.2Dadosm, n N, dizemos quem e menor do quen (ouquen e maior do quem) e escrevemosmm) se existirp N tal que n = m+p.A notac ao m nsignica que m e menor do que ou igual a n.Proposic ao 1.2A relac ao < possui as seguintes propriedades:(a) Transitividade: se m < n e n < p, ent ao m < p.(b) Tricotomia: dados m, n N, ocorre exatamente uma das alternativasseguintes:m = n, ou m < n, ou n < m.(c) Monotonicidade: se m < n ent ao m+p < n +p para todo p N.Prova.(a) Sem n. Se existir o maior elemento de um conjunto X N, ele e unico.Teorema 1.1(Princpio da Boa Ordenac ao)Todo subconjunto n ao-vazio A N possui um elemento mnimo.Prova.Seja X = {n N| {1, . . . , n} N A} .Se 1 A, ent ao 1 e o menor elemento de A. Se 1 A, ent ao 1 X.Como A = e X N A, temos que X = N.Logo, pelo princpio de induc ao, existe n0 X tal que n0 +1 X, ou seja,1, . . . , n0 A e n0 +1 A.Assim, n0 +1 n, para todo n A.Outra demonstrac ao.Suponha, por absurdo, que A n ao tem um menor elemento. SejaX = {p N| p n, n A} .Ent ao:(1) 1 X, pois 1 n n N.(2) Seja p X, ou seja, p N e p n n A.Como A n ao tem um menor elemento, temos que p A. Logo, p < n paratodo n A, ou seja, para todo n A existe qn N tal que n = p +qn.Ent ao, p < p +qn=p +1 p +qn = n, n A =p +1 X.Pelo princpio de induc ao, temos queX= N, o que e um absurdo, pois,comoA =, existen0 A. SendoX=N, n0 +1 Xe, portanto,n0 +1 n0.

Teorema 1.2(Segundo Princpio de Induc ao)SejaX N um conjunto com a seguinte propriedade: dadon N,seX cont em todos os n umeros naturaism tais quem f(n), para todo x Bn.ComoBn=, poisX einnito, sejaf(n+1) =menor elementodeBn. Ent ao, f(n+1) >f(n) ex >f(n+1) paratodox Bn+1=X {f(1), . . . , f(n +1)}.Como f : N X e crescente, f e injetiva.Al em disso, f e sobrejetiva, pois se existisse algum x Xf(N), teramosquex X f(N) X {f(1, . . . , f(n)} = Bn,para todon N, e, portanto,x>f(n) para todon N.Assim,f(N) Nseria innito e limitado, o que e absurdo.

Exemplo 3.3O conjunto dos n umeros primos e innito (fato conhecido)e enumer avel.

Corol ario 3.2Dado um subconjuntoX N innito, existe uma bijec aocrescente : N X.Corol ario 3.3Umsubconjunto de umconjunto enumer avel e enumer avel.Corol ario 3.4Sef: X Y e uma func ao injetiva eY e enumer avel,ent ao X e enumer avel.Prova.Comof(X) Y eenumer avel ef : X f(X) eumabijec ao, temosque X e enumer avel.

Corol ario 3.5Sef : XY eumafunc aosobrejetivaeX eenu-mer avel, ent ao Y e enumer avel.Prova.Comof: X Y e sobrejetiva, f possui uma inversa` a direita, ou seja,existeg: YXtal quef g=IY. Ent ao, g einjetiva. Logo, Y eenumer avel.

Teorema 3.3SeXeYs aoconjuntosenumer aveis, ent aooprodutocartesiano X Y e enumer avel.J. Delgado - K. Frensel 22Conjuntos n ao-enumer aveisProva.SendoX eY nitos ou innitos enumer aveis, existem func oesf:X Ne g : Y N injetivas.Seja f g : X Y N N denida por f g(x, y) = (f(x), g(y)). Comof e g s ao injetivas, f g tamb em e injetiva.Basta, ent ao, provarqueN N eenumer avel. Paraisso, denimosafunc aoh: N N N, pondoh(m, n) =2m3n. Pelaunicidadedadecomposic ao em fatores primos, f e injetiva e,portanto, N N e enu-mer avel.

Corol ario 3.6O conjunto Q dos n umeros racionais e enumer avel.Designamos Z

=Z {0}.Prova.Sabemos que Q =_pqp Z e q Z

_, e que Z Z

e enumer avel.Como a func aof: Z Z

Q, denida porf(p, q)=pq e sobrejetiva,segue-se do corol ario 3.5 que Q e enumer avel.

Corol ario 3.7Sejam X1, X2, . . . , Xn, . . . conjuntos enumer aveis. Ent ao areuni aoX=_n=1Xn e enumer avel. Ou seja, uma reuni ao enumer avel deconjuntos enumer aveis e enumer avel.Prova.Tomemos,para cadam N,uma func aofm: N Xm sobrejetiva,edenamos a func aof:N N X pondof(m, n)=fm(n). Comof esobrejetiva e N N e enumer avel, tem-se que X e enumer avel.

Observac ao 3.2Umareuni aonitaX=X1 . . . Xkdeconjuntosenumer aveis e enumer avel.Observac ao 3.3SeX1, . . . , Xks aoconjuntosenumer aveis, seupro-duto cartesiano X1. . . Xk e enumer avel.Por em, nem sempre, o produto cartesianoX=

n=1Xn de uma seq u enciade conjuntos enumer aveis e enumer avel.Instituto de Matem atica - UFF 23An alise na Reta4. Conjuntos n ao-enumer aveisVeremos, agora, que existem conjuntos n ao-enumer aveis. Mais ge-ralmente, mostraremos que, dado qualquer conjunto X, existe sempre umconjunto cujo n umero cardinal e maior do que o de X.Ao lado, estamos designandocard(X) o n umero cardinal doconjunto X. Quando X e um con-juntonito, card(X) eon umerode elementos deX, que anterior-mente designamos #(X). N ao vamos denir o que e o n umero cardinal de um conjunto. Diremos,apenas, quecard(X) =card(Y)se, esomentese, existeumabijec aof : X Y. Assim, dois conjuntos nitos t em o mesmo n umero cardinal, se, e so-mentese, t emomesmon umerodeelementos. EseX einnitoenu-mer avel, ent ao card(X) = card(N) e card(Y) = card(X) se, e somente se,Y e innito enumer avel. Dados os conjuntos X e Y, diremos que card(X) < card(Y) quando existiruma func ao injetivaf: X Y, mas n ao existir uma func ao sobrejetivag : X Y. Como todo conjunto X innito cont em um subconjunto enumer avel, tem-sequecard(N) card(X), ouseja, on umerocardinal deumconjuntoinnito enumer avel e o menor dos n umeros cardinais dos conjuntos inni-tos. Dados dois conjuntosA eB quaisquer, vale uma e somente uma, dasseguintes alternativas:card(A) = card(B) , card(A) < card(B) , ou card(B) < card(A) .Seexistiremumafunc aoinjetivaf : A Beumafunc aoinjetivag : B A, existir a tamb em uma bijec ao h : A B.Paraver asdemonstrac oesdosfatos citados ao lado e obter maisinformac oessobren umeroscar-dinaisdeconjuntos, vejaolivro:Teoria Ing enua dos Conjuntos dePaul Halmos.Teorema 4.1(Teorema de Cantor)Sejam X um conjunto arbitr ario e Y um conjunto contendo pelo menos doiselementos. Ent ao, nenhuma func ao : X F(X; Y) e sobrejetiva.Prova.Seja: X F(X; Y) uma func ao e sejax : X Y o valor da func ao no ponto x X.Construiremos uma func ao f : X Y tal que f = x para todo x X.J. Delgado - K. Frensel 24Conjuntos n ao-enumer aveisPara cada x X, seja f(x) Y tal que f(x) = x(x), o que e possvel, poisY tem pelo menos dois elementos.Assim, f = x para todo x X, pois f(x) = x(x) para todo x X.Logo, f (X), ou seja, n ao e sobrejetiva.

Observac ao 4.1Sejamy1, y2 Ytais quey1 =y2, e seja: X F(X; Y) a func ao denida por x(x) = y1 e x(z) = y2 se z = x.Ent ao e injetiva. Logo, card(X) < card(F(X; Y)).Provamos, assim, que dado qualquer conjuntoX, existe sempre um con-junto cujo n umero cardinal e maior do que o de XCorol ario 4.1Sejam X1, X2, . . . , Xn, . . . conjuntos innitos enumer aveis.Ent ao, o produto cartesiano

i=1Xi n ao e enumer avel.Prova.BastaconsiderarocasoemquetodososXn s aoiguaisa N. Defato,para cada n N, existe uma bijec ao fn : N Xn. Ent ao, a func aoF :

i=1Ni

i=1Xi(x1, x2, . . . , xn, . . .) (f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn), . . .) , e uma bijec ao, onde Ni = N, para todo i N. Como a func aoH :

i=1NiF(N; N)x = (x1, . . . , xn, . . .) hx : N Ni xi e uma bijec ao e F(N; N) n ao e enumer avel pelo teorema anterior, o con-junto

i=1Ni n ao e enumer avel.

Oargumentousadonademonstrac aodoteoremaacima, chama-sem etodo da diagonal de Cantor, devido ao caso particular X = N.Oselementosde F(N; Y)s aoasseq u enciasdeelementosdeY.Para provar que nenhuma func ao: N F(N; Y) e sobrejetiva, escre-Instituto de Matem atica - UFF 25An alise na Retavemos(1) =s1, (2) =s2, . . . etc., ondes1, s2, . . . s ao seq u encias deelementos de Y, ou seja,s1= (y11, y12, y13, . . .)s2= (y21, y22, y23, . . .)s3= (y31, y32, y33, . . .)......Para cadan N, podemos escolheryn Y tal queyn =ynn, ondeynn e o n esimo termo ynn da diagonal.Ent ao a seq u encias=(y1, y2, y3, . . .) =sn para todon N, poison esimotermoyn daseq u encias ediferentedon esimotermodaseq u encia sn.Assim, nenhuma lista enumer avel pode esgotar todas as func oes emF(N; Y).Exemplo 4.1SejaY={0, 1}. Ent ao,o conjunto{0, 1}N= F(N; Y) dasseq u encias cujos termos s ao 0 ou 1 n ao e enumer avel.

Seja P(A)oconjuntocujoselementoss aotodosossubconjuntosdoconjunto A.Vamos mostrar que existe uma bijec ao : P(A) F(A; {0, 1}) .Para cada X A, consideremos a func ao caracterstica de X:X : A {0, 1}x X(x) =___1, se x X0, se x XA func ao : P(A) F(A; {0, 1})X X e uma bijec ao, cuja inversa associa a cada func aof: A {0, 1} o con-junto X dos pontos x A tais que f(x) = 1.Como{0, 1} tem dois elementos, segue-se do teorema 4.1 que ne-nhumafunc ao: AF(A, {0, 1}) esobrejetiva. Logo, nenhumaJ. Delgado - K. Frensel 26Conjuntos n ao-enumer aveisfunc ao: A P(A) esobrejetiva. Masexisteumafunc aoinjetivaf : A P(A) denida por f(x) = {x}.Ent ao, card(A) < card(P(A)) para todo conjunto A.No caso particular em que A = N, temos quecard(N) < card(P(N))ou seja, P(N) n ao e enumer avel.Instituto de Matem atica - UFF 27J. Delgado - K. Frensel 28Parte 2O conjunto dos n umeros reaisNeste captulo, adotaremos o m etodo axiom atico para apresentar osn umeros reais. Isto e, faremos uma lista dos axiomas que apresentam oconjunto R dos n umeros reais como um corpo ordenado completo.Mas surge, naturalmente, uma pergunta: Existe um corpo ordenadocompleto? Ou melhor: partindo dos n umeros naturais, seria possvel, pormeio de extens oes sucessivas do conceito de n umero, chegar ` a construc aodos n umeros reais?A resposta e armativa e a passagem crucial e dosracionais para os reais. Por exemplo:Dedekind construiu o conjunto dosn umerosreaispormeiodecortes(deDedekind), cujoselementoss aocolec oes de n umeros racionais; e Cantor obteve um corpo ordenado com-pleto cujos elementos s ao as classes de equival encia de seq u encias deCauchy de n umeros racionais.Provada a exist encia, surge uma outra pergunta relevante: ser a queexistem dois corpos ordenados completos com propriedades diferentes?A resposta e negativa, ou seja, dois corpos ordenados completos diferemapenas pela natureza de seus elementos, mas n ao pela maneira como oselementos se comportam. A maneira adequada de responder a quest aodaunicidade easeguinte: Dados Ke Lcorposordenadoscompletos,existe um unico isomorsmo f : K L, ou seja, existe uma unica bijec aof : K L tal que f(x+y) = f(x)+f(y) e f(x y) = f(x) f(y). Como, al emdisso, o fato def preservar a soma implica quex x.Observac ao 3.1 Em particular,x>0 se, e s o se,x P ex y, pois x + (y) P.Proposic ao 3.1A relac ao de ordemx 0 e y > 0, ent aoxy> 0, poisxy= xy1e y1> 0. Se x < y, x > 0 e y > 0, ent ao1y0 exy>0, ent aox1 y1=1x1y=y xxy>0,ou seja, x1> y1.

