UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA Y MECANICA DE LA PRODUCCIN

PROGRAMA DE INGENIERA QUMICA ADI

FEBRERO 2009 Ing. Jos G. Chirinos L.

ANALISIS DE REDES EN CORRIENTE ALTERNA EN EL DOMINIO FRECUENCIAL

1. INTRODUCCION La Impedancia es la oposicin al paso de la corriente alterna. Hasta ahora hemos estudiado y analizado circuitos funcionando en DC. En adelante se estudiaremos el funcionamiento de los circuitos elctricos en corriente alterna agregando para ello otros elementos pasivos como lo son el condensador y la bobina. Analizaremos los circuitos RC Serie y RL Serie, los cuales nos ayudaran en la comprensin de conceptos tales como: Fasor, Angulo de Fase, Impedancia, Clculo fasorial, Cumplimiento de las Leyes de Ohm, Kirchoff, etc., en corriente alterna.

2. FUNDAMENTOS TEORICOS

La resistencia en un circuito de C.A. El comportamiento de una resistencia en circuitos de C.A es similar a su comportamiento en los de C.C. En la figura N 3.1, se muestra una resistencia conectada a los terminales de una fuente de tensin de C.A. (El generador de seales), que vara en forma sinusoidal. Se debe hacer notar que la cada de tensin sobre la resistencia y la corriente a travs de l, siempre estarn en fase entre si. En las ecuaciones 3.1 y 3.2 se dan la tensin de la fuente v(t), y la corriente i(t) en el circuito de C.A. resistivo puro. v(t) = Vmax Sen (2f t) 3.1 i(t) = Imax Sen (2f t) 3.2 Donde:

v (t) es el valor instantneo de la tensin en voltios.

Vmx es el valor de la tensin pico ( mxima) en voltios.

i (t) es el valor instantneo de la corriente en amperios. Imx es el valor de la corriente pico en amperios. 3,14 f es la frecuencia en Hertz.

t es el tiempo en segundos.

Fig. N 3.1. RESISTENCIA EN UN CIRCUITO DE C.A.

La ecuacin 3.3 representa a la ley de Ohm. Para una resistencia en un circuito de C.A. (vase la figura N 3.1).

i(t)=v(t)/R (3.3) En la figura N 3.2, se dan las representaciones grfica (Dominio del tiempo y Fasorial (Dominio de la frecuencia) de la tensin sobre la resistencia la corriente a travs de l.

Fig. N 3.2. REPRESENTACION GRFICA (A LA IZQUIERDA) Y FASORIA (A LA DERECHA) DE LA CORRIENTE Y LA TENSION EN UN CIRCUITO RESISTIVO.

La bobina en un circuito de C.A.

Si se conectara una fuente de corriente alterna a una bobina ( inductor) se producir inmediatamente una cada de tensin

sobre la bobina, pero la corriente ser retrasada por un factor. Este factor se llama "Reactancia" de la bobina, cuyo smbolo es "XL". La

expresin matemtica que define a la reactancia esta dada en la ecuacin 3.4

XL = 2f L (3.4)

Donde: XL es la reactancia de la bobina en ohmios

3,14

f es la frecuencia en Hertz

L es la inductancia de la bobina en Henrios

Analizando la ecuacin 3.4 se puede observar que la reactancia de la bobina es directamente proporcional a la frecuencia y la

inductancia. En a figura n 3.3 se muestra una bobina en un circuito de C.A. y t la variacin de la reactancia con la frecuencia.

Fig. N 3.3 LA BOBINA EN UN CIRCUITO DE C.A. (A LA IZQUIERDA) Y LA REACTANCIA EN FUNCION DE LA FRECUENCIA (A LA DERECHA)

En el circuito inductivo puro de la fig. N 3.3, la corriente esta determinada por la ley de Ohm. Ntese que R esta reemplazada

Vmax Imax

f

por la reactancia XL. La Ecuacin 3.5 da la corriente a travs de la bobina.

i(t) = v(t) / XL (3.5)

En un circuito inductivo puro, sin ningn componente resistivo, la tensin esta adelantada a la corriente en 90, es decir, que

hay una diferencia de fase de 90 entre la corriente a travs de la bobina y el voltaje en los bornes de la misma. Por lo tanto, la corriente

y la tensin pueden ser descritas como en las ecuaciones 3.6 y 3.7:

v(t) = Vmax Cos (2f t) (3.6)

i(t) = Imax Sen (2f t) (3.7)

La figura N 3.4 muestra la representacin grafica y fasorial de la tensin sobre la bobina y la corriente a travs de ella.

