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INGENIERA CIVIL
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IV ciclo
MATRICES Y DETERMINANTES
INGENIERA
CIVIL
DOCENTE:
DANIEL ALBERT DAZ BETETA ALUMNOS:
Salazar Valverde Robert Reynaldo Laveriano Luis Olortegui Velasquez Yancarlo Bruno Julca Jara TEMA:
MATRICES Y DETERMINANTES
CURSO:
ANALISIS ESTRCUTURAL I FECHA:
10/04/2014
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INTRODUCCION
La metodologa matricial, debido a que se trata de un procedimiento
matemtico, presenta, como ventajas, su rigurosidad y exactitud, y su amplitud
de aplicacin.
En su contra estaba lo engorroso y complicado de su operatoria, que exiga el
uso de la metodologa matricial, trabajando frecuentemente con matrices de un
orden muy grande.
Esas dificultades se han solventado con el desarrollo de la informtica y los
ordenadores personales, ya que la metodologa matricial es fcilmente
reducible a algoritmos, con lo cual se puede implementar de forma
relativamente cmoda en un ordenador personal, con lo que se supera su
principal escollo: lo arduo y difcil de su operatoria.
El otro gran inconveniente de la metodologa matricial, en el mbito de la
docencia, es la dificultad de transmitir algunos conceptos acerca del
comportamiento fsico de la estructura.
Ello obliga a cuidar especialmente la exposicin de la metodologa matricial,
para que el alumno conceptualice el sentido de las diferentes matrices que
intervienen en el procedimiento y no se pierda en la operatoria.
De forma muy general y esquemtica diremos que el mtodo se basa en el
planteamiento de un conjunto de ecuaciones matemticas, en forma matricial,
que expresan la relacin entre los esfuerzos aplicados a una estructura y los
desplazamientos que se producen en dicha estructura.
Por lo anteriormente expuesto deducimos que se hace necesario el
conocimiento de la operatoria matricial.
Aunque este apartado no pretende convertirse en un tema de lgebra matricial,
s intenta sealar y recordar la operatoria matricial bsica y necesaria para la
aplicacin de la metodologa del clculo matricial de estructuras.
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MATRICES Y
DETERMINANTES
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I. DEFINICON DE MATRIZ
Se llama matriz de orden mn a todo conjunto rectangular de
elementos aij dispuestos en m lneas horizontales (filas) y n
verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,...,
m, j =1, 2,..., n. Los subndices indican la posicin del elemento
dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la
columna (j). Por ejemplo el elemento a25 ser el elemento de la fila 2
y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los
elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
II. DETERMINANTES
En Matemticas se define el determinante como una forma
matrilineal alternada de un cuerpo. Esta definicin indica una serie de
propiedades matemticas y generaliza el concepto de determinante
hacindolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el
concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido
para estudiar el nmero de soluciones de los sistemas de ecuaciones
lineales.
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III. COFACTORES DE UN DETERMINANTE
MENOR
Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden 2nn , el
menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n 1
obtenida al suprimir la fila i-sima y la columna j sima de A.
As, para
Para hallar el menor M11:
a) suprimimos la primera fila y la primera columna as
b) tomamos los nmeros que no quedan tapados (los nmeros rojos)
c) Tercero hallamos el determinante
1
2
2 3
4
7 5 1
6 A =
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M11 =
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M11 = 75
64
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M11 = 23028657475
64
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5
D) Hallar los menores M12, M22 y M32
COFACTOR
El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij
multiplicado por ijjiij MA 1 El cofactor nos da como resultado
es el signo del menor.
Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los
menores
MENOR COFACTOR
M11 = -2
22121211 211 ijjiij MA
M12 = 8
88181811 321 ijjiij MA
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M12 = 8614617271
62
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M22 = 437137171
31
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M32 = 066326162
31
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6
M22 = 4 44141411 422 ijjiij MA
M32 = 0 0011 23 ijjiij MA
En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:
IV. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son tiles
para simplificar su evaluacin.
En los prrafos siguientes consideramos que A es una matriz
cuadrada.
Propiedad 1.
Si una matriz A tiene un rengln (o una columna) de ceros, el
determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
Sea
Desarrollando por cofactores del primer rengln se tiene
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Propiedad 2.
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la
transpuesta de A.
Esto es
Ejemplo 2.
Sea
La transpuesta de A es
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una
matriz A entonces el determinante cambia de signo.
Ejemplo 3.
