ANALISIS DE LA RESPUESTA DEL TERRENO Carlos E. Huamán Egoávil, MSc

1.0 Introducción

El análisis de la respuesta del terreno tiene como objetivo predecir los movimientos en la superficie para el desarrollo de los espectros de respuesta de diseño, evaluar los esfuerzos y deformaciones dinámicas en la evaluación de la susceptibilidad a la licuación, y determinar las fuerzas sísmicas que pueden causar la inestabilidad de estructuras de tierra y estructuras de retención.

A continuación se describen los métodos utilizados para el análisis de la respuesta del terreno en una, dos y tres dimensiones, y se introduce al problema de interacción suelo-estructura.

2.0 Análisis de Respuesta Unidimensional del Terreno

El análisis de respuesta unidimensional está basado en la suposición de que todas las fronteras son horizontales y que la respuesta de un depósito de suelo es causada predominantemente por ondas SH que se propagan verticalmente desde la roca subyacente (Fig. 7.1). Se asume también que las superficies del suelo y de la roca base se extienden infinitamente en la dirección horizontal.

La Fig. 7.2 ilustra las definiciones utilizadas para describir los movimientos del terreno. El movimiento en la superficie de un depósito de suelo es conocido como el "movimiento en la superficie libre". El movimiento en la base del depósito de suelo es llamado el "movimiento en la roca base". El movimiento en una ubicación en la cual la roca base está expuesta en la superficie del terreno es llamado "movimiento en el afloramiento de roca". Si el depósito de suelo no estuviese presente (Fig. 7.2b), el movimiento en la parte superior de la roca base sería también un "movimiento en el afloramiento de roca".

2.1 Método Lineal

Un grupo de técnicas para el análisis de la respuesta del terreno se basan en el uso de las "funciones de transferencia", las cuales determinan en qué medida se amplifica o desamplifica cada frecuencia en el movimiento de la roca base (movimiento de entrada), por la presencia del depósito de suelo. Para el problema de la respuesta del terreno, las funciones de transferencia pueden utilizarse para expresar varios parámetros de respuesta, tales como el desplazamiento, velocidad, aceleración, esfuerzo cortante, velocidad cortante, a un parámetro del movimiento de entrada tal como la aceleración de la roca base. Dado que este análisis se basa en el principio de superposición, esta aproximación está limitada al análisis de sistemas lineales. Sin embargo, el comportamiento no lineal puede ser aproximado utilizando un procedimiento iterativo con propiedades del suelo equivalentes a las lineales.

Aunque el cálculo de las funciones de transferencia involucra la manipulación de números complejos, la aproximación lineal es simple. El tiempo-historia del movimiento de entrada en la roca base es representado como una serie de Fourier, usualmente empleando el algoritmo de la Transformada Rápida de

Fourier (FFT). Luego, cada término en la serie de Fourier del movimiento de entrada es multiplicado por la función de transferencia para obtener la serie de Fourier del movimiento de la superficie del terreno.

2.1.1 Evaluación de las Funciones de Transferencia

A continuación se presentan diversas funciones de transferencia para una serie de condiciones geotécnicas sucesivamente más complicadas. Estos casos ilustran algunos de los efectos más importantes de los depósitos de suelo sobre las características del movimiento sísmico.

Suelo Uniforme No Amortiguado Sobre Roca Rígida

Para el estrato uniforme de suelo isotrópico y linealmente elástico que suprayace a la roca base rígida de la Fig. 7.3, el desplazamiento horizontal de las ondas de corte propagándose verticalmente está dado por:

u (z,t) = A e i(wt + kz) + B e i(wt – kz) (1)

Donde w es la frecuencia circular del movimiento del terreno, k es el número de onda (= w / vs) y A y B son las amplitudes de las ondas viajando en las direcciones -z (hacia arriba) y +z (hacia abajo), respectivamente. Si consideramos que en la superficie libre (z = 0) el esfuerzo cortante, y por lo tanto la deformación cortante, desaparecen, la solución de la ecuación resulta en una "onda permanente" de amplitud 2A cos kz, la cual se produce por la interferencia constructiva de las ondas que viajan hacia arriba y hacia abajo. La onda tiene una forma fija respecto a la profundidad.

