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ANALISE MATEMATICA 3
PARTE B
EQUACOES DIFERENCIAIS
Maria do Rosario de Pinho
e
Maria Margarida Ferreira
Agosto 2004
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Licenciatura em Engenharia Electrotecnica
e de
Computadores
2
1. Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem
1. Considere a equacao diferencial y′ = y − 1.
(a) Determine o campo de direccoes da equacao.
(b) A partir do campo de direccoes determine algumas das isoclinas desta equacao.
(c) Usando ainda o esboco do campo de direccoes, determine algumas solucoes particu-
lares da equacao e pronuncie-se sobre o comportamento das solucoes quando x tende
para infinito.
(d) Resolva a equacao diferencial e trace os graficos das solucoes quando a constante de
integracao toma os seguintes valores: −2, −1.5, −1, −0.5, 0, 0.5, 1, 1.5 e 2.
2. Resolva as seguintes equacoes diferenciais:
(a) xdx + ydy = 0
(b) xdy + ydx = 0
(c) sinx dy + dx = 0
(d) sinx dy + cos y dx = 0
(e) y′ = 3y23 . Determine a solucao particular que passa no ponto (1, 1).
3. Considere a equacao diferencial y′ =x + y
x− ydefinida em U = {(x, y) : x 6= y} e determine
a solucao que passa no ponto (1, 0).
4. Resolva a equacao diferencial xyy′ = 2x2 + 3xy + 2y2 e determine a solucao que passa em
(1, 1).
5. Considere a equacao diferencial y′ =x2 + y2
2xydefinida em U = {(x, y) : x > 0, y > 0}.
Determine a solucao que passa no ponto (2,√2).
6. Resolva as seguintes equacoes diferenciais:
(a)(
1 + 2exy
)
dx + 2exy
(
1− x
y
)
dy = 0
(b) 2xy+(x2 +2y)y′ = 0, definida em U = R2 \ {(x, y) : y = −x2
2}. Determine a solucao
que passa em (2,−3).
7. Integre a equacao diferencial xy2y′−xy′+y = 0, efectuando a mudanca de variavel x = et,
y = u(t)et.
3
8. Resolva as seguintes equacoes diferenciais:
(a) y′ = xy
(b) y′ =y
x
(c) x2 dy + y dx = 0
(d) sinx dy + y dx = 0
(e) dy = y tanx dx
(f) (y′)2 = xy2
(g) y′ + y secx = 0
9. Determine as solucoes de:
(a) y′ =y
x+ 7; y(1) = 2
(b) y′ = y secx + cosx; y(π
2
)
= 0
(c)dx
dt+ x = e2t; x(0) = 1
(d) dy = 2y dx + sinx dx
10. Determine as solucoes de y′ sinx + y cosx = 1 em (0, π). Mostre que apenas uma das
solucoes tem limite finito quando x tende para 0 e que so uma outra tem limite finito
quando x tende para π.
11. Prove que existe uma so funcao f , contınua em (0,∞), tal que f(x) = 1 +1
x
∫ x
1f(t) dt e
determine essa funcao.
12. Calcule
(a) x2y′ + x2y = xy − 1
(b) y′ + 2y
x=
sinx
x2, x > 0; determine a solucao que satisfaz y(π) = 0
13. Resolva a seguintes equacoes:
(a) y′ − 4y = 2ex√y; y(0) = 2
(b) y′ − y = −y2(x2 + x + 1); y(0) = 1
(c) xy′ − 2y = 4x3√y; y(1) = 0
14. Cada uma das equacoes seguintes tem pelo menos um coeficiente com uma descontinuidade
em x = 0. Resolva cada uma das equacoes para x > 0 e descreva o comportamento da
solucao quando x tende para 0, para varios valores da constante de integracao. Esboce os
graficos de algumas curvas integrais.
4
(a) y′ +2
xy =
1
x2
(b) y′ − 1
xy =
√x
(c) y′ − 1
xy = x
(d) y′ +1
xy =
cosx
x
15. Determine um intervalo no qual a solucao de cada um dos seguintes problemas de valor
inicial existe.
(a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x; y(1) = 3
(b) y′ + (tanx)y = sinx; y(π) = 0
16. Determine um valor para b de forma a que (xy2 + bx2y)dx + (x + y)x2dy = 0 seja uma
equacao diferencial exacta.
17. Mostre que qualquer equacao de variaveis separaveis da forma M(x)+N(y)y ′ = 0 e exacta.
18. Sem recorrer ao metodo do factor integrante, calcule a solucao da equacao diferencial
(xy + 1)ydx + x dy = 0 e a partir da sua solucao deduza um factor integrante.
19. Seja
f(x) =
sinx
xse x 6= 0
1 se x = 0e T (x) =
∫ x
0f(t) dt
Mostre que f(x) = xT (x) satisfaz a equacao diferencial xy′ − y = x sinx em toda a recta
real e determine a solucao geral desta equacao. Mostre que a equacao diferencial nao tem
solucao que satisfaca a condicao inicial f(0) = 1 e explique porque e que isto nao contradiz
o teorema da existencia e unicidade de solucao.
20. Determine as solucoes das equacoes diferenciais:
(a) (3y − 7x + 7)dx− (3x− 7y − 3)dy = 0
(b) y′ =x + 2y + 1
2x− 3
21. Determine a solucao da equacao diferencial 3xy′ − y − 3
(
x
y
)2
= 0, que verifica y(1) = 1.
[Sugestao: efectue a mudanca de variavel z = y3]
22. Determine a solucao da equacao diferencial y′ = e−x2 − 2xy que passa em (0,−1).
5
23. Determine a solucao da equacao diferencial y′ +2
xy = x6y3 que passa em (1, 1).
[Sugestao: efectue a mudanca de variavel w =1
y2]
24. Mostre que seNx −My
xM − yN= R(xy), entao a equacao diferencial M+Ny′ = 0 tem um factor
integrante da forma µ(xy). Determine a forma geral deste factor integrante.
25. Use o exercıcio anterior para resolver a equacao diferencial:
(
3x +6
y
)
+
(
x2
y+ 3
y
x
)
y′ = 0
26. Resolva as equacoes diferenciais:
(a) (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0
(b) y′ = e2x + y − 1
(c) dx +
(
x
y− sin y
)
dy = 0
2. Equacoes Diferenciais Lineares
1. Determine o wronskiano das seguintes funcoes:
(a) ex sinx, ex cosx
(b) 1, x, x2, x3
(c) x, xex, x2ex
(d) x, ex, e−x, sinx ex, cosx ex
2. Para cada um dos seguintes problemas de valor inicial determine o maior intervalo em que
pode garantir existencia de solucao.