Sea
Con
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Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
Con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por
cofactores de la primera columna.
Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas)
iguales entonces det A = 0.
Ejemplo 4.
Sea
Entonces
Propiedad 5.
Cuando un solo rengln (o columna) de una matriz A se multiplica
por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el
determinante de A, r det A.
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Ejemplo 5.
Sea cuyo determinante se calcul en el ejemplo
2,
Multiplicando el tercer rengln de A por el escalar r = 3 se tiene la
matriz B siguiente
Cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera
columna de B es
Propiedad 6.
Si un rengln de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma
a otro rengln de A, entonces el determinante de la matriz resultante
es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las
columnas de A.
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Ejemplo 6.
Sea cuyo determinante se calcul en el ejemplo
2,
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y
sumndola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
Propiedad 7.
Si A y B son matrices de , el determinante del producto AB es
igual al producto de los determinantes de A y de B.
Esto es
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Ejemplo 7.
Sean y
Con y
El producto
Y su determinante es
Entonces .
Propiedad 8.
El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)
Ejemplo 8.
I = det I = (1) (1) (0) (0) = 1
Propiedad 9.
El determinante de una matriz singular, es decir, que no
tiene inversa, es igual a 0 (cero)
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Ejemplo 9.
J = |J| = (1) (-12) (-3) (4) = -12 +12 = 0
Se puede fcilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.
Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto
orden.
Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede
reducir un determinante a una forma ms fcil de evaluar. Si se
reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es
el producto de los elementos de la diagonal principal. Al hacerlo hay
que tomar en cuenta las propiedades 3, 5 y 6, como en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 10.
Calcular el determinante de la matriz A de
Simplificamos el clculo del determinante de A reduciendo por
renglones
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Entonces, la permutacin P14 cambia el signo de det A, las
operaciones y no cambian el valor del
determinante.
De esta forma
Se podra seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando
que hay varios ceros en el tercer rengln resulta fcil desarrollar por
cofactores, primero de la primera columna, y despus del tercer
rengln:
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V. EJEMPLOS DE APLICACIN DE DETERMINANTES Clculo del rango usando determinantes
Si a un menor M de orden h de la matriz A se le aade la fila p y la
columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un
menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M Orlando este
menor con la fila p y la columna q.
Ejemplo
El mtodo para el clculo del rango es un proceso iterado que sigue
los siguientes pasos:
Antes de comenzar el mtodo se busca un elemento no nulo, ya que
si todos los elementos son 0, el rango ser 0. El elemento
encontrado ser el menor de orden k=1 de partida.
1. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no
nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a
ste el mtodo.
2. Si todos los menores orlados obtenidos aadindole al menor de partida
los elementos de una lnea i0 son nulos, podemos eliminar dicha lnea
porque es combinacin de las que componen el menor de orden k.
3. Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. (Si
aplicamos bien el mtodo en realidad, al llegar a este punto, la matriz
tiene orden k).
.
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Por tanto rg(A)=3 Clculo de la matriz inversa usando determinantes
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por
Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Ejemplo
Si tenemos una matriz tal que det (A) 0, se verifica:
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Esto es fcil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los
elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la
suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila
diferente es 0 (esto sera el desarrollo de un determinante que tiene dos filas
iguales por los adjuntos de una de ellas).
VI. ORDEN DE UNA MATRIZ
Las matrices se componen de filas y columnas a las que
generalmente se las representan con las letras m y n. La m para las
filas y la n para las columnas.
El nmero de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar
el nmero de filas por el de columnas: m x n Al producto m x n
llamamos orden de matriz
Cuando decimos que una matriz es de orden 4x5 ya podemos
afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas.
Te dars cuenta que una matriz de 3x2 es ms pequea que otra
matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamao, la
dimensin significan lo mismo.
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Ejercicio #15
Cmo son m y n en las matrices cuadradas?
Respuesta: iguales.
Ejercicio #16
Cmo se llama la matriz que tienes a continuacin?
Respuesta: anti simtrica
Ejercicio #17
Cmo se llaman las matrices siguientes?
Respuestas: La matriz A es una matriz escalar
La matriz B es una matriz unidad o identidad
Ejercicio #18
Calcula el valor de sabiendo que sabiendo que
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Solucin
Ejercicio #20
Por qu matriz tengo que sumar a la matriz para obtener la
matriz
Solucin
A la matriz que desconozco la represento por: Puedo
escribir:
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VII. TIPOS DE MATRICES
MATRIZ FILA: est conformada por una nica fila.
