analisis armonico de magnitudes no senoidales · 6 teorema de fourier 7 determinación de las...

Universidad Nacional

de Mar del Plata

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Area Electrotecnia

Autor: Ingeniero Gustavo L. Ferro – Profesor Adjunto – Electrotecnia EDICION 2016

Análisis armónico de magnitudes NO senoidales

Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) - Depto. de Ingeniería Eléctrica - Area Electrotecnia Análisis armónico de magnitudes NO SENOIDALES

1

Indice

1 Introducción

2 El resistor no lineal

3 El inductor no lineal

4 Origen de las corrientes no senoidales

5 Ondas no senoidales

6 Teorema de Fourier

7 Determinación de las componentes de una poliarmónica

8 Simetrías

9 Aplicaciones de las condiciones de simetría

10 Métodos gráficos de análisis armónico

11 Valor eficaz de una magnitud poliarmónica

12 Potencia activa asociada a ondas poliarmónicas

13 Potencia reactiva asociada a ondas poliarmónicas

14 Potencia compleja y potencia aparente. Potencia de deformación

15 Factor de potencia para ondas Poliarmónicas

16 Poliarmónicas en sistemas trifásicos

17 Efectos e inconvenientes de las armónicas

18 Ejemplo de aplicación


2

1. INTRODUCCION La teoría de circuitos que ha sido desarrollada hasta aquí ha estado basada en variaciones de ondas senoidales de tensiones y corrientes y en los cálculos sólo se han tomado en cuenta ondas senoidales. Los fundamentos y métodos de resolución de circuitos han estado basados en la

linealidad del comportamiento de los componentes. Dicha condición de linealidad se

cumple cuando la resistencia, la inductancia y la capacidad son constantes.

En la figura Nº 1, se resumen las ecuaciones fundamentales que relacionan tensiones

y corrientes con los parámetros lineales y las curvas representativas de dichas ecuaciones. En los tres casos se ha adoptado como positivo al sentido que posee la corriente cuando penetra por la terminal 1, y como positiva la caída del potencial desde la terminal 1 hacia la terminal 2. De hecho, por supuesto, una gran cantidad de los elementos en circuitos eléctricos prácticos no son lineales. Esto es, la tensión instantánea no es proporcional a la corriente, o a su integral o derivada. Expresado de otra manera, la resistencia o la inductancia, o la capacidad de un elemento, no es constante pero es una función de la corriente en el mismo.

Podemos definir entonces un componente NO LINEAL a aquel en el cual la caída instantánea de tensión no está en relación lineal con el valor instantáneo de la corriente (resistor no lineal), o con su derivada (inductor no lineal) o con el de su integral (capacitor no lineal).

En la práctica existen importantes componentes no lineales: los semiconductores y

los inductores con núcleo de materiales magnéticos. Por otra parte los

generadores de corriente alterna (alternadores) no suelen generar tensiones

puramente senoidales, sobre todo en condiciones de carga, cuando las distribuciones de inducción son fuertemente deformadas por saturación magnética y por la reacción de armadura. La condición de no linealidad resulta frecuentemente muy valiosa para obtener determinadas características de funcionamiento (circuitos rectificadores, termistores, etc.).


3

2. RESISTOR NO LINEAL Está claro, que si una onda senoidal de tensión se aplica a una resistencia no lineal, la corriente, no siendo proporcional a la tensión no será senoidal. En la figura Nº 2, se muestra una curva característica para una resistencia no lineal; corresponde a un

elemento de pararrayos (descargador de sobretensiones) de material semiconductor cristalino, que conduce poca corriente a baja o moderada tensión, pero una gran cantidad de corriente para alta tensión presente. La curva característica que relaciona "v" a "i" no es una línea recta como lo es para un elemento de resistencia constante, sino una curva. De la observación de la curva de la "i" se desprende que la onda de corriente es una onda con picos muy agudos. El análisis gráfico muestra su forma pero no nos da una ecuación para ella. Para encontrar una expresión analítica para la corriente, es necesario tener la curva característica descrita matemáticamente. Digamos, como una aproximación, que:

)1( v . k = i 3 ; siendo "k" una constante

determinada experimentalmente. La tensión aplicada siendo senoidal, puede escribirse:

)2( twcos V = v m .

La corriente, entonces, utilizando la ecuación (1), y usando una identidad trigonométrica para el cubo del coseno, es:

(3) 3wt] cos4

1 + wtcos

4

3[ V k = )wtcos V( k = i 3

m

3

m

Así vemos que la corriente es una onda con un valor máximo de: )4( V. k = I3

mm

y una forma que es la suma de una onda senoidal de la misma frecuencia que la tensión aplicada (dada por w) más una onda senoidal de tres veces esta frecuencia (dado por 3w). La figura Nº 3 muestra una suma gráfica de las dos componentes de la onda de corriente, teniendo i' la que llamaremos frecuencia fundamental, e i''' la que llamaremos la tercera armónica, teniendo tres veces la frecuencia fundamental.


4

3. INDUCTOR NO LINEAL Si el núcleo de un inductor está constituido por un material magnético,

la relación "flujo concatenado por

ampere" que es una forma de

expresar a la inductancia "L", deja de ser constante para convertirse en una función de la intensidad de corriente. Ello se debe al fenómeno de

saturación magnética del núcleo. Además, el valor del flujo concatenado, para una determinada intensidad de corriente, depende del

sentido de variación (aumento o disminución) de ésta cuando el núcleo es sometido a magnetización cíclica; fenómeno conocido como

"histéresis magnética". La figura Nº 4, muestra la curva característica del flujo - intensidad de corriente en un inductor con núcleo de hierro, que corresponde a un valor determinado del flujo máximo.

Se supone ahora que se somete al inductor a una tensión senoidal: t wnesU = u m

y que el devanado excitador carece de resistencia.

Deberá cumplirse: 0 = e + u L ; si el devanado posee N espiras: t d

d N - = e L

por lo

tanto: dt

d N = u

. De esta ecuación se puede deducir la ley de variación del flujo

respecto del tiempo, si se conoce u = f(t).

En efecto, hemos supuesto:dt

d N = wtnes U = u m

,luego: dt wtsen

N

U = d m

Integrando: wt)cos (- N *w

U = dt wtsen

N

U = mm

Puesto que: - cos wt = sen (wt - 90º): )90 - wtsen(N *w

U = m , donde definimos a:

N*w

U = m

m )90 - sen(wt = luegom

.

Como conclusión de gran importancia se deduce que si la tensión aplicada al

inductor es senoidal pura, el flujo en el núcleo será también senoidal puro, con

un atraso de fase de 90º con respecto a la tensión. Mediante un procedimiento gráfico se puede determinar la forma de onda de la corriente absorbida por el devanado del inductor. Dicha corriente resulta no senoidal. Sus máximos ocurren simultáneamente con los de los flujos, pero no se anula en los mismos instantes que éste.