Denic ao 3.2Num corpo ordenado, dizemos que x e menor ou igual ay, e escrevemosx y, sex 0 .Faca x1 =a +b2, e dena por induc ao, xn+1 =a +xn2.Instituto de Matem atica - UFF 43An alise na RetaEnt ao, a < . . . < xn+1 < xn < . . . < x2 < x1 < b.Como a func ao : N (N) (a, b), dada por i xi, e uma bijec ao,(N) e um conjunto innito enumer avel.Fig. 1: Construc ao da sequ encia x1,x2,...,xn,....Denic ao 4.1Numcorpoordenado K, denimosovalorabsolutooum odulo de um elementox K, designado|x|, como sendox, sex 0, ex, se x < 0. Assim,|x| =___x , se x > 00 , se x = 0x , se x < 0Observac ao 4.3Tem-se|x| = max{x, x} ,e, portanto, |x| x e |x| x, ou seja, |x| x |x|.Proposic ao 4.1Seja K um corpo ordenado ea, x K. As seguintesarmac oes s ao equivalentes:(1) a x a;(2) x ae x a;(3) |x| a.Prova.Temos quea x a a x e x a a x e a x a max {x, x} = |x| .

Corol ario 4.1Dados a, b, x K, tem-se|x a| bse, e s o se, a b x a +b.J. Delgado - K. Frensel 44IntervalosProva.De fato, |xa| b se, e s o se, b xa b, ou seja, ab x a+b(somando a).

Observac ao 4.4Todas as armac oes da proposic ao e do seu corol arios ao verdadeiras com < em vez de .Em particular,x (a , a +) a < x < a + |x a| < .Assim, o intervalo aberto(a , a + ), de centroa e raio, e formadopelos pontos x K cuja dist ancia, |x a|, de a e menor do que .Fig. 2:x (a,a+) |xa| pq, pois|p| +1 pq=|p|q +q pqe(|p|q +q p)q = |p|q2+q2pq = |p| |q|2+ |q|2pq |p| |q| + |q|2pq |q|2 1 > 0 .

Exemplo 4.2Nocorpo Q(t)dasfrac oesracionais, oconjunto Ndosn umeros naturais e limitado inferior e superiormente, pois N [0, +) en 0