MATRIZ COLUMNA: esta clase de matriz se conforma por una sola
columna.
MATRIZ RECTANGULAR: se caracteriza por presentar un nmero
diferente de filas que de columnas. Su dimensin es m x n.
MATRIZ CUADRADA: presenta la misma cantidad de filas que de
columnas. Los elementos que van desde la esquina superior
izquierda hacia la esquina inferior derecha constituyen la diagonal
principal.
MATRIZ NULA: recibe este nombre debido a que est conformada
por todos ceros como elementos.
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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: en esta clase de matriz los
elementos ubicados por debajo de la diagonal superior son ceros.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: aqu los elementos colocados
por encima de la diagonal principal son ceros.
MATRIZ DIAGONAL: esta clase de matriz cuenta con la
particularidad de que la totalidad de los elementos ubicados tanto por
encima de la diagonal como por debajo de ella son nulos.
MATRIZ ESCALAR: es el nombre que recibe aquella matriz diagonal
en la cual los elementos que conforman la diagonal principal son
iguales.
MATRIZ IDENTIDAD: en sta los elementos que componen la
diagonal principal son iguales a 1.
MATRIZ TRASPUESTA: a partir de una matriz A, se denomina matriz
traspuesta de A, a aquella matriz que se obtiene al cambiar de
manera ordenada las filas por las columnas.
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MATRIZ REGULAR: se denomina de esta manera a aquella matriz
cuadrada que tiene inversa.
MATRIZ SINGULAR: es un tipo de matriz que no posee inversa.
VIII. OPERACIONES CON MATRICES Suma y diferencia de matrices
Producto por un escalar por una matriz
Producto de matrices Mm x n x Mn x p = M m x p
Matriz inversa A A-1 = A-1 A = I (A B)-1 = B-1 A-1 (A-1)-1 = A (k A)-1 = k-1 A-1
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Clculo de la matriz inversa
Ejercicios Dadas las matrices:
Calcular: A + B; A - B; A x B; B x A; At.
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Sean las matrices:
Efectuar las siguientes operaciones: (A + B) 2; (A - B) 2; (B) 3; A B t C.
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Dadas las matrices:
1. Justificar si son posibles los siguientes productos: (A t B ) C (At3 x 2 B2 x 2 ) C3 x 2 = (At B )3 x 2 C3 x 2 No se puede efectuar el producto porque el nmero de columnas de (At B ) no coincide con el n de filas de C.2(B Ct ) At (B2 x 2 Ct2 x 3 ) At3 x 2 = (B C )2 x 3 At3 x 2 = ( B C t A t ) 2 x 2 2. Determinar la dimensin de M para que pueda efectuarse el
producto A M C
A3 x 2 Mm x n C3 x 2 m = 2 3. Determina la dimensin de M para que Ct M sea una matriz
cuadrada.
Ct2 x 3 Mm x n m = 3 n = 3 Demostrar que: A2 - A - 2 I = 0, siendo:
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Sea A la matriz . Hallar An , para n
Por qu matriz hay que premultiplicar la matriz para
Que resulte la matriz .
Hallar la matriz inversa de:
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Calcular el rango de las siguientes matrices:
|2|=2 0
r(A) = 2
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r(B) = 4
Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinacin lineal de la primera y segunda: c5 = -2 c1 + c2
r(C) = 2
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IX. PROPIEDADES DE LAS MATRICES Propiedades
Asociativa:
A (B C) = (A B) C
Elemento neutro:
A I = A
No es Conmutativa:
A B B A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A (B + C) = A B + A C
X. MATRIZ TRANSPUESTA
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que
se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
( A)t = At
(A B)t = Bt At
XI. MATRIZ IDENTIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
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XII. MATRIZ INVERZA PROPIEDADES
Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos
multiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por
su inversa obtenemos la matriz identidad.
A A1 = A1 A = I
Propiedades
1 (A B)1 = B1 A1
2 (A1)1 = A
3 (k A)1 = k1 A1
4 (At)1 = (A1)t
XIII. EJEMPLOS DE APLICACION DE MATRIZ INVERSA
Matriz traspuesta.
Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La
traspuesta de A la representamos por AT.
Ejemplo:
Matriz adjunta
Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.
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Matriz inversa
La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y
que verifica:
Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante
es distinto de cero.
XIV. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEASLES
SIMULTANEAS
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XV. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS