analisis kemampuan menyusun bukti...
TRANSCRIPT
ANALISIS KEMAMPUAN MENYUSUN BUKTI MATEMATIS
SISWA SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA)
SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan
untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Mencapai Gelar Sarjana Pendidikan
Oleh :
NURUL KHOIRIAH
NIM 1110017000038
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
1438 H/2017 M
i
ABSTRAK
Nurul Khoiriah (1110017000038), “Analisis Kemampuan Menyusun Bukti
Matematis Siswa Sekolah Menengah Atas”, Skripsi Jurusan Pendidikan
Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan, UIN Syarif Hidayatullah
Jakarta.
Tujuan penelitian ini adalah untuk menganalisis dan mengetahui persentase
kemampuan siswa dalam menyusun bukti matematis. Penelitian ini dilakukan di
kelas XI IPA SMA Global Persada Mandiri Bekasi pada Tahun Ajaran
2016/2017. Metode penelitian menggunakan analisis deskriptif. Sampel penelitian
ini diambil secara acak sehingga diperoleh 36 siswa dari 2 kelas yang berbeda.
Instrumen penelitian yang digunakan adalah tes kemampuan menyusun bukti
matematis pada materi Trigonometri. Hasil dari penelitian ini menunjukkan
bahwa banyaknya siswa kelas XI IPA SMA Global Persada Mandiri sebesar
65,28% yang dapat menyusun bukti matematis berdasarkan indikator
memanipulasi fakta untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan dan 34,56%
yang dapat menyusun bukti matematis berdasarkan indikator membuat koneksi
antara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan. Diperoleh skor
rata-rata keseluruhan data adalah 47,4%. Berdasarkan nilai rata-rata keseluruhan
indikator menyusun bukti matematis, peneliti menyimpulkan bahwa indikator
membuat koneksi antara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak
dibuktikanmasih tergolong rendah karena persentase skor rata-rata indikator
tersebut berada di bawah persentase skor rata-rata keseluruhan.
Kata Kunci: Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
ii
ABSTRACT
Nurul Khoiriah (1110017000038), "Analysis of Ability to Compile
Mathematical Evidence of High School Students", Thesis Mathematics Education
Department, Faculty of Tarbiyah and Teacher Training, UIN Syarif Hidayatullah
Jakarta.
The purpose of this study is to analyze and determine the percentage of students'
ability in preparing mathematical evidence. This research was conducted in class
XI IPA SMA Persada Persis Mandiri Bekasi in the academic year 2016/2017. The
research method used descriptive analysis. The sample of this study was taken
randomly so that it was obtained 36 students from 2 different classes. The
research instrument used is a test of ability to construct mathematical proof on
Trigonometry material. The results of this study indicate that the number of
students class XI IPA SMA Global Persada Mandiri of 65.28% who can compile
mathematical evidence based on indicators manipulating facts to show the truth of
a statement and 34.56% that can compile mathematical evidence based on
indicators make connections between fact With elements of the conclusion to be
proved. The average overall score for the data was 47.4%. Based on the overall
average score of indicators comprising mathematical evidence, the researcher
concludes that the indicator makes the connection between fact and the element of
the conclusion to be proved is still relatively low because the percentage average
score of the indicator is below the percentage of the overall average score.
Keywords: Ability to Compile Mathematical Evidence
iii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji beserta syukur peneliti panjatkan kepada Dzat Yang
Maha Kasih, Allah SWT. Tuhan semesta alam yang senantiasa menunjukkan
kebesaran serta kekuasaan-Nya setiap saat hingga peneliti mampu menyelesaikan
skripsi yang berjudul “Analisis Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa
Sekolah Menengah Atas (SMA)”.
Sholawat dan salam tercurah kepada akhirul anbiya baginda Rasululloh
Muhammad SAW, keluarga, para sahabat, dan kita selaku umatnya yang mudah-
mudahan tetap istiqomah berada dijalannya hingga hari akhir nanti.
Sebuah karya sederhana ini tentunya tidak akan mampu peneliti selesaikan
tanpa dukungan dari tangan-tangan yang Alloh kirimkan kepada pihak-pihak yang
senantiasa memberikan dorongan rasa optimis, semangat, dan kemudahan-
kemudahan yang dibentangkan sehingga peneliti mampu melewatinya. Dalam
penyusunan penelitian ini, peneliti rasakan banyak bantuan dan bimbingan yang
telah diberikan oleh orang-orang terdekat penulis. Oleh karena itu pada ruang
yang terbatas ini, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan rasa
terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ahmad Thib Raya, MA, selaku Dekan Fakultas Ilmu
Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Bapak Dr. Kadir, M.Pd selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika, yang
telah memberikan ijin atas penyusunan skripsi sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan.
3. Bapak Dr. Abdul Muin, S.Si., M.Pd., selaku Sekretaris Jurusan Pendidikan
Matematika, yang telah membantu dan memberi dukungan dengan kalimat-
kalimat motivasi atas penyusunan skripsi sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan.
4. Ibu Dr. Lia Kurniawati, M.Pd selaku Dosen Pembimbing I, yang tulus
ikhlas penuh kesabaran dan perhatian membimbing serta mengarahkan
peneliti untuk menyelesaikan skripsi ini.
iv
5. Ibu Dra. Afidah Mas’ud selaku Dosen Pembimbing II yang telah
memberikan memberikan bantuan, saran dan arahan sehingga skripsi ini
dapat diselesaikan.
6. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah dan
Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta, yang telah membagi ilmunya
selama ini.
7. Staf Fakultas Tarbiyah dan Keguruan dan Staf Jurusan Pendidikan
Matematika UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang telah memberi
kemudahan dalam pembuatan surat-surat serta sertifikat.
8. Pimpinan dan staf Perpustakaan Umum dan Perpustakaan Fakultas Ilmu
Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang telah
membantu penulis dalam menyediakan serta memberikan pinjaman literatur
yang dibutuhkan.
9. Bapak Drs. Oyong Cahyadi, MM. selaku Kepala SMA Global Persada
Mandiri beserta staf, yang telah memberikan ijin dan bantuannya ketika
penulis mengadakan penelitian.
10. Bapak Deli Chandra, S.T selaku Wakil Kepala SMA Global Persada
Mandiri bidang Kurikulum yang telah banyak membantu dalam proses
penelitian.
11. Siswa dan siswi kelas XI IPA SMA Global Persada Mandiri yang telah
bersikap kooperatif selama penulis mengadakan penelitian.
12. Keluarga tercinta. Ayahanda Tri Korawan dan Ibunda Masruroh yang tak
henti-hentinya mendoakan, melimpahkan kasih sayang dan memberikan
dukungan moril dan materil kepada penulis, serta selalu menginspirasi
penulis. Semangat-semangatku adik Nuraini, serta semua keluarga yang
selalu menjadi kekuatan bagi penulis untuk tetap semangat dalam mengejar
dan meraih cita-cita.
13. Teman-teman kelas A, B dan C di Jurusan pendidikan Matematika angkatan
2010.
v
14. Saudara-saudaraku dalam Tim Pencak Silat Tegar, Vira, Gizka, Adi, Ikhsan
yang selalu memberikan motivasi dan membuat tertawa dengan tingkah laku
kalian saat sedang merasa lelah atau pusing.
15. Sahabat-sahabatku Mega, Yuni, Ayu yang selalu memberikan motivasi,
nasihat, doa, dan perhatian selama ini.
16. Seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Semoga Alloh SWT membalas kebaikan seluruh pihak yang terlibat dalam
penyusunan skripsi ini dengan limpahan rahmat dan kasihNya. Peneliti menyadari
bahwa banyak terdapat kekurangan dan cela dalam karya ini, untuk itu peneliti
mohon maaf atas segala kekurangan didalamnya dan senantiasa berharap karya ini
dapat memberikan manfaat bagi pembacanya dan senantiasa berharap karya ini
dapat memberikan kontribusi bagi peningkatan kualitas pendidikan.