(a) y′′ + cosx y′ + ln |x| y = 0, y(2) = 3, y′(2) = 1
(b) (x− 3)y′′ + xy′ + ln |x| y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1
3. Se o wronskiano de duas funcoes f e g e 3e4x e se f(x) = e2x, determine g.
4. Se W e o wronskiano de f e g e se u = 2f − g, v = f − g determine o wronskiano de u e v.
5. Determine a equacao diferencial linear homogenea de coeficientes constantes, de ordem tao
baixa quanto possıvel, tal que g(x) = xe−2x seja solucao da equacao.
6
6. Considere a equacao diferencial y′′ =1
2y′e a sua solucao geral y(x) = ±2
3(x + C)
32 + K.
Verifique que a famılia de curvas dada satisfaz a equacao diferencial. Determine a solucao
da equacao que passa pelo ponto (1, 2) e cuja tangente nesse ponto forma com o eixo
positivo Ox um angulo de 45 graus.
7. Mostre que o operador diferencial Ly = an(x)Dny + an−1(x)D
n−1y + . . . + a1(x)Dy +
a0(x)D0y e linear.
8. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais:
(a) y′′ − y = 0
(b) y′′ + y = 0
(c) y′′′ = 0
(d) y(4) − y = 0
(e) y(4) + y = 0
(f) y′′ − 3y′ − 4y = 2
(g) y′′ − 3y′ − 4y = 32x2
(h) y′′ + ω2t = cos (ωt)
9. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 3
(b) y′′ + 4y = 0, y(π) = 1, y′(π) = −4
(c) y′′′ + y′′ = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −1
10. Resolva as equacoes diferenciais:
(a) y′′ − 3y′ + 2y = − e2x
ex + 1
(b) y′′ + 2y′ + y = 4e−x lnx
(c) xy′ + 2y = 2 sin (2x) + 2x cos (2x), x > 0.
11. Resolva, utilizando o metodo do Polinomio Aniquilador:
(a) y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = 3x2 + x
(b) y′′ − 3y′ + 2y = 6e3x
(c) y′′ − 5y′ + 6y = x + sinx
(d) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = e−x
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12. (a) Considere a equacao diferencial x2 ln (x) y′′ − (x+ 4x lnx)y′ + 4y′ + (2+ 6 lnx)y = 0,
x > 0. Verifique que x2 e solucao e resolva a equacao.
(b) Considere a equacao diferencial xy′′−(2x2−4x−1)y′−2(2x2−2x−1)y = 0. Determine
o numero real a tal que eax e solucao da equacao diferencial e resolva-a.
(c) Determine as constantes a e b tais que, para todo o x > 0, as funcoes x e x lnx sao
solucoes da equacao diferencial x2y′′ + axy′ + by = 0. Determine depois a solucao
geral da equacao.
13. Considere a equacao diferencial y′′+2 tan (x)y′+f(x)y = 0. Utilize a mudanca de variavel
y = uv de forma a que a equacao diferencial obtida nao contenha termos em v ′. De seguida,
calcule f de modo a que a equacao diferencial tenha coeficientes constantes. Integre essa
equacao diferencial.
3. Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares
1. Considere as seguintes equacoes diferenciais e determine os sistemas de equacoes diferen-
ciais de primeira ordem que lhes correspondem.
(a) y′′ + 2y′ + y = 0
(b) y′′′ − y′′ + y = 0
(c) y(5) − y′′′ + 4y′′ − y = 3
Para cada uma destas equacoes diferenciais e os correspondentes sistemas, determine um
conjunto fundamental de solucoes e verifique qual a relacao entre os wronskianos associa-
dos.
2. Para cada um dos seguintes sistemas de equacoes diferenciais determine a solucao geral.
Faca ainda um esboco de algumas solucoes e descreva o comportamento das solucoes
quando t tende para infinito.
(a) x =
[
3 −2
2 −2
]
x
(b) x =
[
1 −2
3 −4
]
x
(c) x =
[
−2 1
1 −2
]
x
8
(d) x =
[
4 −3
8 −6
]
x
(e) x =
[
3 6
−1 −2
]
x
(f) x =
1 1 2
1 2 1
2 1 1
x
3. Para cada um dos seguintes sistemas de equacoes diferenciais, resolva o problema de valor
inicial dado e descreva o comportamento da solucao quando t tende para infinito.
(a) x =
[
5 −1
3 1
]
x, x(0) =
(
2
−1
)
(b) x =
1 1 2
0 2 2
−1 1 3
x, x(0) =
2
0
1
4. Para cada um dos seguintes sistemas de equacoes diferenciais determine a solucao geral.
Faca ainda um esboco de algumas solucoes e descreva o comportamento das solucoes
quando t tende para infinito.
(a) x =
[
3 −2
4 1
]
x
(b) x =
1 0 0
2 1 −2
3 2 1
x
(c) x =
−3 0 2
1 −1 0
−2 −1 0
x
(d) x =
[
3 −4
1 −1
]
x
(e) x =
[
4 −2
8 −4
]
x
5. Mostre que todas as solucoes do sistema
x =
[
a b
c d
]
x
9
se aproximam de 0 quando t tende para infinito, se e so se a + d < 0 e ad− bc > 0.
6. Para cada um dos sistemas do exercıcio 4, determine uma matriz fundamental. Em cada
um dos caso determine a matriz fundamental Φ(t) que satisfaz a condicao Φ(0) = I.
7. Seja A =
[
λ 1
0 λ
]
onde λ e um real qualquer.
(a) Determine An para n = 2, 3, 4.
(b) Verifique que An =
[
λn nλn−1
0 λn
]
.
(c) Determine eAt.
(d) Resolva o problema de valor inicial x = Ax, x(0) = x0 usando a expressao x(t) =
eAtx0.
(e) Resolva o mesmo problema de valor inicial da alınea anterior calculando os valores e
vectores proprios e compare as solucoes.