J. Delgado - K. Frensel 46N umeros reaisTeorema 4.1Numcorpo ordenado K, as seguintes armac oes s ao equi-valentes:(a) N K e ilimitado superiormente;(b) dados a, b K, com a > 0, existe n N tal que na > b.(c) dado a > 0 em K, existe n N tal que 0 0,existe n N tal que n >ba. Logo, na > a ba= b.(b)=(c)Dadoa>0, existe, por(b), n Ntal quena>1. Ent ao0 1b1. Logo, n0 +1 >1b.Pela desigualdade de Bernoulli, temos queInstituto de Matem atica - UFF 49An alise na Reta2n0= (1 +1)n0 1 +n0 >1b ,ou seja, b >12n0. Assim, 0 = inf X.Mostraremos, agora, que alguns conjuntos limitados de n umeros ra-cionais n ao possuem nmo ou supremo em Q.Lema 5.1(Pit agoras)N ao existe um n umero racional cujo quadrado seja igual a 2.Prova.Suponhamos, por absurdo, que existepq Q tal que_pq_2= 2 ,ou seja p2= 2q2.O fator2 aparece um n umero par de vezes na decomposic ao dep2e deq2em fatores primos.Comop2possui umn umeropardefatoresiguaisa2e2q2possui umn umero mpar de fatores iguais a 2, chegamos a uma contradic ao.Exemplo 5.4SejamX = {x Q| x 0 e x2< 2} e Y=_x Q| y > 0 e y2> 2_.ComoX [0, 2], poisx >2implicaquex2>4, X eumsubconjuntolimitado.Sendo Y [0, +), Y e limitado inferiormente.Mostraremos que X n ao possui um supremo em Q e que Y n ao possui umnmo em Q.(1) O conjunto X n ao possui elemento m aximo.Seja b X, ou seja b 0 e b2< 2. Como2 b21 +2b> 0 e Q e arquimediano,existe n N tal que1nb. Assim, dadob X existeb + r X tal queb +r > b.Logo, X n ao possui maior elemento.(2) O conjunto Y n ao possui elemento mnimo.Sejab Y, ou seja,b>0 eb2>2. Sendo Q arquimediano eb2 2>0,existe n N tal que0 < r =1n b22br > b2b2+2 = 2eb r > b b222b= b b2+1b=b2+1b> 0 ,ou seja, b r Y e b r < b. Assim, X n ao possui menor elemento.(3) Se x X e y Y, ent ao x < y.De fato, x2 0, ou seja, y > x, pois y +x > 0. Usando (1), (2) e (3) vamos provar que n ao existem supX e inf Y em Q. Suponhamos, primeiro, que existe a = supX, a Q. Ent ao, a > 0e a2 2, pois se a2< 2, a pertenceria a X e seria seu maior elemento.Sea2>2, ent aoa Y. Comoa n ao e o menor elemento deY, existeb Y tal queb 2 > 1 para todo y Y, ou seja, y > 1 para todo y Y.Seb2>2 eb>0,b Y e seria o seu menor elemento, o que e absurdopor (2).Instituto de Matem atica - UFF 51An alise na RetaLogo, b2 2. Se b2< 2, ent ao b X. Como b n ao e o maior elemento deX, existea X tal queb 0 e b > 0.Al em disto, a R Q.Denic ao 5.4O conjunto I= R Q e o conjunto dos n umeros irracio-nais.Exemplo 5.7 2 I .Exemplo 5.8Dadosa>0emRen N, n 2, existeum unicon umero real b>0 tal quebn=a. O n umerob chama-se raizn esimade a e e representado pelo smbolona.Consideremos os conjuntos:X = {x R| x 0 e xn< a} e Y= {y R| y > 0 e yn> a}O conjunto Y e limitado inferiormente pelo zero.O conjunto X n ao e vazio, pois 0 X, e e limitado superiormente. De fato:sea 1, ent ao1 ecotasuperiordeX, poissez 1, tem-sequezn 1 a, ou seja, z X. Logo, X [0, 1].sea>1, ent aoan>aparatodon 2. Logo, sez a, tem-sezn an> a, ou seja, z X. Assim, X [0, a).Como R e completo, existe b = supX. Vamos provar que bn= a.Instituto de Matem atica - UFF 53An alise na Reta(1) X n ao possui elemento m aximo.Dadox X, mostremos que existed>0 tal que(x + d)n x.Armac ao: Dado x > 0 existe, para cada n, um n umero real positivo An,que depende de x, tal que (x +d)n xn+And seja qual for 0 < d < 1.Vamos provar esta armac ao por induc ao em n.Para n = 1, basta tomar A1 = 1. Supondo verdadeiro para n, temos que(x +d)n+1= (x +d)n(x +d) (xn+and)(x +d)= xn+1+Andx +dxn+And2= xn+1+ (Anx +xn+And)d< xn+1+ (Anx +xn+An)d,j a que 0 < d < 1. Tomando An+1 = Anx +xn+An, temos que(x +d)n+1 xn+1+An+1d.Dado x X, isto e, x 0 e xn< a, tome d R tal que0 < d < min_1,a xnAn_.Ent ao,(x +d)n xn+And < xn+An(a xn)An= a,ou seja,x + d X ex + d>x, o que prova queX n ao possui elementom aximo.(2) O conjunto Y n ao possui elemento mnimo.Seja y Y. Mostremos que existe d R tal que 0 < d < y e (yd)n> a,ou seja, y d Y e y d < y.Seja 0 < d < y. Ent ao, 0 ynnyn1(yna)nyn1= ynyn+a = a,J. Delgado - K. Frensel 54N umeros reaisou seja, y d > 0 e (y d)n> a.(3) Se x X e y Y ent ao x < y.De fato, como xn< a < yn, x 0 e y > 0, temos que x < y, pois xn< yne, portanto,ynxn= (y x)(yn1+yn2x +. . . +yxn2+xn1) > 0 .Comoyn1+yn2x +. . . +yxn2+xn1> 0,temos que y x > 0, ou seja, x < y.Exerccio 8: Prove queynxn= (yx)`yn1+yn2x+... +yxn2+xn1,quaisquerquesejamx,y Ren N. Vamosprovar, agora, usando(1), (2) e(3), queseb =supX, ent aobn= a.Se bn< a, temos que b X, o que e absurdo, poisb = supXe, portanto, o elemento m aximo de X, o que contradiz (1).Se bn> a, ent ao b Y, pois b > 0.Como,por (2), Yn ao possui um elemento mnimo,existec Ytal quec < b.Exerccio 9: Mostrar queY = e bn=a, onde b=inf Y.Exerccio 10: Mostrar que existeum unicob>0emRtal quebn=a(ver observac ao 5.9).Por (3),x b. Logo,(a, b) Z {n0, . . . , n0 + (m0 n0)} ,que e um conjunto nito.Como j a provamos que (a, b) e um conjunto innito, temos que o conjunto(a, b) (R Z) e, tamb em, innito e, em particular, e n ao-vazio.Teorema 5.1O conjunto Q dos n umeros racionais e o conjunto R Qdos n umeros irracionais s ao densos em R.Prova.Seja (a, b), a < b, um intervalo aberto qualquer em R.Armativa 1: Existe um n umero racional em (a, b).Como b a > 0, existe p N tal que1p< b a.Seja A =_m Zmp b_.J. Delgado - K. Frensel 56N umeros reaisComo R e arquimediano, A e um conjunto n ao-vazio de n umeros inteiros,limitado inferiormente porpb R, e, portanto limitado inferiormente porum n umero inteiro.Ent ao, pelo Princpio de Boa Ordenac ao (ver pag. 42), existem0 A talque m0 m para todo m A.Logo, comom0 1bnparatodon N, ouseja, (bn)nN eumaseq u enciacrescente.Observe ainda que (bn)nN e uma seq u encia limitada, pois0 < bn < 1 +1 +12!+13!+. . . +1n!< 3 ,para todo n N.Importante: Provaremosdepoisque as seq u encias (an)nNe(bn)nNdos exemplos 1.8 e 1.9convergem para o n umero e.Nota: Dadosa,b R, a 0 .Fig. 1: Posicionamento dos pontos da seq u encia (xn)nN.J. Delgado - K. Frensel 70Seq u enciasArmac ao 2:x2n+1 =12_1 +14+. . . +14n1_para todo n N.De fato: Se n = 1, x3 =0 +12=12=12 1 . Suponhamos a armac ao verdadeira para n.Ent ao, como x2n+1 < x2n+3 < x2n+2, temos quex2(n+1)+1= x2n+3 = x2n+1 +12 (x2n+2 x2n+1)=12_1 +14+. . . +14n1_+12 (1)2n+222n=12_1 +14+. . . +14n1_+12 14n=12_1 +14+. . . +14n1+14n_.Armac ao 3:x2n = 1 _14+. . . +14n1_para todo n N, n 2.De fato: Se n = 2, x4 = 1 14 . Suponhamos que a igualdade seja v alida para n.Ent ao, como x2n+1 < x2(n+1) < x2n, temos quex2n+2= x2n 12 (x2n x2n+1) = x2n +12 (x2n+1 x2n)= 1 _14+. . . +14n1_+(1)2n+12 22n1= 1 _14+. . . +14n1_14n= 1 _14+. . . +14n1+14n_. Assim, como1 +14+. . . +14n1+14n=1 14n+11 14 0 n0 N; xn (a , a +) , n > n0Assim, a= limnxn se, es ose, todointervaloabertodecentroacont em todos os termosxn da seq u encia, salvo, talvez, para um n umeronito de ndices n.J. Delgado - K. Frensel 72Limite de uma seq u enciaObservac ao 2.1 Quando limnxn = a, dizemos que a seq u encia (xn)nN converge para aou tende para a e escrevemos, tamb em, xna. Uma seq u encia que possui limite chama-se convergente. Caso contr ario,chama-sedivergente, ouseja, umaseq u encia(xn)nN edivergentese,para nenhum n umero real a, e verdade que limnxn = a. limnxn =a se, e s o se, existe0>0 tal que para todon0 N existen1 > n0 com |xn1a| 0.Teorema 2.1(Unicidade do Limite)Se a =limnxn e b =limnxn, ent ao a = b.Prova.Suponhamos a = b e seja =12 |b a| > 0. Temos que: (a , a + ) (b , b + )= , pois se existissex (a , a + ) (b , b +), teramos que:|b a| = |b x +x a| |b x| + |x a| < + = 2 = |b a| . Existe n0 N tal que xn (a , a +) para todo n > n0.Logo, xn (b , b +) para todo n > n0. Ent ao limnxn= b.Teorema 2.2Se limnxn =a ent ao toda subseq u encia de (xn)nN con-verge para a.Prova.Seja(xnk)kN uma subseq u encia de(xn)nN. Dado>0, existen0 Ntal que |xn a| < para todo n > n0.Como o conjunto N= {n1 < n2 < . . . < nk < . . .} e ilimitado, existe k0 Ntal que nk0> n0.Logo, nk > nk0> n0 e |xnka| < para todo k > k0.Corol ario 2.1Se limnxn = a ent ao, para todo k N, limnxn+k = a.Instituto de Matem atica - UFF 73An alise na RetaProva.De fato, ( x1+k,x2+k,. . .,xn+k,. . . ) e uma subseq u encia de(xn)nNe,portanto, converge para a.Observac ao 2.2Olimitedeumaseq u encian aosealteraquandodelaseomiteumn umero nito de termos. Ou melhor, pelo teorema 2.2, o limite se mant emquando se omite um n umero innito de termos desde que reste ainda umn umero innito de ndices.Exerccio 12: Se (xn+k)nNconverge para a, para algum k N, ent ao xn a. Se (xn)nN possui duas subseq u encias comlimites distintos ent ao (xn)nN e divergente. Se (xn)nN converge e a subseq u encia (xnk)kN converge para a, ent aoxna.Teorema 2.3Toda seq u encia convergente e limitada.Prova.Sejaa = limnxnetome =1. Ent ao, existen0Ntal quexn(a 1, a +1) para todo n > n0.SejamA={a 1, a + 1, x1, . . . , xn0}, M=max A em=minA. Ent aom xn M para todo n N, ou seja, (xn)nN e limitada.Observac ao 2.3A recproca do teorema anterior n ao e verdadeira. Porexemplo, aseq u encia(0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) elimitada, masn ao econver-gente, poisx2n=1 1ex2n1=0 0, ouseja(xn)nNpossuiduas subseq u encias que convergem para limites diferentes.Observac ao 2.4Se uma seq u encia n ao e limitada, ela n ao e conver-gente.Teorema 2.4Toda seq u encia mon otona limitada e convergente.Prova.Suponhamos que (xn)nN e n ao-decrescente, isto e,xn xn+1 para todon N.Seja b R tal que xn b para todo n N e seja a = sup{xn| n N}.J. Delgado - K. Frensel 74Limite de uma seq u enciaVamos mostrar que a =limnxn.Dado>0, comoa 0 existe n0 N tal que1n0< .Ent ao, 1, a seq u encia (an)nN e divergente, pois e crescente e ilimitadasuperiormente. Se a < 1, a seq u encia (an)nN e divergente, pois n ao e limitada supe-riormente nem inferiormente.Se0 1para todon n0,pois a seq u encia__1a_n_nN e crescente e ilimitada superiormente, j aque1a> 1. Logo, < an< n n0.Se1 n0.Logo,xn 11 a =|an+1||1 a|< para todo n n0.J. Delgado - K. Frensel 76Limite de uma seq u enciaO mesmo vale para a tal que 0 |a| 1, ou seja, limnxn =11 a, apesarde (xn)nN n ao ser mon otona para 1 < a < 0.Exemplo 2.8Sejam an = 1 +11!+12!+. . . +1n!+. . . e bn =_1 +1n_n,para todo n N.Como as seq u encias(an)nN e(bn)nN s ao crescentes e limitadas, elass ao convergentes.Mostraremosdepoisque limnan= limnbn=e, ondee eabasedoslogaritmos naturais.Exemplo 2.9Seja (xn)nN a seq u encia dada porx1 = 0 , x2 = 1 e xn+2 =xn +xn+12, n N.J a vimos que:x2n+1 =12_1 +14+. . . +14n1_=12____1 _14_n1 14____=23_1 14n_,ex2n= 1 _14+. . . +14n1_= 2 _1 +14+. . . +14n1_= 2 ___1 14n1 14___= 2 43_1 14n_=23+43 14n .Ent ao a subseq u encia(x2n1)nN e crescente limitada superiormente e asubseq u encia (x2n)nN e decrescente limitada inferiormente.Armac ao 1: limnx2n1 =23 .Com efeito, dado>0, existen0 N tal que14nn0,pois limn14n= 0, j a que 0 n0.Armac ao 2: limnx2n =23 .Instituto de Matem atica - UFF 77An alise na RetaDado > 0 , n0 N tal que14n0 existemn1, n2 N tais que|xn a| n1,npar, e |xn a| < se n > n2, n mpar.Sejan0=max{n1, n2}. Ent ao, |xn a| n0, poisn>n0 n1 e n > n0 n2.Pelas 3 armac oes acima, temos que a seq u encia (xn)nN e convergentee limnxn =23.Exemplo 2.10Como a seq u encia(nn)nN e decrescente a partir doterceiro termo e e limitada inferiormente por 0, temos que (nn)nN e con-vergente. Mostraremos depois que limnnn = 1 .3. Propriedades aritm eticas dos limitesTeorema 3.1Selimnxn = 0 e (yn)nN e uma seq u encia limitada, ent aolimn(xnyn) = 0.Prova.Seja c R, c > 0, tal que |yn| < c para todo n N.Dado >0existen0 Ntal que|xn| n0. Logo,|xnyn| < c c= para todo n > n0.Isso mostra que limn(xnyn) = 0.Exemplo 3.1ParatodoxN, limnsen(nx)n=0, poisaseq u encia(sen(nx))nN e limitada j a que | sen(nx)| 1, e a seq u encia_1n_nNcon-verge para zero.J. Delgado - K. Frensel 78Propriedades aritm eticas dos limitesObservac ao 3.1Se limnyn=b eb =0, ent ao existen0 N tal queyn= 0 para todo n > n0.De fato, seja = |b| > 0. Ent ao existe n0 N tal que yn (b |b|, b + |b|)para todon>n0, ou seja,b |b|b |b| =b b=0 para todon>n0, seb>0, ouyn n0, se b < 0. Assim, yn= 0 para todo n > n0, seb = 0.No item3 do teorema abaixo, vamos considerar a seq u encia_xnyn_nNa partir de seu n0 esimo termo, onde n0 N e tal que yn= 0 se n n0.Teorema 3.2Se limnxn = a e limnyn = b, ent ao:(1) limn(xn +yn) = a +b; limn(xn yn) = a b;(2) limn(xn yn) = a b;(3) limxnyn=ab, se b = 0.Prova.