Ciputat, Juli 2017
Peneliti
vi
DAFTAR ISI
ABSTRAK .............................................................................................................. i
ABSTRACT ........................................................................................................... ii
KATA PENGANTAR .......................................................................................... iii
DAFTAR ISI ......................................................................................................... vi
DAFTAR TABEL .............................................................................................. viii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ ix
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... x
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah .......................................................................... 1
B. Identifikasi Masalah ................................................................................ 9
C. Pembatasan Masalah Penelitian ............................................................. 10
D. Rumusan Masalah ................................................................................. 10
E. Tujuan Penelitian ................................................................................... 10
F. Manfaat Penelitian ................................................................................. 10
BAB II KAJIAN TEORI
A. Deskripsi Teoritis .................................................................................. 12
1. Definisi Bukti Matematis................................................................... 12
2. Kemampuan Menyusun Bukti Matematis ......................................... 18
B. Pokok Bahasan Materi Trigonometri .................................................... 20
1. Pengertian Trigonometri .................................................................... 20
2. Perbandingan Trigonometri ............................................................... 21
3. Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih
Dua Sudut, dan Sudut Ganda ................................................................. 21
4. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri ................. 22
5. Identitas Trigonometri ....................................................................... 22
6. Penggunaan Trigonometri dalam Menentukan Luas Segitiga ........... 23
C. Hasil Penelitian yang Relevan .............................................................. 25
vii
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
A. Tempat dan Waktu Penelitian ............................................................... 28
B. Metode Penelitian .................................................................................. 28
C. Subjek Penelitian ................................................................................... 28
D. Teknik Pengumpulan Data .................................................................... 29
E. Instrumen Penelitian .............................................................................. 29
1. Persiapan Pembuatan Instrumen ........................................................ 29
2. Validitas Instrumen ........................................................................... 32
3. Reliabilitas Instrumen ....................................................................... 34
4. Taraf Kesukaran ............................................................................... 35
5. Daya Pembeda .................................................................................. 37
E. Teknik Analisis Data ............................................................................. 39
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Deskripsi Data ....................................................................................... 41
1. Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa............................... 41
2. Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa Berdasarkan
Indikator ............................................................................................... 43
B. Pembahasan Hasil Penelitian ................................................................. 45
1. Kemampuan Siswa Menyusun Bukti Matematis dalam Indikator
Memanipulasi Fakta untuk Menunjukkan Kebenaran suatu Pernyataan
............................................................................................................... 46
2. Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa dalam Indikator
Membuat Koneksi antara Fakta dengan Unsur dari Konklusi yang
hendak Dibuktikan ................................................................................ 52
C. Keterbatasan Penelitian ......................................................................... 58
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan ............................................................................................ 60
B. Saran ...................................................................................................... 61
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 63
LAMPIRAN .......................................................................................................... 67
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1. Kisi-kisi Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
................................................................................................................................ 30
Tabel 3.2. Pedoman Penskoran Kemampuan Menyusun Bukti Matematis ........... 31
Tabel 3.3. Tipe Jawaban Siswa .............................................................................. 32
Tabel 3.4 Rekapitulasi Hasil Validitas .................................................................. 33
Tabel 3.5. Kriterian Koefisien Reliabilitas ........................................................... 34
Tabel 3.6. Kriteria Taraf Kesukaran ..................................................................... 35
Tabel 3.7. Rekapitulasi Taraf Kesukaran ............................................................... 36
Tabel 3.8. Rekapitulasi Daya Pembeda ................................................................. 37
Tabel 3.9. Rekapitulasi Nilai Validitas, Reliabilitas, Daya Pembeda, dan Taraf
Kesukaran ............................................................................................................... 38
Tabel 4.1. Distribusi Frekuensi Kemampuan Menyusun Bukti Matematis .......... 41
Tabel 4.2. Statistika dari Kemampuan Menyusun Bukti Matematis .................... 42
Tabel 4.3. Deskripsi Data Kemampuan Menyusun Bukti Matematis berdasarkan
Indikator ................................................................................................................ 43
ix
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1 Diagram Skor Rata-rata Setiap Indikator Menyusun Bukti Matematis
................................................................................................................................ 44
Gambar 4.2 Contoh Jawaban Siswa Pada Soal No. 1 ........................................... 46
Gambar 4.3 Contoh Jawaban Siswa Pada Soal No. 2 ............................................ 49
Gambar 4.4 Contoh Jawaban Siswa Pada Soal No. 3 ........................................... 53
Gambar 4.5 Contoh Jawaban Siswa Pada Soal No. 4a .......................................... 55
Gambar 4.6 Contoh Jawaban Siswa Pada Soal No. 4b .......................................... 57
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Kisi-kisi Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matemati
................................................................................................................................ 67
Lampiran 2. Pedoman Penskoran Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti
Matematis ............................................................................................................... 68
Lampiran 3. Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis ................. 69
Lampiran 4. Kunci Jawaban Instrumen Tes ........................................................... 71
Lampiran 5. Hasil Uji Validitas Instrumen Tes .................................................... 74
Lampiran 6. Hasil Uji Reliabilitas Instrumen Tes ................................................. 76
Lampiran 7. Hasil Uji Taraf Kesukaran Instrumen Tes ......................................... 78
Lampiran 8. Hasil Uji Daya Pembeda Instrumen Tes ........................................... 80
Lampiran 9. Hasil Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa
Keseluruhan............................................................................................................ 82
Lampiran 10. Distribusi Frekuensi Hasil Tes ........................................................ 84
Lampiran 11. Hasil Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa Per
Indikator ................................................................................................................. 87
Lampiran 12. Surat Permohonan Izin Penelitian .................................................. 89
Lampiran 13. Surat Keterangan Sudah Melaksanakan Penelitian ......................... 90
Lampiran 14. Lembar Uji Referensi ..................................................................... 91
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Pendidikan mempunyai peranan yang sangat penting dalam
kehidupan. Maju mundurnya kualitas manusia dapat dilihat dari kualitas
pendidikannya. Adapun tujuan pendidikan seyogyanya harus menyiapkan
individu agar dapat membentuk manusia berwawasan luas, sehingga mampu
memecahkan permasalahan-permasalahan yang dihadapi serta dapat
memberikan solusi untuk permasalahan tersebut. Dalam keseluruhan proses
pendidikan di sekolah, kegiatan belajar dan pembelajaran merupakan
kegiatan yang paling pokok. Hal ini berarti bahwa berhasil tidaknya
pencapaian tujuan pendidikan banyak bergantung kepada bagaimana proses
belajar dan pembelajaran di sekolah.
Sejauh ini pendidikan kita masih di dominasi oleh pandangan bahwa
pengetahuan sebagai perangkat fakta-fakta yang harus dihafal, kelas masih
berfokus pada guru sebagai sumber utama pengetahuan, kemudian ceramah
menjadi pilihan utama strategi belajar. Banyak faktor yang saling
menunjang dalam proses pendidikan, antara lain adalah sekolah. Apabila
sekolah diutamakan sebagai tempat mengolah sesuatu dan calon siswa
diumpamakan sebagai bahan mentah maka lulusan dari sekolah itu dapat
disamakan dengan hasil olahan yang siap digunakan1.
Di sekolah, proses belajar dan pembelajaran meliputi berbagai
bidang ilmu pengetahuan diantaranya ilmu agama, sains, sosial, bahasa dan
matematika. Dalam sistem pendidikan, matematika merupakan bidang studi
yang menduduki peranan penting. Hal ini dapat dilihat dengan adanya jam
pelajaran matematika di sekolah yang lebih banyak di banding dengan jam
mata pelajaran lainnya. Selain itu, matematika merupakan mata pelajaran
1Suharsimi Arikunto, Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan, (Jakarta: Bumi Aksara, 2009), hal
4
2
yang diberikan di semua jenjang pendidikan mulai dari pendidikan dasar,
pendidikan menengah, dan sebagian di perguruan tinggi (PT).
Atas dasar pentingnya peranan matematika dalam pendidikan, maka
sampai batas tertentu matematika hendaknya dapat dikuasai oleh setiap
individu. Pembelajaran matematika harus didesain agar menarik minat siswa
dan menumbuhkan dorongan untuk belajar sehingga mereka terikat dalam
proses pembelajaran matematika dan memiliki sikap positif terhadap
matematika. Akan tetapi dibalik pentingnya peranan yang dimiliki
matematika, matematika juga merupakan momok yang masih ditakuti oleh
sebagian besar siswa. Banyak siswa di setiap jenjang pendidikan
menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan sering
menimbulkan berbagai masalah yang sulit untuk dipecahkan, sehingga
berdampak pada rendahnya prestasi belajar siswa.
Seringkali muncul anggapan dari orang tua dan guru bahwa
keberhasilan seseorang dalam proses belajar sedikit banyak dapat dilihat
dari keberhasilannya dalam belajar matematika. Hal ini menunjukkan bahwa
matematika merupakan mata pelajaran penting, karena merupakan bidang
studi yang amat berguna dan banyak memberi bantuan dalam berbagai
disiplin ilmu yang lain. Oleh karena itu maka dapat dikatakan setiap orang
memerlukan pengetahuan matematika dalam berbagai bentuk sesuai dengan
kebutuhannya.
KTSP (2006) mengungkapkan tujuan pembelajaran matematika
sebagai berikut:
1) memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar
konsep, dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes,
akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah.
2) menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi
matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau
menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
3
3) memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami
masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model, dan
menafsirkan solusi yang diperoleh.
4) mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram atau
media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.
5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan,
sikap rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari
matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan
masalah2.
Berdasarkan pemaparan tujuan pembelajaran matematika di atas,
terdapat tujuan kedua dan ketiga dari pembelajaran matematika yaitu
penalaran dan pemecahan masalah. Penalaran dan pemecahan masalah
merupakan salah satu dari tujuan matematika, artinya seseorang yang
mengerjakan matematika maka ia pasti melakukan aktivitas bernalar. Dalam
penalaran dan pemecahan masalah terdapat di antaranya adalah melakukan
manipulasi matematika dan menyusun bukti yang mana jika ingin menyusun
bukti siswa harus mampu memahami masalah atau pernyataan yang hendak
dibuktikan.
Matematika merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima
generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif)tetapi generalisasi
yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif3.Ini berarti dalam
memperoleh sebuah kesimpulan pembelajaran matematika tidak
diperbolehkan melakukan pembuktian secara langsung terhadap sebuah
teori, misalkan terdapat sebuah teori yang mengatakan jika bilangan ganjil
dikuadratkan maka akan menghasilkan bilangan ganjil pula. Dalam
pencarian kesimpulan tersebut tidak dibenarkan untuk membuktikan secara
langsung dengan memberikan contoh bilangan ganjil secara langsung
kemudian dikuadratkan agar menghasilkan bilangan ganjil juga. Dalam
2Utari Sumarmo. Kumpulan Makalah. Berpikir dan Disposisi Matematik dalam
Pembelajaran Matematika. (Bandung: UPI, 2013). Hal 421-422 3Erman Suherman. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. (Bandung: UPI,
2001). Hal 24
4
pencarian dari sebuah teori tersebut diperoleh dengan cara deduktif dengan
memikirkan sesuatu yang umum dengan mengibaratkan bilangan ganjil
tersebut sebagai 2n – 1 dan memisalkan n adalah bilangan bulat. Kemudian
hasil kuadrat dari 2n – 1 tersebut yaitu 2(2n2 + 2) + 1 dimisalkan m untuk
2n2 + 2 sehingga diperoleh 2m + 1 dengan m bilangan bulat dan dapat
bahwa 2m + 1 merupakan bilangan ganjil.
Dalam hal ini sebenarnya siswa diajarkan untuk menyimpulkan
pernyataan dari sebuah teorema untuk menguji kebenarannya bukan dengan
cara percobaan. Siswa diharapkan untuk melakukan proses berpikir cara
menghubungkan fakta yang telah siswa dapat untuk membuktikan suatu
pernyataan dari sebuah teorema dengan cara deduktif.
Matematika yang bersifat deduktif berbeda dengan sains yang
mendasar kebenaran pada asumsi empirik. Matematika sebagai ilmu
pengetahuan yang deduktif mengandalkan logika dalam meyakinkan akan
kebenaran suatu pernyataan. Kebenaran suatu pernyataan atau teorema
dalam matematika diakui setelah dibuktikan benar berdasarkan pada
definisi, aksioma, atau teorema yang sudah ada.
Bukti diakui sebagai inti berpikir matematis4, karena itu bukti
dianggap sebagai komponen penting dalam bekerja, berkomunikasi,
mengetahui, dan memahami matematika. Konsep pembuktian penting dalam
matematika, siswa menganggap kemunculan pembuktian matematika
merupakan aspek penting dari bukti. Kenyataannya perhatian terhadap
pembuktian di kurikulum sekolah menengah sangat sedikit5.
Bukti matematis merupakan konsep matematika yang sulit bagi
siswa baik untuk mempelajari maupun menyusunnya6. Akan tetapi, melalui
prosespembuktian akan didapatkan perkembangkan kemampuan berpikir
4Maria Alessandra. Proof and Proving in Mathematics Education.(Department of
Mathematicis: University of Siena, 2009). Hal 1 5 Martin dan Harel. Proof Frames of Preservice Elementary Teachers. Journal for Research
in Mathematics Education. Vol 20, No. 1, 1989. hal 41 6 Pfeiffer, Kirsten. Features and Purposes of Mathematical proofs in the View of Novice
Students: Observation from Proof Validation and Evaluation Performances. NUI Galway, 2010.