4. Equacoes Diferenciais-Aplicacoes
1. Muitas vezes uma solucao constante de equilıbrio tem a seguinte propriedade: solucoes
que se encontram num lado da solucao aproximam-se dessa solucao quando t tende para
infinito, enquanto aquelas que estao no outro lado afastam-se. Tal solucao de equilıbrio
designa-se por solucao semi-estavel. Considere a equacao
dN
dt= k(1−N)2
onde k e uma constante positiva.
(a) Mostre que N(t) = 1 e uma solucao de equilıbrio.
(b) Trace o grafico de f(N) = k(1 − N)2 e conclua que N(t) = 1 e uma solucao de
equilıbrio semi-estavel.
(c) Resolva a equacao diferencial dada para varios valores de N(0) e confirme as con-
clusoes da alınea b).
2. O crescimento de uma certa populacao obedece a equacaodN
dt= r
(
1− N
k
)
N .
(a) Seja N(0) =k
3. Encontre o instante s em que a populacao duplica de tamanho.
Encontre o valor de s que corresponde a r = 0.025 por ano.
10
(b) SeN(0)
k= a, encontre o instante t em que
N(t)
k= b, onde, a > 0, b > 0 e b < 1.
Observe que esse instante t tende para infinito quando a tende para 0 ou quando b
tende para 1. Determine o valor de t quando r = 0.025 por ano, a = 0.1 e b = 0.9.
3. Suponha que uma determinada especie de peixe, numa determinada area do oceano satisfaz
a equacaodN
dt= r
(
1− N
k
)
N . Suponha que uma certa quantidade desse peixe e pescada
a uma razao constante h, ou seja, a quantidade de peixe nessa regiao satisfaz a equacao
diferencialdN
dt= r
(
1− N
k
)
N −h. A hipotese da taxa de pesca ser constante faz sentido
quando a quantidade de peixe existente N e grande. Quando N diminui, tal hipotese deixa
de ser razoavel.
(a) Se h < rk
4, mostre que a equacao tem dois pontos de equilıbrio, N1, N2, com N1 < N2
e determine-os.
(b) Mostre que um desses pontos e instavel e que o outro e estavel.
(c) A partir do grafico da funcao f(N) = r
(
1− N
k
)
N −h, mostre que se N(0) = N0 >
N1, entao N(t) → N2 quando t → ∞, mas que, se N0 < N1, entao N(t) e uma funcao
decrescente. Observe que N = 0 nao e um ponto de equilıbrio. O que acontece
quando N0 < N1?
(d) Mostre que se h > rk
4, entao N(t) e uma funcao decrescente, independentemente do
valor de N(0).
(e) Seja h = rk
4. Mostre que existe um unico ponto de equilıbrio e que esse ponto e
instavel. Qual a taxa maxima de pesca que podera ser permitida de forma a que esta
se possa manter constante?
4. Suponha que uma dada populacao pode ser dividida em duas partes: aqueles que sao
portadores de uma certa doenca e que a podem transmitir, e aqueles que nao a tem, mas
que a podem contrair. Seja y a proporcao dos primeiros na populacao e x a proporcao dos
segundos. Assim x + y = 1.
Suponha que a doenca e contraıda pelo contacto e que a taxa de disseminacao da doencady
dte proporcional aos contactos entre populacao infectada e nao infectada. Suponha ainda
que os membros da populacao se movem livremente e que portanto, o numero de contactos
e proporcional ao produto xy. Uma vez que x = 1 − y, obtemos o seguinte problema de
valor inicialdy
dt= αy(1− y); y(0) = y0
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(a) Determine os pontos de equilıbrio da equacao diferencial e determine se sao estaveis
ou nao.
(b) Determine a solucao do problema de valor inicial dado e verifique analiticamente se
as conclusoes da alınea anterior estao correctas. Mostre que y(t) → 1 quando t tende
para infinito e diga o que e que isto significa na pratica.
5. Algumas doencas, como e o caso da febre tifoide, sao disseminadas por portadores, in-
divıduos que podem transmitir a doenca mas que nao apresentam quaisquer outros sin-
tomas. Designe-se por x e y, respectivamente, a proporcao de elementos que sao sus-
ceptıveis de contrair a doenca e de portadores. Suponha que os portadores sao identifica-
dos e removidos da populacao a razao de b, isto edy
dt= −by. Suponha ainda que a taxa
de disseminacao da doenca e proporcional ao produto xy, isto e,dx
dt= −axy.
(a) Determine y(t) que satisfaz a y(0) = y0.
(b) Use o resultado da alınea anterior para determinar x(t) que satisfaz x(0) = x0.
(c) Encontre a proporcao da populacao que sobrevive a epidemia calculando x(t) quando
t tende para infinito.
5. Resolucao de alguns exercıcios da seccao anterior
1. (a) Considere a equacaodN
dt= k(1 − N)2, onde k e uma constante positiva. Se N(t) e
constante e igual a 1, entaodN
dt= 0 e k(1 − 1)2 = 0, ∀t, e portanto N(t) e solucao
da equacao diferencial.
(b) Grafico de f(N) = k(1−N)2: a fazer pelo aluno
Se N < 1, entao f(N) e positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a t e pos-
itiva. Logo N(t) e crescente. Como f(N)
(
=dN
dt
)
e decrescente, entao N tem a
concavidade voltada para baixo.
O Teorema da existencia e unicidade de solucao garante-nos que duas solucoes da
equacao diferencial nunca se cruzam. Assim, para N(0) = N0 < 1, N(t) tende para
1 quando t cresce.
Quando N > 1, f(N) continua a ser positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a t e
positiva. Logo N(t) e crescente. Como f(N) e crescente, entao N tem a concavidade
voltada para cima. Para N(0) = N0 > 1, N(t) afasta-se de 1 quando t cresce.
Nota: O grafico de f(N) foi visto como fornecendo informacao sobredN
dt. Podemos,
12
contudo, retirar imediatamente informacao sobred2N
dt2a partir deste mesmo grafico.
Note-se que f(N(t)) = f ◦N(t) e que
d2N
dt2= f ′(N)f(N)
Assim, para N < 1, f(N) > 0 e f ′(N) < 0. Logod2N
dt2< 0 e N(t) tem a concavidade
virada para baixo. Se N > 1, f(N) > 0 e f ′(N) > 0. Logo N(t) tem a concavidade
virada para cima.
