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Si raccolgono qui temi d’esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni2003-2014 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza.Il materiale e stato reso disponibile dai docenti che hanno tenuto i corsi.
Si inseriscono prima esercizi di autovalutazione. I temi d’esame sono poiordinati dai piu recenti ai meno recenti. Ci sono alcune tracce di soluzione.
Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gliesercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati.
Contenuto :
Test autovalutazione 2008 Pag. 2Test autovalutazione 2007 Pag. 5Test autovalutazione 2006 Pag. 8Esercizi d’autovalutazione Pag. 10Temi d’esame 2013-14 Pag. 29Temi d’esame 2012-13 Pag. 53Temi d’esame 2011-12 Pag. 77Temi d’esame 2010-11 Pag. 99
Temi d’esame 2009-10 Pag. 117Temi d’esame 2008-09 Pag. 140Temi d’esame 2007-08 Pag. 153Temi d’esame 2006-07 Pag. 157Temi d’esame 2005-06 Pag. 165Temi d’esame 2004-05 Pag. 174Temi d’esame 2003-04 Pag. 177
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Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Prova di autovalutazione di Analisi Matematica 1, parte A
Vicenza, 4 dicembre 2008
ATTENZIONE:
• l’Es. 4 e facoltativo (la valutazione complessiva dei primi 3 esercizi e28/30)
• Tempo assegnato: 2 ore e 1/2 per svolgere gli esercizi 1,2,3; 3 ore persvolgere gli esercizi 1,2, 3 e 4.
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = arccos |ex − 1|(a) Determinare il dominio e il segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.
(e) Studiare convessita e flessi di f .
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2 Si consideri la successione
an =2n2 arctan
(1√n
)− 4n arctann+
√n log(1 + 2n)
n2 cosn− 3n2
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(a) Calcolare limn→+∞ an
(b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinitesimo (o infinito) di an.
Esercizio 3 Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite
limx→0
2x2−x − 2x + 2(log 2)x+ x3 sin(1x
)
sin(αx2) + (cos x− 1)2 + e−3/x2 .
Esercizio 4 (Facoltativo) Determinare il valore dei parametri a, b realiaffinche la funzione seguente:
f(x) =
{sinx+cosx−ex2/2
2xx > 0,
2aex − 3bx x ≤ 0
(a) sia continua in IR;
(b) sia di classe C1 in IR.
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Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini. P. Mannucci, C. Marchi e e M. Motta
Prova di autovalutazione di Analisi Matematica 1, orale
Vicenza, 4 dicembre 2008.
TEMA 1
[1] Dare le definizioni precise di massimo, minimo, estremo superiore edestremo inferiore ed enunciarne le proprieta principali.
[2] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.
[3] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (enunciatoe dimostrazione).
TEMA 2
[1] Definizione di limx→−∞ f(x) = −1
[2] Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Enunciare edimostrare il Teorema di derivazione della funzione composta.
[3] Definizione di polinomio di Taylor ed enunciato e dimostrazione dellaFormula di Taylor con il resto di Peano.
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Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini e M. Motta
Prova di autovalutazione di Matematica A, parte A
Vicenza, 15 novembre 2007.Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = log(e2x − 5ex + 6
)− |x|
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie eperiodicita (non e richiesto lo studio del segno).
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non erichiesto lo studio di f ′′)
Esercizio 2 Si consideri il seguente polinomio
P (z) = z3 + (4 + 3i)z2 + (12i+ 3)z + 9i
(a) Verificare che z = −1 e radice di P (z)
(b) Determinarne le altre radici.
(c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ⊆ C di tutti inumeri complessi che soddisfano la seguente disequazione:
∣∣∣∣∣P (z)
(z + 1)(z + 3)
∣∣∣∣∣ ≤ |z + Im(z) + 3i|.
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Esercizio 3
(a) Calcolare il limite
limx→0+
8x6− log(1+x)
x7
sin2(x)x8− 2 log6
(1 + 1
x
) .
(b) Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite
limx→0−
2e3x − 6 tan(x) + αx2 − 2
6 arcsin(x+ x3)− 6x− 6x3.
(c) Determinare il valore del parametro reale α per cui la funzione
f(x) =
2e3x−6 tan(x)+αx2−26 arcsin(x+x3)−6x−6x3 per x < 0
8x6− log(1+x)
x7
sin2(x)
x8−2 log6(1+ 1
x)per x > 0
risulta prolungabile per continuita in x = 0.
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Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini e M. Motta
Prova di autovalutazione di Matematica A, parte B
Vicenza, 15 novembre 2007.
TEMA 1
[1] Dare la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva e di insiemeimmagine e insieme antimmagine di un dato insieme tramite f . Fornirequalche esempio.
[2] Dare la definizione di primitiva di una funzione f e di funzione integraledi f . Enunciare con precisione e dimostrare il fatto che ”tutte le primitivedifferiscono al piu per una costante”.
[3] Enunciare e dimostrare il Teorema (o Criterio) di monotonia per lefunzioni derivabili.
TEMA 2
[1] Definizione di limite di successione (finito e infinito) e di successione in-determinata. Enunciare e dimostrare il Teorema sul limite di una successioneinfinitesima per una limitata.
[2] Dare la definizione di limite finito di una funzione per x tendente ad x0reale tramite le successioni e con gli intorni (ε, δ). Enunciare il Teorema diequivalenza tra le due definizioni (senza dimostrazione).
[3] Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
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Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre 2006.
1. i) Risolvere la seguente equazione in C:
(|z| − i)(z2 − 2z + 6i− 7)(z + 1) = 0.
ii) Determinare, al variare di α ∈ R, l’insieme di definizione della seguente funzionedi variabile complessa
f(z) =z − α
(|z| − i)(z2 − 2z + 6i− 7)(z + 1).
2. Considerando
f(x) =
{ax+ b se x ≥ 0
sin(x4−x)x se x < 0,
determinare i parametri reali a e b in modo che la funzione sia continua e derivabilenel proprio dominio.
3. Data la funzione f(x) = log x+arctg x, determinarne il dominio e l’immagine;si assuma f definita su tali insiemi. i) Provare che la funzione f e invertibile. ii) De-notata con f−1 la relativa funzione inversa, calcolare Df−1(π/4).
4. Trovare dominio, segno, asintoti, intervalli di monotonia della funzione f(x) =√4x2 + 3x− 2x.5. Calcolare il limite seguente, al variare di a ∈ R:
limx→0+
eax2 − ax2 − 1 + x2 log(cosx)
2x5 sin(1x
)+ x2 − x sinx
.
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Cognome Nome Matricola
Prova di autovalutazione per l’ orale di Matematica A
Vicenza, novembre 2006.
TEMA 1
[1] Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore: definizioni e proprieta. Teoremadi esistenza dell’estremo superiore (con dim.)
[1] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (con dim.).
[3] Enunciato e dimostrazione del Teorema sul limite di funzioni composte.
TEMA 2
[1] Successioni monotone e loro proprieta (con dim.)
[2] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.
[3] Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.
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Alcuni esercizi sui primi argomenti di Matematica A.1. Siano date due funzioni g : A → B e f : B → C. Dimostrare che se f ◦ g e
iniettiva, allora g e iniettiva. Dimostrare anche che se f ◦g e iniettiva e g e suriettiva,allora f e iniettiva.
2. Si consideri la funzionef(x) =
x
1 + |x| .
Dimostrare che f(x) e dispari, strettamente crescente e f(R) = (−1, 1). Dimostrareche f : R→ (−1, 1) e biiettiva. Trovare la funzione inversa di f .
3. Trovare, se esistono, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore degliinsiemi seguenti:
{n
n+ 1|n ∈ N∗
},
{1
n+ (−1)n|n ∈ N∗
},
{2n
n2 + 1|n ∈ N∗
},
{p2| p ∈ Z
},
{arcsin
(1
n2 + 1
)|n ∈ N∗
},{2− 1
n2−4n+2 |n ∈ N∗}.
4. Trovare la funzione inversa di h(x) = sin(x+ π) (x ∈[−π
2 ,π2
]).
5. Trovare il dominio di g(x) = arccos |x3 − 1/2|.
Esercizi sui numeri complessi1. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (1− i)3.2. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (−1 + 2i)(−1− 2i).3. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = 1− i.4. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = −1 + i
√3.
5. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (1− i)37.6. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (−1 + i
√3)10.
7. Esprimere in forma algebrica il numero complesso
α = 1 +4− i
1 + 2i.
8. Esprimere in forma algebrica il numero complesso
α =i(2− i)
5i− 1.
9. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = (1−i)5(−1+i√3).
10. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = (1 − i)5/(−1 +i√3).11. Esprimere in forma algebrica il numero complesso
α =
{2(cos(23π)+ i sin
(23π))}3
3(cos(π6
)+ i sin
(π6
)) .
12. Esprimere in forma algebrica il numero complesso
α =
{2
(cos
(2
3π
)+ i sin
(2
3π
))}3
3(cos(π6
)+ i sin
(π6
)).
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13. Esprimere in forma algebrica il numero complesso (1/i)4.
14. Esprimere in forma algebrica il numero complesso(
1+i1−i
)3.
15. Risolvere l’equazione complessa z3 = −8.16. Risolvere l’equazione complessa iz3 + 1 = 0.17. Risolvere l’equazione complessa z2 = −1− i
√3.
18. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 = −√3−
i.19. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa iz2 − 2z +
3i = 0.20. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 − (2 +
4i)z + 4i− 12 = 0.21. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa iz2 +2z −
2√2 = 0.22. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 − 2z +
6(1− 2i) = 0.
23. Determinare un numero complesso z tale che ez = 12 − i
√32 .
24. Esprimere in forma algebrica il numero complesso z = elog 2+i 34π.
25. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z3 = (2 +3i)3.
26. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z4 = (3 +4i)4.
Gli esercizi sui numeri complessi sono tratti da (e, in parte, svolti in): C. Zanella,Geometria – Teoria ed Esercizi, Esculapio, Bologna, 2002.
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MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 2(giustificare le risposte)
Vicenza, ottobre 2007.
Funzioni e numeri complessi
1. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arccos(|x+ 1| − 6)− π/3.
2. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzione
f(x) = arcsin(
1cosh(sinx)
).
3. Determinare dominio e segno della funzionef(x) = arctan
(√4e2x − 9ex + 2− 2ex
).
4. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzionef(x) = log
(4 sinh2 x− 5 sinhx+ 1
).
5. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzione
f(x) = log(sinx)sinx−1
.
6. Data la funzione f(x) = 2x2 − x:a) determinare f(R), f([1/2,+∞[), f−1([0,+∞[),b) dire se f e iniettiva;c) dire se f e suriettiva;d) dire se f ha una restrizione biunivoca sull’immagine e determinarla in caso affermativo.
7. Risolvere le equazioni:
iz2 − 2z − 2− i = 0 iz2 − 2z − 2− i = 0
nell’insieme dei numeri complessi.
8. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’insieme
E ={z ∈ C : (Re(z) + 3)3 (|z + (1 + i)| − 5)2 = 0
}.
9. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’insieme
E =
{z ∈ C :
∣∣∣∣∣|z|2 − i
√5
z2 + 2i
∣∣∣∣∣ > 1
}.
10. (a) Determinare al variare di a ∈ IR le soluzioni complesse di
z2 + z2 − 2|z|2 + i(z − z) + 2z = i− a.(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’ insieme
A ={z ∈ C :
∣∣z2 − (z)2∣∣+ 2zz ≤ 8
}.
(c) Determinare i valori di a ∈ IR per i quali risulta non vuota l’ intersezione tra l’ insiemedelle soluzioni trovate nel punto (a) e l’ insieme A del punto (b).
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11. Determinare l’insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguente disequazione:∣∣∣∣
z
z + iRez
∣∣∣∣ ≥ 1.
Disegnare A nel piano complesso.
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MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 3(giustificare le risposte)
Vicenza, ottobre 2007.
Complessi e limiti di successione
1. Determinare l’insieme degli z complessi tali che|z − 1− 2i| ≤ |z + 1 + 2i||z + 2 + i| ≤ |z − 2− i|Re (iz2 − iz2) ≤ 4.
2. Determinare l’insieme degli z complessi tali che{
log (log(|z + 3|2 − zz)) >∣∣ z+1z+i
∣∣z2 = |z|2i.
3. Determinare l’insieme degli z complessi tali che
z3 = |z|3 2i log(|z|).
4. Calcolare i limiti seguenti:
1. limn
(−1)n cos2 n
n; 2. lim
n
1 + (a− 1)n3 − n sinn + n2 sin(1/n)
log4 n +√n2 + 1
(a 6= 1);
3. limn
n
√nn
n!( usare: lim
n
n√an = lim
n
an+1
anse ∃ il secondo); 4. lim
n
4n + an
n22n + 5n(a > 0);
5. limn
n2 log(1 + 1
n
)+ en sinn + 2
13n logn
n5 − n5 sinn + nn3/2; 6. lim
n
(−1)n−1 − 2
(−1)n − 2.
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MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 4(giustificare le risposte)
Vicenza, ottobre 2007.
Limiti di successione e di funzione
1. Calcolare:
limn
nn
en2 .
2. Calcolare:
limn
na − cosn
3n2 − n2 sin(n3) + sin(√n)
per a = 1 e per a = 3.
3. Calcolare:
limn
n√n + (
√n)n
2n+√n
.
4. Calcolare:
limn
(1 +
1√n
)(n1/3 sinn+(−1)n).
5. Calcolare:
limx→π−
√1 + sin x−
√1− sinx
1− cos2 x.
6. Calcolare:lim
x→−∞
(√3x2 − x−
√3x2 + x+ 1
).
7. Calcolare:
limx→+∞
1 + 3 sinx− x sin(2x)
x2 − 1.
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Limiti di successione e di funzione (da appelli)
1. Calcolare il limite seguente:
limn→+∞
5n!−√
5n2+n3
n3 log(
1 + 1√n
)− 2n2 log(1 + n)
n−n3
.
2. Per ogni valore di α ∈ IR, determinare il seguente limite:
limx→0+
2x − sin(αx)− 1 + x3 sin 1x
1− cos(√x)− 1
2log(x+ 1)
.
3. Calcolare il limite della successione
an =1 + tan3
(1n
)− esin3( 1
n)
1n3+α
(esin
2( 2n) − e 1
n2
)
per n→ +∞ al variare del parametro α ∈ IR.
4. Calcolare il limite seguente al variare di a ∈ IR:
limx→+∞
(1x
)1/x − 2e1/x + cos(1x
)+ a
xlog(1x
)(√
1 + sinh(1x
)−√
1 + sin(1x
))1/3 .
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MATEMATICA A, Cenni sulle soluzioni degli esercizi di autovalutazione bis, 4(ATTENZIONE: in un compito non basta scrivere come nel seguito, vanno giustificati tutti i
passaggi!)
Vicenza, novembre 2007.
Limiti di successione e di funzione
1.
limn
nn
en2 = limnen logn−n2
= 0.
2.
limn
na − cosn
3n2 − n2 sin(n3) + sin(√n)
= limn
na
n2(3− sin(n3))= lim
n
na−2
(3− sin(n3)).
Poiche 2 ≤ 3− sin(n3) ≤ 4, e dunque 1/4 ≤ 1/(3− sin(n3)) ≤ 1/3, per a = 1 il limite e 0 e pera = 3 e +∞.
3. (Svolto a lezione)
limn
n√n + (
√n)n
2n+√n
= +∞.
4.
limn
(1 +
1√n
)(n1/3 sinn+(−1)n)= lim
ne(n1/3 sinn+(−1)n) log
“1+ 1√
n
”,
dove per le asintoticita
limn
(n1/3 sinn+ (−1)n
)log
(1 +
1√n
)= lim
n
(n1/3 sinn+ (−1)n
) 1√n
=
limn
(sinn
n1/2−1/3 +(−1)n
n1/2
)= 0.
Quindi, risulta e0 = 1.
5. (Svolto a lezione)
limx→π−
√1 + sin x−
√1− sinx
1− cos2 x= +∞.
6. (Svolto a lezione)
limx→−∞
(√3x2 − x−
√3x2 + x+ 1
)=
√3
3.
7.
limx→+∞
1 + 3 sinx− x sin(2x)
x2 − 1= lim
x→+∞−x sin(2x)
x2= 0.
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Limiti di successione e di funzione (da appelli)
1. Usando le scale (e giustificando gli ”o-piccolo” usati..)
limn→+∞
5n!−√
5n2+n3
n3 log(
1 + 1√n
)− 2n2 log(1 + n)
n−n3
= limn→+∞
−√
5n2+n3n−n
3
n3 log(
1 + 1√n
) = limn→+∞
−√
5n2
n3√n
= 0.
2. (Svolto a lezione: si una Mac-Laurin)
limx→0+
2x − sin(αx)− 1 + x3 sin 1x
1− cos(√x)− 1
2log(x+ 1)
.
Risulta: +∞ se α < log 2; −∞ se α > log 2; 125
log2 2 se α = log 2.
3. (Usando Mac-Laurin)
limn
1 + tan3(1n
)− esin3( 1
n)
1n3+α
(esin
2( 2n) − e 1
n2
) = limn
32
1n5
1n3+α
(3n2
) = limn
1
2nα,
perche
tan3
(1
n
)=
(1
n+
1
3
1
n3+ o
(1
n3
))3
=1
n3+
1
n5+ o
(1
n5
),
sin3
(1
n
)=
(1
n− 1
6
1
n3+ o
(1
n3
))3
=1
n3− 1
2
1
n5+ o
(1
n5
),
sin2
(2
n
)=
(2
n+ o
(1
n
))2
=4
n2+ o
(1
n2
),
e1n2 = 1 +
1
n2+
1
2
1
n4+ o
(1
n4
),
esin3( 1
n) = 1 + sin3
(1
n
)+
1
2sin6
(1
n
)+ o
(sin6
(1
n
))= 1 +
1
n3− 1
2
1
n5+ o
(1
n5
).
esin2( 2
n) = 1 + sin2
(2
n
)+ o
(sin2
(2
n
))= 1 +
4
n2+ o
(1
n2
).
Risulta: +∞ se α > 0; 12
se α = 0; 0 se α < 0.
3. modificato Se si considera al posto dell’ es. 3 l’esercizio seguente
limn
1 + tan3(1n
)− esin3( 1
n)
1n3+α
(esin
2( 1n) − e 1
n2
) = limn
32
1n5
1n3+α
(−1
31n4
) = limn−9
2n2+α,
usando Mac-Laurin si ha quanto sopra, perche
tan3
(1
n
)=
(1
n+
1
3
1
n3+ o
(1
n3
))3
=1
n3+
1
n5+ o
(1
n5
),
sin3
(1
n
)=
(1
n− 1
6
1
n3+ o
(1
n3
))3
=1
n3− 1
2
1
n5+ o
(1
n5
),
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sin2
(1
n
)=
(1
n− 1
6
1
n3+ o
(1
n3
))2
=1
n2− 1
3
1
n4+ o
(1
n4
),
e1n2 = 1 +
1
n2+
1
2
1
n4+ o
(1
n4
),
esin3( 1
n) = 1 + sin3
(1
n
)+
1
2sin6
(1
n
)+ o
(sin6
(1
n
))= 1 +
1
n3− 1
2
1
n5+ o
(1
n5
).
esin2( 1
n) = 1 + sin2
(1
n
)+
1
2sin4
(1
n
)+ o
(sin4
(1
n
))= 1 +
1
n2− 1
3
1
n4+
1
2
1
n4+ o
(1
n4
).
Risulta: −∞ se α > −2; −92
se α = −2; 0 se α < −2.
4. (Si usa Mac-Laurin, dopo la sost. y = 1/x)
L = limx→+∞
(1x
)1/x − 2e1/x + cos(1x
)+ a
xlog(1x
)(√
1 + sinh(1x
)−√
1 + sin(1x
))1/3 = limy→0+
yy − 2ey + cos (y) + ay log (y)(√
1 + sinh (y)−√
1 + sin (y))1/3
dove
yy = ey log y = 1 + y log y +1
2y2 log2 y + o(y2 log2 y) ( perche y log y → 0..),
√1 + sinh (y) = 1+
1
2sinh y−1
8sinh2 y+
1
16sinh3 y+o(sinh3 y) = 1+
1
2
(y +
1
6y3)−1
8y2+
1
16y3+o(y3)
√1 + sin (y) = 1+
1
2sin y−1
8sin2 y+
1
16sin3 y+o(sin3 y) = 1+
1
2
(y − 1
6y3)−1
8y2+
1
16y3+o(y3).
Quindi
L = limy→0+
(1 + a)y log y − 2y + o(y)(
112y3 + 1
12y3 + o(y3)
)1/3 = limy→0+
(1 + a)y log y − 2y13√6y
e risulta −∞ se a > −1; +∞ se a < −1; −2 3√
6 se a = −1.
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MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 5(giustificare le risposte)
Vicenza, novembre 2007.
Studi di funzione
1. Studiare la funzionef(x) = xe
1|2x|−1
(Dominio, segno, eventuali simmetrie, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e deriv-abilita, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali at-tacchi di f ′, abbozzo del grafico. Non e richiesto lo studio di f ′′.)
2. Studiare la funzionef(x) = |x2 − 4|e x
|x+2|
(Dominio, segno, eventuali simmetrie, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e deriv-abilita, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali at-tacchi di f ′, abbozzo del grafico. Non e richiesto lo studio di f ′′.)
3. Si consideri la funzionef(x) = log
(x+ 1 + e|x+1|)
(a) Determinare il dominio di f , il segno di f ed eventuali simmetrie.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi e disegnare un grafico qualitativo di f .
(e) (facoltativo) Studiare concavita e convessita della funzione f .
4. Si consideri la funzionef(x) = (cos x)3−
1cos x
(a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie e periodicita di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′ se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto IR). (Non e richiesto lo studio di f ′′)
5. Si consideri la funzionef(x) = sin
(π2− x)etanx
(a) Determinare il dominio di f , il segno di f, eventuali simmetrie e periodicita.
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(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non e richiesto lo studio di f ′′)
6. Si consideri la funzione
f(x) = arctan
(x+ 1
x− 1+ log(x2)
).
(a) Determinare il dominio di f , il segno di f ed eventuali simmetrie.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f ′′)
7. Completare lo studio delle funzioni da 1. a 5. assegnate nel foglio di autovalutazione 2(dove erano richiesti solo lo studio del dominio e del segno).
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MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 6(giustificare le risposte)
Vicenza, novembre 2007.
Esercizi sugli integrali e sugli integrali impropri
1. Per x > 0 si consideri la funzione integrale
F (x) =
∫ x
1
2 + sin√|t|
|t|1/3 dt.
i) Dire se F si prolunga per continuita in x = 0. ii) Calcolare il limx→+∞ F (x). iii) CalcolareF ′(1). iii) Dire se F e invertibile in ]0,+∞[ e in caso affermativo calcolare D[F−1](0).
2. Data la funzione integrale
g(x) =
∫ x
0
sinh(t3)
5 + t4dt
i) determinare l’ordine di infinitesimo di g per x → 0+ (significa: determinare α ∈ IR tale che
limx→0+g(x)xα
= L, con L numero reale non nullo.)ii) Calcolare il limx→+∞ g(x) e il limx→−∞ g(x).iii) Scrivere due termini non nulli dello sviluppo di Mac-Laurin di g.
3. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale:∫ 1
0
xα
ex − 1dx.
4. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale:∫ +∞
1
logα(x+ 2)√x2 − 1
dx.
Raccolta di esercizi da appelli
1 (a) Dire per quali α ∈ IR esiste finito l’integrale seguente:
∫ √π/2
0
xα sin(x2) + | log(xα−1)|(1− cos(x2))
78α
dx
e giustificare la risposta.
(b) Calcolare l’integrale per α = 1.
2 Determinare la primitiva F : IR→ IR della funzione
f(x) =
cosx2(1+sin2 x)
x ≤ 0
x+12x2+5x+2
x > 0,
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tale che F (1) = 0.
3 Determinare tutti gli α ∈ IR e β > 0 per i quali e convergente l’integrale generalizzato∫ +∞
0
| sinhx− α sinx|x2βx
dx.
4 Data la funzione integrale
F (x) =
∫ x
0
[log(1 + t2)− arctan(ta)
]dt,
(a) calcolare al variare del parametro a > 0 il limite seguente
limx→0+
F (x)
x3.
(b) Calcolare il valore F (1) per a = 1.
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MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 7(giustificare le risposte)
Vicenza, novembre 2007.
Esercizi sulle serie
1. Determinare il carattere della serie
∞∑
n=1
3n(
1− 1
n3/2
)n5/2
.
2. Dire per quali α ≥ 0 converge la seguente serie
∞∑
n=1
n2n + 5n
αn + 3n.
3. Data la serie ∞∑
n=1
(−1)n1
nαarctan
3√n,
• dire per quali α ∈ IR converge assolutamente;
• discutere la convergenza per α = 1/2.
4. Dire se la serie+∞∑
n=1
e1/n(cosh 1n3 − 1)
sin 1n4/3 − 1
n4/3
converge assolutamente e se converge.
5. Studiare la convergenza della serie
∞∑
n=1
(1− 1
2n
)5n2
.
6. Discutere la convergenza della serie
∞∑
n=1
[9n3
(1
n− sin
1
n
)]n.
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MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 8(giustificare le risposte)
Vicenza, novembre 2007.
Esercizi sulle equazioni differenziali
1. Si consideri l’equazione differenziale
αy′′(t) + 2y′(t) +α
2y(t) = 0.
i) Determinare l’integrale generale per ogni valore del parametro α ≥ 0. Dire per quali valoridei parametri le soluzioni sono tutte: i) periodiche; ii) limitate in [0,+∞[. iii) Determinare, seesistono, i valori di α ≥ 0 per cui esiste almeno una soluzione dell’equazione differenziale tale
che et√3y(t) risulta illimitata in [0,+∞[.
2. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale
y′(t) +2 y(t)
sin(2t)= sin t+ cos t.
3. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale
y′(t) + 2ty(t) = te−t2
.
4. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale
y′′(t) + y′(t) = t+ sin t.
5. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l’equazione differenziale
y′′′(t)− αy′(t) = sin t
ammette almeno una soluzione y tale che limt→−∞ y(t) = −∞. Determinare l’insieme di talisoluzioni.
6. Per quali valori del parametro λ > 0 la soluzione y(t) di{ −y′′(t) = λy(t)
y(0) = 0, y′(0) =√λ
verifica la condizione y(π) = 0? Fra queste soluzioni ne esiste una strettamente positiva in]0, π[?
7. Si consideri il problema di Cauchy
y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = sin t
y(0) = α, y′(0) = β
i) Trovare una soluzione nel caso α = β = 0. ii) Dire se esistono α, β reali tali da rendere lasoluzione periodica.
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8. Risolvere il problema di Cauchy
y′(t) =√
1+y(t)1+t2
y(0) = 2
9. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l’equazione differenziale
2y′′(t) + y′(t) +α
2y(t) = te−t
ammette almeno una soluzione y(t) tale che limt→+∞ y(t) = +∞. Determinare l’insieme di talisoluzioni.
Raccolta di esercizi da appelli
1 Si consideri l’equazione differenziale
y′′(x)− y′(x)− αy(x) = cos x− ex/2 sinx.
(a) Determinare l’ integrale generale dell’equazione differenziale ∀α ∈ IR (Non si richiede dicalcolare esplicitamente le costanti delle soluzioni particolari).
(b) Determinare i valori di α ∈ IR per cui esiste una soluzione y(x) dell’equazione differenzialetale che la funzione e−x/2y(x) sia illimitata in [0,+∞[.
2 Determinare l’integrale generale dell’ equazione differenziale
y′′′(x) +2x
1 + x2y′′(x) = x.
3 (a) Risolvere al variare del parametro a ∈ IR l’equazione differenziale
y′′(x)− 2ay′(x) + 4y(x) = e2x.
(b) Dire per quali valori di a ∈ IR si ha
limx→−∞
y(x) = 0
per ogni soluzione y(x) dell’equazione data.
4 Per ogni α ∈ IR si consideri la seguente equazione differenziale:
αy′′ − 3y = xex.
(a) Determinare la soluzione per ogni valore di α.
(b) Dire per quali valori del parametro α esistono soluzioni y(x) tali che
limx→+∞
y(x)
xex∈ IR.
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Esercizi sulle equazioni differenziali
1) Calcolare la soluzione del problema di Cauchy
y′ =y2 − 9
6t sin(4t)
y(0) = 1
2) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy
y′ =1
16− x4− 2x
4 + x2y,
y(0) = 2.
3)Data l’equazione differenziale
y′ = (y + 2)(y + 1) tanx,
a) se ne trovino tutte le soluzioni costanti,b) se ne trovi (esplicitamente) la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(π) = 2.
4) Trovare la soluzione del problema di Cauchy
y′ =y2 − 3y − 4
3x2 + 1
y(0) = 5
5)Calcolare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
y′′ + 4y′ + 4y = 4t2.
6) Date l’equazione differenziale
(1) y′′ + 2y′ + y = e−x
e la funzione ϕ(x) = ax2e−x (a ∈ IR),a) si determini a in modo che ϕ sia soluzione di (1);b) si determini la soluzione che soddisfa le condizioni y(0) = 0 e y′(0) = 1.
7) Trovare l’integrale generale di
y′′ − 2y′ + 4y = − sin(√3t).
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Facoltativo: determinare tutte le soluzioni periodiche.