La función de transferencia que describe la relación entre las amplitudes de los desplazamientos en 2 puntos cualquiera en el estrato del suelo, resulta ser para este caso: F1(w) = 1 / cos ( w H / vs ) (2) El módulo de la función de transferencia es la función de amplificación:

⏐F1(w) ⏐ = 1 / ⏐cos ( w H / vs ) ⏐ (3)

la cual indica que el desplazamiento en la superficie es al menos tan grande como el desplazamiento en la roca base (el denominador no puede ser mayor que 1) y, a ciertas frecuencias, es mucho más grande. Así, È F1(w) È es la relación de la amplitud de movimiento en la superficie libre con respecto a la amplitud del movimiento en la roca base. Conforme w H/ vs se aproxima a π/2 + nπ, el denominador de la ecuación (3) tiende a cero, lo cual implica que ocurrirá amplificación infinita, o "resonancia" (Fig. 7.4). Aún este modelo tan simple ilustra que la respuesta de un depósito de suelo es altamente dependiente de la frecuencia del movimiento base, y que las frecuencias a las cuales ocurre fuerte amplificación dependen de la geometría (espesor) y de las propiedades del material (velocidad de ondas S) del estrato de suelo. Las Figuras E7.1a y E7.1b-f ilustran un ejemplo del caso citado.

Suelo Uniforme Amortiguado Sobre Roca Rígida El caso de un suelo no amortiguado no puede ocurrir físicamente puesto que el amortiguamiento está presente en todos los materiales. Por lo tanto un análisis más realista debe considerar el amortiguamiento. La función de amplificación resulta ser para este caso: ⏐F2(w) ⏐= 1 / (cos2 (wH/vs) + (ξwH/vs)2)1/2 (4) Para valores de amortiguamiento ξ pequeño, la ecuación 4 indica que la amplificación por un estrato de suelo amortiguado también varía con la frecuencia. La amplificación alcanzará un máximo local donde: wH/vs ≈ π/2 + nπ pero nunca alcanzará un valor infinito dado que (para ξ > 0) el denominador siempre será mayor que cero. Las frecuencias que corresponden a los máximos locales son las "frecuencias naturales" del depósito de suelo. La variación del factor de amplificación con la frecuencia se presenta en la Fig. 7.5 para distintos niveles de amortiguamiento. Este factor de amplificación es también igual a la relación de las amplitudes de movimiento de la superficie libre a la roca base. La comparación de las Figs. 7.4 y 7.5 muestra que el amortiguamiento afecta la respuesta a altas frecuencias más que a bajas frecuencias.

La frecuencia natural n-ésima del depósito de suelo está dada por:

wn ≈ vs/H (π/2 + nπ) n = 0,1,2,...,∞

Dado que el factor de amplificación pico decrece con la frecuencia natural creciente, el mayor factor de amplificación ocurrirá aproximadamente a la frecuencia natural más baja, conocida como la "frecuencia fundamental". wo = π vs / 2H El periodo de vibración correspondiente a la frecuencia fundamental es llamado el "periodo característico del sitio". Ts = 2 π / wo = 4H/ vs Este periodo, que depende sólo del espesor y de la velocidad de onda de corte del suelo, es un indicador del periodo de vibración al cual se espera la amplificación más significativa. A cada frecuencia natural, una onda permanente se desarrolla en el suelo. Las "formas de modo" o formas deformadas normalizadas se presentan en la Fig. 7.6 para las tres primeras frecuencias naturales. Puede notarse que los desplazamientos del suelo están en fase en todas las profundidades en el modo fundamental, pero no en los modos más altos. A frecuencias mayores que la fundamental, parte del depósito de suelo puede estar moviéndose en una dirección mientras la otra parte se mueve en la dirección opuesta. Este

