UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE

FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Tensores

(REVISÃO BIBLIOGRÁFICA)

Discente : Belarmino Matsinhe Docente: MSC. Dombo

Maputo, 2012

TENSORES

ii

INDICE DE SUMARIO PAG

RESUMO ......................................................................................................................................................... iii

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................. 1

!objectívo ........................................................................................................................................................... 1

2 REVISÃO BIBLIOGRAFICA ....................................................................................................................... 2

2.1 TENSORES ................................................................................................................................................. 2

2.1.1 componentes de um tensor .................................................................................................................. 3

2.2 Algebra de tensores ................................................................................................................................ 4

2.2.1 Tensor nulo ....................................................................................................................................... 4

2.2.3 Soma de tensores .............................................................................................................................. 5

2.2.4 produto tensorial de dois vectores .................................................................................................. 5

2.2.5 produto tensorial .............................................................................................................................. 6

2.2.6 Derivada ........................................................................................................................................... 6

2.3 Aplicações de Tensores ............................................................................................................................ 6

3.Considerações finais ................................................................................................................................... 8

4. Bibliogáfia ..................................................................................................................................................... 8

TENSORES

iii

TENSORES

AUTOR:Belarmino Matsinhe1

RESUMO

O objectívo desta pesquisa bibliográfica é descrever em linhas gerias os tensores e sua aplicação em

física, para tal, usou-se como metôdo a investigação em linhagem matemática sobre o tema, a partir

do conceito de tensor, algebra tensorial e conduziu-se a pesquisa para alcansar as aplicações em

física, constatou-se que o estudo de tensores é uma ferramenta muito importante para a resolução de

problemas em sistemas não simples de interpretar, conseguindo assim descrever fenómenos em

geral atravéz de uma só equação.

1 Estudante Universitário do IV ano (U.E.M), correio electrónico: bmatsinhe@facebook.com

TENSORES

1

1 INTRODUÇÃO

Em análise tensorial as equações que descrevem os fenómenos assim como as suas

soluções podem ser simplificados quando resolvidos num sistema de coordenadas adequado. Por

exemplo, no cálculo do volume de uma esfera, as suas condições de fronteira são imediatas em

coordenadas esféricas ( 22 Rr ), o mesmo não se passa em coordenadas cartesianas (x2 + y

2 +

z2 R

2); a força gravítica em coordenadas esféricas apresenta apenas uma única componente

(radial), enquanto que o seu cálculo não é de todo tão simples quando efectuado em coordenadas

cartesianas. Não só, assim como, os elementos sólidos desenvolvem-se num espaço

tridimensional que respeita a sua Geometria, sendo necessário posicionar pontos, curvas,

superfícies e objectos no espaço geométrico tridimensional em que se inserem, para esse efeito

utilizam-se sistemas de eixos ortogonais de referência designadas tensões, onde as entidades são

quantidades representadas em geral por tensores de segunda ordem, para os quais se usa a

simbologia A,B,C… ou a notação indicial Aij ,Bij ,Cij...associada às componentes dos tensores de

2ª ordem . Para algumas grandezas utilizar-se tensores de 3ª ordem para a sua representação,

sendo a notação utilizada Aijk , Bijk ,Cijk ....

!objectívo

1. Descrever em linhas gerais os tensores e sua aplicação em física

TENSORES

2

2 REVISÃO BIBLIOGRAFICA

2.1 TENSORES

Assim sendo, para quaisquer (u e v) ν, tem-se:

T(u+v) = Tu + Tv ; (eq.1a)

T( v ) = Tv R (eq.1b)

De forma geral, dados os vectores u1,u2 ,...,un e escalares α1, α2,..., αn as relações

anteriores podem ser resumidas em:

in2n21 TuTuTuTuuuuT inn ...)...( 21121 (eq. 2)

O conjunto de todos os tensores forma o espaço vectorial se a adição e a multiplicação

por um escalar forem definidas ponto a ponto, ou seja, S+T e αS ( R ) são tensores

definidas por:

( S+T)ν = Sν + Tν (eq.3a)

( αS ) ν = α(S ν ) (eq.3b)

A forma com a qual se definiu o conceito de tensor, acima, permite que se faça uma associação

biunívuca entre tensores e matrizes. Dessa maneira, as operações matriciais equivalentes às duas últimas

operações tensoriais são, respectivamente, a soma e o produto por um escalar e usualmente são

conhecidos da análise e do estudo de matrizes.

