Trabajo Final

Conflictos y diferencias entre tres curricula para la enseanza de lamatemtica en tercer ao de la escuela media de la ciudad de

Buenos Aires.

Presentacin

En el presente trabajo se desarrolla un anlisis de distintos libros de texto. Esto se lleva a cabo entanto se los entiende como emergente del currculum prescrito a partir de algunas de las categorasestudiadas en el seminario. Se busca mostrar la existencia de, al menos, tres formas de currculumen los textos que se encuentran disponibles en este momento en el mercado editorial educativo, locual si bien tiene una relacin compleja con el currculum enseado puede entenderse como unfuerte indicador de la falta de homogeneidad en las practicas docentes en el rea de matemtica. Seintentara mostrar que las diferencias entre estas formas de currculum pasan por el nivel de laregulacin de la actividad docente, de las practicas pedaggicas, y no tanto por los contenidos. Lamostracin se realizara a partir del contenido de los diversos tipos de libros de textos en los que semuestran aspectos contrastantes del currculum a partir de lineas diversas del mercado editorial queapuntan a satisfacer las demandas diferenciales de los docentes.

Introduccin

El estado actual de la enseanza de la matemtica presenta un espacio conflictivo en el que seobserva el enfrentamiento entre diversas maneras de entender el cmo ensear matemtica querefieren en ultima instancia a distintos recortes del saber y por lo tanto distintos curricula. Esto es el resultante de un periodo de agitacin dentro del currculum de matemtica que comienzacon la introduccin de la denominada matemtica moderna a fines de la dcada de 1950 y que seprolonga hasta la actualidad, con puntos lgidos a fines de la de cada de 1960 y comienzos de 1990.Cada una de estas oscilaciones, que no llegaron a afectar completamente las practicas docentes,sedimentaron ciertos contenidos y formas de trabajar la enseanza de la matemtica. Muchas vecescontradictorios entre si. (Kilpatrick, p. 110)Nos proponemos visualizar la actual situacin de este espacio a partir del anlisis de diferentes tiposde currculum prescrito que se observan como emergentes en diferentes libros de texto.

Desarrollo

En la actualidad dentro del sistema educativo argentino se encuentra en discusin qu es lo que seentiende por ensear matemtica. Esto no es nuevo ni exclusivo de la Argentina como se puedeobservar en los trabajos de Kilpatrick. Sin embargo en la actualidad estamos ante la presencia deuna situacin paradigmtica en trminos de conflicto fro y de negociaciones no completamenteexitosas. Producto en parte de la ausencia de espacios orgnicos de negociacin. Si bien este no esel eje central del presente trabajo, creemos que es necesario plantearlo de antemano, en tanto nohaya un autentico dialogo entre corrientes toda la situacin que procederemos a describir/analizarno ser superada.

Esta situacin, creemos, lleva a que el conjunto de los docentes se encuentre enfrentado a unapermanente tensin entre, al menos,dos tipos de formas de entender el proceso de enseanza de la

matemtica; Esquemticamente, la primera sera la que podemos llamar de tipo tradicional, quepodemos homologar, groso modo, con el currculum histrico, que es la que se transmite, por logeneral, en la mayor parte de los institutos de formacin. Esta es usual, tenemos la hiptesis, quecoincide con una idea muy difundida, dentro de la sociedad, de lo que parece ser considerado comola manera correcta de ensear matemtica. La segunda, es la que se plantea, con variaciones, en lamayora de los trabajos producidos por los principales exponentes de la didctica de la matemticadel pas, podemos entender estos enfoques como un desidertum que se intenta llevar a la practicadesde las instancias superiores de gobierno. Se puede plantear la existencia de un tercer currculumque surge del intento de conciliar estas dos perspectivas. Un ejemplo de este ultimo seran losdiseos curriculares de Provincia de Buenos Aires, en los cuales no profundizaremos. No quedaclaro en esta situacin cual es el que puede entenderse como currculum societal (Goodlad, p. 328),o mejor dicho que alguno de estos tres sea el que prevalezca en est nivel del currculum. Quedandoel mismo en un estado de oscilacin dependiendo de la situacin de coyuntura.