(1) Dado > 0 existem n1, n2 N tais que|xn a| n1,|yn b| n2.Seja n0 = max{n1, n2}. Ent ao,|(xn +yn) (a +b)| = |(xn a) + (yn b)| |xn a| + |yn b| n0.Se prova, de modo an alogo, que (xn yn) (a b) .(2) Como xnyn ab =xnyn xnb + xnb ab =xn(yn b) + (xn a)b,limn(xna) =limn(ynb) = 0 e (xn)nN e limitada, por ser convergente,temos que limnxn(yn b) =limn(xn a)b = 0, pelo teorema 3.1.Instituto de Matem atica - UFF 79An alise na RetaLogo, pelo item (1),limn(xnyn ab) =limnxn(yn b) +limn(xn a)b = 0 .Assim, limnxnyn = ab.(3) Pelo item (2), limnynb = b2. Ent ao, dado =b22 , existe n0 N tal queynb > b2b22=b22> 0 para todo n > n0.Segue-se que 0 0. Se a = 1,na = 1 para todo n N, logo, limnna = 1.Sejam b =n+1a e c =na, ou seja, bn+1= cn= a.J. Delgado - K. Frensel 80Propriedades aritm eticas dos limites Se a > 1, ent aona e decrescente e limitada.De fato, b =n+1a > 1, pois bn+1= a > 1, e bn< bnb = bn+1= cn.Logo, b < c, ou seja,n+1a 1 para todo n N. Se 0 < a < 1, ent aona e crescente e limitada.De fato, b =n+1a < 1, pois bn+1= a < 1, e bn> bnb = bn+1= cn.Logo, b > c, ou seja,n+1a >na ena < 1 para todo n N.Como, paratodoa>0, aseq u encia(na)nN emon otonaelimitada,temos, pelo teorema 2.4, que existe limnna = .Armac ao: limnna => 0.Se a > 1, limnna = inf{na| n N} 1, pois (na)nN e decrescente e 1 e uma cota inferior.Se0 0 para todo n n0.Prova.Dado=a2>0, existen0 N tal quea a2 0 para todo n n0.Observac ao 3.3De modo an alogo, sexn alimnyn.Ent ao, limn(xn yn) = limnxn limnyn>0. Logo, existen0 N talquexn yn>0, ou seja, xn>yn para todon n0. o que contradiz ahip otese.Observac ao 3.4Quandoxn0en0 N, existen>n0tal quexn (a, a+). Logo, pelo teorema 4.1, a e valor de ader encia de (xn).Vamos, agora, provar que a e o menor valor de ader encia de (xn).Seja c < a. Como a = liman, existe n0 N, tal que c < an0 a. Ou seja,c < an0 xn, para todo n n0,pois an0= inf{xn0, xn0+1, . . .}.Instituto de Matem atica - UFF 87An alise na RetaTomando=an0 c, temos quec + =an0. Logo,xn c + , ou seja,xn (c , c +) para todo n n0.Assim, c n ao e valor de ader encia de (xn).A demonstrac ao de queb=limsupxn e o maior valor de ader encia de(xn) se faz de modo an alogo.Corol ario 4.1Todaseq u encialimitadaden umerosreaispossui umasubseq u encia convergente.Prova.Comoa=liminf xn e valor de ader encia de(xn), (xn) possui uma sub-seq u encia que converge para a.Corol ario 4.2Uma seq u encia limitada de n umeros reais (xn) e conver-gente se, e s o se, liminf xn=limsupxn, isto e, se, e s o se, (xn) possuium unico valor de ader encia.Prova.(=)Se(xn) econvergenteelimxn=c, ent aoc eo unicovalordeader encia de (xn).Logo, liminf xn = limsupxn = limxn.(=) Suponhamos que a = liminf xn = limsupxn.Como liman = limbn = a, dado > 0, existe n0 N tal quea < an0 a bn0< a +.Mas, an0 xn bn0 para todo n n0. Logo,a < an0 xn bn0< a + ,para todo n n0.Assim, limxn = a.Teorema 4.3Sejama=liminf xn eb=limsupxn,onde(xn) e umaseq u encia limitada.Ent ao, dado >0, existen0 Ntal quea 0. Suponhaqueexisteumainnidadede ndicesntaisquexn < a . Estes ndices formam um subconjunto N N innito.Ent ao, a subseq u encia(xn)nN possui um valor de ader enciac a ,poisxn a para todo n > n2.De modo an alogo,suponha que existe uma innidade de ndicesn taisquexn>b+. Ent aoestes ndicesformamumsubconjunto N Ninnito. A subseq u encia (xn)nNpossui um valor de ader encia c b + ,j a quexn>b + para todon N, o que e absurdo, poisc b + >beb eomaiorvalordeader enciade(xn). Logo, existen2 Ntal quexn < b + para todo n > 1.Seja n0 = max{n1, n2}. Ent ao a < xn < b + para todo n > n0. Seja a < a e tome =12(a a). Ent ao, a + = a .Sendoa um valor de ader encia de(xn), existe uma innidade de ndicesn tais que a < xn < a + = a . Logo, nenhum n umero real a> agoza da propriedade acima. Seja b< b e tome =12b b. Ent ao, b + = b .Comob e valor de ader encia de(xn), existe uma innidade de ndicesntais queb + =b a = c para todo n > n1.De modo an alogo, podemos provar a armac ao comrespeito aolimsupxn = b, tomando = d b > 0.Instituto de Matem atica - UFF 89An alise na RetaCorol ario 4.4Dada uma seq u encia limitada (xn), sejam a e b n umerosreais com as seguintes propriedades: se c < a, ent ao existe n1 N tal que xn > c para todo n > n1; se b < d, ent ao existe n2 N tal que xn < d para todo n > 2.Nestas condic oes a liminf xn e limsupxn b.Os corol arios acima apenas repetem, com outras palavras, as ar-mac oes do teorema 4.3.Semusarasnoc oesdelimitesinferioresuperiordeumaseq u encialimitada vamos provar que:Toda seq u encia limitada de n umeros reais possui uma sub-seq u encia convergente.Veja, tamb em, o exerccio 15.Prova.Suponhamos que xn [a, b] para todo n N. SejaA = {t R| t xn para uma innidade de ndices n} .Como a xn b para todo n N, temos que a A e nenhum elementode A pode ser maior do que b.Assim, A = e e limitado superiormente por b.Portanto, existe c = supA.Vamosusaroteorema4.1paraprovarquec evalordeader enciadaseq u encia (xn).Dado > 0, existe t A tal que c < t c. Logo, h a uma innidade dendices n tais que c < xn.Por outro lado, como c + A, existe apenas um n umero nito de ndicesn tais que xn c +.Assim, existe um n umero innito de ndices n tais que c < xn < c+.Observac ao 4.3c = limsupxn. Sejam Xn={xn, xn+1, . . .} e bn=supXn, n N. Por denic ao,limsupxn = inf bn.Armac ao: c bnpara todon N, ou seja, c e uma cota inferior doconjunto {bn| n N}.J. Delgado - K. Frensel 90Seq u encias de CauchySeja n N. Como bn xm para todo m n, temos que se t bn, ent aot xm para todo m n.Logo, A (, bn), ou seja, c = supA bn. Comoc bn para todon N e=limsupxn=infnNbn, temos quec . Suponhamos, por absurdo, que c < .Logo, A,ou seja,existen1 N tal que>xn para todon n1.Ent ao, bn para todon n1. Mas,=infnNbn, ou seja, bn paratodo n N.Assim, = bn = supXnpara todo n n1.Tome =12( c) . Ent ao, paratodon n1, existem>ntal que < xm, ou seja, xm >12( +c) > c .Portanto, o conjunto dos ndices ntais que12( + c) c = supA, o que e uma contradic ao.Logo, c = supA = = limsupxn.5. Seq u encias de CauchyDenic ao 5.1Dizemos que uma seq u encia(xn) e de Cauchy quandopara todo>0 dado, existirn0 N, tal que|xm xn| n0.Teorema 5.1Toda seq u encia convergente e de Cauchy.Prova.Sejaa=limxn. Dado >0, existen0 Ntal que|xm a| 0. Ent ao,existen0 N tal que|xm xn| n0.Com isto, provamos que a = limxn.Teorema 5.2Toda seq u encia de Cauchy de n umeros reais converge.Prova.Seja (xn) uma seq u encia de Cauchy.Pelo lema 5.1,(xn) e limitada e, portanto, pelo corol ario 4.1,(xn) possuiumasubseq u enciaconvergente. Ent ao, pelolema5.2, (xn) econver-gente.J. Delgado - K. Frensel 92Seq u encias de CauchyObservac ao 5.1(M etodo das aproximac oes sucessivas)Seja0 0 , existe n0Ntal que0 n11 |x2 x1| < para todon > n0.Logo, |xn+pxn| < para todo p N e todo n > n0, ou seja, |xmxn| < quaisquer que sejam m, n > n0.Ent ao, (xn) e de Cauchy e, portanto, converge.Aplicac ao: Aproximac oes sucessivas da raiz quadradaSejaa>0esejaaseq u enciadenidapor x1=c, ondec eumn umero real positivo arbitr ario, e xn+1 =12_xn +axn_, para todo n N.Seprovarmosqueaseq u encia econvergenteelimxn=b>0,ent ao teremos queb = limxn+1 = lim12_xn +axn_=12_b +ab_.Logo, b =ab, ou seja, b2= a.Instituto de Matem atica - UFF 93An alise na RetaPara isto, precisamos provar antes o seguinte lema:Lema 5.3Para todo x > 0, tem-se12_x +ax_>_a2.Prova.12_x +ax_>_a2 x +ax>2a2x2+ 2a +a2x2>2a,o que everdadeiro, pois x2 0 ea2x2 0. Pelo lema, temos que xn >_a2 , para todo n > 1. Portanto, xnxn+1 >a2 ,ou seja,a2 xnxn+1< 1 para todo n > 1 .Armac ao:|xn+2 xn+1| 12 |xn+1 xn| para todo n > 1.De fato, comoxn+2 xn+1=12_xn+1 +axn+1_12_xn +axn_=12(xn+1 xn) +a2_1xn+11xn_=12(xn+1 xn) +a2_xn xn+1xn+1xn_,temos que|xn+2 xn+2||xn+1 xn|=12a2 xnxn+112 ,pois 0 0, pois xn >_a2, para todo n > 1.6. Limites innitosDenic ao 6.1Dizemos que uma seq u encia(xn) tende para mais in-nito,e escrevemos limxn=+,quando para todo n umero real A>0dado, existir n0 N tal que xn > A para todo n > n0.J. Delgado - K. Frensel 94Limites innitosExemplo 6.1Sexn=n, ent ao limxn=+, pois dadoA>0, existen0 N tal que n0 > A. Logo xn = n > A para todo n > n0.Exemplo 6.2Seja a seq u encia (an), onde a > 1.Como a > 1, existe h > 0 tal que a = 1 +h. Dado A > 0, existe n0 N talque n0 >A1h. Logo, pela desigualdade de Bernoulli,an= (1 +h)n 1 +nh > 1 +n0h > A,para todo n > n0.Logo, liman= +se a > 1.Maisgeralmente, umaseq u encian ao-decrescente(xn)ou econver-gente, se for limitada, ou limxn = +, se for ilimitada.Defato, se(xn) en ao-decrescenteilimitada, dadoA>0, existen0 N tal que xn0> A. Logo, xn xn0> A para todo n n0.Observac ao 6.1Se limxn = +, ent ao (xn) e ilimitada superiormente,mas e limitada inferiormente.Observac ao 6.2Selimxn=+, ent aotodasubseq u enciade(xn)tamb em tende para +.Exemplo 6.3Para todop N, limnnp=+, pois(1p, 2p, . . . , np, . . .) e uma subseq u encia da seq u encia (1, 2, . . . , n. . .) que tende para +.Exemplo 6.4A seq u encia(pn)nN, para todop N, tende para+,pois e crescente e ilimitada superiormente, j a que(pnp)nN=(n)nN euma subseq u encia ilimitada superiormente da seq u encia (pn)nN.Exemplo 6.5A seq u encia(nn)nNtende para+, poisnnn paratodo n N e a seq u encia (n) tende para +.Denic ao 6.2Dizemos que uma seq u encia (xn) tende para , e es-crevemos limxn=,quando para todoA>0 existirn0 N tal quexn < A para todo n > n0.Observac ao 6.3limxn = +lim(xn) = .Instituto de Matem atica - UFF 95An alise na RetaObservac ao 6.4Se limxn= ent ao(xn) e ilimitada inferiormente,mas e limitada superiormente.Exemplo 6.6A seq u encia((1)nn)nNn ao tende para+ nem para, pois ela e ilimitada superiormente e inferiormente.Exemplo 6.7A seq u encia(0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .) e ilimitada superiormentee limitada inferiormente, mas n ao tende para+, pois possui uma sub-seq u encia (x2n1 = 0) que n ao tende para +por ser constante.Teorema 6.1(Operac oes aritm eticas com limites innitos)(1)Selimxn=+easeq u encia(yn) elimitadainferiormente, ent aolim(xn +yn) = +.(2) Se limxn=+ e existec>0 tal queyn>c para todon N, ent aolim(xnyn) = +.(3) Seja xn > 0 para todo n N. Ent ao limxn = 0 lim1xn= +.(4) Sejam (xn) e (yn) seq u encias de n umeros positivos. Ent ao:(a) se existec>0 tal quexn>c para todon N e se limyn=0,ent ao limxnyn= +.(b) se (xn) e limitada e limyn = +, ent ao limxnyn= 0 .Prova.(1) Existeb0,temosqueA b>0. Logo, existen0 N tal quexn >A b para todon>n0.Assim, xn+yn>Ab+b=A paratodo n>n0e, portantolim(xn +yn) = +.(2) DadoA>0 existen0 N tal quexn>Acpara todon>n0. Logo,xnyn >Acc = A para todo n > n0. Portanto, limxnyn = +.