fenómeno debe ser considerado en la evaluación de las fuerzas de inercia en masas de suelo para el análisis de estabilidad sísmico. En las Figuras E7.2a y E7.2b-f se presenta un ejemplo de un perfil de suelo amortiguado sobre roca rígida sometido a un movimiento en la roca base. Suelo Amortiguado Uniforme Sobre Roca Elástica En los casos anteriores, la base rígida actúa como un extremo fijo, de tal manera que cualquier onda viajando hacia abajo será completamente reflejada hacia arriba, atrapando toda la energía de la onda elástica en el estrato de suelo. Si la roca es elástica, en cambio, las ondas que alcanzan la frontera entre el suelo y la roca sólo serán reflejadas parcialmente; parte de su energía será transmitida a través de la frontera y viajará a través de la roca. Si la roca se extiende a gran profundidad (suficiente para que las ondas reflejadas más abajo no retornen a la frontera suelo-roca a tiempo, o con suficiente amplitud para influir en la respuesta del suelo), la energía elástica de estas ondas se perderá o será removida del estrato de suelo (Fig. 7.7). Esta es una forma de amortiguamiento por radiación, y causa que las amplitudes del movimiento en la superficie sean más pequeñas que para el caso de una roca base rígida. Para el caso no amortiguado, la Fig. 7.8 presenta el efecto de la relación de impedancia sobre el factor de amplificación |F3|. Las Figs. E7.3a y E7.3 b-f ilustran un ejemplo para este caso. Suelo Amortiguado y Estratificado Sobre Roca Elástica El análisis de problemas prácticos de la respuesta del terreno usualmente involucra depósitos de suelo con estratos de distintas características de rigidez y amortiguamiento, en lugar de un estrato elástico uniforme. En cada una de las fronteras entre los estratos la energía de la onda elástica será reflejada y/o transmitida. Estas condiciones requieren el desarrollo de funciones de transferencia para depósitos de suelo estratificado. La función de transferencia que relaciona la amplitud del desplazamiento en el estrato i respecto al estrato j, indica que si el movimiento en cualquier punto del perfil del suelo es conocido, el movimiento en cualquier otro punto puede ser obtenido. Esto permite efectuar una operación muy útil denominada “deconvolución”. La función de transferencia para este caso es bastante complicada, sin embargo, el programa de cómputo SHAKE (Schnabel et al., 1972) facilita su evaluación. La Fig. 7.4c muestra un ejemplo de cálculo de la función de transferencia para un suelo estratificado utilizando el programa SHAKE.

2.1.2 Aproximación Lineal Equivalente a la Respuesta No Lineal

Dado que la no linealidad del suelo es bien conocida, el método lineal debe ser modificado para proporcionar estimados razonables de la respuesta del suelo en problemas prácticos. El real comportamiento esfuerzo-deformación histerético no lineal del suelo cíclicamente

cargado, puede ser aproximado por las propiedades lineales equivalentes del suelo. El módulo cortante lineal equivalente, G, es tomado generalmente como un módulo cortante secante, y la relación de amortiguamiento lineal equivalente, ξ, como la relación de amortiguamiento que produce la misma pérdida de energía en un ciclo único tal como el real lazo histerético. Al ser necesario que G y ξ sean constantes para cada estrato de suelo, deben definirse valores consistentes con el nivel de deformación cortante inducido en el estrato. Las curvas de reducción del módulo cortante y del amortiguamiento han sido obtenidas a partir de ensayos de laboratorio que utilizan cargas armónicas simples, caracterizando el nivel de deformación por la amplitud de la deformación cortante pico. El tiempo historia de deformación cortante para un movimiento sísmico típico, sin embargo, es bastante irregular, con amplitudes pico que son alcanzadas pocas veces en el registro. En la Fig. 7.10 se comparan tiempos historia de deformación cortante armónicas (ensayo de laboratorio) y transitorias (sismo) con la misma deformación cortante cíclica pico. Como la condición armónica representa claramente una condición de carga más severa que el registro transitorio, el nivel de deformación del registro transitorio suele caracterizarse por una “deformación cortante efectiva” que es frecuentemente adoptada como el 65 % de la deformación pico. Dado que el nivel de deformación calculado depende de los valores de las propiedades lineales equivalentes, se requiere un procedimiento iterativo para asegurar que las propiedades utilizadas en el análisis son compatibles con los niveles de deformación calculados en todos los estratos. La Fig. 7.11 ilustra este procedimiento. En la Fig. E7.5 se repite el Ejemplo 7.4 utilizando el procedimiento iterativo lineal equivalente.