Fig. N 3.4 REPRESENTACION GRAFICA DE LA CORRIENTE Y LA TENSION EN UN CIRCUITO DE C.A. INDUCTIVO (A LA IZQUIERDA) Y FASORIAL (A LA DERECHA).

El condensador en un circuito de C.A.:

El comportamiento del condensador ( capacitor) en un circuito de C.A. es similar, en trminos generales, al de la bobina. Cuando se

conecta el condensador a una fuente de C.A, figura N 3.5, se obtiene una reactancia inversamente proporcional a la frecuencia. Se

denomina a esta reactancia: capacitiva (Xc) y est dada por la ecuacin: Xc = 1/2 f C (3.8)

Donde:

Xc es la reactancia de1 condensador en ohmios

3,14 ... : ..

f es la frecuencia en Hertz.

C es la capacidad del condensador en Faradios

v(t)

Vmax

Fig. N 3.5 EL CONDENSADOR EN UN CIRCUITO EN C.A. (A LA IZQUIERDA) Y LA VARIACION DE LA REACTANCIA CON LA FRECUENCIA (A LA DERECHA)

Para un elemento "Capacitivo puro", donde hay solamente un componente reactivo-capacitivo y ninguno resistivo la corriente

est adelantada a la tensin en 90. En la figura N 3.6 se muestran la tensin y a corriente en un circuito capacitivo, tanto grfica como

fasorialmente.

LA IMPEDANCIA

Para las mediciones y el anlisis de circuitos de. C.A que contienen un resistor R, una bobina L y un condensador C

(Circuitos RCL serie y RCL paralelo), se deben conocer los principios bsicos de clculo fasorial y nmeros complejos.

Fig. N 3.6 GRAFICOS DE LA CORRIENTE A TRAVES DE UN CONDENSADOR Y LA TENSION ENTRE SUS BORNES EN UN CIRCUITO DE C.A. EN FUNCION DEL TIEMPO (A LA IZQUIERDA) Y REPRESENTACION FASORIAL

(A LA DERECHA)

NUMEROS COMPLEJOS

Un nmero complejo Z, es un nmero de la forma R jX, donde R y X son nmeros reales mientras que j= -1, llamado

"operador imaginario" "unidad imaginaria". Al primer trmino R del nmero complejo RjX se le denomina "parte real" y se le

representa sobre el eje real eje 0 del plano complejo. Al segundo trmino jX se le denomina "parte imaginaria" y se le representa en

un eje perpendicular al primero llamado "eje imaginario". Cuando R = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero "imaginario puro"

y en forma similar cuando X = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero "real puro"; por lo tanto el conjunto de los nmeros

complejos contiene al subconjunto de los nmeros reales y al de los imaginarios. Dos nmeros complejos R1 jX1 y R2 jX2 son

iguales s, y solamente s, R1 = R2 y Xl = X2.

Como se ve en la figura N 3.7 el eje del los nmeros reales (horizontal) es perpendicular al eje imaginario (eje y). Los ejes se

interceptan en un punto comn llamado cero. Todo nmero complejo puede ser representado por un punto en el plano complejo y todo

punto en el plano complejo, representa un nmero complejo y solamente uno. Al multiplicar un fasor por j se obtiene el efecto de girar

el fasor 90 en el sentido positivo (contra las agujas de un reloj).

Fig. N 3.7 PLANO COMPLEJO

La representacin fasorial de un nmero complejo est dada por una flecha Z, cuyo comienzo esta en el origen de las

coordenadas y la punta en el punto que representa el nmero complejo en el plano.

En la figura N 3,8 se muestran las representaciones fasoriales de los nmeros complejos R + jX y R - jX.

En la figura N 3.8 se puede observar que la parte real de un nmero complejo es la proyeccin del fasor Z sobre el eje

horizontal (real) y la proyeccin sobre el eje vertical (imaginario) constituye la parte imaginaria del mismo. Conforme al teorema de

Pitgoras, se puede calcular el valor absoluto del fasor Z, al cual se simboliza / Z /. La ecuacin 3.9 muestra la ecuacin matemtica

para calcular la magnitud del fasor.