(3)Suponhamosquelimxn=0 . DadoA>0, existen0 Ntal que0n0. Logo,1xn>A para todon>n0. Assim,lim1xn= +.J. Delgado - K. Frensel 96Limites innitosSuponhamos, agora, quelim1xn= +.Dado > 0 existe n0 N tal que1xn>1para todon > n0.Ent ao < 0 < xn < para todo n > n0.Logo, limxn = 0.(4) (a) Dado A > 0 , existe n0 Ntal que 0 < yn cc/A= Apara todon > n0.Logo, limxnyn= +.(b) Sejab>0 tal que 0bpara todo n > n0.Ent ao, 0 n se n 2.E, portanto, lim(n n2) = .Instituto de Matem atica - UFF 97An alise na RetaExemplo 6.11Sexn=neyn=(1)nn, ent aolimxn=+elimyn=, masaseq u encia(xn +yn) =((1)n)n aopossui limitealgum.Observac ao 6.6 e indeterminado,ou seja,se limxn=+elimyn=+,nada se pode dizer sobre o limite da seq u encia_xnyn_.Pode ser que essa seq u encia convirja, que tenha limite+ ou que n aotenha limite algum.Exemplo 6.12Se xn = n+1 e yn = n1, ent ao limxn = limyn = +,elimxnyn= limn +1n 1= lim1 +1/n1 1/n= 1 .Exemplo 6.13Sexn=n2eyn=n,ent ao limxn=limyn=+ elimxnyn= limn = +.Exemplo 6.14Se xn = (2 + (1)n)ne yn = n, ent ao, limxn = +,limyn = +, mas a seq u encia_xnyn_= (2 + (1)n) n ao possui limite.Exemplo 6.15Se xn=an, a>0 e yn=n, ent ao limxn=+limyn = +elimxnyn= lima = a.Exemplo 6.16Se a > 1 , ent aolimannp= +, para todo p N.Como a > 1, a = 1 +h, onde h > 0. Logo, para todo n p,an= (1 +h)n=nj=0_nj_1njhjp+1j=0_nj_hj= 1 +nh +n(n 1)2!h2+. . . +n(n 1) . . . (n p)p!hp.Da,annp1np+hnp1+12_1 1n_h2np2+. . .+1(p 1)!_1 1n_. . ._1 p 1n_hp1+np!_1 1n_. . ._1 pn_hp.J. Delgado - K. Frensel 98S eries num ericasComolimn_1np+hnp1+12_1 1n_h2np2+. . . +1(p 1)!_1 1n_. . ._1 p 1n_hp1+np!_1 1n_. . ._1 pn_hp_= +,temos que limnannp= +, qualquer que seja p N.Isto signica que as pot enciasan, a>1, crescem comn mais rapida-mente do que qualquer pot encia de n de expoente xo.Exemplo 6.17Mas, limnannn= 0 , a > 0 .De fato, seja n0 Ntal quean0 n0, temos quen!an=n0!an0n0 +1a. . .n0 + (n n0)a>n0!an02nn0,ou seja,n!an>n0!(2a)n02n. Como lim2n= +, temos que limn!an= +.Isso signica que n! cresce mais r apido do que an, para a > 0 xo.7. S eries num ericas A partir de uma seq u encia de n umeros reais(an) formamos uma novaseq u encia (sn), cujos termos s ao as somas:sn = a1 +. . . +an, n N,que chamamos as reduzidas da s erien=1an.Instituto de Matem atica - UFF 99An alise na RetaA parcela an e chamada o n esimo termo ou termo geral da s erie.Se existe o limites =limnsn =limn(a1 +. . . +an) ,dizemos que a s erie e convergente e ques e a soma da s erie. Escreve-mos, ent ao,s =n=1an = a1 +a2 +. . . +an +. . . .Se a seq u encia das reduzidas n ao converge,dizemos que a s eriean e divergente ou que diverge.Notac ao: Usaremostamb emanotac ao anpara designar as erien=1an.Observac ao 7.1Todaseq u encia(xn)podeserconsideradacomoaseq u encia das reduzidas de uma s erie.De fato, basta tomara1=x1 ean+1=xn+1 xn, para todon N, pois,assim, teremos:s1= x1,s2= a1 +a2 = x1 +x2 x1 = x2,......sn= x1 + (x2 x1) +. . . + (xn xn1) = xn.Assim, a s erie x1+n=1(xn+1xn) converge se, e s o se, a seq u encia (xn)converge. E, neste caso, a soma da s erie e igual a limxn.Teorema 7.1Sean e uma s erie convergente, ent ao, liman = 0.Prova.Seja s = limsn, onde sn = a1 +. . . +an.Ent ao, limsn1 = s. Logo, como an = sn sn1, temos queliman = lim(sn sn1) = limsn limsn1 = 0.Exemplo 7.1A recproca do teorema acima e falsa.Defato, bastaconsideraras erieharm onican=11n. Seutermogeral1ntende para zero, mas a s erie diverge.J. Delgado - K. Frensel 100S eries num ericasCom efeito, para todo n 1, temoss2n = 1 +12+_13+14_+_15+16+17+18_+. . . +_12n1+1+. . . +12n_> 1 +12+24+48+. . . +2n12n= 1 +n12 ,Logo, a subseq u encia(s2n) tende a+. Como a seq u encia(sn) e cres-cente e ilimitada superiormente, temos quesn +, ou seja, a s erieharm onican=1diverge. Como consequ encia, para 0 < r < 1, a s erien=11nr diverge, pois1nr>1npara todo n > 1.Lembreque: nr=er log n 0 tal que sn = a1 +. . . +an < k para todo n N.Prova.Como an 0 para todo n, a seq u encia (sn) e mon otona n ao-decrescente.Logo, (sn) converte se, e somente se, (sn) e limitada.Corol ario 7.1(Crit erio de comparac ao)Sejam an e bn s eries de termos n ao-negativos. Se existemc>0en0 N tais quean cbn para todon n0, ent ao a converg encia debn implica a converg encia de an, enquanto a diverg encia de anacarreta a debn.Prova.Sejam sn = an0+. . . +an e tn = bn0+. . . +bn para todo n n0.Instituto de Matem atica - UFF 103An alise na Reta Se a s eriebn converge, existek>0 tal queb1 + . . . + bn 1, temos22r< 1. Logo, a s erien=0_22r_nconverge e e, portanto,limitada. Assim, sm0 dado,existe n0 N tal que|an+1 +. . . +an+p| < ,quaisquer que sejam n > n0 e p N.Prova.Seja (sn) a seq u encia das reduzidas da s eriean.Comosn+p sn=an+1 +. . . +an+p, bastaaplicar ` aseq u encia(sn)ocrit erio de Cauchy para seq u encias.Denic ao 7.1Umas erie an chama-seabsolutamenteconvergentequando a s erie|an| e convergente.Exemplo 7.6Toda s erie convergente cujos termos n ao mudam de sinal e absolutamente convergente.Exemplo 7.7Se 1 < a < 1, a s erie geom etricaan e absolutamenteconvergente.Mas nem toda s erie convergente e absolutamente convergente.Exemplo 7.8A s erien=1(1)n+1n e convergente,mas n ao e absoluta-mente convergente.J a provamos que a s erien=1(1)n+1n=n=11n , e divergente. Vamos mostrar agora que a s erie(1)n+1n e convergente. Suas reduzidas de ordem par s ao:s2= 1 12 ; s4=_1 12_+_1314_; . . . ;s2n=_1 12_+_1314_+. . . +_12n 112n_; . . .Instituto de Matem atica - UFF 105An alise na RetaComo_1j 11j_>0, para todoj>1, temos que a subseq u encia (s2n) e crescente.Al em disso, (s2n) e limitada superiormente.Com efeito, existe c > 0 tal ques2n=12 1+13 4+. . . +1(2n 1) (2n)< 1 +132+. . . +1(2n 1)2< c ,para todon N, pois a s erie1n2 e convergente e, portanto, limitada.Logo, existe lims2n = s. Suas reduzidas de ordem mpar s ao:s1= 1 ; s3=1 _1213_; . . . ;s2n1= 1 _1213_+. . . +_12n 212n 1_; . . .Ent ao a subseq u encia (s2n1) e decrescente.Al em disso, como, para todo n N,s2n1= 1 12 314 5. . . 1(2n 2)(2n 1)> 1 122142. . . 1(2n 1)2> 1 _1 +122+132+. . . +1(2n 1)2_.eas erie 1n2 econvergente, temosqueasubseq u encia(s2n1)con-verge, pois (s2n1) e limitada inferiormente.Seja s= lims2n1.Comos2n+1 s2n=12n +1 0, temos ques=s. Logo, a seq u encia(sn) converge, e s = s= s=n=1(1)nn.Denic ao 7.2Seas erie an econvergente, masas erie |an| edivergente, dizemos quean e condicionalmente convergente.J. Delgado - K. Frensel 106S eries num ericasTeorema 7.4Toda s erie absolutamente convergente e convergente.Prova.Se a s erie|an| converge, dado > 0, existe n0 N tal que|an+1| +. . . + |an+p| < ,quaisquer que sejam n > n0 e p N. Logo, como|an+1 +. . . +an+p| |an+1| +. . . + |an+p| < ,temos, pelo crit erio de Cauchy para s eries, que a s eriean converge.Corol ario 7.2Sejabn uma s erie convergente com bm 0 para todon N.Se existemk>0 en0 N tais que|an| kbn para todon>n0, ent ao as eriean e absolutamente convergente.Prova.Dado > 0, existe n1 N tal que|bn+1 +. . . +bn+p| = bn+1 +. . . +bn+p n1 e p N.Tome n2 = max{n1, n0}. Ent ao,|an+1| +. . . + |an+p| k(bn+1 +. . . +bn+p) < ,quaisquer que sejam n > n0 e p N.Corol ario 7.3Se, para todon>n0 tem-se|an| kcn, onde0 n0.Logo, limsupn_|an| c < 1.Instituto de Matem atica - UFF 107An alise na RetaE reciprocamente, se limsupn_|an| n0. Ent ao,|an0+2||an0+1| bn0+2bn0+1,|an0+3||an0+2| bn0+3bn0+2, . . . ,|an||an1| bnbn1.Multiplicando membro a membro essas desigualdades, obtemos|an||an0+1| bnbn0+1,ou seja,|an| k bn, ondek=|an0+1|bn0+1. Ent ao, pelo corol ario -, a s eriean e absolutamente convergente.Corol ario 7.6Se existe uma constantec tal que0 c para todo n p. Assim,ap+1ap> c ,ap+2ap+1> c , . . .,anan1> c ,para todo n > p. Multiplicando membro a membro as np desigualdades,obtemos queanap>cnp,ou seja,nan>cnk para todon>p,ondek =apcp. Logo,inf {nan,n+1an+1, . . . } inf_cnk, cn+1k, . . ._pois,inf_cnk, cn+1k, . . ._ cmk p. Ou seja,inf_cnk, cn+1k, . . ._ e uma cotainferior do conjunto {nan,n+1an+1, . . . }.Assim, temos queliminfnan liminf cnk = limcnk = c ,o que e absurdo, pois estamos supondo que liminfnan < c.A desigualdadelimsupnan limsupan+1anprova-se de modo an alogo.Exemplo 7.14Consideremos a seq u encia (xn), ondex2n1 = anbn1e x2n = anbn, n N,J. Delgado - K. Frensel 112S eries num ericasou seja, x = (a, ab, a2b, a2b2, a3b2, . . .), onde a, b R.Comoxn+1xn=b, sen e mpar, exn+1xn=a, sen e par, temos que n aoexiste limxn+1xn.Mas,lim2n1x2n1= lim(anbn1)12n1= liman2n1bn12n1= lima12+12(2n1)b1212(2n1)=a_lima12(2n1)_ b_limb12(2n1)_=ablim2nx2n= lim2nanbn= limab =abLogo, limnxn =ab.Este exemplo mostra que pode existir o limite da raiz sem que existao limite da raz ao.Exemplo 7.15Seja xn =1nn!. Tome yn =1n!. Ent ao, xn =nyn.Comolimyn+1yn= lim1(n +1)! n! = lim1n +1= 0 ,temos que limnyn tamb em existe elimnyn = limyn+1yn= 0 .Logo, limxn = limnyn = 0.Exemplo 7.16Seja xn =nnn!e considere yn =nnn! . Ent ao,nyn = xn.Comoyn+1yn=(n +1)n+1(n +1)!n!nn=(n +1)(n +1)nn!n!(n +1)nn=_1 +1n_ne ,temos que existe limnyn. Logo,Instituto de Matem atica - UFF 113An alise na Retalimxn = limnyn = limyn+1yn= e .Teorema 7.7(Teorema de Dirichlet)Seja an umas eriecujasreduzidassn=a1 +. . .+an formamumaseq u encia limitada.Seja (bn) uma seq u encia n ao-crescente de n umerospositivos com limbn = 0. Ent ao a s erieanbn e convergente.Prova.Vamos mostrar, primeiro, por induc ao, que, para todo n 2,a1b1 +a2b2 +a3b3 +. . . +anbn =ni=2si1(bi1 bi) +snbn,ou seja,a1b1 +a2b2 +. . . +anbn= a1(b1 b2) + (a1 +a2)(b2 b3)+ (a1 +a2 +a3)(b3 b4)+ . . . + (a1 +. . . +an) bn.De fato Se n = 2, a1b1 +a2b2 = a1(b1 b2) + (a1 +a2)b2. Suponhamos que a igualdade e verdadeira para n. Ent ao,a1b1 +a2b2 +. . . +anbn +an+1bn+1=ni=2si1(bi1 bi) +snbn +an+1bn+1=ni=2si1(bi1 bi) +sn(bn bn+1) +snbn+1 +an+1bn+1=n+1i=2si1(bi1 bi) +sn+1bn+1.Como a seq u encia(sn) e limitada, existek>0 tal que|sn| k para todon N.Temostamb emqueareduzidadeordemndas eriedetermosn ao-negativosn=2(bn1 bn) e b1 bn+1, que converge para b1.J. Delgado - K. Frensel 114S eries num ericasLogo, a s erien=2sn1(bn1bn) e convergente, pois a s erien=2(bn1bn)converge e|sn1(bn1 bn)| k(bn1 bn) , para todo n 2.Ent ao a s erien=1anbn e convergente, pois limsnbn=0, ou seja, a redu-zidani=2si1(bi1 bi) +snbn de ordem n da s erieanbn converge.Corol ario 7.8(Crit erio de Abel)Se a s eriean e convergente e(bn) e uma seq u encia n ao-crescente elimitada inferiormente, ent ao a s erieanbn e convergente.Prova.Como a seq u encia(bn) e n ao-crescente e limitada inferiormente, existelimbn = b e b bn para todo n N.Logo, lim(bn b) = 0 e (bn b) e uma seq u encia n ao-crescente.Ent ao, pelo teorema de Dirichlet, a s eriean(bn b) e convergente e,portanto, a s erieanbn tamb em e convergente, j a que a s eriebnanconverge.Corol ario 7.9(Crit erio de Leibniz)Se a seq u encia (bn) e n ao-crescente e limbn = 0, ent ao a s erie(1)nbn e convergente.Prova.Pelo teorema de Dirichlet, a s erie(1)nbn converge, pois as reduzidasda s erie(1)ns ao limitadas por 1.Exemplo 7.17A s erie(1)nnr e convergente para todor>0, pois aseq u encia1nr e decrescente e tende para zero.Logo, a s erie(1)nnr e condicionalmente convergente para0 00 se an 0 .O n umero pn e chamado parte positiva de an.Analogamente, denimos a parte negativa de an como sendo o n umeroqn =___0 se an 0anse an < 0 .Ent ao, para todo n N temos pn 0 , qn 0 ean = pn qn; |an| = pn +qn; |an| = an +2qn; |an| = 2pn an. Sean e absolutamente convergente ent ao, para todo k N, temos:n=1kn=1|an| =kn=1pn +kn=1qn.Logo, as s eriespn eqn s ao convergentes, pois suas reduzidas for-J. Delgado - K. Frensel 116Aritm etica de s eriesmam seq u encias