5

4. ORIGEN DE LAS CORRIENTES NO SENOIDALES Los ejemplos de los puntos anteriores han servido para mostrar dos fuentes posibles de corrientes no senoidales desarrolladas por fuentes de tensión senoidal. Toda vez que el componente excitado con tensión senoidal presente una característica no lineal, dará origen a corrientes no senoidales, como sucede (además del resistor y el inductor no lineales) con un diodo semiconductor por ejemplo. También es posible el efecto inverso: una corriente senoidal, circulando a través de un inductor no lineal, origina una caída de tensión no senoidal. Los ejemplos de los párrafos anteriores han permitido además demostrar la posibilidad de la descomposición de una onda no senoidal en componentes senoidales (fundamental, tercera armónica, etc.). En lo sigue se presentarán los métodos que permiten llevar a cabo esta descomposición a partir de la función no senoidal dada. Finalmente se analizará la respuesta de circuitos y redes a excitaciones no senoidales. Este análisis permite aplicar la teoría de circuitos hasta aquí desarrollada solamente para tensiones y corrientes senoidales, a los casos en que dichas magnitudes se apartan de la forma de onda senoidal.

5. ONDAS NO SENOIDALES.

En muchas ramas de la ingeniería eléctrica, las ondas no senoidales son tan comunes como las senoidales y en todas las ramas se encuentran ocasionalmente ondas no senoidales. En los oscilogramas 1, 2 y 3 se muestran ejemplos de ondas no senoidales. Aun cuando la onda de tensión del oscilograma 1 es casi senoidal, la corriente que fluye por el circuito capacitivo está fuertemente deformada. También en el oscilograma 2 la corriente es no sinusoidal, aun cuando la tensión aplicada es prácticamente una sinusoide. El oscilograma 3 muestra el efecto de las ranuras abiertas, en la forma de la onda de tensión de un alternador. La armónica predominante en este caso, puede ser fácilmente determinada por lo que vamos a desarrollar a continuación.


6

6. TEOREMA DE FOURIER

En 1822, el físico francés J.B.J. Fourier demostró en su trabajo titulado "La Theorie Analytique de la Chaleur" (La Teoría Analítica del Calor) que:

“si en un intervalo dado, una función y = f (x) es unívoca, finita y continua, o en

caso ser discontinua posee un numero finito de discontinuidades, entonces esa

función puede representarse por una serie del tipo:”

)1.6(nx cos b +....+ 3x cos b + 2x cos b + x cos b

+ nx sen a +....+ 3x sen a + 2x sen a + x sen a =f(x)=y

n321

n321

más brevemente, puede escribirse:

)2.6( nx cos b + nx sen a + b = f(x) = y n

=n

1=n

n

=n

1=n

0

La demostración del Teorema de Fourier excede a los alcances y objetivos de este trabajo y puede encontrársela en tratados de matemáticas superiores. Reiteraremos a continuación las limitaciones que se establecen sobre una función f (x) cualquiera,

para que pueda ser representada mediante una "serie de Fourier": 1) La función debe ser unívoca, es decir que para cada valor de la variable

independiente "x" debe haber uno solo de la variable dependiente "y". 2) La función debe ser finita en el intervalo considerado. 3) La función debe ser continua o poseer un número finito de discontinuidades. El enunciado del teorema no establece restricción alguna en cuanto a la periodicidad

de la función. Si bien en este capítulo trataremos su aplicación a magnitudes

eléctricas periódicas no senoidales, es importante recordar que el campo de aplicación del teorema se extiende a las no periódicas. Prácticamente todas las ondas no senoidales que pueden aparecer en la ingeniería eléctrica cumplen las condiciones expuestas. Excepto en algunos casos especiales, teóricamente se requiere un número infinito de componentes, pero comúnmente solo unos pocos términos de la serie son suficientes para obtener una buena aproximación. Como cada componente de la onda es senoidal, se le pueden aplicar los métodos de análisis de circuitos tratados anteriormente. El número de componentes senoidales que deben manipularse prácticamente en un problema dado puede reducirse a la mitad mediante la combinación de los términos seno y coseno de cada frecuencia en un solo término senoidal que posea el ángulo de fase inicial apropiado. La ecuación de la serie puede expresarse entonces en la forma:

)3.6( ) + nx ( sen c + b = f(x) = y nn

=n

1=n

0

; Donde:

)4.6( b j + a= a

b arctan b + a = c = c nn

n

n2n

2nnnn

La (6.3) desarrollada nos da (haciendo b0 = c0 )

.5)6( )+sen(nx c +...+ +sen(2x c + )+sen(x c + c = f(x)=y nn22110

Donde si la onda no senoidal es una función del tiempo, como ocurre en la representación de tensiones y corrientes alternas, se deberá reemplazar a la variable independiente "x" por "wt".


7

Los ci representan los valores máximos de las componentes de distinta frecuencia. El coeficiente c0 representa la denominada componente de corriente continua, a las componentes senoidales de diferentes frecuencias se las denominan "armónicas" de la onda:

armónica 1 o lfundamenta = ) + wt( sen c ra11

armónica 2 = ) + 2wt ( sen cda

22

armónica 3 = ) + 3wt ( sen cra

33

n orden de armónica = ) + twn ( sen c nn

Al aplicar una ecuación como la (6.5), es muy importante tener presente que cada armónica debe representarse en su propia escala "angular", y que la escala angular de la armónica de orden "n" contiene "n" veces tantos grados (o radianes) como los contenidos en un intervalo dado en la escala fundamental (n ciclos de la armónica de orden n ocupan durante el período de un ciclo de la fundamental). Análogamente, en la ecuación (6.5), el ángulo de fase inicial debe medirse en la escala de la armónica correspondiente, y por lo tanto, tendrá un valor "n" veces mayor que si se lo midiera en la escala fundamental. Siguiendo idéntico razonamiento, si se

varía el ángulo de fase inicial de una onda senoidal, en "“ grados, se modifica los

ángulos de fase inicial de este modo: el de la fundamental en "“ grados, el de la

segunda armónica en “2", el de la tercera armónica en “3" y así sucesivamente.

7. DETERMINACION DE LAS COMPONENTES DE UNA POLIARMONICA. El análisis de una onda no senoidal en sus componentes según una serie de Fourier

consiste en la determinación de los coeficientes b0 , a1 , a2 ... an, b1, b2 ... bn de la ecuación (6.2).

Si se prefiere la forma dada por la (6.5), los coeficientes c0, c1, c2,...., cn y los ángulos:

n21 , ..... , , pueden determinarse con las expresiones:

a

barctan = ; b + a =c ; b = c

n

nn

22

n00

para determinar los coeficientes ai y bi de una armónica dada debe operarse con la expresión (6.2) de modo tal de eliminar todos los términos excepto aquel que contiene el coeficiente buscado. Por supuesto que para la determinación analítica se parte de la hipótesis del conocimiento de la ecuación y = f (x).

a) Determinación del término de frecuencia cero "b0".

Puesto que la integral de una función senoidal o cosenoidal entre los límites que comprenden un ciclo o un número entero de ciclos, es nula, el valor de b0 puede hallarse multiplicando ambos miembros de la ecuación (6.2) por "dx" e integrando

entre los límites 0 y 2:

b 2 =(nx)dxcosb +sen(nx)dx a +dxb=f(x)dx 0

2

0

n

=n

1=n

2

0

n

=n

1=n

2

0

0

2

0

; de donde:

.1)7( dx f(x) 2

1 = b

2

0

0

Si la onda es simétrica respecto al eje de abscisas su valor medio en el intervalo [0–

2] será nulo y también lo será b0 ya que observando la (7.1) se comprueba que b0 es

exactamente el valor medio de f (x) entre 0 y 2.