(c) Solucao geral da equacao diferencial:
N(t) = 1 ou N(t) =−1 + kt + kC
k(t + C)
Note-se que a solucao de equilıbrio nao pode ser calculada a partir da solucao geral, ou
seja, qualquer que seja o valor da constante C, nunca se obtem N(t) = 1. Relembre
que esta e uma caracterıstica das equacoes diferenciais nao lineares: pode haver
solucoes que nao se obtem a partir da solucao geral. Observe-se ainda que N(t) nao
esta definida em t = −C. Relembre o Teorema da existencia e unicidade de solucao
destas equacoes. Observe que este nao nos diz em que intervalo e que a solucao da
equacao diferencial esta definida como quando as equacoes diferenciais sao lineares
de primeira ordem. Realmente, o Teorema da existencia e unicidade de solucoes e
um resultado local.
Vejamos agora como e que a solucao varia em funcao das condicoes iniciais N(0) = N0.
Ora, N(0) =−1 + kC
kC. Logo C = − 1
k(N0 − 1). A expressao da constante em funcao
das condicoes iniciais ilustra o facto de nao se poder determinar C de forma a incluir
a solucao de equilıbrio na solucao geral, pois C nao esta definida para N0 = 1.
Substituindo C na expressao da solucao geral da equacao diferencial, tem-se, para
N0 6= 1,
N(t) =kt(N0 − 1)−N0
kt(N0 − 1)− 1
N(t) nao esta definida para t = 1k(N0−1) (nao esquecer que N0 6= 1). Assim, se a
condicao inicial e da forma N(0) = N0, a solucao so esta definida em
[
0,1
k(N0 − 1)
)
.
Argumentos analogos permitem-nos analisar o comportamento para outras condicoes
iniciais.
2.
13
3. (a) Considere a equacao diferencialdN
dt= r
(
1− N
k
)
N − h. Entao
dN
dt= 0 ⇒ rN2 − krN + hk = 0 ⇒ N =
kr ±√
(kr)2 − 4hrk
2r
Logo
N1 =kr −
√
(kr)2 − 4hrk
2rN2 =
kr +√
(kr)2 − 4hrk
2r
(b)
(c) Grafico dedN
dtem funcao de N : a fazer pelo aluno.
Se N(0) = N0 > N1, entao N(t) cresce e tem a concavidade voltada para cima,
ate atingir o pontok
2. A partir daı a concavidade passa a estar voltada para baixo.
Como N(t) = N2 e ponto de equilıbrio, N(t) < N2. Logo N(t) aproxima-se de N2.
Se N0 > N2, entao N(t) decresce aproximando-se de N2 e tem a concavidade voltada
para cima. Logo N2 e ponto de equilıbrio estavel. Ou seja, se no instante t = 0,
a quantidade de peixe e superior a N1 e se a taxa de pesca e constante e inferior
ark
4, entao a quantidade de peixe presente na area sera, ao fim de algum tempo,
aproximadamente N2. Os peixinhos nao desaparecem e podemos continuar a pescar.
Do que acima foi visto, podemos tambem concluir que N1 nao e estavel, pois, para
N(0) = N0 > N1, as solucoes afastam-se de N1. Suponhamos agora que N(0) =
N0 < N1. Entao N(t) e decrescente. Logo, N(t) afasta-se de N1, ou seja, N1 e
instavel. Como N(t) = 0 nao e ponto de equilıbrio, deduzimos que se no instante
inicial o numero de peixes for inferior a N1 e a taxa de pesca for constante e inferior
ark
4, entao os peixinhos desaparecem num intervalo finito de tempo. Entretanto,
os peixinhos serao considerados uma especie em vias de extincao e a pesca deve ser
proibida ate que o seu numero seja superior a N1.
Resumindo, as solucoes da equacao diferencial tem o aspecto: a fazer pelo aluno
(d) Suponhamos agora que h >rk
4. Entao f(N) = r
(
1− N
k
)
N − h tem o grafico: a
fazer pelo aluno
Para qualquer valor N(0) = N0, N(t) e decrescente.
(e) Seja agora h =rk
4. Trace o grafico.
Note-se que f(N) = 0 quando N =k
2. Ou seja, N(t) =
k
2e ponto de equilıbrio. Se
N(0) = N0 > k2 , entao N(t) e decrescente e tem a concavidade voltada para cima.
Quando t cresce, N(t) aproxima-se de N =k
2. Se N(0) = N0 <
k
2, entao N(t)
14
decresce (e tem concavidade voltada para baixo). Logo N =k
2e ponto de equilıbrio
semi-instavel (ver problema 1).
Resumindo: Faca o esboco.
Podemos entao concluir que, sabendo que o numero de peixes e igual ou superior ak
2, a taxa maxima de pesca permitida devera ser h = r
k
4. Mas lembre-se que
k
2e
ponto de equilıbrio instavel. Logo, se alguem se lembra, um belo dia, de pescar so
um pouquinho mais que o permitido, os peixinhos vao tender a desaparecer.
Ja tentou resolver a equacao diferencial? Se nao, tente. Pois! Nao e uma equacao de
variaveis separaveis, nao e homogenea, nao e de Bernoulli e nao e exacta. Sera que
consegue, por mudanca de variavel ou outro processo, resolve-la? Se nao consegue,
nao se preocupe. Acabou de estudar o comportamento das solucoes geometricamente.
Como pode ver, o metodo geometrico pode ser extremamente util.
4. (Exercıcio resolvido de forma semelhante a um resolvido nas aulas teoricas so que rk = 1
e r = α.)
5. (a) Equacao diferencial:dy
dt= −by. Solucao geral: y(t) = Ke−bt. Solucao do problema
de valor inicial: y(t) = y0e−bt.
(b) e
(c) Equacao diferencial:dx
dt= −axy. Logo
dx
dt= −ay0xe
−bt. Donde, para x diferente
de zero (note-se que x = 0 e solucao de equilıbrio), vemdx
x= −ay0e
−btdt. Logo,
ln |x| = −ay0
∫
e−btdt+C, ou seja, x(t) = Keay0e−bt
b . Para x(0) = Keay0
b = x0, vem
K = −x0e−
ay0b . Logo a solucao e x(t) = x0e
ay0(e−bt−1)b . Ora, t → +∞ ⇒ e−bt − 1
b→
−1
b. Logo, t → +∞ ⇒ x(t) → x0e
−ay0
b .