n ao-decrescentes limitadas superiormente porn=1|an|.E, reciprocamente, se as s eriespn eqn s ao convergentes, ent ao as eriean e absolutamente convergente. Mas, se a s eriean e condicionalmente convergente, ent ao as s eriespn eqn divergem. De fato, se pelo menos uma dessas s eries con-verge, a s eriean tamb em converge.Suponha, por exemplo, que a s erieqn converge.Ent ao, a s erie|an| converge, poiskn=1|an| =kn=1an +2kn=1qnn=1an +2n=1qn.O caso em que a s eriepn converge, prova-se que a s erie|an| con-vergedemodoan alogousandoarelac ao|an| =2pnan, paratodon N.Exemplo 7.19J a sabemos que a s erien=1(1)n+1n= 112+1314+. . . econdicionalmente convergente. Logo, a s erie das partes positivaspn =1+0+ 13 +0+. . . e a s erie das partes negativasqn = 0+ 12 +0+ 14 +. . .divergem.8. Aritm etica de s eriesVamos investigar, agora, se as propriedades aritm eticas, tais comoassociatividade e comutatividade, se estendem das somas nitas para ass eries.Associatividade: Dadaumas erie anconvergente, aoinserirmospar enteses entre seus termos, formamos uma nova s erie cuja seq u encia(tn) das reduzidas e uma subseq u encia da seq u encia (sn) das reduzidasda s eriean.Como (sn) e uma seq u encia convergente, (tn) tamb em o e, ou seja,Instituto de Matem atica - UFF 117An alise na Retaa nova s erie e convergente e sua soma e igual a s =n=1an.Por exemplo, a reduzida tn da s erie(a1 +a2) + (a3 +a4) + (a5 +a6) +. . . e igual a s2n.Dissociatividade: Aodissociarmosostermosdeumas erieconver-gente, podemos obter uma s erie divergente, pois a s erie original pode serobtida da nova s erie por associac ao de seus termos. Logo, a seq u enciadas reduzidas(sn) da s erie original e uma subseq u encia das reduzidas(tn) da nova s erie. Assim, (sn) pode convergir sem que (tn) convirja.Porexemplo, dadaas erie anconvergente, podemosdissociarseus termos da forma an = an +1 1. Ent ao, a nova s eriea1 +1 1 +a2 +1 1 +a3 +1 1 +. . .diverge, pois seu termo geral n ao converge para zero.Mas, quando a s eriean e absolutamente convergente e dissocia-mos seus termos como somas nitas an = a1n +. . . +akn de parcelas como mesmo sinal, a nova s erie obtida converge e converge para a mesmasoma.Suponhamos, primeiro, quean 0paratodon N. Seescre-vermos cadaan como uma soma nita de n umeros n ao-negativos, obte-mosumanovas erie bn, combn 0, cujaseq u enciadasreduzidas(tn) e uma seq u encia n ao-decrescente, que possui como subseq u encia aseq u encia (sn) das reduzidas da s eriean.Como a subseq u encia (sn) e limitada superiormente, por ser conver-gente, ent ao (tn) e, tamb em, limitada superiormente. Logo, (tn) convergee converge para o mesmo limite da subseq u encia(sn). Ou seja, a novas eriebn converge e tem somabn =an.Seja, agora, uma s eriean absolutamente convergente.Sepn eqn s ao,respectivamente,a parte positiva e a parte nega-tiva dean, temos que as s eriespn eqn t em todos os termos n ao-negativos, s ao convergentes, ean =pn qn.J. Delgado - K. Frensel 118Aritm etica de s eriesComo toda dissociac ao dosan em somas nitas de parcelas comomesmosinal determinaumadissociac aoem pn eoutraem qn,temos, pelo visto acima, que esta dissociac ao mant em a converg encia eo valor da soma das s eriespn eqn.Logo, a nova s erie e convergente e tem a mesma soma quean.Exemplo 8.1Sejaman ebn s eries convergentes com somass et, respectivamente. J a sabemos que a s erie(an + bn)=(a1 + b1) +(a2 +b2) +. . . converge para s +t.Vamos provar que a s erie a1 +b1 +a2 +b2 +. . ., obtida pela dissociac aodos termos da s erie(an +bn) converge e sua soma e s +t.Observamos primeiro, que esta armac ao n ao decorre do provado acima,pois n ao estamos supondo que as s eries an e bn sejam absoluta-mente convergentes e nem que os seus termos an e bn tenham o mesmosinal.Sejam sn e tn as reduzidas das s eriesan ebn respectivamente.Ent ao, a s erie a1+b1+a2+b2+a3+b3+. . . tem como reduzidas de ordempar r2n = sn+tne como reduzidas de ordemmpar r2n1 = sn1+tn1+an.Logo, limrn = s +t , ou seja, a s erie a1+b1+a2+b2+. . . e convergentee tem soma s +t. Comutatividade: Dada uma s eriean, mudar a ordemde seus termossignica considerar uma bijec ao: N N para formar uma nova s eriebn, cujo termo geral e bn = a(n), para todo n N.Denic ao 8.1Uma s eriean e comutativamente convergente quando,para toda bijec ao : N N, a s eriebn, cujo termo geral e bn = a(n), e convergente ean =bn.Exemplo 8.2A s erien=1(1)n+1n=1 12+1314+ . . . e convergente,mas n ao e absolutamente convergente.Provaremos depois que a soma sda s erie do exemplo 8.2 e igual alog 2, usando a s erie de Taylor dafunc ao logaritmo.Seja s =n=1(1)n+1n. Multiplicando os termos da s erie por12, obtemosInstituto de Matem atica - UFF 119An alise na Retas2=n=1(1)n+12n=1214+1618+110 . . .Ent ao,s2= 0 +12+0 14+0 +16+0 18+0 +110 . . . ,pois, se incluirmos zeros entre os termos de uma s erie, n ao alteramos asua converg encia e nem a sua soma. Defato, sesn etn s aoas reduzidasdas erie an eda s erie bn,obtidaacrescentandozerosentreosseustermosan, temosque, dadon0 N, existe m0 N tal que tm0= sn0.Assim, se|sn s| c . n4 N o menor ndice tal quep1 +. . . +pn1q1 . . . qn2 +pn1+1 +. . . +pn3qn2+1 . . . qn4< c .Esses ndices existem, poispn = +e qn = +.Prosseguindo desta maneira, obtemos uma reordenac ao da s erie tal queas reduzidas tn da nova s erie tendem para c.De fato, para todo i 3 mpar, temostni+ni+1=nij=1pj ni+1=1q < c 1 +q1, n2 N tal que n2 > n1 ep1 +. . . +pn1q1 +pn1+1 +. . . +pn2> 2 +q2, n3 N tal que n3 > n2 ep1 +. . . +pn1q1 +pn1+1 +. . . +pn2q2 +pn2+1 +. . . +pn3> 3 +q3.Prosseguindo desta maneira, obtemos uma reordenac ao da s eriean,de modo que as reduzidas tn da nova s erie satisfazem:tni+(i1) > i +qi > i e tni+i > i , para todo i N.Al em disso, sen ni + (i 1), existej i tal quen=nj + (j 1) oun = nj +j ou nj +j < n < nj+1 +j.Logo, tn > j i, pois tnj+1+j = tnj+j +pnj+1 +pnj+1 .Como, dadoA>0, existei0 N, tal quei0>A, temos quetn>i0>Apara todo n ni0+(i01)Portanto, as reduzidas da nova s erie tendem para +.Paraprovarqueexisteumareordenac aodostermosdas erie an demodo que a nova s erie tenha soma, basta trocarpi porqi no argu-mento acima.Corol ario 8.1Uma s eriean e absolutamente convergente se, e so-mente se, e comutativamente convergente.Teorema 8.3Sen0an en0bn s ao s eries absolutamente convergen-tes, ent ao(an)(bn) =cn,ondecn = a0bn +a1bn1 +. . . +anb0para todo n 0.Prova.J a sabemos que, para todo n 0,J. Delgado - K. Frensel 124_ni=0ai_ _nj=0bj_=ni,j=0aibj = x0 +x1 +. . . +xn,ondexn=ni=0aibn +n1j=0anbj= a0bn +a1bn +. . . +anbn +anbn 1 +. . . +anb0.E, portanto, (an)(bn) =xn.Peladissociac aodostermosxn, obtemosas erie aibj, cujostermoss ao ordenados de modo que as parcelas de xn precedem as de xn +1.Para cada k 0, a reduzida de ordem (k +1)2da s erie|aibj| eki,j=0|ai| |bj| =_ki=0|ai|_ _kj=0|bj|__n0|an|_ _n0|bn|_,ou seja, a subseq u encia das reduzidas de ordem (k+1)2da s erie|aibj| e limitada.Logo, a seq u encia das reduzidas da s erie|aibj| e convergente, por sern ao-decrescente e limitada, j a que possui uma subseq u encia limitada.Assim, a s erieaibj e absolutamente convergente.Reordenando e depois associando os termos da s erieaibj, obtemos anova s eriecn, onde cn = a0bn +. . . +anb0 =i+j=naibj.Como a s erieaibj e absolutamente convergente, temos que_n0an_ _n0bn_=n0xn =aibj =n0cn.Instituto de Matem atica - UFF 125J. Delgado - K. Frensel 126Conjuntos abertosParte 4Topologia da retaNesta parte estudaremos as propriedades topol ogicas do conjuntodos n umeros reais, de modo a estabelecer os conceitos de limite e conti-nuidade de func oes reais de vari avel real.1. Conjuntos abertosDenic ao 1.1Sejam X R e x X. Dizemos que x e um ponto interiordeXquandoexisteumintervaloaberto(a, b)tal quex (a, b) X.Istosignicaquetodosospontossucientementepr oximosdexaindapertencem ao conjunto X.Observac ao 1.1x e um ponto interior do conjunto X se, e s o se, existe > 0 tal que (x , x +) X.De fato, se x (a, b) X, tome = min{x a, b x} > 0.Ent ao, a x 0 talque |y x| < =y X.Instituto de Matem atica - UFF 127An alise na RetaDe fato,|y x| < < y x < x < y < x + y (x , x +).Denic ao 1.2O interior do conjunto X, representado por int X, e o con-junto dos pontos x X que s ao interiores a X.Observac ao 1.3 int X X. X Y ent ao int X int Y.Seint X =, Xcont emumintervaloaberto, sendo, portanto, inniton ao-enumer avel.Logo, int X = , se X e nito ou innito enumer avel.Em particular int N = int Z = int Q = . O conjunto R Q dos n umeros irracionais, apesar de ser innito n ao-enumer avel, tamb empossui interior vazio, pois todo intervalo aberto cont emum n umero racional.Exemplo 1.1SeX=(a, b)ouX=(, b)ouX=(a, +), ent aoint X = X.De fato,no primeiro caso,para todox X,temosx (a, b) X. Nosegundo caso, dadox X, temosx (x 1, b) X, e, no terceiro caso,dado x X, temos x (a, x +1) X.Logo, X int X, ou seja, X = int X.Exemplo 1.2Sejam X = [c, d], Y= [c, +) e Z = (, d]. Ent ao,int X = (c, d) , int Y= (c, +) , int Z = (, d) .Defato, sex (c, d), temosquex (c, d) X. Logo, (c, d) int X.Al em disso, como para todo intervalo aberto (a, b) contendo c, (a, c) X,temos que c int X.Domesmomodo, d int X, poisparatodointervaloaberto(a, b)quecont em d, temos que (d, b) X. Ent ao, int X (c, d). Logo, int X = (c, d).Analogamente, podemos provar os outros casos e, tamb em, queint(c, d] = int[c, d) = (c, d).J. Delgado - K. Frensel 128Conjuntos abertosDenic ao 1.3Dizemos que umsubconjunto A R e umconjunto abertoquando todos os seus pontos s ao interiores, isto e, quando int A = A.Assim, A R eabertose, esomentese, paracadax Aexisteumintervalo aberto (a, b) tal que x (a, b) A.Exemplo 1.3O conjunto vazio e aberto,pois um conjuntoX s o deixade ser aberto se existir algum ponto de X que n ao est a em seu interior.Exemplo 1.4A reta R e um conjunto aberto.Exemplo 1.5Um intervalo e um conjunto aberto se, e s o se, e um in-tervalo aberto. Ou seja, os intervalos da forma(a, b), (a, +), (, b)s ao os unicos tipos de intervalos que s ao conjuntos abertos (ver exemplo1.2).Exemplo 1.6Todo conjunto aberto n ao-vazio e n ao-enumer avel.Em particular, todos os subconjuntos de Q e todos os subconjuntos nitosde R n ao s ao abertos.Exemplo 1.7Nenhumsubconjuntodoconjuntodosn umerosirracio-nais e aberto, pois todo intervalo aberto cont em um n umero racional.Teorema 1.1A intersec ao de um n umero nito de conjuntos abertos eum conjunto aberto.Prova.Sejam A1, . . . , An R conjuntos abertos e sejaA = A1 . . . An.Se x A, ent ao x Ai para todo i = 1, . . . , n.Logo, paracadai =1, . . . , nexisteumintervaloaberto(ai, bi)tal quex (ai, bi) Ai.Sejam a = max{a1, . . . , an} e b = min{b1, . . . , bn}.Como para todo i = 1, . . . , n ai < x < bi, temos que ai a < x < b bi.Ou seja x (a, b) (ai, bi) Ai para todo i = 1, . . . , n.Logo, x (a, b) A.Instituto de Matem atica - UFF 129An alise na RetaTeorema 1.2Se(A) L eumafamliaarbitr ariadesubconjuntosabertos na reta R, ent ao a reuni ao:A =_LA e um conjunto aberto.Prova.Se x A =LA, ent ao existe 0 L tal que x A0.Como A0 e aberto, existe um intervalo aberto (a, b) tal quex (a, b) A0.Logo, x (a, b) A, pois A0 A.Observac ao 1.4Se (a1, b1) (a2, b2) = , ent ao(a1, b1) (a2, b2) = (a, b),onde a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}.De fato, como existe x (a1, b1) (a2, b2), temosa1 < x < b1 e a2 < x < b2.Logo, a1 < b1, a1 < b2 e a2 < b1, a2 < b2.Ent ao,a= max{a1, a2} a, ent ao y > a1 e y > a2, e se y < b, ent ao y < b1 e y < b2.Logo, se y (a, b), ent ao y (a1, b1) (a2, b2).E, reciprocamente, sey (a1, b1) (a2, b2), ent aoy>a1, y>a2ey < b1, y < b2. Logo, a < y < b, ou seja y (a, b) .Observac ao 1.5A intersec ao de uma innidade de conjuntos abertospode n ao ser um conjunto aberto.Por exemplo, considere, para cada n N, o conjunto aberto An =_1n,1n_e seja A =nNAn.Ent ao, A = {0} e, portanto, A n ao e aberto.De fato, como 0 An para todo n N, temos que 0 A.Seja, agora,x =0. Como|x| >0, existen0 N tal que0b2>b3>. . . >bn>. . . pertencentes aE K e limbn=x ,pois|x bn| =13n0+n1, para todo n N. Logo, x K.Demodoan alogo, podemosprovarquesex E eaextremidadees-querda de um intervalo retirado durante a construc ao do conjunto de Can-tor, ent ao x K.Observe, tamb em, que0, 1 K, pois13n ,113nE K, paratodon N, e13n 0 e 1 13n 1.Assim, todo ponto de K e um ponto de acumulac ao de K.Exemplo 3.3Q=(R Q)= R= R, pois todo intervalo aberto de Rcont em uma innidade de n umeros racionais e irracionais (por qu e?).Exemplo 3.4(a, b)= [a, b)= (a, b]= [a, b]= [a, b] (verique!).Denic ao 3.2Um pontoa X que n ao pertence aX e um ponto iso-lado de X.Assim, a X e um ponto isolado deX se, e s o se, existe>0 tal que(a , a +) X = {a}.Instituto de Matem atica - UFF 145An alise na RetaExemplo 3.5Todo ponto a Z e um ponto isolado de Z, pois(a 1, a +1) Z = {a}.Observac ao 3.1X n ao possui ponto isolado se, e somente se, X X.Em particular, Q e o conjunto de CantorK n ao possuem pontos isolados,pois Q Q= R e K K.Teorema 3.2Para todo X R, tem-se X = X X.Ou seja, o fecho de um conjunto X e obtido acrescentando-se a X os seuspontos de acumulac ao.Prova.Pela denic ao de ponto aderente e de ponto de acumulac ao, temos queX X e X X. Logo, X X X.Seja, agora, a X tal que a X.Ent ao, dado >0, existexXtal quex(a, a+), ouseja,x (a , a +) X.Como a X, temos que x = a. Logo, (a , a +) X {a} = .Assim, se a X, ent ao a X ou a X, isto e, X X X.Observac ao 3.2X eX podem ter intersec ao n ao-vazia.Por exemplo,se X = (0, 1), ent ao X= [0, 1].Corol ario 3.2X e fechado se, e somente se, X X.Prova.X e fechado X = X X = X XX X.Exemplo 3.6SeK eoconjuntodeCantor, ent aoK=K, poisK efechado, ou seja, K K, e tamb em K K, pelo exemplo 3.2.Corol ario 3.3Um conjunto X R e fechado sem pontos isolados se, esomente se, X= X.J. Delgado - K. Frensel 146Pontos de acumulac aoCorol ario 3.4Se todos os pontos do conjuntoX s ao isolados, ent aoX e enumer avel.Prova.Seja E X um subconjunto enumer avel denso em X, ou seja, X E.Sejax X. Ent aox E. Comox X, temos, tamb em, quex E, poisE X.Logo, x E. Assim, X = E e, portanto, X e enumer avel.Denic ao 3.3Dizemosquea epontodeacumulac ao` adireitadeXquando (a, a +) X = para todo > 0.Indicaremos X+ o conjunto dos pontos de acumulac ao` a direita de X.Observac ao 3.3a e ponto de acumulac ao` a direita deX todo in-tervalo da forma(a, a + ), >0,cont em uma innidade de pontos deX a e ponto de acumulac ao deX [a, +) a e limite de umaseq u encia decrescente de pontos deX todo intervalo aberto(a, b)cont em algum ponto de X.Veriquemos apenas que a e ponto de acumulac ao ` a direita de X se, e s ose, a e limite de uma seq u encia decrescente de pontos de X. De fato, seja (xn) uma seq u encia decrescente de pontos de X que con-verge para a e seja > 0.Ent ao, existen0 Ntal quea xna para todo n N, pois xn >xn+1a para todo n N.Logo, {xn| n n0} X (a, a +), ou seja, X (a, a +) e innito.Suponhamos, agora, que a e ponto de acumulac ao` a direita de X.Seja x1 (a, a +1) X. Suponhamos que seja possvel encontrar pontosx1, . . . , xn X tais que xn < xn1 < . . . < x1 e a < xj < a +1j, j = 1, . . . , n.Seja = min_1n +1 ,xn a_> 0.Ent ao, existe xn+1 X tal que a < xn+1 < a +.Instituto de Matem atica - UFF 147An alise na RetaLogo, a < xn+1 < a +1n +1 e xn+1 < a +xn a = xn.Isto completa a denic ao, por induc ao, da seq u encia (xn) decrescente depontos de X tal que a < xn < a +1n para todo n N.Logo, limxn = a.Denic ao 3.4Dizemos que a e ponto de acumulac ao ` a esquerda de X,quando (a , a) X = , para todo > 0.Indicaremos por X o conjunto dos pontos de acumulac ao` a esquerda deX.Observac ao 3.4a Xtodo intervalo aberto da forma (a , a), > 0, cont emuma innidade de pontos de X a e ponto de acumulac aodo conjuntoX (, a] a e limite de uma seq u encia crescente depontos de X todo intervalo aberto (c, a) cont em algum ponto de X.Exemplo 3.7SeX=_1,12, . . . ,1n, . . ._, ent ao0 e ponto de acumulac ao` a direita de X, mas n ao e ponto de acumulac ao` a esquerda de X.Exemplo 3.8Todo pontox X=(a, b) e ponto de acumulac ao` a es-querda e ` a direita de X, mas a e apenas ponto de acumulac ao ` a direita deX e b e apenas ponto de acumulac ao` a esquerda de X.Exemplo 3.9Seja K o conjunto de Cantor. J a provamos que K = K. O ponto 0 e apenas ponto de acumulac ao ` a direita e o ponto 1 e apenasponto de acumulac ao` a esquerda de K. se a K e extremidade inferior de algum dos intervalos retirados, ent aoa e apenas ponto de acumulac ao` a esquerda de K.Defato, se(a, x) eointervaloabertoretiradonan0 esimaetapa, vairestar,nesta etapa,um intervalo do tipo[b1, a] de comprimento13n0. E,nas etapas seguintes, v ao sobrar intervalos[b2, a], [b3, a], . . . , [bn, a], . . .,tais que [bn+1, a] [bn, a] e a bn =13n0+n+1 para todo n N.Assim, (bn) e uma seq u encia crescente de pontos deK tais quebn a.Logo, a K.J. Delgado - K. Frensel 148Pontos de acumulac aoComo (a, x) K = , temos que a K+. Se a e extremidade superior de algum intervalo aberto retirado, ent ao a e apenas ponto de acumulac ao ` a direita de K. A demonstrac ao e an aloga` a anterior. Sea K e a E {0, 1}, ent aoa e ponto de acumulac ao` a esquerda e` a direita de K.De fato, suponhamos, por absurdo, que existe > 0 tal que(a , a) X = .Ent ao, (a, a) (c, d), onde (c, d) e um dos intervalos abertos retirados.Logo, como a K, devemos ter d = a, ou seja, a E, o que e absurdo.Assim, a e ponto de acumulac ao` a esquerda de K.De modo an alogo, podemos provar que a e ponto de acumulac ao ` a direitade K.Lema 3.1SejaF R n ao-vazio, fechado e sem pontos isolados. Paratodox R, existeFx limitado, n ao-vazio, fechado e sem pontos isoladostal que x Fx F.Prova.ComoF=F eF = , temos queF = . Logo,F=F e innito. Ent ao,existe y F tal que y = x.Seja [a, b] um intervalo fechado tal que x [a, b] e y (a, b).SejaG=(a, b) F. Ent ao, G e limitado e n ao-vazio, poisy G. Al emdisso, G n ao possui pontos isolados.De fato, se c e um ponto isolado de G, existe > 0 tal que(c , c +) (a, b) F = {c}.Ent ao, para = min{, b c, c a}, temos(c , c +) (a, b) (c , c +)e, portanto,(c , c + ) F={c}, o que e absurdo, poisF n ao possuipontos isolados.Se G e fechado, basta tomar Fx = G, pois x G.Suponhamos que G n ao e fechado.Instituto de Matem atica - UFF 149An alise na RetaComo G [a, b] F, ent ao ou a G ou b G.Acrescentamos, ent ao esse(s) ponto(s) a G para obter Fx.Assim, x Fx, Fx e fechado e n ao e vazio, pois Fx = G. Al em disso, Fx n aopossui pontos isolados.De fato, j a provamos que se c G = (a, b)F, ent ao c n ao e ponto isoladode G, e, portanto, n ao e ponto isolado de G.Suponhamos quea G e ponto isolado deG. Ent aoa G, e, portanto,a e ponto de acumulac ao de G, o que e absurdo.De modo an alogo, prova-se que b n ao e ponto isolado de G, caso b G.Logo, Fx = G n ao possui pontos isolados.Teorema 3.3Se F e um conjunto n ao-vazio, fechado e sem pontos iso-lados, ent ao F e n ao-enumer avel.Prova.Seja X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um subconjunto enumer avel de F.Pelo lema anterior, existe um conjuntoF1 n ao-vazio, limitado, fechado, esem pontos isolados tal que x1 F1 F.Suponhamos que existem subconjuntosF1, F2, . . . , Fn, n ao-vazios, limita-dos, fechados e sem pontos isolados tais queFn . . . F2 F1 F e xj Fj, para todo j = 1, . . . , n.Ent ao, pelo lema, existeFn+1 n ao-vazio, limitado, fechado e sem pontosisolados tal que xn+1 Fn+1 Fn.Obtemos, assim, uma seq u encia decrescente (Fn) de conjuntos n ao-vazios,fechados, limitadosesempontosisoladostaisquexn Fnparatodon N.ComoFn =, paratodon N, existeyn Fn. Aseq u encia(yn) elimitada, pois yn Fn F1 para todo n N e F1 e limitado.Logo, aseq u encia(yn)nNpossui umasubseq u encia(ynk)kNconver-gente.Seja y =limkynk.J. Delgado - K. Frensel 150Conjuntos compactosDado j N, temos que ynk Fj para todo nkj. Logo, y Fj, para todoj N, pois Fj e fechado e ynk y.Assim,y F ey =xn para todon N. Ou seja,y F ey X. Logo,Fn ao e enumer avel.Corol ario 3.5Todo conjunto fechado n ao-vazio enumer avel possui al-gum ponto isolado.Corol ario 3.6O conjunto de Cantor e n ao-enumer avel.4. Conjuntos compactosDenic ao 4.1UmacoberturadeumconjuntoXR eumafamliaC= (C)L de subconjuntos C R tais que X _LC.Uma subcobertura de C e uma subfamlia C=(C)L , L L, tal queX _LC.Exemplo 4.1SejaX=_13,34_eseja C ={C1, C2, C3}umafamliadesubconjuntos de R, ondeC1 =_0,23_, C2 =_13, 1_e C3 =_12,910_.Ent ao, C eumacoberturadeX, pois X C1 C2 C3= (0, 1) eC= {C1, C2} e uma subcobertura de C, pois X C1 C2 = (0, 1).Exemplo 4.2 C= (Cn)nZ, onde Cn = [n, n+1), n Z, e uma coberturade R que n ao possui uma subcobertura pr opria, pois os conjuntos Cn s aodois a dois disjuntos.Exemplo 4.3SejaX=_1,12, . . . ,1n, . . ._. Ent aoX e innito e todos osseus pontos s ao isolados, pois X= {0} e, portanto, X X= .Assim, para cada x X, existe um intervalo de centro x tal que IxX = {x}.Instituto de Matem atica - UFF 151An alise na RetaComo X =_xX{x} _xXIx X, temos que X =_xXIx, ou seja C= (Ix)xX euma cobertura de X.Mas C n ao possui uma subcobertura pr opria, pois sex X, ent aox Iy,para todo y = x, y X, j a que Iy X = {y}.Teorema 4.1(Borel-Lebesgue)Seja[a, b] um intervalo limitado e fechado. Dada uma famlia(I)L deintervalos abertos tais que[a, b] _LI,existe um n umero nito delesI1, . . . , In, tais queI I1 . . . In. Ou seja, toda cobertura de[a, b]por meio de intervalos abertos possui uma subcobertura nita.Prova.SejaX = {x [a, b][a, x] pode ser coberto por um n umero nito dos intervalos I} .Como X e limitado e n ao-vazio, pois X [a, b] e a X, existe c = supX.Armac ao:c X.Como a x b para todo x X, temos que a c b, ou seja, c [a, b].Ent ao existe 0 L tal que c I0= (, ).Sendo< supX=c, existex X tal que0, o intervalo aberto(a , a + ) cont em innitos pontosdeX e, portanto, cont em termosxn com ndices arbitrariamente grandes.Logo, a e valor de ader encia da seq u encia (xn) ou seja, a e limite de umasubseq u encia de (xn).(4) =(1) Suponhamos que K n ao e limitado superiormente. Ent ao, paratodo n N, existe xn K tal que xn > n.J. Delgado - K. Frensel 154Conjuntos compactosSeja(xn)nN uma subseq u encia de(xn). Como N N e ilimitado, paratodo n N existe n N tal que n> n.Logo, xn >n>n. Ent ao,a subseq u encia(xn)n Nn ao e limitadasuperiormente e, portanto, n ao e convergente.Assim, a seq u encia (xn)nN de pontos de Kn ao possui uma subseq u enciaconvergente, o que e absurdo. Logo, K e limitado superiormente.De modo an alogo, podemos provar que K e limitado inferiormente. Ent ao,K e limitado.Seja (xn) uma seq u encia convergente de pontos de K comlimxn = x.Como(xn)possui umasubseq u encia(xnk)kNqueconvergeparaumponto de K e limkxnk= x, temos que x K.Logo, K e fechado.Corol ario 4.1Todaseq u encialimitadaden umerosreaispossui umasubseq u encia convergente.Prova.Seja (xn) uma seq u encia limitada de n umeros reais e sejaX = {x1, x2, . . . , xn, . . .