8)Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
y′ +2
xy =
1
x2· sin 2x(1 + tan2 x)
3 sin 2x+ 4 cos 2xy(−π/4) = 0
9) Determinare α ∈ IR tale che la funzione ϕ(x) = α tanx sia soluzione dell’equazionedifferenziale
y′′ + y′ − 2y = 2 tan3 x+ tan2 x+ 1; (1)
Determinare poi la soluzione di (1) che soddisfa le condizioni y(0) = 0, y′(0) = 2.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 16 settembre 2014
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = log
✓sin(2x) +
1
2
◆
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f .
(e) Facoltativo: calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.
Svolgimento:a) La funzione e periodica di periodo ⇡ infatti f(x + ⇡) = f(x), quindi la studieremo in [0,⇡].Dominio: dobbiamo risolvere la disequazione sin(2x) + 1/2 > 0 che, in [0,⇡], ha come soluzioni[0, 7
12⇡) [ (1112⇡,⇡] e in tutto R il dominio e [k⇡, 7
12⇡ + k⇡) [ (1112⇡ + k⇡, 7
12⇡ + k⇡].Da ora in poi studieremo la funzione in D = [0, 7
12⇡) [ (1112⇡,⇡] e poi la estenderemo tenendo
conto della periodicita.Segno: f(x) > 0 se sin(2x) + 1/2 > 1, quindi sin(2x) > 1/2. Risolto in D si ottiene x 2 [ ⇡12 , 5
12⇡].b)i limiti significativi sono limx!( 7⇡
12) = �1, limx!( 11⇡
12) = �1.
Inoltre f(0) = f(⇡) = � log 2 < 0.c) La funzione dove e definita e continua e derivabile.
f 0(x) = 2 cos(2x)sin(2x)+1/2 , che si annulla in D solo se x = ⇡/4 (notare che 3
4⇡ non appartiene al dominio).
Quindi per i punti di D si ha che f e crescente in (0,⇡/4) decrescente in (⇡/4, 712⇡) e crescente
in (1112⇡,⇡). Quindi x = ⇡/4 e un punto di massimo relativo e dal segno della funzione si deduce
che e anche un punto di massimo assoluto con f(⇡/4) = log(3/2).Non ci sono limiti di f 0 significativi perche in x = 0 e in x = ⇡ la funzione e derivabile e si attaccaattraverso la sua periodicita.
Facoltativo: f 00(x) = � 4 cos2(2x)(sin(2x)+1/2)2
� 4 sin(2x)sin(2x)+1/2 = � 4
(sin(2x)+1/2)2(1+ 1
2 sin(2x)) da cui si osserva
che f 00(x) < 0 nel suo dominio, cioe la f e sempre concava.
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12
34
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
![Page 31: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/31.jpg)
Esercizio 2 Si consideri la successione
an = n↵(3 sin(1/n2) � log(1 + 3/n2))
(a) Discutere per quali ↵ 2 R la successione tende a zero.
(b) Discutere per quali ↵ 2 R converge la serieP+1
1 an.
Svolgimento: (cenno)
Poiche per x ! 0 vale:
log(1 + x) = x � x2
2+ o(x2), sin(x) = x + o(x2),
possiamo riscrivere la successione come:
an = n↵
✓3
1
n2+ o(
1
n4) � 3
n2+
9
2n4+ o(
1
n4))
◆,
an =9
2n4�↵+ o(
1
n4�↵).
(a)
Utilizzando lo sviluppo precedente abbiamo:
limn!+1
an = limn!+1
9
2n4�↵+ o(
1
n4�↵) =
8<:
0 ↵ < 492 ↵ = 4+1 ↵ > 4.
(b)
Se ↵ � 4 la serie non converge poiche non e infinitesima. Se ↵ < 4 la serie e asintotica allaserie armonica generalizzata con esponente 4 � ↵ che converge se e solo se
4 � ↵ > 1 ) ↵ < 3.
Esercizio 3 Data la funzione
f(x) =�x2 + 1
�e2x.
(a) Determinarne una primitiva
(b) Calcolare l’area della regione del piano definita da
A = {(x, y) 2 R2 | x 2 [0, 1], 1 y f(x).}.
Svolgimento: (cenno)
(a)
Per trovare una primitiva di f determiniamoR
f(x)dx, che si calcola utilizzando la tecnicadi integrazione per parti per due passaggi.
Z �x2 + 1
�e2x =
1
2e2x�x2 + 1
�� 1
2
Ze2x(2x)dx =
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e2x x2 + 1
2�Z
xe2x = e2x x2 + 1
2�1
2xe2x � 1
2
Ze2xdx
�=
e2x
x2 + 1 � x
2+
1
4
�+ cost.
Z �x2 + 1
�e2x = e2x 2x2 � 2x + 3
4+ cost.
(b) Si ha che f(0) = 1 e se x > 0 allora x2 + 1 > 1 e anche e2x > 1, da cui f(x) � 1 per ognix 2 [0, 1]. Quindi
Area A =
Z 1
0(f(x) � 1)dx =
Z 1
0f(x)dx �
Z 1
01dx = e2x 2x2 � 2x + 3
4
����1
0
� x���1
0=
e2
✓2 � 2 + 3
4
◆� 3
4� 1 =
3e2 � 7
4.
Esercizio 4 Si consideri la funzione di due variabili
f(x, y) =1
log( yx)
(a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se e chiuso e limitato.
(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (1, e, f(1, e)), giustificando larisposta.
Svolgimento: (cenno) (a) Il dominio e
D = {(x, y) : x 6= 0, y/x > 0, log(y/x) 6= 0} = {(x, y) : (x, y > 0 o x, y < 0) e y 6= x}, cioeil primo ed il terzo quadrante esclusi gli assi e la prima bisettrice, y = x. D quindi e aperto eillimitato.
(b) (1, e) 2 D, dove f e continua e di↵erenziabile, perche composizione di funzioni derivabilicon derivate continue. Quindi esiste il piano tangente in (1, e, f(1, e)). Si ha: f(1, e) = 1/ log(e) =1 e le derivate parziali sono:
fx(x, y) = � 1
log2( yx)
x
y
⇣� y
x2
⌘=) fx(1, e) = 1,
fy(x, y) = � 1
log2( yx)
x
y
✓1
x
◆=) fx(1, e) = �1
e.
Quindi l’equazione del piano tangente richiesta e
z = 1 + x � 1 � y � e
e= x � y
e+ 1.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 8 luglio 2014
TEMA
Esercizio 1 (8 punti) Si consideri la funzione
f(x) = arcsin
✓ |2x � 2|x2 + 1
◆
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f .
Facoltativo: Calcolare i limiti di f 0 se significativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f .
Svolgimento: (cenno) a) Il dominio si ricava ponendo |2x � 2| x2 + 1, e si ha:
D = {x 2 R, x �1 �p
2, x � �1 +p
2}.
Non ci sono simmetrie. Poiche l’argomento della funzione arcsin e sempre maggiore o uguale azero, anche f � 0 sempre. Inoltre 0 f(x) ⇡/2, e f(1) = 0, mentre f(�1±
p2) = ⇡/2, quindi
x = 1 e punto di minimo assoluto e x = �1 ±p
2 sono punti di massimo assoluto per f .
b) limx!±1 f(x) = 0, quindi la retta y = 0 e asintoto orizzontale per x ! ±1.
c) La funzione e continua nel suo dominio.
Se x �1 �p
2 oppure �1 +p
2 x 1, f(x) = arcsin⇣�2x+2x2+1
⌘, quindi
f 0(x) =2x2 � 4x � 2
(x2 + 1)p
(x2 + 1)2 � (�2x + 2)2per x < �1 �
p2 o �1 +
p2 < x < 1 .
Si ha f 0(x) > 0 per x < �1 �p
2, quindi in questo intervallo la funzione e crescente, e f 0(x) < 0per �1 +
p2 < x < 1, dove quindi e decrescente.
Inoltre limx!�1�p
2 f 0(x) = +1, limx!�1+p
2 f 0(x) = �1, limx!1� f 0(x) = �1.
Se x � 1 si ha f(x) = arcsin⇣
2x�2x2+1
⌘, che da per x > 1
f 0(x) = � 2x2 � 4x � 2
(x2 + 1)p
(x2 + 1)2 � (�2x + 2)2.
Si ha che 1 < x < 1 +p
2, f 0(x) > 0, se x > 1 +p
2, f 0(x) < 0. Inoltre limx!1+ f 0(x) = 1.
Quindi x = 1 e un punto angoloso, e x = 1 +p
2 e un punto di massimo locale per f .
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Out[6]=
-4
-2
24
0.5
1.0
1.5
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Esercizio 2 (8 punti)(a) Calcolare l’integrale generalizzato
Z +1
1
1
x2 + 4x + 9dx.
(b) Dire per quali ↵ 2 R l’integrale
Z +1
1arctan
✓1
x2�↵
◆1
x2 + 4x + 9dx
converge.
Svolgimento: (cenno)
(a) Si noti che x2 + 4x + 9 = 5 + (x + 2)2, da cui si ha:
Z +1
1
1
x2 + 4x + 9dx =
1
5
Z +1
1
1
1 +⇣
x+2p5
⌘2 dx =1
5lim
b!+1
p5 arctan
✓x + 2p
5
◆ ���b
1=
=
p5
5
✓⇡
2� arctan(
3p5)
◆.
(b) Si deve solo discutere l’integrabilita in +1. Si ha che:
- se 2 � ↵ > 0 allora limx!+1 arctan�
1x2�↵
�= 0,
-se ↵ = 2 allora arctan 1 = ⇡/4,
-se ↵ > 2 allora limx!+1 arctan�
1x2�↵
�= ⇡/2.
Nel primo caso (↵ < 2) la funzione integranda f(x) e f(x) ⇠ 1x4�↵ quindi e integrabile se
4 � ↵ > 1 che, in questo caso e sempre vero. Nel secondo caso (↵ = 2) f(x) ⇠ ⇡4x2 quindi e
integrabile. Nel terzo caso (↵ > 2) f(x) ⇠ ⇡2x2 quindi e integrabile.
OPPURE: Nel primo caso la funzione integranda della parte (b) e o-piccolo di quella dellaparte (a), quindi integrabile, nel secondo e nel terzo caso la funzione integranda della parte (b)e asintotica a quella della parte (a), quindi di nuovo integrabile.
OPPURE: 0 f(x) ⇡2
1x2+4x+9
⇠ ⇡2x2 per cui f e integrabile per ogni ↵ 2 R per il Teorema
del confronto.
Esercizio 3 (7 punti) Per ogni ↵ 2 R, calcolare il limite
limn!+1
↵n + (n2 � 4) log
✓n
n + 2
◆�.
Svolgimento: (cenno)
Si ha: log⇣
nn+2
⌘= log
⇣1 + �2
n+2
⌘. Quando n ! +1, si ha �2
n+2 ! 0, quindi possiamo usare
lo sviluppo del logaritmo e scrivere:
log
✓1 +
�2
n + 2
◆=
�2
n + 2� 1
2
4
(n + 2)2+ o
✓1
(n + 2)2
◆.
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Sostituendo lo sviluppo nel limite si ha:
limn!+1
↵n + (n + 2)(n � 2)
✓ �2
n + 2� 1
2
4
(n + 2)2+ o(
1
(n + 2)2)
◆�=
= limn!+1
↵n � 2(n � 2) � 2
(n � 2)
(n + 2)+ o(
n � 2
(n + 2)2)
�=
limn!+1
(↵� 2)n + 4 � 2
(n � 2)
(n + 2)+ o(
n � 2
(n + 2)2)
�=
8<:
+1 ↵ > 22 ↵ = 2
�1 ↵ < 2
(OPPURE: log⇣
nn+2
⌘= � log
�n+2
n
�= log
�1 + 2
n
�= � 2
n + 2n2 + o
�1n2
�...)
Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione di due variabili
f(x, y) =
rxy � 4
x2 + 4y2
(a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se e chiuso e limitato.
(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (4, 2, f(4, 2)), giustificando larisposta.
Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, lim(x,y)!1 f(x, y).
Svolgimento: (cenno)
(a) Il dominio e dato dalla condizione xy > 4, cioe il dominio sopra l’iperbole del primoquadrante e sotto quella del terzo. E un insieme aperto e illimitato.
(b) La funzione e di↵erenziabile nel suo dominio, quindi il piano tangente e definito dall’equazione
z = f(4, 2)) +@
@xf(x, y)
���(x,y)=(4,2)
(x � 4) +@
@yf(x, y)
���(x,y)=(4,2)
(y � 2).
Si ha:@
@xf(x, y) =
1
2
✓xy � 4
x2 + 4y2
◆�1/2 y(x2 + 4y2) � 2x(xy � 4)
(x2 + 4y2)2.
@
@yf(x, y) =
1
2
✓xy � 4
x2 + 4y2
◆�1/2 x(x2 + 4y2) � 8y(xy � 4)
(x2 + 4y2)2.
Quindi@
@xf(x, y)
���(x,y)=(4,2)
=
p8
64,
@
@yf(x, y)
���(x,y)=(4,2)
=
p8
32.
Da cui il piano tangente risulta:
z =1p8
+
p8
64(x � 4) +
p8
32(y � 2).
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 8 luglio 2014
TEMA
Esercizio 1 (8 punti)
Si consideri la funzione
f(x) = arcsin
✓ |2 + 2x|1 + x2
◆
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f .
Facoltativo: Calcolare i limiti di f 0 se significativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f .
Esercizio 2 (8 punti)(a) Calcolare l’integrale generalizzato
Z +1
1
1
x2 + 6x + 14dx.
(b) Dire per quali ↵ 2 R l’integraleZ +1
1arctan
✓1
x3�↵
◆1
x2 + 6x + 14dx
converge.
Esercizio 3 (7 punti) Per ogni ↵ 2 R, calcolare il limite
limn!+1
↵n � (n2 � 9) log
✓n
n � 3
◆�.
Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione di due variabili
f(x, y) = log
xy � 4
4x2 + y2
�
(a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se e chiuso e limitato.
(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (2, 4, f(2, 4)), giustificando larisposta.
Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, lim(x,y)!1 f(x, y).
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 18 febbraio 2014
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = 2 arctan
✓3 � x
x + 2
◆� 2|x|
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f ;
(e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.
Svolgimento: (cenno) a) Dominio={x 2 R, x 6= �2}. Non ci sono simmetrie.b) limx!�2� f(x) = �⇡ � 4, limx!�2+ f(x) = ⇡ � 4. La funzione non puo essere prolungata percontinuita in x = �2, dove c’e un salto.
limx!+1 f(x) = limx!+1 2 arctan⇣
3�xx+2
⌘� 2x = �1,
limx!+1f(x)
x = �2, limx!+1 f(x) + 2x = limx!+1 2 arctan⇣
3�xx+2
⌘= �⇡/2.
Quindi per x ! +1 la f(x) ha l’asintoto obliquo y = �2x � ⇡/2.Analogamente limx!�1 f(x) = �1 e procedendo come sopra si ottiene che y = 2x � ⇡/2 easintoto obliquo per f(x) quando x ! �1.
c) Se x > 0, si ha f 0(x) = 2⇣
�5(x+2)2+(3�x)2
� 1⌘, che e strettamente negativa per ogni x > 0.
Se x < 0, x 6= �2, si ha f 0(x) = 2⇣
�5(x+2)2+(3�x)2
+ 1⌘
= 2 2x2�2x+8(x+2)2+(3�x)2
che e sempre strettamente
positiva.Si ha: limx!0� f 0(x) = 16/13 e limx!0+ f 0(x) = �36/13Quindi x = 0 e un punto angoloso per f .La funzione f(x) e crescente negli intervalli (�1,�2) e (�2, 0), ha un punto di massimo relativoin x = 0 e poi e decrescente in (0, +1). La funzione non presenta minimo assoluto, mentre x = 0e anche massimo assoluto.Ha senso calcolare limx!�2+ f 0(x) = limx!�2� f 0(x) = 8/5.d) Per il grafico si veda il disegno.e) (Facoltativo) Si calcola facilmente che per x 6= 0 e x 6= �2, si ha f”(x) = 10 4x�2
[(x+2)2+(3�x)2]2, che
risulta positiva quando x > 1/2, quindi la funzione e concava negli intervalli (�1,�2), (�2, 0),e (0, 1/2), presenta un punto di flesso in x = 1/2 ed e convessa in (1/2, +1).
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-20
-15
-10
-50
510
1520
-10-5510
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Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro a � 0, la convergenza della serie
+1X
n=1
2n + log(n3) + n an
3n + cos n + 2.
Svolgimento: (cenno) Se a > 2 il numeratore del termine della serie e asintotico a nan, se a = 2il numeratore del termine della serie e asintotico a (1 + n)2n. Se a < 2 (anche se a < 1!) ilnumeratore e asintotico a 2n. Il denominatore e asintotico a 3n, quindi si ha chei) se a > 2 il termine della serie e asintotico a nan
3n e la serie corrispondente converge (usando ilcriterio della radice o del rapporto) se e solo se a < 3 (se a = 3 il termine della serie tende a +1e quindi la serie non converge).
ii) se a = 2 il termine della serie e asintotico a (1+n)2n
3n e la serie corrispondente converge (usandoil criterio della radice o del rapporto).iii) se a < 2 il termine della serie e asintotico a 2n
3n e la serie corrispondente converge perche euna serie geometrica con ragione q < 1.Quindi la serie converge per ogni 0 a < 3.
Esercizio 3(a) Calcolare Z 1/2
0earcsin(2x) dx
(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin(2x)...).
(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1/2], �x y earcsin(2x)}.Svolgimento: (cenno) a) con la sostituzione t = arcsin(2x), poiche 2x = sin t, 2dx = cos t dt,integrando due volte per parti si ottiene:
Z 1/2
0earcsin(2x)dx =
1
2
Z ⇡/2
0et cos t dt =
1
2(et cos t|⇡/2
0 +
Z ⇡/2
0et sin t dt) =
=1
2(et cos t|⇡/2
0 + et sin t|⇡/20 �
Z ⇡/2
0et cos t dt).
Quindi si ottiene a destra lo stesso integrale (in t) che abbiamo a sinistra e quindi
(1
2+
1
2)
Z ⇡/2
0et cos t dt =
1
2(et cos t + et sin t)|⇡/2
0
da cui Z ⇡/2
0et cos t dt =
1
2(e⇡/2 � 1).
Quindi Z 1/2
0earcsin(2x) dx =
1
4(e⇡/2 � 1).
b) (Facoltativo) L’area di A e
Z 1/2
0(earcsin(2x) +x)dx =
Z 1/2
0earcsin(2x)dx+
Z 1/2
0xdx =
1
4(e⇡/2�1)+
x2
2|1/20 =
1
4(e⇡/2�1)+
1
8.
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Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a > 0 il limite
limx!0+
ex2 � cos(p
x) + x
x2 sin�
2x
�+ a
px sin
⇣px
2
⌘ .
(b) Determinare a > 0 per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuita in x = 0:
f(x) =
8<:
(1 + x2)3
1�cos x x < 0ex2�cos(
px)+x
x2 sin( 2x)+a
px sin
⇣px
2
⌘ x > 0
Svolgimento: (cenno) a) usando gli sviluppi di McLaurin il numeratore del limite e
ex2 � cos(p
x) + x = 1 + x2 � 1 +1
2x � 1
4!x2 + x + o(x2) =
3
2x + o(x).
Il denominatore e
x2 sin
✓2
x
◆+ a
px sin
✓px
2
◆= x2 sin
✓2
x
◆+ a
px
✓px
2+ o(
px)
◆=
a
2x + o(x).
quindi il limite e uguale a
limx!0+
32x + o(x)a2x + o(x)
=3
a.
b) Calcoliamo il limite per x ! 0� della f(x) e poi lo imponiamo uguale al limite per x ! 0+
della f(x) che e proprio 3a .
Per x ! 0� dobbiamo considerare la f(x) definita per x < 0, quindi dobbiamo calcolare
limx!0�
(1 + x2)3
1�cos x = limx!0�
e3 log(1+x2)
1�cos x .
Calcoliamo il limite (con McLaurin) dell’esponente (si puo fare anche con L’Hopital) :
limx!0�
3 log(1 + x2)
1 � cos x= lim
x!0�
3
x2/2x2 = 6.
quindi limx!0� f(x) = e6
Quindi f(x) e prolungabile per continuita in x = 0 se e solo se 3a = e6 cioe a = 3e�6.
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 18 febbraio 2014
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = 2 arctan
✓x � 3
x + 2
◆+ 2|x|
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f ;
(e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.
Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro b � 0, la convergenza della serie
+1X
n=1
3n + log(n2) + n bn
5n + sin n + 3.
Esercizio 3(a) Calcolare Z 1/2
0earccos(2x) dx
(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos(2x)...).
(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1/2], �x y earccos(2x)}.
Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a > 0 il limite
limx!0+
3ax tan x + x3 sin�
13x
�
cosh x � ex4 + x2.
(b) Determinare a > 0 per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuita in x = 0:
f(x) =
8<:
(1 � x)1
3(1�e�x) x < 03ax tan x+x3 sin( 1
3x)cosh x�ex4
+x2x > 0
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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Vicenza, 18 febbraio 2014
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = 2 arctan
✓x + 3
2 � x
◆� 2|x|
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f ;
(e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.
Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro a � 0, la convergenza della serie
+1X
n=1
4n + cos n + 7
n2a n + n2 + 2n.
Esercizio 3(a) Calcolare Z 1
0e3 arcsin x dx
(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin x...).
(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1], �x y e3 arcsin x}.
Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a > 0 il limite
limx!0+
x2 sin( 1x) + 5ax
2p
x arcsin(p
x) + e2x2 � cos(p
x).
(b) Determinare a > 0 per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuita in x = 0:
f(x) =
8<:
(1 � x)2
1�ex x < 0x2 sin( 1
x)+5ax
2p
x arcsin(p
x)+e2x2�cos(p
x)x > 0
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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Vicenza, 18 febbraio 2014
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = 2 arctan
✓x + 3
x � 2
◆+ 2|x|
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f ;
(e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.
Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro b � 0, la convergenza della serie
+1X
n=1
4n + sin n + 2
3n + n3 + n2 bn.
Esercizio 3(a) Calcolare Z 1
0e2 arccos x dx.
(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos x...).(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1], �x y e2 arccos x}.
Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a > 0 il limite
limx!0+
2x sinh x � cos x + e�x4
5ax arcsin x + x3 sin�
5x
� .
(b) Determinare a > 0 per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuita in x = 0:
f(x) =
8<:
(1 + x2)2
cosh x�1 , x < 02x sinh x�cos x+e�x4
5ax arcsin x+x3 sin( 5x)
, x > 0
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 27 gennaio 2014
TEMA
Esercizio 1 (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = x ex�2x+2
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non e richiesto lo studio delladerivata seconda di f).
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .
(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi .
Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2) per x ! 0.
(b) Calcolare per ogni ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0 il limite
limx!0+
ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2)
x2 log(1 + x↵).
Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (2 � x) sinh x.
(b) Calcolare l’integrale definito Z 4
0|2 � x| sinh x dx.
(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzatoZ 4
0
|2 � x| sinh x
x↵�1dx.
Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (1/3,�2
p2/3) della funzione
f(x, y) = arctan
✓y
3x + y
◆.
(b) (Facoltativo) Calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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Vicenza, 27 gennaio 2014
TEMA
Esercizio 1 (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = x ex�33+x
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non e richiesto lo studio delladerivata seconda di f).
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .
(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi .
Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di log(1 + x + x2) � x � x2 + tan(x2) per x ! 0.
(b) Calcolare per ogni ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0 il limite
limx!0+
log(1 + x + x2) � x � x2 + tan(x2)
x2 arctan(x↵).
Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (x � 1) sinh x.
(b) Calcolare l’integrale definito Z 3
0|x � 1| sinh x dx.
(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzatoZ 3
0
|x � 1| sinh x
x↵�1dx.
Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (0, 1) la derivata direzionale lungo il versore v = (2
p2/3, 1/3) della funzione
f(x, y) = arcsin
✓x
2x + y
◆.
(b) (Facoltativo) Calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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Vicenza, 27 gennaio 2014
TEMA
Esercizio 1 (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = x e3+xx�3
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non e richiesto lo studio delladerivata seconda di f).
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .
(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi .
Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di sin(x + x3) � x � x3 + arcsin(x3) per x ! 0.
(b) Calcolare per ogni ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0 il limite
limx!0+
sin(x + x3) � x � x3 + arcsin(x3)
x3 arctan(x↵).
Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (3 � x) sinh x.
(b) Calcolare l’integrale definito Z 5
0|3 � x| sinh x dx.
(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzatoZ 5
0
|3 � x| sinh x
x↵�2dx.
Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (0, 1) la derivata direzionale lungo il versore v = (2/3,�
p5/3) della funzione
f(x, y) = arctan
✓x
x + 4y
◆.
(b) (Facoltativo) Calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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Vicenza, 27 gennaio 2014
TEMA
Esercizio 1 (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = x ex+2x�2
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non e richiesto lo studio delladerivata seconda di f).
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .
(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi.
Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di tan(x + x3) � x � x3 + sinh(x3) per x ! 0.
(b) Calcolare per ogni ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0 il limite
limx!0+
tan(x + x3) � x � x3 + sinh(x3)
x3 log(1 + x↵).
Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (x � 4) sinh x.
(b) Calcolare l’integrale definito Z 6
0|x � 4| sinh x dx.
(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzatoZ 6
0
|x � 4| sinh x
x↵�2dx.
Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (
p5/3, 2/3) della funzione
f(x, y) = arcsin
✓y
x + 5y
◆.
(b) (Facoltativo) Calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,
telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti
facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.
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Vicenza, 27 gennaio 2014
Cenni di svolgimento del TEMA
Esercizio 1 (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = x ex�2x+2
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non e richiesto lo studio delladerivata seconda di f).
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .
(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi .
Svolgimento: (cenno) a) Dominio={x 2 R, x 6= �2}. Non ci sono simmetrie. f(x) > 0 sse x > 0,f(x) = 0 sse x = 0.b) limx!�2� f(x) = �1, limx!�2+ f(x) = 0. La retta x = �2 e un asintoto verticale sinistro.
limx!+1 f(x) = +1, limx!+1f(x)
x = e,
limx!+1 f(x) � ex = limx!+1 xe(ex�2x+2
�1 � 1) = limx!+1 xe(e�4
x+2 � 1) = limx!+1 xe( �4x+2) =
�4e.L’ultimo passaggio e motivato dal fatto che e
�4x+2 � 1 ⇠ �4
x+2 per x ! +1.Quindi per x ! +1 la f(x) ha l’asintoto obliquo y = ex � 4e.Analogamente limx!�1 f(x) = �1 e procedendo come sopra si ottiene che y = ex�4e e asintotoobliquo per la f(x) anche quando x ! �1.
c) f 0(x) = ex�2x+2 (1 + x 4
(x+2)2) = e
x�2x+2 x2+8x+4
(x+2)2. f 0(x) > 0 se e solo se x2 + 8x + 4 > 0 e risolvendo
la disequazione si ottiene, f 0(x) > 0 sse x > �4 +p
12 o x < �4 �p
12. Quindi si ottiene che laf(x) e crescente per x < �4 �
p12, ha un punto di massimo relativo in x = �4 �
p12 e poi e
decrescente tra x = �4p
12 e x = �2. Tra x = �2 e x = �4+p
12 decresce, ha in x = �4+p
12un punto di minimo relativo e per x > �4 +sqrt12 e strettamente crescente.e) Ha senso studiare limx!�2+ f 0(x). Per x ! �2+, raccogliendo ”e” come sopra, si puo dire che
f 0(x) ⇠ e e�4
x+2 �8(x+2)2
. Con la sostituzione y = 1x+2 (y ! +1) si ottiene f 0(y) ⇠ e e�4y(�8y2) =
�8e y2
e4y ! 0 se y ! +1, quindi limx!�2+ f 0(x) = 0 e il grafico di f si attacca a x = �2+ contangente orizzontale.
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Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2) per x ! 0.
(b) Calcolare per ogni ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0 il limite
limx!0+
ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2)
x2 log(1 + x↵).
Svolgimento: (cenno)a) ex+x2 � 1�x�x2 +sin(x2) = 1+(x+x2)+ 1
2(x+x2)2 � 1�x�x2 +x2 + o(x2) = 32x2 + o(x2)
per x ! 0 quindi la funzione e infinitesima di ordine 2 per x ! 0.
b) limx!0+ex+x2�1�x�x2+sin(x2)
x2 log(1+x↵)= limx!0+
32x2+o(x2)
x2 log(1+x↵)= limx!0+
3/2+o(1)log(1+x↵) .
Se ↵ > 0, x↵ ! 0+ se x ! 0+, quindi log(1 + x↵) = x↵ + o(x↵) e il limite limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) =
limx!0+3/2+o(1)x↵+o(x↵) = +1.
Se ↵ = 0, limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) = limx!0+
3/2+o(1)log(2) = 3
2 log 2 .
Se ↵ < 0, limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) = 0, perche il denominatore tende a +1.
Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (2 � x) sinh x.
(b) Calcolare l’integrale definito Z 4
0|2 � x| sinh x dx.
(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzato
Z 4
0
|2 � x| sinh x
x↵�1dx.
Svolgimento: (cenno) a) Integrando per partiR(2 � x) sinh xdx = (2 � x) cosh x +
Rcosh xdx = (2 � x) cosh x + sinh x + C.
b)R 40 |2 � x| sinh x dx =
R 20 (2 � x) sinh x dx +
R 42 (x � 2) sinh x dx = [(2 � x) cosh x + sinh x]20 �
[(2 � x) cosh x + sinh x]42 = 2 sinh 2 � 2 + 2 cosh 4 � sinh 4.c) L’integrale e da considerarsi in senso generalizzato perche la funzione integranda e illimitatain x = 0 se ↵ � 1 > 0. Quindi se ↵ � 1 0 l’integrale e un integrale definito e quindi converge.Se ↵ � 1 > 0, f(x) = |2�x| sinh x
x↵�1 ⇠ 2xx↵�1 = 2
x↵�2 per x ! 0 quindi dal principio del confrontoasintotico, converge tra (0, 4) se e solo se ↵� 2 < 1 cioe ↵ < 3.
Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (1/3,�2
p2/3) della funzione
f(x, y) = arctan
✓y
3x + y
◆.
(b) (Facoltativo) Calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
Svolgimento: (cenno) (NB: il punto (1, 0) e interno al dominio di f : nel dominio deve esserey 6= �3x e (1, 0) verifica y > �3x, per cui e in un aperto contenuto nel dominio).
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(a) Le derivate parziali di f nel suo dominio esistono e sono:
@f
@x(x, y) = � 1
1 +⇣
y3x+y
⌘2
3y
(3x + y)2;
@f
@y(x, y) =
1
1 +⇣
y3x+y
⌘2
3x
(3x + y)2.
Quindi @f@x (1, 0) = 0 e @f
@y (1, 0) = 1/3 e poiche le derivate parziali sono funzioni continue in unintorno di (1, 0), f e di↵erenziabile in tal punto e vale la Formula del Gradiente per il calcolodella derivata direzionale:
Dvf(1, 0) =@f
@x(1, 0) v1 +
@f
@y(1, 0) v2 = �2
p2
9.
(b) Per es, in coordinate polari: x = ⇢ cos ✓, y = ⇢ sin ✓, si ha
lim(x,y)!(0,0)
f(x, y) = lim⇢!0+
= arctan
✓⇢ sin ✓
3⇢ cos ✓ + ⇢ sin ✓
◆= arctan
✓sin ✓
3 cos ✓ + sin ✓
◆,
che dipende da ✓, per cui il limite non esiste. Analogamente, lungo le rette y = mx, si ottiene
lim(x,y)!(0,0)
f(x, y) = limx!0
= arctan
✓mx
3x + mx
◆= arctan
✓m
3 + m
◆,
che dipende da m, per cui ancora risulta dimostrato che il limite non esiste. Nel caso particolarepoi del limite lungo gli assi:
lim(x!0)
f(x, 0) = 0, lim(y!0)
f(0, y) = arctan 1.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 12 settembre 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) =log(1 + x2)
x� 2 arctan(x)
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) studiare convessita, concavita e determinare eventuali punti di flesso di f ;
(e) disegnare un grafico qualitativo di f .
Esercizio 2 (a) Scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin in 0+ fino al grado 3 della funzione
g(x) = e�x � cos(p
2x).
(b) Calcolare al variare del parametro reale a il limite
limn!+1
e�1/n � cos(p
2/n) + an2q
1 + 1n2 � 1
Esercizio 3 (a) Calcolare il seguente integrale:
Z 2⇡
0x2| sin x| dx.
(b) Scrivere in forma esplicita la funzione integrale F (x) =R x0 t2| sin t| dt per x 2 [0, 2⇡].
Esercizio 4 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie
+1X
n=1
(�1)n
✓1pn� sin
✓1
na
◆◆, a � 1/2 .
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 12 settembre 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) =log(1 + x2)
x� 2 arctan(x)
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) studiare convessita, concavita e determinare eventuali punti di flesso di f ;
(e) disegnare un grafico qualitativo di f .
Sol. (a) Dom(f) = R \ {0} e f e dispari. Possiamo quindi in seguito limitare lo studio a x > 0.
(b) Usando lo sviluppo del logaritmo, limx!0+ f(x) = limx!0+ [x2
x �2 arctan(x)] = 0. Quindi(tenendo anche conto della simmetria) f si prolunga per continuita in x = 0 ponendo f(0) = 0.Per la gerarchia degli infiniti, limx!+1 f(x) = 0 � 2⇡/2 = �⇡. Quindi y = �⇡ e un asintotoorizzontale a +1 (e y = ⇡ e un asintoto orizzontale a �1).
(c) Per x 6= 0, f e derivabile e vale
f 0(x) = � 1
x2log(1 + x2) +
1
x
2x
1 + x2� 2
1 + x2= � log(1 + x2)
x2.
Quindi f 0(x) < 0 per ogni x > 0 e quindi f e strettamente decrescente. Per simmetria, lo e ancheper x < 0. Percio f non ha max e min relativi o assoluti ma solo inf f = �⇡ e sup f = +⇡.Attacco in x = 0±: usando lo sviluppo del logaritmo, , limx!0± f 0(x) = � limx!0± x2
x2 = �1.Quindi f e derivabile in x = 0 con f 0(0) = �1.
(d) Per x 6= 0, f e derivabile due volte e vale
f 00(x) =2
x3(1 + x2)
⇥(1 + x2) log(1 + x2) � x2
⇤.
Per x > 0 f 00(x) > 0 se e solo se log(1+x2) > x2
1+x2 e questo e sempre vero, per es. per confronto
dei grafici di y = log(1 + x2) e y = x2
1+x2 . Quindi per x > 0 f e convessa mentre per x < 0 econcava. In x = 0 c’e un punto di flesso. La funzione e derivabile due volte anche in x = 0,perche usando lo sviluppo del logaritmo e l’asintoticita 1 + x2 ⇠ 1, si ottiene che
limx!0±
f 00(x) = � limx!0±
2
x3
(1 + x2)(x2 � 1
2x4) � x2 + o(x4)
�= � lim
x!0±
x4
x3= 0.
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Esercizio 2 (a) Scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin in 0+ fino al grado 3 della funzione
g(x) = e�x � cos(p
2x).
(b) Calcolare al variare del parametro reale a il limite
L = limn!+1
e�1/n � cos(p
2/n) + an2q
1 + 1n2 � 1
Sol. (a) Usando gli sviluppi di esponenziale e coseno in x = 0 si ottiene:
g(x) = 1 � x +1
2x2 � 1
6x3 �
1 � x +
1
24(4x2) � 1
6!(8x3)
�+ o(x3) =
1
3x2 � 7
45x3 + o(x3).
(b) Usando il punto (a) e lo sviluppo dip
1 + x:
L = limn!+1
13
1n2 � 7
451n3 + a
n2
12n2
= 2 limn!+1
✓1
3+ a
◆� 7
45n
�= 2
✓1
3+ a
◆.
Esercizio 3 (a) Calcolare il seguente integrale:
Z 2⇡
0x2| sin x| dx
(b) scrivere in forma esplicita la funzione integrale F (x) =R x0 t2| sin t| dt per x 2 [0, 2⇡].
Sol. Essendo | sin x| = sin x per x 2 [0,⇡] e | sin x| = � sin x per x 2 [⇡, 2⇡], l’integrale diventa
I =
Z 2⇡
0x2| sin x| dx =
Z ⇡
0x2 sin x dx �
Z 2⇡
⇡x2 sin x dx.
Poiche, integrando per parti in modo indefinito, si ha che
Zx2 sin x dx = �x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + cost,
si ottiene
I = [�x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x]⇡0 � [�x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x]2⇡⇡ = 6⇡2 � 8.
Facoltativo: per definizione:
F (x) =
⇢ R x0 t2 sin t dt = �x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x � 2 se x 2 [0,⇡]R ⇡0 t2 sin t dt �
R x⇡ t2 sin t dt = 2⇡2 � 6 + x2 cos x � 2x sin x � 2 cos x se x 2]⇡, 2⇡].
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Esercizio 4 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie
+1X
n=1
(�1)n
✓1pn� sin
✓1
na
◆◆, a � 1/2 .
Sol. Per lo studio della convergenza assoluta, osserviamo che per ogni a > 1/2, an.= 1p
n�
sin�
1na
�⇠ 1p
nper la gerarchia degli infinitesimi. Quindi an > 0 per n grande e la serie non
converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico con 1/n↵ con ↵ = 1/2 < 1.Per a = 1/2, dallo sviluppo del seno segue che an ⇠ 1
6n3/2 (> 0) e quindi la serie convergeassolutamente.
Per la convergenza semplice, per a = 1/2, segue da quella assoluta. Per a > 1/2, la serienon converge assolutamente ma e infinitesima. Quindi per il Criterio delle serie alternate (odi Leibnitz), la serie converge se an e decrescente. Per dimostrare questo, poniamo f(x)
.=
1px� sin
�1xa
�e deriviamo:
f 0(x) = � 1
2 x3/2+ cos
✓1
xa
◆⇣ a
xa+1
⌘.
Dalla gerarchia degli infinitesimi, poiche a > 1/2, segue che per x su�cientemente grande:
f 0(x) = � 1
2 x3/2+ o
✓1
x3/2
◆⇠ � 1
2 x3/2< 0.
Quindi an e anche infinitesima e la serie converge anche per a > 1/2.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 3 Luglio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = cosh3 x � 9 cosh2 x + 24 cosh x � 18
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Domanda facoltativa: Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f(x) = �, al variare di � nell’intervallo
[0, 3].
Svolgimento. (a) Dom(f) = R, f e pari e quindi possiamo limitarci a studiarla per x � 0.
(b) Usando la definizione di cosh e le asintoticita a +1, si ha che
limx!+1
f(x) = limx!+1
e3x
8= +1
e non esiste asintoto obliquo visto che f ha crescita superlineare a +1. Inoltre f e continua inR e f(0) = �2.
(c) f e derivabile infinite volte in R e
f 0(x) = sinh x�3 cosh2 x � 18 cosh x + 24
�
Per x � 0, sinh x � 0 quindi basta studiare il segno dell’espressione tra parentesi. Poniamot = cosh x:
3 cosh2 x � 18 cosh x + 24 = 3(t2 � 6t + 8) � 0
se e solo se t = cosh x 2 oppure t = cosh x � 4. Quindi otteniamo che f 0(x) � 0, e quindi f ecrescente, per x � 0 se e solo se x 2 [0, sett cosh 2][ [sett cosh 4, +1[. In R, i punti 0, ±sett cosh 4risultano di minimo relativo, mentre ±sett cosh 2 sono di massimo relativo. Non esiste massimoassoluto, perche sup f = +1, mentre esiste il minimo assoluto che viene assunto in tutti i punti0, ±sett cosh 4 e vale �2. Non ci sono limiti di f 0 significativi.
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-5-4
-3-2
-10
12
34
5
-3-2-1123
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Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite
L = limx!0+
arctan(x + x3) � x +�cos�
1x
�� 1�x5
xa log x + 2x � 1 � log 2 sin x.
Svolgimento. Grazie agli sviluppi di Mac Laurin, arctan(x+x3) = (x+x3)� 13x3 +o(x3), mentre�
cos�
1x
�� 1�x5 = o(x3), visto che per il teorema sul limite del prodotto di una f. infinitesima
con una limitata si ha
limx!0+
�cos�
1x
�� 1�x5
x3= 0.
Quindi: Numeratore= 23x3 + o(x3).
Sviluppando 2x = elog 2 x = 1 + log 2 x + (log 2)2
2 x2 + o(x2) e sin x = x� 16x3 + o(x3), si ottiene
Denominatore = xa log x +(log 2)2
2x2 + o(x2) =
(se 0 < a 2 : xa log x + o(xa log x)
se a > 2 : (log 2)2
2 x2 + o(x2)
In conclusione: 8><>:
se 0 < a 2 : L = limx!0+
23x3+o(x3)
xa log x+o(xa log x) = 0
se a > 2 : L = limx!0+
23x3+o(x3)
(log 2)2
2x2+o(x2)
= 0
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Esercizio 3 Calcolare l’integrale definito
Z 1
0
1
10 + exdx .
Domanda facoltativa: Discutere la convergenza dell’integrale generalizzato
Z +1
1
(sinh x)↵
10 + exdx
al variare di ↵ 2 R.
Svolgimento. Utilizzando il cambiamento di variabile y = ex, si ha:
Z 1
0
1
10 + exdx =
Z e
1
1
10 + y
dy
y.
Inoltre ponendo:1
(10 + y)y=
A
y+
B
10 + y,
si trova A = 1/10 e B = �1/10, quindi abbiamo:
Z e
1
1
10 + y
dy
y=
1
10
Z e
1
1
y� 1
10 + ydy =
1
10[log(y) � log(10 + y)]|e1 =
1
10
1 + log
✓11
10 + e
◆�.
Facoltativo Si ha (sinh x)↵ ⇠ (ex/2)↵, quando x ! +1, quindi
(sinh x)↵
10 + ex⇠ e↵x
2↵(10 + ex),
Ponendo, come sopra y = ex, si ha:
Z +1
1
e↵x
2↵(10 + ex)=
Z +1
e
1
2↵y↵
(10 + y)
dy
y.
Quando y ! +1, la seconda funzione integranda e asintotica a 1y2�↵ , che sappiamo essere
integrabile se e solo se 2 � ↵ > 1. Quindi l’integrale generalizzato converge se e solo se ↵ < 1.
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Esercizio 4 Data la funzione
f(x, y) = log(x + ey) + 3x2 +p
y + 1 ,
1) determinarne il dominio e rappresentarlo nel piano cartesiano.
2) Calcolare il gradiente in (0, 0) e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico in quelpunto.
3) Calcolare la derivata direzionale di f in (0, 0) lungo u = (p
2/2,p
2/2) .
Svolgimento.
1. Il dominio e dato da:D = {(x, y) | y � �1, x > �ey }.
2. Derivando si ha:
@f
@x=
1
x + ey+ 6x,
@f
@y=
ey
x + ey+
1
2(y + 1)�1/2.
Quindi si ha:rf(0, 0) = (1, 3/2).
Poiche f(0, 0) = 1, l’equazione del piano tangente risulta:
z = 1 + x +3
2y.
3. Per calcolare la derivata direzionale si puo utilizzare la formula del gradiente e si ottiene:
@f
@u= rf(0, 0) · u =
p2
2+
3
2
p2
2=
5p
2
4.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 20 febbraio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e| log(x2)|+x+3x .
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (Facoltativo: calcolare gli attacchi,cioe i limiti di f 0, nei punti significativi);
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2
(a) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di
f(x) = (2 + sinh(2x)) · log(1 + 2x).
(b) Calcolare poi il limite
limx!0+
ef(x) � 1 � 4x
x↵�1,
al variare di ↵ > 1.
Esercizio 3 Discutere la convergenza della serie
+1X
n=1
(sin(2n) + 3)
✓2n2 tan
✓1
n2
◆◆n
.
Esercizio 4 Data la funzione
f(x, y) = log
✓4x2 � y2
4x2 + y2
◆,
1) determinarne il dominio, disegnarlo nel piano cartesiano e stabilire, in particolare, se eaperto o chiuso.
2) Dire se esiste ed eventualmente calcolare lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
3) Calcolare il gradiente nel punto (x0, y0) = (1, 0) e scrivere l’equazione del piano tangenteal grafico in quel punto.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 20 febbraio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e| log(x2)|+x+5x .
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (Facoltativo: calcolare gli attacchi,cioe i limiti di f 0, nei punti significativi);
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2
(a) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di
f(x) = log(1 + 2x) · (1 + arctan(x)).
(b) Calcolare poi il limite
limx!0+
ef(x) � 1 � 2x
x↵+1,
al variare di ↵ > �1.
Esercizio 3 Discutere la convergenza della serie
+1X
n=1
(5 + cos(3n))
✓1
3n2 sin
✓1
n2
◆◆n
.
Esercizio 4 Data la funzione
f(x, y) = log
✓y2 � 4x2
4x2 + y2
◆
1) determinarne il dominio, disegnarlo nel piano cartesiano e stabilire, in particolare, se eaperto o chiuso.
2) Dire se esiste ed eventualmente calcolare lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
3) Calcolare il gradiente nel punto (x0, y0) = (0, 1) e scrivere l’equazione del piano tangenteal grafico in quel punto.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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Vicenza, 20 febbraio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e| log(x2)|+x�3x .
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (Facoltativo: calcolare gli attacchi,cioe i limiti di f 0, nei punti significativi);
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2
(a) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di
f(x) = (2 + sin(4x)) · log(1 + 4x).
(b) Calcolare poi il limite
limx!0+
ef(x) � 1 � 8x
x↵�1,
al variare di ↵ > 1.
Esercizio 3 Discutere la convergenza della serie
+1X
n=1
(sin(3n) + 4)
✓4n2 arctan
✓1
n2
◆◆n
.
Esercizio 4 Data la funzione
f(x, y) = log
✓x2 + 9y2
x2 � 9y2
◆,
1) determinarne il dominio, disegnarlo nel piano cartesiano e stabilire, in particolare, se eaperto o chiuso.
2) Dire se esiste ed eventualmente calcolare lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
3) Calcolare il gradiente nel punto (x0, y0) = (1, 0) e scrivere l’equazione del piano tangenteal grafico in quel punto.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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Vicenza, 20 febbraio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e| log(x2)|+x�5x .
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (Facoltativo: calcolare gli attacchi,cioe i limiti di f 0, nei punti significativi);
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2
(a) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di
f(x) = (tan x +2
3) · log(1 + 3x).
(b) Calcolare poi il limite
limx!0+
ef(x) � 1 � 2x
x↵+1,
al variare di ↵ > �1.
Esercizio 3 Discutere la convergenza della serie
+1X
n=1
(4 + cos(2n))
✓1
5n2 sinh
✓1
n2
◆◆n
.
Esercizio 4 Data la funzione
f(x, y) = log
✓x2 + 9y2
9y2 � x2
◆
1) determinarne il dominio, disegnarlo nel piano cartesiano e stabilire, in particolare, se eaperto o chiuso.
2) Dire se esiste ed eventualmente calcolare lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
3) Calcolare il gradiente nel punto (x0, y0) = (0, 1) e scrivere l’equazione del piano tangenteal grafico in quel punto.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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Vicenza, 20 febbraio 2013
TEMA
Esercizio 1. Si consideri la funzione
f(x) = e| log(x2)|+x+3x
Sol. (a) Dominio R \ {0}, no simmetrie, f(x) > 0 8x 6= 0.
(b) , limx!0+ f(x) = +1, limx!0� f(x) = 0. Infatti
limx!0±
(| log(x2)| +x + 3
x) = lim
x!0±x| log(x2)| + x + 3
x= lim
x!0±3
x=
3
0±
per la gerarchia degli infinitesimi (limx!0±(x| log(x2)| + x) = 0).
Si osservi che, togliendo il valore assoluto:
f(x) =
(x2 e
x+3x se log(x2) � 0, cioe se x �1 o x � 1,
ex+3
x
x2 se log(x2) < 0, cioe se �1 < x < 1.(1)
Quindi limx!±1f(x)
x = limx!±1 x ex+3
x = ±1 e non ci sono asintoti obliqui a ±1.
(c) Derivando (1) per x 6= ±1, 0:
f 0(x) =
(e
x+3x (2x � 3) se x < �1 o x > 1,
� ex+3
x
x4 (2x + 3) se �1 < x < 1.(2)
Quindi:
f 0(x) > 0 per x < �1 o x > 1 se e solo se x > 3/2 e vale 0 per x = 3/2 (> 1);
f 0(x) > 0 per �1 < x < 1 se e solo se x < �3/2 (< �1, non appartenente a ] � 1, 1[).
Segue che f e strettamente decrescente in ] �1, 0[ e in ]0, 3/2[ ed e strettamente crescentein ]3/2, +1[. Ha minimo relativo in 3/2, non ha minimo assoluto e inf f = 0; non ha massimoassoluto e sup f = +1.
(Fac) Gli attacchi di f 0 da calcolare sono in ±1± e in 0�.
Si ha:
limx!1�
f 0(x) = limx!1�
�ex+3
x
x4(2x + 3) = �5e4.
limx!1+
f 0(x) = limx!1+
ex+3
x (2x � 3) = �e�2.
Quindi f non risulta derivabilie in x = 1.
limx!�1�
f 0(x) = limx!1�
ex+3
x (2x � 3) = �5e�2.
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limx!�1+
f 0(x) = limx!1+
�ex+3
x
x4(2x + 3) = �e�2.
Quindi f non risulta derivabilie in x = �1. Infine si ha:
limx!0�
f 0(x) = limx!0�
�ex+3
x
x4(2x + 3) = lim
x!0��e(2x + 3)
e3x
x4= �3e lim
x!0�
e3x
x4.
Ponendo y = � 3x , se x ! 0� allora y ! +1, quindi il limite diventa:
� e
27lim
y!+1y4
ey= 0.
Esercizio 2
(a) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di
f(x) = (2 + sinh(2x)) · log(1 + 2x)
(b) calcolare per ↵ > 1:
limx!0+
ef(x) � 1 � 4x
x↵�1.
Sol. (a) Per gli sviluppi del sinh e del log si ha:
f(x) =
✓2 + 2x +
4
3x3 + o(x3)
◆✓2x � 2x2 +
8
3x3 + o(x3)
◆
da cui segue che lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di f e: f(x) = 4x + 43x3 + o(x3).
(b) Usando lo sviluppo precedente e lo sviluppo dell’esponenziale:
ef(x) = 1 + f(x) +1
2[f(x)]2 + o([f(x)]2) = 1 + 4x +
1
2(4x)2 + o(x2) = 1 + 4x + 8x2 + o(x2)
da cui si ottiene
limx!0+
ef(x) � 1 � 4x
x↵�1= lim
x!0+
8x2
x↵�1= lim
x!0+8x3�↵ =
8<:
0 se 1 < ↵ < 38 se ↵ = 3+1 se ↵ > 3
Esercizio 3 Discutere la convergenza della serie
+1X
n=1
(sin(2n) + 3)
✓2n2 arctan
✓1
n2
◆◆n
Sol. Metodo 1. Osserviamo che an.= (sin(2n)+3)
�2n2 arctan
�1n2
��ne positiva e che, essendo
2 (sin(2n) + 3) 4, posto bn.=�2n2 arctan
�1n2
��n, si ha 0 < 2 bn an 4 bn, per cui per cui
la serie data converge o diverge se e solo se converge o diverge, rispettivamente, la serie ⌃ bn, peril Criterio del Confronto. Studiamo quindi la convergenza di ⌃ bn con il criterio della radice:
L = limn!+1
np
bn = limn!+1
n
s✓2n2 arctan
✓1
n2
◆◆n
= limn!+1
✓2n2 arctan
✓1
n2
◆◆= 2.
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Poiche L = 2 > 1, la serie data diverge.
Metodo 2. Si puo anche applicare direttamente il criterio della radice ad an, dopo avermostrato che e a termini positivi:
limn!+1
np
an = limn!+1
e1n
log(sin(2n)+3) log(1 +
✓2n2 arctan
✓1
n2
◆◆= 2,
perche e1n
log(sin(2n)+3) tende a e0 = 1, essendo log 2 log(sin(2n) + 3) log(4), successionelimitata, moltiplicata per la successione infinitesima 1/n.
Esercizio 4 Data
f(x, y) = log
✓4x2 � y2
4x2 + y2
◆
(a) disegnare il dominio di f e dire se risulta aperto o chiuso, limitato o illimitato.
(b) Dire se esiste ed in tal caso calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).
(c) Gradiente in (1,p
2) ed equazione del piano tangente al grafico di f in quel punto.
Sol.(a) Il dominio di f e
⇢(x, y) :
4x2 � y2
4x2 + y2> 0
�=�(x, y) : 4x2 > y2, (x, y) 6= (0, 0)
= {(x, y) : �2|x| < y < 2|x|, (x, y) 6= (0, 0)}
E aperto e illimitato.
(b) Metodo 1. In coordinate polari:
lim(x,y)!(0,0)
f(x, y) = lim⇢!0+
log
✓⇢2(4 cos2 ✓ � sin2 ✓)
⇢2(4 cos2 ✓ + sin2 ✓)
◆= log
✓4 cos2 ✓ � sin2 ✓
4 cos2 ✓ + sin2 ✓
◆
che dipende da ✓, per cui il limite non esiste.
Metodo 2. Per dire che il limite non esiste basta osservare che lungo la retta y = 0, f(x, 0) =
log⇣
4x2
4x2
⌘= 0 mentre lungo y = x, f(x, x) = log
⇣4x2�x2
4x2+x2
⌘= log(3/5), per cui i due limiti a (0, 0)
sono diversi.
(c) (1, 0) e interno al dominio di f che risulta ivi continua e derivabile infinite volte, per cui fe di↵erenziabile ed esiste il piano tangente. Si ha
@f
@x(x, y) =
16xy2
(4x2 � y2)(4x2 + y2),
@f
@y(x, y) = � 16x2y
(4x2 � y2)(4x2 + y2)
per cui rf(1, 0) = (0, 0), f(1, 0) = 0 e il piano tangente e
z = 0.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 29 gennaio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log |ex � e2|
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro ↵ > 0 il limite
limx!+1
↵x↵ sin�
1x
�� 4x3 + 2xp
1 + x6 � 1 + 3x3.
Esercizio 3 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie
+1X
n=2
(�1)n3p
4 + n � 3p
np2 log n
.
Esercizio 4 Calcolare l’integrale generalizzato
Z +1
0
xe�|4�x|
exdx.
Domanda facoltativa: Discutere la convergenza dell’integrale generalizzato
Z +1
0
xae�|4�x|
exdx.
al variare di a 2 R.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 29 gennaio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = log |e � ex| + 2 arctan(1 � ex)
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro ↵ > 0 il limite
limx!+1
p1 + x4 � 1 + 2x4
6x4 � ↵x↵ arctan�
1x2
�+ 3x
.
Esercizio 3 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie
+1X
n=2
(�1)n3p
5 + n � 3p
np4 log n
.
Esercizio 4 Calcolare l’integrale generalizzato
Z +1
0
xe�x
e|3�x| dx.
Domanda facoltativa: Discutere la convergenza dell’integrale generalizzato
Z +1
0
xae�x
e|3�x| dx.
al variare di a 2 R.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 29 gennaio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = 2 arctan(ex � 3) � log |e3 � ex|
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro ↵ > 0 il limite
limx!+1
↵x↵�cosh
�1x
�� 1�� 2x2 + 5x
log(1 + x2) � 3x2.
Esercizio 3 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie
+1X
n=2
(�1)n3p
2 + n � 3p
np3 log n
.
Esercizio 4 Calcolare l’integrale generalizzato
Z +1
0
xe�|1�x|
exdx.
Domanda facoltativa: Discutere la convergenza dell’integrale generalizzato
Z +1
0
xae�|1�x|
exdx.
al variare di a 2 R.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 29 gennaio 2013
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = log |ex � e4| � 2 arctan(ex � 4)
(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;
(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).
Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro ↵ > 0 il limite
limx!+1
x3 � 4 log(1 + x3)
6x4 � ↵x↵ arctan�
1x2
�+ 3x
.
Esercizio 3 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie
+1X
n=2
(�1)n3p
3 + n � 3p
np5 log n
.
Esercizio 4 Calcolare l’integrale generalizzato
Z +1
0
xe�x
e|2�x| dx.
Domanda facoltativa: Discutere la convergenza dell’integrale generalizzato
Z +1
0
xae�x
e|2�x| dx.
al variare di a 2 R.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,
appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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Svolgimento TEMA 1
Esercizio 1 .
f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log |ex � e2|(a) Il dominio e {x : |ex � e2| > 0} = {x : ex � e2 6= 0} = R \ {2}. Non ci sono simmetrie operiodicita evidenti.
(b) Limiti:
1. limx!�1 f(x) = 2 arctan(�2) � log(e2) = �2 arctan 2 � 2 (< 0). Quindi c’e un asintotoorizzontale y = �2 arctan 2 � 2 a �1.
2. limx!+1 f(x) = �1, e poiche |ex � e2| = ex � e2 quando x � 2, per tali x possiamoriscrivere
f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log[ex(1 � e2�x)] = 2 arctan(ex � 2) � x � log(1 � e2�x)
Si ottiene allora che limx!+1f(x)
x = �1 e limx!+1[f(x)+x] = ⇡. Quindi f ha y = �x+⇡come asintoto obliquo a +1.
3. limx!2± f(x) = +1, quindi x = 2 e un asintoto verticale completo.
(c) Derivabilita: f e continua e derivabile 8x 6= 2 perche composizione di f ivi derivabili.
f 0(x) =2 ex
1 + (ex � 2)2� ex
ex � e2=
ex
[1 + (ex � 2)2](ex � e2)[2ex � 2e2 � 1 � (ex � 2)2],
dove f 0(x) > 0 se e solo se
[2ex � 2e2 � 1 � (ex � 2)2]
ex � e2= � [e2x � 6ex + 2e2 + 5]
ex � e2> 0.
Poiche il polinomio di secondo grado in ex dentro le parentesi quadre a numeratore ha � < 0 (percui e sempre strettamente positivo), f 0(x) > se e solo se ex � e2 < 0, cioe se x < 2. la funzionef e allora strettamente crescente per x < 2 e strettamente decrescente per x > 2. Inoltre f eillimitata, perche sup f = +1 e inf f = �1 e non assume max e min relativi o assoluti.
Esercizio 2 . Il limite
L = limx!+1
↵x↵ sin�
1x
�� 4x3 + 2xp
1 + x6 � 1 + 3x3
e una forma indeterminata 1/1. A numeratore, poiche limx!+1 1x = 0, possiamo sviluppare
con Mac Laurin
sin
✓1
x
◆=
1
x� 1
6
1
x3+ o(
1
x3)
che sostituendo e usando le proprieta di ”o-piccolo” porta a
↵x↵ sin
✓1
x
◆�4x3+2x = ↵x↵�1�↵
6x↵�3�4x3+2x+o(x↵�3) =
8<:
�4x3 + o(x3) se ↵ < 4,��2
3 + 2�x + o(x) se ↵ = 4,
↵x↵�1 + o(x↵�1) se ↵ > 4.