6. Exercıcios genericos
Exercıcios de escolha multipla
1. Considere a seguinte equacao diferencial:
(3xy + y2) + (x2 + xy)y′ = 0
Esta E.D.O. e:
(a) E uma E.D. em variaveis separaveis.
15
(b) E uma E.D. exacta.
(c) E uma E.D. de Bernoulli.
(d) Pode ser transformada em exacta.
2. A mudanca de variavel w = ax + by + c reduz a E.D. y′ = f(ax + by + c) a uma E.D.
(a) De variaveis separaveis.
(b) Exacta.
(c) De Bernoulli.
(d) De segunda ordem.
3. Considere o problema de valor inicial xy′ = 3y, y(0) = 0.
(a) Nao tem solucao.
(b) So tem uma solucao.
(c) Tem varias solucoes definidas em toda a recta real.
(d) As solucoes, se existirem, estao definidas em (0,+∞).
4. A solucao geral de uma dada equacao diferencial e y(t) = C1e2x + e−x(C2 cosx+C3 sinx).
A equacao diferencial tem equacao caracterıstica
(a) r3 − r = 0.
(b) (r − 2)(r2 + 2r + 2) = 0.
(c) (r − 2)(r2 − 2r + 2) = 0.
(d) r2 + r + 2 = 0.
5. A equacao diferencial que nos permite determinar as trajectorias ortogonais a famılia de
curvas de equacao y(x) =C
xe:
(a) y′′ − y′ = 0.
(b) y′ = −y
x.
(c) y′ = − 1yx
.
(d) y′ =1yx
.
6. Considere a equacao diferencial y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = 0. A matriz Wronskiana de um
sistema fundamental de solucoes desta E.D. e
16
(a)
W =
ex e2x e−2x
ex 2e2x e−2x
ex e2x −2e−2x
(b)
W =
ex e3x e−2x
ex 3e3x −2e−2x
ex 9e3x 4e−2x
(c)
W =
ex e2x e−2x
ex 2e2x −2e−2x
ex 4e2x 4e−2x
(d)
W =
1 e2x e−2x
0 2e2x −2e−2x
0 4e2x 4e−2x
7. Considere o sistema X(t) = AX(t) onde A e uma matriz 2× 2 cujos valores proprios sao
distintos, reais e negativos. O diagrama de fase e
(a) Um no improprio estavel.
(b) Uma espiral estavel.
(c) Um no improprio instavel.
(d) Um ponto de sela.
8. Considere o sistema X(t) = AX(t). Suponha que as trajectorias do diagrama de fase em
torno da solucao de equilıbrio deste sistema formam um ponto de sela. O que podera dizer
sobre os valores proprios da matriz A?
(a) Sao complexos conjugados.
(b) Sao complexos conjugados, um com parte real positiva e outro com parte real negativa.
(c) Um dos valores proprios e zero.
(d) Sao reais com sinal oposto.
9. Qualquer solucao da equacao diferencial y(2) + a1y′ + a2y = 0 tende para zero quando
x → ∞ se e so se
17
(a) Qualquer raız da equacao caracterıstica tem parte real negativa.
(b) Pelo menos uma das raizes da equacao caracterıstica e negativa.
(c) As raizes da equacao caracterıstica sao reais negativas.
(d) As raizes da equacao caracterıstica sao reais.
10. A equacao diferencial homogenea de segunda ordem equivalente ao sistema X(t) = AX(t)
onde
A =
[
0 1
1 0
]
e:
(a) y′′ = 0.
(b) y′′ − y = 0.
(c) y′′ − y′ + y = 0.
(d) y′′ − y′ = 0.
11. Considere o sistema X(t) = DX(t) onde
D =
a1 0 . . . 0
0 a2 . . . 0...
......
...
0 0 . . . an
onde ai 6= aj , i 6= j. A matriz fundamental deste sistema e
(a)
ϕ(t) =
a1 0 . . . 0
1 a2 . . . 0...
......
...
1 1 . . . an
.
(b)
ϕ(t) =
ea1t 0 . . . 0
0 ea2t . . . 0...
......
...
0 0 . . . eant
.
18
(c)
ϕ(t) =
et 0 . . . 0
0 ea2t . . . 0...
......
...
t t2 . . . tn
.
(d) Nao se pode calcular.
12. Considere 4 caes A, B, C e D perseguindo-se mutuamente: A persegue B, B persegue C,
C persegue D e D persegue A. Num determinado instante os 4 animais encontram-se nos
vertices de um quadrado de lado L. Em qualquer instante os animais deslocam-se com uma
velocidade que iguala, em modulo e direccao, o segmento que liga o elemento perseguidor
ao perseguido. A equacao diferencial da trajectoria do animal A e:
(a) y′ = L.
(b) y′ =x− y
L− y − x.
(c) y′ =y − x
L.
(d) y′ − y = L.
Exercıcios de testes e exames
1. Sejam 1 e 3 os valores proprios de uma matriz A de dimensao 2× 2 e sejam (5, 2) e (2, 1)
os vectores proprios respectivos. Determine a solucao do sistema X = AX e esboce o
diagrama de fase.
(1◦ chamada - Janeiro de 1999)
2. Considere o sistema: X(t) =
1 1 0
0 1 0
0 0 2
X(t).
(a) Determine os valores proprios da matriz.
(b) Determine os vectores propios.
(c) Escreva a solucao geral do sistema.
(1◦ chamada - Janeiro de 1999)
3. Dada a equacao diferencial seguinte, mostre que e exacta e resolva-a.
dy
dt=
−(3y + et)
3t + cos y
19
(1◦ chamada - Janeiro de 1999)
4. Determine a solucao geral da equacao 2xyy′ =√
x4 − y4 + 2y2.
(1◦ chamada - Janeiro de 1999)
5. Um circuito electrico e descrito pelo sistema de equacoes diferenciais
d
dt
(
I
V
)
=
(
0 1L
− 1C
− 1RC
)(
I
V
)
onde I e a corrente atraves da indutancia e V e a queda de tensao atraves do condensador.
(a) Mostre que os valores proprios da matriz sao reais e distintos se L > 4R2C; mostre
que sao complexos se L < 4R2C.
(b) Seja R = 1 ohm, C = 0.5 farad e L = 1 henry. Encontre a solucao geral do sistema
neste caso.