Hal 63
5
matematik. Dengan demikian pembuktian matematika merupakan salah satu
aspek yangharus diperhatikan dalam pembelajaran matematika.
Bukti berfungsi sebagai penjelas dan alat penemuan yang membantu
kita memahami mengapa suatu pernyataan dikatakan benar. Bukti sebagai
alat penemuan pada dasarnya sangat terkait dengan kegiatan eksplorasi.
Eksplorasi sebagai suatu fungsi bukti mengandung makna yang lebih
mengarah kepada kajian yang lebih lanjut dari suatu definisi untuk menggali
makna yang dikandungnya secara menyeluruh. Peran bukti sebagai suatu
alat eksplorasi juga akan tampak jelas pada saat suatu teorema yang telah
dibuktikan kemudian mengarahkan kita pada penemuan gagasan baru.
Membuktikan adalah bagian penting dari matematika itu sendiri7.
NCTM menyatakan bahwa buktimerupakan bagian penting dari pemahaman
matematika dan merekomendasikanbahwa setiap siswa harus dapat
mengenal, mengembangkan, danmenggunakan berbagai metode
pembuktian8. Standar ini menekankan pentingnya peran bukti dan harus
dilaksanakan dalampendidikan matematika.
Berbagai penelitian mengenai bukti dilakukan pada tingkat
pendidikan yang berbeda dan dari perspektif yang berbeda. Beberapa
penelitian yang meneliti perspektif siswa, guru dan calon guru sekolah
menengah. Penelitian Healy & Hoyles menunjukkan bahwa standar ini
sering tidak terpenuhi pada tingkat sekolah menengah. Siswa sekolah
menengah masih menggunakan argumen empiris sebagai bukti9. Knuth
dalam penelitiannya mengungkapkan seorang guru berkata bahwasiswa
selalu diminta untuk membenarkan pemikiran mereka seperti bukti ada
dimana-mana, jadi yang siswa lakukan adalah menggunakan sekumpulan
contoh dan mengatakan bahwa itu adalah bukti. Knuth menjelaskan bahwa
7Hanna, Gila. Proof, Explanation and Explorating: An Overview, Educational Studies in
Mathematics. Kluwer Akademik, 2001. Hal 5 8NCTM Program Standards. Programs for Initial Preparation of Mathemathics Teachers.
Standards for Secondary Mathematics Teachers. 2003. Hal 1 9Healy dan Hoyles. A Study of Proof Conceptions in Algebra. Journal for Research in
Mathematics Education. Vol 31, No 4. 2000. Hal 425
6
bukti empiris seperti itu dianggap sebagai bukti tidak resmi10
, namun siswa
sekolah menengah masih banyak yang menggunakan bukti empiris dalam
menyusun pembuktian.
Penelitian lain mempelajari persepsi siswa mengenai bukti serta
proses menyusun bukti. Penelitian ini menyimpulkan bahwa siswa
mengalami kesulitan dalam membangun bukti matematis. Recio & Godino
mempelajari skema bukti siswa dan menemukan bahwa kemampuan siswa
sangat terbatas untuk menghasilkan bukti matematika deduktif bahkan
untuk proposisi dasar. Siswa yang menuliskan bukti secara benar kurang
dari 50%11
. Dari penelitian tersebut dapat dilihat bahwa pembuktian
matematika dan cara siswa menyusun bukti matematis perlu dipelajari di
tiap jenjang sekolah.
Beberapa penelitian lainnya dilakukan untuk mengetahui penyebab
kesulitan siswa dalam menyusun bukti atau menunjukkan strategi yang
dapat membantu siswa dalam proses menyusun bukti. Furringhetti dan
Morselli mengatakan kesulitan siswa dalam menyusun bukti adalah
kurangnya pengetahuan dan keterampilan matematika. Ini akan membuat
siswa kebingungan dalam menyusun bukti karena tidak dapat menemukan
fakta yang sesuai12
. Pengetahuan diperlukan agar siswa dapat menyusun
bukti sesuai dengan pemahaman yang diketahui sebelumnya dan tidak asal
dalam penyusunan bukti matematis. Keterampilan matematika diperlukan
agar siswa mampu menyusun bukti matematis secara lengkap dan
sistematis. Sejalan dengan penelitian Furringhetti dan Morselli tersebut,
Ballacheff mengungkapkan siswa menemukan kesulitan dalam menyusun
bukti untuk menemukan konklusi yang hendak dibuktikan. Praktek
pembuktian membutuhkan penalaran dan pengetahuan tentang fakta yang
10
Knuth. Secondary School Mathematics Teachers’ Conceptions of Proof. Journal for
Research in Mathematics Education. Vol 33, No 5. 2002. Hal 403 11
Recio dan Gudino. Institutional and Personal Meanings of Mathematical Proof.
Educatinal Studies in Mathematics. (Netherland: Kluwer Academic. 2001). Hal 97 12
Furinghetti dan Morselli. Every Unsuccesful Problem Solver in Unsuccesful in His or Her
Own Way: Affective and Cognitive Factors in Proving. Educatinal Studies in Mathematics.
(Springer Science+Bussines Media. 2008). Hal 86
7
spesifik. Selain itu, ini melibatkan komitmen terhadap pendekatan
pemecahan masalah yang bukan lagi salah satu persyaratan praktis namun
salah satu persyaratan teoritis13
. Hart membandingkan siswa yang pintar
dengan siswa yang lemah untuk memahami mengapa siswa lemah
mengalami kesulitan dengan bukti. Dia menemukan bahwa siswa
berprestasi tinggi memiliki kemampuan untuk menerapkan dan
memodifikasi strategi pemecahan masalah sedangkan siswa yang lemah
menunjukkan kebingungan terkait dengan skema konseptual atau bayangan
konsep yang tidak stabil14
.
Matematika dikembangkan melalui teorema-teorema yang
dibuktikan kebenarannya.Pengetahuan tentang cara pembuktian sangat
dibutuhkan dalam belajar matematika. Pendidik seharusnya mempunyai
waktu lebih banyak untuk berdiskusi dengan siswa perkara pembuktian
matematis, namun waktu yang terbatas dalam proses belajar mengajar di
sekolah akan selalu menjadi kendala. Alhasil siswa hanya belajar
menemukan tanpa membuktikan. Siswa hanya belajar menggunakan
teorema-teorema yang sudah ada tanpa mengetahui kebenarannya.
Kemampuan melaksanakan pembuktian matematik terbagi menjadi
kemampuan membaca bukti dan kemampuan mengkonstruksi bukti15
.
Kemampuan membaca bukti adalah kemampuan memahami teks
matematika dan dapat mengemukakan gagasan matematik yang terdapat
dalam teks tersebut secara lisan maupun tulisan dengan bahasanya sendiri.
Kemampuan mengkonstruksi bukti adalah kemampuan menyusun suatu
bukti pernyataan matematik berdasarkan definisi, prinsip, dan teorema serta
menuliskannya dalam bentuk pembuktian lengkap (pembuktian langsung
atau tak langsung). Kemampuan ini meliputi: kemampuan mengidentifikasi
premis beserta implikasinya dan kondisi yang mendukung; kemampuan
13
Balacheff. Aspects of Proof in Pupils' Practice of School Mathematics.1988. Hal 228 14
Abdussakir. Disertasi, Proses Berpikir Mahasiswa dalam Menyusun Bukti Matematis
dengan Strategi Semantik. (Universitas Negeri Malang, 2014). Hal 19 15
Utari Sumarmo. Advanced Mathematical Thinking and Habit of Mind Mahasiswa. Bahan
Ajar Matakuliah Kajian dan Isu Pendidikan Matematika Pascasarjana UPI dan STKIP Siliwangi
Bandung.hal 12
8
mengorganisasikan dan memanipulasi fakta untuk menunjukkan kebenaran
suatu pernyataan; kemampuan membuat koneksi antara fakta dengan unsur
dari konklusi yang hendak dibuktikan16
. Kemampuan menyusun bukti
matematis terdapat dalam kemampuan mengkonstruksi bukti. Proses
berpikir dalam menyusun bukti dapat memberi petunjuk yang lebih baik
sejauh mana kemampuan siswa dalam menyusun bukti matematis.
Mulanya, kegiatan menyusun bukti memang terasa tidak menarik
karena bukan berhadapan dengan angka–angka namun berkutat dengan
simbol dan pernyataan logika sehingga membuat orang malas dalam
pengerjaannya. Selain itu, dalam ranah pendidikan formal sejak duduk di
bangku Sekolah Dasar hingga Sekolah Lanjutan Tingkat Atas, pekerjaan
membuktikan juga dianggap terlalu sulit dan tidak penting disebabkan tidak
akan dibutuhkan untuk penyelesaian soal–soal Ujian Nasional. Pendirian
seperti ini kelihatannya, secara tidak sadar, memisahkan matematika dengan
bukti yang sebenarnya adalah perangkatnya yang paling penting17
. Banyak
manfaat dari kegiatan menyusun bukti salah satunya adalah membiasakan
peserta didik berpikir secara logis dan sistematis18
.
Kegiatan menyusun bukti memang bukan kegiatan yang
menyenangkan.Padahal dengan berlatih membuktikan kebenaran dari
pernyataan matematis, tanpa sadar peserta didik sudah terlatih untuk
menjadi orang-orang yang sabar, teliti, tekun, gigih, dan berani. Mereka
juga terlatih untuk berpikir logis, cepat, tepat, dan sistematis serta
menggunakan argumen-argumen yang dapat dipertanggung jawabkan.
Dengan begitu, bukan hanya pada pelajaran matematika saja, namun juga
dalam kehidupan, mereka akan terbiasa untuk mengahadapi persoalan
dengan tenang karena sudah terlatih saat belajar menyusun pembuktian
matematis. Bahkan, Hanna menegaskan bahwa bukti tidak bisa dipandang
16
Ibid. hal 14 17
Hanna, G. A Critical Examination of Three Factors in the Decline of Proof. Interchange
Vol 31/1. Kluwer Academic Publisher. 2000. Hal 21 18
Julan Hernadi. Metoda Pembuktian dalam Matematika. Jurnal Pendidikan Matematika,
Vol 2, No 1, Januari 2008, h. 2
9
sebagai cabang dari matematika, karena bukti adalah inti dari matematika
dan ini berarti bahwa seseorang tidak bisa dikatakan belajar matematika
kecuali jika dia telah mempelajari apa dan bagaimana bukti matematika
itu19
.
Ada beberapa alasan mengapa diberikan pengajaran pembuktian
yaitu: (1) bukti adalah bagian yang integral dalam matematika, (2) untuk
verifikasi dan penemuan fakta, (3) untuk pengembangan kemampuan
berfikir logis dan kritis siswa, (4) mempercepat dan meningkatkan
pemahaman matematik siswa20
.