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A denominatore,p
1 + x6 ⇠ x3 a +1, dunquep
1 + x6 � 1 + 3x3 = 4x3 + o(x3). In conclusione,L = �1 se ↵ 2]0, 4[; L = 0 se ↵ = 4 e L = +1 se ↵ > 4.
Esercizio 3 .
Osserviamo che la serie e a termini di segno alterno, poiche bn :=3p4+n� 3pnp
2 log n> 0 per ogni
n � 2.
Studiamo innanzitutto la convergenza assoluta.
Ricordando che x3 � y3 = (x � y)(x2 + xy + y2), poniamo x = 3p
4 + n e y = 3p
n, ottenendo
bn =3p
4 + n � 3p
np2 log n
=4 + n � n
3p
(4 + n)2 + + 3p
(4 + n)n +3p
n2· 1p
2 log n
=4
3p
(4 + n)2 + + 3p
(4 + n)n +3p
n2· 1p
2 log n.
Quando n ! +1, si ha
43p
(4 + n)2 + + 3p
(4 + n)n +3p
n2· 1p
2 log n⇠ 4
3p
2n2/3(log n)1/2.
La serieP+1
n=21
n2/3(log n)1/2 diverge, perche, per esempio, 1n2/3(log n)1/2 > 1
n5/6 per ogni n > 1.
Poiche la serie armonica generalizzataP+1
n=21
n5/6 diverge, per il criterio del confronto diverge
ancheP+1
n=21
n2/3(log n)1/2 .
Come applicazione del criterio del confronto asintotico, ne deduciamo che diverge ancheP+1n=2 bn , cioe che la serie data non converge assolutamente.
Passiamo ora a studiare la convergenza semplice della serie data. Dai conti appena svoltisi deduce che bn tende a zero quando n ! +1. Per poter applicare il criterio di Leibniz, esu�ciente dimostrare che {bn} e monotona decrescente, almeno definitivamente.
Metodo 1. bn e decrescente perche reciproco di una successione positiva strettamente crescente,infatti
1
bn=
1
4
⇣3p
(4 + n)2 + 3p
(4 + n)n +3p
n2⌘ p
2 log n
e somma di successioni strettamente crescenti e positive moltiplicate per una successione crescentee positiva.
Metodo 2. Consideriamo la funzione
f(x) =3p
4 + x � 3p
xp2 log x
.
Derivando f , otteniamo
f 0(x) =1
2 log x
⇣1
3(4 + x)�2/3 � 1
3(x)�2/3
⌘p2 log x � ( 3
px + 4 � 3
px)
1
2xp
2 log x
!
=1
2 log x
⇣(x)2/3 � (4 + x)2/3
3(4 + x)2/3x2/3
⌘p2 log x � ( 3
px + 4 � 3
px)
1
2xp
2 log x
!.
Osserviamo ora che⇣
(x)2/3�(4+x)2/3
3(4+x)2/3x2/3
⌘p2 log x < 0 e che ( 3
px + 4 � 3
px) 1
2xp
2 log x> 0 per ogni
x � 2, cosı che f 0(x) < 0 per ogni x � 2. Come conseguenza del criterio di Leibniz, la serie dataconverge semplicemente.
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Esercizio 4 .
Osserviamo cheZ +1
0
xe�|4�x|
exdx =
Z 4
0
xex�4
exdx +
Z +1
4
xe4�x
exdx,
purche entrambi gli integrali esistano finiti. Li studiamo quindi separatamente.
Osserviamo prima di tutto cheZ 4
0
xex�4
exdx =
Z 4
0xe�4 dx = 8e�4 .
Si ha inoltreZ +1
4
xe4�x
exdx = e4 lim
R!+1
Z R
4
xe�x
exdx = e4 lim
R!+1
Z R
4xe�2x dx .
Calcoliamo l’integrale indefinitoR
xe�2x dx , integrando per parti. Ponendo f(x) = x e g0(x) =e�2x, otteniamo Z
xe�2x dx = �x
2e�2x � 1
4e�2x ,
da cui segueZ +1
4
xe4�x
exdx = e4 lim
R!+1
Z R
4xe�2x dx = e4 lim
R!+1
⇣� x
2e�2x � 1
4e�2x
⌘���R
4=
9
4e4e�8 =
9
4e�4 .
Poiche entrambi gli integrali esistono finiti, concludiamo cheZ +1
0
xe�|4�x|
exdx =
Z 4
0
xex�4
exdx +
Z +1
4
xe4�x
exdx = 8e�4 +
9
4e�4 =
41
4e�4 .
Domanda facoltativa:
Z +1
0
xae�|4�x|
exdx.
al variare di a 2 R.
Possono esservi problemi di convergenza sia per x ! 0+, sia per x ! +1. Studiamo quindiseparatamente i due integrali
Z 4
0
xae�|4�x|
exdx e
Z +1
4
xae�|4�x|
exdx .
L’integrale generalizzato assegnato converge se entrambi gli integrali convergono. Abbiamo gi aosservato che Z 4
0
xae�|4�x|
exdx = e�4
Z 4
0xa dx.
Questo integrale converge per ogni valore a > �1. Risulta inoltreZ +1
4
xae4�x
exdx = e4
Z +1
4xae�2x dx =
Questo integrale converge per ogni valore reale di a, perche la funzione xae�2x e infinitesima diordine superiore a 1 al tendere di x ! +1 per ogni valore di a.
In conclusione, l’integrale assegnato converge per ogni valore di a > �1.
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ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 18 Settembre 2012
TEMA1
Esercizio 1 (9 punti). Si consideri la funzione
f(x) =x2
4 log2 x + 2 log x + 1
(a) Determinare il dominio di f , il segno, eventuali simmetrie e periodicita.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
(Non e richiesto lo studio della derivata seconda di f(x)).
Esercizio 2 (8 punti).
(a) Calcolare l’integrale definito ∫ 4
3
1
(x− 2)√xdx.
(b) Discutere la convergenza dell’integrale improprio
∫ 2
0
1
(x− 2)√xdx .
Esercizio 3 (7 punti) Determinare il carattere della serie
+∞∑
n=1
(2n + 1)!
(n + 1)n
Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente limite:
limx→0+
log(1 + x + x2)− sinx
1− cosx + x4 log x.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 18 Settembre 2012
TEMA2
Esercizio 1 (9 punti). Si consideri la funzione
f(x) =x2
3 log2 x + 2 log x + 1
(a) Determinare il dominio di f , il segno, eventuali simmetrie e periodicita.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
(Non e richiesto lo studio della derivata seconda di f(x)).
Esercizio 2 (8 punti).
(a) Calcolare l’integrale definito ∫ 5
4
1√x (x− 3)
dx.
(b) Discutere la convergenza dell’integrale improprio
∫ 3
0
1√x (x− 3)
dx .
Esercizio 3 (7 punti) Determinare il carattere della serie
+∞∑
n=1
(n + 1)n
(2n + 1)!
Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente limite:
limx→0+
ex+x2 − 1− log(1 + x)
sin(x2) + x3 log x.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Soluzioni del TEMA1Esercizio 1
(a) Si osservi che f(x) = x2
g(x) , ove g(x) = p(log x) e p(t) = 4t2 + 2t+ 1. Poiche il polinomio 4t2 + 2t+ 1
ha discriminante negativo, il denominatore di f non si annulla mai. Per la presenza della funzionelog x risulta quindi
domf = {x ∈ R : x > 0}.La funzione non presenta simmetrie o periodicita ed e sempre positiva.
(b) Risultalimx→0+
f(x) = 0
elim
x→+∞f(x) = +∞ .
Non ha senso cercare eventuali asintoti obliqui per x → +∞, perche f tende a +∞ con ordinemaggiore di uno.
(c) La funzione e continua e derivabile su tutto il suo dominio come conseguenza dei teoremi sullacontinuita e sulla derivabilita del quoziente e della composizione di funzioni. Risulta, inoltre,
f ′(x) =8x log2 x− 4x log x
g2(x).
La funzione risulta allora crescente sugli intervalli (0, 1) e (e1/2,+∞), decrescente in (1, e1/2).
f presenta un massimo relativo in x = 1 (ove assume il valore 1) e un mnimo relativo in e1/2, oveassume il valore e/3. La funzione non ha ne massimi ne minimi assoluti.
(d) Risulta
limx→0+
f ′(x) = limx→0+
8x log2 x− 4x log x
g2(x)= 0 .
Esercizio 2
(a). Per il calcolo dell’integrale definito, tramite la sostituzione x = t2 (che implica “dx = 2t dt”, x = 3ed x = 4 da sostituire con t =
√3 e t = 2 rispettivamente) otteniamo
I :=
∫ 4
3
1
(x− 2)√xdx = 2
∫ 2
√3
1
t2 − 2dt.
Osserviamo che si ha t2 − 2 = (t−√
2)(t +√
2); inoltre l’equazione
A
t−√
2+
B
t +√
2=
1
t2 − 2
implica: A =√
2/4 e B = −√
2/4. Abbiamo pertanto
I = 2
∫ 2
√3
1
t2 − 2dt =
√2
2
∫ 2
√3
(1
t−√
2− 1
t +√
2
)dt
=
√2
2
[log |t−
√2| − log |t +
√2|]2√3
=
√2
2log
[(2−
√2)(√
3 +√
2)
(2 +√
2)(√
3−√
2)
]=
√2
2log
[(√
2− 1)(√
3 +√
2)
(√
2 + 1)(√
3−√
2)
].
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(b). Essendo l’integranda continua solo su (0, 2), si deve studiare il suo comportamento sia intorno alpunto x = 0 che al punto x = 2. Per il primo notiamo che
1
(x− 2)√x∼ −1
2x−1/2 per x→ 0+.
Per il criterio del confronto asintotico, l’integrale improprio converge.
Per x = 2 osserviamo1
(x− 2)√x∼ (x− 2)−1√
2per x→ 2−.
Per il criterio del confronto asintotico, l’integrale improprio diverge.
(In alternativa, si puo usare il risultato del punto (a) e la definizione di integrale improprio:∫ 2
0· · · =
limξ→0+∫ 1
ξ· · ·+ limη→2−
∫ η1. . . dove il primo limite e convergente mentre il secondo e divergente.)
Esercizio 3 Essendo una serie a termini positivi, si puo provare ad usare il criterio del rapporto:
limn
an+1
an=
(2(n + 1) + 1)!
(n + 1 + 1)n+1
(n + 1)n
(2n + 1)!=
(2n + 3)!
(n + 2)n+1
(n + 1)n
(2n + 1)!=
=(2n + 1)!(2n + 2)(2n + 3)
(n + 2)n(n + 2)
(n + 1)n
(2n + 1)!=
(2n + 2)(2n + 3)
(n + 2)
(n + 1
n + 2
)n
=(2n + 2)(2n + 3)
(n + 2)
(1− 1
n + 2
)n=
(2n + 2)(2n + 3)
(n + 2)
[(1− 1
n + 2
)n+2] n
n+2
=
= +∞,
dove nel calcolo del limite si e tenuto conto che limn(1− 1n+2 )n+2 = e−1, limn
nn+2 = 1 e limn
(2n+2)(2n+3)(n+2) =
+∞.
Quindi limnan+1
an= +∞ e, per il principio del rapporto, la serie diverge.
Esercizio 4
limx→0+
log(1 + x + x2)− sinx
1− cosx + x4 log x.
Scriviamo lo sviluppo di McLaurin del numeratore:
log(1 + x + x2)− sinx = (x + x2)− 1
2(x + x2)2 +
1
3(x + x2)3 − x +
x3
3!+ o(x3) =
x2
2+ o(x2),
per x→ 0.
Al denominatore:
1− cosx + x4 log x =x2
2+ o(x2),
per x→ 0, dove abbiamo tenuto conto che limx→0+x4 log xx2 = 0 quindi x4 log x = o(x2). Quindi facendo il
quoziente si ottiene che il limite e = 1.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10 Luglio 2012
TEMA
Esercizio 1 (9 punti)
Si consideri la funzionef(x) = earctan |x2�1|
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno della funzione.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Facoltativo: Studiare la convessita di f sull’intervallo (1, +1) e determinare gli eventuali flessi.
Esercizio 2 (8 punti).
(a) Determinare il dominio della funzione
f(x) =4 + log x
x(9 � log2 x)
e dedurne il massimo intervallo contenente x0 = 2 sul quale la funzione e definita.
(b) Calcolare tutte le primitive di f su tale intervallo.
Esercizio 3 (8 punti). Si consideri la serie:
+1X
n=1
⇣ 2
n� log(1 +
2
n)⌘ 1
n↵.
(a) Stabilire per quali ↵ 2 R il termine n�esimo della serie an tende a zero.
(b) Stabilire per quali ↵ 2 R la serie converge.
Esercizio 4 (6 punti). Si consideri la funzione
g(x, y) = e2x log y
.
(a) Determinare il dominio di definizione di g e disegnarlo nel piano cartesiano.
(b) Calcolare le derivate parziali prime di g.
(c) Calcolare le derivate direzionali di g nel punto (1, 1) nella generica direzione v = (cos↵, sin↵),↵ 2 [0, 2⇡).
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno svolte dopo aver completato le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10 Luglio 2012
TEMA
Esercizio 1 (9 punti)
Si consideri la funzionef(x) = earctan |x2�4|
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno della funzione.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Facoltativo: studiare la convessita di f sull’intervallo (2, +1) e determinare gli eventuali flessi.
Esercizio 2 (8 punti).
(a) Determinare il dominio della funzione
f(x) =3 + log x
x(16 � log2 x)
e dedurne il massimo intervallo contenente x0 = 3 sul quale la funzione e definita.
(b) Calcolare tutte le primitive di f su tale intervallo.
Esercizio 3 (8 punti). Si consideri la serie:
+1X
n=1
⇣ 3
n� log(1 +
3
n)⌘ 1
n↵.
(a) Stabilire per quali ↵ 2 R il termine n�esimo della serie an tende a zero.
(b) Stabilire per quali ↵ 2 R la serie converge.
Esercizio 4 (6 punti). Si consideri la funzione
g(x, y) = e2y log x
.
(a) Determinare il dominio di definizione di g e disegnarlo nel piano cartesiano.
(b) Calcolare le derivate parziali prime di g.
(c) Calcolare le derivate direzionali di g nel punto (2, 2) nella generica direzione v = (cos↵, sin↵),↵ 2 [0, 2⇡).
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno svolte dopo aver completato le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10 Luglio 2012
Soluzioni del tema
Esercizio 1f(x) = earctan |x2�1|
(a) Il dominio di f e tutto R. Inoltre, poiche f(x) = f(�x), la funzione e pari, cioe simmetrica rispettoall’asse delle ordinate. La funzione, essendo un esponenziale, e sempre positiva e inoltre, poichel’argomento dell’esponente e sempre maggiore o uguale a zero, si ha che f(x) � 1 per ogni x 2 R.Inoltre f(±1) = 1 quindi x = ±1 sono i punti di minimo assoluto e f = 1 e il minimo assoluto. Perla simmetria della funzione, studiamola per x � 0 e di conseguenza otterremo le informazioni ancheper gli x < 0.
(b) limx!+1 f(x) = e⇡/2 quindi y = e⇡/2 e un asintoto orizzontale per x ! +1. Inoltre, poichearctan() < ⇡/2 si ha che f(x) < e⇡/2, quindi f(x) tende a e⇡/2 ”da sotto”.
(c) La funzione e continua su R perche composizione di funzioni continue. Per studiarne la derivata
prima conviene spezzare la funzione per x > 1 e per 0 < x < 1. Per x > 1 si ha f(x) = earctan(x2�1)
da cui f 0(x) = earctan(x2�1) 11+(x2�1)2 2x. Quindi, poiche stiamo considerando gli x > 1 si ha che
f 0 > 0 cioe f e strettamente crescente per ogni x > 1. Per 0 < x < 1 si ha f(x) = earctan(1�x2) da
cui f 0(x) = earctan(1�x2) 11+(1�x2)2 (�2x). Quindi, poiche stiamo considerando gli 0 < x < 1 si ha che
f 0 < 0 cioe f e strettamente decrescente per ogni 0 < x < 1. Inoltre abbiamo gia osservato in a)che x = 1 e un punto di minimo assoluto. Nel punto x = 0 f e derivabile. Inoltre f e strettamentedecrescente a destra di 0 ed e simmetrica, f(0) = e⇡/4, quindi x = 0 e un punto di massimo relativo.
(d) Dall’espressione della derivata prima di f trovata in c) si ha che f 0+(1) = limx!1+ f 0(x) = 2 e
f 0�(1) = limx!1� f 0(x) = �2 quindi f non e derivabile in x = 1 e x = 1 e un punto spigoloso. Una
volta ottenute tutte queste informazioni si puo disegnare il grafico per x > 0 e poi disegnare la curvasimmetrica rispetto all’asse delle y ottenendo cosı il grafico di f(x).
Facoltativo: Derivando l’espressione di f 0 per x > 1 si ottiene f 00(x) = earctan(x2�1) 2(1+(x2�1)2)2 (�3x4 +
2 + 4x2). Poiche la funzione e due volte derivabile per x > 1 i possibili flessi si trovano cercando gli zeri
di f 00, cie risolvendo �3x4 + 2 + 4x2 = 0. Ponendo x2 = y si ha 3y2 � 4y � 2 = 0 da cui x2 = 2+p
103 .
Quindi c’e un flesso per x > 1 in x0 =
q2+
p10
3 e la funzione e concava a destra di tale punto e convessaper 1 < x < x0.
Esercizio 2
(a) Il dominio della funzione
f(x) =4 + log x
x(9 � log2 x)
si ottiene imponendo x > 0 (in quanto x e argomento del logaritmo) e la condizione log2 x 6= 9, cioelog x 6= ±3, cioe ancora x 6= e±3. Risulta quindi
domf := {x > 0 : x 6= e±3} = (0, e�3) [ (e�3, e3) [ (e3, +1) .
Cio implica che il piu grande intervallo contenente x0 = 2 sul quale la funzione e definita sia (e�3, e3).
(b) Calcoliamo l’integrale indefinito
I :=
Z4 + log x
x(9 � log2 x)dx
imponendo la sostituzione log x = t. Otteniamo
I =
Z4 + t
9 � t2dt =
Z3 + t + 1
(3 + t)(3 � t)dt =
Z1
3 � tdt +
Z1
(3 + t)(3 � t)dt
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 24 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1 (9 punti). Si consideri la funzione
f(x) = arctan
✓e2x
e2x + 1
◆
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Facoltativo: Individuare il piu grande intervallo contenente 0 in cui la funzione e invertibile; individuare la funzione
inversa ed il suo dominio.
Esercizio 2. (8 punti)
(a) Calcolare una primitiva di
f(x) =1
x3arctan(
2
x).
(b) Dire se l’integrale generalizzatoR +11
f(x) dx converge e in caso a↵ermativo calcolarlo.
Esercizio 3 (7 punti)
(a) Stabilire per quali ↵ > 0, la successione ak = tan 1k � sin 1
k↵ converge per k ! +1.
(b) Studiare il carattere della serie+1X
k=1
ak
al variare di ↵ > 0.
Esercizio 4 (7 punti). Si consideri la funzione
f(x, y) = log
✓y log(x � 1)
◆.
(a) Trovare e disegnare in R2 il dominio di definizione. Dire se e aperto, chiuso, ne aperto ne chiuso.
(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (e + 1, 1).
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 24 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1 (9 punti). Si consideri la funzione
f(x) = arctan
✓e3x
e3x + 1
◆
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Facoltativo: Individuare il piu grande intervallo contenente 0 in cui la funzione e invertibile; individuare la funzione
inversa ed il suo dominio.
Esercizio 2. (8 punti)
(a) Calcolare una primitiva di
f(x) =2
x3arctan(
1
x).
(b) Dire se l’integrale generalizzatoR +11
f(x) dx converge e in caso a↵ermativo calcolarlo.
Esercizio 3 (7 punti)
(a) Stabilire per quali � > 0 la successione ak = sin 1k� � e1/k + 1 converge per k ! +1.
(b) Studiare il carattere della serie+1X
k=1
ak
al variare di � > 0.
Esercizio 4 (7 punti). Si consideri la funzione
f(x, y) = log
✓(y � 2) log x
◆.
(a) Trovare e disegnare in R2 il dominio di definizione. Dire se e aperto, chiuso, ne aperto ne chiuso.
(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (e, 3).
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 24 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1 (9 punti). Si consideri la funzione
f(x) = arctan
✓e2x
e2x + 2
◆
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Facoltativo: Individuare il piu grande intervallo contenente 0 in cui la funzione e invertibile; individuare la funzione
inversa ed il suo dominio.
Esercizio 2. (8 punti)
(a) Calcolare una primitiva di
f(x) =1
x3arctan(
3
x).
(b) Dire se l’integrale generalizzatoR +11
f(x) dx converge e in caso a↵ermativo calcolarlo.
Esercizio 3 (7 punti)
(a) Stabilire per quali ↵ > 0 la successione ak = sin 1k � sinh 1
k↵ converge per k ! +1.
(b) Studiare il carattere della serie+1X
k=1
ak
al variare di ↵ > 0.
Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x, y) = log
✓x log(y � 1)
◆.
(a) Trovare e disegnare in R2 il dominio di definizione. Dire se e aperto, chiuso, ne aperto ne chiuso.
(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (1, e + 1).
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
questo.
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Vicenza, 24 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1 (9 punti). Si consideri la funzione
f(x) = arctan
✓e3x
e3x + 2
◆
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Facoltativo: Individuare il piu grande intervallo contenente 0 in cui la funzione e invertibile; individuare la funzione
inversa ed il suo dominio.
Esercizio 2. (8 punti)
(a) Calcolare una primitiva di
f(x) =3
x3arctan(
1
x).
(b) Dire se l’integrale generalizzatoR +11
f(x) dx converge e in caso a↵ermativo calcolarlo.
Esercizio 3 (7 punti)
(a) Stabilire per quali � > 0 la successione ak = e1/k� � 1 � sin1
kconverge per k ! +1.
(b) Studiare il carattere della serie+1X
k=1
ak
al variare di � > 0.
Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x, y) = log
✓(x � 2) log y
◆.
(a) Trovare e disegnare in R2 il dominio di definizione. Dire se e aperto, chiuso, ne aperto ne chiuso.
(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (3, e).
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 24 Febbraio 2012
Soluzioni del tema 1
Esercizio 1
(a) dom(f) = R; infatti arctan e definita su tutto R e e2x + 1 6= 0 per ogni x 2 R.
La funzione non presenta simmetrie ne evidenti periodicita.
Segno: f(x) > 0 8x 2 R. Infatti f > 0 equivale a e2x
e2x+1 > 0 e quest’ultima e sempre verificata.
(b) Si halim
x!+1f(x) = arctan 1 = ⇡/4, lim
x!�1f(x) = arctan 0 = 0
perche arctan e continua e perche ( e2x
e2x+1 ) ! 1 e ! 0 rispettivamente per x ! +1 e per x ! �1.
Ne deduciamo che le rette y = ⇡/4 e y = 0 sono rispettivamente l’asintoto orizzontale per x ! +1e per x ! �1.
(c) La funzione e continua sul suo dominio, come conseguenza dei teoremi sulla somma, la composizionee il quoziente di funzioni continue. La funzione e anche derivabile nei punti del suo dominio, comeconseguenza dei teoremi sulla somma, la composizione e il quoziente di funzioni derivabili.
Risulta poi
f 0(x) =1
1 +⇣
e2x
e2x+1
⌘2
2e2x(e2x + 1) � e2x(2e2x)
(e2x + 1)2=
2e2x
2e4x + 2e2x + 1.
Ne segue che f 0 > 0 su R. Quindi la funzione f e sempre strettamente crescente e non presentapunti di massimo o minimo ne relativi ne assoluti.
(Si osservi che a questa conclusione si puo giungere osservando che f(x) ⌘ arctan(1 � 1e2x+1 ) e la
composizione di funzioni strettamente crescenti).
Non richiesto: per il teorema di monotonia si evince facilmente che inf(f) = 0, sup(f) = ⇡/4.
(d) Risulta
f 00(x) =4e2x(2e4x + 2e2x + 1) � 2e2x(8e4x + 4e2x)
[2e4x + 2e2x + 1]2=
4e2x
[2e4x + 2e2x + 1]2��2e4x + 1
�.
Ne segue che lo studio di f 00 > 0 equivale a quello di �2e4x + 1 > 0. Quindi abbiamo f 00 > 0 perx < � ln 2
4 , f 00 < 0 per x > � ln 24 e f 00(� ln 2
4 ) = 0.
La funzione e convessa su (�1,� ln 24 ), concava su (� ln 2
4 , +1) e presenta un flesso in � ln 24 (non
richiesto: con coe�ciente angolare della tangente pari a 1/(p
2 + 1)).
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Domanda facoltativa. Essendo strettamente crescente, f e invertibile sul suo dominio. Denotiamog la sua inversa, cioe g = f�1. Abbiamo: dom(g) = Im(f) = (0,⇡/4).
Ricordiamo che si costruisce la funzione inversa tramite la relazione “g(y) = x00 se e solo se f(x) = y.Osserviamo che arctan(. . . ) = y se e solo se (. . . ) = tan y se e solo se (1 � tan y)e2x = tan y se e solo se
e2x = tan y1�tan y se e solo se x = 1
2 log⇣
tan y1�tan y
⌘. Pertanto abbiamo g(y) = 1
2 log⇣
tan y1�tan y
⌘.
Esercizio 2
a) Con la sostituzione y = 2/x, poiche dy = � 2x2 dx, l’integrale diventa:
Z1
x3arctan
2
xdx = �1
4
Zy arctan y dy.
Integrando per parti prendendo y come fattore integrante:
Zy arctan y dy =
y2
2arctan y �
Zy2
2
1
1 + y2dy =
y2
2arctan y � 1
2
Zy2 + 1 � 1
1 + y2dy
Dividiamo ora il numeratore per il denominatore e otteniamo:
y2
2arctan y � 1
2
Z1dy +
1
2
Z1
1 + y2dy =
y2
2arctan y � y
2+
1
2arctan y.
Ritornando alla variabile x e tenendo conto del fattore �1/4 a moltiplicare si ha che una primitiva di f(x)e G(x) = � 1
2x2 arctan 2x + 1
4x � 18 arctan 2
x
b) Poiche arctan y ⇠ y se y ! 0, si ha che, per x ! +1 f(x) = 1x3 arctan 2
x ⇠ 1x3
2x = 2
x4 . Quindi peril principio del confronto asintotico f(x) e asintotica ad un funzione che e integrabile in (1, +1) e quindie integrabile. Per calcolare l’integrale, si usa la definizione di integrale generalizzato:
Z +1
1
1
x3arctan
2
xdx = lim
K!+1
Z K
1
1
x3arctan
2
xdx = lim
K!+1G(K) � G(1)
dove G(x) e la primitiva trovata sopra al punto a). Quindi si ottiene
Z +1
1
1
x3arctan
2
xdx = lim
K!+1� 1
2K2arctan
2
K+
1
4K� 1
1
8arctan
2
K� 1 +
5
8arctan 2 =
5
8arctan 2 � 1.
Esercizio 3
(a) Dalle stime asintotiche sin x ⇠ x e tan x ⇠ x per x ! 0 e dal fatto che 1k↵ ! 0 per k ! +1, per
ogni valore di ↵ > 0, e immediato dedurre che la successione ak converge a 0 per k ! +1, per ogni↵ > 0.
(b) Osserviamo che se ↵ 2 (0, 1), allora tan 1k � sin 1
k↵ ⇠ � 1k↵ , perche
limk!+1
tan 1k � sin 1
k↵
1k↵
= limt!0
tan t � sin t↵
t↵= lim
t!0(t1�↵ � 1) = �1 .
Dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce allora che la serie data non converge se↵ 2 (0, 1).
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Se ↵ > 1, si ha tan 1k � sin 1
k↵ ⇠ 1k , perche
limk!+1
tan 1k � sin 1
k↵
1k
= limt!0
tan t � sin t↵
t= lim
t!0(1 � t↵�1) = 1 .
Anche in questo caso, dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce allora che la seriedata non converge se ↵ > 1.
Infine, se ↵ = 1, dagli sviluppi elementari si ottiene
tan1
k� sin
1
k=
1
k+
1
3k3� 1
k+
1
3!k3+ o(
1
k3) =
�13
+1
3!
� 1
k3+ o(
1
k3)
per k ! +1. Dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce in questo caso che la seriedata converge se ↵ = 1.
Esercizio 4
a) Il dominio di f(x, y) e il sottoinsieme di R2 formato da tutte le coppie del piano tali che x > 1 ey log(x � 1) > 0. La seconda disuguaglianza porta a trovare i punti(
y > 0
x > 2oppure
(y < 0
x < 2
quindi si ottiene che il dominio e D = D1 [ D2 dove D1 = {(x, y) : x > 2 e y > 0} e D2 = {(x, y) : 1 <x < 2 e y < 0}.Il dominio e l’unione di due insieme aperti quindi e aperto.
b) L’equazione del piano tangente al grafico di f in (e + 1, 1) si ottiene dalla formula:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x � x0) + fy(x0, y0)(y � y0).
Si ha che f(e + 1, 1) = 0.
Calcoliamoci le derivate parziali di f :
fx(x, y) =1
y log(x � 1)
y
x � 1, fy(x, y) =
1
y log(x � 1)log(x � 1) =
1
y.
