análisis de fourier para señales y sistemas de tiempo...

Análisis de Fourier para Señales y Sistemas de Tiempo Discreto


2

Respuesta de un sistema LTI a las exponenciales complejas

x[n] h[n] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k

y n h n x n h k x n k∞

=−∞

= ∗ = −∑

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )n n k n k n0 0 0 0 0 0

k kSi x n z y n z h k z h k z z H z

∞ ∞−

=−∞ =−∞

⎧ ⎫= ⇒ = = ⋅ = ⋅⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑

( )

n0

0

z Autofunción de los Sistemas LTIH z Autovalor asociado

→

→

0

0

j0 0

j0 0

Si z 1 z r e Transformada z

Si z 1 z e Transformada (Análisis) de Fourier

Ω

Ω

≠ ⇒ = →

= ⇒ = →

Se expresarán las secuencias como combinación lineal de EXPONENCIALES COMPLEJAS

[ ] ( )knk

kk

k

nkk zHzanyzanx ∑∑ =⎯→⎯=][


3

Desarrollo en Serie de Fourier (DSF)2

j nj n Ne eπ

Ω =La secuencia exponencial compleja es:

( )2 2 2 2j n N j n j N j nN N N Ne e e eπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ = =Periódica en “n”, de periodo fundamental N

( )j 2 r n j n j 2 r n j ne e e eΩ+ π Ω π Ω→ = =Periódica en “Ω”, de periodo fundamental 2π

[ ]( )

[ ]2 2 2 2

j k r N n jk n j r N n jk nN N N N

k r N kn e e e e nπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+φ = = = = φ

Las exponenciales complejas armónicamente relacionadas entre síson periódicas en “k” de periodo N

[ ]2

jk nN

k n eπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠φ =

Esto implica que sólo hay N señales linealmente independientes[ ]k nφ


4

Desarrollo en Serie de Fourier (DSF)

[ ]2N 1 N 1 jk nN

k k kk 0 k 0

x[n] a n a eπ− −

= =

= Φ =∑ ∑

Una secuencia x[n] periódica de periodo N podrá expresarse como combinaciónlineal de las N exponenciales complejas armónicamente relacionadas entre sí:

Ecuación de Síntesis del DSF

ak : Coeficientes del DSF

Debido a la periodicidad en k de Φk[n] , la expresión anterior se puede generalizar:

[ ]2jk nN

kk N

x n a eπ

=< >

= ∑

k = <N> Indica cualquier conjunto de N valores enteros consecutivos en k


5

Obtención de los Coeficientes del DSF

Ecuación de Análisis del DSF:

Planteando un sistema de N ecuaciones:

[ ]2jk nN

kk N

1a x n eN

π−

=< >

= ∑

N-1

kk=0

2πN-1 jkN

kk=0

2πN-1 jk (N-1)N

kk=0

x[0]= a

x[1]= a e

x[N-1]= a e

∑

∑

∑

Identificación si x[n] está expresada como combinación de exponenciales:

[ ]2 π 2 π

jm n -jm nN N2π 1 1Ejemplo : x n =cos mn = e + e

N 2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Los coeficientes ak forman una secuencia periódica de periodo N


6

Obtención de los Coeficientes del DSF: Ejemplo 1

1.- Sistema de ecuaciones

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=+−−==

=−+−==

=−−+==

=+++==

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

13

22

01

10

33

210

3

0

32

3210

3

0

22

3210

3

0

12

3210

3

0

04

2

jaeajaaeax

aaaaeax

jaajaaeax

aaaaeax

j

k

kj

k

k

kj

k

k

kj

k

k

kj

k

ππ

π

π

π

41;1;

41;

21

3210jaajaa −

−==+

−==

2.- Ecuación de análisis

( )302141

][41][1

23

3

0

21

0

2

≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

===

−−

=

−−

=

−

∑∑

kee

enxenxN

a

jkjk

n

njkN

n

nN

jk

k

ππ

ππ

Secuencia periódica de periodo N = 4


7


[ ] ( )nsennx 0Ω=

1.- NperiododeperiódicaSecuenciaN

⇒=Ω 12

0

π

[ ] ( ) nN

jnN

je

je

jn

Nsennsennx

πππ 22

0 21

212 −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω=

jaaa

jaa N 2

1;...;0;21;0 11210 −===== −−

2.- NperiododeperiódicaSecuenciaNm

⇒=Ωπ2

0

[ ] ( ) nN

jmnN

jme

je

jn

Nmsennsennx

πππ 22

0 21

212 −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω=

0;...;21;...;