8

b) Determinación de los coeficientes an de los términos senoidales. Es posible evaluar los coeficientes an de la ecuación (6.2) multiplicando a esta por sen mx dx (donde m es cualquier número entero, distinto de cero) e integrándola entre

los límites 0 y 2:

)2.7(dx )mx( sen )nx( cosb

+dx )mx( sen )nx( sena +dx )mx( sen b =dx )mx( sen f(x)

2

0

n

=n

1=n

2

0

n

=n

1=n

2

0

0

2

0

El primer término del segundo miembro de la (7.2) es nulo por tratarse de la integral

de una función senoidal, entre los límites 0 y 2. Los términos restantes posibles pueden dividirse en los siguientes tipos:

I.- TERMINOS DE LA FORMA: dx )mx( sen )nx(sen a

2

0

n

Aplicando la identidad trigonométrica: ) + ( cos 2

1 - ) - ( cos .

2

1 = sen . sen ;

resulta: dx m)x]+(n cos -m)x -(n cos[ 2

a =dx mx sennx sen a

2

0

n

2

0

n

.

Ahora caben dos posibilidades:

Si 0 =dx m)x]+(ncos -m)x -(ncos[2

a mn

2

0

n

; por ser integrales de

funciones cosenoidales.

La otra posibilidad es que: a =dx (2nx) cos2

a -dx 0 cos

2

a m = n n

2

0

n

2

0

n

II.- TERMINOS DE LA FORMA: dxmx sen .dx nx cosb

2

0

n

Aplicando la identidad trigonométrica: ) - sen(2

1 + ) + sen(

2

1 = sen . cos ;

resulta: dx ]n)x -sen(m +m)x +[sen(n2

b =dx mx sen .nx cosb

2

0

n

2

0

n

.

En este caso, tanto para n = m como para n m, la integral es nula. Sustituyendo estos resultados en la (7.2) se obtiene (para n = m):

na =dx nx sen f(x)2

0

, luego:

.3)7( dx nx sen f(x) 1

= a

2

0

n

c) Determinación de los coeficientes "bn" de los términos cosenoidales. Es posible determinar los coeficientes "bn" de la ecuación (6.2) multiplicando a ésta por cos mx dx (donde m es un número entero, distinto de cero) e integrándola entre

los límites 0 y 2:


9

)4.7(dxmx cosnx cosb

+dx mx cosnx sena +dx mx cosb =dx mx cos f(x)

2

0

n

=n

1=n

2

0

n

=n

1=n

2

0

0

2

0

El primer término del segundo miembro de la (7.4) es nulo por tratarse de la integral

de una función cosenoidal, entre los límites 0 y 2 . En lo que respecta al segundo término, ya se ha demostrado en el párrafo b) que para

la forma: dxmx cosnx sen 2

0

el resultado es siempre nulo, tanto para "n = m"

como para "n m", por su reducción a la suma de dos integrales de funciones senoidales.

Resta analizar entonces a los términos de la forma: dxmx cosnx cos b

2

0

n

.

Aplicando la identidad trigonométrica: ) + (cos 2

1 + ) - (cos

2

1 = cos cos ; resulta

:

dx m)x]+(ncos +m)x -(ncos[2

b =dx .mx cos .nx cos b

2

0

n

2

0

n

Luego para n m resulta: 0 =m)x]dx +(ncos +m)x -(ncos[ 2

b2

0

n

; por ser integrales de

funciones cosenoidales.

Para n = m resulta: b =dx 2nx cos2

b +dx 0 cos

2

bn

2

0

n

2

0

n

Sustituyendo estos resultados en la (7.4),para n = m resulta: b =dx nx cos f(x) n

2

0

.

.5)7( dx nx cos f(x) 2

0

1

= bn

En resumen, con las expresiones (7.1), (7.3) y (7.5) pueden determinarse los

coeficientes de la serie de Fourier. No es necesario que una sola función de la variable independiente cubra a todo el período. Pueden emplearse varias funciones, una para cada uno de los intervalos en que se divida el período. Luego, la integral total

de 0 a 2 se obtendrá como suma de las integrales de las distintas funciones sobre los intervalos respectivos.

7.1. Ejemplos de aplicación

7.1.1. Ejemplo 1

Dada una fuerza electromotriz de las siguientes características: e (t) = 10 V entre

wt = 0 y wt = y e (t) = 0 V entre wt = y wt = 2, determinar las expresiones de la misma: a) En términos de ondas senoidales y cosenoidales; b) En términos de ondas senoidales solamente. Limitar el análisis hasta la quinta armónica.


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Resolución

a) Aplicando las ecuaciones desarrolladas anteriormente resultará:

b0 = 1/2 02 e. dwt = 1/2 02 10. dwt + 1/2 02 0. dwt = 1/2 .10. = 5 V. Los coeficientes an resultarán:

an = 1/ 02 e. sen n(wt) dwt = 1/ 02 10. sen n(wt) dwt + 0 = - 10/n [cos n - 1 ]

Para la fundamental (n = 1): a1 = 20/ = 6,37 V. Para la 2º armónica (n = 2): a2 = 0 V.

Para la 3º armónica (n = 3): a3 = 20/3 = 2,12 V. Para la 4º armónica (n = 4): a4 = 0 V.

Para la 5º armónica (n = 5): a5 = 20/5 = 1,27 V. Los coeficientes bn resultarán:

bn = 1/ 02 e. cos n(wt) dwt = 1/ 02 10. cos n(wt) dwt + 0 = 10/n [sen n (wt)]0 = 0 La serie carece de términos cosenoidales pues todos los bi = 0. Ahora puede escribirse la serie de Fourier, según la forma general dada por la ecuación (6.2), es decir:

e (wt) = 5 + 6,37 sen wt + 2,12 sen 3 wt + 1,27 sen 5 wt + .... [V] Se observa que además de carecer de términos “coseno”, faltan (o son nulas) los armónicos de orden par. b) Para escribir la serie bajo la forma por la expresión (6.5) debemos determinar:

cn = an2 + bn

2 = an2 + 0 luego: cn = an

n = tg-1 bn/an = 0 Por lo tanto, la serie obtenida en a) es la solución también para esta segunda alternativa.

7.1.2. Ejemplo 2 Consideremos la forma de onda, que puede representar la diferencia de potencial aplicada a las placas verticales de un osciloscopio, denominada comúnmente “diente de sierra”. Determinaremos la expresión de dicha tensión como suma de un término constante y una serie de términos senoidales y cosenoidales.