Un detalle a tener en cuenta es que en gran parte las diferencias entre estos enfoques para elcurrculum no pasan tanto por los contenidos sino por el tipo de actividades (cmo estaaprendiendo el estudiante?) y el rol docente (Cmo esta enseando?) (Akker, p. 3) esto generaalgunas dificultades de lectura ya que muchas veces se estn usando el mismo tipo de palabras, enformas muy similares, llegando incluso a parecer que se busca efectivamente que enfoquesdiferentes pasen por equivalentes. Esto conlleva que el anlisis tenga que superar el nivel mssuperficial para estudiar que tipo de practicas favorece un determinado enunciado y nosimplemente tomar la jerga con la que esta redactado.

Para el anlisis nos concentraremos en libros de texto de tercer ao de la escuela media, ytomaremos como marco para comparar el documento de Contenidos para el nivel medio de Ciudadde Buenos Aires.

El mismo para el bloque nmeros en el apartado de nmeros racionales, plantea:

Produccin de frmulas en contextos de la medida, la proporcionalidad y el porcentaje. (Varios, p. 9)

Cmo se observa un enunciado extremadamente vago, que es el esperable a un nivel tan alto de lapoltica curricular, a nivel societal, como es el de toda una regin. Si vemos como lo procesan doslibros de texto; (Itzcovich, Novembre) y (Kurzrok), con vistas a su implementacin a nivelinstruccional, en el primero se observa que luego de una introduccin a partir de problemas deposicin muy centrada en una reflexin sobre el concepto de nmero racional, efectivamentetrabaja en un contexto de proporcionalidad, aunque la produccin de formulas esta un poco ensegundo plano (ver Anexo, 1) a)). En el segundo tenemos antes de llegar a la actividad deproporcionalidad una sucesin de actividades enfocadas en la operatoria algortmica de lasfracciones y recin luego de esto pasa a trabajar algunas actividades en contexto deproporcionalidad (junto con alguna de contexto de medida), pero es interesante observar el que seencuentra al final de la seccin, es decir ms como unas aplicaciones luego de ver lo fundamental,que en este caso es la operatoria ms que la reflexin.

En el segundo no esta claro como surge la resolucin de las actividades, dejando abierta laposibilidad de la simple explicacin del docente (aunque el texto nunca de indicaciones a esterespecto) es decir el currculum enseado al que apunta puede llevarse a efecto de variadas maneras,pude gestionarse de diversos modos dependiendo de que el docente en cuestin haga de una forma uotra. En el primero vemos que luego del enunciado del problema, que es lo primero que aparece,hay una explicacin argumentada en lenguaje deliberadamente poco tcnico que busca que elestudiante se introduzca en una lgica en la que el conocimiento surge de forma de ser solucin deun problema y en la que esa solucin tiene una razn de ser que debe ser explicitada. Es decir, quesi bien puede usarse de muchas formas, la idea con que fue diseado el texto apunta a un currculumenseado donde la forma en que surjan los conceptos impliquen el rol activo la estudiante, o cuanto

menos la necesidad de que ese conocimiento requiere algn nivel de argumentacin.

En otras palabras en el libro de Kurzrok la sucesin de las actividades tienen una concepcin deltema en el que se apunta en un sentido en que el currculum enseado esta centrado en los aspectosoperatorios algortmicos. Mientras que en Itzcovich/Novembre el centro de la secuencia seencuentra en abrir posibilidades para que el currculum enseado que pueda surgir abone a laargumentacin y la construccin conceptual. (anexo 2) a) y b))

Como vemos a pesar de estar planteados los dos textos en enfoques centrados en el estudiantesdifieren profundamente en lo que apuntan a realizar. Esto resulta ms llamativo desde el momentoque ambos textos fueron publicados por la misma editorial, con poca diferencia de tiempo. Creemosque esto es un indicativo de que se apunta a cubrir nichos de mercado diferenciados. Es decir entrminos de currculum institucional, sera el proyecto institucional el que defina este nivel decurrculum, lo que conllevar ciertas definiciones sobre lo que se espera que hagan tanto lasdocentes como las estudiantes, de ah que diferentes instituciones harn diferentes elecciones detexto, y la editorial tendr un texto para cada una. Dentro por lo menos del enfoque progresista declase media alta al que parece apuntar esta editorial.