21;;0;0 110 =−===== −−− NmmNm a

jaa

jaaa …

3.- periódicanoSecuenciairracional ⇒Ωπ2

0


8


N1-N1 N-N

........

n

x[n]

( ) 0 1 0 10 11 0 1

0 001

1 1jkΩ N + -jkΩ N +-jkΩ N +12πN jkΩ N 2 2-jk nN

k Ω Ω-jkΩjk -jkn=-N 2 2

0 1

0

1 1 e -e 1 e -ea = e = = =N N 1-e N

e -e1sen kΩ N +

1 2 = k 0 , ±N , ±2N , LΩN sen k2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∀ ≠

∑

1k

2N +1a = k = 0 , ±N , ±2N , LN

∀


9


0

1

2

12

2 πΩ= Ω =

⎛ ⎞Ω +⎜ ⎟⎝ ⎠=Ωk

k kN

sen NN a

senRepresenta los coeficientes como muestras de una envolvente

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2π/10 6π/10

π 14π/10

18π/10

Envolvente 2N1 + 1 = 5 ; N = 10


10


0

1

2

12

2 πΩ= Ω =

⎛ ⎞Ω +⎜ ⎟⎝ ⎠=Ωk

k kN

sen NN a


0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2N1 + 1 = 5 ; N = 20 Envolvente

2π/10

6π/10

π 14π/10

18π/10 2π


11


0

1

2

12

2 πΩ= Ω =

⎛ ⎞Ω +⎜ ⎟⎝ ⎠=Ωk

k kN

sen NN a


0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2N1 + 1 = 5 ; N = 40

2π/10

6π/10

π 14π/10

18π/10 2π

Envolvente


12


0

1

2

12

2 πΩ= Ω =

⎛ ⎞Ω +⎜ ⎟⎝ ⎠=Ωk

k kN

sen NN a


Al representar la función Nak, se observa que la variación de N no afecta a la envolvente.

El aumento del periodo de la secuencia supone una disminución en el espaciamiento entre muestras.

En el límite, , el espaciamiento entre muestras tendería a cero, por lo que la representación espectral se confundirían con la envolvente. Por otro lado la secuencia dejaría de ser periódica.


13

Transformada de Fourier

2jk nN

kk N

x[n] a eπ

=⟨ ⟩

= ∑

1 1

1 1

2 2 2 2N Njk n jk n jk n jk nN N N N

kn N n N n N n

1 1 1 1a x[n]e x[n]e x[n]e x[n]eN N N N

π π π π∞− − − −

=⟨ ⟩ =− =− =−∞

= = = =∑ ∑ ∑ ∑


14

Transformada de Fourier

Definiendo la envolvente de Nak como: j n

nX( ) x[n]e

∞− Ω

=−∞

Ω = ∑

( )0

2jk n jk nNk 0

n n

1 1 1a x[n]e x[n]e X kN N N

π∞ ∞− − Ω

=−∞ =−∞

= = = Ω∑ ∑

Aplicándolo a la ecuación de síntesis del DSF:

( ) ( )0 0jk n jk n0 0 0

k N k N

1 1x[n] X k e X k eN 2

Ω Ω

= =

= Ω = Ω Ωπ∑ ∑

[ ] [ ]

0 0Haciendo N

x n x n

⎧ Ω →⎪→∞⇒ ⎨⎪ =⎩

[ ] ( )∫ Ω⋅⋅Ω⋅=⇒ Ω

ππ 221 deXnx nj


15

Transformada de Fourier Interpretación gráfica:

( ) njeX Ω⋅Ω

[ ] ( )∑=

Ω⋅Ω⋅Ω⋅=Nk

njkekXnx 0002

1~π

Periódica de periodo 2π.