Calcolate in (e + 1, 1) si ha fx(e + 1, 1) = 1e , fy(e + 1, 1) = 1, da cui otteniamo l’equazione del piano
tangente cercata:
z =1
e(x � e � 1) + y � 1 =
x
e+ y � 2 � 1
e.
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-
6
x
y
� log 24
f(� log 24 )
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 7 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1 (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = log |e2x � 1| +2
e2x � 1.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita, i limiti agli estremi del dominio edeventuali asintoti di f .
(b) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.Non e richiesto lo studio della convessita della funzione.
Facoltativo: Stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0.
Esercizio 2 (7 punti) Si consideri la funzione
2e2x � 5ex
pe2x � 5ex + 6
.
(a) Trovarne una primitiva.
(b) Calcolarne l’integrale sull’intervallo (log 4, +1).
Esercizio 3 (8 punti)
(a) Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 3 della funzione
g(x) = log (1 + sin(3x)) � ↵ arctan(3x) +9
2x2 ,
al variare del parametro ↵ 2 R.
(b) Determinare ↵ in modo tale che
g(x) = o(x2) per x ! 0 .
Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie
+1X
n=1
(�1)n
pn
3n � 2 log n.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 7 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1. (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = log |e4x � 1| +3
e4x � 1.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita, i limiti agli estremi del dominio edeventuali asintoti di f .
(b) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.Non e richiesto lo studio della convessita della funzione.
Facoltativo: Stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 4x0.
Esercizio 2 (7 punti) Si consideri la funzione
2e2x + 2ex
pe2x + 2ex � 8
.
(a) Trovarne una primitiva.
(b) Calcolarne l’integrale sull’intervallo (log 3, +1).
Esercizio 3. (8 punti)
(a) Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 3 della funzione
g(x) = � arctan(2x) � log (1 + sin(2x)) � 2x2 ,
al variare del parametro � 2 R.
(b) Determinare � in modo tale che
g(x) = o(x2) per x ! 0 .
Esercizio 4. (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie
+1X
n=1
(�1)n
pn
4n � log n.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 7 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1. (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = log |e2x � 1| +3
e2x � 1.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita, i limiti agli estremi del dominio edeventuali asintoti di f .
(b) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.Non e richiesto lo studio della convessita della funzione.
Facoltativo: Stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0.
Esercizio 2 (7 punti) Si consideri la funzione
2e2x + ex
pe2x + ex � 6
.
(a) Trovarne una primitiva.
(b) Calcolarne l’integrale sull’intervallo (log 5, +1).
Esercizio 3. (8 punti)
(a) Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 3 della funzione
g(x) = log (1 � sinh(3x)) + ↵ arctan(3x) +9
2x2 ,
al variare del parametro ↵ 2 R.
(b) Determinare ↵ in modo tale che
g(x) = o(x2) per x ! 0 .
Esercizio 4. (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie
+1X
n=1
(�1)n
pn
3n � log n.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
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Vicenza, 7 Febbraio 2012
TEMA
Esercizio 1. (9 punti) Si consideri la funzione
f(x) = log |e3x � 1| +2
e3x � 1.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita, i limiti agli estremi del dominio edeventuali asintoti di f .
(b) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.Non e richiesto lo studio della convessita della funzione.
Facoltativo: Stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 3x0.
Esercizio 2 (7 punti) Si consideri la funzione
2e2x � ex
pe2x � ex � 6
.
(a) Trovarne una primitiva.
(b) Calcolarne l’integrale sull’intervallo (log 4, +1).
Esercizio 3. (8 punti)
(a) Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 3 della funzione
g(x) = log (1 � sinh(2x)) + � arctan(2x) + 2x2 ,
al variare del parametro � 2 R.
(b) Determinare � in modo tale che
g(x) = o(x2) per x ! 0 .
Esercizio 4. (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie
+1X
n=1
(�1)n
pn
2n � log n.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 7 Febbraio 2012
Soluzioni del tema 1
Esercizio 1
(a) Osserviamo innanzitutto che la funzione f si puo esprimere come
f(x) =
(log(e2x � 1) + 2
e2x�1 se x > 0 ,
log(1 � e2x) + 2e2x�1 se x < 0 .
Il dominio di f e l’insieme dom f := {x 2 R : x 6= 0}. La funzione non presenta simmetrie neperiodicita. Si ha, inoltre, lim
x!+1f(x) = +1, lim
x!�1f(x) = �2, lim
x!0+f(x) = (y = e2x � 1) =
limy!0+
(log y + 2/y) = +1 (per gerarchia degli infiniti) e limx!0�
f(x) = �1.
La retta y = �2 e quindi asintoto orizzontale sinistro.Per x > 0, osserviamo che
f(x) = 2x + log�1 � 1
e2x
�+
2
e2x � 1; (1)
cio implica limx!+1
f(x)
x= 2 e lim
x!+1
�f(x) � 2x
�= 0, cosı che la retta y = 2x e asintoto obliquo
destro per f .
(b) La funzione e continua sul suo dominio, come conseguenza dei teoremi sulla somma, la composizionee il quoziente di funzioni continue. La funzione e inoltre derivabile nei punti del suo dominio, comeconseguenza dei teoremi sulla somma, la composizione e il quoziente di funzioni derivabili.Risulta, inoltre, per x > 0,
f 0(x) =2e2x
e2x � 1� 4e2x
(e2x � 1)2=
2e2x(e2x � 3)
(e2x � 1)2,
cosı che f e decrescente sull’intervallo (0, log 32 ), crescente in ( log 3
2 ,+1).
Il punto x1 = log 32 e un punto di minimo relativo (non assoluto), e si ha f(x1) = log 2 + 1.
Per x < 0 si ha poi
f 0(x) =�2e2x
1 � e2x� 4e2x
(e2x � 1)2= �2e2x(3 � e2x)
(1 � e2x)2.
Poiche e2x < 3 per ogni x < 0, risulta f 0(x) < 0 per ogni x < 0, cosı che f e decrescente sull’intervallo(�1, 0).
Domanda facoltativa. Infine, per stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0 studiamo laconvessita di f . Per calcolare la derivata seconda, scriviamo f 0(x) = h(g(x)), x > 0, con g(x) = e2x
e h(t) = 2t(t�3)(t�1)2 .
Poiche risulta h(t) = 2 � 2t�1 � 4
(t�1)2 , si ha allora
f 00(x) = h0(g(x)) g0(x) = 2e2x⇣ 2
(e2x � 1)2+
8
(e2x � 1)3
⌘� 0
per ogni x > 0. Dalla convessita di f si deduce che non esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0.
Un’altra possibilita consiste nello studiare il segno di f(x)� 2x usando la formula (??). Si dimostrafacilmente, usando gli sviluppi elementari per x ! +1, che f(x) � 2x > 0.
Esercizio 2
Innanzitutto consideriamo la sostituzione ex = y. Poiche ex dx = dy si ha
Z2e2x � 5ex
pe2x � 5ex + 6
dx =
Z2y � 5p
y2 � 5y + 6dy.
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Al numeratore si ha proprio la derivata della funzione sotto radice, quindi con la sostituzione y2�5y+6 = z,l’integrale diventa Z
1pz
dz = 2z1/2 + C
e considerando le sostituzioni fatte si ha che una primitiva della funzione e 2p
e2x � 5ex + 6 + C, C 2 R.Per calcolare l’integrale generalizzato basta usare la definizione:
Z +1
log 4
2e2x � 5ex
pe2x � 5ex + 6
dx = limk!+1
Z k
log 4
2e2x � 5ex
pe2x � 5ex + 6
dx = limk!+1
2p
e2k � 5ek + 6 � 2p
2 = +1.
Quindi l’integrale diverge a +1.
Esercizio 3
(a) Dagli sviluppi elementari si deduce che
g(x) = log (1 + sin(3x)) � ↵ arctan(3x) +9
2x2
= sin(3x) � 1
2
�sin(3x)
�2+
1
3
�sin(3x)
�3 � 3↵x +1
3↵(3x)3 +
9
2x2 + o(x3)
= 3(1 � ↵)x +9
2x2 � 9
2x2 � 1
3!(3x)3 + 9x3 + 9↵x3 + o(x3)
= 3(1 � ↵)x + 9(↵ +1
2)x3 + o(x3) ,
per x ! 0, al variare del parametro ↵ 2 R (si osservi che nel primo passaggio si e usata la relazioneo([sinx]3) = o(x3)).
(b) A�nche risulti g(x) = o(x2) per x ! 0 , il termine di primo grado nello sviluppo di g deveannullarsi. Bisogna quindi imporre ↵ = 1.
Esercizio 4 Denotiamo an :=p
n3n�2 log n .
*) Convergenza assoluta. Si deve studiare il comportamento della serieP+1
n=1 an. Osserviamo che
an =1
3
pn
n|{z}=n�1/2
1
1 � 2 log n3n| {z }
!1
;
in particolare ne deduciamo che an ⇠ 13n�1/2. Per il criterio del confronto asintotico, essendo
divergente la serieP+1
n=1 n�1/2, la serieP+1
n=1 an e divergente.
*) Convergenza semplice. Verifichiamo le ipotesi del criterio di Leibniz. Ovviamente abbiamo an > 0.Inoltre, per i calcoli del punto precedente, abbiamo anche: an ! 0 per n ! +1. Rimane dadimostrare che an sia definitivamente decrescente. A questo scopo basta provare che la funzione
f(x) :=
px
3x � 2 log x
abbia derivata definitivamente negativa per x ! +1. Infatti si ha
f 0(x) =�3x � 2 log x + 4
2p
x[3x � 2 log x]2< 0 (almeno) per x >
4
3.
In conclusione: tutte le ipotesi del criterio di Leibniz sono verificate e quindi la serie convergesemplicemente.
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-
6
x
y
������������������y = 2x
y = �2
f( log 32 )
log 32
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 19 settembre 2011
TEMA
Esercizio 1
f(x) = 3x e� arctan
„1p
x2�9
«
.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f 0, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Esercizio 2 Calcolare
limn!+1
n3 arcsin�
1n
�� n sin(n) + (n + 1) arctan(n!)
n! + 2en2+log(n2)en2
Esercizio 3 Calcolare Z ⇡4
�⇡4
| sin x|cos2 x + 7 cos x + 12
dx
Esercizio 4 Data+1X
n=1
log(n + 1) � log n
3 + nx2n+1,
(a) studiare la convergenza della serie 8x � 0;
(b) (Facoltativo) studiare la convergenza della serie 8x < 0.
Tempo: due ore e mezza.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 12 luglio 2011
TEMA1Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = arctan
( |x− 3|x
+ 1
)
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Esercizio 2 Calcolare l’integrale improprio
∫ +∞
0
coshx
sinh2 x + | sinh2 x− 4|+ 6dx
Esercizio 3 Calcolare il limite seguente
limx→+∞
xa + ax + sin(x2)
6ex +√x6 + 2x + 1
per ogni valore del parametro a > 0.
Esercizio 4 Si consideri la funzione
f(x, y) =
{sin(√
x2+y2) log(1+x2y2)x per x 6= 0
0 per x = 0
(a) Discutere la continuita di f in (x, y) = (0, 0).
(b) (Facoltativo) Discutere la derivabilita e la differenziabilita di f in (x, y) = (0, 0).
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. Si puo utilizzare un unico foglio A4 di
regole, personale. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. E vietato uscire dall’aula durante il
compito.
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Traccia di soluzione del Tema 1
Commissione A. Centomo, M. Motta
12 luglio 2011
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x) = arctan
!|x ! 3|
x+ 1
"
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti incui è possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f !, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non è richiesto lo studio della convessità.
Soluzione. La funzione è definita in D =R\{0} e possiamo riscriverla nella forma
f(x) =
#$$$$$$%$$$$$$&
arctan
!2! 3
x
"x " (3, + #)
!
4x= 3
arctan
!3
x
"x " ( !#, 0) $ (0, 3).
La funzione non presenta simmetrie e
f(x) > 0 x " (0, +#)f(x) < 0 x " ( !#, 0).
I limiti agli estremi del dominio sono
limx"+#
f(x)= arctan 2 limx"0+
f(x)=!
2
limx"$#
f(x)= 0 limx"0!
f(x)= ! !
2
da cui possiamo concludere che
a) la retta y = arctan 2 è asintoto orizzontale destro;
b) la retta y = 0 è asintoto orizzontale sinistro;
c) la funzione non è prolungabile per continuità in x= 0.
La derivata prima di f è
f !(x) =
#$$%$$&
3
5x2 ! 12x +9x " (3, + #)
! 3
x2 + 9x " (! #, 0)$ (0, 3).
Lo studio del segno della derivata prima è immediato
f !(x) > 0 x " (3, +#)f !(x) < 0 x " ( !#, 0) $ (0, 3)
1
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da cui possiamo concludere che:
1. f(x) è monotona strettamente crescente in (3, +!)
2. f(x) è monotona strettamente decrescente in (" !, 0) e in (0, 3)
3. il punto x= 3 è di minimo relativo
4. f(x) non ammette massimo e minimo assoluto e sup f =!/2 mentre inf f = " !/2.
Per x= 3 si ha
limx!3+
f "(x)=1
6lim
x!3!f "(x)= " 1
6
da cui possiamo conclude che x= 3 è un punto angoloso.
Per determinare gli attacchi di f osserviamo che
limx!0!
arctan!
3
x
"" !
2
x= lim
z!0+
arctan!
3
z
"+
!
2
z= lim
z!0+" 3
z2 +9= " 1
3.
Figura 1. Grafico di f
Esercizio 2
Calcolare l’integrale improprio #
0
+# coshx
sinh2x + |sinh2x " 4| + 6d x
Soluzione. Osserviamo che
|sinh2x " 4| =$
sinh2x " 4 x # [settsinh 2, + !)
4 " sinh2x x # [0, settsinh 2]da cui
I =
#
0
+# coshx
sinh2x+ |sinh2x " 4| + 6d x =
1
10
#
0
settsinh 2
cosh x dx +1
2
#
settsinh 2
+# coshx
sinh2x +1d x.
Utilizziamo la sostituzione z = sinh x
I =1
10
#
0
2
dz +1
2
#
2
+# dz
1+ z2=
1
5+
!
4" 1
2arctan 2.
2 Sezione
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Esercizio 3
Calcolare il limite seguente
limx!+"
xa + ax + sin(x2)
6ex + x6 + 2x+ 1!
per ogni valore del parametro a > 0.
Soluzione. Iniziamo dallo studio del denominatore osservando che
limx!+"
6ex
x6 +2x+ 1! = lim
x!+"6ex
x3 + o(x3)= + ".
Possiamo quindi calcolare il limite distinguendo i seguenti casi
i. a > 1
limx!+"
xa + ax + sin(x2)
6ex + x6 + 2x+ 1! = lim
x!+"ax
6ex
i cui valori sono
a) 0 se 1 <a < e,
b) 1/6 se a = e
c) + " se a > e
ii. 0 <a # 1
limx!+"
xa + ax + sin(x2)
6ex + x6 +2x +1! = lim
x!+"xa
6ex= 0.
Esercizio 4
Si consideri la funzione
f(x, y)=
!"#
sin( x2 + y2$
) log(1+ x2y2)
xper x 0
0 per x= 0
(a) Discutere la continuità di f in (x, y)= (0, 0).
(b) (Facoltativo) Discutere la derivabilità e la di!erenziabilità di f in (x, y)= (0, 0).
Soluzione. Osserviamo che per ogni (x, y)$ {(x, y) $R2: 0 < x2 + y2$
# 1} si ha
0 # sin( x2 + y2$
) log(1+ x2y2)
x# log (1 +x2y2)
x# x2y2
x= xy2
da cui, utilizzando il teorema del confronto, concludiamo che
lim(x,y)!(0,0)
f(x, y)= 0.
Quindi f è continua in (0, 0). Possiamo calcolare le derivate parziali di f nel punto (0, 0) ricor-rendo alla definizione %
!f
!x
&(0, 0)= lim
h!0
f(h, 0)% f(0, 0)
h= 0
%!f
!y
&(0, 0) = lim
h!0
f(0, h)% f(0, 0)
h= 0.
A questo punto calcoliamo
lim(x,y)!(0,0)
f(x, y) % f(0, 0)% &f(0, 0) · (x, y)
x2 + y2$ = lim
(x,y)!(0,0)=
sin( x2 + y2$
) log(1 + x2y2)
x x2 + y2$ = 0
da cui concludiamo che f(x, y) = f(0, 0) % &f(0, 0) · (x, y) + o('(x, y)') ossia che f è di!erenzia-bile in (0, 0).
Esercizio 4 3
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Traccia di soluzione del Tema 1
di A. Centomo & M. Motta
24 febbraio 2011
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x)= 2log (cosh (3x))! 6x
(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Non è richiesto lo studio del segno dif .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f !, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non è richiesto lo studio della convessità.
Soluzione. (a) La funzione è definita su tutto R. Osservato che
f( !x)= 2log (cosh (3x)) +6x= f(x)+ 12x
possiamo concludere che f(x) non presenta simmetrie.
(b) Per calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, osserviamo che pos-siamo riscrivere f(x) nella forma
f(x) = 2log!e3x + e"3x
"! 2log 2! 6x
= 2log(e3x(1+ e"6x))! 2log 2! 6x
= 2log (1 + e"6x)! 2log 2e anche
f(x) = 2log!e3x + e"3x
"! 2log 2! 6x
= 2log(e"3x(e6x + 1))! 2log 2! 6x
= 2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12x.
Ora i limiti agli estremi del dominio sono
limx#+$
f(x)= ! 2log 2 limx#"$
f(x)= + "
da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = ! 2log 2 è asintoto orizzontale destro.Inoltre
limx#"$
2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12xx
=! 12
e
limx#"$
#2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12x+ 12x
$=! 2log 2
da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = ! 12x ! 2log 2 è asintoto obliquo sini-stro.
(c) La funzione è continua e derivabile in R e la sua derivata prima è
f !(x)= 6sinh(3x)
cosh(3x)! 6= 6(tanh(3x)! 1)
1
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oppure, usando la prima delle formulazioni equivalenti di f ,
f !(x) =! 12e"6x
1+ e"6x
ed è sempre strettamente negativa (ricordiamo: ! 1 < tanh y < 1 "y #R). In conclusione la fun-zione è monotona strettamente decrescente su tutto R.
Figura 1. Grafico di f
Esercizio 2
Calcolare l’integrale !
0
2
log"(2+ x)4x
#d x.
Soluzione. Iniziamo osservando che
I =
!
0
2
log"(2+ x)4x
#d x=
!
0
2
4x log (2 + x)d x.
Ora, integrando per parti, si ha!
0
2
4x log (2 +x)d x="2x2log (2+ x)
#0
2 !!
0
2 2x2
2 + xdx= 16 log 2!
!
0
2 2x2
2 + xdx.
La funzione integranda dell’ultimo integrale è una funzione razionale e il grado del suo numera-tore è maggiore di quello del denominatore. Quindi, ricorrendo all’algoritmo di divisione euclidea(Ru!ni), si ha
2x2 = (2x ! 4)(2 + x)+ 8
da cui !
0
2 2x2
2 +xdx =
!
0
2
(2x ! 4)d x +
!
0
2 8
2 +xdx
e !
0
2
(2x ! 4)d x +
!
0
2 8
2 +xdx=
"x2 ! 4x
#0
2+ [8log |2 +x|]0
2 =! 4 +8 log 2.
In conclusione
I = 16 log 2+ 4! 8 log 2 =4 + 8 log 2.
2 Sezione
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Nota 1. Osserviamo che per risolvere l’esercizio non serviva conoscere l’algoritmo di divisioneeuclidea in quanto si ha anche la decomposizione
!2x2
2+ xdx = 2
!x2 + 2x ! 2x
2 + xdx
= 2
!x(2 +x)
2 + xdx ! 4
!x+ 2 ! 2
2 +xd x
= x2 ! 4x +8log|x+ 2| + ccon c "R.
Esercizio 3
Posto
an =n2 + 3n+ 1
#! n2 + 2n ! 1
#
(3n +6)· 1
n
"a!1
3
#
log1
2n
,
(a) discutere la convergenza della serie$
n=2+" an per ogni valore a "R del parametro;
(b) (Facoltativo) discutere la convergenza semplice della serie$
n=2+" ( ! 1)n+1 an per ogni
valore a $ 1/3 del parametro.
Soluzione. (a) La serie è a termini positivi. Per n% & si ha
n2 +3n + 1#
! n2 + 2n ! 1#
(3n + 6)=
1
3(n + 2)· n + 2
n2 + 3n + 1#
+ n2 + 2n ! 1# ' 1
6n.
e, nello stesso limite, an' bn con
bn =1
6n· 1
n
"a! 1
3
#
log1
2n
=1
6n
"a+
2
3
#
log1
2nQuindi la serie converge se
a +2
3> 1 ( a >
1
3e diverge se a ) 1/3.
(b) La serie a termini di segno alterno converge assolutamente e quindi anche semplicemente pera > 1/3. Per a = 1/3 la serie non converge assolutamente ma semplicemente per il criterio diLeibnitz (o delle serie a segni alterni). Infatti an è infinitesima, per quanto visto al punto (a), e
decrescente perchè a denominatore 3( n2 + 3n +1#
+ n2 + 2n ! 1#
)log1
2n è chiaramente prodottodi successioni positive crescenti e quindi crescente, per cui il reciproco è decrescente.
Esercizio 4
a) Calcolare al variare del parametro a "R il limite
limx#0+
3arctanx ! 3a2x ! a x3
3sin3x !x4.
b) Determinare i valori del parametro a "R per i quali la funzione:
f(x)=
%&&&'&&&(
3arctanx ! 3a2x ! a x3
3sin3x !x4x " (0, 1]
3x2sin
)1
x2
*x " [ ! 1, 0)
risulta prolungabile per continuità in x= 0.
Esercizio 4 3
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Soluzione. (a) Posto
fa(x)=3arctan x ! 3a2x ! a x3
3sin3x ! x4
osserviamo che, per x" 0+, il numeratore si può scrivere come
3arctanx ! 3a2x ! a x3 = 3x ! x3 ! 3a2x ! a x3 +3
5x5 + o(x6)
e quindi si hanno i seguenti casi:
i. a = ! 1, fa(x)=3
5x5 + o(x6);
ii. a = 1, fa(x) =! 2x3 + o(x4);
iii. a #R\{1, ! 1}, fa(x) =3(1 ! a2)x + o(x2).
Il denominatore si può scrivere come
3sin3x ! x4 = 3x3 + o(x3).
Possiamo adesso calcolare il limite iniziale nei tre casi:
1. a = ! 1
limx!0+
3
5x5 + o(x6)
3x3 + o(x3)= lim
x!0+
3
5x2 + o(x3)
3 + o(1)= 0
2. a = 1
limx!0+
! 2x3 + o(x4)
3x3 + o(x3)= lim
x!0+
! 2 + o(x)
3 + o(1)=! 2
33. a #R\{1, ! 1}
limx!0+
3(1! a2)x+ o(x2)
3x3 + o(x3)= lim
x!0+
(1! a2)+ o(x)
x2 + o(x2).
Per concludere notiamo che
4. se 1! a2 > 0 ossia se a # (! 1, 1) si ha
limx!0+
(1 ! a2)+ o(x)
x2 + o(x2)=+ $
5. se 1! a2 < 0 ossia se a #R\[ ! 1, 1] si ha
limx!0+
(1! a2)+ o(x)
x2 + o(x2)= !$.
(b) Dopo quanto discusso in precedenza, osservato che per x # [ ! 1, 0), si ha
0 % 3x2sin
!1
x2
"% 3x2
e che, per il teorema del confronto, si ha
limx!0!
f(x) =0
si conclude immediatamente che f(x) è prolungabile per continuità in x = 0 solo se a =! 1.
4 Sezione
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Traccia di soluzione del Tema 1
Commissione A. Centomo, M. Motta
22 febbraio 2011
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x) =
✓1
2
◆ 1
| 14�cos2 x|
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicita e segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f ,eventuali punti in cui e possibile prolungare la funzione per continuita.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi eassoluti, inf e sup) di f . Calcolare i limiti di f 0, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita di f .Soluzione. (a) La funzione e definita per ogni x 2 tale che
1
4� cos2(x) 6= 0.
Per risolvere in l’equazione
1
4� cos2(x) = 0
osserviamo che la funzione cos2(x) e periodica di periodo ⇡ e pari. Quindie su�ciente determinare le soluzioni dell’equazione, ad esempio, nell’intervallo[0,⇡/2] ottenendo x = ⇡/3, aggiungere la soluzione simmetrica x = �⇡/3 equindi estendere le soluzioni ottenute per periodicita. In conclusione, il dominiodella funzione e
D = \ {x 2 : x = ±⇡/3 + k⇡, k 2 }.
La funzione e continua e positiva nel suo dominio. Inoltre f : D ! si puoscrivere nella forma
f(x) = 2� 1
| 14�cos2 x|
1
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e f(�x) = f(x), f(x+⇡) = f(x) per ogni x 2 D, quindi f(x) e pari e periodicadi periodo ⇡.Per questo possiamo limitare il resto dello studio della funzione alla particolarerestrizione all’insieme D \ [0,⇡/2] = [0,⇡/2] \ {⇡/3}.(b) Agli estremi di [0,⇡/2] \ {⇡/3}, per la continuita di f , si ha
f(0) =1
2 3p
2f(⇡/2) =
1
16,
e l’unico limite da calcolare e
limx!⇡/3+
f(x) = limx!⇡/3�
f(x) = 0
da cui possiamo dedurre che f(x) e prolungabile per continuita su tutto [0,⇡/2]ponendo f(⇡/3) = 0, anzi, su tutto ponendo f(±⇡/3 + k⇡) = 0 per ognik 2 . La funzione non ha asintoti.(c) La funzione f(x) e derivabile per ogni x 2 [0,⇡/2] \ {⇡/3} e si ha
f 0(x) = e� log 2
| 14�cos2 x| · 2 log 2 sinx cos x�
14 � cos2 x
�| 14 � cos2 x|
e in particolare f 0(0) = f 0(⇡/2) = 0.Equivalentemente, essendo
�� 14 � cos2 x
�� = ±�
14 � cos2 x
�per 1
4 � cos2 x � 0(risp., < 0),
f 0(x) = ± log 2 · 2� 1
| 14�cos2 x| · 2 sinx cos x
�14 � cos2 x
�2 per1
4� cos2 x > 0 (risp., < 0).
Quindi lo studio del segno della derivata prima f 0(x) > 0, si riduce alla dise-quazione
1
4� cos2 x > 0
la cui soluzione e
f 0(x) > 0 x 2 (⇡/3,⇡/2) f 0(x) < 0 x 2 (0,⇡/3)
da cui possiamo concludere che f(x) e monotona strettamente decrescente nel-l’intervallo (0,⇡/3) e monotona strettamente crescente nell’intervallo (⇡/3,⇡/2).Il punto x = 0 e punto di massimo relativo e assoluto, il punto x = ⇡/2 e puntodi massimo relativo in [0,⇡/2]. Il punto x = ⇡/3 e di minimo assoluto per la fun-zione prolungata per continuita (0 e l’estremo inferiore della funzione data). Sututto D, f ha massimo assoluto in x = k⇡ e massimo relativo in x = ±⇡/2+k⇡per ogni k 2 . Il suo prolungamento per continuit a ad ha minimo assolutoin x = ±⇡/3 + k⇡ per ogni k 2 . Prima di abbozzare il grafico valutiamo ilimiti significativi della derivata prima:
limx!⇡/3+
f 0(x) = limx!⇡/3+
2642 sinx cos x
log 2·
log2 2
( 14�cos2 x)
2
e
log 2
( 14�cos2 x)
375
2
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Osserviamo che
limx!⇡/3+
2 sinx cos x
log 2=
p3
2 log 2
e posto
z = log 2
✓1
4� cos2 x
◆�1
limx!⇡/3+
log2 2
( 14�cos2 x)
2
e
log 2
( 14�cos2 x)
= limz!+1
z2
ez= 0.
Analogamente si calcola che limx!⇡/3� f 0(x) = 0 da cui possiamo concludereche
limx!⇡/3
f 0(x) = 0.
Quindi la funzione prolungata per continuita ad risulta derivabile anche intutti i punti x = ±⇡/3 + k⇡ per ogni k 2 .
Figura 1: Grafico di f(x)
Esercizio 2
Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite
limx!0+
x3a log x +⇣1 � earcsin2(x)
⌘2
1 � cos x � x � log(1 � sinh x)
Soluzione. Nel limite per x ! 0+ si ha
⇣1 � earcsin2(x)
⌘=��x2 + o(x3)
�2= x4 + o(x4)
da cui, per il numeratore, si ottiene
x3a log x + 1 � earcsin2(x) = x3a log x + x4 + o(x4).
Inoltre
log(1 � sinh x) = � sinh x � sinh2 x
2+ o(sinh2 x)
da cui
log(1 � sinh x) = ��x + o(x2)
�� 1
2
�x2 + o(x2)
�+ o(x2)
e quindi
log(1 � sinh x) = �x � 1
2x2 + o(x2).
3
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Inoltre
1 � cos x =x2
2+ o(x3).
In conclusione per il deonominatore si ha
1 � cos x � x � log(1 � sinh x) = x2 + o(x2).
Allora
limx!0+
x3a log x +⇣1 � earcsin2(x)
⌘2
1 � cos x � x � log(1 � sinh x)= lim
x!0+
x3a log x + x4 + o(x4)
x2 + o(x2)
e
limx!0+
x3a log x + x4 + o(x4)
x2 + o(x2)= lim
x!0+x3a�2 log x.
Si hanno i seguenti casi
i. 3a � 2 > 0 ossia a > 2/3 il limite vale 0;
ii. 3a � 2 0 ossia a 2/3 il limite vale �1.
