Análise Numérica - Apresentação1

Análise Numérica

Objectivo: Resolver problemas

matemáticos usando operações de

aritmética Uso do computador

Análise Numérica - Apresentação2

Porquê?

Problemas reais

Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…)

Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia Engenharia Medicina ...

Análise Numérica

Análise Numérica - Apresentação3

Como funciona?

Aulas teóricas (teoria + exemplos) Aulas práticas (máquina de cálcular +

computador ) Avaliação

Prova prática (computador) – (2 valores)

+ Exame final (máquina de calcular) – (18 valores)

Questão (computador) – (2 valores)

Análise Numérica - Apresentação4

Bibliografia

Apontamentos na editorial(e na página da disciplina)

Valença, Maria Raquel; Métodos numéricos Pina, Heitor; Métodos numéricos Burden, Richard L.; Numerical Analysis Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical

analysis Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysis Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for

engineers Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using

Matlab

Análise Numérica - Apresentação5

Programa

Equações não lineares – Métodos iterativosProblema: Encontrar as raízes de

Objectivo: Determinar

022 x

2

Análise Numérica - Apresentação6

Programa

Métodos iterativos

Reescrever a equação:

Ambas são verificadas para

x

xxx

1

2022

2

Análise Numérica - Apresentação7

Programa

Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo:

Produz uma solução aproximada

Processo rápido (neste caso)

1

1

2

0

1

x

x

xx

n

nn

2

n xn xn+1

0 1 1,5

1 1,5 1,41666666666667

2 1,41666666666667 1,41421568627451

3 1,41421568627451 1,41421356237469

4 1,41421356237469 1,41421356237309

5 1,41421356237309 1,41421356237309

1,414213562373100

Análise Numérica - Apresentação8

Programa

Sistemas de equações lineares Métodos Directos Métodos Iterativos

Aproximação polinomial Interpolação polinomial Introdução ao método dos mínimos

quadrados

Análise Numérica - Apresentação9

Programa

Integração numérica Diferenciação numérica Introdução à resolução numérica

de equações diferenciais Exemplo: Movimento do pêndulo

?)(0sin2

2t

L

g

dt

dc

dt

d

Análise Numérica - Apresentação10

Programa

Métodos Numéricos soluções aproximadas.

Como controlar o erro?

Teoria de erros

Análise Numérica - Apresentação11

Como se cometem erros?...

...!5!3

sin53

xx

xx

4/x

sin( ) ≈ 0,7071067811865474/

parcelas somas parciais

7,85398163397448E-017,85398163397448E-

01

-8,07455121882808E-027,04652651209167E-

01

2,49039457019272E-037,07143045779360E-

01

-3,65762041821772E-057,07106469575178E-

01

3,13361689037812E-077,07106782936867E-

01

-1,75724767344340E-097,07106781179619E-

01

6,94845327388663E-127,07106781186567E-

01

-2,04102633966414E-147,07106781186547E-

01

4,62870462883468E-177,07106781186547E-

01

-8,34858983481167E-207,07106781186547E-

01

Análise Numérica - Apresentação12

Erros dos instrumentos de cálculo

Exemplof(x,y)=333.75y6+x2(11x2y2-y6-121y4-2)+5.5y8+x/(2y)

Matlabf(77617,33096) = -1.1806e+021 (Matlab)

Maple f(77617,33096) = -0.8273960599468… (40 Digits)

f(77617,33096) = 0.1…×108 (30 Digits)

• Resultado exacto = -0.8273960599468…

Análise Numérica - Apresentação13

Representação dos números

Números em vírgula flutuante (float)

Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos

Números representados pela máquina

(só um conjunto finito de pontos xi=xi -1(1+epsilon))

Epsilon=M=b-t+1

Float= sinal mantissa baseexpoente

overflowoverflow underflow

-xmax -xmin xmin xmax0

Análise Numérica - Apresentação14

Uma pequena animação

Para ver o efeito de t e k na fórmula

Clique aqui

Nota: Se não consegue ver, instale o

Macromedia Flash Player

(em http://www.macromedia.com/downloads/ )

base .0 1

21 bbaaaA keet

Análise Numérica - Apresentação15

Representação dos números

Exemplos: (32.4)10 +0.324102

(310-1+210-2+410-3)102

(-1011.11)2 -0. 10111124

(12-1+02-2+12-3+ 12-4+12-5+12-

6)24

Análise Numérica - Apresentação16

– Erros computacionais

Qual a causa dos erros?

•Nem todos os números podem ser representados

•A adição (+) e a multiplicação () não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante

Análise Numérica - Apresentação17

Como aparecem resultados diferentes? Exemplo256327553-594253247.8-3211862.9=-9.9

(exacto)

Máquina de cálcular com base=10 e:

193598496 193000515 597990.9

t resultado

5 .19360109-.19300109-.59799106=2010

6 .193598109-.193001109-.597991106=-991

7 .1935985109-.1930005109-.5979909106=9.1

8 .19359850109-.19300052109-.5979909106=-10.9

Análise Numérica - Apresentação18

Porque aparecem resultados tão diferentes?

Erro

>

resultado

Análise Numérica - Apresentação19

Como se podem evitar?

Usando máquinas mais precisas. Usando expressões equivalentes (na

aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos.

Casa: Calcule as duas expressões para

Maple

432

135697

73.13