Berdasarkan paparan yang telah dikemukakan di atas, peneliti
tertarik untuk meneliti sejauh mana kemampuan siswa dalam mata pelajaran
matematika, khususnya dalam penyusunan bukti matematis. Oleh karena itu
penelitian ini diberi judul “ANALISIS KEMAMPUAN MENYUSUN
BUKTI MATEMATIS SISWA SEKOLAH MENENGAH ATAS
(SMA)”.
B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, timbul beberapa
permasalahan yang diidentifikasi sebagai berikut:
1. Menyusun bukti matematis dianggap sulit bagi siswa. Alasannya,
siswa terbiasa menghafal rumus dan menyelesaikan persoalan yang
tidak membutuhkan pembuktian sehingga mengalami kebingungan
saat melakukan pembuktian.
2. Siswa tidak mengetahui bagaimana memulai pembuktian karena
tidak memiliki fakta-fakta yang dapat digunakan untuk melakukan
pembuktian.
3. Kurangnya antusias siswa dalam menyusun bukti matematis lantaran
siswa lebih sering menggunakan sekumpulan contoh sebagai alat
pembuktian dibandingkan dengan menggunakan fakta yang
19
Hanna. G. A Critical .... op.cit. Hal 21 20
Dickerson. High School Mathematics Teachers’ Understandings of the Purposes of
Mathematical Proof. Syracuse University. 2008.
10
diketahui dan disusun untuk menemukan kebenaran suatu
pernyataan.
C. Pembatasan Masalah Penelitian
Agar penelitian ini lebih jelas dan terarah, maka penulis membatasi
masalah yang akan diteliti pada :
1. Penelitian ini dilaksanakan di SMA Global Persada Mandiri Bekasi
pada kelas XI IPA Semester Genap Tahun Ajaran 2016/2017 pada
materi Trigonometri.
2. Pada materi Trigonometri ini hanya difokuskan pada soal-soal
pembuktian untuk mengetahui kemampuan menyusun bukti
matematis siswa.
D. Rumusan Masalah
Dari uraian pada bagian pendahuluan terlihat bahwa permasalahan
yang dihadapi adalah:
1. Bagaimana kemampuan siswa kelas XI IPA SMA Global Persada
Mandiri dalam menyusun bukti matematis?
2. Kendala apa yang dialami siswa dalam menyusun bukti matematis?
E. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini adalah:
1. Menganalisis kemampuan siswa dalam menyusun bukti matematis.
2. Menemukan faktor yang menjadi kendala bagi siswa dalam
menyusun bukti matematis.
F. Manfaat Penelitian
Diharapkan penelitian ini dapat memberikan manfaat sebagai
berikut:
1. Manfaat bagi peneliti
11
a. Memperoleh pengalaman langsung tentang melakukan
penelitian deskriptif.
b. Menambah wawasan dan pengetahuan ilmiah tentang kondisi
sesungguhnya yang terjadi di lapangan terkait kemampuan
siswa dalam menyusun bukti matematis.
2. Manfaat bagi guru
a. Memberi masukkan positif bagi pihak sekolah terutama
pendidik untuk menambah waktu pembelajaran materi-materi
matematika yang membutuhkan pembuktian.
b. Sebagai pertimbangan bagi guru untuk lebih memperhatikan
tingkat kemampuan menyusun bukti matematis siswa.
3. Manfaat bagi siswa
a. Memberi pemahaman tentang pentingnya kegiatan pembuktian
matematis di sekolah.
b. Melatih siswa berfikir logis dan sistematis dengan malakukan
kegiatan menyusun bukti matematis.
4. Manfaat secara umum
Dapat memberikan sumbangan ilmu pengetahuan dalam upaya
peningkatan kualitas pembelajaran matematika untuk meningkatkan
kemampuan menyusun bukti matematis.
12
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Deskripsi Teoritis
1. Definisi Bukti Matematis
Matematika berasal dari bahasa latin mathematica yang mulanya
diambil dari kata mathematike yang berarti relating to learning. kata itu
mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu
(knowledge, science). Kata mathematike berhubungan erat dengan kata
lainnya yang hampir sama, yaitu mathenein yang artinya belajar (berpikir).
Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu
pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar)1.
Matematika merupakan mata pelajaran yang salah satunya
mempelajari tentang bilangan-bilangan dengan operasinya dan dengan
aturan tertentu. Matematika sangat berkaitan dengan simbol-simbol, konsep-
konsep, pola bilangan dan sebagainya, yang semuanya menyertakan logika
dan pola pikir untuk bisa menganalisa dan dapat dibuat kesimpulan. Seperti
yang dikemukakan oleh James dan James bahwa “matematika adalah ilmu
tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang
berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang
terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri”.2
Cockrof mengemukakan bahwa matematika perlu diajarkan pada
siswa karena (1) selalu digunakan dalam segala segi kehidupan; (2) semua
bidang studi memerlukan keterampilan matematika yang sesuai; (3)
merupakan sarana komunikasi yang kuat, singkat, dan jelas; (4) dapat
digunakan untuk menyajikan informasi dalam berbagai cara; (5)
meningkatkan kemampuan berpikir logis, ketelitian, dan kesadaran
1Erman Suherman, dkk, Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. (Bandung: UPI,
2001)., h. 17 2Ibid. h. 18
13
keruangan; (6) memberikan kepuasan terhadap usaha memecahkan masalah
yang menantang.3
Aliran konstruktivisme memandang bahwa untuk belajar
matematika, yang dipentingkan adalah bagaimana membentuk pengertian
pada anak. Ini berarti bahwa ”belajar matematika penekanannya adalah pada
proses anak belajar, sedangkan guru hanya sebagai fasilitator”.4
Untuk belajar matematika dalam aliran konstruktivisme diperlukan
alasan argumentatif sehingga terbentuk pola pikir seseorang dalam belajar
matematika. Dalam pandangan konstruktivisme, ”belajar matematika
memerlukan penalaran. Dengan penalaran atau logika tersebut siswa dapat
membentuk pengetahuan matematikanya dengan baik”.5 Anak yang belajar
matematika dianggap sebagai subjek yang memiliki potensi untuk
dikembangkan sesuai dengan penalarannya sendiri.
Berdasarkan definisi-definisi yang telah dipaparkan dapat
disimpulkan bahwa yang dimaksud dengan matematika adalah ilmu
pengetahuan mengenai logika, bentuk, susunan, besaran dan konsep yang
saling berhubungan satu sama lain dan diatur secara logis, yang diperoleh
melalui penalaran, serta dapat digunakan sebagai cara untuk menyelesaikan
permasalahan-permasalahan dalam kehidupan.
Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang
disusun untuk dapat menjelaskan kebenaran dari suatu pernyataan6.
Argumen-argumen tersebut dapat diperoleh dari premis pernyataan itu
sendiri, teorema – teorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari
postulat dimana sistem matematika itu berasal7. Argumen merupakan alasan
yang dikemukakan sebagai penyataan untuk memperkuat atau menentang
suatu pendapat. Logis yang dimaksud adalah langkah yang sudah disusun
3Mulyono Abdurrahman, PendidikanBagiAnakBerkesulitanBelajar, (Jakarta: PT. Rineka
Cipta, 2009), Cet. 2, h. 253 4Hamzah B. Uno, Model Pembelajaran menciptakan Proses Belajar Mengajar yang Kreatif
dan Efektif. (Jakarat: BumiAksara, 2010) h. 127 5Ibid.
6Julan Hernadi. Metoda Pembuktian dalam Matematika. Jurnal Pendidikan Matematika Vol
2 No. 1. 2008. h. 1 7ibid
14
dalam setiap argumen harus saling berkaitan atau dapat dikaitkan dengan
argumen pada langkah sebelumnya. Sehingga premis pada setiap deduksi
sudah dibuktikan kebenarannya dan dapat dianggap sebagai asumsi, Bukti
atau pembuktian memang tidak selalu digunakan dalam matematika.
Pembuktian dalam matematika berbeda dengan pembuktian pada bidang
lainnya. Pembuktian dalam matematika digunakan sebagai metode uji untuk
pengetahuan yang terpercaya
Masalah dalam matematika dapat dibagi menjadi dua macam yaitu
masalah menemukan (to find) dan masalah membuktikan (to proof).
Masalah menemukan adalah jenis masalah dimana tujuannya akan dicari
dan prosesnya diperlukan. Masalah membuktikan adalah masalah dimana
tujuannya telah ditentukan tetapi prosesnya diperlukan. Diantara masalah
tersebut, masalah membuktikan merupakan masalah yang paling penting
dalam matematika.
Pentingnya kemampuan pembuktian matematik dalam pembelajaran
matematika maka National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)
telah merekomendasikan bahwa pembuktian merupakan bagian dari
kurikulum matematika di semua tingkatan. Bagian “Reasoning and Proof”
dalam dokumen NCTM ini dinyatakan bahwa siswa seharusnya dapat8 :
1. Mengenal penalaran dan pembuktian sebagai aspek-aspek
fundamental matematika;
2. Membuat konjektur dan memeriksa kebenaran dari konjektur itu;
3. Mengembangkan dan mengevaluasi argumen dan pembuktian
matematika;
4. Memilih dan menggunakan bermacam-macam jenis penalaran dan
metode pembuktian.
Rekomendasi dari NCTM itu mengindikasikan bahwa pembuktian
matematika merupakan salah satu aspek yang harus ditekankan dan
diperhatikan dalam pembelajaran matematika di sekolah. Tapi untuk
8NCTM. Principles and Standards for School Mathematics. 2000. Hal 55-60
15
mengkonstruksi bukti yang lebih rumit akan diberikan pada perkuliahan di
perguruan tinggi. Kurikulum dalam matematika harus mencakup banyak
dan beragam pengalaman yang memperkuat dan memperluas keterampilan
logis siswa sehingga siswa dapat: (1) mengenal penalaran dan pembuktian
sebagai aspek-aspek fundamental matemamika, (2) membuat konjektur dan
memeriksa kebenaran konjektur tersebut, (3) mengembangkan dan
mengevaluasi argumen dan pembuktian matematik, dan (4) memilih dan
menggunakan bermacam-macam jenis penalaran dan metode pembuktian..
Bukti di dalam matematika berbeda dengan bukti yang dikenal
dalam disiplin ilmu lain. Bukti secara etimologis, mengandung beragam
makna yang bersifat kontekstual bergantung pada bidang ilmu dimana bukti
tersebut dibicarakan. Bukti bagi hakim, dapat berimplikasi pada sesuatu
yang tidak diragukan lagi, bukti bagi statistikawan berarti terjadi dengan
probabilitas tertentu, dan bagi ilmuwan bukti adalah hasil dari suatu
eksperimen empiris9. Namun, di kalangan matematikawan, bukti memiliki
peranan penting yakni sebagai suatu metode meyakinkan yang digunakan
untuk menguji pengetahuan dan sangat berbeda dengan cara induksi di
dalam kegiatan-kegiatan empiris10
.