Para una visin tradicional del currculum tenemos los textos de la editorial Logikamente, lo quepodemos observar en los anexos 1) y 2) c) donde observamos que el rol docente, y la presentacinde la exposicin, es bien clsico, explicaciones de los aspectos mecnicos, completamentealgoritmizados y completos antes de poner aparte una serie de actividades mecnicas y quebuscan la interiorizacin de la mecnica por repeticin. Las actividades problemticas no son enrealidad problemas en un sentido que la didctica actual reconocera como tal sino actividades deaplicacin contextualizadas.

Los libros de esta ultima editorial resultan interesantes por cuanto surgen por una necesidad delmercado. Un docente comenz a reunir ejercicios (en el sentido ms pedestre y mecnico de lapalabra) y a reunirlos por encargo del docente que se lo peda. Sin ningn tipo de criterio didctico-pedaggico, es decir simplemente una sucesin de ejercitaciones mecnicas y nada ms, pero encantidades. El xito de la empresa lo llevo a fundar una editorial que se dedica a armar tiradas deese estilo. Nada de esto tiene ningn tipo de relacin con el currculum oficial, pero pareceresponder a una especie de currculum societal de facto el cual entiende al hacer matemtica comohacer cantidad de cuentas aunque no tenga mucho sentido eso que se hace. Esto es una versindeforme1 del antiguo currculum oficial imperante , por lo cual planteamos que en la actualidadtenemos conviviendo a nivel de currculum enseado por lo menos un residuo de currculumanteriores, una mezcla de sedimentaciones del currculum que exista hasta la dcada de 1960 conrestos del currculum de la llamada Matemtica Moderna.

Estos tres tipos de currculum enseado se pueden encontrar en textos que viven en el mismoespacio escolar en el que esta imperante el mismo currculum prescrito que vimos ms arriba.Pensamos que lo que se observa en estos textos es el resultante de un proceso de cambio curricular,y su consecuente cambio de enfoques y categoras de pensamiento respecto del espacio ulico, juntocon la inercia de un dominio del sistema escolar con un currculum histrico caracterizado por unfuerte apoyo dentro del sentido comn de la poblacin.

Creemos que esta variedad se puede entender en trminos de ser el punto de encuentro entre por unlado una reciente corriente didctica, que se observa en el texto de Itzcovich (el cual notablementees uno de los autores del documento curricular citado ms arriba). Y por el otro el remanente deenfoques ms antiguos que sobreviven en el sistema, ejemplificados por el texto de Logikamente. Elcual es un conjunto de tradiciones docentes2 reunidos en volmenes armados por encargo3. Este

1 Escribimos deforme dado que por lo menos a nivel de la argumentacin pedaggica el currculum que exista en la dcada de 1960, por poner un ejemplo, era notablemente ms sutil y elaborado que este residuo actual.

2 Nos arriesgaramos a decir familiares, dado que es lo que el comn de la gente suele reconocer como la matemtica como la enseaban en mis tiempos.

3 http://www.logikamente.com.ar/index.php?page=Productos_y_servicios::El_libro_a_medida

conflicto es el producto del proceso de cambios curriculares que se iniciaron a nivel mundial quecomienza a fines de la dcada del 50 y que todava continua, como planteamos en la introduccin(Kilpatrick).