}.Como X e limitado, existem a, b R, a < b, tais que X [a, b].Ent ao, X [a, b]. Ou seja, X e fechado e limitado. Logo, pelo teoremaanterior, a seq u encia (xn) de pontos de X possui uma subseq u encia con-vergente.Corol ario 4.2(Bolzano-Weierstrass)Todoconjuntolimitadoeinnitoden umerosreaispossui umpontodeacumulac ao.Prova.SejaX um conjunto limitado e innito de n umeros reais. Ent ao, existema, b R, a < b, tais que X [a, b].Logo,X [a, b]. Ent ao,X e fechado, limitado, eX X e innito. Assim,pelo teorema anterior, X possui um ponto de acumulac ao.Instituto de Matem atica - UFF 155An alise na RetaDenic ao 4.2DizemosqueumconjuntoK R ecompactosetodacobertura aberta de K possui uma subcobertura nita.Observac ao 4.2K e compacto se, e somente se, satisfaz uma (e, por-tanto todas) as armac oes do teorema 4.4.Exemplo 4.6 O conjuntoY=_0, 1,12, . . . ,1n, . . ._ e compacto, poisY=X=X X,onde X =_1,12, . . . ,1n, . . ._. O conjunto de Cantor e compacto. Os intervalos do tipo [a, b] s ao compactos. R, Q e Z n ao s ao compactos porque n ao s ao limitados. Q [0, 1] n ao e compacto, pois Q [0, 1] =[0, 1] e, portanto, Q [0, 1]n ao e fechado.Teorema 4.5SejaK1 K2 . . . Kn Kn+1 . . . uma seq u enciadecrescente de compactos n ao-vazios. Ent aoK=nNKn e n ao-vazio ecompacto.Prova.O conjuntoK e fechado,pois e intersec ao de uma famlia de conjuntosfechados,e e limitado,poisK K1 eK1 e limitado (por ser compacto).Logo, K e compacto.Para cadan N, tomexn Kn. Ent ao, xn Kj para todon j. Emparticular, xn K1 para todo n N.Como K1 e compacto, a seq u encia (xn) de pontos de K1 possui uma sub-seq u encia convergente (xnk). Seja x =limkxnk.Dadoj N,existek0 N tal quenk0 j. Ent ao, xnk Kj,para todok k0, j a que nk nk0 j.Logo,xnk x Kj para todoj N, poisKj e fechado para todoj N.Ou seja, x K.Aplicac ao do Teorema de Borel-LebesgueJ. Delgado - K. Frensel 156Conjuntos compactosDenic ao 4.3Ocomprimentodosintervalos[a, b] , (a, b) , (a, b] e[a, b) e o n umero b a.Proposic ao 4.1Se [a, b] n_i=1(ai, bi), ent ao b a 0 tal quex (X {a}) (a , a +) =|f(x) L| < Assim, simbolicamente escrevemos:limxaf(x) = L > 0 > 0 ; x X e 0 < |x a| < =|f(x) L| < > 0 > 0 ; f ( (a , a +) (X {a}) ) (L , L +) .Ou seja, limxaf(x)=L quando e possvel tornarf(x) arbitrariamentepr oximo deL, desde que se tomex X sucientemente pr oximo dea ediferente de a.Instituto de Matem atica - UFF 161An alise na RetaObservac ao 1.1S o tem sentido escreverlimxaf(x)=L quandoa X,pois sea X,todo n umero real L seria limite def(x) quandox tendepara a.De fato, como a X, existe 0 > 0 tal que (X {a}) (a0, a+0) = .Ent ao, para cada > 0 dado, existe = 0 > 0, tal que = f ( (X {a}) (a 0, a +0) ) (L , L +) ,qualquer que seja L R.Observac ao 1.2Oponto a pode pertencer ou n ao ao domnio X. Mesmoquando a X, o valor f(a) n ao interfere na determinac ao de limxaf(x), poistal limite, quando existe, depende apenas dos valores f(x) para x pr oximoe diferente de a.E possvel ter-selimxaf(x) = f(a).Por exemplo, se f : R R e a func ao denida por f(x) =___1 , se x R {0}0 , se x = 0 ,ent ao limx0f(x) = 1 = 0 = f(0).Observac ao 1.3Selimxaf(x) = L ent ao L e aderente ao conjunto f(X{a}), pois todo intervalo aberto de centro L cont em pontos deste conjunto.Tem-se, tamb em, queL f(V), ondeV=(a , a + ) (X {a}) e > 0.Teorema 1.1(Unicidade do limite)Sejam X R, f : X R e a X.Selimxaf(x) = L1 elimxaf(x) = L2, ent ao L1 = L2.Prova.Dado > 0, existem 1 > 0 e 2 > 0 tais que: x X {a} e 0 < |x a| < 1=|f(x) L1| 0existe>0talque |g(x) L| < para todo x (I X {a}) (a , a +).Tome = min{, 0}. Ent ao,(I X {a}) (a , a +) = (X {a}) (a , a +) ,pois (a , a +) I.Logo, |f(x) L| = |g(x) L| < para todo x (X {a}) (a , a +).Portanto,limxaf(x) = L.Teorema 1.4SejamX R, f: X R ea X. Se existelimxaf(x),ent aof e limitada numa vizinhanca dea, ou seja, existemA>0 e>0tais que |f(x)| < A para todo x (X {a}) (a , a +).Instituto de Matem atica - UFF 163An alise na RetaProva.SejaL= limxaf(x). Dado=1>0, existe>0 tal que|f(x) L| 0 e 2 > 0 tais que: |f(x) L| 0tal queL n0. Assim, limnf(xn) = L.Suponhamos, agora, quelimxaf(x) =L. Ent ao existe0>0 tal que paratodo n N podemos obter xn X tal que 0 < |xna| 0 tal que |g(x)| A para todo x X {a},ent aolimxaf(x) g(x) = 0.Prova.Seja (xn) uma seq u encia de pontos de X {a} comlimnxn = a.Ent ao, limn(f(xn) g(xn)) =L Me limn(f(xn) g(xn)) =LM, poislimnf(xn) = L e limng(xn) = M.Logo, pelo teorema 1.7limxa(f(x) g(x)) = L M e limxa(f(x) g(x)) = LM. SeM =0, temos, pelo teorema 1.6, que existe>0 tal queg(x) =0para todo x (X {a}) (a , a +). Como limnxn = a e xn X {a},existen0 N tal que0 n0 e limnf(xn)g(xn)=LM.Assim, peloteorema1.7,f(x)g(x)temsentidoparatodoxsucientementepr oximo e diferente de a elimxaf(x)g(x)=LM.J. Delgado - K. Frensel 166Denic ao e propriedades do limite Selimxaf(x)=0 e|g(x)| A para todox X {a}, ent ao limnf(xn)=0e(g(xn)) e uma seq u encia limitada. Logo, limn(f(xn) g(xn))=0. Assim,pelo teorema 1.7,limxa(f(x) g(x)) = 0.Observac ao 1.4Selimxag(x) = 0 e existelimxaf(x)g(x) ou o quocientef(x)g(x) e limitado numa vizinhanca de a, ent ao, pelo teorema acima,limxaf(x) =limxa_g(x)f(x)g(x)_= 0 .Logo, selimxag(x) = 0 elimxaf(x) = 0 ou n ao existelimxaf(x), ent ao o quoci-entef(x)g(x) n ao e sequer limitado numa vizinhanca de a.Teorema 1.9(Crit erio de Cauchy para limites de func oes)Sejam X R, a X e f : X R. Ent ao existelimxaf(x) se, e s o se, paratodo > 0 dado, existe > 0, tal que |f(x)f(y)| < quaisquer que sejamx, y ( X {a} ) (a , a +) .Prova.(=) Se limxaf(x) = L, ent ao, dado > 0 existe > 0 tal que |f(x)L| 0 tal que |f(x)f(y)| < para x, y X, 0 < |xa| < e 0 < |y a| < .Como limnxn=a exn X {a}, existen0 N tal que00existe >0tal que|g(y)g(b)| 0 tal que|f(x) b| n, ent aolimxaf(x) n ao existe, poisf(x)=p1(x)(x a)mnq1(x), onde odenominador tem limite zero e o numerador n ao (ver observac ao 1.4).Exemplo 2.2Seja f : R R a func ao denida porf(x) =___0 , se x Q1 , se x R Q.Instituto de Matem atica - UFF 169An alise na RetaEnt ao, n ao existelimxaf(x) para todo a R.De fato, existe uma seq u encia (xn) de n umeros racionais,xn=a, tal quexna e existe uma seq u encia (yn),yn=a, de n umeros irracionais talque yna. Ent ao, limnf(xn) = 0 e limnf(yn) = 1. Logo, pelo corol ario1.3, n ao existelimxaf(x).Mas, se g(x) = (x a)f(x), temos quelimxag(x) = 0, poislimxa(x a) = 0 ef e limitada.Exemplo 2.3Seja f : Q R a func ao denida porf(x) =___1/q, se p/q e uma frac ao irredutvel com q > 01 , se x = 0 .Como Q= R, tem sentido falar emlimxaf(x) para todo a R.Vamos provar quelimxaf(x) = 0 para todo a R.Armac ao: Sejaa Rxo. Dado >0existe >0tal que0 0 tal que |f(x) L| < para todox X, a < x < a +Simbolicamente, temos:limxa+f(x) = L " > 0 > 0 ; x X,a < x < a + =|f(x) L| < " .oulimxa+f(x) = L > 0 > 0 ; f(x) (L , L +) x X (a, a +) .Denic ao 3.2SejamX R,a X ef:X R.Dizemos queL R e o limite` a esquerda de f(x) quando x tende para a, e escrevemosL =limxaf(x) ,quando, para todo > 0 dado, existe > 0 tal que |f(x) L| < para todox X, a < x < a.Simbolicamente, temos:J. Delgado - K. Frensel 172Limites lateraislimxaf(x) = L " > 0 > 0 ; x X,a < x < a =|f(x) L| < " ,oulimxaf(x) = L > 0 > 0 ; f(x) (L , L +) x X (a , a) .Teorema 3.1SejamX R, a X+, f: X R, Y=X (a, +) eg = f|Y. Ent ao, limxa+f(x) = L se, e s o se,limxag(x) = L.Um resultado an alogo ao teorema3.1 vale para o limite` a esquerda.Prova.(=) Dado>0,existe>0 tal quef(x) (L , L + ) para todox X (a, a +).Como (Y {a}) (a , a + ) =X (a, a + ), temos que |g(x) L| 0, existe > 0 tal que |g(x) L| = |f(x) L| < para todox (Y {a}) (a , a +) = X (a, a +).Observac ao 3.1Pelo teorema acima, o limite` a direita e o limite` a es-querdas aoolimitedeumarestric aodef. Assim, osteoremas1.1a1.10 valem tamb em para os limites laterais, substituindo nos enunciados(a , a +) por (a, a +) no caso de limite` a direita, e (a , a +) por(a , a) no caso de limite` a esquerda.Exemplo 3.1SejamX, YR, f : X R, g: YR, f(X) Y,a X+, b Y Y.Se limxa+f(x) = b elimybg(y) = g(b) ent ao limxa+g(f(x)) = g(b).Teorema 3.2SejamX R, f: X R ea X+ X. Ent ao existelimxaf(x) se, e s o se, existem e s ao iguais os limites laterais limxa+f(x) elimxaf(x). Neste caso,limxaf(x) =limxa+f(x) =limxaf(x) .Prova.(=) Suponhamos que L =limxaf(x). Sejam Y= (a, +) X e g = f|Y.Instituto de Matem atica - UFF 173An alise na RetaComoa Y, poisa X+, temos, pelo teorema 1.2, quelimxag(x)=L.Ent ao, pelo teorema 3.1, existe limxa+f(x) e e igual a L.De modo an alogo, podemos provar que o limxaf(x) existe e e igual a L.(=) Suponhamos que L =limxaf(x) =limxa+f(x).Dado > 0, existem 1 > 0 e 2 > 0 tais que |f(x) L| < para todo x X (a, a +1) ,e |f(x) L| < para todo x X (a 2, a).Tomando = min{1, 2}, temos que |f(x) L| < para todo x tal quex (X (a, a +)) (X (a , a)) = (X {a}) (a , a +) .Logo,limxaf(x) = L.Exemplo 3.2Sejaf: R {0} R denida porf(x)=x +x|x|. Comof(x) = x + 1 para x (0, +) e f(x) = x 1 para x (, 0), temos quelimx0+f(x) = 1, limx0f(x) = 1 e n ao existe limx0f(x).Exemplo 3.3Seja f : R {0} R denida por f(x) =1x.Ent ao,0 (R {0})+ (R {0}), mas n ao existem os limites laterais` adireita e` a esquerda no ponto 0.Exemplo 3.4Seja f : R {0} R denida por f(x) = e1x.Ent ao, limx0+f(x) =0,mas n ao existe limx0f(x),poisf(x) n ao e limitadapara x negativo pr oximo de 0.Denic ao 3.3Seja f : X R R. Dizemos que f e crescente quando x, y X, x < y =f(x) < f(y). n ao-decrescente quando x, y X, x < y =f(x) f(y). decrescente quando x, y X, x < y =f(x) > f(y). n ao-crescente quando x, y X, x < y =f(x) f(y).J. Delgado - K. Frensel 174Limites laterais mon otona quando f e de algum dos quatro tipos acima.Teorema 3.3SejamX R,a X+,b X ef: X R, uma func aomon otona limitada. Ent ao, existem os limites lateraisL =limxa+f(x) e M =limxbf(x).Prova.Suponhamos que f : X R e n ao-decrescente.Seja a X+ e seja A = {f(x) | x X e x > a}.Comoa X+ ef e limitada, temos queA e n ao-vazio e limitado inferior-mente. Ent ao, existe L = inf A.Armac ao:L =limxa+f(x) .Dado > 0, existe x X, x > a, tal que L f(x) < L +.Seja=x a>0. Ent ao, parax X, aa} e e uma cota superior para o conjunto{f(x) | x X e x < a}.Observac ao 3.3Uma sequ encia mon otona limitada e convergente, masparaumafunc aomon otonalimitadapoden aoexistir limxaf(x) quandoa X. Isso acontece,por exemplo,com a func aof(x) =x +x|x|,parax (R{0}) (1, 1), porqueolimitedeumaseq u encia eumlimitelateral ` a esquerda, pois quando n +, tem-se n < +.Instituto de Matem atica - UFF 175An alise na Reta4. Limites no innito, limites innitos e express oesindeterminadasDenic ao 4.1SejamX R um conjunto ilimitado superiormente ef:X R. Dizemos que L e o limite de f(x) quando x +, e escrevemoslimx+f(x) = L,quando > 0 A > 0 ; x X,x > A =|f(x) L| < .Denic ao 4.2SejamX Rumconjuntoilimitadoinferiormenteef :X R. Dizemos que L e o limite de f(x) quando x , e escrevemoslimxf(x) = L,quando > 0 A > 0 ; x X,x < A =|f(x) L| < .Os resultados do teorema 1.1 aoteorema1.9s aov alidosparali-mitesnoinnitocomasdevidasadaptac oes.Observac ao 4.1O limite quandox tende a+ e, de certo modo, umlimite lateral ` a esquerda, e o limite quando x tende a , um limite lateral` a direita.Assim, o resultado do teorema 3.3 continua v alido. Mais precisamente: Sejaf: X R uma func ao mon otona limitada eX R um conjuntoilimitado superiormente. Se f e n ao-decrescente, ent ao limx+f(x) = L, onde L = sup{f(x) | x X}. Se f e n ao-crescente, ent ao limx+f(x) = L, onde L = inf{f(x) | x X}. Seja, agora, X R ilimitado inferiormente. Se f e n ao-decrescente, ent ao limxf(x) = L, onde L = inf{f(x) | x X}. Se f e n ao-crescente, ent ao limxf(x) = L, onde L = sup{f(x) | x X}.Observac ao 4.2Olimitedeumasequ enciaf : N R eumcasoparticular de limite de u