Bukti dianggap sebagai bagian fundamental kegiatan matematika
bahkan sejak zaman matematika kuno11
. Ini menunjukkan matematika
muncul pada masa lampau, kumpulan dari berbagai kebudayaan antar
bangsa, hingga akhirnya muncul istilah bukti. Bukti digunakan sebagai alat
penemuan yang pada dasarnya sangat terkait perannya dengan kegiatan
eksplorasi. Ini menjelaskan bahwa kurikulum matematika sudah lama ada
dan memberikan status yang penting bagi kemampuan pembuktian.
Keunikan sifat bukti matematika melekatkan status yang unik pula
kepada matematika itu sendiri. Untuk itu, diperlukan suatu perhatian yang
9 David Tall. The Nature of Mathematical Proof. Mathematics Teaching 127. hal28
10Hoyles. The Curricular Shaping of Students' Approaches to Proof. For the Learning
ofMathematics, 17(1). (Canada: FLM Publishing Association,1997). hal 7 11
Lee dan Jhong Kwon. Philosophical Perspective on Proof in Mathematics Education.
Philosophy of Mathematics Education Journal, 16.(Korea: Dongguk University, 2002). Hal 1
16
memadai terhadap cara mengkondisikan siswa di dalam budaya
membuktikan dan pada saat yang sama, gagasan dan pandangan mereka
tentang bukti sebaiknya diperhatikan12
.
Bukti merupakan representasi dari hasil matematika untuk
mengkomunikasikan pemahaman kepada komunitas matematika lainnya
dan menerimanya sebagai teorema baru. Pembuktian pada dasarnya adalah
membuat serangkaian deduksi dari asumsi (premis atau aksioma) dan hasil-
hasil matematika yang sudah ada (lemma atau teorema) untuk memperoleh
hasil-hasil penting dari suatu persoalan matematika. Pembuktian matematis
dapat berfungsi sebagai suatu proses aktual melalui konstruksi bukti dan
sebagai fase akhir.
Reid mengklasifikasikan beberapa istilah teknis yang berkenaan
dengan gagasan bukti yang banyak digunakan dalam penelitian pendidikan
matematika. Ada empat istilah yang diajukannya yaitu: konsep bukti, bukti,
membuktikan dan pemeriksaan13
. Bukti pada dasarnya adalah rangkaian
tulisan yang dipublikasikan sesuai dengan harapan para matematikawan.
Sementara itu, membuktikan berarti bernalar secara deduktif dan
pemeriksaan mengacu pada kegiatan penyelidikan di dalam matematika
yang bersifat empiris semu.
Weber mengatakan terdapat beberapa tujuan pembuktian
diantaranya:
1. Penjelasan (explanation). Seorang pembaca dapat memahami
kebenaran suatu pernyataan bila ia mempunyai penjelasan. Banyak
pendidik matematika menyarankan bahwa penjelasan harus
merupakan tujuan pembukti yang utama di dalam kelas. Ini
diperlukan siswa sebagai latihan membuat penjelasan dan
menyampaikan gagasannya.
2. Sistemisasi (systemization). Seseorang dapat menggunakan bentuk
bukti untuk mengorganisir antar konsep berlainan ke dalam satu
12Loc.cit Hoyles, C. The Curricular Shaping .............................................. hal 7
13Reid, D. Proof, Proofs, Proving and Probing: Research Related to Proof. Acadia
University, 2002. Hal 1
17
kesatuan yang utuh. Dengan pengaturan sistem deduktif, seseorang
dapat memperbaiki argumentasi yang mungkin salah atau tidak
sempurna. Ini diperlukan siswa agar terbiasa menggunakan fakta
yang tepat dalam melakukan pembuktian.
3. Menyediakan otonomi (providing otonomy), mengajar siswa
bagaimana cara membuktikan dapat memperkaya wawasannya
untuk mengkonstruksi dan memvalidasi pengetahuan matematis
secara bebas. Bebas dalam arti dilihat dari berbagai sudut
pandangilmu pengetahuan. Dengan mempelajari pembuktian
matematik, siswa akanterbiasa menggunakan konsep ini dalam
kehidupan sehari-hari.14
Terdapat tiga jenis bukti berdasarkan tingkat formalitasnya, yaitu:
bukti informal, bukti kurang formal dan bukti formal. Bukti formal adalah
suatu bukti yang mengikuti bentuk tertentu. Bukti formal biasanya
menggunakan kaidah keketatan, ketelitian, dan ketepatan yang sangat kuat.
Bukti kurang formal merupakan suatu bukti yang tidak terstruktur secara
ketat, bahkan cenderung kurang ketat ditinjau dari sudut pandang
matematika, sedangkan bukti informal adalah istilah yang digunakan untuk
argumen yang sama sekali tidak memenuhi kriteria sebuah bukti. Di dalam
proses belajar mengajar, terdapat beberapa peranan bukti matematika
diantaranya adalah verifikasi bahwa suatu pernyataan benar adanya,
menjelaskan kebenaran suatu pernyataan, mengkomunikasikan pengetahuan
matematika, menemukan atau membuat hal baru dalam matematika, dan
mengatur sistem aksiomatik suatu pernyataan15
. Hanna (1995) mengatakan
bahwa peran utama bukti di dalam praktek matematika adalah verifikasi dan
14
Dadang Juandi. Pembuktian, Penalaran, dan Komunikasi Matematis. (JurDikMat
FPMIPA UPI, 2008). hal 5 15
Knuth, E. J. Secondary School Mathematics Teachers’ Conceptions of Proof. Journal for
Research in Mathematics Education, 33(5). NCTM, 2002a. Hal 380
18
pembenaran, tetapi di dalam bidang pendidikan matematika, bukti lebih
banyak digunakan untuk penjelasan16
.
Di dalam proses belajar mengajar matematika, kita sebaiknya
memperhatikan peranyang dimainkan oleh bukti dan tiap peran tersebut
seharusnya mendapatkanpenekanan yang proporsional. Peran bukti dalam
sistematisasi hasil-hasil kegiatan matematis ke dalam suatu sistem deduktif
(definisi, aksioma, postulat, teorema, dan lain-lain) dapat dianggap sebagai
fungsi paling matematis dari bukti.
Bukti atau pembuktian memang tidak selalu digunakan dalam
matematika. Siswa telah belajar aritmatika sebelum memperoleh
pengetahuan tentang pembuktian dalam matematika. Beberapa ilmuwan
matematika mendefiniskan bukti matematika. Griffiths menyatakan bahwa
bukti matematis adalah suatu cara berpikir formal dan logis yang dimulai
dengan aksioma dan bergerak maju melalui langkah-langkah logis sampai
pada suatu kesimpulan17
. Seiring dengan itu, Hanna dan Barbeau
menyatakan bahwa bukti adalah langkah-langkah yang bersifat logis dari
apa yang diketahui untuk mencapai suatu kesimpulan dengan menggunakan
aturan inferensia yang dapat diterima18
.
2. Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
Membuktikan merupakan tantangan tersendiri bagi para
matematikawan, membuat penasaran, dan begitu terselesaikan maka
diperoleh kepuasan intelektual. Untuk dapat melaksanakan pembuktian,
menurut Utari Sumarmo dalam penelitiannya dibutuhkan kemampuan
membaca bukti dan kemampuan mengkonstruksi bukti. Dikutip dari
penelitian Utari Sumarmo, berkaitan dengan membaca bukti, Sumarmo
menyatakan bahwa seorang pembaca dikatakan memahami teks matematika
16
Hanna, G. Challenge to the Importance of Proof. For the Learning of Mathematics,
15(3).(Canada: FLM Publishing Association, 1995). hal 42 17
Ibid. Hal 3 18
Andri Suryana. Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Lanjut (Advanced Mathematical
Thinking) dalam Mata Kuliah Statistika Matematika 1.Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika, 2012. Hal 45
19
misalnya sajian bukti matematika, apabila ia dapat mengemukakan gagasan
matematika yang termuat dalam teks tersebut secara lisan atau tulisan
dengan bahasanya sendiri. Masih dalam penelitian Utari Sumarmo,
dijelaskan pula tentang kemampuan mengkonstruksi bukti, yaitu
kemampuan menyusun suatu bukti pernyataan matematik berdasarkan
definisi, prinsip, dan teorema, serta menuliskannya dalam bentuk
pembuktian lengkap (pembuktian langsung atau tak langsung)19
. Dalam
penilitian ini, peneliti lebih memfokuskan pada kemampuan mengkonstruksi
bukti yaitu kemampuan menyusun bukti matematis.
Indikator kemampuan menyusun bukti menurut Utari Sumarmo
meliputi: 1) kemampuan mengorganisasikan dan memanipulasi fakta untuk
menunjukkan kebenaran suatu pernyataan; 2) kemampuan membuat koneksi
antara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan20
. Menurut
Selden dan Selden, kemampuan pembuktian matematis terdiri dari : (1)
kemampuan mengkonstruksi bukti dan (2) kemampuan memvalidasi bukti.
Pembuktian matematis dapat berfungsi sebagai suatu proses aktual melalui
konstruksi bukti dan sebagai fase akhir. Dalam mencapai kemampuan untuk
membuktikan suatu permasalahan dalam matematika diperlukan
pemahaman dan konsep dasar matematika yang baik. Adapun faktor untuk
meningkatkan pemahaman dan konsep dasar matematika, seseorang harus
memiliki kemampuan bahasa matematika yang baik pula. Membuat struktur
dan sintak dari bahasa matematika dengan jelas dan eksplisit dapat
meningkatkan pemahaman dan konsep dasar matematika21
.
Kemampuan pembuktian matematis adalah kemampuan memahami
pernyataan atau simbol matematika serta menyusun bukti kebenaran suatu
19
Utari Sumarmo. Advanced Mathematical Thinking and Habit of Mind Mahasiswa. Bahan
Ajar Matakuliah Kajian dan Isu Pendidikan Matematika Pascasarjana UPI dan STKIP Siliwangi
Bandung. hal 12 20
Ibid, hal 14 21
Gowers, W.T. The Language and Grammar in Mathematics. General relativity and the
einstein equations[IV.13], and operator algebras [IV.15] , hal 8
20
pernyataan secara matematis berdasarkan definisi, prinsip, dan teorema22
.