Definição:

Usa-se o termo tensor para representar uma transformação linear de ν * em ν. Logo,

um tensor T é uma transformação linear que associa a cada vector u a um outro vector v

através da operação: v = Tu

TENSORES

3

2.1.1 componentes de um tensor

Dado um vector u uma base ortonormal qualquer { 321 ,, eee }, as componentes desse vector

em relação a essa base são dadas por:

u

u

u

ui

.

.

.

.u

33

22

11

eu

eu

eu

ei (eq.4)

Por sua vez, denota-se o vector u em termos de suas componentes como:

iieueueueu 332211u (eq.5)

Aplicando-se o tensor T vector u , tem-se um novo vector ν = Tu que, pela lineardade de

T, pode ser escrito como:

ii eueueueu TTTuv )( 332211 (eq.6)

As components de ν são dadas por:

jiji eeuv

eeueeueeuev

eeueeueeuev

eeueeueeuev

T

TTTν

TTTν

TTTν

33323213133

32322212122

31321211111 (eq.7)

Neste caso, termos como 1111 Tee T e 2112 Tee T são interpretados como componentes

de 1eT nas direções 1e e 2e respectivamente, de uma forma geral, define-se ijT como sendo as

components do tensor T, dadas por:

jiij eeT T. (eq.8)

Assim sendo, a equação 6 pode se escrita na forma de componentes como:

jiji uTv

uTuTuTv

uTuTuTv

uTuTuTv

3332321313

3232221212

3132121111 (eq.9)

A relação anterior pode ainda se representada na forma matricial:

TENSORES

4

}]{[}{

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

uTv

u

u

u

TTT

TTT

TTT

v

v

v (eq.10)

Onde [T] é denominada matriz do tensor T à base { 321 ,, eee }.

Exemplo didáctico2.1.1 numa dada base, a transformação T: v v, é a multiplicação de

vectores ,sendo u = 321 eee 2 , pela matriz:

001

732

201

][T

Solução

321 eeeTuv

3

1

3

1

1

2

1

.

001

732

201

2.2 Algebra de tensores

Os tensores podem ser definidos como multiplicidades em cada sistema de coordenadas,

pelo que obedecem à algebra de multiplicidades (Gil & Lau, 2002); a única diferença reside na

posição dos índices, que condiciona as operações. Destacam-se algumas regras a que os tensores

obedecem.

2.2.1 Tensor nulo

O elemento nulo do espaço de tensores Lin é o tensor nulo 0 que transforma qualquer

vector em vector nulo, ou seja,

00v (eq.11)

A forma matricial associada ao tensor é aquela cujo os coeficientes são todos nulos, ou seja.

000

000

000

][0

TENSORES

5

2.2.2 Tensor identidade

Tensor identidade em Lin é definido por,

vIv vv (eq.12)

Em particular, tem-se: 11 eIe 22 eIe 33 eIe

Logo, as componentes do tensor identidade são:

ijjijiij eeIeeI (eq.13)

Sendo ij o delta de Dirac, definido de tal forma que

jise

jise

ij;1

;0 . a representação matricial

associada a esse tensor é obviamente a matriz identidade,

100

010

001

][I

2.2.3 Soma de tensores

a soma se tensores é um tensor, cujo componentes são expressas como;

ijijjijijiij TSTeeSeeT)e(SeT)(S (eq.11)

2.2.4 produto tensorial de dois vectores

o produto tensorial ba de dois vectores a e b é definido como uma transformação

que associa a cada vector v o vector (b.v)a, ou seja,

(b.v)aνba )(

(eq.12)

Para qualquer u, v ν, α,β R, pode-se verificar que:

