Anlisis de Posicin de Mecanismos Planos.

Anlisis de Posicin de Mecanismos Planos.La figura muestra las longitudes de los eslabones y la escala a la cual se dibuja el mecanismo. 1.

El primer paso consiste en localizar el punto O2 y trazar las dos lneas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que partiendo de O2, permiten localizar el punto O6 y la lnea sobre la cual esta localizado el punto C.Figura 2: Segundo Paso del Anlisis de Posicin de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

2. El segundo paso consiste en localizar el punto A trazando una lnea que pasa por O2 y con un ngulo de 45 con respecto al semieje positivo X, vea la figura 2.

3. El tercer paso consiste en determinar el punto C, localizando la interseccin de la lnea horizontal que pasa por el punto O2 y un circulo con centro en el punto A y radio igual a la longitud AC. Es evidente que la solucin indicada en la parte derecha de la figura 3 no es de inters en este problema. Adems, es posible determinar la localizacin del punto B, situado a la mitad del segmento AC.

4. El paso final del anlisis de posicin del mecanismo consiste en la determinacin del punto D, localizado en la interseccin de dos crculos. El primero de ellos con centro en el punto B y radio igual a BD y el segundo con centro en el punto O6 y radio O6D. Es evidente que la solucin indicada con lnea punteada, en la figura 4, no es la deseada.Anlisis de Velocidad de Mecanismos Planos1. El primer paso del anlisis de velocidad consiste en seleccionar un punto que servir como origen del polgono de velocidad, as como la escala con la que se dibujaran los vectores asociados al polgono de velocidad, por ejemplo 1 u.l. = 1mm/seg.. Como regla general, se recomienda dibujar el polgono y los clculos correspondientes al anlisis de velocidad en unanueva capa layer y con otro color. Por ejemplo, en el problema a resolver se seleccin o una escala de 100 u.l. = 1pulg./seg., vea la figura 5.

Figura 3: Tercer Paso del Anlisis de Posicin de un Mecanismo Plano de Seis Barras.2. El segundo paso consiste en dibujar el vector que representa la velocidad del punto A, ~vA.Debe notarse que en el punto A existen en realidad dos puntos A coincidentes, uno que formaparte del eslabn 2, A2, y el otro que forma parte del eslabn 3, A3. Puesto que el puntoA esta localizado en el eje de rotacin del par de revoluta, ambos puntos tienen la misma velocidad, es decir ~vA2 = ~vA3 .Esta velocidad esta calculada, como si el punto A formara parte del eslabn 2, por lo tanto~vA = ~2 ~rA/O2 , donde la magnitud de esta velocidad esta dada por | ~vA |=| ~2 || ~rA/O2 | Sen 90 = 2pulg.seg.Puesto que la escala del polgono de velocidad es de 100 u.l. = 1pulg./seg., el vector querepresenta ~vA es de 200 u.l. Adems, la direccin de ~vA es perpendicular a ambos ~ 2, por lo tanto en el plano del dibujo, y a ~rA/O2 . Debe notarse que para facilitar la medicin de los vectores la punta de flecha no esta, como es usual, dibujada en el extremo del vector, el extremo del vector se denomina el punto A, vea la figura 6, y corresponde a la imagen de velocidad del punto A del mecanismo.

Figura 4: Cuarto Paso del Anlisis de Posicin de un Mecanismo Plano de Seis Barras.3. El segundo paso consiste en determinar la velocidad del punto C, como se indico en el primer paso, existen dos puntos C coincidentes. C3 que forma parte del eslabn 3 y C4 que forma parte del eslabn 4. Como ambos puntos yacen en el eje de rotacin del par de revoluta tienen la misma velocidad. Por lo tanto ~vC3 = ~vC4 . Adems, la velocidad del punto C3, esta dada por~vC3 = ~vA3 + ~3 ~rC/A = ~vA2 + ~3 ~rC/A = ~vA2 +~vC/A (1)

Por lo tanto, se tiene la ecuacin vectorial~vA2 + ~3 ~rC/A = ~vC4 , (2)

donde, adems, se conoce la direccin de ~vC4 , puesto que el par cinemtico que conecta los eslabones 1 y 4 es un par prismtico, entonces la direccin de ~vC4 es horizontal.Esta ecuacin vectorial (2) genera dos ecuaciones escalares y por lo tanto debe existir, como mximo, dos incgnitas escalares. Estas incgnitas son, la magnitud de la velocidad angular ~3 y la magnitud de la velocidad ~vC4 . De manera grafica, la ecuacin (2) se resuelve dibujando, a partir del punto A, una lnea en la direccin de la velocidad ~vC/A = ~3 ~rC/A y a partir del punto O, una lnea en la direccin de la velocidad ~vC4 . La interseccin de ambas lneas determina el punto C, vea la figura 7, que es la imagen de velocidad del punto C del mecanismo original.