2.2 Método No Lineal

Un método alternativo para analizar la verdadera respuesta no lineal del suelo consiste en utilizar la integración numérica directa en el dominio del tiempo. Mediante la integración paso a paso, cualquier modelo esfuerzo-deformación lineal o no lineal o un modelo constitutivo avanzado puede ser utilizado. La mayoría de programas de cómputo disponibles de análisis no lineal, unidimensional de la respuesta del terreno, caracterizan el comportamiento esfuerzo-deformación del suelo mediante modelos esfuerzo-deformación cíclicos, tales como el modelo hiperbólico, el modelo hiperbólico modificado, el modelo Ramberg-Osgood, el modelo Hardin-Drnevich-Cundall-Pyke (HDCP), el modelo Martin-Davidenkov, y el modelo tipo Iwan. Diversas técnicas numéricas son empleadas para integrar las ecuaciones de movimiento. La Fig. 7.13 ilustra la técnica de diferencias finitas explícita.

3.0 Análisis Bidimensional de la Respuesta Dinámica

Los métodos de análisis unidimensional de la respuesta del terreno descritos arriba son apropiados para terrenos nivelados o de suave pendiente con fronteras paralelas entre materiales. Sin embargo, para muchos otros problemas de interés, la suposición

de la propagación unidimensional no es aceptable. Por ejemplo, las superficies del terreno irregulares o inclinadas, la presencia de estructuras masivas o empotradas, o muros y túneles, todos estos casos requieren análisis bidimensionales o aún tridimensionales. Los problemas en los cuales una dimensión es considerablemente más grande que otras es tratado como un problema de deformación plana bidimensional. Los casos más comunes son presentados en la Fig. 7.14. Los métodos aplicados en la solución de la respuesta dinámica bidimensional han sido desarrollados en el dominio de las frecuencias (respuesta compleja) y en el dominio del tiempo (integración directa). La respuesta dinámica bidimensional y tridimensional y los problemas de interacción suelo-estructura son resueltos generalmente mediante análisis dinámico de elementos finitos. 3.1 Análisis Dinámico de Elementos Finitos

El método de elementos finitos trata al continuo como un ensamblaje de elementos discretos cuyos bordes están definidos por “puntos nodales”, y asume que la respuesta del continuo puede ser descrita por la respuesta de los puntos nodales. La Fig. 7.15 ilustra el proceso de discretización en elementos de 4 nodos. La Fig. 7.16 muestra el proceso de cambio de coordenadas para modelar elementos irregulares. La dimensión máxima de los elementos está limitada a una fracción (1/8 a ¼) de la longitud de onda más corta considerada en el análisis. Las condiciones de borde consideradas en este tipo de análisis se clasifican en bordes de elementos, bordes locales y bordes consistentes. La Fig. 7.17 presenta estos tipos de borde.

3.2 Método Lineal Equivalente

El método lineal equivalente bidimensional es muy similar al método unidimensional. Un sistema suelo-estructura es representado por un modelo bidimensional de elementos finitos. El movimiento de entrada es representado por una serie de Fourier y las ecuaciones de movimiento son resueltas para cada frecuencia de las series, sumando los resultados para obtener la respuesta total. La Fig. 7.18 ilustra un caso en el cual se asumen condiciones de deformación plana en la sección típica de una presa. Una vez que el vector de la función de transferencia ha sido obtenido, el cálculo de la respuesta sigue el mismo procedimiento utilizado para el análisis unidimensional. El mayor esfuerzo de cómputo está asociado con la evaluación de las funciones de transferencia, por lo que éstas suelen evaluarse sólo para un número limitado de frecuencias, obteniendo las frecuencias intermedias por interpolación. La iteración para obtener las propiedades del material compatibles con la deformación puede ser realizada elemento por elemento. Este tipo de análisis es realizado por el ampliamente utilizado programa de cómputo FLUSH (Lysmer et al., 1975).

3.3 Método No Lineal

Un análisis no lineal bidimensional puede emplearse para estimar los desplazamientos permanentes de taludes, estructuras de retención y otras estructuras geotécnicas. Para ello se requiere una integración en el dominio del tiempo de las ecuaciones de movimiento globales. El comportamiento del suelo puede ser modelado mediante modelos no lineales cíclicos o utilizando modelos constitutivos avanzados.