(c) Determine, nas condicoes da alınea b), I(t) e V (t) se I(0) = 2 amperes e V (0) = 1
volt.
(d) Ainda para o circuito nas condicoes da alınea b), determine os valores limite de I(t)
e V (t) quando t → +∞.
(2◦ chamada - Janeiro de 1999)
6. (a) Calcule, utilizando o metodo da variacao dos parametros, a solucao da equacao
diferencial (g e uma funcao qualquer)
y′′ − 3y′ − 4y = g(x)
(b) Calcule uma solucao particular da E.D.
y′′ − 3y′ − 4y = e−x + 4
a partir das solucoes das equacoes diferenciais seguintes
y′′ − 3y′ − 4y = 4
y′′ − 3y′ − 4y = e−x
(2◦ chamada - Janeiro de 1999)
20
7. (a) Mostre que a equacao
(x + 2) sin y + x cos yy′ = 0
nao e exacta.
(b) Determine um factor integrante e resolva a equacao.
(2◦ chamada - Janeiro de 1999)
8. Utilizando o metodo do polinomio aniquilador calcule a solucao da E.D.
y′′(x) + 2y′(x) + y(x) = 3x + 4
que satisfaz a
y(0) = y′(0) = 0
(Recurso - Fevereiro de 1999)
9. (a) Resolva os sistemas seguintes e esboce os respectivos diagramas de fase.
x(t) =
[
3 −2
2 −2
]
x(t) y(t) =
[
2 0
0 −1
]
y(t)
(b) Relacione as solucoes dos dois sistemas anteriores.
(Recurso - Fevereiro de 1999)
10. Diga se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas e justifique:
(a) Para toda a matriz A existe sempre uma solucao dos sitema x(t) = Ax(t) que satisfaz
a x(0) = (1, 1).
(b) Toda a matriz invertıvel e diagonalizavel.
(c) Toda a matriz diagonalizavel e invertıvel.
(d) Se dois vectores proprios ζ1 e ζ2 correspondem a valores proprios reais e distintos,
entao o produto interno entre ambos e 0.
(Recurso - Fevereiro de 1999)
11. Suponhamos que se lanca um foguetao na vertical com velocidade inicial v0. Sabe-se que
para certos valores de v0 o foguetao sobe ate atingir a velocidade 0 e volta a cair na Terra.
21
Seja s(t) a distancia do foguetao ao centro da Terra em cada instante t. Em virtude das
Leis de Newton sabe-se que a aceleracaodv
dtdo foguetao satisfaz a equacao
dv
dt= −gR2
s2
onde R e o raio da Terra e g uma constante positiva.
Sabendo que no instante inicial t = 0 se tem s(0) = R e v(0) = v0, determine o menor valor
de v0 (velocidade de escape) de forma a garantir que o foguetao escape completamente
a atraccao da Terra. Sugestao: utilize o facto dedv
dt=
dv
dsv.
(1◦ chamada - Janeiro de 1998)
12. Para o sistema de equacoes diferenciais lineares:
X =
[
10 −1
4 6
]
X
determine a matriz fundamental Φ tal que Φ(0) = I. Faca um esboco do diagrama de fase
em torno da solucao de equilıbrio.
(1◦ chamada - Janeiro de 1998)
13. Sabendo que a funcao y1(x) = e2x cosx e solucao da equacao diferencial homogenea e de
coeficientes constantes y′′ + ay′ + by = 0, determine:
(a) A solucao geral, sem determinar a e b.
(b) A equacao diferencial, ou seja, determine a e b.
(c) A solucao geral da equacao y′′ + ay′ + by = e2x, utilizando o metodo do polinomio
aniquilador.
(1◦ chamada - Janeiro de 1998)
14. Determine a solucao da equacao diferencial y′ = x3−2x2y+xy2+1, efectuando a mudanca
de variavel y = x +1
z(x)que intersecta o eixo das abcissas em 2.
(2 chamada - Janeiro de 1998)
15. Considere o sistema(
x1
x2
)
=
[
0 1
−2 −3
](
x1
x2
)
(a) Relacione a solucao geral deste sistema com a equacao diferencial y ′′ + 3y′ + 2y = 0.
(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial y ′′ + 3y′ + 2y = ex.
22
(c) Determine a solucao geral do sistema
(
x1
x2
)
=
[
0 1
−2 −3
](
x1
x2
)
+
(
0
−ex
)
utilizando as alıneas anteriores.
(2◦ chamada - Janeiro de 1998)
16. Resolva a equacao diferencial
(
1
yln y + y lnx− x2
)
y′ = 2xy − y2
2x− x lnx.
(2◦ chamada - Janeiro de 1998)
17. Considere a equacao diferencial x2z′′ + xz′ − z = 1, (x 6= 0).
(a) Efectuando a mudanca de variavel z = yx e possıvel transformar a equacao acima
numa do tipo y′′ + α(x)y′ = β(x). Determine as funcoes α(x) e β(x).
(b) Utilizando a alınea anterior resolva a equacao x2z′′+xz′− z = 1, z(1) = 3, z′(1) = 0,
e indique o maior intervalo onde a funcao esta definida.
[ Nota: se nao resolveu a) utilize α(x) = 5 e β(x) = x.]
(Recurso - Fevereiro de 1998)
18. Considere o sistema(
x
y
)
=
[
0 1
−1 0
](
x
y
)
(a) Determine a solucao geral deste sistema.
(b) Esboce o diagrama de fase do sistema em torno de uma solucao de equilıbrio.
(c) Relacione a solucao geral do sistema com a solucao geral da equacao diferencial y ′ =
−x
y.
(d) Considere o sistema(
x
y
)
=
[
ε 1
−1 ε
](
x
y
)
Determine a solucao geral deste sistema. Trace os diagramas de fase quando ε < 0 e
ε > 0.
(e) Suponha que |ε| e arbitrariamente pequeno. Relacione os resultados de b) com os de
d).
(Recurso - Fevereiro de 1998)
23
19. Considere a equacao diferencial y′′ + 2ky′ + y = 1, onde 0 < k < 1. Determine:
(a) uma solucao da equacao.
(b) a solucao geral da equacao homogenea associada.
(c) a solucao que obedece a y(0) = 0 e y′(0) = 0.
(d) min{τ ∈ R+ : y(τ) = 1}.