4. El tercer paso consiste en determinar la velocidad del punto B3, a partir de la ecuacin (1)puede escribirse~vB3 = ~vA3 + ~3 ~rB/A = ~vA2 + ~3 ~rB/A (3)Figura 5: Resultado del Anlisis de Velocidad de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

Figura 6: Primer Paso del Anlisis de Velocidad de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

Sin embargo, los puntos A, B y C son colineales. De manera que tomando en cuenta las distancias entre los puntos, se tiene que

De aqu que

Esta ecuacin puede resolverse grficamente dibujando un circulo con centro en el punto A, del polgono de velocidad, con radio igual a la mitad del vector ~vC/A que va del punto A al punto C. La interseccin del circulo con el vector ~vC/A determina el punto B, la imagen de velocidad del punto B del mecanismo original. El vector que va del punto O al punto B determina la velocidad de ambos puntos B3 y B5, denominada ~vB, vea la figura 8.5. El cuarto paso del anlisis de velocidad consiste en determinar la velocidad del punto D, nuevamente se tiene que ~vD5 = ~vD6Esta ecuacin puede escribirse como

Figura 7: Segundo Paso del Anlisis de Velocidad de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

Figura 8: Tercer Paso del Anlisis de Velocidad de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

De nueva cuenta, si la ecuacin (5) puede resolverse debe tener como mximo dos incgnitas escalares. En este caso, esas incgnitas son las magnitudes de las velocidades angulares ~5 y ~6. Grficamente esta ecuacin se resuelve dibujando a partir del punto B una lnea perpendicular al vector ~rD/B y dibujando a partir del punto O una lnea perpendicular al vector ~rD/O6 . La interseccin de estas dos lneas determina el punto D, vea la figura 5, que es la imagen de velocidad del punto D del mecanismo original.

6. El paso final del anlisis de velocidad consiste en determinar las magnitudes de los vectores delpolgono de velocidad y a partir de ellos determinar la magnitud y direccin de las velocidadesangulares. En ocasiones, es necesario, adems, determinar la velocidad de un punto, como cuando un eslabn esta sujeto a un movimiento de traslacin en cuyo caso todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la velocidad angular del eslabn es nula.(a) Considere la determinacin de la velocidad angular ~5. El primer problema es el determinar cual de los vectores del polgono de velocidad permite determinar ~5, la solucin es muy simple, el vector debe conectar dos puntos que pertenezcan al eslabn 5, es decir los puntos B y D. En este caso es el vector ~vD/B, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de 152.9509 u.l., por lo que, a partir de la escala del polgono de velocidad, que es de 100 u.l. = 1 pulg./seg., se tiene que

El sentido es el indicado por el polgono de velocidad, de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba. A partir de la ecuacin (5), se tiene que:

Por lo tanto:

El sentido se determina empleando la regla de la mano derecha, en este caso es en sentido horario cw clockwise.(b) Considere la determinacin de la velocidad del punto C. Debe recordarse que ~vC3 = ~vC4.Mida el vector que va del punto O al punto C, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de 116.0213 u.l., por lo que, a partir de la escala del polgono de velocidad, que es de 100 u.l. = 1 pulg./seg., se tiene que

El sentido de la velocidad es el indicado en el polgono de velocidad. El resto de los resultados, que se emplearan como datos para el anlisis de aceleracin, se determina de manera semejante.

Anlisis de Aceleracin de Mecanismos Planos1. El primer paso del anlisis de aceleracin consiste en seleccionar un punto que servir como origen del polgono de aceleracin, as como la escala con la que se dibujaran los vectoresasociados al polgono de aceleracin, por ejemplo 1 u.l. = 1mm/seg2. Como regla general, se recomienda dibujar el polgono y los clculos correspondientes al anlisis de aceleracin en una nueva capa layer y con otro color. Por ejemplo, en el problema a resolver se selecciono una escala de 100 u.l. = 1pulg./seg2., vea la figura 9.

En este caso se supondr que la velocidad angular del eslabn 2 es constante, por lo tanto~2 = 0 rad./seg2.

2. El segundo paso del anlisis de aceleracin consiste en calcular todas las aceleraciones normales y la aceleracin tangencial del punto A. Para tal fin, se tiene que, empleando el concepto de placa representativa, las aceleraciones normales estn dadas porLas magnitudes de estas aceleraciones normales estn indicadas en la figura 9. Por otro lado, la aceleracin tangencial del punto A esta dada por

Figura 9: Resultado del Anlisis de Aceleracin de un Mecanismo Plano de Seis Barras.3. El tercer paso del anlisis de aceleracin consiste en determinar la aceleracin del punto C, vea la figura 10. De nueva cuenta debe notarse que existen dos puntos C coincidentes. C3 que forma parte del eslabn 3 y C4 que forma parte del eslabn 4. Como ambos puntos yacen en el eje de rotacin del par de revoluta tienen la misma aceleracin. Por lo tanto