3.4 Otros Métodos

Métodos alternativos de análisis han sido desarrollados, en base a simplificaciones que permiten que los problemas bidimensionales sean rsueltos mediante análisis unidimensionales, reduciendo así el esfuerzo computacional y la complejidad del análisis dinámico por elementos finitos. Uno de estos métodos aplicados al caso de presas de tierra es el de la “viga de corte” (Gazetas, 1987). Este método se basa en la suposición de que una presa se deforma en corte simple, produciendo así solamente desplazamientos horizontales. También se asume que bien sea los esfuerzos cortantes o las deformaciones cortantes son uniformes a través de planos horizontales, suposiciones que han sido verificadas. La Fig. 7.19 muestra una presa homogénea e infinitamente larga, y los esfuerzos cortantes actuando a una determinada altura. El método de la viga de corte permite representar la sección bidimensional de la presa como un sistema unidimensional, permitiéndose así el cálculo del periodo fundamental y de los modos de vibración (Fig E7.6 y Fig. 7.20). El segundo y más altos modos de vibración muestran un marcado efecto de “chicoteo” caracterizado por una gran deformación cortante y alta aceleración cerca de la cresta de la presa, aunque el comportamiento no lineal de los materiales puede prevenir el desarrollo de estas altas aceleraciones en presas reales.

4.0 Análisis de Respuesta Dinámica Tridimensional

Existen situaciones en las que la idealización bidimensional puede no ser apropiada y es necesario un análisis de respuesta dinámica tridimensional. Estas condiciones pueden presentarse, como se ilustra en la Fig. 7.21, cuando las condiciones del suelo o las condiciones de borde varían tridimensionalmente, y cuando interesa la respuesta de estructuras tridimensionales. Los problemas de respuesta dinámica tridimensional son tratados en forma similar a los problemas bidimensionales. Existen análisis dinámicos por elementos finitos, empleando métodos lineales y no lineales. Varios de estos métodos han sido desarrollados con énfasis en los problemas de interacción suelo-estructura. Para el problema de presas de tierra, han sido desarrollados análisis tipo viga de corte para la respuesta aproximada de presas en valles angostos. La Fig. 7.22 muestra el efecto de las condiciones de borde tridimensionales sobre la frecuencia fundamental de la presa según su relación entre la longitud de la cresta y la altura de la presa, así como sobre los periodos naturales en cañones de diferente forma (Gazetas, 1987).

5.0 Interacción Suelo-Estructura

Este fenómeno se produce cuando una estructura está cimentada en un depósito de suelo blando; la incapacidad de la cimentación para seguir las deformaciones del movimiento de campo libre causará que el movimiento de la base de la estructura se desvíe de dicho movimiento. Además, la respuesta dinámica de la estructura misma inducirá la deformación del suelo de cimentación. Así, la respuesta del suelo influye sobre el movimiento de la estructura y a su vez la respuesta de la estructura influye sobre el movimiento del suelo. La interacción suelo-estructura tiene poco efecto sobre la respuesta dinámica de muchas estructuras y sistemas de cimentación. Sin embargo, en otros casos, sus