El texto de Kurzrok, como tambin el de Altman referido en la bibliografa, pertenecen a laproduccin de una corriente de docentes que forman parte de distintos sistemas de capacitacindocente que buscan lograr un punto intermedio entre las innovaciones didcticas y las tradicionesdocentes. Sin embargo sera equivocado, creemos, pensar esto como una bsqueda de consensodado que los grupos en pugna, por lo menos hasta donde llega el conocimiento del autor de estaslineas, funcionan ms bien en trminos de paradigmas Kuhnianos que como una comunidad. Y enestos aspectos los grupos intermedios tampoco dialogan con los otros grupos.

En este sentido, y desde la experiencia del autor en tanto capacitador docente, un numeroimportante de docentes estatales parecen repetir oralmente la nueva jerga didctica simplementepor sentirse coaccionados por el hecho de que entienden que para las autoridades del sistemaeducativo eso es lo que hay que decir. Aunque sus practicas sigan siendo mayormente tradicionales.Lo cual parece estar apoyado por el xito de una empresa como Logikamente

Un aspecto que, tenemos la hiptesis, parece abonar a facilitar la existencia de diversas corrientesdidcticas conviviendo en simultaneo esta en el hecho de que ms all de plantear como necesariasdiferentes formas de currculum enseado estas diferentes formas de entender la enseanza de lamatemtica coinciden en presentar un tipo de clasificacin extremadamente fuertes. Es decir losmodernos enfoques relajan el enmarcamiento, por ser parte de lo que Bernstein denominapedagogas invisibles, pero a diferencia de otras reas de la pedagoga, la didctica de la matemticade avanzada es incluso ms celosa de sus diferencias con otros dominios cientficos que lasformas tradicionales de enseanza. Esto lleva a que, en un contexto donde dentro del sistemaeducativo parece estarse privilegiando los relatos interdisciplinarios y la enseanza por reas,incluso las formas ms radicales de didctica de la matemtica tengan un gusto un pocotradicional, permitiendo la confusin con formas anteriores de entender la enseanza.

Si intentamos hacer un balance del porque de la dinmica de cambio curricular en matemtica , enlinea con el trabajo de Cuban, no resulta fcil y requerira un estudio emprico que rezaba los limitesdel presente trabajo, sin embargo en base a una comparacin con lo planteado en el trabajo deKilpatrick para los Estados Unidos podemos desarrollar un principio de anlisis, lo cual por otrolado creemos que se puede apoyar a partir de la idea de influencias exgenas al mbito nacionalplanteada por Astiz, dado que, como una somera revisin de la bibliografa muestra la influencia delas escuelas didcticas Francesas y Norteamericanas en notable . Cmo escribamos partir deKilpatrick creemos que es razonable sugerir que una fuente para el cambio proviene del conflictocreado por la aparicin de la Matemtica Moderna, lo cual cre, creemos, un nivel de descontentohacia la matemtica escolar que nunca se volvi a superar. A partir de ese primer momento a losciclos de oscilacin tpicos del sistema educativo Argentino se le deben sumar la existencia degrupos de investigacin en didctica de las matemticas focalizados en distintas perspectivas, loscuales peridicamente realizan asaltos a los currculum oficiales intentando que estos sigan loslineamientos de su escuela por sobre los de otras4. Siendo hoy por hoy muy notable, comomarcamos ms arriba, que en los textos que analizamos ac el que uno de los coordinadores sea elresponsable del Documento Curricular de la Ciudad. Mientras que a nivel de la estabilidad delcurrculum, creemos que no es excesivo plantear que el que la formacin de profesorado siga siendoen los mismos trminos que hace 60 aos atenta contra cualquier tipo de modificacin.

4 En este aspecto, a modo anecdtico podemos aportar una muestra de la existencia de enfoques del currculum histrico surgidos de la Matemtica Moderna debido a un debate informal que sostuvimos con uno de los responsables de curricula de Jujuy el cual defenda la necesidad de comenzar el estudio de las funciones por su definicin conjuntista, exactamente a la manera moderna, contra todo lo que la didctica ha desarrollado durante los ltimos 25 aos a nivel mundial.

Todo lo analizado hasta aqu se puede sostener con un ejemplo aun ms notable como es el de laenseanza de la Funcin Cuadrtica.

El documento curricular del gobierno plantea:

Produccin de frmulas en diferentes contextos en los que la variable requiere serelevada al cuadrado. Problemas que se modelizan a travs de una funcin cuadrtica.Anlisis del grfico de f(x) = x 2. Estudio comparativo con la funcin lineal en trminosde crecimiento. Vrtice, eje de simetra. Variaciones de los grficos en funcin de lasvariaciones de las frmulas y viceversa. Incidencia en el vrtice y en el eje de simetra.Estudio de la funcin cuadrtica: factorizacin, ceros, crecimiento, decrecimiento,positividad, negatividad. Diferentes frmulas. (Varios, p. 11)

En el documento creado por el ministerio de educacin de la ciudad para la serie Aportes para laenseanza comienzan la secuencia de actividades con las que observamos en el anexo 3. En estos seobserva un par de ejemplos de lo que se debera entender por problemas de produccin de formulas.En donde resulta notable que estos son los enunciados a presentar a los estudiantes, y partiendo dela dinmica planteada por los autores el trabajo de las estudiantes debe ser de tipo exploratorio apartir del mismo.

En el anexo 4 observamos como trabaja el texto de Itzcovich-November con otra actividad perodesde el mismo tipo de lgica.

En el anexo 5 vemos el equivalente en el texto de Kurzrok, el cual empieza as mismo con unproblema produccin de formula, pero ligeramente ms sencillo y que utiliza el recurso deincorporarle un segundo punto en el cual se muestran dos resoluciones y se pide que el estudiantediga cual de ambas es correcta, y porque. Si bien este es un recurso perfectamente valido muestraque los autores consideran que pedirle a la estudiante una actividad puramente exploratoria desdeun comienzo es cognitivamente demasiado demandante. Y esto ya bastante avanzado el texto, en elcual han tenido la posibilidad de ir adquiriendo el saber hacer necesario.

Creemos que es posible leer esta ultima eleccin didctica desde la perspectiva de que apunta adocentes que piensan (o sienten) que sus estudiantes no estn en condiciones de encarar formas detrabajo ms exigentes desde el punto de vista de la devolucin de responsabilidades a nivelcontrato didctico.

Para hacer ms compleja esta lectura, el enfoque didctico que usa incluye dar ms funciones quelas que estn en la curricula, desde un razonamiento que plantea un primer paneo general a todas lasfunciones bsicas para ir profundizando en aos siguientes. Aqu es clara la divergencia entreescuelas didcticas. Sin entran a cuestionar que el estudiante tenga un rol activo, aunque condiferencias sobre que es lo que entienden por ello.

Finalmente en el anexo 5 tenemos el texto de Logikamente, el cual como es de esperarse reproduceel sentido comn sobre la enseanza formal del tema, primero exposicin acadmica de todos losaspectos que tradicionalmente se consideraron relevantes5. Luego ejercicios de repeticin mecnica.Y finalmente un problema de aplicacin a la fsica.

Creemos que en estos prrafos es posible observar con claridad los perfiles de tres formas diferentesde entender la actividad docente. Y nuevamente aqu lo que observamos son formas de plantear lasactividades que habilitan o no comportamientos acordes con los planteados por el currculumprescrito. Las diferencias se encuentran a nivel de la regulacin de la actividad docente, de laspracticas pedaggicas. Cada texto plantean tipos de actividades que potencialmente habilitan elsurgimiento de diferentes dinmicas al interior del aula.

5 La malicia no nos permite dejar de hacer notar que en el ejemplo del anexo se observan errores lgicos y matemticos sutiles pero evidentes para cualquier matemtico competente.

