análisis de regresión simple
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Breve descripción de los conceptos básicos del análisis de regresión y de correlación lineal simple.TRANSCRIPT
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Análisis de Regresión y Correlación Lineal Simple.
Medidas de asociación entre variables cuantitativas
Guillermo BianchiHéctor Quintero
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Coeficientes de correlación.
Los coeficientes de correlación miden la relación linealrelación lineal entre variables cuantitativas.
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Coeficientes de correlación.
Método ParamétricoMétodo Paramétrico: Coeficiente de correlación producto momento de Pearson (ρ).
Método No ParamétricoMétodo No Paramétrico, Coeficiente de correlación de Spearman (ρs).
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Coeficiente de correlación producto momento de Pearson
El coeficiente de correlación producto momento de Pearson, ρ , mide el grado de asociación linealasociación lineal que existe entre un par de variables X, Y cuya distribución cuya distribución conjunta es normal bivariadaconjunta es normal bivariada.
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Coeficiente de correlación producto momento de Pearson
Se calcula a partir de la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )
( )( )∑ ∑
∑∑∑
−
−=
n
xx
n
yxyx
ri
i
iiii
2
2
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Coeficiente de correlaciónρ ∈ [-1, 1]
0
0,25
0,5
0,75
1
0 0,25 0,5 0,75 1
0
2
4
6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0
2
4
6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
r = -0.99
r = 0.99
r = 0.02
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Prueba de hipótesis sobre ρ
Problema: determinar si ρ es diferente de cero.
Sistema de hipótesis:H0: ρ = 0.
H1: ρ ≠ 0.
Nivel de confianza 95% α=0,05.
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Prueba de hipótesis sobre ρ
Regla de decisión:Si p_valor < α se rechaza H0.
Si p_valor ≥ α no se rechaza H0.
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Coeficiente de correlación No paramétrico de Spearman ρs
El coeficiente de correlación NoParamétrico de Spearman, ρs , mide el grado de asociación linealasociación lineal que existe entre un par de variables X, Y cuantitativas, independientemente del independientemente del tipo de distribución conjunta que tipo de distribución conjunta que presenten.presenten.
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Coeficiente de correlación No paramétrico de Spearman ρs
Se calcula a partir de los rangos o posiciones relativas de los valores, mediante la ecuación:
)1(
61
2
−−=
∑nn
di
i
sρ
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Coeficiente de correlación No paramétrico de Spearman ρs
Su valor se encuentra entre -1, correlación negativa perfecta y +1, correlación positiva perfecta.
Valores cercanos a cero indican independencia entre variables.
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Análisis de Regresión.
Es una técnica estadística con la que se pretende modelar la relación linealmodelar la relación lineal que existe entre dos o más variables con distribución normal.
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Análisis de Regresión.
El regresión lineal simple permitirá estimar el mejor modelo lineal que permite predecir el comportamiento de una variable dependiente, Y , a partir de una variable independiente, X .
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Modelo de regresión lineal simple
Modelo probabilístico lineal
donde: ee es el error aleatorio
0β
1βes el la ordenada en el origen
es la pendiente
),0(~, 210 σββ NeexY ++=
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Regresión lineal simple
0
2
4
6
0 2 4 6 8
β0
β1
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Relación entre variables
( ) xxYE xY 10|| ββµ +==
Dicha relación viene dada por:
donde:
0β
1βes el la ordenada en el origen
es la pendiente
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Modelo de regresión lineal simple
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Estimación de los coeficiente de regresión. Método mínimos cuadrados ordinarios
Suponga que se desea estimar el modelo para una muestra de n observaciones. El modelo de regresión puede expresarse como:
nnexY iii ,...,2,1,10 =++= ββ
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Estimación de los coeficiente de regresión Método mínimos cuadrados ordinarios
El método busca los coeficientes que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a la recta de regresión.
( ) ( )2
110
1
2 ∑∑==
−−==n
iii
n
ii xyeL ββ
ii exY =+− )( 10 ββ
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Método de mínimos cuadrados Los estimadores de los coeficientes de
regresión deben satisfacer:
( ) 021
101
10=−−−=
∂∂ ∑
=i
n
iii xxy
L βββ ββ
( ) 021
100
10=−−−=
∂∂ ∑
=
n
iii xy
L βββ ββ
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Estimadores de mínimos cuadrados
xy 10ˆˆ ββ −=La ordenada en el origen
La pendientexx
xy2n
1iin
1i
2i
n
1ii
n
1iin
1iii
1 S
S
n
xx
n
yxyx
ˆ =
−
−=
∑=∑
=
∑=
∑=∑
=β
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Supuestos del análisis de regresión lineal simple
La relación entre las variables es lineal. Los errores son independientes y están
normalmente distribuidos. La varianza de los errores es
independiente de la magnitud de los valores de X.
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Prueba de hipótesis sobre β1
Problema: determinar si β1 es diferente de un valor β1,0
Sistema de hipótesis:H0: β1 = β1,0
H1: β1 ≠ β1,0
Nivel de confianza 95% α=0,05.
![Page 24: Análisis de regresión simple](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051413/55960b681a28abfc7b8b47eb/html5/thumbnails/24.jpg)
Prueba de hipótesis sobre β1
Regla de decisión:Si p_valor < α se rechaza H0.
Si p_valor ≥ α no se rechaza H0.
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Prueba de hipótesis sobre β0
Problema: determinar si β0 es diferente de cero.
Sistema de hipótesis:H0: β0 = 0.
H1: β0 ≠ 0.
Nivel de confianza 95% α=0,05.
![Page 26: Análisis de regresión simple](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051413/55960b681a28abfc7b8b47eb/html5/thumbnails/26.jpg)
Prueba de hipótesis sobre βo
Regla de decisión:Si p_valor < α se rechaza H0.
Si p_valor ≥ α no se rechaza H0.
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Evaluación de los supuestos del análisis de regresión lineal simple
Gráficos de residuos. Curva de distribución normal para los
residuos. Residuos estandarizados, Studentizados
y distancia de Cook.
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Análisis de residuos
![Page 29: Análisis de regresión simple](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051413/55960b681a28abfc7b8b47eb/html5/thumbnails/29.jpg)
Coeficiente de determinación R2
Permite conocer el porcentaje de varianza de la variable dependiente, Y, que se puede explicar a partir de la varianza de la variable independiente, X.
yyS
SSER −=12
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Abusos comunes de la regresión lineal simple
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Abusos comunes.Extrapolación.
![Page 32: Análisis de regresión simple](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051413/55960b681a28abfc7b8b47eb/html5/thumbnails/32.jpg)
Abusos comunes.Generalización.
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Curva de calibración
Curva de calibración
y = 0,0151x + 0,0195
R2 = 0,9817
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 5 10 15 20 25
Concentración
Se
ñal