efectos pueden ser significativos. El análisis de la interacción suelo-estructura puede ser muy complicado, por lo que sólo se introducirán los métodos utilizados para evaluar sus efectos. 5.1 Efectos de la Interacción Suelo-Estructura Considerar el caso de un sistema simple de 1 grado de libertad montado sobre una cimentación rígida, sin masa, con forma de L (Fig. 7.23ª) y apoyada sobre un depósito de suelo elástico. La estructura está caracterizada por su masa, m, rigidez, k, y coeficiente de amortiguamiento, c. Si el material que soporta a la cimentación es rígido, la frecuencia natural del sistema de base fija dependerá solo de la masa y de la rigidez de la estructura. Sin embargo, si el material de la cimentación es flexible, la cimentación puede trasladarse y rotar. Las características de rigidez y amortiguamiento del sistema suelo flexible-cimentación pueden representarse por los resortes rotacionales y amortiguadores de la Fig. 7.23b. Los amortiguadores de la cimentación representan dos fuentes de amortiguamiento: material y por radiación. La cantidad de amortiguamiento material dependerá del nivel de deformación inducido en el suelo; por el contrario el amortiguamiento por radiación es un efecto puramente geométrico que existe a bajas y altas amplitudes. Para cimentaciones típicas, el amortiguamiento por radiación es mucho mayor que el amortiguamiento material. Los desplazamientos totales de la masa y de la base de la estructura pueden dividirse en sus componentes individuales (Fig. 7.23c). El cálculo de la frecuencia natural del sistema equivalente indica que este valor es siempre más bajo que aquel de la estructura fija. Por otro lado, la relación de amortiguamiento del sistema equivalente será mayor que la de la estructura misma. Los efectos de la interacción suelo-estructura son mostrados en las Figs. 7.24 y 7.25 sobre la frecuencia natural, la relación de amortiguamiento, y las características del sistema de 1 grado de libertad equivalente. La comparación con el sistema de base fija ilustra el efecto de la interacción suelo-estructura. La interacción suelo-estructura tiende a reducir la demanda sobre la estructura, pero debido a que la cimentación puede trasladarse y rotar, incrementa el desplazamiento general. Estos efectos pueden ser importantes para estructuras altas y esbeltas o para estructuras poco espaciadas que pueden estar sujetas a impacto cuando los desplazamientos relativos llegan a ser importantes. 5.2 Métodos de Análisis Los métodos de análisis se dividen en métodos directos y métodos multietapa. En el método directo, todo el sistema suelo-estructura-cimentación es modelado y analizado en una sola etapa (Fig. 7.26). El movimiento de entrada en el campo libre es especificado a lo largo de la base y los lados del modelo y la respuesta resultante es calculada (por un modelo de elementos finitos) a partir de las ecuaciones de movimiento. Los métodos multietapa usan el principio de superposición para aislar las dos causas principales de la interacción suelo.estructura: la incapacidad de la cimentación para ajustarse a las deformaciones del campo-libre y el efecto de la respuesta dinámica del sistema estructura-cimentación sobre el movimiento del suelo de soporte. Estos métodos están limitados al análisis de sistemas lineales o lineales equivalentes. La interacción suelo-estructura puede ser descompuesta en una interacción cinemática (Figs. 7.27, 7.28 y 7.29), y una interacción inercial.

Figure 7.1 Refraction process that produces nearly vertical wave propagation near the ground surface.

Figure 7.2 Ground response nomenclature: (a) soil overlying bedrock; (b) no soil overlying bedrock. Vertical scale is exaggerated.

Fault

Source

Path

Site

Surficial layers

(a)

Free surface motion

Bedrock motion

Rock outcropping motion

Rock outcropping motion

(b

Bedrock outcropping motion

Figura 7.3 Depósito de suelo elástico sobre base rígida.

Figura 7.4 Influencia de la frecuencia en la respuesta de un depósito elástico no amortiguado.

H

z

u

A ei(ωt+kz)

B ei(ωt-kz)

29π V

27πV

25πV

2π V 3π V

20 W

9π 7π5π2 222

3ππ 2 0

1

KH

l F 1 (w) l

Example 7.1 Compute the time history of acceleration at the surface of the linear elastic soil deposit shown in Figure E7.1a in response to the E-W component of the Gilroy Nº 1 (rock) motion (Figure 3.1).

10 ft VS = 1050 lb/ft2 γ = 110 lb/ft3

ξ = 0

Rigid bedrock

Figure E7. 1b-f

Figure E7. 1a

KH

20 %

10 %

ξ=5%

Fact

or d

e A

mpl

icac

ión

201510500

2

4

6

8

10

12

Figura 7.5 Influencia de la frecuencia en la respuesta de un depósito elástico amortiguado.

Figura 7.6 Patrones de desplazamiento o formas de modo de las primeras tres frecuencias naturales (n = 1,2,3) dependiendo de la profundidad (z/H) para un depósito con 5% de amortiguamiento.

1.0-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

n = 1

n = 2

n = 0

z / HH

z

Superficie

Base Rocosa Desplazamiento Normalizado

VS = 1500 lb/sec γ = 125 lb/ft3

ξ = 5%

Rigid bedrock

540 ft

Figure E7. 2a

Figure E7. 2b-f

H

ρr

Gr

ρs

Gs

Roca

Suelo

Ar

Br

Bs

zr

Aszs

Razón de impedancia = 0.0

0.1

0.5

KH

7654321

lF3l

00

2

4

6

8

Figura 7.7 Depósito de suelo elástico sobre una base elástica.

Figura 7.8 Efecto de la relación de impedancia en el factor de amplificación para el caso de suelo no amortiguado.

540 ft VS = 1500 ft/sec γ = 125 lb/ft3

ξ = 5%

Soil

VS = 5000 ft/sec γ = 160 lb/ft3

ξ = 2%

Rock∞

Figure E7. 3a

Figure E7. 3b-f

She

ar s

train

Time

Figure 7.10 Two shear strain time histories with identical peak shear strains. For thetransient motion of an actual earthquake, the effective shear strain isusually taken as 65% of the peak strain.

(3)

(1)

(2)

(1) γeff

She

ar m

odul

us, G

G

G

G

(1)

(3)

(2) (3)

(2)

(1)

(1) γeff

ξ (2)(3)

(1)

ξ

ξDam

ping

ratio

, ξ

Shear strain (log scale) Shear strain (log scale)

Figure 7.11 Iteration toward strain-compatible shear modulus and damping ratio in equivalent linearanalysis. Using initial estimates, G(1) and ξ(1), the equivalent linear analysis predicts an effective shear strain. . Because this strain is greater than those corresponding to G(1)

and ξ(2), an iteration is requerid. The next iteration uses parameters, G(2) and ξ(1), that are compatible with .The equivalent linear analysis is repeated and the parameterschecked until strain-compatible value of G and ξ are obtained.

(1) eff γ

(1) eff γ

Figure E7.5

x

z ρs vss

ρr vsr

(a) (b)

N + 1

12•••

ii +1

N

•••

Figure 7.12 (a) Nomenclature for uniform soil deposit of infinite lateral extentoverlying bedrock; (b) discretization of soil deposit into N sublayers.

Δ x

x x + Δx x

f (x + Δ x) – f(x)

F (x)

Figure 7.13 Forward-difference approximation of f’(x) is given by slope of linepassing through function at x = x and x = x + Δx. Approximation becomes exact as Δx → 0.

(a) (b) (c)

Figure 7.14 Examples of common problems typically analyzed by two-dimensional plane strain dynamic response analyses: (a) cantilever retaining wall;(b) earth dam; (c) tunnel.

y

x

v4 u4

u1

u3

u2 v1

v3

3

2

4

1v2

Figure 7.15 Finite-element discretization of retaining structure illustrating the degreesof freedom of a typical four-noded element.

y

x

t-1, 1

-1, -1 1, -1

1,1

4 3

1 2

x4, y4

x3, y3

x2, y2 x1,y1

4

3

2 1

Figure 7.16 Mapping of quadrilateral element from irregular shape in x-y coordinate system to square shape in s-t coordinate system.

(c)(b)(a)

Figure 7.17 Three types of finite-element mesh boundaries: (a) elementary boundary in which zero displacements are specified; (b) local boundary consisting of viscous dashpots; (c) lumped-parameter consistent boundary (actual lumped parameter would consist ofmore masses, springs, and dashpots than shown).

(b)(a)

Figure 7.18 Practical situation where two-dimensional ground response analyses are used: (a) plane strain conditions can be assumedat center of long dam, allowing (b) center section of dam to bemodeled in two dimensions.

h

τ + (∂τ / ∂z) dz

xu xd

x

zτ

H dz

B

Figure 7.19 Earth dam, showing stresses acting on an element of thickness. dz.

150 ft 2

1

1.5

1

Compacted clay vs = 1200 ft/sec

Figure E7.6

m = 0

1 / 2

4 / 7

2 / 3

1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 0.0

Z H

m = 0

1 / 2

4 / 7

2 / 3

1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 U1 U2

-0.5 0.0 0.5

(b)(a)

Figure 7.20 Mode shapes for (a) first mode and (b) second mode of earth dam response. Note rapid change of U with depth near crest of dam for second mode at m = 1 (whiplash effect). After Dakoulas and Gazetas, 1985).

