analisis de mallas

Roberto Daniel Castillo Téllez

Análisis de Circuitos Electrónicos

15 de Febrero del 2005

Análisis de Mallas

Una malla es una propiedad de un circuito plano y no existe en un circuito no plano. Se define una malla como un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. Ver Animación. 1

La corriente de malla se define como la corriente que fluye a través de los elementos que constituyen la malla. Nótese que la corriente en un elemento común a dos mallas es la suma algebraica de las corrientes de malla. La corriente de malla se indica por una flecha curva, aunque su dirección es arbitraria es recomendable elegir siempre corrientes de malla que circulen en el sentido de las manecillas del reloj, ya que esto ayuda a evitar errores al escribir las ecuaciones resultantes. El término malla se deriva da las similitudes en el aspecto entre las mallas cerradas de una red y una malla de alambre. Aunque esta técnica está en un plano más sofisticado que el método de las corrientes de las ramas, incorpora muchas de las ideas recién desarrolladas. De los dos métodos, el análisis de malla es el que se aplica con más frecuencia actualmente. Básicamente, la técnica del análisis de mallas simplemente elimina la necesidad de sustituir los resultados de la Ley de la corriente de Kirchhoff dentro de las ecuaciones derivadas a partir del voltaje de Kirchhoff.

1. Asigne una corriente distinta en dirección dextrógira a cada malla independiente de la red. No es absolutamente necesario elegir la dirección dextrógira para cada corriente de malla. De hecho, se puede seleccionar cualquier dirección para cada corriente de malla sin pérdida




de precisión, siempre y cuando se sigan adecuadamente los pasos restantes. Sin embargo, seleccionando la dirección dextrógira como un estándar, desarrollamos un método abreviado para escribir las ecuaciones requeridas que ahorrará en tiempo y es posible que evite algunos errores comunes.

2. Indique las polaridades dentro de cada malla para cada resistor, como se determinan por la dirección supuesta de la corriente para tal malla. Tome en cuenta el requerimiento de colocar las polaridades dentro de cada malla. Esto hace necesario, que dos polaridades pasen por el resistor de 4Ω.

3. aplique la Ley de voltaje de Kirchhoff por cada malla cerrada en dirección dextrógira. Una vez más, se eligió la dirección dextrógira con el fin de establecer uniformidad y prepararnos para el método que se presentará en la sección siguiente.

a. Si un resistor tiene dos o más corrientes supuestas que pasan por

él, la corriente total que pasa por el resistor es la corriente supuesta de malla a la cual se está aplicando la Ley del voltaje de Kirchhoff, más las corrientes supuestas de las otras mallas que pasan en la misma dirección, menos las corrientes supuestas que pasan en la dirección opuesta.

b. La dirección de las corrientes de malla asignadas no afecta la polaridad de una fuente de voltaje.

4. Despeje las ecuaciones lineales simultáneas resultantes para las

corrientes de malla supuestas.

EJEMPLO

Encontrar las corrientes en las resistencias y el voltaje en el circuito.

Este caso permite aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff, por ejemplo en el nodo superior:




I = I1 + I2 = 1 mA

Como los tres elementos están en paralelo el voltaje en el circuito es el mismo para todos: V

Vr1 = Vr2 R1 * I1 = R2 * I2

de donde: I2 = (I1 * R1) / R2

reemplazando en la primera expresión: I1 + [(I1 * R1) / R2] = I

donde hay una incognita, despejando: I1 = I / (1+ (R1/R2)) = 1 mA / (1+ (220K / 100K)) = 0.3125 mA

con esas información se calculan los otros datos:

I2 = I - I1 = 1 mA - 0.3125 mA = 0,6875 mA

V = R1 * I1 = 220 K * 0.3125 mA = 68.75 V

En resumen podemos decir que:




Fuentes Independientes: Primero, tratamos a la fuente dependiente como si fuera una fuente independiente cuando escribimos las ecuaciones de la LVK. Después, escribimos la ecuación controladora para la fuente dependiente. Un circuito que sólo contenga fuentes independientes de voltaje y resistencias, produce un formato específico de ecuaciones que se pueden obtener fácilmente. ver Ejemplo 1.

Supermalla: Otra técnica utilizada cuando se tiene una fuente de corriente común a dos mallas es la llamada supermalla. Una supermalla es una malla creada a partir de dos mallas que tienen una fuente de corriente común ya sea dependiente o independiente, esto significa que se reduce en uno él numero de ecuaciones de malla independientes, ver ejemplo 2.




Regla de Crámer:

SE dice que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Crámer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo.

Los sistemas de Crámer son siempre compatibles y determinados.

La resolución de un sistema de ecuaciones lineales puede efectuarse mediante la llamada regla de Crámer que afirma:

"En un sistema de Crámer, cada incógnita puede obtenerse mediante el cociente de dos determinantes. El primero es el determinante de la matriz de los coeficientes en el que se ha sustituido la columna correspondiente a la incógnita a despejar por la columna de los términos independientes y el segundo es el determinante de la matriz de los coeficientes".

En efecto:

Sea el sistema de Crámer, de n ecuaciones con n incógnitas:

Escrito en forma matricial quedaría:

donde:




despejando X en la igualdad anterior, para lo cual premultiplicamos por la matriz inversa de A tenemos:

Si recordamos cómo se calcula la inversa de una matriz por el método de los adjuntos, podemos poner:

de donde queda para una incógnita genérica xj:

Pero en la igualdad anterior, el numerador es el desarrollo del determinante:

por los elementos de la columna i-ésima.

Luego podemos poner:

de donde la Regla de Crámer queda demostrada.

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