Esercizio 3
Si consideri il seguente integrale
Z +1
1
1
x5(a�1)(1 + x)a⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2
⇤ dx.
(a) Determinare i valori del parametro a 2 per cui l’integrale generalizzatoconverge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
Soluzione. (a) Nel limite per x ! +1 si ha
1
x5(a�1)(1 + x)a⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2
⇤ ⇠ 1
x6a�5 log2 x
e quindi l’integrale e convergente se
6a � 5 � 1 , a � 1.
(b) Per calcolare l’integrale il valore I dell’integrale nel caso a = 1 calcoliamoprima di tutto
Z1
(1 + x)⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2
⇤ dx.
4
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Ricorrendo alla sostituzione
z = log(1 + x) dz =dx
1 + x
si ha Z1
z2 + 2z + 2dz =
Z1
(z + 1)2 + 1dz = arctan(z + 1)
da cui
I = limk!+1
arctan(log(k + 1) + 1) � arctan(log 2 + 1) =⇡
2� arctan(log 2 + 1).
Esercizio 4
Data la successione
an =2n
pn + 2
log�1 + 3e�n
�
(a) calcolarne il limite.
(b) Discutere la convergenza della serieP+1
n=1 an.
Soluzione. (a) Nel limite per n ! 1 si ha
log�1 + 3e�n
�= 3e�n + o(e�n),
da cui
an =2n
pn + 2
log�1 + 3e�n
�=
2n
pn + 2
·3e�n+o(2n
pn + 2
·e�n) ⇠ 32n
(p
n + 2) en
da cui si vede che {an}n2 e una successione infinitesima per il criterio delconfronto asintotico, grazie alla scala degli infiniti (2n = o(en)) .(b) La serie
+1X
n=1
an
e a termini positivi e per quanto visto nel punto (a), nel limite per n ! 1 siha si ha
an ⇠ 32n
(p
n + 2) en= 3
(2/e)n
pn + 2
.
La serie geometrica di ragione 2/e < 1 e convergente e, sempre per n ! 1, siha
an = o
✓✓2
e
◆n◆(cioe, an e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a
✓2
e
◆n
)
da cui possiamo concludere subito che la serie e convergente, per il criterio delconfronto asintotico.Utilizzando invece il criterio del rapporto, si ha
limn!1
3 · 2n+1
(p
n + 1 + 2)en+1· (
pn + 2)en
3 · 2n=
2
e< 1
da cui concludiamo come prima che la serie converge.
5
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10-02-2011
TEMA1Esercizio 1. Si consideri la funzione
f(x) =
(1
2
) 1
| 14−cos2 x|
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicita e segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione per continuita.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi e assoluti, inf e sup) di f . Calcolare ilimiti di f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita di f .
Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite
limx→0+
x3a log x + (1− earcsin(x))2
1− cosx− x− log(1− sinhx).
Esercizio 3 Si consideri il seguente integrale∫ +∞
1
1
x5(a−1)(1 + x)a[log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2
] dx.
(a) Determinare i valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale generalizzato converge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
Esercizio 4 Data la successione
an =2n√n + 2
log(1 + 3e−n
)
(a) calcolarne il limite.
(b) Discutere la convergenza della serie∑+∞
n=1 an
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. Si puo utilizzare un unico foglio A4 di
regole, personale. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. E vietato uscire dall’aula durante il
compito.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10-02-2011
TEMA2Esercizio 1. Si consideri la funzione
f(x) =
(1
3
) 1
| 14−sin2 x|
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicita e segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione per continuita.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi e assoluti, inf e sup) di f . Calcolare ilimiti di f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita di f .
Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite
limx→0+
x tanx− log(1− sinx)− x
x5a log x + earctan2(x) − 1.
Esercizio 3 Data la successione
an = (3n + en) log
(1 +
3−n
n
)
(a) calcolarne il limite.
(b) Discutere la convergenza della serie∑+∞
n=1 an
Esercizio 4 Si consideri il seguente integrale∫ +∞
1
1
x3(a−1)(1 + x2)a [arctan2 x + 6 arctanx + 10]dx.
(a) Determinare i valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale generalizzato converge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. Si puo utilizzare un unico foglio A4 di
regole, personale. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. E vietato uscire dall’aula durante il
compito.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10-02-2011
TEMA3Esercizio 1. Si consideri la funzione
f(x) =
(1
3
) 1
| cos2 x− 34 |
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicita e segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione per continuita.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi e assoluti, inf e sup) di f . Calcolare ilimiti di f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita di f .
Esercizio 2 Data la successione
an =en + 2
√n
nlog(1 + 3−n
)
(a) calcolarne il limite.
(b) Discutere la convergenza della serie∑+∞
n=1 an
Esercizio 3 Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite
limx→0+
(etan(x) − 1)2 + x3a log x
x arcsinx− log(1− sinx)− x.
Esercizio 4 Si consideri il seguente integrale∫ +∞
2
1
xa(1 + x)3(a−1)[log2 x + 4 log x + 5
] dx.
(a) Determinare i valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale generalizzato converge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. Si puo utilizzare un unico foglio A4 di
regole, personale. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. E vietato uscire dall’aula durante il
compito.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10-02-2011
TEMA4Esercizio 1. Si consideri la funzione
f(x) =
(1
2
) 1
| sin2 x− 34 |
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicita e segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione per continuita.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi e assoluti, inf e sup) di f . Calcolare ilimiti di f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita di f .
Esercizio 2 Si consideri il seguente integrale∫ +∞
1
1
(1 + x)4(a−1)(1 + x2)a [arctan2 x− 2 arctanx + 2]dx.
(a) Determinare i valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale generalizzato converge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
Esercizio 3 Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite
limx→0+
log(1− sinx) + x + cosx− 1
x7a log x + 1− esinh2(x).
Esercizio 4 Data la successione
an = (2n + en) log
(1 +
e−n√n
)
(a) calcolarne il limite.
(b) Discutere la convergenza della serie∑+∞
n=1 an
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. Si puo utilizzare un unico foglio A4 di
regole, personale. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. E vietato uscire dall’aula durante il
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ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 15 settembre 2010
TEMA
Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) =p
8x �p
|x � 1|.(a) Determinare il dominio di f ,
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f ,
(c) studiare la derivabilita di f , calcolare f 0 e studiare la monotonia di f ,
(d) calcolare gli attacchi di f ,
(e) dalle informazioni precedenti disegnare un abbozzo del grafico.
Esercizio 2 (6 punti) Studiare i punti di flesso, la concavita e convessita della funzione
f(x) = |x|3e�(x+2).
Esercizio 3 (6 punti) Calcolare il limite
limx!0+
log(1 + x) � ex + x2 + 6x + 1pcosh(x) � 1
.
Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e la convergenza, al variare delparametro ↵ > 0, della serie
+1X
n=1
(�1)n arctan(2
n↵).
Esercizio 5 (6 punti + 2 del facoltativo)
(a) Calcolare il seguente integrale indefinitoZ
1
ex + 2e�xdx.
(b) Facoltativo: dalle informazioni ottenute in (a), calcolareZ +1
0
1
ex + 2e�xdx.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli
successivi a questo.
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Analisi 1
Traccia di soluzione del Tema 2
Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
15 settembre 2010
Esercizio 1
(7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = |3x ! 1|!
! 2x"
.
(a) Determinare il dominio di f ,
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f ,
(c) calcolare f ! e studiare la monotonia di f ,
(d) calcolare i limiti di f ! agli estremi del dominio,
(e) dalle informazioni precedenti disegnare un abbozzo del grafico.
Soluzione. La funzione è definita e continua in D = [0, + #). Inoltre
limx"+#
f(x)= limx"+#
3x ! 1"
! 2x"
= limx"+#
x ! 1
3x ! 1"
+ 2x" = +#.
Prima di calcolare la derivata I conviene riscrivere la funzione come
f(x)=
"#$#%
3x ! 1"
! 2x"
, x $ 1
3
1! 3x"
! 2x"
, 0 %x <1
3da cui
f !(x) =
"##$##%
3
2 3x ! 1" ! 1
2x" , x >
1
3! 3
2 1 ! 3x" ! 1
2x" , 0< x <
1
3
.
Osserviamo che f !(x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è sempre strettamente negativa. Quindi, perx & (1/3, + #), studiamo il segno della derivata I
3
2 3x ! 1" ! 1
2x" > 0 ' 3
2 3x ! 1" >
1
2x"
da cui
3
2 3x ! 1" >
1
2x" ' 3 2x
"> 2 3x ! 1
"' 18x > 12x ! 4 ' x >! 2
3
e, essendo ! 2/3< 1/3, f !(x)< 0 in (1/3, + #). Possiamo concludere che:
a) f(x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è monotona strettamente decrescente;
b) f(x) ristretta all’intervallo (1/3, + #) è monotona strettamente crescente.
Calcoliamo quindi i seguenti limiti:
limx"0+
f !(x)= ! #
limx" 1
3
!f !(x)= !# lim
x" 1
3
+f !(x) =+ #
da cui possiamo concludere in particolare che il punto (1/3, ! 2/3!
) è una cuspide.
1
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Figura 1. Grafico di f
Esercizio 2
(6 punti) Studiare i punti di flesso, la concavità e convessità della funzione
f(x)= |x|3e!(x+1).
Soluzione. La funzione è definita su tutto R e si può riscrivere nella forma
f(x)=
!x3 e!(x+1), x ! 0
" x3 e!(x+1), x < 0.La derivata prima è
f "(x) =
!x2 (3" x)e!(x+1), x > 0
" x2 (3" x)e!(x+1), x < 0.la derivata seconda è
f ""(x)=
!x(x2 " 6x + 6)e!(x+1), x > 0
" x(x2 " 6x +6)e!(x+1), x < 0.
Prima di procedere allo studio del segno della derivata II osserviamo che
x2 " 6x " 6 ! 0 # x $ 3 " 3%
& x ! 3+ 3%
.
Suddividiamo lo studio della derivata II in due parti.
A) Per valori di x che cadono nell’intervallo ( " ', 0) si ha sempre f ""(x) > 0. Quindi f(x) èstrettamente convessa in (" ', 0);
B) Per valori di x che cadono nell’intervallo (0, +') si ha:
i. f ""(x) > 0 se x ( (0, 3 " 3%
) ) (3 + 3%
, + '). Quindi f(x) è convessa in ciascunodei due intervalli dell’unione;
ii. f ""(x)< 0 nell’intervallo (3 " 3%
, 3+ 3%
). Quindi f(x) è concava in tale intervallo.
I punti di flesso di f sono x1 = 3 " 3%
e x2 = 3 + 3%
. Per concludere l’esercizio vediamo cosa sipuò dire del punto x= 0. Osserviamo che
limx#0+
f "(x)= limx#0!
f "(x)= 0 limx#0+
f ""(x)= limx#0!
f ""(x) =0.
2 Sezione
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Per quanto visto in precedenza, in opportuni intorni destri e sinistri di x = 0, la funzione èsempre convessa e quindi x = 0 non è un punto di flesso. Non sarebbe di!cile vedere che x = 0 èun punto di minimo relativo.
Esercizio 3
(6 punti) Calcolare il limite
limx!0+
(cosh(x)! 1)1/2
ex ! log(1 + x) +x2 + 5x ! 1.
Soluzione. Nel limite x" 0+ si ha
cosh(x) ! 1 =x2
2+ o(x3) log(1 +x)= x + o(x) ex ! 1= x+ o(x).
Per quanto riguarda il numeratore osserviamo che
limx!0+
!cosh (x) ! 1
x2
"1/2
= limx!0+
(cosh (x)! 1)1/2
x=
2#
2
da cui possiamo concludere che, nel limite di x" 0+, si ha
(cosh(x) ! 1)1/2 =2
#
2x + o(x).
Sostituendo gli sviluppi per il denominatore si ha direttamente
ex ! log(1+ x)+ x2 + 5x ! 1= 5x + o(x).
Il limite di partenza diviene
limx!0+
2"
2x + o(x)
5x + o(x)= lim
x!0+
2"
2+ o(1)
5 + o(1)=
2#
10.
Esercizio 4
(7 punti) Studiare la convergenza assoluta e la convergenza, al variare del parametro ! > 0, dellaserie
#
n=1
+#(! 1)nlog
!1+
3
n!
".
Soluzione. La serie si presenta nella forma
#
n=1
+#( ! 1)nan (1)
con
an = log
!1 +
3
n!
".
Osserviamo subito che an > 0 per ogni n $ 1 e per ogni ! > 0. Quindi la serie è a termini disegno alterno. Iniziamo studiando la convergenza assoluta ossia la convergenza della serie a ter-mini positivi
#
n=1
+#an.
Nel limite per n" + % e per ! > 0 si ha
an = log
!1 +
3
n!
"=
3
n!+ o
!1
n!
"& 3
n!.
Esercizio 4 3
![Page 121: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/121.jpg)
Ricordato che la serie armonica generalizzata
!
n=1
+!1
n!
converge per ! > 1, per il Criterio del confronto asintotico, possiamo concludere che la serie (1)converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per ! > 1.
Resta da discutere la convergenza semplice nel caso 0 <! ! 1.
Per quanto osservato all’inizio possiamo ricorrere al Criterio di Leibniz:
1. la successione {an} è a termini positivi;
2. la successione {an} è infinitesima. Infatti si ha
limn"+!
log
"1+
3
n!
#= 0
per ogni ! > 0;
3. la successione {an} è monotona strettamente decrescente in quanto
log
"1+
3
(n +1)!
#< log
"1 +
3
n!
#" 1
(n + 1)! <1
n!"
"1 +
1
n
#!
> 1
per ogni n # 1 e se ! > 0.
Quindi per il Criterio di Leibniz la serie converge semplicemente se ! $ (0, 1].
Esercizio 5
(6 punti) Calcolare il seguente integrale indefinito$
1
e#x + 3exd x.
(2 punti) Facoltativo: dalle informazioni ottenute al punto precedente, calcolare$
0
+! 1
e#x + 3exd x.
Soluzione. Osserviamo che $1
e#x +3exd x =
$ex
1+ 3e2xd x
e quindi utilizziamo il Teorema di integrazione per sostituzione con
y = 3%
ex dy = 3%
ex dx
ottenendo3
%
3
$1
1 + y2dy =
3%
3arctan y
da cui $1
e#x + 3exd x=
3%
3arctan 3
%ex.
A questo punto possiamo concludere l’esercizio in quanto
$
0
+! 1
e#x + 3exd x= lim
x"+!
%3
%
3arctan 3
%ex
&& 3
%
3arctan 3
%e0 =
" 3%
6& " 3
%
9=
" 3%
18.
4 Sezione
![Page 122: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/122.jpg)
Analisi 1
Traccia di soluzione del Tema 1
Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
20 luglio 2010
Esercizio 1
(7 punti) Si consideri la funzione
f(x) =xsin 3x
(a) Determinare il dominio di f e il segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuità ed eventuali estendibilità per continuità.
(d) Studiare la derivabilità di f ; calcolare f !.
(e) Calcolare il limite di f !(x) agli estremi del dominio.
Soluzione. Per risolvere l’esercizio conviene riscrivere la funzione nella forma
f(x) = esin 3x log x
da cui si vede subito che il dominio è D = (0, + !) e che la funzione è definita strettamente posi-tiva in D. Osserviamo che la funzione non ammette limite per x" + !. Inoltre
limx"0+
sin 3x log x = limx"0+
sin 3x
3x3x log x =0
in quanto
limx"0+
sin 3x
3x= 1 lim
x"0+3x log x =0.
Possiamo allora concludere che
limx"0+
f(x)= e0 = 1.
La funzione non ammette asintoti verticali, orizzontali e obliqui. La funzione è continua nel suodominio e può essere estesa per continuità su [0, + !) ponendo f(0)= 1.
La derivata I di f(x) è
f !(x)= esin 3x log x
!3 cos 3x log x +
sin 3x
x
"
da cui concludiamo che la funzione è derivabile in D. Per concludere l’esercizio osserviamo che
limx"0+
!3 cos 3x log x+
sin 3x
x
"= 3 lim
x"0+cos 3x log x+ 3 =# !
e, ricordato che
limx"0+
f(x) =1
si ha
limx"0+
f !(x) = limx"0+
f(x)
!3 cos 3x log x+
sin 3x
x
"=# !.
Esercizio 2
(6 punti) Si consideri la funzione
f(x)= arctan
!x # 1
!x
"
1
![Page 123: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/123.jpg)
e si determinino i valori di ! > 0 in modo che essa abbia un punto di flesso in x = 1/2. Scriverel’equazione della retta tangente nel punto di flesso.
Soluzione. La derivata I di f(x) è
f !(x)=1
1 +!
x " 1
!x
"2 · !x !!(x ! 1)
!2x2=
!
!2x2 + (x ! 1)2=
!
!2 x2 + x2 ! 2x+ 1
ed è definita per ogni x "R+. La derivata II di f(x) è
f !!(x)= ! 2!(!2x+ x ! 1)
(!2 x2 +x2 ! 2x + 1)2
e si annulla in x= 1/2 quando
!2 ! 1 =0.
ossia, ricordato che ! > 0, solo per ! = 1. In corrispondenza di tale valore si ha
f !!(x)= ! 4x ! 2
(2x2 ! 2x+ 1)2
e
! 4x ! 2
(2x2 ! 2x + 1)2> 0 # x <
1
2.
Possiamo allora concludere che esiste un intorno sinistro di x = 1/2 in cui si ha f !!(x) > 0 e unintorno destro di x = 1/2 in cui f !!(x) < 0 e ciò conferma che x= 1/2 è un punto di flesso.
Esercizio 3
(7 punti) Studiare il comportamento della serie
#
n=1
+#e1/n ! 1! log(1+ sin(1/n))
arctann
Soluzione. Nel limite di n$ +% si ha
sin
$1
n
%=
1
n+ o
$1
n2
%e1/n = 1+
1
n+
1
2n2+ o
$1
n2
%
da cui, sostituendo, possiamo concludere che
e1/n ! 1! log
$1+ sin
$1
n
%%=
1
n+
1
2n2+ o
$1
n2
%! 1
n+
1
2n2+ o
$1
n2
%=
1
n2+ o
$1
n2
%.
Il numeratore è asintotico a 1/n2 e quindi è definitivamente positivo per n $ + %. In altri ter-mini, per n “grande”, la serie è a termini positivi. Posto
an =e1/n ! 1 ! log(1 + sin(1/n))
arctanne ricordato che
limn$+#
arctann ="
2si ha
an& 2
"· 1
n2
da cui, sapendo che la serie armonica generalizzata di termine generico 1/n2 converge, per il Cri-terio del confronto asintotico si ha che la serie di partenza converge.
2 Section
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Esercizio 4
(7 punti) Calcolare il seguente integrale definito!
1
2
sin(log x)d x.
Soluzione. Utilizziamo la sostituzione
y = log x dy =1
xdx y1 =0 y2 = log 2
da cui !
1
2
sin(log x)d x =
!
0
log 2
ey sin ydy.
Integrando per parti!
0
log 2
ey sin ydy = [ey sin y]0log 2 !
!
0
log 2
ey cos ydy =2 sin(log 2)!!
0
log 2
ey cos ydy
e quindi !
0
log 2
ey sin ydy =2 sin(log 2)! [ey cos y]0log 2 !
!
0
log 2
ey sin ydy
da cui !
0
log 2
ey sin ydy = sin(log 2) ! 1
2(2 cos (log 2) ! 1)= sin(log 2)! cos (log 2) +
1
2.
Esercizio 5
(5 punti) Si consideri la funzione in due variabili
f(x, y)= y2 + 2y + x2 +7 ! 2 log x.
Determinare i punti critici di f e specificarne il tipo.
Soluzione. La funzione è definita in
D = {(x, y) "R2 : x > 0}.
Per determinare i punti critici calcoliamo innanzitutto il gradiente della funzione
#f =
"!f
!x,!f
!y
#=
"2x ! 2
x, 2y +2
#
quindi risolviamo il sistema $%&
2x ! 2
x= 0
2y +2 =0le cui soluzioni sono '
x1 = 1y1 =! 1
'x2 = ! 1y2 =! 1
.
L’unico punto critico in D è P =(1, ! 1). La matrice hessiana risulta
H(x, y) =
(2+
2
x2 0
0 2
)
e
H(1, ! 1)=
"4 00 2
#
il determinante della matrice hessiana è 8> 0 e osservato che
!2f
!x2(1, ! 1) =4 > 0
possiamo concludere che il punto critico è un minimo locale.
Esercizio 5 3
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 20 luglio 2010
TEMA2
Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = xsin(2x)
(a) Determinare il dominio di f e il segno.
(b) Determinare il limx→0+ f(x) ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita ed eventuali estendibilita per continuita.
(d) Studiare la derivabilita di f ; calcolare f ′.
(e) Calcolare il limite di f ′(x) agli estremi del dominio.
Esercizio 2 (6 punti) Si consideri la funzione
f(x) = arctan
(x
α(x− 1)
)
e si determinino i valori di α > 0 in modo che essa abbia un punto di flesso in x = 1/2. Scriverel’equazione della retta tangente nel punto di flesso.
Esercizio 3 (7 punti) Studiare il comportamento della serie
+∞∑
n=1
e1/n − 1 − log (1 + sinh(1/n))
arctan(n2)
Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente integrale definito
∫ 3
1cos(log x) dx.
Esercizio 5 (5 punti) Si consideri la funzione in due variabili
f(x, y) = x2 + 2x+ y2 + 5 − 2 log y.
Determinare i punti critici di f e specificarne il tipo.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli
successivi a questo.
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Analisi 1
Traccia di soluzione del Tema 1
Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
8 febbraio 2010
Esercizio 1
(7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = arctan
!e
"2x+
1
x
#$
(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed even-tuali asintoti di f .
(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimoe minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f !, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non è richiesto lo studio della convessità.
Soluzione. La funzione è definita positiva in D =R\{0} e
limx"+#
f(x) =!2
limx"$#
f(x) = 0.
Inoltre
limx"0+
f(x) =!2
limx"0!
f(x) = 0.
Possiamo concludere che la funzione presenta un asintoto orizzontale destro e un asin-toto orizzontale sinistro rispettivamente di equazione y = !/2 e y = 0.
La funzione è limitata in D e quindi non ammette altri asintoti.
La funzione è derivabile in D e
f !(x) =e2x+
1
x
1 +
!e2x+
1
x
$2·!
2 ! 1
x2
$
Lo studio del segno della derivata prima si riduce a
f !(x) " 0 # 2x2 ! 1 " 0 # x $! 2%
2& x " 2
%
2.
Possiamo concludere che
• f è monotona strettamente crescente se ristretta agli intervalli ( ! ', ! 2%
/2) e( 2%
/2, +');
• f è monotona strettamente decrescente se ristretta agli intervalli ( ! 2%
/2, 0) e
(0, 2%
/2);
1
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 8-02-2010
TEMA2
Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = arctan(e(
3x+x))
(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintotidi f .
(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f . I limiti di f ′, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Esercizio 2 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ π
0x3 cos(2x2) dx.
Esercizio 3 (7 punti)
(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = 1nα + e
1n arcsin( 1n) − sin( 1n + 1
n2 ) al variare delparametro reale α > 0.
(b) Determinare per quali α > 0 la serie∑+∞
n=1 an converge.
Esercizio 4 (6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x → ±∞, della funzione
f(x) = x3(1− e1x2 ) + 2 arctanx.
Esercizio 5 (6 punti) Si consideri la funzione di due variabili
f(x, y) = exy−3y.
(a) Calcolare le derivate parziali fx(x, y) e fy(x, y).
(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti critici edeterminarne la natura.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli
successivi a questo.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 8-02-2010
TEMA3
Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = arctan(e(x+
2x))
(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintotidi f .
(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f . I limiti di f ′, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Esercizio 2 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito
∫ 2π
0x3 sin(3x2) dx.
Esercizio 3 (7 punti)
(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = cos( 1n) log(1 +1n)− arcsin( 1n − 1
2n2 ) +1nα al variare
del parametro reale α > 0.
(b) Determinare per quali α > 0 la serie∑+∞
n=1 an converge.
Esercizio 4 (6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x → ±∞, della funzione
f(x) = arctan(2x) + x3(e1x2 − 1).
Esercizio 5 (6 punti) Si consideri la funzione di due variabili
f(x, y) = exy−3x.
(a) Calcolare le derivate parziali fx(x, y) e fy(x, y).
(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti critici edeterminarne la natura.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli
successivi a questo.
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Analisi 1
Traccia di soluzione del Tema 1
Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
26 gennaio 2010
Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = arctan!
x! "
" log(1 +x)
(a) Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio.
(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo eminimo) relativo e assoluto di f , i limiti di f ! se significativi.
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non è richiesto lo studio della convessità.
(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni ricavate dai punti precedenti, direse esistono e quanti sono gli zeri della funzione g(x) = f(x) " 27x.
Soluzione. Il dominio di f è D = [0, +#), f(0) =0, e
limx"+#
f(x) = "#.
La derivata prima di f è
f !(x)=1
2 x! · 1
1 +x" 1
1 +x=
#1
2 x! " 1
$· 11 + x
=1 " 2 x
!
2 x!
(1 +x)
ed è definita in (0, + #). Lo studio del segno della derivata prima si riduce allo studiodella disequazione
1 " 2 x! $ 0 % 0 & x & 1
4
da cui concludiamo che la funzione è monotona strettamente crescente in (0, 1/4) emonotona strettamente decrescente in (1/4, + #). Il punto x = 1/4 è di massimo rela-tivo e assoluto
f(1/4) = arctan(1/2)" log 5 + log 4
L’unico limite significativo della derivata prima è
limx"0+
f !(x) =+#.
1
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Figura 1. Grafico di f
(Facoltativo) La funzione g(x) è definita continua in D e ha uno zero in x = 0. Pervedere se ci sono altri zeri in D osserviamo che
g(x)= 0 ! f(x)= r(x) (1)
dove r(x) = 27x. Per quanto visto sopra la funzione f(x) è limitata superiormente e
max(0,+!)
f = f(1/4) <!4
+2 <r(1/4) =274
. (2)
Da (2) e dal fatto che r(x) è monotona strettamente crescente possiamo concludere che
g(x) < 0
per ogni x " [1/4, + #) e quindi che, se esistono altri zeri di g oltre x = 0, questi devonocadere nell’intervallo (0, 1/4). Per x$ 0+
g(x) % x& ' 28x > 0 ! 0 <x <
1
282
e quindi g(x) è definitivamente positiva per x $ 0+. Per il Teorema degli zeri esisteallora almeno un valore di " " (0, 1/4) tale che g(") = 0 e quindi g ammette almeno duezeri. Si può dimostrare che " è unico osservando che la derivata prima
g "(x) = f "(x) ' 27=
!1
2 x& ' 1
"· 11 + x
' 27
è continua e monotona strettamente decrescente in (0, 1/4] con
limx#0+
g "(x) =+ # g "(1/4) =' 27.
Dal Teorema degli zeri, tenuto conto anche della monotonia di g ", possiamo concludereche esiste unico # " (0, 1/4) tale che g "(#) = 0. Quindi g(x) è monotona strettamentecrescente in [0, #) e strettamente decrescente in (# , 1/4]. Il punto x = # è di massimoassoluto e g(#) > 0. Quindi " " (# , 1/4) è l’unico zero di g oltre a x= 0.
Esercizio 2 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale " > 0:
limx#0+
(x ' arcsinx)2 ' log(1 + sin2x)
x! +x log(1 +x).
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Soluzione. Il limite si presenta come forma indeterminata del tipo [0/0]. Per x ! 0+ siha
arcsinx= x+ o(x2) log(1 +x) =x " x2
2+ o(x2) sin(x) =x + o(x2)
da cui
limx!0+
(x " arcsinx)2 " log(1 + sin2x)x! + x log(1 +x)
= limx!0+
"x2 + o(x2)
x! +x2 + o(x2).
Distinguiamo i seguenti casi:
1. 0 < ! < 2 allora
limx!0+
" x2 + o(x2)x! +x2 + o(x2)
= limx!0+
"x2 + o(x2)x! + o(x!)
= 0
2. ! = 2 allora
limx!0+
" x2 + o(x2)
x! +x2 + o(x2)= lim
x!0+
"x2 + o(x2)
2x2 + o(x2)=" 1
23. ! > 2 allora
limx!0+
"x2 + o(x2)
x! +x2 + o(x2)= lim
x!0+
"x2 + o(x2)
x2 + o(x2)= " 1.
Esercizio 3 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito
!
0
"/6 1
cos 2x 1 " tanx# d x.
(Facoltativo) Discutere la convergenza di"
0
"/4 1
cos 2x 1 " tanx# d x.
Soluzione. Si ha direttamente!
0
"/6 1
cos 2x 1 " tanx# dx =
#" 2 1 " tanx
# $0
"/6=2 " 2 1 " 3
#
3
%.
(Facoltativo) Il modo più semplice di studiare la convergenza è
!
0
"/4 1
cos 2x 1 " tanx# d x = lim
y!!
4!
!
0
y 1
cos 2x 1 " tanx# d x= 2 + lim
y!!
4!
" 2 1 " tan y#
=2
da cui si vede che l’integrale converge.
Nota 1. L’integrale di partenza di può risolvere con la sostituzione y =1 " tanx.
Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza della serie
&
n=2
+$ 'logn+ 2nlogn + sinn
3n
(n
Soluzione. La serie è a termini positivi. Per discutere la convergenza ricorriamo al Cri-terio della radice e calcoliamo il limite:
limn!+$
logn+2nlogn + sinn3n =2 lim
n!+$elog
2 n
en log3·'
1 +logn
2nlogn+
sinn
2nlogn
((3)
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ora
limn!+"
elog2 n
en log3= lim
n!+"elog
2n#n log3 = limn!+"
en
!log2n
n# log3
"
= 0
dove si è utilizzato
limn!+"
n
!log2n
n! log 3
"= !".
Allora il limite (3) vale 0 < 1 e quindi per il Criterio della radice la serie converge.
Esercizio 5 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale ! # R, la fun-zione
f(x) = (3x2 ! 1)e!x+2
ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangentein tale punto.
(Facoltativo) Per tali valori del parametro !, determinare gli intervalli di convessità dif .
Soluzione. La funzione è derivabile e
f $(x) = (3!x2 +6x ! !)e!x+2
inoltre
f $$(0)= e2(6 ! !2).
I valori di ! che annullano la derivata seconda sono ! = ± 6$
. L’equazione delle tan-genti corrispondenti a tali valori sono
y =! 6$
e2x ! e2 y = 6$
e2x ! e2.
(Facoltativo) Nel caso ! = 6$
si ha
f(x) = (3x2 ! 1)e 6%
x+2
che è definita su tutto R. La derivata prima di f è
f $(x) = (6x+ (3x2 ! 1) 6$
)e 6%
x+2
e la derivata seconda di f è
f $$(x)= 6x(3x+ 2 6$
)e 6%
x+2.
Lo studio del segno della derivata seconda si riduce alla disequazione
x(3x+ 2 6$
) > 0 % x <! 23
6$
& x > 0
da cui
f $$(x) > 0 x #!
!", ! 23
6$ "
f strettamente convessa
f $$(x) < 0 x #!
! 23
6$
, 0
"f strettamente concava
f $$(x) > 0 x # (0, +") f strettamente convessa
e i punti x= 0 e x =! 2 6$
/3 sono punti di flesso. Il caso ! = ! 6$
è del tutto analogo.
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ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 26-01-2010
TEMA2
Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = arctan(√
2x)− log (1 + 2x)
(a) Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio.
(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f , i limiti di f ′ se significativi.
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni precedenti, dire se esistono e quanti sonogli zeri della funzione g(x) = f(x)− 29x.
Esercizio 2 (7 punti) Studiare la convergenza della serie
+∞∑
n=2
(nlogn + sinn+ 5 log n
4n
)n
Esercizio 3 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale α > 0:
limx→0+
xα + x(ex − 1)
(x− log(1 + x))2 + log(1 + arcsinx2).
Esercizio 4 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ 2
1
1
x√
1− log xdx.
(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ e
11
x√
1−log xdx.
Esercizio 5 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale α ∈ R, la funzione
f(x) = (x2 − 3)eαx+1
ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangente in talepunto.
(Facoltativo) Per tali valori del parametro α, determinare gli intervalli di convessita di f .
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli
successivi a questo.
![Page 134: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/134.jpg)
ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 26-01-2010
TEMA3Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = 2 log (1 + x)− arctan(√x)
(a) Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio.
(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f , i limiti di f ′ se significativi.
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni precedenti, dire se esistono e quanti sonogli zeri della funzione g(x) = f(x)− 21x.
Esercizio 2 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale α ∈ R, la funzione
f(x) = (1− 2x2)eαx−1
ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangente in talepunto.
(Facoltativo) Per tali valori del parametro α, determinare gli intervalli di convessita di f .
Esercizio 3 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale α > 0:
limx→0+
log(1 + 3 sin2 x) + (arcsinx− x)2
x sinx+ xα.
Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza della serie
+∞∑
n=2
(n2 + cosn+ nlogn
2n
)n
Esercizio 5 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ π/4
0
cosx√1− sinx
dx.
(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ π/2
0cosx√1−sinx
dx.
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli
successivi a questo.
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ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi
Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 26-01-2010
TEMA4Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione
f(x) = log (1 + 2x)− arctan(√
2x)
(a) Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio.
(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f , i limiti di f ′ se significativi.
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni precedenti, dire se esistono e quanti sonogli zeri della funzione g(x) = f(x)− 25x.
Esercizio 2 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale α ∈ R, la funzione
f(x) = (3− x2)eαx+2
ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangente in talepunto.
(Facoltativo) Per tali valori del parametro α, determinare gli intervalli di convessita di f .
Esercizio 3 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale α > 0:
limx→0+
xα + x sinx
(x− sinx)2 − log(1 + arcsin2 x).
Esercizio 4 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ 4
3
1
x√
log x− 1dx.
(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ 4e
1x√
log x−1dx.
Esercizio 5 (7 punti) Studiare la convergenza della serie
+∞∑
n=2
(2nlogn + 5n
3n + sinn
)n
Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.
N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli
successivi a questo.
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• il punto xM =! 2"
/2 è punto di massimo relativo (non assoluto);
• il punto xm = 2"
/2 è punto di minimo relativo (non assoluto).
I valori massimo e minimo assunti dalla funzione sono rispettivamente:
f(xM) = arctan!
e!2 2" "
f(xm)= arctan!
e2 2" "
.
Calcoliamo i limiti significativi della derivata prima.
Nel limite x# 0+, si ha
limx#0+
e2x+
1
x =+$e si vede che #
e2x+
1
x
$
1 +
#e2x+
1
x
$2% 1
e2x+
1
x
% 1
e1
x
allora
f $(x)=
#e2x+
1
x
$
1 +
#e2x+
1
x
$2· 2x2 ! 1
x2%! 1
x 2e1
x
da cui si conclude che
limx#0+
f $(x) = 0.
Analogamente si vede che
limx#0!
f $(x) = 0
Figura 1. Grafico di f
Esercizio 2
(6 punti) Calcolare il seguente integrale definito%
0
!
x3sin(2x2)d x.
2 Sezione
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Soluzione. Iniziamo calcolando una primitiva della funzione integranda. Con la sostitu-zione
y =x2 dy = 2xdx
si ha !x3sin(2x2)d x=
12
!y sin (2y)dy
Integrando per parti si ha
12
!y sin (2y)dy =! y
4cos (2y) +
14
!cos (2y)dy =! y
4cos (2y) +
18sin (2y)
da cui!
0
!
x3sin(2x2)d x=
"! x2
4cos (2x2) +
1
8sin (2x2)
#
0
!
=! !2
4cos (2!2) +
1
8sin (2!2).
Esercizio 3
(7 punti)
(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = arcsin$
1
n+
1
n2
%! e
1
n · sin$
1
n
%+
1
n! alvariare del parametro reale " > 0.
(b) Determinare per quali " > 0 la serie&
n=1+! an converge.
Soluzione. Nel limite per n" + # si ha
arcsin
'1n
+1
n2
(=
'1n
+1
n2
(+
16
'1n
+1
n2
(3
+ o
)'1n
+1
n2
(4*
da cui, sviluppando i calcoli, anche
arcsin
'1n
+1n2
(=
1n
+1n2
+1
6n3+ o
'1n3
(.
Inoltre
e1/n · sin'
1n
(=
'1 +
1n
+1
2n2 + o
'1
n2
((·'
1n
! 1
6n3 + o
'1
n4
((
da cui, sviluppando i calcoli, anche
e1/n · sin'
1
n
(=
1
n+
1
n2+
1
3n3+ o
'1
n3
(.
In conclusione allora
arcsin
'1n
+1
n2
(! e1/n · sin
'1n
(=! 1
6n3 + o
'1
n3
(
e quindi
an =1n" ! 1
6n3+ o
'1
n3
(.
Possiamo distingere i seguenti casi
1. per " $ 3 si ha che an è infinitesimo di ordine 3 rispetto a 1/n;
Esercizio 3 3
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2. 0 < ! < 3: an è infinitesimo di ordine ! rispetto a 1/n.
Per il Criterio del confronto asintotico e tenuto conto di quanto noto sulla convergenzadella serie armonica generalizzata, possiamo concludere che la serie
!
n=1
+!an
risulta convergente per ! > 1 e divergente per 0< ! ! 1.
Esercizio 4
(6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x"± #, della funzione
f(x) =x3 log
"1 +
1
x2
#+ arctan 3x.
Soluzione. Per x" ±#, si ha
log
"1 +
1
x2
#=
1
x2+ o
"1
x2
#
da cui osserviamo che
limx"±!
f(x) = limx"±!
x ·"
1 + o(1)+arctan(3x)
x
#=± #.
Ora
limx"+!
f(x)x
= limx"+!
"1 + o(1) +
arctan(3x)x
#=1.
Inoltre
limx"+!
f(x) $x = limx"+!
o(x) + arctan (3x) ="2.
La funzione ha come asintoto obliquo destro la retta di equazione y = x + "/2. La fun-zione è dispari, in quanto f( $x) =$ f(x), quindi
limx"#!
f(x)x
= limx"+!
f( $ x)$ x
= limx"+!
f(x)x
=1.
Inoltre
limx"#!
f(x) $x= limx"#!
o(x) + arctan (3x) =$ "2.
In conclusione l’asintoto obliquo sinistro è la retta di equazione y = x $ "/2.
Esercizio 5
(6 punti) Si consideri la funzione di due variabili
f(x, y) = exy+2x.
(a) Calcolare le derivate parziali fx(x, y) e fy(x, y).
(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti cri-tici e determinarne la natura.
4 Sezione
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Soluzione. Le derivate parziali sono
!f!x
=(y +2)exy+2x !f!y
= x exy+2x.
L’unico punto critico di f è P = (0, ! 2). La matrice Hessiana in tale punto risulta
D2f(P )=
!0 11 0
"
e, osservato che detD2f(P ) =! 1 < 0, possiamo concludere che P è un punto di sella.
Esercizio 5 5
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 15-09-2009
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) =e�
11+cos x
1 + cos x
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi. (Non e richiesto lo studio della derivata seconda ne quello degli intervalli diconvessita e di concavita).
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2 Calcolare il seguente limite:
limx!2+
ex�2 � x + cos(x � 2) + (x � 2)4 sin⇣
1x�2
⌘
log(x � 1) � (x � 2).
Esercizio 3 Dire per quali ↵ 2 R la serie
+1X
n=1
(cos n + 2)
✓p1 + ↵
|1 � ↵|
◆n
converge.
Tempo: due ore e mezza.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 15-07-2009
TEMA
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x) = |arctanx|arctan x
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.
(b) Determinare eventuali estendibilita per continuita; nel caso proseguire nello studio dellafunzione estesa.
(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia, i puntiestremi e gli eventuali punti di massimo e di minimo, relativo e assoluto, di f . Calcolare ilimiti di f 0, individuando gli eventuali punti angolosi e cuspidi. (Non e richiesto lo studiodella derivata seconda ne quello degli intervalli di convessita e di concavita).
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2 Data la serie 1X
n=1
(�1)n 1
n↵sin
✓1pn
◆e
1pn .
1. dire per quali ↵ > 0 converge assolutamente;
2. dire per quali ↵ > 0 converge semplicemente.
Esercizio 3 Risolvere il seguente problema di Cauchy
8<:
y00 + 2y0 + y = e�x
y(0) = 12
y0(0) = 32
Tempo: due ore e mezza.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 11-02-2009
(Viene dato un cenno di soluzione del Tema 1. I Temi 2, 3 e 4 possono essere svolti in mododel tutto simile)
TEMA1
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x) = arctan
(cos(3x)− 1
cos(3x) + 1
)+π
3.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Cenno della risoluzione
La funzione e definita in D = R \ {π3 + 23kπ, k ∈ Z}.
E pari quindi si studia per gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.E anche periodica di periodo 2
3π, quindi basta studiarla in [0, π3 [.
f(x) ≥ 0 se e solo se arctan(cos(3x)−1cos(3x)+1
)≥ −π
3 , che, essendo arctan(·) crescente, equivale a
cos(3x)−1cos(3x)+1 ≥ tan(−π
3 ) = −√
3. Risolvendo, si ottiene che f(x) ≥ 0 se e solo se x ≤ x∗ =
13 arccos
(1−√3
1+√3
)che e un numero appartenente a ]π6 ,
π3 [.
limx→0+ f(x) = f(0) = π3 .
limx→(π3−) f(x) = −π
6 (si noti che in questo caso cos(3x)→ −1+).
Non ci sono asintoti. Si puo estendere la funzione ad una funzione continua in tutto R.L’espressione della derivata prima e:
f ′(x) =1
1 +(cos(3x)−1cos(3x)+1
)2(
cos(3x)− 1
cos(3x) + 1
)′= ... =
−3 sin(3x)
cos2(3x) + 1.
Quindi f(x) e strettamente decrescente in [0, π3 [. Il punto x = 0 (e tutti i punti xk = 23kπ, k ∈ Z)
e un punto di massimo relativo ed assoluto, mentre x = π3 (e tutti i punti π
3 + 23kπ, k ∈ Z) e un
punto di minimo relativo ed assoluto.L’ attacco di f ′ in π
3 e limx→π3− f ′(x) = 0.
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Quindi f si puo estendere ad una funzione continua e derivabile con derivata continua in tuttoR.
f ′′(x) =−9 cos(3x)
(cos2(3x) + 1)2(cos2(3x) + 1 + 2 sin2(3x)).
Quindi f e concava in [0, π6 [ e convessa in ]π6 ,π3 [ e ha un flesso in x = π
6 .
Esercizio 2
Calcolare il seguente integrale definito
∫ (tan 1)/2
0log(1 + arctan2(2x)
) 1
1 + 4x2dx.
Cenno della risoluzioneCon la sostituzione y = arctan(2x) (per cui dy = 2
1+4x2dx e y(0) = 0, y((tan 1)/2) = 1) l’integrale
diventa
1
2
∫ 1
0log(1 + y2
)dy =
1
2
{y log(1 + y2)
]10− 2
∫ 1
0
y2
1 + y2dy
}=
1
2
{y log(1 + y2)− 2y + 2 arctan y
]10
}=
=1
2log 2 +
π
4− 1,
dove nel primo passaggio si e integrato per parti.
Esercizio 3
Si consideri la successione
an =2 · n5 + 5 · 2n + n!
nn+1 · log(1 + 3n) + n · (−1)n+1
.
(a) Calcolare il limite limn→+∞ an.
(b) Studiare la convergenza della serie+∞∑
n=1
an.
Cenno della risoluzionePer la scala delle successioni infinite, 2 · n5, 5 · 2n = o(n!). Inoltre usando Mac-Laurin e la scaladelle successioni infinite, nn+1 · log(1+ 3
n) = nn+1( 3n +o( 3
n)) = 3nn+o(nn) e n · (−1)n+1 = o(nn).Quindi
an ∼n!
3nn
e limn an = 0 sempre per la scala. Inoltre per il teorema di confronto asintotico la serie∑+∞
n=1 anconverge se e solo se converge la serie 1
3
∑+∞n=1
n!nn . Usando il criterio del rapporto per quest’ultima:
(n+ 1)!
(n+ 1)n+1
nn
n!= ... =
nn
(n+ 1)n=
1(1 + 1
n
)n →1
e.
Poiche 1e < 1, la serie data converge.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 11-02-2009
TEMA2
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x) = arctan
(cos(5x)− 1
cos(5x) + 1
)+π
3.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita.
(b) Determinare il segno di f (non e essenziale per lo studio del grafico di f , si consiglia dirispondere a questa domanda dopo aver svolto gli altri esercizi).
(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(e) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(f) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2
Calcolare il seguente integrale definito
∫ (e2−1)/2
0log(1 + log2(2x+ 1)
) 1
2x+ 1dx.
Esercizio 3 Si consideri la successione
an =n!− 3 · n3 log n+ 5 · 3n
n · cos2 n+ nn+1 · arcsin(2n
) .
(a) Calcolare il limite limn→+∞ an.
(b) Studiare la convergenza della serie+∞∑
n=1
an.
Tempo: due ore e mezza.
![Page 145: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/145.jpg)
ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 11-02-2009
TEMA3
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x) = arctan
(1− cos(3x)
1 + cos(3x)
)− π
3.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita.
(b) Determinare il segno di f (non e essenziale per lo studio del grafico di f , si consiglia dirispondere a questa domanda dopo aver svolto gli altri esercizi).
(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(e) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(f) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2
Calcolare il seguente integrale definito
∫ (tan 1)/3
0log(1 + arctan2(3x)
) 1
1 + 9x2dx.
Esercizio 3
Si consideri la successione
an =4n+1 − n!− 3n · (n+ 1)
n2 · sinn+ nn+1 · log(1− 12n)
.
(a) Calcolare il limite limn→+∞ an.
(b) Studiare la convergenza della serie+∞∑
n=1
an.
Tempo: due ore e mezza.
![Page 146: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/146.jpg)
ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 11-02-2009
TEMA4
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f(x) = arctan
(1− cos(5x)
1 + cos(5x)
)− π
3.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita.
(b) Determinare il segno di f (non e essenziale per lo studio del grafico di f , si consiglia dirispondere a questa domanda dopo aver svolto gli altri esercizi).
(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(e) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(f) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2
Calcolare il seguente integrale definito
∫ (e2−1)/3
0log(1 + log2(3x+ 1)
) 1
3x+ 1dx.
Esercizio 3
Si consideri la successione
an =2n · log n+ 2 · n6 − n!
n2 · (−1)n+1 − nn+1 · tan( 13n)
.
(a) Calcolare il limite limn→+∞ an.
(b) Studiare la convergenza della serie+∞∑
n=1
an.
Tempo: due ore e mezza.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 28-01-2009
(Viene dato un cenno di soluzione del Tema 1 e del solo Es. 1 del Tema 2. Gli esercizirimanenti del Tema 2 e i Temi 3 e 4 possono essere svolti in modo del tutto simile a questi.)
TEMA1
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e2
log(9−x2)
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Cenno della risoluzione
La funzione e definita in D = {|x| < 3, x 6= ±2√
2}. E sempre positiva e pari quindi si studiaper gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.limx→3 f(x) = 1.limx→(2
√2)+ f(x) = 0 (si noti che in questo caso log(9− x2)→ 0−).
limx→(2√2)− f(x) = +∞ (si noti che in questo caso log(9− x2)→ 0+).
Si puo estendere la funzione in [2√
2, 3] ad una funzione continua.L’espressione della derivata prima e:
f ′(x) = e2
log(9−x2)−2
log2(9− x2)
1
9− x2(−2x).
Quindi f(x) e strettamente crescente nei due intervalli [0, 2√
2), (2√
2, 3). Il punto x = 0 e unpunto di minimo relativo. Studiamo ora gli attacchi agli estremi del dominio dove il limite dellafunzione e finito.limx→3 f
′(x) = +∞.limx→(2
√2)+ f ′(x) = 0.
Per calcolare quest’ultimo limite si puo usare il fatto che il fattore 4x9−x2 e limitato in un intorno di
2√
2 e per l’altra parte si puo usare la sostituzione y = 1log(9−x2) , se x→ (2
√2)+, si ha y → −∞,
quindi il limite si riconduce allo studio del limite limy→−∞ e2yy2 che si riconduce alla scala degliinfiniti con l’ulteriore sostituzione z = −y.
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Esercizio 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:
limx→0+
xa − 2 sin2 x + 1− e−x2
x− arctan(x + 1
6x3)
+ 4−13x
Cenno della risoluzionesin2 x = (x− x3
6 + o(x3))2 = x2 − x4
3 + o(x4).
e−x2
= 1− x2 + x4
2 + o(x4)Quindi il numeratore diventa
NUM. = xa − x2 +x4
6+ o(x4).
arctan(x + x3
6 ) = (x + x3
6 )− 13(x + x3
6 )3 + o(x3) = x + x3
6 − x3
3 + o(x3) = x− x3
6 + o(x3).
Il termine 4−13x = o(x3).
Quindi il denominatore diventa
DENOM. =x3
6+ o(x3).
Quindi il limite diventa
limx→0+
xa − x2 + x4
6 + o(x4)x3
6 + o(x3).
Quindi si hanno tre casi:
1) a > 2 : = limx→0+−x2+o(x2)x3
6+o(x3)
= −∞
2) a = 2 : = limx→0+x4
6+o(x4)
x3
6+o(x3)
= 0
2) a < 2 : = limx→0+xa+o(xa)x3
6+o(x3)
= +∞.
Esercizio 3 Calcolare il seguente integrale definito
∫ π/2
0
sin(2x) + sinx
cos2 x− 5 cosx + 6dx.
Cenno della risoluzione Tenendo conto che sin(2x) = 2 sinx cosx raccogliendo al numeratoresinx e usando la sostituzione cosx = y l’integrale diventa
−∫ 0
1
2y + 1
y2 − 5y + 6dy =
∫ 1
0
2y + 1
y2 − 5y + 6dy.
Tendo conto che y2 − 5y + 6 = (y − 3)(y − 2) la funzione razionale si puo decomporre:
2y + 1
(y − 3)(y − 2)=
A
y − 3+
B
y − 2
con A = 7 e B = −5 e si ottiene cosı
∫ 1
0
2y + 1
y2 − 5y + 6dy =
∫ 1
0
7
y − 3dy −
∫ 1
0
5
y − 2dy = 7 log 2− 7 log 3 + 5 log 2 = 12 log 2− 7 log 3.
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TEMA2
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e2
log(x2−4)
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Cenno della risoluzione
La funzione e definita in D = (]−∞,−2[∪]2,+∞[) \ {±√
5}. E sempre positiva e pari quindisi studia per gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.limx→2 f(x) = 1.limx→(
√5)+ f(x) = +∞ (si noti che in questo caso log(x2 − 4)→ 0+).
limx→(√5)− f(x) = 0 (si noti che in questo caso log(x2 − 4)→ 0−).
limx→+∞ f(x) = 1. (asintoto orizzontale)L’espressione della derivata prima e:
f ′(x) = e2
log(x2−4)3
log2(x2 − 4)
1
x2 − 4(−2x).
Quindi f(x) e strettamente decrescente nei due intervalli ]2,√
5[, ]√
5,+∞[. La funzione non ha
min e max relativi ed assoluti (se si prolunga per continuita in 2+ e in√
5−
ha max rel. in 2 emin rel. e assoluto in
√5). inf f = 0, sup f = +∞. Studiamo ora gli attacchi agli estremi del
dominio dove il limite della funzione e finito.limx→2 f
′(x) = +∞.limx→(
√5)− f ′(x) = 0.
Per calcolare quest’ultimo limite si possono usare gli argomenti usati nella sol. dell’Es.1 del Tema1.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 28-01-2009
TEMA2
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e3
log(x2−4)
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Esercizio 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:
limx→0+
3−12x + ex−
14x2 − 1− x
xa − log(1− x2)− 2 tan2 x
Esercizio 3 Calcolare il seguente integrale definito
∫ π/2
0
sin(2x) + 3 cosx
sin2 x− 6 sinx + 8dx.
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Vicenza, 28-01-2009
TEMA3
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e2
log(5−x2)
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Esercizio 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:
limx→0+
xa + 2(1− cosx)− 2 sinh2 x
x− arcsin(x− 1
12x3)− 2−
4x
Esercizio 3 Calcolare il seguente integrale definito
∫ π
π/2
3 sinx + sin(2x)
cos2 x− cosx− 6dx.
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ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 28-01-2009
TEMA4
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e5
log(x2−8)
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non e richiesto lo studio della convessita.
Esercizio 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:
limx→0+
3−2x + x + 1− ex−
14x2
xa − log(1− x2)− 2 sin2 x
Esercizio 3 Calcolare il seguente integrale definito
∫ π
π/2
3 cosx + sin(2x)
sin2 x + sinx− 6dx.
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MATEMATICA ACanali 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 23 settembre 2008
Esercizio 1 Studiare la funzione
f(x) =p
4 cos2 x � 1 + | sin x|.
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita. Studiare il segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia egli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi. Non e richiesto lo studio della convessita di f .
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2 Calcolare per ogni valore reale del parametro ↵ il limite
limx!0+
↵2x2 log(x) + x sin(x)
x4 log(1 + x) + ex2+x � 1 � x � ↵x.
Esercizio 3 Determinare la primitiva F : [e,+1[! R della funzione
f(x) =1
x(log2 x + |1 � log x|)
che soddisfa la condizione F (e) =p
3.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACanali 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 9 settembre 2008
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = arctan
✓e2x + 1
e2x � 1
◆� x
4
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita. Non e richiesto lo studiodel segno di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia egli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi.
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2 Si consideri la successione
an =
an3/2 � 6
⇣a2pn� sin
⇣1pn
⌘⌘� 2
n2
�1 + 1
n � 2n3
�pn � 1
(a) Calcolare il limite limn!+1 an al variare del parametro a 2 R.
(b) Discutere la convergenza della serieP+1
n=1 an per ogni a 2 R.
Esercizio 3 (a) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A1 ✓ C di tutti inumeri complessi che soddisfano la seguente disequazione:
|z| � 1
2 0.
(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A2 ✓ C di tutti i numeri complessiche soddisfano la seguente disequazione:
����|z| + i
z + z + 4
���� 1/2.
(c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ✓ C di tutti i numeri complessiche soddisfano la seguente disequazione:
✓|z| � 1
2
◆✓����|z| + i
z + z + 4
����� 1/2
◆ 0.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACanali, 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10 luglio 2008
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = log�2ex + 3e�x + |x| � 5
�.
(a) Preliminarmente, studiare brevemente la funzione
g(x) = 2ex + 3e�x + |x| � 5.
(b) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita di f . Non e richiesto lostudio del segno di f .
(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Non e richiesto lo studiodella convessita di f .
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f .
Esercizio 2 Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ✓ C di tutti i numericomplessi che soddisfano la seguente disequazione:
�����|p
2z| + 2iRe(z)
z � z
����� � 1.
Esercizio 3 Si consideri, per ogni ↵ 2 R, la seguente equazione di↵erenziale:
y00 + y0 � 2y = ↵e�2x + sin(x).
(a) Determinarne la soluzione per ogni valore del parametro reale ↵.
(b) Dire se esistono dei valori del parametro ↵ che danno luogo a qualche soluzione periodicae specificare tali soluzioni.
(c) Dire se esistono dei valori del parametro ↵ che danno luogo a qualche soluzione y(x) taleche limx!�1 y(x) = +1 e specificare tali soluzioni.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta, G. ZampieriIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 7 gennaio 2008
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = e�|x(x+3)| (x + |x + 3|)
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, eperiodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi.
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Esercizio 2 Si consideri l’integrale improprio
Z +1p
33
(1 + x2)1�a
log3(2�a)(3 + x) [arctan2 x + | arctan2 x � arctanx|]dx
(a) Determinare i valori del parametro reale a per cui l’integrale converge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 2.
Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy seguente
(y0 = 2xy
y2+3
y(0) = c
per i due valori c = 2 e c = 0 della condizione iniziale.
Tempo: due ore e mezza.
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MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta e G. Zampieri
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10 dicembre 2007
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) = log
!x + 5
|x + 4|
"! x + 5
|x + 4| .
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie,periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto. I limiti di f !, se significativi.
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Abbozzare il grafico in tutto il dominio.
Esercizio 2 Si calcoli il limite
limx"+#
x$
x +"
x3 + 3 ! 4x + cos#3ex2
+ 2$
sinh(x) + ("
x)x + 5x.
Si ricordi che sinh(x) = ex%e!x
2 .
Esercizio 3 Si calcoli il limite
limx"0+
sin("
x ! tan("
x))
(ex ! 1)"
x.
Esercizio 4 Si studi la convergenza della serie
+#%
n=1
"n + 1 ! "
n
n.
Tempo: due ore e mezza.
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MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta e G. Zampieri
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Vicenza, 10 dicembre 2007
TEMA
Esercizio 1 Si consideri la funzione
f(x) =x + 3
|x + 2| ! log
!x + 3
|x + 2|
".
(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie,
periodicita e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo
e minimo) relativo e assoluto. I limiti di f !, se significativi.
(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.
(e) Abbozzare il grafico in tutto il dominio.
Esercizio 2 Si calcoli il limite
limx"+#
sinh(x) + ("
x)x + 3x
"x3 + 1 + 5x + cos
#5ex2 ! 5
$+ x
$x.
Si ricordi che sinh(x) = ex%e!x
2 .
Esercizio 3 Si calcoli il limite
limx"0
sin(x ! tan(x))(ex)
1 ! cos(x).
Esercizio 4 Si studi il carattere della serie
+#%
n=1
"2n + 1 !
"2n"
n.
Tempo: due ore e mezza.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 5 settembre 2007
TEMA
1) [10 punti ] Studiare la funzione
f(x) = xlog |x| � 1
log x + 1.
(Determinare il dominio D; studiarne il segno; calcolare i limiti per x che tende ai punti difrontiera del dominio e trovare gli eventuali asintoti; studiare la continuita e la derivabilita dif ed eventuali attacchi di f 0; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; studiarne la convessita e trovare gli eventuali flessi; disegnare un abbozzomotivato del grafico di f .)
2) [10 punti ] Per ogni valore del parametro reale ↵ � 0, determinare il carattere della seguenteserie:
+1X
n=2
e1
n2 (sinn + 2)2
nlog(1+↵).
3) [10 punti ] Dopo aver verificato che esiste finito, si calcoli l’integrale
Z 3
0
x + 2q1 � x2
9
dx.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 24 luglio 2007
TEMA
1) [12 punti ] Studiare la funzione
f(x) = esinh
“x2+12�x
”
(Dominio, segno, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e derivabilita, crescenza edecrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f 0, abbozzo delgrafico. Non e richiesto lo studio di f 00.)
2) [8 punti ] Risolvere la seguente equazione in C e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss
Im(iz2 + 2z) > Re(zz).
3) [10 punti ] (i) Calcolare l’integrale indefinito della funzione
f(x) =1
|ex � e| � 7e�x, �1 < x 1.