(a) (b) (c)

Figure 7.21 Three situations requiring three-dimensional dynamic response or soil-structural interaction analysis: (a) site where soil conditionsvary significantly in three dimensions: (b) earth dam in narrowcanyon: (c) site where response of soil is influenced by responseof structures (and vice vesra) and where response of onestructure may influence response of another.

Scatter-range shown only for triangular and rectangular geometrics

1

1.5

0 0.0 2.0 4.0 6.0

L / H

(T1)3-D

(T1)2-D

Wide trapezoidal

Rectangular canyon

TriangularSemicylindrical

Narrow trapezoidal

1

0.5

01 2 3 4 5

Mode number, n

(T1)3-D

(T1)2-DWide trapezoidal

Rectangular Semicylindrical

Narrow trapezoidal Trianular canyon

Figure 7.22 Effect of three-dimensional boundary effects on (a) fundamentalfrequencies for different crest length/dam height ratios, and (b) natural periods for first five modes of earth dams (L/H = 2) in canyons ofdifferent shape. (After Gazetas, 1987. Used with kind permisson fromElsevier Science, Ltd, The Boulevard, Langford Lane, Kidlington OX5IGB UK.).

m C

k

ub (t)

G, ν

(a) ub (t)

(b)

m C

k

kh

krCh Cr

ub uo

(c)

h

ut

u

hθ

θ

Figure 7.23 Compliant base model with one dynamic degree of freedom: (a) SDOFsystem on an elastic soil deposit: (b) idealized discrete system inwhich compliance of base is represented by translational androtational springs and dashpots: (c) components of motion of base andmass.

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0

ξe

0.05 0.1 0.5 1 5 10

No radiation damping

S

(b)

m = 0.5

0.05 0.1 0.5 1 5 10

1.0

ωe / ωo

0.8

0.6

0.4

0.2

0

S

(a)

m = 1m = 3m = 5m = 10

Figure 7.24 Effect of stiffness ratio and mass ratio on (a) natural frequency, and (b) dampingratio of soil-structure systems (h = 1. v = 0.33, ξ = 0.025, ξg = 0.05). (After Wolf. 1985).

ωo / 2π = 3 Hz

ωo / 2π = 4 Hz

ωo / 2π = 5 Hz

umax

20

mm

(u + uo + hθ)max

mm

15

10

5

0 0.1 0.5 1 5 10

S

100

75

50

25

ωo / 2π = 3 Hz

ωo / 2π = 4 Hz

ωo / 2π = 5 Hz

0.1 0.5 1 5 10 S

(a)

(b)0

Figure 7.25 Response of equivalent soil-structure system to artificial time history (h = 1. m = 3. v = 0.33, ξ = 0.025, ξg = 0.05): )a) maximum structural distortion; (b) maximum displacement of mass relative tofree field )After Wolf, 1985).

uff

uff

uff

Figure 7.26 Direct method of soil-structure interaction analysis. Entire problem is modeled and response to free-field motion applied at boundaries is determined in a single step.

(a) (b) (c)

Figure 7.27 Kinematic interaction with free-field motions indicated by dashed lines: (a) flexural stiffness of surface foundation prevents it from following verticalcomponent of free-field displacement; (b) rigidity of block foundationprevents it from following horizontal component of free-field displacement; (c) axial stiffness of surface foundation preventsimmediately underlying soil from deforming incoherently.

(a) (b)

Figure 7.28 Excitation of rocking vibrations in an embedded foundation by verticallypropagating s-waves: (a) at certain frequencies, the wavelength is suchthat unbalanced overturning moments cause rocking; (b) at otherfrequencies (and wavelengths), rocking may be suppressed.

ub

(a)

Massless structure

Fixed boundary

Inertial forces applied to structure/foundation

(b)

Figure 7.29 (a) Kinematic interaction analysis and (b) inertial interaction analysis.Mass of structure in inertial interaction analysis shown as being lumped at the center of the structure.

F = -mub

ub

Figure 7.30 Equivalent formulations of inertial interaction analysis four structures withrigid foundation: (a) inertia forces applied to each element; (b) fondation motion applied through frequency-dependent springs and dashpots (not shown).