Se designa con T al período de la tensión dada, donde la fase = w t = (2/T) t. En el intervalo [0, T] la función obedece a la ecuación:

y = f (x) = (Um/T). t = (Um/2) wt

Cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier.

b0 = 1/2 02 f(x) . dx = 1/2 02 (Um/2) wt d(wt) = Um/ 2 Los coeficientes an resultarán:


11

an = 1/ 02 f(x) . sen nx dx = 1/ 02 (Um/2) wt . sen nwt dwt Resolviendo la integral resultará:

an = Um / (22. n2) [- nwt cos nwt + sen nwt]02 , haciendo los reemplazos de los límites de integración se obtiene:

an = Um / (22. n2) [- n 2 cos n 2 + sen n 2 + 0 – 0]

para n entero resulta: cos n 2 = + 1 y sen n 2 = 0 ; luego: an = - Um / n

Para la fundamental (n = 1): a1 = - Um/

Para la 2º armónica (n = 2): a2 = - Um/2

Para la 3º armónica (n = 3): a3 = - Um/3 Los coeficientes bn resultarán:

bn = 1/ 02 f(x) cos nx dx = 1/ 02 Um/2 wt . cos nwt dwt Multiplicando por n/n e integrando por partes, resulta:

bn = (Um/22 n2) [ nwt . sen nwt . cos nwt ]02 , reemplazando por los límites de integración:

bn = (Um/22 n2) [ n 2 . 0 + 1 – 0 – 1] = 0 (para cualquier valor de n). Por lo tanto la serie carece de términos cosenoidales. En resumen:

u = Um/2 – Um/ sen wt – Um/2 sen 2wt – Um/3 sen 3wt – ...... o brevemente:

wtnsenn

U

2

Uu

n

1n

mm

8. SIMETRIAS Al analizar distintos tipos de ondas, para ser representadas por una Serie de Fourier, puede ocurrir que no se requieran calcular todos los términos especificados, es decir

los coeficientes b0, an y bn. Se demostrará a continuación que es posible determinar, sin efectuar cálculos previos, que tipo de términos no aparecerán en la serie de Fourier representativa de una función, si se analizan las características de simetría de ésta. Como hemos visto anteriormente dada una función y = f (x) ésta puede ser representada por una serie de las siguientes características:

:tanto lo por ;nx cos bn

=n

1=n

+nx sen an

=n

1=n

+ b0 = f(x) =y

nx cos bn

=n

1=n

+nx sen an

=n

1=n

- b0 = f(-x) =y

puesto que cos (-x) =cos x y sen (-x)= - sen x , sumando f (x) con f (-x) resulta:


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:luego,nx cos bn

=n

1=n

2 + b0 2 = f(-x) + f(x)

nx cos bn

=n

1=n

+ b0 = 2

f(-x) + f(x)

Restando f (x) de f (-x) se obtienen, análogamente: nx sen an

=n

1=n

= 2

f(-x) - f(x)

Ahora la serie de Fourier puede escribirse:

2

f(-x)-f(x) +

2

f(-x)+f(x) =nx cosbn

=n

1=n

+nx senan

=n

1=n

+ b0 =f(x)=y

Esta forma de expresión nos permite establecer:

a) que si se cumple que f (x) = f (-x) , entonces:

:quedecires,nxcosb + b = 0 + 2

f(-x)+f(x) = f(x) =y n

=n

1=n

0

es decir que la serie no

contendrá términos sinusoidales. La figura siguiente muestra un ejemplo de éste tipo de simetría:

b) si se cumple que f(x) = - f(-x), entonces :

nx sen an

=n

1=n

= 2

f(-x)-f(x) + 0 =f(x)=y

es decir que la serie no contendrá el

término independiente, ni los términos

cosenoidales. La figura siguiente muestra un ejemplo de este tipo de simetría: Los casos a) y b) analizados no constituyen los únicos tipos de simetría. En efecto, sea la serie de Fourier:

nxcosbnxsena + b = (x)f =y n

=n

1=n

n

=n

1=n

0

y determinemos f (x') donde x' = x + :

)x(ncosb)x(nsena + b = )+f(x = )xf( n

=n

1=n

n

=n

1=n

0

Ahora bien, cuando n es impar: sen n(x + ) = - sen nx y cos n(x + ) = - cos nx

mientras que cuando n es par: sen n(x + ) = sen nx y cos n(x + ) = cos nx, por lo que puede escribirse:

nxcosb)1(nxsena )1( + b = )+f(x = )xf( n

=n

1=n

nn

=n

1=n

n

0

Sumando ahora f (x) y f (x + ) resulta:


13

pxcosb 2 +px sen a 2 + b 2 = )+f(x + f(x) p=p

2=p

p

=p

2=p

0

donde “p” es un número entero y par (en efecto los términos correspondientes a “n” entero e impar se anulan al efectuar la suma). En resumen:

.1)8( px cos p

1pp

b +px sen p

1pp

a + b0 =2

)+f(x+f(x)

Efectuamos ahora la diferencia f (x) - f (x + ):

qxcosb 2 +qx sen a 2 =)+(xf-(x)f q

=q

1=q

q

=q

1=q

donde “q” es un número entero e impar. En efecto, los términos correspondientes a "n"

entero y par en f (x) y f (x + ) resultan de signos idénticos siempre positivos y se anulan al restarse). Entonces:

.2)8(qx cos bq

=q

1=q

+ qx sen aq

=q

1=q

= 2

)+(xf-(x)f

La expresión (8.1) contiene el término independiente y a todos los términos senoidales y cosenoidales de orden par, y la (8.2) contiene a todos los términos senoidales y cosenoidales de orden impar. Por lo tanto su suma reproduce a la serie completa de Fourier:

= ]2

)+f(x-f(x)[ + ]

2

)+f(x+f(x)[=f(x) =y

qx) cos bq

=q

1=q

+qx sen aq

=q

1=q

( + px) cos bp

=p

2=p

+px sen ap

=p

2=p

+ b 0(

Esta forma de expresar a la serie de Fourier nos permite definir otro tipo de simetría:

c) si se cumple que f(x) = - f (x + )

qx cos bq

=q

1=q

+qx sen aq

=q

1=q

= 2

) +f(x -f(x)+ 0 = (x)f =y

lo que significa que la serie no contendrá ni el término independiente ni a los términos senoidales y cosenoidales de orden par. La función representada a continuación posee éste tipo de simetría. En este tipo de simetría, la forma de onda del semiciclo positivo es igual a la del semiciclo negativo, aunque invertida.

Comúnmente se la denomina simetría

de media onda o simetría respecto de un semiperíodo. A continuación se resumen los tres tipos de simetría encontrados:


14

nx sen an

=n

1=n

+ b0 = f(x) f(-x)=f(x) Si

nx sen an =n

1=n

= f(x) f(-x) - =f(x) Si

qxcosq

1qq

bqxsenq

1qq

a)x(f )+f(x - =f(x) Si

9. APLICACIONES DE LAS CONDICIONES DE SIMETRIA

La gran utilidad de los resultados obtenidos en el párrafo anterior se pone de manifiesto al analizar una función empleando las simplificaciones que surgen de las condiciones de simetría. Consideremos la onda de fuerza electromotriz que muestra en la figura siguiente. Sin embargo, aún es posible ampliar la información si se razona del modo siguiente: es evidente que el valor medio de la función dada no es nulo, por lo que la serie contendrá al término constante o "componente de corriente continua". Entonces, la función dada equivale a la suma de dicho valor medio y de la nueva función representada en la siguiente figura. Todo sucede como si se hubiera restado de la función original el valor medio (b0 = 10/2 = 5). Es decir que: f (wt ) = b0 + g ( wt ).