Menurut Karunia Eka Lestari dalam penelitiannya, indikator kemampuan
pembuktian matematis terdiri dari: 1) membaca pembuktian matematis, 2)
melakukan pembuktian matematis secara langsung, tak langsung, atau
dengan induksi matematis, dan 3) mengkritik pembuktian dengan
menambah, mengurangi, atau menyusun kembali suatu pembuktian
matematis.
Dari beberapa definisi di atas, penulis menyimpulkan bahwa
kemampuan menyusun bukti matematis adalah kemampuan memahami
pernyataan atau simbol matematika, kemampuan memanipulasi fakta untuk
menunjukkan suatu kebenaran, serta kemampuan membuat koneksi antara
fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan, sehingga dapat
melakukan pembuktian baik secara langsung, tak langsung, ataupun induksi
matematis. Sehingga dari beberapa sumber indikator di atas, penulis
mengkerucutkan lagi indikator menyusun bukti matematis untuk penelitian
ini adalah:
1. Memanipulasi fakta untuk menunjukkan kebenaran suatu
pernyataan.
2. Membuat koneksi antara fakta dengan unsur dari konklusi yang
hendak dibuktikan.
B. Pokok Bahasan Materi Trigonometri
1. Pengertian Trigonometri
Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tan),
cotangens (cot), secan (sec), dan cosecan (csc). Trigonometri
merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat
kartesius atau segitiga siku-siku.
22
Karunia Eka Lestari. Analisis Kemampuan Pembuktian MatematisMahasiswa
Menggunakan Pendekatan Induktif-DeduktifPada Mata Kuliah Analisis Real. Artikel Pendidikan
Matematika. Hal 43
21
2. Perbandingan Trigonometri
Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari (r),
sedangkan titik P (x,y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA
terhadap sumbu X berlaku r2 = x
2 + y
2 sehingga diperoleh perbandingan
trigonometri sebagai berikut:
3. Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih
Dua Sudut, dan Sudut Ganda
a) Rumus Trigonometriuntuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b) Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
22
√
√
4. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
a) Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)
2 sin A cos B = sin (A + B) +sin (A – B)
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
b) Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)
cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
cos A – cos B = –2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
tan A + tan B = ( )
( ) ( )
tan A – tan B = ( )
( ) ( )
5. Identitas Trigonometri
Rumus-rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut:
23
Untuk membuktikan suatu persamaan merupakan identitas atau
bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu cara-cara berikut:
Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan
Mengubah bentuk ruas kanan sehingga menjadi bentuk ruas kiri
Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi
bentuk yang sama
6. Penggunaan Trigonometri dalam Menentukan Luas Segitiga
Sejak SD kita sudah diajarkan luas dan keliling bangun datar. Setiap
orang pasti sudah mengetahui rumus luas segitiga yaitu L∆ = ½ x alas x
tinggi. Seiring berjalannya waktu, di SMA dibahas kembali materi
tentang luas segitiga. Akan tetapi masalahnya berbeda. Pada jenjang
SMA yang dipelajari adalah bagaimana menemukan luas segitiga jika
alas dan tingginya tidak diketahui.
Mengenai alas dan tinggi, sebenarnya hanya istilah saja untuk
mempermudah memahami konsep. Alas tidak selalu berada di bagian
bawah segitiga dan tinggi segitiga tidak bersifat tetap, tapi tergantung
alasnya. Tinggi segitiga itu adalah jarak dari suatu titik sudut segitiga
ke alasnya. Sudah tentu tinggi segitiga haruslah tegak lurus dengan
alasnya. Berikut ini adalah rumus-rumus luas segitiga.
24
Rumus segitiga L∆ = ½ x alas x tinggi ini berlaku untuk semua jenis
segitiga, baik segitiga lancip, tumpul, ataupun siku-siku.
Luas segitiga yang diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya
adalah:
Rumus di atas didasarkan pada rumus luas segitiga yang diketahui alas
dan tingginya. Perhatikan segitiga berikut:
Segitiga yang diketahui panjang dua sisi dan sudut yang diapitnya
Segitiga di samping memiliki
Alas = a dan tinggi = t
Sehingga luasnya adalah sebagai berikut:
( )( )
Jika t tidak diketahui, kita bisa mendapatkannya dengan menggunakan
perbandingan trigonometri.
Sehingga
( )( )
( )( )
Rumus yang lainnya bisa didapat dengan cara yang sama untuk sisi-
sudut-sisi yang berbeda.
25
Luas segitiga yang diketahui dua sudut dan satu sisi adalah:
Rumus di atas didapat dari rumus luas segitiga yang diketahui dua sisi
dan sudut yang diapitnya, salah satu sisinya diubah menjadi rumus
aturan sinus.
(
)
Luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya adalah:
√ ( )( )( ) dengan
( )
C. Hasil Penelitian yang Relevan
Beberapa penelitian yang relevan dengan penelitian ini diantaranya
adalah :
1. Abdussakir dalam disertasinya “Proses Berpikir Mahasiswa dalam
Menyusun Bukti Matematis dengan Metode Semantik”. Dalam
disertasinya tersebut, Abdussakir mengatakan bahwa bukti mempunyai
peran yang sangat penting dalam matematika dan pendidikan
matematika. Abdussakir menyatakan bahwa proses berpikir dalam
menyusun bukti dapat berbeda dengan pembuktian yang dilakukan.
Berdasarkan pada teori yang dikemukakan David Tall, Abdussakir
mengatakan bahwa proses berpikir mahasiswa dalam menyusun bukti
dapat diteliti menggunakan kerangka teori tiga dunia berpikir
26
matematis. Pada penelitiannya, Abdussakir menggunakan strategi
semantik dalam kerangka teori tiga dunia berpikir matematis untuk
mengetahui proses berpikir mahasiswa dalam menyusun bukti, apakah
yang sebenarnya terjadi pada mahasiswa saat menyusun bukti.
Penelitian Abdussakir tersebut lebih ditekankan pada proses berpikir
mahasiswa dalam pembuktian. Yang menjadi pembeda dalam
penelitian ini adalah peneliti masih mengambil subjek penelitian dalam
ranah sekolah menengah atas.Peneliti pun ingin mengetahui proses
berpikir siswa dalam pembuktian, namun lebih memfokuskan pada
kemampuan siswa dalam menyusun bukti matematis yaitu kegiatan
siswa untuk menghasilkan bukti secara tertulis.
2. Achmad Faruq dalam skripsinya “Analisis Struktur Argumentasi dan
Kemampuan Mengkonstruksi Bukti Matematika Siswa Sekolah
Menengah”. Yang dalam skripsinya dia mengatakan bahwa struktur
argumentasi memiliki peran yang penting dalam pembuktian
matematika. National Council of Teacher of Mathematics (NCTM)
pada tahun 2000 merekomendasikan untuk lebih memperhatikan
pembelajaran pembuktian matematika di sekolah menengah guna
melatih kemampuan membuktikan sebagai bekal di jenjang perguruan
tinggi. Dalam penelitiannya aspek penting dalam pembuktian
matematika (struktur argumentasi) ini perlu dianalisis pada tingkatan
siswa sekolah menengah. Dan aspek lainnya adalah kemampuan
mengkonstruksi bukti matematika.Dalam penelitian ini hanya akan
melihat dari aspek kemampuan mengkontruksi bukti matematikanya
yaitu menyusun bukti matematis.
3. Karunia Eka Lestari dalam jurnalnya, “Analisis Kemampuan
Pembuktian Matematis Mahasiswa Menggunakan Pendekatan Induktif-
Deduktif pada Mata Kuliah Analisis Real”. Dalam jurnalnya ini
digunakan pendekatan induktif deduktif yang diimplementasikan dalam
mata kuliah analisis real. Pembuktian diawali dengan penyajian
masalah berupa pernyataan yang akan dibuktikan secara induktif
27
sehingga diperoleh suatu pernyataan yang terbukti kebenarannya.
Kemudian dilanjutkan dengan pembuktian secara deduktif yaitu dengan
mengkonstruksi atau menyusun bukti kebenaran pernyataan tersebut
secara matematis. Karunia Eka juga menuliskan indikator kemampuan
pembuktian matematis yang menjadi salah satu acuan peneliti untuk
menentukan indikator dalam penelitian ini. Subjek penelitian ini juga
berbeda dengan subjek yang terdapat dalam jurnal Karunia Eka.
Peneliti memfokuskan penelitian pada siswa Sekolah Menengah Atas
(SMA).
28
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
A. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di Sekolah Menengah Atas (SMA)
Global Persada Mandiri yang beralamat di Jl. Mekarsari No. 5 RT/RW
10/03, Bekasi Timur. Waktu penelitian dilaksanakan pada bulan Juni,
Semester Genap Tahun Ajaran 2016/2017.
B. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah
metode deskriptif. Penelitian ini mengkaji bentuk, aktifitas, karakteristik,
perubahan, hubungan, kesamaan, dan perbedaannya dengan fenomena lain1.
Dalam penelitian ini bertujuan untuk menggambarkan kemampuan
menyusun bukti matematis siswa Sekolah Menengah Atas (SMA). Pada
metode deskriptif menggunakan statistika desrkriptif untuk mengolah data
yang diperoleh dari hasil penelitian. Statistika deskriptif adalah statistik
yang berkenaan dengan bagaimana cara mendeskripsikan, menggambarkan,
menjabarkan, atau menguraikan data sehingga mudah dipahami.2Adapun
cara yang digunakan untuk mendeskripsikan, menggambarkan,
menjabarkan, atau menguraikan data dalam penelitian ini adalah dengan
menentukan ukuran dari data seperti nilai modus, rata-rata dan nilai tengah
(median) dan menentukan ukuran variabilitas data seperti variasi (varian),
tingkat penyimpangan (deviasi standar) dan jarak (range).
C. Subjek Penelitian
Subjek penelitian ini adalah siswa kelas XI IPASMAGlobal Persada
Mandirisejumlah 36 siswa yang terdiri dari 15 siswa putra dan 21 siswa
1Nana Syaodih Sukmadinata. Metode Penelitian Pendidikan. (Bandung : Remaja
Rosdakarya. 2011), h 72 2Syofian Siregar, Statistika Deskriptif untuk Penelitian, (Jakarta: Rajawali pers, 2010), h.2.
29
putri. Teknik pengambilan sampel menggunakan sampel acak kelas atau
random. Pengambilan sampel acak berarti setiap individu dalam populasi
mempunyai peluang yang sama untuk dijadikan sampel. Disini peneliti
mengambil 36 siswa dari 2 kelas yang berbeda, yaitu 16 siswa kelas XI IPA
1 dan 15 siswa kelas XI IPA 2.
D. Teknik Pengumpulan Data
Untuk teknik pengumpulan data digunakan adalah tes. Tes
digunakan sebagai upaya untuk memperoleh data primer tentang
kemampuan siswa menyusun bukti matematis pada materi Trigonometri.