[ ] ( )∫ Ω⋅⋅Ω⋅= Ω

ππ 221 deXnx nj

∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njenxX ][)(

Ecuación de síntesis

Ecuación de análisis

Ecuaciones de la transformada de Fourier:

Condición de existencia de la TF: Secuencia de energía finita: [ ] ∞<∑∞

−∞=nnx 2


16

Transformada de Fourier Transformada z :

[ ] ( )

Ω=⇒=

Ω⋅⋅Ω⋅=⋅⋅⋅=

ΩΩ

Ω

=

− ∫∫Ω

djedzez

deXdzzzXj

nx

jj

nj

ezc

n

j πππ 2

1

21)(

21

( ) ∑∑∞

−∞=

Ω−

=

∞

−∞=

−=

⋅=⋅=Ω=Ω

Ω

n

nj

ezn

nez

enxznxXzXj

j ][][)(


Ecuación de análisis[ ]∑∞

−∞=

−⋅=n

nznxzX )(

Ecuación de análisis

[ ] ∫ ⋅⋅⋅= −

c

n dzzzXj

nx 1)(21π


Transformada de Fourier como caso particular de la transformada z :

- Comportamiento en |z| =1.

Condición de existencia de la TF: ROC de TZ contiene la circunferencia de radio unidad


17

Transformada de Fourier: Ejemplo 1

Obtener la TF de la secuencia: [ ] [ ] 1; <= anuanx n

( ) [ ] ( ) Ω−

∞

=

Ω−∞

−∞=

Ω−

−==⋅⋅=Ω ∑∑ j

n

nj

n

njn

aeaeenuaX

11

0

( ) ( ) ( ) Ω−=− −==Ω⇒=⊃⇒<>

−= Ω jez ae

zXXzROCazaz

zX j 1111

11

1


181818

Transformada de Fourier: Relación tiempo - frecuencia


19AnAnáálisis de Fourier para Selisis de Fourier para Seññales y Sistemas de Tiempo Discretoales y Sistemas de Tiempo Discreto1919



202020



21

Transformada de Fourier: Ejemplo 2

Obtener la TF inversa de: ( ) ( )∑∞

−∞=

−Ω−Ω⋅=Ωk

kX πδπ 22 0

[ ] ( ) ( ) ( ) njnkjnj edkedeknx 00

20

2

20 222

21 Ω+ΩΩ =Ω⋅−Ω−Ω⋅=Ω⋅⋅−Ω−Ω⋅⋅= ∫∫

π

π

π

πδπδππ

[ ] ( ) ( ) Ω⋅⋅−Ω−Ω⋅⋅=Ω⋅⋅Ω⋅= Ω∞

−∞=

Ω ∫ ∑∫ dekdeXnx nj

k

nj

ππ

πδπππ 2

02

2221

21

Generalizando:

[ ] ( ) ( )∑ ∑∑∞

−∞=

Ω −Ω−Ω⋅⋅=Ω⎯→←⋅=k r

kkTF

k

njk rbXebnx k πδπ 22


22

Transformada de Fourier de señales periódicas

Dada una señal x[n] periódica de periodo N es posible desarrollarla en serie de Fourier:

[ ] ∑=

⋅=Nk

nN

jk

k eanxπ2

[ ] ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤≤

=Ω++++= Ω−

−ΩΩ

10

201

12

210000

NkNsiendoeaeaeaanx nNj

Nnjnj

π

( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑∑∞

−∞=−

∞

−∞=

∞

−∞=

−Ω−−Ω++−Ω−Ω+−Ω=Ωr

Nrr

rNararaX πδππδππδπ 2122222 01010

( ) ( ) ∑∑ ∑∞

−∞==

∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω=−Ω−Ω=Ω

kk

Nk rk k

NarkaX πδππδπ 2222 0


23

Transformada de Fourier de señales periódicas


24

Transformada de Fourier de señales periódicas: Ejemplo

Transformada de Fourier de [ ] ( )nsennN

sennx 02

Ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=π

.

a aj

a a ajN0 1 2 1 10 1

20 1

2= = = = = −− −; ; ; ... ;

( ) ( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−Ω−−Ω−−Ω−Ω=Ω ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞= rrrNr

jX πδπδπ 212 00


25

Propiedades de la Transformada de Fourier

[ ] [ ] ( ) ( ) 00

njTF eXYnnxny Ω−⋅Ω=Ω⎯→←−=

[ ] [ ] ( ) ( )Ω−=Ω⎯→←= ∗∗ XYnxny TF

.