La función complementaria g(wt) posee los tipos de simetría siguientes: f (x) = - f (-x)

y f (x) = - f (x + ). Por efecto de la simetría (b) se anulan el término constante y todos los términos cosenoidales y por la simetría (c) se anulan los términos senoidales de orden par. Por lo tanto, la función dada será de la forma:

) impar e entero es q ( qx sen q

a=q

1=q

+ b =)wt(f 0

RESUMIENDO: el análisis preliminar de los tipos de simetría nos permite establecer que: la serie carecerá de términos senoidales pares y de todos los términos cosenoidales. Restará calcular únicamente b0 y los coeficientes a q. Debe notarse que el análisis de los tipos de simetría hace innecesario el cálculo de los coeficientes bi. Por el interés que ofrece en la Electrotecnia, analizaremos el contenido armónico de la forma de onda obtenido en el punto 2. Esta onda posee las simetrías:


15

tipo (b) : f (x) = - f (- x) simetría con respecto del origen

tipo (c) : f (x) = - f (x+) = - f (x+T/2) simetría respecto de un semiperíodo. Por efecto de la simetría (b) se anulan el término constante y los términos cosenoidales y por la simetría (c) se anulan los términos senoidales de orden par.

Por lo tanto la onda puede ser resuelta en una fundamental (senoidal) y en

armónicas de orden impar.”

10. METODOS GRAFICOS DE ANALISIS ARMONICO En muchos casos, la función periódica cuya serie de Fourier se desea obtener no puede ser expresada analíticamente (por ejemplo en los casos vistos al tratar el resistor no lineal y el inductor no lineal). La onda puede ser obtenida a partir de un oscilograma, o bien pueden haberse obtenido los valores numéricos de la función correspondientes a diversos instantes del período. Suelen efectuarse registros oscilográficos, para su análisis posterior, cuando se emplean circuitos y máquinas cuyo funcionamiento origina ondas no sinusoidales. Al no disponerse de la expresión explícita de f(x), resulta imposible aplicar las fórmulas deducidas anteriormente para el cálculo de los coeficientes b0, an y bn de la serie:

.1)0(1dx f(x)2

1 = b

2

0

0

.2)0(1dx nx sen f(x)

1 = a

2

0

n

.3)0(1dx nx cos f(x)

1 = b

2

0

n

que permite expresar la función f(x) de la siguiente manera:

.4)0(1dx nx cos bn

=n

1=n

+nx sen n

1nn

a + b0 = f(x) =y

Los coeficientes b0, an y bn son proporcionales a integrales que comprenden a f (x). Al no poderse analíticamente (mediante una ecuación) conocer a f(x), se debe recurrir a procedimientos que sustituyan a las integrales por sumatorias de un número finito de términos. Recuérdese aquí la interpretación geométrica de la integral definida representa el área de la superficie encerrada por la curva f (x) y el eje de abscisas, entre los límites de integración. Un método frecuentemente utilizado para determinar los coeficientes de la ecuación de Fourier consiste en subdividir la onda en un número de fajas verticales igualmente espaciadas, medir la ordenada media de cada una, y aplicar dos ecuaciones de fácil desarrollo que se basan en la suma de las ordenadas medidas y en las correspondientes funciones seno y coseno. El trazado de una cantidad razonablemente grande de ordenadas en este método gráfico debe ser realizado cuidadosamente si se desea que la ecuación resultante posea un buen grado de exactitud. Además, para facilitar el cálculo, que aunque simple, es extenso, se recomienda tabular con claridad los valores de las componentes fundamentales y armónicas, como veremos en el ejemplo subsiguiente. Si la onda no sinusoidal posee simetría, con semiciclos positivos y negativos semejantes, solamente será necesario analizar uno de ellos y calcular para la fundamental y armónicas impares. La figura 10.1 representa el semiciclo positivo de una onda asimétrica dividida en “m” fajas verticales, a intervalos de 180/m grados eléctricos a lo largo del eje x.


16

Obsérvese que las ordenadas promedio de las secciones sucesivas poseen valores y1,

y2, y3 , .... ym , para ángulos q1, q2 , q3, .... qm contados desde el origen.

Para la fundamental, los coeficientes de la ecuación de Fourier pueden determinarse por medio de las siguientes relaciones:

)seny....senysenyseny(m

2a mm3322111

)cosy...cosycosycosy(m

2b mm3322111

Que pueden ser simplificadas a las formas:

)cosy(m

2b)seny(

m

2a 11

En general, para la armónica n

)ncosy(m

2b)nseny(

m

2a nn

Una vez dividida la onda en partes, con tanto mayor número de divisiones cuanto mayor es la precisión requerida, el método siguiente es indicado para la determinación de los coeficientes de los términos seno y coseno de cualquier armónica. 1) Anótense en la primera columna los ángulos desde el origen hasta los centros de

las fajas verticales; 2) Con ayuda de una tabla de funciones seno y coseno o bien una calculadora,

tabúlense los valores de sen n y cos n, cuidando de utilizar el signo correcto para cada uno;

3) Mídanse las ordenadas en los puntos medios de las secciones divididas en el eje x, anotándolas en correspondencia con los ángulos correspondientes;

4) Para el coeficiente del término senoidal an calcúlense los productos y sen n;

5) Para el coeficiente del término cosenoidal bn calcúlense los productos y cos n;

6) Súmense algebraicamente las columnas y sen n e y cos n; 7) Aplíquese la ecuación 10.4. El ejemplo siguiente ilustra la aplicación del método gráfico para una onda simétrica.


17

10.1. EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO GRAFICO

La figura 10.2 representa el semiciclo positivo de una onda no sinusoidal simétrica típica, de corriente de excitación de un transformador. Analizar gráficamente la función y determinar la ecuación de Fourier.

Resolución. Una onda como la dibujada posee una forma caracterizada por una tercera armónica prominente y una débil quinta armónica, superpuestas a la fundamental; las armónicas superiores a la quinta son insignificantes y no serán consideradas en este análisis. Siguiendo el método expuesto, construiremos las tablas y cálculos de los coeficientes de la ecuación de Fourier. Esta será una función de términos seno y coseno, que se reduce, con las discusiones precedentes, a una serie de términos en seno solamente.

1º Paso: Dividimos el eje x, correspondiente al ángulo , en n = 18 partes iguales, correspondiendo 10º cada división. 2º Paso: Del oscilograma de la figura obtenemos los valores de la función “y” para cada punto medio de los intervalos en los que se ha dividido el eje x. Los valores son los siguientes:

y

1 1,3

2 2,4

3 3,1

4 3,7

5 4,4

6 5,2

7 6,1

8 7,3

9 9,3

10 11,5


18

11 13,6

12 15,0

13 15,5

14 14,4

15 11,7

16 6,6

17 2,8

18 0,5

3º Paso: Para cada valor de confeccionamos las tablas que siguen a continuación, para cada armónica (fundamental, tercera y quinta), de las cuales obtenemos el valor de los coeficientes de la serie de Fourier.

Tabulación para la fundamental. El valor de los coeficientes a1 y b1 serán:

)cosy(m

2b)seny(

m

2a 11

De la tabla obtenemos:

a1 = 2/18 x 103,862 = 11,54 b1 = 2/18 x ( - 36,877) = - 4,10


19

Tabulación para la 3º armónica.

)3cosy(m

2b)3seny(

m

2a 33


a3 = 2/18 x 14,83 = 1,65 b3 = 2/18 x 30,44 = 3,38

Tabulación para la 5º armónica.

)5cosy(m

2b)5seny(

m

2a 55


20


a5 = 2/18 x ( - 4,97) = - 0,55 b5 = 2/18 x 5,25 = 0,58 Como en el presente ejemplo, la ordenada “y” está expresada en unidades de corriente, la ecuación de Fourier es:

i (t) = 11,54 sen - 4,10 cos + 1,65 sen 3 + 3,38 cos 3 - 0,55 sen 5 + 0,58 cos 5

Para expresar la ecuación en una forma más conveniente, con términos senoidales solamente, deben determinarse las amplitudes de las corrientes I1, I3 e I5 y los ángulos

1, 3 y 5. Numéricamente será:

I1 = (11,54)2 + ( - 4,1)2 = 12,25

I3 = (1,65)2 + ( 3,38)2 = 3,76

I5 = (- 0,55)2 + (0,58)2 = 0,80

1 = arc tg ( - 4,1/ 11,54) = arc tg ( - 0,355) = - 19,5º (cuarto cuadrante)

3 = arc tg ( 3,38/ 1,65) = arc tg ( 2,05) = 64º (primer cuadrante)

5 = arc tg ( 0,58 / - 0,55) = arc tg ( - 1,055) = 133,5º (segundo cuadrante) La ecuación de la corriente es por lo tanto:

i (t) = 12,25 sen ( - 19,5º) + 3,76 sen (3 + 64º) + 0,80 sen (5 + 135,5º) [A]

11. VALOR EFICAZ DE UNA MAGNITUD POLIARMONICA Para comenzar el estudio de las respuestas de los circuitos a las magnitudes no senoidales (poliarmónicas), resulta lógico comenzar por determinar como responderán los instrumentos de medida de corriente alterna a tales ondas. Esto significa que hay que determinar la relación existente entre el valor eficaz de la poliarmónica y los valores armónicos que la componen. Por definición, el valor eficaz (o valor medio cuadrático) de una función (por ejemplo una corriente) del tiempo, esta dada por:

periodo. el es T donde , dt i T

1 = I 2

T

0

Si la función i = f(t) está expresada mediante una serie de Fourier, la integral de la fórmula anterior tendrá la expresión general:

dt ]nwt) cos.b +nwt .sena( + b[ =dt i 2

nn

=n

1=n

0

T

0

2

T

0

Ahora bien, el cuadrado de una suma de términos como la anterior es igual a la suma de los cuadrados de todos los términos más el duplo de la suma de todos los productos posibles formados tomando de a dos términos. Por lo tanto, es posible evaluar la anterior integral. En efecto, tendremos dos tipos de términos:


21

a) TERMINOS CUADRATICOS: son del tipo ak2. sen2 kwt y bk2. cos2 kwt y pueden escribirse en la forma:

2kwt) cos -(12

a = kwtsen.a

2

k22k y

1k donde 2kwt) cos + (1 2

b = kwtcos.b

2

k22k ; la integral de cada uno de estos

tipos de términos, sobre un periodo completo, dará:

1 k ; 2

T . b y

2

T . a

2

k

2

k .

La contribución del término constante es exactamente: b02.T

b) TERMINOS QUE SON PRODUCTOS ENTRE ARMONICOS DE DISTINTAS

FRECUENCIAS: Son de la forma: lwt cos .kwt sen . b . a . 2 lk , habiéndose ya

demostrado que la integral entre 0 y T de tal tipo de términos es nula. En resumen, resulta que:

:buscado eficaz valor el y ; )b 2n + a 2

n(=n

1=n

2

T + T.b2

0 = dt.i2

T

0

)b+a(=n

1=n

2

1 + b = dt.i2

T

0T

1 = I

2

n

2

n

2

0

Recordando que una serie de Fourier de términos de términos senoidales de amplitudes an y cosenoidales de amplitudes bn puede reducirse a una serie de términos senoidales exclusivamente, de la forma:

2

n

2

n

2

n ba = c :donde , )n + (nwtsen cn

=n

1=n

+ b0 = (wt)f = i

resulta para el valor eficaz :

n

1n

2

n

2

0 )c(b = I ; si la función i = f(wt) se expresa en la forma:

...+)+.sen(2wtI+)+.sen(wtI+I = f(wt) = i 2m1m0 21 ;

su valor eficaz será:

2

I....II + I = I

222

0

mn2m1m

Como cada término I2

mk / 2 equivale al cuadrado del valor eficaz de la armónica de orden k, se obtiene finalmente:

).111( I...I+I = I2

n

2

1

2

0

El valor eficaz de una poliarmónica esta dado por la raíz cuadrada de la suma de

los cuadrados del término constante y de los valores eficaces de las armónicas

componentes.


22

11.1. FACTORES DE ARMÓNICAS Y DE ONDA FUNDAMENTAL

Se llamará factor de armónicas fa a: I

I

f

n

2n

n2

a

Está claro que el numerador de la fracción es el valor eficaz de la función periódica que resulta al suprimir (restar, filtrar) en la función dada, i (t), la onda fundamental y la componente continua. Esta se especifica separadamente.

Se designará por factor de onda fundamental a: I

If 1

f

Habiéndose prescindido de la componente continua (I0 = 0) , es evidente que se

cumple que: 1ff2

f

2

a

11.2. VALORES DE DISTORSION Los valores de distorsión están definidos en porcentaje (%) de cantidades eléctricas, estos valores son muy utilizados para conocer el grado de contaminación de las redes eléctricas. La desviación de una onda distorsionada de su onda fundamental puede

ser estimada con la ayuda de la distorsión armónica total (THD). Esta puede estar dada en términos porcentuales. Los valores eficaces o RMS de la tensión y la corriente son:

2

H

2

1

T

0

22 VVdtvT

1V

2

1

22

1h

hH VVVV

2

H

2

1

T

0

22 IIdtiT

1I

2

1

22

1h

hH IIII

Siendo IH y VH la suma de las componentes armónicas eficaces al cuadrado de la corriente y la tensión, respectivamente.

Distorsión armónica total (THD):

De tensión: %100xV

....VV%THD

1

2

3

2

2

V

Otra expresión es: %100x1V

V

V

V%THD

11

HV

De corriente: %100xI

....II%THD

1

2

3

2

2

I

Otra expresión es: %100x1I

I

I

I%THD

11

HI

Para las armónicas individuales: %100xV

VIHD

1

nn

La potencia de distorsión de corriente es: H1I IVD


23

La potencia de distorsión de tensión es: H1V VID

La distorsión total de demanda es: %100xI

....II%TDD

MAXIMADEMANDA

2

3

2

2

12. POTENCIA ACTIVA ASOCIADA A ONDAS POLIARMONICAS Supóngase que las ondas de la caída de tensión y la corriente en una impedancia tienen la forma general dada por la (6.3).

)+sen(nwtU+...+)+(2wtsenU+)+(wtsenU+U=(t)f=uumum1um0 nn221

)+(nwtsenI+...+)+(2wtsenI+)+(wtsenI+I=g(t)=i

imim1im0 nn221

La potencia activa o media está dada por:

dt i. u. T

1 = P

T

0

; Luego:

dt ...]+)+sen(wtI+I[ x +...]+)+sen(wtu+U[ T

1 = P im0um0

T

0

1111

Esta ecuación comprende productos de términos de igual frecuencia de la forma:

)in - un

(cos.2

Imn.Umn = dt).in

+sen(nwtImn

.)un+(nwtsenUmn

T

0

T

1

y productos de términos de distinta frecuencia de la forma:

0 = ).dtik+.sen(kwtImk

).un+sen(nwt

nm

UT

0T

1

por lo demostrado anteriormente. Luego la potencia activa resulta:

) - ( cos 2

I.U + I.U = P iu

mmn

1n

00 nn

nn

recordando que: Umn . Imn / 2 = Un . In

(producto de valores eficaces) y que:

niu = - nn

(desfasaje entre armónicas de igual orden) ; se puede escribir:

....... + cos.I.U + cos.I.U + I.U = P22211100

La potencia activa total es la suma de las potencias desarrolladas por las

componentes de corriente continua y de las potencias activas desarrolladas por

las armónicas de tensión y corriente del mismo orden.

Conviene recalcar que todo par de armónicas de tensión y corriente de orden distinto no contribuyen al desarrollo de potencia media o activa alguna. De igual modo, si una armónica de cierto orden aparece en una de las ondas y no de la otra, tampoco contribuye a la potencia media.


24

13. POTENCIA REACTIVA ASOCIADA A ONDAS POLIARMONICAS Por definición, la potencia reactiva total desarrollada por ondas poliarmónicas de tensión y corriente como las expresadas en forma general al comienzo del párrafo

anterior, está dada por la suma algebraica de las potencias reactivas

desarrolladas por las arrmónicas de tensión y corriente del mismo orden.

.1)3(1 ..... + sen.I.U + sen.I.U = Q222111

14. POTENCIA COMPLEJA Y POTENCIA APARENTE. POTENCIA DE

DEFORMACION Es evidente que la potencia compleja total resultará de la suma geométrica de las potencias complejas correspondientes a las distintas armónicas. Matemáticamente:

... + S + ....... +SSS.

n2

.

1

.

Q j + P = Q j + P = S n

=n

1=n

n

=N

1=N

; y el módulo resulta :

)1.14(QmodPmodSmodn

0n

2

n

n

0n

2

n

Si definimos a la potencia aparente (como oportunamente se estableció) como el producto entre los valores eficaces de las caídas de tensión y corriente en una impedancia, resulta para ondas poliarmónicas que:

.2)4(1 IU = I.U2

n

=n

0=n

2

n

=n

0=n

.

Si se tratara de ondas senoidales puras, las (14.1) y (14.2) arrojan igual resultado:

I.U = )sen.I(U. + )cos.I(U. = S mod22

Pero tratándose de poliarmónicas, puede suceder en general que la presencia de armónicas de cierto orden en la onda de tensión y su ausencia en la onda de corriente (o viceversa) contribuya a un aumento de la potencia aparente, pero no así de la potencia compleja.

Por lo tanto la potencia aparente puede ser igual o mayor que el módulo de la

potencia compleja.

Definimos entonces como potencia de

deformación a la raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de la potencia aparente y del módulo de la potencia compleja:

.3)4(1 )Smod( - )(U.I = D22

Es obvio que si las ondas son senoidales puras, D = 0. Las potencias definidas en los párrafos anteriores y en éste permiten establecer una interpretación geométrica ilustrada en la figura que sigue. En este diagrama, las potencias activa, reactiva y de deformación se representan según las direcciones de los tres ejes normales


25

entre si. Las potencias activa y reactiva pueden ser positivas o negativas, pero la potencia de deformación es siempre considerada como positiva (raíz positiva de la expresión (14.3). En el caso que muestra la figura, se supone que las tres potencias son positivas. En el diagrama se definen varias otras potencias, que reciben los nombres indicados en la lista de referencia:

P = potencia activa; S = potencia compleja; Q = potencia reactiva; D = potencia

de deformación.

15. FACTOR DE POTENCIA PARA ONDAS POLIARMONICAS Por definición, es el cociente entre la potencia activa y aparente:

)1.15

I.U

cosnInU

IU

PP.F

N

0N

2n

N

0N

2n

n

0n

n

Aquí no es posible considerar al factor de potencia como igual al coseno de un ángulo de desfase, puesto que en general las armónicas componentes poseen diferentes ángulos de fase. Puede suceder que el factor de potencia, así definido por la (15.1), sea menor que la unidad aunque la carga tenga características resistivas puras.

16. POLIARMONICAS EN SISTEMAS TRIFASICOS Los generadores sincrónicos trifásicos (alternadores trifásicos) no suministran tensiones senoidales puras. Las ranuras en las que están alojados los conductores del inducido introducen irregularidades en la tensión generada y la inducción magnética del sistema inductor no está distribuida a lo largo del entrehierro en la forma que se requeriría para obtener una tensión senoidal. En el estudio teórico de estas máquinas se comprueba que la onda deformada

resultante puede resolverse en una fundamental y armónica de orden impar

exclusivamente. Si consideramos los tres devanados de fase de un alternador trifásico, cuyo inductor gira con un sentido tal que la secuencia u orden de sucesión de las tensiones de fase

se supone sea: e ab - e cd - e ef . Las tres tensiones de fase se suponen de igual forma de onda. Por consiguiente, y para la secuencia adoptada, se las puede expresar de este modo:

..+)+(5wtsenE+)+(3wtsenE+)+(wtsenE=e 5m31mab 53m1

..+)600-+sen(5wtE+)360-+sen(3wtE+)120-+sen(wtE=e 5m3m1mcd 531

...+)1200-+sen(5wtE+)720-+sen(3wtE+)240-+sen(wtE=e 5m3m1mef 531

En efecto, como se anticipó en el punto 6, si se modifica el ángulo de fase inicial de la fundamental en 120º el de la 3º armónica se modifica en 360º, etc. Las tres expresiones anteriores escribirse también de esta forma:

...+)+sen(5wtE+)+sen(3wtE+)+sen(wtE = e 5m3m1mab 531

...+)240-+sen(5wtE+)+sen(3wtE+)120-+sen(wtE = e 5m3m1mcd 531

...+)120-+sen(5wtE+)+sen(3wtE+)240-+sen(wtE = e 5m3m1mef 531


26

Para representar a las tres tensiones poliarmónicas anteriores, se necesitan tanto diagramas fasoriales como frecuencias distintas existan; pues se supone que un fasor

gira en el plano con la velocidad angular w = 2 f. Pero antes de proceder a su representación, destacamos los hechos que surgen de estudiar las tres últimas expresiones:

1.- La fundamental y todas las armónicas obtenidas agregando un múltiplo de 6

a la fundamental, poseen la misma secuencia (en este caso la secuencia ab–cd – ef). Esto se comprueba si se escriben las expresiones de las armónicas 7, 13, etc.

2.- La quinta armónica y todas las

armónicas obtenidas agregando

un múltiplo de 6 a la quinta

poseen la misma secuencia, la

cual es la inversa de la secuencia de las fundamentales (es decir, resulta la secuencia ab – ef–cd). Se comprueba examinando las expresiones antes escritas para la quinta armónica y desarrollando luego las expresiones de las armónicas de orden 11, 17, etc.

3.- Las terceras armónicas y todos los múltiplos de la tercera armónica están en

fase.

Se comprueba examinando las expresiones antes escritas para la tercera armónica y desarrollando luego las expresiones de las armónicas de orden 9, 15, etc. Debe

entenderse aquí como "múltiplos" a aquellas armónicas impares cuyo orden es múltiplo de 3. En la figura siguiente se representan estos resultados: Si los devanados del alternador trifásico están conectados en triángulo, la suma fasorial de las tensiones de fase de cada armónica de frecuencia

NO TRIPLE es cero y por lo tanto, por el triángulo no habrá circulación de corrientes no triples. Pero la suma de las tensiones de fase de

frecuencia triple (o múltiplos de ésta) NO ES

CERO y es igual al TRIPLE de la tensión de esa frecuencia. Luego circulará por el interior del triángulo una corriente constituida por componentes de frecuencias triple.

Consideremos la tercera armónica (lo mismo sucederá para la 9º, 15º, etc.): la componente de corriente de tercera armónica que circulará por el triángulo valdrá:

Z 3

E 3 = I

3

3

; donde Z es la impedancia de cada devanado por fase.

Es decir que I3 = E3/Z (ver figura). La expresión de la tensión compuesta U L de

frecuencia triple será: 0 = Z . I - E = U 33L

Conclusión: si el alternador esta conectado en triángulo, pueden circular por

este corrientes de frecuencia triple, pero en las tensiones de línea no aparecerán

componentes de tal frecuencia.


27

Esta conclusión se aplica igualmente a los secundarios en triángulo de los transformadores trifásicos. Nótese que si se interrumpiese la continuidad (apertura del triángulo), cesa la circulación de las 3º armónicas de corriente y aparecen 3º armónicas de tensiones compuestas. Veamos que sucede si los devanados están conectados en estrella.

Para cada armónica de frecuencia no triple: faselínea U . 3 = U puesto que para

frecuencias no triples las tensiones de fase forman ternas simétricas.

Para la 3º armónica: Ulínea = 0, puesto que resulta de la diferencia entre dos tensiones

en fase.

Conclusión: también en la conexión

estrella, las tensiones de línea carecen de

componentes de frecuencia triple. Por lo tanto, en los circuitos trifásicos trifilares, cualquiera sea la forma de conexión del generador, aunque en las fases de este se generan tensiones de frecuencias triple, no habrá circulación de corrientes de frecuencia triple entre el generador y su carga. Finalmente analizaremos el caso del circuito trifásico tetrafilar, que se puede observar en la figura que sigue. Por lo expuesto recién, las tensiones compuestas carecen de 3º armónica. Pero la presencia del neutro permite que cada fase del generador pueda operar independientemente del resto (se supone despreciable la impedancia del neutro). Para la 3º armónica: Ulínea = 0, puesto que resulta de la diferencia entre dos tensiones de fase. Por lo tanto, en cada fase se establece un circuito cerrado a través del cual puede circular una corriente de frecuencia triple en respuesta a la presencia de 3º armónica en la tensión de fase. Estas corrientes de triple frecuencia circulan hacia las cargas a través de los conductores de línea y retornan por el neutro. Como las tres corrientes de 3º armónica están en fase resulta: )línea( I . 3= )neutro( I 33 .

17. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Dado el circuito RLC serie al que se aplica una excitación no senoidal que puede ser expresada en términos de una serie como:

u (t) = 40 + 10 sen wt + 30 sen 3wt +20 cos wt + 10 cos 3wt V.

Los elementos que componen el circuito valen: R = 80 , L = 1 H, C = 2 F y la

frecuencia fundamental f1 = 50 Hz.

Se solicita encontrar la expresión para la corriente i (t) , el valor eficaz de la

corriente, el valor eficaz de la potencia activa P, reactiva Q , compleja S, aparente

U.I y de deformación D y el factor de potencia.

Escribiremos la función excitación u(t) en términos de senoidales:

u (t) = U0 + U1 sen ( wt + 1 ) + U3 sen ( 3wt + 3 )


28

U1 = 102 + 202 = 22,4 V ; U3 = 302 + 102 = 31,62 V

u (t) = 40 + 22,4 sen ( wt + 26,57º ) + 31,62 sen ( 3wt + 71,57º )

En forma polar: U1 = 22,4 26,57º ; U3 = 31,62 71,57º

La impedancia valdrá: Zn = R + j ( XL – XC) = R + j ( n w L – 1 / n wC) En nuestro caso: Zn = 80 + j ( n . 314 . 1 – 1 / n . 314 . 2 x 10-6 ) Para cada armónica resulta:

Z0 = ; Z1 = 80 – j 1278 = 1281 - 86,42º ; Z3 = 80 + j 411 = 419 78,98º

La corriente valdrá:

I0 = U0 / Z0 = 0 I1 = U1 / Z1 = 0,0175 112,99º I3 = U3 / Z3 = 0,0755 - 7,41º El valor eficaz de la corriente será:

I = 02 + (0,01752 + 0,07552) / 2 = 0,0548 A Las expresión de la corriente poliarmónica como función del tiempo será:

i (t) = 0,0175 sen ( 314 t + 112,99º ) + 0,0755 sen ( 942 t – 7,41º)

La potencia activa será: P = U0 I0 + U1 I1 cos ( 26,57º - 112,99º) + U3 I3 cos ( 71,57º + 7,41º) = P = 0 + 0,0122 + 0,228 = 0,24

P = 0,24 W

La potencia reactiva será: Q = U1 I1 sen ( 26,57º - 112,99º) + U3 I3 sen ( 71,57º + 7,41º) = Q = - 0,196 + 1,172 = 0,976 VAr

Q = 0,976 VAr

La potencia compleja resulta:

S = P + j Q = 0,24 + j 0,976 = 1,0051 76,19º VA

mod S = 1,0051 VA

La potencia aparente será: Primero calculamos el valor eficaz de la tensión aplicada: u (t) = 40 + 22,4 sen ( wt + 26,57º ) + 31,62 sen ( 3wt + 71,57º )

U = 402 + (22,42 + 31,622) /2 = 48,49 V Utilizando la corriente eficaz ya calculada la potencia aparente resulta:


29

U . I = 48,49 . 0,0548 = 2,66 VA

Las potencia de deformación D valdrá:

D = (U . I)2 – (mod S)2 = 2,463 VAD

El factor de potencia valdrá:

f.p. = P / U . I = 0,0902 Glf/2016

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