(ii) Determinare la primitiva di f , F : [0, 1] ! R tale che F (1) = 0.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 8 gennaio 2007
TEMA
1) [10 punti ] Studiare la funzione
f(x) = |x � 3| � arctan
✓x � 2
|x � 3|
◆
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti – deldominio e gli eventuali asintoti; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; determinare i punti in cui f e derivabile; studiarne la convessita e gli eventualiflessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , non e richiesto lo studio del segno di f).
2) [10 punti ] Calcolare il limite seguente al variare del parametro reale ↵:
limx!0
ex2+ 3x2 � 2 � ↵x2
log(1 + x2) � x2 � 5�(1/x2).
3) [10 punti ] Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
(y0 = (y � 1)2 6x + 3
x2 + x + 1y(0) = 4
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 8 gennaio 2007
TEMA
1) [10 punti ] Studiare la funzione
f(x) = |x � 2| � arctan
✓x � 1
|x � 2|
◆
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti – deldominio e gli eventuali asintoti; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; determinare i punti in cui f e derivabile; studiarne la convessita e gli eventualiflessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , non e richiesto lo studio del segno di f).
2) [10 punti ] Calcolare il limite seguente al variare del parametro reale ↵:
limx!0
ex2+ 5x2 � 2 � ↵x2
log(1 + x2) � x2 � 3�1
x2
.
3) [10 punti ] Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
(y0 = 4x + 4
x2 + 2x + 2(2 � y)2
y(�1) = 1
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 8 gennaio 2007
TEMA
1) [10 punti ] Studiare la funzione
f(x) = |x + 3| + arctan
✓x + 2
|x + 3|
◆
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti – deldominio e gli eventuali asintoti; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; determinare i punti in cui f e derivabile; studiarne la convessita e gli eventualiflessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , non e richiesto lo studio del segno di f).
2) [10 punti ] Calcolare il limite seguente al variare del parametro reale ↵:
limx!0
ex2+ 3x2 � 2 � ↵x2
cos(x) � 1 + x2
2 � 5�1
x2
.
3) [10 punti ] Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
(y0 = (y � 1)2 8x + 2
2x2 + x + 1y(0) = 3
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 8 gennaio 2007
TEMA
1) [10 punti ] Studiare la funzione
f(x) = |x + 2| + arctan
✓x + 1
|x + 2|
◆
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti – deldominio e gli eventuali asintoti; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; determinare i punti in cui f e derivabile; studiarne la convessita e gli eventualiflessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , non e richiesto lo studio del segno di f).
2) [10 punti ] Calcolare il limite seguente al variare del parametro reale ↵:
limx!0
ex2+ 5x2 � 2 � ↵x2
cos(x) � 1 + x2
2 � 3�1
x2
.
3) [10 punti ] Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
(y0 = 4x + 6
x2 + 3x + 3(2 � y)2
y(�1) = 1
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
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tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 15 dicembre 2006
TEMA
1) [12 punti ] Studiare la funzione
f(x) = log
µ |x ° 1|x
∂° 2x
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti –del dominio e gli eventuali asintoti; determinare i punti in cui f e continua e i punti in cui ederivabile; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremi relativi ed assoluti;studiarne la convessita e gli eventuali flessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , none richiesto lo studio del segno di f).
2) [8 punti ] Esprimere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le soluzioni complessedella seguente equazione:
z4 + 2(3 + 6i)z2 + 5 + 12i = 0.
3) [10 punti ] (i) Determinare i valori del parametro reale Æ per i quali converge il seguenteintegrale improprio: Z +1
1
(1 + x3)1°Æ
x2°Æ(log2 x + 2p
2 log x + 2)dx.
(ii) Calcolare l’integrale per Æ = 1.
4) Esercizio facoltativo (da svolgersi per ultimo, terminati gli altri esercizi, non viene valutatoper l’ammissione all’orale).
Si consideri il problema di Cauchy
(y0 = ex2
y,
y(1) = Æ.
Decidere per quali valori del parametro reale Æ la soluzione e iniettiva. Posto Æ = 2, indicatacon g la funzione inversa di y (ristretta al proprio dominio e immagine), calcolare g0(2).
MOTIVARE LE RISPOSTE.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 15 dicembre 2006
TEMA
1) [12 punti ] Studiare la funzione
f(x) = x ° log
µ |x ° 1|x
∂
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti –del dominio e gli eventuali asintoti; determinare i punti in cui f e continua e i punti in cui ederivabile; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremi relativi ed assoluti;studiarne la convessita e gli eventuali flessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , none richiesto lo studio del segno di f).
2) [8 punti ] Esprimere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le soluzioni complessedella seguente equazione:
z4 + 2(3 ° 6i)z2 + 5 ° 12i = 0.
3) [10 punti ] (i) Determinare i valori del parametro reale Æ per i quali converge il seguenteintegrale improprio: Z +1
1
(1 + x3)1°Æ
x2°Æ(log2 x + 2p
3 log x + 3)dx.
(ii) Calcolare l’integrale per Æ = 1.
4) Esercizio facoltativo (da svolgersi per ultimo, terminati gli altri esercizi, non viene valutatoper l’ammissione all’orale).
Si consideri il problema di Cauchy
(y0 = ex2
y,
y(1) = Æ.
Decidere per quali valori del parametro reale Æ la soluzione e iniettiva. Posto Æ = 2, indicatacon g la funzione inversa di y (ristretta al proprio dominio e immagine), calcolare g0(2).
MOTIVARE LE RISPOSTE.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 15 dicembre 2006
TEMA
1) [12 punti ] Studiare la funzione
f(x) = log
µ |x|x + 1
∂° 2x
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti –del dominio e gli eventuali asintoti; determinare i punti in cui f e continua e i punti in cui ederivabile; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremi relativi ed assoluti;studiarne la convessita e gli eventuali flessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , none richiesto lo studio del segno di f).
2) [8 punti ] Esprimere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le soluzioni complessedella seguente equazione:
z4 ° 2(3 + 6i)z2 + 5 + 12i = 0.
3) [10 punti ] (i) Determinare i valori del parametro reale Æ per i quali converge il seguenteintegrale improprio: Z +1
1
(1 + x3)1°Æ
x2°Æ(log2 x + 2p
5 log x + 5)dx.
(ii) Calcolare l’integrale per Æ = 1.
4) Esercizio facoltativo (da svolgersi per ultimo, terminati gli altri esercizi, non viene valutatoper l’ammissione all’orale).
Si consideri il problema di Cauchy
(y0 = ex2
y,
y(1) = Æ.
Decidere per quali valori del parametro reale Æ la soluzione e iniettiva. Posto Æ = 2, indicatacon g la funzione inversa di y (ristretta al proprio dominio e immagine), calcolare g0(2).
MOTIVARE LE RISPOSTE.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
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MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
Prova scritta – 15 dicembre 2006
TEMA
1) [12 punti ] Studiare la funzione
f(x) = x ° log
µ |x|x + 1
∂
(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti –del dominio e gli eventuali asintoti; determinare i punti in cui f e continua e i punti in cui ederivabile; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremi relativi ed assoluti;studiarne la convessita e gli eventuali flessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , none richiesto lo studio del segno di f).
2) [8 punti ] Esprimere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le soluzioni complessedella seguente equazione:
z4 ° 2(3 ° 6i)z2 + 5 ° 12i = 0.
3) [10 punti ] (i) Determinare i valori del parametro reale Æ per i quali converge il seguenteintegrale improprio: Z +1
1
(1 + x3)1°Æ
x2°Æ(log2 x + 2p
6 log x + 6)dx.
(ii) Calcolare l’integrale per Æ = 1.
4) Esercizio facoltativo (da svolgersi per ultimo, terminati gli altri esercizi, non viene valutatoper l’ammissione all’orale).
Si consideri il problema di Cauchy
(y0 = ex2
y,
y(1) = Æ.
Decidere per quali valori del parametro reale Æ la soluzione e iniettiva. Posto Æ = 2, indicatacon g la funzione inversa di y (ristretta al proprio dominio e immagine), calcolare g0(2).
MOTIVARE LE RISPOSTE.
Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi
tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.
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Soluzioni del tema 1.
1) La funzione e definita per|x ° 1|
x > 0, x 6= 0, quindi il dominio D e
D = {x > 0, x 6= 1}.
Limiti finiti e infiniti:limx!0+ f(x) = +1,limx!1± f(x) = °1,limx!+1 f(x) = °1,
limx!+1f(x)
x = °2, limx!+1 f(x) + 2x = 0.Quindi la retta y = °2x e asintoto obliquo per x ! +1.La funzione e continua e derivabile nel suo dominio di definizione perche somma, quoziente ecomposizione di funzioni continue e derivabili.f 0(x) = 1°2x2+2x
x(x°1) se x > 1,
f 0(x) = °1+2x2°2xx(1°x) se x < 1
quindi
f 0(x) =1 ° 2x2 + 2x
x(x ° 1), 8x 2 D.
Studiando il segno di 1 ° 2x2 + 2x, si ottiene che f e strettamente decrescente in (0, 1) e in
(1+p
32 ,+1), strettamente crescente in (1, 1+
p3
2 ). Ha un punto di massimo relativo in x = 1+p
32
mentre non esistono punti di massimo e minimo assoluto in quanto sup f = +1, inf f = °1.La derivata seconda e
f 00(x) =1 ° 2x
x2(x ° 1)2, 8x 2 D.
Quindi f e concava se x > 1 e se x 2 (1/2, 1) mentre e convessa in (0, 1/2) e ha un punto di flessoin x = 1/2.
2) Ponendo w = z2, si ha un’equazione di secondo grado. La formula ridotta da
w = °3 ° 6i ±p
(3 + 6i)2 ° 5 ° 12i = °3 ° 6i ±p°32 + 24i. (1)
Per trovare le radici, si risolve l’equazione (x + iy)2 = °32 + 24i, x, y 2 R, da cui
(x2 ° y2 = °32
2xy = 24,,
(x4 + 32x2 ° 144 = 0
y = 12/x.
Risolvendo l’equazione biquadratica si ottiene x2 = °16 ± 20, di cui solo la soluzione positiva eaccettabile. In definitiva, le due radici nella (1) sono ±(2 + 6i). Sostituendo, otteniamo le dueequazioni z2 = °1 e z2 = °5°12i. Le soluzioni della prima sono evidentemente z1 = i e z2 = °i.Per risolvere la seconda, si imposta un sistema analogo a quello precedente:
(x2 ° y2 = °5
2xy = °12,,
(x4 + 5x2 ° 36 = 0
y = °6/x.
Come prima, la biquadratica ha solo due soluzioni reali, x = ±2; corrispondentemente, y = ®3.Concludendo, otteniamo le soluzioni z3 = 2 ° 3i e z4 = °2 + 3i. La rappresentazione nel pianodi Gauss consiste nell’insieme dei quattro punti di coordinate (0, 1), (0,°1), (2,°3), (°2, 3).
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3) (i) La funzione integranda f(x) = (1+x3)1°Æ
x2°Æ(log2 x+2p
2 log x+2)e definita, positiva e continua
su tutto l’intervallo [1, +1[. L’integrale quindi converge se e solo se f e integrabile in sensogeneralizzato in un intorno di +1. Poiche nell’intorno di +1 si ha
f(x) ª x3(1°Æ)
x2°Æ log2 x=
1
x2°Æ°3+3Æ log2 x=
1
x2Æ°1 log2 x,
dal criterio di confronto asintotico con la funzione f(x) = 1xa logb x
dove a = 2Æ° 1 e b = 2, segue
che l’integrale converge se e solo se 2Æ° 1 ∏ 1, cioe per Æ ∏ 1.
(ii) Per Æ = 1, l’integrale di f tra 1 e x (con x > 1), diventa
Z x
1
1
t(log2 t + 2p
2 log t + 2)dt =
Z log x
0
1
(y +p
2)2dy =
∑° 1
y +p
2
∏log x
0
=
p2
2° 1
log x +p
2,
dove la prima uguaglianza si ottiene operando la sostituzione y = log t. Passando al limite perx ! +1, risulta infine
Z +1
1
1
t(log2 t + 2p
2 log t + 2)dt = lim
x!+1
Z x
1
1
t(log2 t + 2p
2 log t + 2)dt =
p2
2.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Prova scritta di Matematica Adel 5 Settembre 2006
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1)Si consideri la funzione
f(x) = sin(π2− x)etanx
(a) Determinare il dominio di f , il segno di f, eventuali simmetrie e peri-odicita.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non erichiesto lo studio di f ′′)
(2) Si consideri il seguente problema di Cauchy:
{y′(x) = y(x)
2x− ex
2y3,
y(−1) = 1.
(a) Determinare la soluzione in un intorno di x0 = −1.
(b) Trovare il dominio massimale della soluzione.
(3) Data la successione
an =
(√1 + 2 sin
(1
n2
)− e−
1na
)n1−a per ogni n ∈ N,
(a) discutere la convergenza della serie∑+∞
n=1 an al variare del parametroa > 0.
(b) (Facoltativo) Studiare la convergenza della serie∑+∞
n=1(−1)n+1an nelcaso a = 1.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Prova scritta di Matematica Adel 19 Settembre 2006
(Canale 2, Prof. F. Albertini e M. Motta)
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1) Si consideri la funzione
f(x) = arctan
✓x + 1
x � 1+ log(x2)
◆.
(a) Determinare il dominio di f , il segno di f ed eventuali simmetrie.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f 00)
(2) Per ogni valore di ↵ 2 RI , determinare il seguente limite:
limx!0+
2x � sin(↵x) � 1 + x3 sin 1x
1 � cos(p
x) � 12log(x + 1)
.
(3) Determinare il carattere della seguente serie:
+1X
n=1
pn4 + 2n � n2
pn
sin(p
n).
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Prova scritta di Matematica Adel 20 Luglio 2006
(Canale 2, Prof. F. Albertini e M. Motta)
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1) Si consideri la funzione
f(x) = (x � 1) e1p
x2�1
(a) Determinare il dominio, il segno ed eventuali simmetrie di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti ver-ticali.
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .
(d) (Fac.) Determinare eventuali asintoti obliqui di f .
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f 00)
(2) Determinare le radici del seguente polinomio:
P (z) = z4 + (2i + 1)z2 + 2i.
(3) Data la funzione integrale
F (x) =
Z x
0
⇥log(1 + t2) � arctan(ta)
⇤dt,
(a) calcolare al variare del parametro a > 0 il limite seguente
limx!0+
F (x)
x3.
(b) Calcolare il valore F (1) per a = 1.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Prova scritta di Matematica Adel 12 dicembre 2005
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1) Si consideri la funzione
f(x) = log�x + 1 + e|x+1|�
(a) Determinare il dominio di f , il segno di f ed eventuali simmetrie.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi e disegnare un grafico qualitativodi f .
(e) (facoltativo) Studiare concavita e convessita della funzione f .
(2) Determinare l’insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguentedisequazione:
����z
z + iRez
���� � 1.
Disegnare A nel piano complesso.
(3)
(a) Discutere al variare del parametro a 2 R la convergenza del seguenteintegrale improprio
Z ⇡/4
0
tan|a|/2 x (tan2 x + 1)
x2�a(1 +p
tan x)dx.
(b) Calcolare l’integrale per a = 2.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Esame di Analisi 1 e di Matematica 1del 21 giugno 2005
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1) Si consideri la funzione
f(x) =p
x2 + 8x + 15 � |x � 1|
(a) Determinare il dominio di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .
(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi.
(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f 00)
(2) (a) Calcolare, se esiste, il limite della successione
an = (�1)nn2
✓1 � n arctan
✓1
n
◆◆+
(�1)n+1
3
per n tendente a +1.(b) Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie
P+1n=1 an.
(3) Calcolare la primitiva F : [�1, +1[! R della funzione seguente
f(x) =
px + 1
|x � 1| + 2
tale che F (�1) = 2⇡.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Esame di Matematica A del 11 gennaio 2005
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1) Si consideri la funzione
f(x) = log1
1 + cos x� 1
1 + cos x
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, e periodicita di f .
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .
(c) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo(massimo e minimo) relativo e assoluto di f ristretta a (�⇡, ⇡).
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .
(2) Si consideri la serie
+1X
n=1
(�3)n
3n+1n log(1 + n) � 3nn sin�
3n
� .
(a) Studiare il segno della successione
bn = 3n+1n log(1 + n) � 3nn sin
✓3
n
◆
per n tendente a +1.
(b) Discutere la convergenza assoluta della serie data.
(c) Discutere la convergenza semplice della serie data. (Suggerimento: us-are il punto (a))
(3) Per ogni ↵ 6= �1 si consideri la seguente equazione di↵erenziale:
y00 � ↵y = cos(x).
(a) Determinare le soluzioni per ogni ↵ 6= �1.
(b) Dire se esistono soluzioni y(x), tali che limx!+1 y(x) = +1. In casoa↵ermativo, determinarle.
(c) Fissato ↵ = 0, dire se esistono soluzioni limite. In caso a↵ermativo,determinarle.
(d) (facoltativo) Determinare le soluzioni per ↵ = �1.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Esame di Matematica A del 14 dicembre 2004
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1) Si consideri la funzione
f(x) =x2
x + 1e
xx+1
(a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventualiasintoti di f .
(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo(massimo e minimo) relativo e assoluto di f .
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f .
(2) Calcolare il seguente limite:
limx!0+
e(x+x2) � 1 � sin(x)
x2 + arctan(x3) + x3 sin( 1x).
(3) Si consideri il seguente integrale improprio
Z +1
0
dx
xa2�1(x2 + |1 � 2x|a) .
(a) Determinare i valori del parametro a > 0 per i quali tale integraleconverge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Esame di Matematica A/Analisi 1 del 19/9/2005
SCHEMA DI SOLUZIONE
(1) Si consideri la funzione
f(x) = arcsin
!1 ! x2
1 + x2
"
(a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie, continuita, limitiagli estremi del dominio, e gli eventuali asintoti di f .
(b) Determinare la derivabilita, gli eventuali punti angolosi, gli intervallidi monotonia, e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f .
(c) Determinare gli intervalli di concavita e convessita e gli eventuali puntidi flesso di f .
Soluzione: Dominio: deve essere:###1!x2
1+x2
### " 1 #$ !1 " 1!x2
1+x2 " 1 #$ !1 ! x2 " 1 ! x2 " 1 + x2
#$ !1 " 1 " 1 + 2x2
disuguaglianze chiaramente soddisfatte per ogni x % R. Il dominio e quinditutto R.Simmetrie: chiaramente f e pari.Continuita: Essendo f composizione di funzioni continue e continua.Derivabilita: La funzione g(x) = 1!x2
1+x2 e ovunque derivabile; arcsin e deriv-abile in (!1, 1); quindi f e certamente derivabile, almeno per gli x % R percui g(x) &= ±1; si ha g(x) = 1 #$ x = 0, mentre g(x) = !1 non e maiverificato. Percio f e certamente derivabile in R/{0} e si ha:
f "(x) =1$
1 ! g2(x)
!4x
(1 + x2)2
Per vedere se f e derivabile in 0 calcoliamo i limiti destro e sinistro di f " inx = 0; essendo f continua in x = 0 il limite destro, se esiste sara la derivata
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destra, e quello sinistro la derivata sinistra; anzi essendo f ! dispari, bastafare il limite destro, per x !" 0+. Si noti che:
!1 ! g2(x) =
!(1 ! g(x))(1 + g(x)) # 2x per x !" 0+
e in definitivalim
x"0±f !(x) = $2
e quindi 0 e punto angoloso per f .Monotonia: f !(x) < 0 per x > 0; f e strettamente decrescente su [0, +%); fe strettamente crescente su !%, 0]. Il punto x = 0 e di max assoluto, dovef vale f(0) = !/2.Asintoti: essendo
limx"±#
g(x) = !1
si halim
x"±#f(x) = !!/2
e quindi y = !!/2 e asintoto orizzontale bilatero per f ; il valore !!/2 el’estremo inferiore di f , ma non e raggiunto: f non ha minimo.Convessita: per x &= 0, si ha
f !!(x) =1!
1 ! g2(x)
"g(x) (g!(x)2)
1 ! g2(x)+ g!!(x)
#
calcoli diretti (anche se un po lunghi) mostrano che
g(x) (g!(x)2)
1 ! g2(x)+ g!!(x) =
8x2
(1 + x2)3> 0
pertanto f e strettamente convessa su (!%, 0) ' (0, +%).Abbozzo di grafico:
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(2) Al variare del parametro ! ! R, calcolare il seguente limite:
limx"#0+
1
x4!
!1 "
$1 " !x2
cos x
".
Soluzione: Dobbiamo calcolare
limx"#0+
cos x "$
1 " !x2
x4! cos x.
Usando gli sviluppi di Mac Laurin si ottiene che
cos x = 1 " 1
2x2 +
1
24x4 + o(x5),
$1 " !x2 = 1 " !
2x2 " !2
8x4 + o(x4).
Se ! %= 1, si ha
limx"#0+
cos x "$
1 + !x2
x4! cos x= lim
x"#0+
!!12
x2 + o(x3)
x4!=
#$$$%$$$&
+&, se ! > 1,
"&, se 12
< ! < 1,
"14, se ! = 1
2,
0, se ! < 12.
Se ! = 1, si ha
limx"#0+
cos x "$
1 + x2
x4 cos x= lim
x"#0+
16x4 + o(x4)
x4=
1
6.
(3) Si consideri il seguente integrale improprio
' +"
2
6x2a
(x " 1)2(x2 + xa + 1)dx.
(a) Determinare i valori del parametro a > 0 per i quali tale integraleconverge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
Soluzione: (a) Per ogni a > 0 la funzione integranda
fa(x) =6x2a
(x " 1)2(x2 + xa + 1)
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e continua in [2, +![. In un intorno di +! si ha
fa(x) "
!"#"$
6xa!2, se a > 2,
3, se a = 2,1
x2(2!a) , se 0 < a < 2.
Quindi dal criterio del confronto asintotico segue che l’integrale converge per0 < a < 3/2.(b) Calcoliamo l’integrale indefinito
%6x2
(x # 1)2(x2 + x + 1)dx.
Si puo scomporre
6x2
(x # 1)2(x2 + x + 1)=
A
x # 1+
B
(x # 1)2+
C(2x + 1)
(x2 + x + 1)+
D
(x2 + x + 1).
Facendo denominatore comune ed eguagliando i coe!cienti delle varie potenzedi x, si ottiene A = 2, B = 2, C = #1, D = 1. Quindi
%6x2
(x # 1)2(x2 + x + 1)dx =
log(x # 1)2
x2 + x + 1# 2
x # 1+
2$3
arctan
&2$3
&x +
1
2
''+ c.
In conclusione, l’integrale cercato e
% +"
2
6x2a
(x # 1)2(x2 + xa + 1)dx =
!$3
+ log 7 + 2 # 2$3
arctan5$3.
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Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza
Esame di Matematica A, di Matematica 1 e di Analisi1 del 5 settembre 2005
GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE
(1) Si consideri la funzione
f(x) = 1 � sin x log
����sin x
e
����
(a) Determinare il dominio, eventuali periodicita e simmetrie e studiare ilsegno di f . Calcolare i limiti agli estremi del dominio di f . (Sugg.Studiare f nel piu piccolo intervallo possibile..)
(b) Calcolare f 0 e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Deter-minare eventuali attacchi di f 0.
(c) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto R). Non e richiesto lostudio di f 00.
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Soluzione:(a) Il dominio di f e D = R \ {sin x 6= 0} = R \ {x 2 R : x =k⇡, k 2 N}. La funzione e 2⇡–periodica e f(x) � 1 e dispari, quindi bastastudiarla nell’intervallo D \ [0, ⇡] =]0, ⇡[. 8x 2]0, ⇡[ la funzione sin x > 0,quindi f(x) = 1� sin x log
⇥sin x
e
⇤e poiche 0 < sin x
e 1
e, si ha che log
⇥sin x
e
⇤
log⇥
1e
⇤= �1 per cui sin x log
⇥sin x
e
⇤> 0 e f(x) > 1 > 0 8x 2]0, ⇡[.
limx!0+
f(x) = limx!⇡�
f(x) = 1,
e f si estende per continuita a tutto R.(b) 8x 2]0, ⇡[ la funzione sin x > 0, quindi f(x) = 1 � sin x log
⇥sin x
e
⇤e
f 0(x) = � cos x
log
sin x
e
�+ sin x
e
sin x
1
e
�= � cos x
log
sin x
e
�+ 1
�.
Per quanto gia osservato, log⇥
sin xe
⇤ �1, dunque
log
sin x
e
�+ 1 0 8x 2]0, ⇡[
e f 0(x) � 0 se e solo se cos x � 0, cioe x 2]0, ⇡/2]. Percio f e monotonacrescente in ]0, ⇡/2] e decrescente in ]⇡/2, ⇡[ e assume un massimo relativo inx = ⇡/2. Per la periodicita e le simmetrie di f , per k 2 Z i punti ⇡/2 + 2k⇡sono di massimo assoluto, mentre i punti �⇡/2+2k⇡ sono di minimo assoluto.Gli attacchi di f 0 in 0+ e in ⇡� sono
limx!0+
= +1, limx!⇡�
f 0(x) = �1,
quindi nei punti k⇡ con k 2 Z f non e derivabile e ha tangente verticale.
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(2) Calcolare al variare del parametro a > 0 il seguente limite:
L = limx!+1
xa + ex3�1 � e1/x
�
x sin x � ex3 sin (1/x).
Soluzione: Poiche 1 � e1/x e asintotica a �1/x, in breve, 1 � e1/x ⇠ �1/x,per x ! +1, il numeratore soddisfa
xa + ex3�1 � e1/x
�⇠ xa � ex2 ⇠
8<:
�ex2 se a < 2(1 � e)x2 se a = 2xa se a > 2
mentre x sin x = o(x2) e �ex3 sin (1/x) ⇠ �ex2, per cui
x sin x � ex3 sin (1/x) ⇠ �ex2.
Il limite richiesto vale allora
L =
8<:
1 se a < 2(1�e)�e
se a = 2
�1 se a > 2.
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(3) Calcolare l’integrale
I =
Z p2
0
arccos
����x � 1p2
���� dx.
Soluzione: Il dominio della funzione integranda e
D =
⇢x 2 R :
����x � 1p2
���� 1
�=
⇢x 2 R :
1p2� 1 x 1 +
1p2
�,
e quindi D ⇢ [0,p
2]. Inoltre, dalla definizione di modulo si ha
Z p2
0
arccos
����x � 1p2
���� dx =
Z p2/2
0
arccos
✓1p2� x
◆dx+
Z p2
p2/2
arccos
✓x � 1p
2
◆dx.
Operando le sostituzioni y = 1p2� x e y = x� 1p
2rispettivamente nel primo
e nel secondo integrale, si ottiene
I = 2
Z p2/2
0
arccos y dy = 2
y arccos y
���p
2/20 +
Z p2/2
0
y dyp1 � y2
!=
p2
4⇡+2
✓1 � 1p
2
◆.
dove la penultima uguaglianza si ha integrando per parti.
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Cognome Nome Matricola
Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaLaurea in Ingegneria Gestionale,
Prof. M. Motta
Analisi 1, N.O.Vicenza, 22 giugno 2004.
Esercizio 1
Studiare la funzionef(x) = |x2 − 4|e x
|x+2|
(Dominio, segno, eventuali simmetrie, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e deriv-abilita, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali at-tacchi di f ′, abbozzo del grafico. Non e richiesto lo studio di f ′′.)
![Page 187: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/187.jpg)
Cognome Nome Matricola
Esercizio 2
(a) Dire per quali α ∈ IR esiste finito l’integrale seguente:
∫ √π/2
0
xα sin(x2) + | log(xα−1)|(1− cos(x2))
78α
dx
e giustificare la risposta.
(b) Calcolare l’integrale per α = 1.
![Page 188: Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i ...lauracaravenna.altervista.org/.../raccoltaTemiEserciziVicenza3.pdf · Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081512/5c66a34909d3f2d12a8ca854/html5/thumbnails/188.jpg)
Cognome Nome Matricola
Esercizio 3
(a) Calcolare il limite della successione
an =1 + tan3
(1n
)− esin
3( 1n)
1n3+α
(esin
2( 2n) − e
1n2
)
per n → +∞ al variare del parametro α ∈ IR.
(b) Dire per quali valori di α ∈ IR la serie∑+∞
n=1 an converge.
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Cognome Nome Matricola
Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaLaurea in Ingegneria Gestionale,
Doc. M. Motta
Analisi Matematica 1, V.OVicenza-29-04-03.
Esercizio 1
Studiare la funzionef(x) = xe
1|2x|−1
(Dominio, segno, eventuali simmetrie, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e deriv-abilita, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali at-tacchi di f ′, abbozzo del grafico. Non e richiesto lo studio di f ′′.)
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Cognome Nome Matricola
Esercizio 2
Calcolare il limite seguente al variare di a ∈ IR:
limx→+∞
(1x
)1/x − 2e1/x + cos(1x
)+ a
xlog(1x
)(√
1 + sinh(1x
)−√
1 + sin(1x
))1/3 .
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Cognome Nome Matricola
Esercizio 3
(a) Determinare al variare di a ∈ IR le soluzioni complesse di
z2 + z2 − 2|z|2 + i(z − z) + 2z = i− a.
(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’ insieme
A ={z ∈ C :
∣∣z2 − (z)2∣∣+ 2zz ≤ 8
}.
(c) Determinare i valori di a ∈ IR per i quali risulta non vuota l’ intersezione tra l’ insiemedelle soluzioni trovate nel punto (a) e l’ insieme A del punto (b).