.)()(()()]()([)].([)( vbabab.v)aab.uab.vb.uaνubν)u(ba u

Desta forma , observa-se que ba satisfaz as propriedades básicas de uma

transformação linear sendo, portanto, um tensor. Por sua vez, as componentes de um tal tensor

com respeito a uma base ortogonal { 321 ,, eee } são as seguintes,

TENSORES

6

jiijjijijijijiij bababaebeeeee )()().()].[).)( baaa(bb(aba

2.2.5 produto tensorial

O produto tensoria ST dois tensores S e T é o tensor que define a transformação

composta,

ST = S * T (eq.13a)

Ou seja,

( ST ) ν = S(T ν ) vv (eq.13b)

As componentes de ST são dadas por:

jiimjmjijiij TSSeeTeSTe(ST)ee(ST) mmmm )(

2.2.6 Derivada

A derivada de um vector ievv ( em ordem a uma coordenada por exemplo) é

necessariamente a de um produto, isto é, a derivada resume-se à derivada das suas componentes:

j

i

j

i

j

jj

i

j

i

i edx

dv

dx

edve

dx

dv

dx

vdconste )()()(: (eq.(14)

2.3 Aplicações de Tensores

Em análise tensorial as equações que descrevem os fenómenos assim como as suas

soluções podem ser simplificados quando resolvidos num sistema de coordenadas adequado. Por

exemplo, no cálculo do volume de uma esfera, as suas condições de fronteira são imediatas em

A expressão anterior pode ser escrita matematicamente como sendo:

[ST] = [S][T], sabendo que ST TS, embora o produto de tensores seja também associativo,

TENSORES

7

coordenadas esféricas ( 22 Rr ), o mesmo não se passa em coordenadas cartesianas (x2 + y

2 +

z2 R

2); a força gravítica em coordenadas esféricas apresenta apenas uma única componente

(radial), enquanto que o seu cálculo não é de todo tão simples quando efectuado em coordenadas

cartesianas.

2.3.1 exemplo de aplicação directa de tensor

Considere-se a lei de conservação de energia para um sistema aberto em coordenadas

cartesianas;

dsBBnB

nEEnE

npdt

ddVg

dt

d

s

part

V

])(2

[1

])(2

[2

0

2

0

(eq.E.1)

Onde o integral volumétrico representa o impulso total do campo electromagnético , g é a

densidade de impulso, e todas outras grandezas são assim conhecidas em física.

Visto que estes integrais não seriam tão simples quando efectuados em coordenadas

cartesianas.assim sendo, aplicando o principio de tensor pode-se ter as coordenadas do vector s

Tal que, cada grandeza deste vector pode ser escrito na forma:

313212

3

1

111 nnnnk

kik

(eq.E.2)

A (eq.E.2) designa-se tensor de Maxwell, e pode ser dado para este caso como:

3

1 0

0

0

2

0

3

1

1)

1(

2

1

k

kkikkikik

k

kik nBBnEEnEn

(eq.E.3)

logo pode-se escrever:

s k

kikpart

V

dsnpdt

ddVg

dt

d 3

1

(eq.E.4)

Pelo teorema de Gauss, pode-se ter:

Conserve que todas as parcelas

3

1k

kik n obedecem o teorema de delta de Dirac

TENSORES

8

dVdr

ddsn

V k k

ik

s k

kik

3

1

logo; a equação de conservação de impulso na forma

diferencial será dado como:

k k

ikparti

dr

d

dt

dP

dt

dg (eq.E.5)

3.Considerações finais

o estudo de tensores é uma ferramenta muito importante para a resolução de problemas

em sistemas não simples de interpretar, conseguindo assim descrever fenómenos em geral

atravéz de uma só equação.

4. Bibliogáfia

1. F.J.P. Lau,P.J.S.Gil;(2005); Elementos de Análise Tensorial;notas para a cadeira de mecânica

aplicada II.

2. Spiegel, M. R;(1959). Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis;

Schaum’s Outline Series; McGraw-Hill.

3. Eugene Butkov;(1973); Matematical Physics; Addison-Wesley Publishing Company; New

York.

4. Apendice C