analisi ai nodi

Analisi ai nodiAnalisi ai nodi

Step 1: numerare ordinatamente tutti i nodi della Step 1: numerare ordinatamente tutti i nodi della reterete

Step 2: scegliere un nodo come riferimentoStep 2: scegliere un nodo come riferimento Step 3: costruire la matrice delle ammettenze Step 3: costruire la matrice delle ammettenze YY Step 4: costruire il vettore dei generatori di corrente Step 4: costruire il vettore dei generatori di corrente

ai nodi ai nodi ii Step 5:Step 5: risolvere il sistema risolvere il sistema Ye = i Ye = i con con ee vettore dei vettore dei

potenziali ai nodipotenziali ai nodi Finito!Finito!


CHIARO?CHIARO?


Consideriamo il circuito in figura:Consideriamo il circuito in figura:

I nodi sono contrassegnati da lettere (A, B,…). Per comodità sostituiamo le I nodi sono contrassegnati da lettere (A, B,…). Per comodità sostituiamo le lettere con numeri: abbiamo appena effettuato il primo step.lettere con numeri: abbiamo appena effettuato il primo step.


Scegliamo il nodo 4 come riferimento (non lo considereremo nelle equazioni). Scegliamo il nodo 4 come riferimento (non lo considereremo nelle equazioni). Questo è il secondo step.Questo è il secondo step.

1

2

3

4


La matrice delle ammettenze La matrice delle ammettenze YY ha numero di righe e numero di colonne pari ha numero di righe e numero di colonne pari al numero di nodi meno 1, nel nostro caso 4 – 1 = 3.al numero di nodi meno 1, nel nostro caso 4 – 1 = 3.

1

2

3

4


Quando una matrice è formata da 3 righe e 3 colonne si dice che è una matrice 3x3. Il primo elemento della prima riga sarà y[1,1], il secondo elemento della prima riga sarà Quando una matrice è formata da 3 righe e 3 colonne si dice che è una matrice 3x3. Il primo elemento della prima riga sarà y[1,1], il secondo elemento della prima riga sarà y[1,2], il terzo elemento della prima riga sarà y[1,3], il primo elemento della seconda riga sarà y[2,1], … Quindi il primo dei due numeri (indici) individua la riga, il secondo la y[1,2], il terzo elemento della prima riga sarà y[1,3], il primo elemento della seconda riga sarà y[2,1], … Quindi il primo dei due numeri (indici) individua la riga, il secondo la colonna.colonna.

Come si calcolano questi elementi?Come si calcolano questi elementi?

1

2

3

4


Semplicissimo! (o quasi).Semplicissimo! (o quasi).

Gli elementi del tipo y[i,i] sono dati dalla somma di tutte le conduttanze che convergono direttamente nel nodo i. Gli elementi del tipo y[i,i] sono dati dalla somma di tutte le conduttanze che convergono direttamente nel nodo i.

1

2

3

4


Per esempio nel nodo 1 convergono direttamente le resistenze RPer esempio nel nodo 1 convergono direttamente le resistenze R11, R, R44 ed R ed R33, quindi:, quindi:

y[1,1] = Gy[1,1] = G11 + G + G44 + G + G3 3 = 1/10 + 1/200 + 1/200 = 0,11= 1/10 + 1/200 + 1/200 = 0,11

1

2

3

4


Gli elementi del tipo y[i,j] sono dati dalla conduttanza cambiata di segno tra il Gli elementi del tipo y[i,j] sono dati dalla conduttanza cambiata di segno tra il nodo i ed il nodo j. nodo i ed il nodo j.

1

2

3

4


Per esempio y[1,2] = -1/R4, perché tra i nodi 1 e 2 c’è solo RPer esempio y[1,2] = -1/R4, perché tra i nodi 1 e 2 c’è solo R44. Se due nodi i e j non sono collegati direttamente allora y[i,j] = 0.. Se due nodi i e j non sono collegati direttamente allora y[i,j] = 0.

Fatto lo step 3.Fatto lo step 3.

1

2

3

4


Il vettore dei generatori di corrente ai nodi Il vettore dei generatori di corrente ai nodi ii si costruisce così: si costruisce così:Al primo posto si considera la somma di tutti i generatori di corrente entranti nel nodo 1, al secondo posto la somma dei Al primo posto si considera la somma di tutti i generatori di corrente entranti nel nodo 1, al secondo posto la somma dei generatori di corrente entranti nel nodo 2, …generatori di corrente entranti nel nodo 2, …

1

2

3

4


Se in un nodo converge, invece, un generatore di tensione con in serie una Se in un nodo converge, invece, un generatore di tensione con in serie una resistenza, il termine da considerare sarà del tipo E/Rresistenza, il termine da considerare sarà del tipo E/R

1

2

3

4


Nel nostro caso:Nel nostro caso:Nodo 1 Nodo 1 EE11/R/R11 = 5/10 = 0,5 = 5/10 = 0,5

Nodo 2Nodo 2 II00 = 0,04= 0,04

Nodo 3Nodo 3 - - EE22/R/R22 = - 5/20 = - 0,025 = - 5/20 = - 0,025

Quindi Quindi ii = [0,5 0,04 -0,025] = [0,5 0,04 -0,025]

Perché l’ultimo termine è negativo?Perché l’ultimo termine è negativo?

1

2

3

4


Cosa è il vettore Cosa è il vettore e e dei potenziali ai nodi? dei potenziali ai nodi?

e[1] è il potenziale del nodo 1 rispetto al nodo di riferimento (nel nostro caso il nodo 4). In pratica è la Ve[1] è il potenziale del nodo 1 rispetto al nodo di riferimento (nel nostro caso il nodo 4). In pratica è la V1414. Noti i potenziali dei nodi . Noti i potenziali dei nodi

1, 2 e 3 rispetto al riferimento 4 è possibile calcolare tutte le tensioni nel circuito e tutte le correnti.1, 2 e 3 rispetto al riferimento 4 è possibile calcolare tutte le tensioni nel circuito e tutte le correnti.

1

2

3

4


Ecco il sistema di equazioni in forma matriciale.Ecco il sistema di equazioni in forma matriciale.

1

2

3

4

025,0

04,0

5,0

06,0005,0005,0

005,001,0005,0

005,0005,011,0

3

2

1

e

e

e

iYe


E ora facciamo partire Scilab…E ora facciamo partire Scilab…

1

2

3

4

25,0

04,0

5,0

06,0005,0005,0

005,001,0005,0

005,0005,011,0

3

2

1

e

e

e

iYe

analisi ai nodi

Documents