Departamento de Mecnica

Mecnica de los Fluidos

Ing. Viviana Nahid

Anlisis Dimensional y Modelizacin

Magnitudes

Dimensionales

Fundamentales: En el SI: longitud (L); masa (M) ; tiempo (T) ; temperatura ()

Derivadas: fuerza (F); velocidad (v); etc. Adimensionales

Cantidad de objetos de un conjunto

Las razones de proporcionalidad

Los ngulos (pueden expresarse como fraccin de una circunferencia)

Algunos nmeros usados en ingeniera como el Ma, Re, etc.

Principio de Fourier o Principio de Homogeneidad Dimensional (PHD)

Postulados

Ej.:

v = a2/lt3, es homognea, ya que:

[v] = [a2]/[l][t3]

LT-1 = (L/T2)2/L.T3

LT-1 = L2/T4/LT3

LT-1 = LT-1

pero ello no significa que exista una situacin fsica caracterizada por esa ecuacin.

Para identificar la homogeneidad dimensional de una ecuacin

Ej.: Se hace girar un cubo de agua siguiendo una circunferencia vertical de radio r. Si la velocidad

del cubo en su parte ms alta es va, cul debe ser el valor mnimo de va para que no salga agua?

Adimensionalizacin de ecuaciones

Toda ecuacin dimensionalmente homognea puede expresarse de manera adimensional

dividiendo por uno cualquiera de sus trminos o por una constante dimensional que tenga

las mismas unidades que uno cualquiera de sus trminos.

Ejemplo

Consideremos una masa conectada a un resorte y sometida a una forzadora senoidal, la

resultante de fuerzas Fr quedar expresada de la forma:

Fr = - K x + A sen ( t )

[K] = FL-1

[x ] = L

[A] = F

[t] = T

[Sen ()] = [1] (adimensional).

*+ = T-1

Adimensionalizacin

Dividiendo la ecuacin anterior por A:

fr= - x + sen (t)

Con :

f r= Fr / A

x= x / ; con = /

t = t / To

To = 1 /

se obtiene una ecuacin con menos parmetros.

Pero Qu sucede cuando no se conoce la relacin entre las variables que intervienen en un

fenmeno fsico en cuestin?

Es posible generar un conjunto de grupos adimensionales a partir de las variables del

problema objeto de estudio, mediante un procedimiento llamado anlisis dimensional

(AD).

Es posible mediante esta tcnica determinar la relacin entre estos grupos

adimensionales?

No. Para ello deber necesariamente planificarse un estudio experimental que

complemente el anlisis dimensional inicial.

Aplicaciones del AD

1.- Desarrollo de ecuaciones.

2.- Reduccin del nmero de variables requeridas en un programa experimental.

3.- Establecimiento de los principios para el diseo de modelos.

Teorema de Vaschy-Buckingham o Teorema (Pi)

Si en un fenmeno fsico intervienen n magnitudes fsicas q, de las cuales k, son

dimensiones fundamentales y otras q, son derivadas, matemticamente, existe una

funcin:

f1 (q1, q2, q3,, qn) = 0

esta ecuacin puede reemplazarse por la relacin de parmetros adimensionales :

(1, 2, 3,,m) = 0

donde: m = n k, es el nmero de parmetros .

Procedimiento para la construccin de un sistema de grupos adimensionales

Ejemplo:

Escribir una relacin funcional para la prdida de altura por friccin (Hfriccin) en una tubera

recta de seccin circular, sabiendo que la misma depende de:

Primer paso

1.- Se escriben las n magnitudes fsicas q, anotando sus dimensiones y el nmero k de

dimensiones fundamentales.

Existirn, como se dijo, (n k) grupos adimensionales .

Segundo paso

2.- Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensin, ni dos que

tengan las mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse

colectivamente en las magnitudes seleccionadas.

Variables relevantes en los procesos de flujo fluido

Variables genricas

Variable Smbolo Dimensin

Longitud L L

Area A L2

Volumen V L3

Momento de Inercia I L4

Velocidad v L T-1

Aceleracin a L T-2

Velocidad angular T-1

Aceleracin angular T-2

Variables mecnicas

Variable Smbolo Dimensin

Fuerza F M L T-2

Par T M L2 T-2

Potencia N M L2 T-3

Presin, Tensin p, , M L-1 T-2

Caudal Q L3 T-1

Flujo msico M T-1

Energa, Entalpa E M L2 T-2

Propiedades del fluido

Variable Smbolo Dimensin

Densidad M L-3

Viscosidad dinmica M L

-1

T-1

Viscosidad

cinemtica L

2

T-1

Tensin superficial M T-2

Variables trmicas

Variable Smbolo Dimensin

Entropa s M L2

T-2 -1

Calor especfico c L2

T-2 -1

Conductividad

trmica k M l T

-3

-1

Tercer y cuarto pasos

3.- El primer grupo puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas (ya

que las magnitudes fsicas de dimensiones distintas no pueden sumarse ni restarse),

elevadas cada una a un exponente desconocido y una de las otras magnitudes elevada a

una potencia conocida (normalmente se toma igual a uno)

4.- Mantener las magnitudes escogidas en (2.-) como variables repetitivas y escoger una

de las restantes para establecer el nuevo nmero . Repetir el procedimiento para

obtener los sucesivos grupos .

Quinto y sexto pasos

5.- En cada uno de los grupos , determinar los exponentes desconocidos mediante el

anlisis dimensional.

6.- El nmero que contenga la variable que se desea determinar se pone como funcin

de los dems nmeros adimensionales.

A tener en cuenta:

Si una magnitud es adimensional, constituye un grupo sin necesidad de aplicar el

procedimiento anterior.

Si dos magnitudes fsicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente ser un

nmero adimensional . Por ejemplo: L/L es adimensional y, por lo tanto, un nmero .

Cualquier nmero puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida -1. Por

ejemplo, 3 puede reemplazarse por , o 2 por 1/2.

Cualquier nmero puede sustituirse por su producto por una constante numrica. Por

ejemplo, 1 puede reemplazarse por 31.

Cualquier nmero puede expresarse como funcin de otros nmeros . 1 = (2).

Si las (n k) ecuaciones planteadas son iguales a los nmeros de incgnitas involucradas

en ellas, existe una nica solucin. Caso contrario, existe un conjunto infinito de

soluciones. En este ltimo caso, el AD nos da como mnimo informacin parcial sobre la

ecuacin fsica.

Los valores de las constantes se determinan por anlisis fsico y/o por experimentacin.

Fin

Gracias por su atencin