Conclusiones

A lo largo del presente trabajo hemos expuesto una variedad de materiales bibliogrficos quepermiten observar tres formas de entender la clase de matemtica. Nuestra argumentacin ha giradoen torno a que los enunciados mostrados en esta bibliografa aportan al desarrollo de tres formasdiferenciadas de dinmica y organizacin de la actividad de las estudiantes y los docentes. Estas tresformas pueden ser entendidas en trminos la dinmica que buscan que tenga el currculumenseado, pues apuntan a que los estudiantes adquieran competencias diferentes, aunque la mayorparte de estas competencias pasen, o puedan ser entendidas mejor, a travs de contenidosactitudinales o de saber/hacer y no por el manejo especficamente diferente a nivel de contenidoformal. Es decir este conjunto de diferencias se encuentran sobre todo a nivel de la enmarcacin delas actividades del aula. Ms en particular del mayor o menor descentramiento de la dinmica de laclase de la figura de la docente.

Estos tres currculum, hemos argumentado, representan por un lado el efecto del actual currculumprescrito, por otro una forma de currculum histrico que es la decantacin de una serie detradiciones de enseanza de la matemtica, no solo a nivel nacional sino mundial. Y finalmente eltercero es el producto de un grupo, ms o menos inorgnico, dentro del sistema educativo que buscarealizar una sntesis de los dos anteriores.

Si bien en cierto punto esta descripcin es algo esquemtica, sobre todo por no tener en cuenta quepara los agentes que formaran parte de los grupos que sostienen alguno de estos tres curriculadependen para llevarlo a la practica que las instituciones de las que forman parte dejen va libre paraque estas practicas puedan desenvolverse, y no todos los agentes estn en condiciones de poderelegir instituciones donde esta coincidencia se produzca. Sin embargo tener en cuenta estorequerira un trabajo emprico que se escapa de los margenes del seminario.

En resumen creemos que muestra que la situacin actual de la enseanza de la matemtica es unbuen ejemplo para diversas categoras analizadas a lo largo del seminario, sobre todo en lo querespecta a las dinmicas de cambio y conservacin dentro del sistema.

Anexos

1) a)

b)

c)

2)a)

b)c)

3)a)

b)

4)a)

b)

5)a)

b)

6)

Bibliografa

ALTMAN, Silvia V., COMPARATORE, Claudia R., KURZROK, Liliana E. (2005); Matemtica | Polimodal. Longseller, Buenos Aires.AKKER, J.J.H. van den. (2003); Curriculum perspectives: an introduction, en Akker, Kuiper & Hameyer (Eds.), Curriculum landscape and trends. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.ASTIZ, F. (2014) El Curriculum Escolar y su Abordaje desde la Teora de la Sociedad Mundial : Revisin y Prospectiva. Archivos Analticos de Polticas Educativas, 22 (25). BERNSTEIN, Basil (2000); Pedagogy, Symbolic Control and Identity: Theory, Research and Critique. Rowman & Littlefild Publishers, Inc., Oxford.CUBAN, Larry (1992); Curriculum stability and change, en Jackson, Philip. (ed.): Handbook of Research on Curriculum. Macmillan Publishing, New York.GOODLAD, John, ZHIXIN SU (1992); Organization of the Curriculum, en Jackson, Philip.(ed.): Handbook of Research on Curriculum. Macmillan Publishing, New York.ITZCOVICH, Horacio ; NOVEMBRE, Andrea (coord.) (2006); Matematica 1. Tinta Fresca, Buenos Aires.KILPATRICK, Jeremy (2009); The Mathematics teacher and curriculum change. PNA, 3 (3), pp. 107-121. Universidad de Granada, Granada.KURZROK, Liliana (coord.) (2008); Matemtica, ES - 3. Tinta Fresca, Buenos Aires.SESSA, Carmen, et. al. (2014); Matemtica. Funcin cuadrtica, parbola y ecuaciones de segundo grado. Ministerio de Educacin, Gobierno de la ciudad autnoma de Buenos Aires, Buenos Aires.VARIOS (2009); Contenidos para nivel medio, Matemtica. Ministerio de Educacin, Gobierno de la ciudad autnoma de Buenos Aires, Buenos Aires.