Adems, la aceleracin del punto C3, esta dada por

Por lo tanto, se tiene la ecuacin vectorial

(6)donde, de nueva cuenta, la direccin de la aceleracin ~aC4 es horizontal pues el par cinemtico que conecta los eslabones 1 y 4 es prismtico.Esta ecuacin vectorial (7) genera dos ecuaciones escalares y por lo tanto deben existir, como mximo, dos incgnitas escalares. Estas incgnitas son, la magnitud de la aceleracin angular ~3 y la magnitud de la aceleracin ~aC4 . De manera grafica, la ecuacin (7) seresuelve dibujando, a partir del punto A, un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleracin normal ~anC/A y, a continuacin, una lnea en la direccin de la aceleracin tangencial ~atC/A = ~3~rC/A y a partir del punto O, una lnea en la direccin de la aceleracin ~aC4 . La interseccin de ambas lneas determina el punto C, vea la figura 10.4. El tercer paso del anlisis de aceleracin consiste en determinar la aceleracin del punto B, vea la figura 10, a partir de la ecuacin (6) puede escribirse

Sin embargo, los puntos A, B y C son colineales. De manera que tomando en cuenta las distancias entre los puntos, se tiene que:

Figura 10: Tercer Paso del Anlisis de Aceleracin de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

De aqu que

Esta ecuacin puede resolverse grficamente dibujando un vector que conecte el punto A con el punto C, este vector representa la aceleracin total del punto C respecto del punto A

A continuacin se dibuja un circulo con centro en el punto A, del polgono de aceleracin, con radio igual a la mitad del vector ~aC/A. La interseccin del circulo con el vector ~aC/A determina el punto B. Si se dibujara el vector que va del punto O al punto B, este vector determinara la aceleracin de ambos puntos B3 y B5, denominada ~aB.

5. El quinto paso del anlisis de aceleracin consiste en determinar la aceleracin del punto D, nuevamente se tiene que

Esta ecuacin puede escribirse como

De nueva cuenta, si la ecuacin (10) puede resolverse debe tener como mximo dos incgnitas escalares. En este caso, esas incgnitas son las magnitudes de las aceleraciones angulares ~5 y ~6. Grficamente esta ecuacin se resuelve dibujando a partir del punto B un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleracin normal y, a continuacin, una lnea en la direccin de la aceleracin tangencial

Por otro lado, es necesario dibujar, a partir del punto O un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleracin normal ~anD y, a continuacin, una lnea en la direccin de la aceleracin tangencial

La interseccin de estas dos lneas determina el punto D, vea la figura 9.

Figura 11: Cuarto Paso del Anlisis de Aceleracin de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

6. El paso final del anlisis de aceleracin consiste en determinar las magnitudes de los vectores del polgono de aceleracin y a partir de ellos determinar la magnitud y direccin de las aceleraciones angulares. En ocasiones, es necesario adems determinar la aceleracin de un punto, como cuando un eslabn esta sujeto a un movimiento de traslacin en cuyo caso todos los puntos del cuerpo tienen la misma aceleracin y la aceleracin angular del eslabn es nula.

(a) Considere la determinacin de la aceleracin angular ~5. El primer problema es el determinar cual de los vectores del polgono de aceleracin permite determinar ~5, la solucin es muy simple, el vector debe conectar dos puntos que pertenezcan al eslabn 5, es decir los puntos B y D, adems la magnitud del vector debe depender de la magnitud del vector ~5. En este caso, la solucin es el vector ~atD/B, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de 164.4554 u.l., por lo que, a partir de la escala del polgono de aceleracin, que es de 100 u.l. = 1 pulg./seg2., se tiene que

El sentido es el indicado por el polgono de aceleracin, de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba. A partir de la ecuacin (10), se tiene que

Por lo tanto,

El sentido se determina empleando la regla de la mano derecha, en este caso es en sentido horario cw clockwise.(b) Considere la determinacin de la aceleracin del punto C. Debe recordarse que ~aC3 = ~aC4. Mida el vector que va del punto O al punto C, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de 140.6021 u.l., por lo que, a partir de la escala del polgono de aceleracin, que es de 100 u.l. = 1 pulg./seg2., se tiene que

El sentido de la aceleracin es el indicado en el polgono de aceleracin.

TEOREMA DE KENNEDY

Elteorema de los tres centros(ode Kennedy) es til para encontrar aquelloscentros instantneos de rotacin relativosen un mecanismo, que no sean de obtencin directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:"Si tenemos tres eslabones (slidos rgidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estn o no conectados entre s) los centros instantneos de rotacin relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradiccin, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantneo de rotacin relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendra la misma velocidad como perteneciente al eslabn 2 (vP2), que la que tendra como perteneciente al eslabn 3 (vP3).Estas dos velocidades slo pueden ser iguales en un punto Q que est alineado con los centros instantneos de rotacin relativos de cada eslabn respecto del eslabn fijo. Ya que esta es la nica forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2y vQ3coincidan.

La posicin de Q depender de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su mdulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro quew2ha de ser mayor quew3Este teorema tambin puede demostrarse planteando el clculo de la velocidad del punto Q (centro instantneo de rotacin relativo entre los eslabones 2 y 3) como perteneciente al slido 2 y como perteneciente al slido 3:Esta ltima igualdad slo es posible si los dos vectores de posicin del punto Q (respecto a los centros de rotacin O2y O3) tienen la misma direccin. Y, por lo tanto, los tres centros instantneos de rotacin relativos (O2, O3y Q) han de estar alineados.