Tes yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes berbentuk uraian.
E. Instrumen Penelitian
Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah soal tes
kemampuan menyusun bukti matematis. Soal tes disusun dalam bentuk
uraian (essay) dengan materi trigonometri yang digunakan untuk mengukur
tingkat kemampuan siswa dalam menyusun bukti matematis. Adapun
langkah-langkah yang digunakan oleh peneliti dalam menyusun soal tes
kemampuan menyusun bukti matematis, yaitu:
1. Persiapan Pembuatan Instrumen.
a. Memperhatikan kurikulum yang berlaku di SMA.
Dalam pembuatan instrumen tes kemampuan menyusun bukti
matematis terlebih dahulu mengetahui materi pelajaran apa saja yang
terdapat pada jenjang SMA di Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan
(KTSP). KTSP dipilih sehubungan dengan kurikulum yang diterapkan
di SMA Global Persada Mandiri adalah KTSP.
b. Memperhatikan materi yang diajarkan oleh pendidik
Setelah mengetahui materi yang diajarkan, selanjutnya
menentukan materi yang akan digunakan yaitu Trigonometri di kelas
XI IPA.
c. Memperhatikan kompetensi dasar yang berlaku
30
Penyusunan intrumen tes dalam penelitian ini memperhatikan
kompetensi dasar-kompetensi dasar yang berlaku pada materi
trigonometri.
d. Menyusun kisi-kisi tes
Kisi-kisi instrumen tes kemampuan menyusun bukti matematis
digunakan oleh peneliti sebagai acuan dalam membuat soal. Adapun
kisi-kisi instrument tes yang digunakan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut:
Tabel 3.1
Kisi – Kisi Instrumen Tes
Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
No Kompetensi Dasar Indikator Soal No Butir
Soal
Jumlah
Soal
1
Melakukan manipulasi
aljabar dalam perhitungan
teknis yang berkaitan
dengan perbandingan,
fungsi, persamaan, dan
identitas trigonometri.
Memanipulasi fakta untuk
menunjukkan kebenaran
suatu pernyataan
1, 2 2
2
Menyelesaikan model
matematika dari masalah
yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi,
persamaan, dan identitas
trigonometri, dan
penafsirannya
Membuat koneksi antara
fakta dengan unsure dari
konklusi yang hendak
dibuktikan
3, 4a, 4b 3
Jumlah 5
e. Membuat pedoman penskoran tes
Data yang diperoleh dari penelitian ini berupa skor penilaian
hasil jawaban siswa terhadap kemampuan menyusun bukti matematis,
sehingga diperlukan pedoman dalam menentukan skor dari setiap
jawaban siswa tersebut. Pedoman penskoran tersebut digunakan untuk
31
mengukur kemampuan menyusun bukti matematis siswa. Pedoman
penskoran dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
Tabel 3.2
Pedoman Penskoran Instrumen Tes
Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
Selain menggunakan pedoman penskoran, peneliti juga
No Indikator Menyusun
Bukti Matematis Respon terhadap Masalah Skor
1.
Memanipulasi fakta
untuk menunjukkan
kebenaran suatu
pernyataan
Menuliskan pembuktian secara jelas, lengkap
dan sistematis berdasarkan fakta yang diketahui
dengan benar
3
Menuliskan pembuktian dengan fakta yang
diketahui dengan benar namun tidak sistematis 2
Menuliskan sebagian pembuktian dengan benar 1
Tidak memberikan jawaban atau jawaban salah
sama sekali 0
2
Membuat koneksi antara
fakta dengan unsure dari
konklusi yang hendak
dibuktikan
Menuliskan pembuktian secara lengkap dan
sistematis serta menghubungkan fakta yang
diketahui dengan apa yang hendak dibuktikan
dengan benar
3
Menuliskan pembuktian dan menghubungkan
fakta yang diketahui dengan apa yg hendak
dibuktikan secara benar namun tidak sistematis,
atau menuliskan pembuktian secara lengkap dan
sistematis namun tidak menjelaskan fakta yang
digunakan agar dapat menghubungkan apa yang
hendak dibuktikan
2
Tidak menjelaskan fakta yang digunakan untuk
menghubungkan apa yang hendak digunakan
dan menuliskan pembuktian secara tidak
lengkap atau tidak sistematis
1
Tidak memberikan jawaban atau jawaban salah
sama sekali 0
32
membedakan kemungkinan jawaban siswa berdasarkan Tipe A, Tipe B,
dan Tipe C sebagai berikut:
Tabel 3.3
Tipe Jawaban Siswa
No Tipe Jawaban
Siswa Keterangan
1 Tipe A
Menyusun bukti matematis dengan benar, lengkap dan
sistematis
Memperoleh skor 3
2 Tipe B
Menyusun bukti matematis dengan benar namun tidak
lengkap atau tidak sistematis
Menyusun sebagian bukti dengan benar
Memperoleh skor 2 atau 1
3 Tipe C
Jawaban salah atau tidak menuliskan jawaban sama
sekali
Memperoleh skor 0
2. Validitas Instrumen
Untuk mengetahui instrument kemampuan menyusun bukti
matematis yang akan digunakan dalam penelitian telah memenuhi
kelayakan persyaratan atau belum, maka instrument tersebut harus
dilakukan uji validitas dan reliabilitas. Data evaluasi yang baik sesuai
dengan kenyataan disebut data valid. Agar dapat diperoleh data yang valid,
instrumen soal harus valid. Uji validitas dilakukan dengan melakukan uji
validitas soal, reliabilitas, taraf kesukaran dan daya pembeda setiap butir
soal.
Uji validitas butir soal dihitung dengan menggunakan rumus
product moment dari Pearson yaitu sebagai berikut:3
3Suharsimi Arikunto, Dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan, (Jakarta: Bumi Aksara, 2006),
cet. 6, h. 72.
33
( )( )
√( ( ) )( ( ) )
Keterangan:
: koefisien korelasi antara variabel X dan variabel Y
n : banyaknya siswa
X : skor butir soal
Y : skor total
Uji validitas instrumen dilakukan dengan cara membandingkan
hasil perhitunganPearson Correlation( ) dengan pada taraf
signifikansi 5%, untuk membandingkan dengan terlebih dahulu
menetapkan degrees of freedom atau derajat kebebasan yaitu dk= n-2.
Soal dikatakan valid jika nilai ≥ . Sebaliknya soal
dikatakan tidak valid jika nilai < . Dari 5 butir soal instrumen tes
kemampuan menyusun bukti matematis yang diujikan terhadap 36 siswa
diperoleh soal yang diuji cobakan valid semua. Pada penelitian ini n =
36, maka dk= 34, dengan α = 0,05, maka rtabelnya adalah 0,339. Hasil
rekapitulasi validitas pada uji coba instrumen tes kemampuan menyusun
bukti matematis ditampilkan pada tabel berikut:
Tabel 3.4
Rekapitulasi Hasil Validitas (n = 36)
Butir Soal rhitung(rxy) rtabel
Keputusan
(α = 0,05)
1 0,6787
0,339
Valid
2 0,7867 Valid
3 0,5116 Valid
4a 0,6385 Valid
4b 0,7222 Valid
3. Reliabilitas Instrumen
Setelah dilakukan uji validitas maka dilakukan uji reliabilitas untuk
mengetahui tingkat keandalan instrumen dengan mengetahui koefisien
alpha (alpha cronbach) menggunakan perangkat lunak Microsoft Excel
34
2010. Adapun rumus yang digunakan untuk mengukur reliabilitas suatu tes
yang berbentuk uraian adalah sebagai berikut :4
*
+ [
]
Keterangan :
: reliabilitas yang dicari
: banyaknya butir soal
: varians total
: jumlah varians skor tiap-tiap item
Untuk menghitung2
i dan2
t gunakan rumus varians berikut ini:
( )
Kriteria koefisien reliabilitas diberikan dalam tabel sebagai
berikut:5
Tabel 3.5
Kriteria Koefisien Reliabilitas
Koefisien Reliabillitas Kriteria
0,80 < r11 ≤ 1,00 Sangat Baik
0,60 < r11 ≤ 0,80 Baik
0,40 < r11 ≤ 0,60 Cukup
0,20 < r11 ≤ 0,40 Rendah
r11< 0,20 Sangat Rendah
Hasil perhitungan reliabilitas soal yaitu sebesar 0,692 berada
dikisaran 0,60 < r11 ≤ 0,80 yang artinya dari 5 butir soal yang valid
tersebut memiliki tingkat keajegan yang tinggi atau dapat dikatakan
memiliki derajat reabilitas yang baik.
4Ibid, hal 109
5Karunia Eka Lestari dan Mokhammad Ridwan Yudhanegara, Penelitian Pendidikan Matematika,
(Bandung: PT Refika Aditama, 2015), h.206.
35
4. Taraf Kesukaran
Setelah dilakukan uji validitas dan reliabilitas maka dilakukan
perhitungan taraf kesukaran untuk mengetahui tingkat kesukaran
instrument apakah soal test yang diberikan tergolong mudah, sedang atau
sukar. Soal yang baik adalah soal yang tidak terlalu mudah atau tidak
terlalu sukar. Soal yang terlalu mudah tidak merangsang siswa untuk
mempertinggi usaha dalam memecahkannya. Sebaliknya soal yang
terlalu sukar akan menyebabkan siswa menjadi putus asa dan tidak
mempunyai semangat untuk mencoba lagi karena di luar jangkauannya6.
Perhitungan dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak Microsoft
Excel 2010. Rumus yang digunakan sebagai berikut :7
Keterangan :
P = indeks kesukaran
B = banyaknya siswa yang menjawab soal betul
Js = jumlah seluruh siswa peserta test
Kriteria koefisien taraf kesukaran diberikan dalam tabel sebagai
berikut:
Tabel 3.6
Kriteria Taraf Kesukaran
Kualifikasi Indeks Kesukaran Kriteria
0,70 < P ≤ 1,00 Mudah
0,30 < P ≤ 0,70 Sedang
0,00 < P ≤ 0,30 Sukar
Dalam pengujian untuk mengetahui tingkat kesukaran pada
instrumen tes kemampuan siswa menyusun bukti matematis yang akan
6Suharsimi Arikunto, op. cit. h. 207.
7Ibid. h. 208.
36
digunakan pada penelitian ini, diperoleh dari 5 soal yang valid terdapat 4
soal berkategori sedang yaitu pada soal nomor 1, 2, 4a, dan 4b.
