análisis combinatorio
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MSc. Carlos Pea
CICLO 2014-2 Mdulo:II Unidad: 1 Semana: 2
ESTRUCTURAS DISCRETAS
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TTULO DEL TEMA
ANLISIS COMBINATORIO
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ORIENTACIONES
Lea detenidamente este documento y utilicelo en el
proceso de estudio de la semana 2
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Objetivo
Conocer los aspectos generales ANLISIS COMBINATORIO.
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Combinatoria
Tcnicas bsicas de conteo
Induccin completa
Principio de Inclusin-exclusin
Principio del palomar
Relaciones de recurrencia
Funciones generatrices
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Combinatoria
Tcnicas bsicas de conteo
(Grimaldi Cap 1)
Reglas de la suma y el producto (1.1)
Arreglos con y sin repeticin (1.2)
Permutaciones con y sin repeticin (1.2)
Combinaciones sin repeticin (1.3)
Teorema del binomio (1.3)
Combinaciones con repeticin (1.4)
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Combinatoria
Qu es la combinatoria?
Qu problemas trata de resolver?
Para qu sirve?
Cundo surgi?
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Combinatoria
Qu es la combinatoria?
Del lat. combinre = com binare
Com = unir
Binare= dos cosas.
Unir dos o ms cosas para formar un nuevo
objeto.
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Combinatoria
Combinacin de objetos:
Se puede?
Cmo?
Cunto?
Propiedades
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Combinatoria
Combinacin de objetos:
Se puede? Existencia
Cmo? Algoritmos
Cunto? Conteo
Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos)
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Tcnicas bsicas de conteo
Regla del producto:
Si para formar los objetos en el 1er paso tenemos m posibles salidas y en el segundo n posibles salidas independientes del paso anterior el total de objetos formados ser m n
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Tcnicas bsicas de conteo
Regla del producto
Arreglos con repeticin ARmn = mn
Arreglos sin repeticin Amn = m(m-1)(m-n+1) Permutaciones (sin repeticin): Amm = m!
Arreglos con repeticin
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Permutaciones con repeticin Ejemplo:
1. aab, aba, baa , bba, bab,abb
3x2 = 6
32 = 9
3x2x1=6 Son 3 en lugar de 3! = 6.
(m) (m-1) ... (m-n) = (3) (3-1) (3-2) = 6
1. aabc, aacb, abac, acab, abca, acba, bcaa,cbaa
bbac, bbca, babc, bcba, bacb, bcab, acbb, cabb
ccba, ccab, cbca, cacb, cbac, cabc, bacc, abcc
Son 12 en lugar de 4! = 24.
4(4-1)(4-2)(4-3) = 4x3x2x1= 24
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Permutaciones con repeticin
Regla general:
la cantidad de permutaciones de una palabra
aaaa bbbb cccc es igual a
Donde n1, n2, n3 es la cantidad de as, bs, cs, etc
Obviamnete n1 + n2 + n3 + nk = n.
!!...!
!
21 knnn
n
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Permutaciones con repeticin
Ejemplo: Tableros de ta-te-ti
9x2= 18 8! = 40,320 4! = 24
92 = 81 7!= 5,040 3! = 6
9! = 362,880 6!= 720 2! = 2
5!= 120
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Permutaciones con repeticin
Ejemplo: Tableros de ta-te-ti
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Permutaciones con repeticin
Cuntos tableros de ta-te-ti hay?
a
a b
c c
c
c c c
a
a b
c c
c
c c
a
a b
c
c
c c b b
a
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Permutaciones con repeticin
Cuntos tableros de ta-te-ti hay?
9x3 = 27
93 = 729
9! = 362,880
a
a b
c c
c
c c c
a
a b
c c
c
c c
a
a b
c
c
c c b b
a
acccbaccc acccbabcc acacbabcc
-
Permutaciones con repeticin
Cuntos tableros de ta-te-ti hay?
acccbaccc acccbabcc acacbabcc
9!/(2!1!6!)=9x8x7/2 =252
9!/(2!2!5!)=9x8x7x6/4= 756
9!/(3!2!4!)=9x8x7x6x5/12=1260
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Permutaciones con repeticin
o El total se obtiene sumando los totales
parciales.
o Hemos aplicado la
Regla de la suma que dice as: si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o ms) tipos distinto,
basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los
resultados.
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Estamos contando de ms?
Son iguales?
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Simetras
Suele dar lugar a problemas difciles
Teora de Redfield y Polya: ver por ejemplo
Grimaldi 16.9 a 16.11 involucra teora de
grupos (Discreta 2) y funciones
generatrices
Casos sencillos: permutaciones circulares,
combinaciones
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Permutaciones circulares
Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d
Cuntas formas hay de ubicarlas en una mesa circular?
Sea x dicha cantidad
a
b
c
d a
d
c
b
a
b
c
d
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Permutaciones circulares
Paso 1 : elijo una de las x permutaciones circulares
Paso 2: la giro de 4 formas posibles
Obtengo: todas las 4! Permutaciones
(regla del producto) x4=P=4!
x = 4!/4 = 3! x = 4 x 3 x 2 x 1 / 4 = 3!
a
b
c
d = a
b
c
d
=
a
b
c
d
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Permutaciones circulares
En general si tengo n smbolos
Hay n giros posibles x n = n!
De donde x = n!/n = (n-1)!
Qu formula ms sencilla!
Habr otra forma de pensarla directamente que
de ese resultado?
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Permutaciones circulares
Otra forma de pensarlo
Fijo a arriba y permuto las otras (n-1)
a
b
c
d
a
b
d
c
a
c
b d
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Simetras
La combinatoria involucra:
Objetos: generalmente cantidad finita de tipos
Forma de combinarlos: geometra (lineal, circular,
cuadrada, etc)
Simetra: asociada (a la geometra) o ad hoc.
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Combinaciones (sin repeticin)
Otra simetra sencilla: toda permutacin da lugar a objetos equivalentes = no importa el orden
Ejemplo: Arreglos de 4 en 3.
Objetos: a, b, c, d acd = adc = dac = etc Cuntos tenemos? 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca
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Combinaciones
Permutando las combinaciones obtenemos los
arreglos, por lo tanto (regla del producto)
Cnm n! = An
m
Cnm= An
m/ n! = m!
(m-n)! n!
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Combinaciones con repeticin
Ejemplo:
De cuntas formas puedo pedir una media docena de biscochos?
Supongamos cuatro tipos: a, b, c, d
Importa el orden?
Ejemplos: aaabbb, aabbcc, etc
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Combinaciones con repeticin
aaabbb = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d
aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d
3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0
2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0
aaabbb = xxx|xxx||
aabbcc = xx|xx|xx|
abbcdd?
x|xx|x|xx
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Combinaciones con repeticin
aaabbb = xxx|xxx||
aabbcc = xx|xx|xx|
abbcdd =x|xx|x|xx
1ero) siempre hay 6 x y 3 |
2do ) cualquier permutacin de 6x y 3 | da
lugar a una eleccin distinta
Cuntas hay?
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Combinaciones con repeticin
Cuntas hay? Permutaciones con repeticin
de 6+3 letras con 6 y 3 repetidas =
(6+3)!/(6!3!) = C93
En general para CRmn son m x y n-1 |
Total: (6 + 4 1)! / 6! (4-1)! =
9! / 6! 3! = 9 x 8 x 7 / 3 x 2
3 x 4 x 7 = 84
m!(n-1)! = Cnm+n-1
(m+n-1)!
-
Resumen
Repeticin
Orden
SI
NO
SI
ARmn
Amn
NO
CRmn
Cmn
-
Resumen
Repeticin
Orden
SI
NO
SI
ARmn = mn
Amn =
NO
CRmn = Cm+n-1
n
Cmn =
!)!(
!
nnm
m
!)!(
!
nnm
m
-
Repeticin
Orden
SI
NO
SI
ARmn = mn =
64 = 1296
Amn =
6!/(6-4)!4! =
6 x 5 / 2 = 15
NO
CRmn = Cm+n-1
n
(6 + 4 1)! /
6! (4-1)! =
9! / 6! 3! = 84
Cmn =
= 15
!)!(
!
nnm
m
!)!(
!
nnm
m
Resumen
-
Otra forma de ver las cosas
Combinaciones con repeticin de 4 en 6
aaabbb = xxx|xxx|| =
3a+3b+0c+0d
Distribucin de objetos en cajas: objetos y cajas
distinguibles o no.
Pueden haber cajas vacas o no.
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Distribucin de objetos en cajas
Objetos Distiguibles
Cajas Distinguibles
SI
NO
SI
? (fcil)
CRmn
NO
?(no tanto)
?(difcil)
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Otra forma de ver las cosas
Frmula del Binomio:
Por esta razn a los coeficientes Cni tambin se los llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente forma
n
i
inin
i
n baCba0
)(
i
n
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Frmula del Binomio
Demostracin combinatoria
(a+b)2 = (a+b) (a+b)= (a1+b1) (a2+b2)
= (a1+b1) a2+ (a1+b1) b2 = a1 a2 +b1 a2+ a1b2 +b1b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = (a1+b1) (a2+b2) (a3+b3)
= (a1 a2 +b1 a2+ a1b2 +b1b2) (a3+b3)
= a1 a2a3 +b1 a2a3+ a1b2a3 + + a1b2b3 + b1b2b3 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
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Frmula del Binomio
Demostracin combinatoria
a1 a2a3 +b1 a2a3+ a1b2a3 + + a1b2b3 + b1b2b3 Vemos que por cada trmino comienza con una a1 o
una b1 sigue con a2 o b2 y termina con a3 o b3. Entonces podemos pensar que los trminos se construyen en un proceso de tres pasos:
Paso 1 Elijo una de las letras del 1er factor (a1+b1)
Paso 2 Elijo una de las letras del 2do factor (a2+b2)
Paso 3 Elijo una de las letras del 3er factor (a3+b3)
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Frmula del Binomio
Por otro lado los trminos finales se obtiene al borrar los ndices y juntar los trminos iguales. En el ejemplo:
aaa +baa+ aba + + abb + bbb = a3+3a2b+3ab2+b3
De donde sale el 3 de a2b ?
De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos pasos a y en el otro b.
De cuantas formas se pueden elegir 2 a?
Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir dichas a, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo C32 formas de hacerlo.
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Frmula del Binomio
En general
(a+b)n = i aibn-i
Donde i ser todas las formas de elegir en i pasos la letra a, es decir elegir i factores de entre n: Cni.
n
i
inin
i
n baCba0
)(
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Algunas Consecuencias
Ejemplo 1:
(a+b)3 =
a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
a3b0 = a1 a2
a3 = a3
a2b1 = a1 a2
b3 + a1 b2
a3 + b1 a2
a3 = 3a2b1
a1b2 = a1
b2 b3 + b1
a2 b3 + b1
b2 a3 = 3a
1b2
a0b3 = b1 b2
b3 = b3
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Algunas Consecuencias
Ejemplo 1:
(1+x)n = Cni 1ixn-i= Cni
xn-i =(x+1)n = Cni xi1n-i= Cni
xi
Por lo tanto: Cni = Cn
n-i
Ejemplo 2:
0= (-1+1)n = Cni (-1)i1n-i= Cni
(-1)i
Ejemplo 3: 2n = (1+1)n = Cni
(1)i1n-i= Cni Este ejemplo adems nos da una cota (grosera) de
los coeficientes binomiales.
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Libros de matemtica
http://bibliotecabochini.netfirms.com/informa
cion.htm
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GRACIAS