(Recurso - Fevereiro de 1998)
20. Considere a equacao diferencial y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = ex + 1.
(a) Determine o espaco de solucoes da equacao homogenea associada.
(b) Determine a solucao da equacao diferencial que satisfaz as condicoes: y(0) = − 1
4;
y′(0) = 0 e y′′(0) =11
2.
(1◦ chamada - Janeiro de 1997)
21. Considere o sistema:
{
x = x + 2y + x cos y
y = −y − sin y
(a) Verifique que a funcao F (t) = (x(t), y(t)) = (0, 0) e solucao deste sistema. Resolva a
equacao diferencial y′(x) = f(x, y) que se obtem dividindo y(t) por x(t).
(b) A partir dos desenvolvimentos em serie de cos y e sin y, ignorando todas as potencias
da forma xnym, com n + m > 1 verifique que se obtem o sistema:
{
x = 2x + 2y
y = −2y
Resolva este sistema e esboce o diagrama de fase em torno da solucao de equilıbrio
(0, 0).
(c) Esboce no plano de fase, com cuidado, a solucao do sistema obtido na alınea b)
que satisfaz as condicoes (x(0), y(0)) = (1,−2). Esboce ainda a solucao da equacao
diferencial obtida em a) que satisfaz a condicao inicial y(1) = −2, ou o que e o mesmo,
x(−2) = 1.
[Sug: faca o esboco considerando quatro pontos diferentes, proximos da origem, por
onde passa essa solucao e calcule ainda o limite de x(y) quando y −→ 0. Considere
sin 2 ' 0.9].
Compare os esbocos e comente.
(1◦ chamada - Janeiro de 1997)
22. Considere a equacao diferencial x2y′′ + a0y = 3x2.
24
(a) Determine a0 de forma a que x2 lnx seja solucao da equacao.
(b) Substituindo a0 pelo valor encontrado em a), resolva a equacao diferencial efectuando
a mudanca de variavel x = et.
(c) Determine a solucao da equacao diferencial que satisfaz as condicoes: y(1) = 0;
y′(1) = 1.
(2◦ chamada - Janeiro de 1997)
23. Considere o sistema de equacoes diferenciais:
{
x1 = x1 + ax2
x2 = x2 − ax1
, a > 0. Determine a
matriz fundamental de solucoes Φ(t) que satisfaz Φ(0) = I, onde I representa a matriz
identidade.
(2◦ chamada - Janeiro de 1997)
24. Considere o sistema:[
x
y
]
=
[
32 −1
2
−12
32
][
x
y
]
(a) Resolva o sistema e trace o diagrama de fase em torno da solucao de equilıbrio (0, 0).
(b) Considere a equacao diferencial y′(x) = f(x, y) que se obtem dividindo y(t) por x(t).
Relacione a solucao geral da equacao diferencial com a solucao geral do sistema.
(c) Trace a solucao do sistema que satisfaz a condicao inicial x(0) = 1 e y(0) = −1 e a
solucao da equacao diferencial que satisfaz a condicao inicial y(1) = −1. Comente o
resultado.
(2◦ chamada - Janeiro de 1997)
25. Considere a equacao diferencial x2 + y2(x)a(x) + 2xy(x)a(x)y′(x) = 0.
(a) Determine a funcao a : R → R tal que a(0) = 4 e a equacao diferencial seja exacta.
(b) Determine a solucao da equacao diferencial que satisfaz y(3) = 1 e o domınio onde essa
solucao e valida. ( Se nao resolveu a alınea a) considere a equacao x2+y2+2xyy′ = 0.)
(Recurso - Fevereiro de 1997)
26. Considere a equacao diferencial y′′(t) + 2y′(t)− 3y(t) = f(t).
(a) Seja f(t) = 0. Resolva a equacao diferencial.
25
(b) Tranforme a equacao diferencial de a) num sistema de equacoes diferenciais da forma:[
x1(t)
x2(t)
]
= A
[
x1(t)
x2(t)
]
. Resolva o sistema e analise a relacao entre a solucao geral
do sistema e a da equacao diferencial.
(c) Determine uma matriz fundamental Φ(t) do sistema obtido em b) e escreva a solucao
geral do sistema em termos de Φ.
(d) Considere de novo a equacao diferencial dada quando f(t) = e3t. Resolva-a. Verifique
ainda que esta equacao diferencial nao homogenea pode ser transformada num sistema
da forma[
x1(t)
x2(t)
]
= A
[
x1(t)
x2(t)
]
+
[
0
e3t
]
,
onde A e a matriz obtida na alınea b).
(e) Com base na solucao da equacao diferencial y′′(t)+2y′(t)−3y(t) = e3t, verifique que a
solucao do sistema na alınea anterior e dada por x(t) = Φ(t)C+Φ(t)
∫ t
0Φ−1(s)g(s) ds,
onde x(t) = (x1(t), x2(t))T , Φ e a matriz fundamental obtida em c), C e um vector
constante e g(s) =
(
0
e3s
)
(Nota: para integrar uma matriz ou vector de funcoes, integra-se componente a com-
ponente, obtendo-se ainda uma matriz ou vector com as mesmas dimensoes.)
(Recurso - Fevereiro de 1997)
27. Seja L = D2 + a1D + a0I um operador diferencial de ordem 2 cujos coeficientes a1 e a0
sao funcoes contınuas num intervalo J . Considere a equacao diferencial Ly = 0 e suponha
que y1 e solucao dessa equacao diferencial que nunca se anula em J . Seja c ∈ J qualquer
e considere a funcao y2(x) = y1(x).G(x) onde G(x) =
∫ x
c
r(t)
y21(t)
dt e r(t) = e−∫
a1(t)dt.
(a) Mostre que y2 e solucao da equacao diferencial. Recorde que G′(x) =r(x)
y21(x)
.
(b) Mostre que y1 e y2 sao linearmente independentes.
(4 - Janeiro 2000)
28. Considere as matrizes
A =
[
1 1
0 0
]
B =
[
1 −1
0 0
]
(a) Calcule eA, eB, e(A+B) e conclua que eAeB 6= e(A+B).
26
(b) Determine as solucoes dos sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = (A + B)x(t).
(c) Determine o diagrama de fase do sistema x(t) = Ax(t).
(4 - Janeiro 2000)
29. Considere a matriz
A =
−2 1 0
0 −2 0
0 0 −2
e o sistema de equacoes diferenciais x(t) = Ax(t).
(a) Calcule os valores, vectores proprios e, se os houver, vectores proprios generalizados,
de A.
(b) Determine a matriz de Jordan de A.
(c) Calcule a solucao geral do sistema dado.
(4 - Janeiro 2000)
30. Seja x > 0 e g(x) =
∫ x
1
et
tdt.
(a) Verifique que a funcao f(x) = eg(x) e solucao da equacao diferencial
x2y′′ + xy′ − ex(ex + x)y = 0.
(b) Use a informacao da alınea anterior para determinar todas as solucoes da equacao
diferencial no intervalo (0,+∞).
Sugestao: a mudanca de variavel y(x) = z(x)f(x) podera ser util.
(25- Janeiro 2000)
31. Considere as matrizes
A =
[
1 0
0 −1
]
B =
[
−2 0
0 −2
]
(a) Verifique que eAeB = e(A+B).
(b) Determine as solucoes dos sistemas x(t) = Ax(t), x(t) = Bx(t) e x(t) = (A+B)x(t).
(c) Trace os diagramas de fase das solucoes de x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).
(25- Janeiro 2000)
27
32. Considere as matrizes
A =
0 −1 0
1 0 0
0 0 −1
B =
[
0 −1
1 0
]
(a) Calcule os valores proprios e os vectores proprios destas duas matrizes.
(b) Determine a solucao geral dos sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).
(c) Desenhe o diagrama de fase do sistema x(t) = Bx(t) assinalando convenientemente
a solucao do sistema que satisfaz a condicao inicial x(0) = (0, 1)T .
(25- Janeiro 2000)
33. Considere a equacao diferencial
4x2y′′ + 4xy′ − y = 0.
(a) Mostre que existe um m > 0 tal que y(x) = xm e solucao da equacao diferencial para
x > 0.
(b) Determine todas as solucoes da equacao diferencial dada para x > 0.
Sugestao: a mudanca de variavel y(x) = z(x)y(x) podera ser util.
(8- Fev 2000)
34. Seja k(t) > 0 para todo o t. Seja
A(t) =
[
0 k2(t)
−k2(t) 0
]
.
Seja x(t) = (x1(t), x2(t))T ∈ R2 e considere o sistema x(t) = A(t)x(t).
(a) Mostre que[
x1(t)
x2(t)
]
=
[
cos(r(t)) sin(r(t))
− sin(r(t)) cos(r(t))
][
x1(0)
x2(0)
]
e solucao do sistema de equacoes diferenciais onde r(t) =
∫ t
0k2(σ)dσ.
(b) Mostre que x1 e solucao da equacao diferencial
y′′(t)− 2k′(t)
k(t)y′(t) + k4(t)y(t) = 0
(8- Fev 2000)
28
35. Considere as matrizes
A =
[
12 −3
2
−32
12
]
B =
[
−1 0
0 2
]
e os sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).
(a) Calcule os valores proprios e os vectores proprios destas duas matrizes.
(b) Determine a solucao geral dos sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).
(c) Calcule os limt→+∞
x1(t) onde x1 e a primeira componente de x e x e, respectivamente,
(i) a solucao do sistema do x(t) = Bx(t) que satisfaz a x(0) = (1, 0)T , (ii) a solucao
do sistema do x(t) = Bx(t) que satisfaz a x(0) = (0, 1)T e (iii) a solucao do sistema
do x(t) = Bx(t) que satisfaz a x(0) = (1, 1)T .
(d) Desenhe os diagramas de fase dos dois sistemas.
(8- Fev 2000)
7. Mini-Testes: 7 de Dezembro 1999
1. Considere a seguinte equacao diferencial (x2 + y2 − x) − yy′ = 0. Um factor integrante
desta equacao e
(a) h(x) = 2.
(b) h(x) = 0.
(c) h(y) = y.
(d) h(x, y) =1
x2 + y2.
2. Considere a seguinte equacao diferencial x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0. Sabendo que y1(x) = x
e uma solucao da equacao diferencial, podemos concluir que todas as funcoes da seguinte
forma sao solucoes da equacao diferencial
(a) y(x) = c1x + c2, ∀c1, c2 ∈ R.
(b) y(x) = c1x + c2ex, ∀c1, c2 ∈ R.
(c) Nao ha mais qualquer uma solucao.
(d) y(x) = c1x + c2x3
2, ∀c1, c2 ∈ R.
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3. Se uma certa funcao f pode ser representada por uma serie de Taylor em torno do ponto
a, a serie de Taylor e dada por∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n. Sendo y a solucao do problema de
valor inicial y′′ − 2y′ + y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1 pode ser representada pela serie
(a) (x− 1)∞∑
n=0
(x− 1)n
n!, (b)
∞∑
n=0
(x− 1)n
n!
(c)
∞∑
n=0
xn
n!, (d) Nao tem representacao em serie de Taylor.
4. Considere o problema de valor inicial y′ = 2 cos(2x), y(0) = 0. Como y1(x) = sin(2x) e
y2(x) = 2 sin(x) cos(x) sao solucoes do problema de valor inicial, concluimos que
(a) A equacao diferencial tem duas solucoes linearmente independentes.
(b) y2(x) = y1(x) em toda a recta real.
(c) A equacao diferencial nao satisfaz o teorema da existencia e unicidade.
(d) y2(x) = y1(x) apenas em algum intervalo que nao contenha 0.
5. Considere a equacao diferencial y′′′ − 4y′ = 0. A matriz Wronskiana de um sistema
fundamental de solucoes desta E.D. e
(a) W =
1 0 0
ex 2e2x e−2x
ex e2x −2e−2x
(b) W =
ex e2x e−2x
ex 2e2x −2e−2x
ex 4e2x 4e−2x
(c) W =
1 e2x e−2x
0 2e2x −2e−2x
0 4e2x 4e−2x
(d) W =
ex ex ex
e2x 2e2x 4e2x
e−2x −2e−2x 4e−2x
6. Qual e o operador linear diferencial, de coeficientes constantes, de menor ordem para o
qual a funcao g(x) = xex + 4 cos(2x) e solucao?
(a) Q = (D − I)2(D2 + 4I).
(b) Q = (D − I)D(D2 + 4I).
(c) Q = (D − 2I)(D − I).
(d) Q = (D − I)(D2 + 4I).