análisis funcional y procesamiento de imágenes
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Análisis Funcional y Procesamiento de Imágenes. Arturo Cruz Maya. Mario Arioli y Daniel Loghin. El procesamiento de imágenes está en todas partes en la vida moderna. Cámaras Digitales Celulares Cámaras CCTV Satélites Telescopios Diagnóstico médico. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Análisis Funcional yProcesamiento de Imágenes
Arturo Cruz Maya
Mario Arioli y Daniel Loghin
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El procesamiento de imágenes está en todas partes en la vida moderna
•Cámaras Digitales•Celulares•Cámaras CCTV•Satélites•Telescopios•Diagnóstico médico
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Problema que atrae a los matemáticos(Post-procesamiento de imágenes)•Imágenes Escala de Grises son
representadas como matrices de escalares.
• Imágenes a Color son representadas como Vectores.
•Estas matrices son vistas como valores de una distribución u0(x) definida sobre un dominio Ω 2D abierto y acotado.
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T. Chan y J. Shen
• 'Image Processing and Analysis', SIAM, 2005
•Varios ejemplos de modelos matemáticos de ruido , describen imágenes como distribuciones.
•El proceso de eliminación de ruido puede ser modelado por problemas variacionales.
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Notación
•Imagen: u(x, y) con u : ΩR
•(x, y) Є Ω denota la localización del pixel en el dominio de la imagen
•
•Generalmente Ω=[0,1]x[0,1]
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Herramientas matemáticasIntegral
Suma de los valores de la función en un dominio
J. F. Garamendi, E. Schiavi ROF: Modelado e implementación
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Herramientas matemáticasDerivada
Es una medida de la velocidad de variación de una función a lo largo del dominio. Es una medida LOCAL.
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Es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo
Herramientas matemáticasGradiente
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Modelo de Rudin, Osher y Fatimi•Buscamos una distribución u(x) en el
espacio de distribuciones de variación acotada (BV)
•Solución para el problema minimización no lineal:
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Modelo de Mario Arioli y Daniel Loghin•Uso de espacios de Sóbolev fraccionales H , 0 < α <1
• Una presentación exhaustiva de éstos espacios: 1er libro de Lions y Magenes (Problèmes aux limites non homogènes et applications, Dunod, 1968)
•Buscamos una distribución u(x) Є H• Solución para el problema de minimización
cuadrática
α
α
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Ilustración de los Métodos
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Ruido blanco aleatorio
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Método Popular vs Método Propuesto
Ambos métodos fueron considerados con el mismo parámetro de regularización λ=1/50.
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Conclusiones
•Las matemáticas van encontrando su aplicación con el paso del tiempo.
•Avanzar en Tecnología.
•Mientras más amplio sea nuestro conocimiento teórico mayor será nuestra tecnología.
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Referencias
• Mario Arioli, Daniel Loghin, Functional Analysis and Image Processing
• J. F. Garamendi, E. Schiavi, ROF: Modelado e implementación
• T. Chan and J. Shen, 'Image Processing and Analysis', SIAM, 2005
• J. L. Lions and E. Magenes, 'Problèmes aux limites non homogènes et applications', Dunod, 1968