..

Fig. N 3.8 REPRESENTACION FASORIAL DE NUMEROS COMPLEJOS

(3.9)

Donde: X es la parte imaginaria del nmero complejo. R es la parte real del nmero complejo. /Z/ es el mdulo o valor absoluto de Z

El sentido del fasor se define mediante el ngulo de fase , que se mide en direccin contraria a las agujas del reloj, tomando como referencia el eje horizontal. La expresin matemtica para el ngulo de fase esta dada por la ecuacin 3.10 (ver fig. N 3.8) tg = X / R (3.10)

Propiedades de los nmeros complejos

El conjugado de un nmero complejo: Dos nmeros complejos son conjugados entre si, si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias de la misma magnitud pero signo contrario. El conjugado cuyo smbolo es Z*, de un nmero complejo Z=R+jX, ser el nmero complejo Z*=R-jX. En la figura N 3.8 se da la representacin fasorial de dos nmeros complejos. Se puede observar en esta figura que a conjugada Z* del numero complejo Z es la imagen de Z con respecto al eje real.

Suma y resta de nmeros complejos: Se suman (o restan) a los nmeros complejos sumando (o restando) las partes reales e imaginarias separadamente. Por ejemplo, dados los nmeros complejos Z1=R1+jX1 y Z2=R2+jX2, su suma ser:

Z1+Z2 = (R1+R2)+j(X1+X2) (3.11)

y su resta:

Z1-Z2 = (R1-R2)+j(X1-X2) (3.12).

Multiplicacin y divisin de nmeros complejos: La multiplicacin de nmeros complejos es similar a la multiplicacin algebraica comn. Se muestra el procedimiento mediante la ecuacin 3.13:

Z1.Z2=(R1+jX1).(R2+jX2)=R1.R2+jR1.X2+jX1.R2+j2 X1.X2 (3.13)

(3.14) Para dividir nmeros complejos se multiplica al numerador y al denominador por la conjugada del denominador. Cuando se multiplica a un nmero complejo por su conjugado; se obtiene un nmero real puro:

(3.15)

R

R+jX X

R-jX X

R

22// XRZ +=

)/(1 RXtg =

En la ecuacin 3.16 se muestra la divisin de un nmero complejo por otro: (3.16)

Z1 / Z2 = [(R1 + jX1).(R2 jX2) ] / [(R2 + jX2).(R2 - jX2) ]

Se puede usar la representacin polar para aplicar la multiplicacin y la divisin de nmeros complejos. As; teniendo la representacin rectangular se transforma a polar obtenindose:

Z/1_ = / Z1 / /1_ Y Z2 = / Z2 / /2_

Z1.Z2 = (/ Z1 / / 1_).(/ Z2 / /2) = (/ Z1 /./ Z2 /) / 1 + 2 (3.17)

Z1/Z2 = (/ Z1 / / 1_ / / Z2 / /2_ ) = (/ Z1 /)/(/ Z2 /) / 1 2 (3.18)

REPRESENTACIN FASORIAL DEL COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS PASIVOS

ANTE LA C.A. SENOSOIDAL:

Anteriormente se habl que en un "inductor puro" la tensin est adelantada a la corriente en 90. Para un condensador puro la

corriente est adelantada a la tensin en 90. En un resistor puro la tensin y la corriente se encuentran en fase.

Al incluir en un circuito de C.A. un resistor, una bobina y un condensador; se requiere el conocimiento de un nuevo concepto:

"la impedancia". El smbolo de la impedancia es Z y se mide en ohmios.

Impedancia de un circuito R-C serie: En la figura N 3.9 se muestra un circuito RC serie.

A los circuitos de C.A., se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff como as tambin el uso de los nmeros complejos y la

representacin fasoria1. Escribamos la siguiente ecuacin para las tensiones correspondientes al circuito de la

figura N 3.9:

V = VR + Vc (3.19)

Fig. N 3.9. CIRCUITO RC SERIE

Donde:

V es el fasor que representa a la tensin de la fuente; en voltios.

VR es el fasor que representa a la cada de tensin sobre el resistor, en voltios.

Vc es el fasor que representa a la cada de tensin sobre el condensador, en voltios.

En el circuito serie dado circula una corriente uniforme I a travs de todos los componentes; por lo tanto:

V = I.R + I.(-jXc) (3.20)

V = I.(R-jXc) = I.Z (3.21)

Por lo tanto, la impedancia para un circuito RC serie ser:

Z=R-jXc (3.22) y la corriente en el mismo circuito ser:

I= V / ( R - jXc ) (3.23) NOTA: De la representacin fasorial de la tensin, de la corriente y de la impedancia se pueden obtener sus valores

absolutos y sus ngulos de fase. Estos valores pueden ser calculados mediante las reglas de la aritmtica de los

nmeros complejos.

En la figura N 3.10. Se pueden observar la representacin fasorial de las distintas magnitudes en el circuito RC serie.

Fig. N 3.10 REPRESENTACION FASORIAL DE LAS TENCIONES, CORRIENTES (A LA IZQUIERDA), Y REACTANCIAS E IMPEDANCIAS (A LA DERECHA) EN EL CIRCUITO RC SERIE.

Se define a la potencia del circuito de C.A. como el producto de la tensin por la corriente en fase con ella. De

acuerdo a esta definicin, la Potencia del circuito ser: P = V.I Cos (3.24)

o Impedancia de un circuito R-C paralelo: Se muestra en la figura N 3,11 un circuito RC paralelo.

I VR

R

Vc V

Xc Z

Fig. N 3.11 CIRCUITO RC PARALELO

Aplicando la ley de comentes de Kirchhoff obtenemos la siguiente relacin matemtica para la

corriente:

I = IR + IC (3.25)

V/Z = VR / R + VC / -jXC (3.26)

1/Z = 1 / R + 1 / -JXC (3.27)

ya que V = VR = VC debido a que la conexin est en paralelo, se denomina a la magnitud 1/Z "admtancia" y su smbolo es

Y. Esta es la inversa de la impedancia y su unidad es el l /, Mho Siemens. El valor absoluto de la admitancia es:

/Y/ = (3.28) el ngulo de fase de la admitancia se calcula de la siguiente manera:

= tg -1 (R / Xc) (3.29)

en Figura N 3.12 se muestra la representacin fasorial del circuito RC paralelo.

Fig. N 3.12 REPRESENTACION FASORIAL DE LAS TENSIONES Y CORRIENTES EN EL CIRCUITO RC PARALELO

22 )/1()/1( XcR +

IR V

I IC

Impedancia de un circuito R-L serie: Se muestra en la figura N 3.13 un circuito RL serie.

Fig. N 3.13 CIRCUITO RL SERIE

El anlisis del circuito RL serie es muy parecido al del circuito RC serie.

Por lo tanto, se procede de la siguiente manera:

V=VR+VL (3.30)

/ V/ = (3.31)

Z = R + jXL (3.32)

y la corriente en el mismo circuito ser:

I=V / (R + jXL) = I / Z (3.32)

P = V . I Cos (3.32)

(3.32)

= tg -1 (XL / R) (3.32)

La representacin fasorial del circuito RL serie est dada en la figura N 3.14

Fig.N 3.14 REPRESENTACION FASORIAL DE LAS TENSIONES Y CORRIENTES EN EL CIRCUITO RL SERIE

Impedancia de un circuito R-L paralelo: Se muestra en la figura N 3.15 el circuito RL paralelo, El anlisis del circuito RL

paralelo es similar al del circuito RC paralelo, por lo tanto obtendremos ecuaciones similares:

22LR VV +

22// LXRZ +=

VL

I VR

V

Fig. N 3.15 CIRCUITO RL PARALELO

Aplicando la ley de comentes de Kirchhoff obtenemos la siguiente relacin matemtica para la Corriente:

I=IR +I L (3.37)

V/Z = (VR / R ) + (VL / jXL) (3.38)

Y = 1 / Z = (1 / R) j ( 1 / XL ) (3.39)

ya que V = VR = VL debido a que la conexin est en paralelo.

/ Y / = (3.40) = tg -1 ( R / XL ) (3.41) P = V.I Cos (3.42) En la figura N 3.16 se muestra la representacin fasorial del circuito RL paralelo.

Fig. N 3.16 REPRESENTACION FASORIAL DE LAS TENSIONES Y CORRIENTES EN EL CIRCUITO RL PARALELO

REFLEXION Donde no hay visin, el pueblo se extrava; Dichosos los que son obedientes a la ley!

Rey Salomn Proverbios 29:18

22 )/1()/1( LXR +

IL

IR V

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