- Periodicidad: Periodo 2π

- Linealidad: [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )Ω+Ω=Ω⎯→←+= YbXaPnybnxanp TF

- Desplazamiento en el tiempo :

- Desplazamiento en frecuencia :

- Conjugación :

[ ] [ ] ( ) ( )00 Ω−Ω=Ω⎯→←⋅= Ω XYenxny TFnj

- Inversión en el tiempo : [ ] [ ] ( ) ( )Ω−=Ω⎯→←−= XYnxny TF

- Primera diferencia : [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )Ω⋅−=Ω⎯→←−−= Ω− XeYnxnxny jTF 11

- Acumulación : [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞

−∞=Ω−

−∞=

−Ω⋅+−Ω

=Ω⎯→←=k

jTF

n

mkX

eXYmxny πδπ 20

1

- Diferenciación en la frecuencia : [ ] [ ] ( ) ( )ΩΩ

=Ω⎯→←⋅=d

dXjYnxnny TF


26


[ ] ( ) imparepuraimaginariaXimparerealnx TF Ω⎯→←.

- Simetría conjugada para señales reales: x[n] real.

- Simetría para señales reales pares :

- Simetría para señales reales impares :

- Descomposición par e impar de señales reales :

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω=Ω⎯→←=

Ω=Ω⎯→←=⇒

XjXnxParImnx

XXnxParnxrealnx

ITF

I

pTF

p

Im

Re

- Relación de Parseval para señales aperiódicas:

[ ] ( )∫∑ ΩΩ==∞

−∞=ππ 2

22

21 dXnxE

n

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

Ω−=Ω⎩⎨⎧

Ω−−=ΩΩ−=Ω

⇒Ω−=Ω

Ω−Ω

∗

XX

XXXX

XX

XX

ϕϕ

ImImReRe

[ ] ( ) paryrealXparyrealnx TF Ω⎯→←


27


[ ] ( )[ ][ ] ( ) ( )Ω=Ω⎯→←

⎩⎨⎧

== kXYknx

nxny TFk valoresderesto

kdemultiplon

,0,

.

- Expansión en tiempo :

-Ejemplo :

( )

2

21

1

Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Ω

=Ωsen

NsenX


28


[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )Ω⋅Ω=Ω⎯→←∗= YXPnynxnp TF

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ] ( )Ω−

Ω−

−=Ω⎯→←⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=Ω⎯→←⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

j

TFn

j

TFn

eYnuny

eXnunx

311

131

211

121

.

- Convolución :

-Ejemplo : [ ] [ ] [ ] [ ]nunynunxnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

31;

21

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Ω⋅Ω=Ω⎯→←∗=Ω−Ω− jj

TF

eeYXPnynxnp

311

211

1

( ) ( )21

311

211

111

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=→Ω−−

zzz

zPP

( ) [ ] [ ] [ ]nununpzzzz

zPnn

TZInv ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎯⎯ →←

−−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−−−− 3

121

21

31

311

21

211

31

311

211

11111


29

Propiedades de la Transformada de Fourier[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅−Ω⋅⋅=Ω⊗Ω⋅=Ω⎯→←⋅=

π

ϕϕϕππ 221

21 dYXYXPnynxnp TF- Modulación :

-Ejemplo :

[ ] ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−−Ω⋅=Ω⎯→←=−=k

TFnjn kYeny ππδππ 221

Obtener la TF del producto de x[n] e y[n], (X(Ω): TF de x[n]).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )πϕπϕδπϕπϕδπϕππ ππ

−Ω=⋅−−Ω⋅−Ω=⋅−−Ω⋅=Ω⊗Ω=Ω ∫∫ XdXdXYXZ22

221

21


30

Propiedades de la Transformada de Fourier[ ] ( )( ) ( ) [ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

−=Ω⎯⎯ →←Ω

Ω⎯⎯ →←

nxXaXXnx

kDSF

TF- Dualidad :

-Ejemplos :

- Demostración:

[ ] ( )

( )( ) ( ) ( ) [ ]kxdeXXa

TperiódicaX

dtetxT

aDSF

deXnxTFInvjk

k

T

tjkk

nj

−=ΩΩ=Ω⇒⎩⎨⎧

==

Ω⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

ΩΩ=

∫∫

∫Ω−

−

Ω

πω

π

πωππ

20

0

0

2

21

12

1:

21:

0

0

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎯⎯⎯ →←⎩⎨⎧

∀

≤∀=

2

21

01 1

1

tsen

tNsentx

restoNk

a Dualidadk

( ) [ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎯⎯⎯ →←

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤Ω<

≤Ω=Ω − πππ

WncWanxW

WX n

Dualidad sin;0

;1


31

Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia

( ) ( )( )ΩΩ

=ΩXYH

Respuesta en frecuencia del sistema

( )( ) ⎩

⎨⎧

Ω

Ω⇒

fasedespuestaReHArgfrecuenciaenrespuestaladeMóduloH

[ ] [ ] ( )000 Ω⋅=→= ΩΩ Henyenx njnjAutofunción:

[ ] [ ] ( )∑∑ Ω⋅⋅=→⋅= ΩΩ

k

njkk

k

njkk kHeanyeanx 0

00


32

Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias

Si la ROC de H(z) contiene |z| = 1:

∑ ∑= =

−⋅=−⋅+N

k

M

kkk knxbknyany

1 0][][][

∑∑=

−

=

− ⋅⋅=⋅⋅+M

k

kk

N

k

kk zXzbzYzazY

01)()()(

adicionalnInformacióROCza

zb

zXzYzH N

k

kk

M

k

kk

∑

∑

=

−

=

−

+==

1

0

1)()()(

∑

∑

=

Ω−

=

Ω−

=

⋅+

⋅==Ω Ω N

k

kjk

M

k

kjk

ezea

ebzHH j

1

0

1)()(


33

Relación Sistemas Continuos – Sistemas Discretos

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω>ω

π>ω

ω<ω

π<ωΩ

=ωω=Ω

2;0

2;

s

s

s

sT

effó

T

óT

HH

s

( ) ( ) π<Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω=ω=Ω Ω

=ω;

seff

Teff T

HHHs


34


( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−⋅=⋅=n

sccs nTttxtstxtx δ ( ) ( )∑∞

−∞=

−⋅=⎯→←k

scs

sTF kX

TX ωωω 1

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−δ⋅=n

sscs nTtnTxtx ( ) ( )∑∞

−∞=

−⋅=⎯→←n

nTjscs

TF senTxX ωω

[ ] ( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ω⎯→←n

njTF enxXnx ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−⋅=⎯→←n

nTjscs

TFs

senTxXtx ωω

( ) ( ) ( ) ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Ω=

Ω=−⋅=Ω==Ω

k ssc

ksc

ss T

kT

X

sT

kXTsT

XX π

ωωωωω 21


35


[ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njenyY )(

[ ]∑∑∞

−∞=

ω−∞

−∞=

ω− ⋅=⋅=ωn

nTj

n

nTjsss ss enyenTyY )()(

sTs YY ω=ΩΩ=ω )()(

( ) ( )sTrrsc YHHYY ω=ΩΩ⋅ω=ω⋅ω=ω )()()(


36

Relación Sistemas Continuos – Sistemas Discretos( ) ∑

∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−

Ω⋅⋅Ω=Ω⋅Ω=Ωk ss

cs T

kT

XT

HXHY 21)()()(

( )∑∞

−∞=ω−ω⋅⋅Ω=Ω=ω ω=Ωω=Ω

ksc

ss kX

THYY

sTsT1)()()(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=ω−ω⋅⋅Ω⋅ω=ω⋅ω=ω ω=Ω

ksc

srsrc kX

THHYHY

sT1)(

( )( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω>ω

π>ω

ω<ω

π<ωΩ⋅ω

=ωω=Ω

2;0

2;

ss

ssTc

có

T

óT

HXY

s( ) ( ) ( )ω⋅ω=ω ceffc XHY

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω>ω

π>ω

ω<ω

π<ωΩ

=ωω=Ω

2;0

2;

ss

s

sT

effó

T

óT

HH

s


37

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sn

nTs

ns

nTs

tc nTtenTtnTuetxtuetx ss −δ⋅=−δ⋅⋅=⇒⋅= ∑∑

∞

=

−∞

−∞=

−−

0

25,025,025,0


[ ] ( )sc nTxnx =

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x c(t)

y x s(t

)

xc(t)

xs(t)

Ts=0,25


38


( ) ( )∑∞

−∞=

ω−ω⋅=ωk

scs

s kXT

X 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ω/π

|Xc(ω)|

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

ω/π

|Xs(ω)|

( ) ( )sT

XX s Ω=ωω=Ω

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Ω /π

|X(Ω )|

análisis de fourier para señales y sistemas de tiempo...

Documents