Sementara satu soal nomor 3 berkategori sukar. Berikut rekapitulasi taraf
kesukaran pada uji coba instrumen tes kemampuan menyusun bukti
matematis berdasarkan output pada Microsoft Excel 2010:
Tabel 3.7
Rekapitulasi Taraf Kesukaran
Butir Soal P Kriteria
1 0,6667 Sedang
2 0,6389 Sedang
3 0,2963 Sukar
4a 0,3796 Sedang
4b 0,3611 Sedang
5. Daya Pembeda
Daya pembeda soal adalah kemampuan sesuatu soal untuk
membedakan antara siswa yang pandai (berkemampuan tinggi) dengan
siswa yang kurang pandai (berkemampuan rendah)8. Perhitungan daya
pembeda yang bertujuan untuk mengetahui tingkat kemampuan soal
dalam membedakan siswa yang mampu menyelesaikan soal dengan yang
tidak mampu menyelesaikan soal. Untuk mengetahui daya pembeda tiap
butir soal digunakan rumus.9
Keterangan:
J = Jumlah peserta tes
JA = Banyaknya peserta kelompok atas
JB = Banyaknya peserta kelompok bawah
BA = Banyaknya peserta kelompok atas yang menjawab soal dengan
benar
8Ibid, h. 211
9Ibid.h. 213
37
BB = Banyaknya peserta kelompok bawah yang menjawab soal
dengan benar
PA = Proporsi peserta kelompok atas yang menjawab benar
PB = Proporsi peserta kelompok bawah yang menjawab benar
Daya pembeda diklasifikasikan sebagai berikut :
D : 0,00 – 0,19 : jelek
D : 0,20 – 0,39 : cukup
D : 0,40 – 0,69 : baik
D : 0,70 – 1,00 : sangat baik
Negatif : tidak baik. Jadi semua butir soal yang
mempunyai nilai D negatif sebaiknya tidak usah digunakan.
Dari perhitungan untuk mencari besar nilai daya pembeda untuk
tiap soal dalam instrumen soal kemampuan menyusun bukti matematis
yang akan digunakan, kelima soal yang digunakan berada pada kategori
cukup. Hasil rekapitulasi uji daya pembeda ditampilkan pada tabel
sebagai berikut :
Tabel 3.8
Rekapitulasi Daya Pembeda
Butir Soal D Kriteria
1 0,333 Cukup
2 0,389 Cukup
3 0,296 Cukup
4a 0,278 Cukup
4b 0,315 Cukup
Setelah diketahui hasil rekapitulasi dari masing-masing hasil uji
validitas, reliabilitas, daya pembeda hingga taraf kesukaran, maka semua
hasil uji tersebut dapat ditampilkan dalam tabel rekapitulasi berikut:
38
Tabel 3.9
Rekapitulasi Nilai Validitas, Reliabilitas, Daya Pembeda, dan Taraf
Kesukaran
Soal Validitas Taraf Kesukaran Daya Pembeda
Keterangan
rhit Ket. P Kriteria D Kriteria
1 0,6787 Valid 0,6667 Sedang 0,333 Cukup Pakai
2 0,7867 Valid 0,6389 Sedang 0,389 Cukup Pakai
3 0,5116 Valid 0,2963 Sukar 0,296 Cukup Pakai
4a 0,6385 Valid 0,3796 Sedang 0,278 Cukup Pakai
4b 0,7222 Valid 0,3611 Sedang 0,315 Cukup Pakai
Reliabilitas 0,692
F. Teknik Analisis Data
Data yang diambil dalam penelitian ini adalah hasil dari jawaban
siswa terhadap instrumen tes kemampuan menyusun bukti matematis, Tes
yang digunakan untuk mengukur kemampuan menyusun bukti matematis
siswa berbentuk uraian, pemberian skor hasil tes siswa didasarkan pada
indikator yang akan dicapai. Skor keseluruhan siswa dan skor perindikator
dianalisis untuk mengetahui kemampuan menyusun bukti matematis siswa.
Adapun analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah
dengan menentukan ukuran dari data seperti nilai modus, rata-rata dan nilai
tengah (median) dan menentukan ukuran variabilitas data seperti variasi
(varian), tingkat penyimpangan (deviasi standar) dan jarak (range). Berikut
disajikan rumus yang digunakan untuk analisis data dalam penelitian ini :
1. Rata-rata (Mean)
Dimana :
= nilai rata-rata
= jumlah nilai
= jumlah frekuensi
39
2. Median
(
)
Dimana :
Me = Median
Bb = batas bawah kelas median (batas bawah – 0,5)
p = panjang kelas
n = banyak data
F = jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
3. Modus
(
)
Dimana :
Mo = Modus
Bb = batas bawah kelas modus (batas bawah – 0,5)
p = panjang kelas
= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas setelahnya
4. Varians
(
) ( )
( )
5. Simpangan Baku
√(
) ( )
( )
40
6. Persentase Rata-rata
41
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Deskripsi Data
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan menyusun
bukti matematis siswa kelas XI IPA di SMA Global Persada Mandiri, pada
materi Trigonometri. Pengambilan data dilakukan melalui tes tertulis. Tes
yang diberikan pada siswa berbentuk uraian (essay) materi Trigonometri.
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah hasil tes kemampuan
menyusun bukti matematis berdasarkan indikator memanipulasi fakta untuk
menunjukkan kebenaran suatu pernyataan dan membuat koneksi matematis
antara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan. Data-data
tersebut kemudian dianalisis dan disajikan dalam bentuk deskripsi sebagai
gambaran hasil penelitian. Adapun hasil kemampuan menyusun bukti
matematis siswa sebagai berikut:
1. Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa
Berdasarkan data yang telah diperoleh dari lapangan, agar
mudah dipahami maka dideskripsikan ke dalam berbagai bentuk
penyajian. Penyajian data pada penelitian ini dengan menggunakan
tabel distribusi frekuensi dan grafik. Data hasil penelitian tes
kemampuan menyusun bukti matematis siswa secara keseluruhan
disajikan dalam bentuk sebagai berikut :
Tabel 4.1
Distribusi Frekuensi Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
No Nilai Batas
Bawah
Batas
Atas
Frekuensi
(fi) fi (%) Fk
1 13-26 12,5 26,5 4 11,11 4
2 27-40 26,5 40,5 14 38,89 18
3 41-52 40,5 52,5 3 8,33 21
4 53-66 52,5 66,5 8 22,22 29
5 67-80 66,5 80,5 5 13,89 34
6 81-94 80,5 94,5 2 5,56 36
Jumlah 36 100
42
Dari Tabel 4.1 dapat diketahui banyak kelas interval adalah 6
kelas dengan pajang setiap interval kelasnya adalah 14. Selain itu
dapat terlihat bahwa nilai yang paling banyak diperoleh siswa berada
pada interval 27 – 40 yaitu sebesar 38,89% (14 siswa dari 36 siswa).
Nilai yang paling sedikit diperoleh siswa berada pada interval 81 – 94
yaitu sebesar 5,56% (2 siswa dari 36 siswa).
Di samping distribusi frekuensi, disajikan pula hasil statistika
kemampuan menyusun bukti matematis sebagai berikut:
Tabel 4.2
Statistika dari Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
Statistika Hasil
Mean 47,4
Median (Me) 40,5
Modus (Mo) 33,8
Varians (S^2) 388,91
Simpangan Baku (S) 19,72
Nilai rata-rata (mean) yang diperoleh siswa yaitu 47,4, jika
dibandingkan pada Tabel 4.1 terlihat nilai yang paling banyak
diperoleh siswa adalah pada interval nilai 27 – 40, ini dapat dikatakan
bahwa nilai kemampuan menyusun bukti matematis terbanyak yang
diperoleh siswa masih di bawah rata-rata nilai keseluruhan. Akan
tetapi, jika nilai persentase nilai keseluruhan di akumulasi maka akan
diperoleh 50% siswa yang dibawah rata-rata dan 50% siswa yang di
atas rata-rata. Ini akan menunjukkan bahwa banyak siswa yang
memperoleh nilai di atas rata-rata sama dengan banyak siswa yang
memperoleh nilai di bawah rata-rata.
Selain nilai rata-rata, diperoleh juga nilai median (Me) adalah
40,5, dimana ini menandakan bahwa nilai tengah dari seluruh nilai
siswa mendekati nilai 40,5.Modus (Mo) dalam statistika kemampuan
43
menyusun bukti matematis siswa adalah 33,8. Berdasarkan data
tersebut dapat dilihat bahwa frekuensi skor yang paling banyak di
dapat siswa mendekati 33,8. Diperoleh pula nilai varians adalah
388,91, dan simpangan baku adalah 19,7.
2. Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa berdasarkan
Indikator.
Selain berdasarkan jumlah frekuensi keseluruhan dapat juga
dibentuk tabel dan diagram berdasarkan skor rata-rata tiap indikator
kemampuan menyusun bukti matematis. Kemampuan siswa
menyusun bukti matematis pada penelitian ini berdasarkan pada dua
indikator, yaitu memanipulasi fakta untuk menunjukkan kebenaran
dari suatu pernyataan dan membuat koneksi antara fakta dengan unsur
dari konklusi yang akan dibuktikan. Adapun hasil skor kemampuan
siswa menyusun bukti matematis berdasarkan indikator kemampuan
menyusun bukti matematis dapat dilihat pada Tabel 4.3 berikut :
Tabel 4.3
Deskripsi Data Kemampuan Menyusun Bukti Matematis berdasarkan
Indikator
No Indikator Jumlah
Siswa
Skor
Ideal
Skor
Siswa Mean
Mean
(%)
1
Memanipulasi fakta
untuk menunjukkan
kebenaran dari suatu
pernyataan
36 6 141 3,92 65,28
2
Membuat koneksi
antara fakta dengan
unsur dari konklusi
yang hendak dibuktikan
36 9 112 3,11 34,57
Total 15 253
Berdasarkan Tabel 4.3 diketahui bahwa setiap indikator
memiliki skor ideal yang berbeda-beda tergantung banyaknya soal
44
0
10
20
30
40
50
60
70
memanipulasi fakta untuk
menunjukkan kebenaran suatu
pernyataan
membuat koneksi antara fakta dengan
unsur dari konklusi yang hendak
dibuktikan
dari tiap indikator. Indikator pertama diwakili 2 jumlah soal dan
indikator kedua diwakili 3 jumlah soal. Setiap soal mewakilli skor
maksimum yang sama, yaitu 3. Berdasarkan Tabel 4.3 diketahui skor
rata-rata indikator pertama lebih tinggi yaitu 3,92 atau 65,28% dari
skor maksimal 6 dibandingkan skor rata-rata pada indikator kedua
yaitu 3,11 atau 34,57% dari skor maksimal 9.
Dari tabel di atas, dapat juga disajikan dalam bentuk diagram
batang seperti berikut:
Gambar 4.1
Diagram Skor Rata-rata Setiap Indikator Menyusun Bukti
Matematis
Dari Gambar 4.1 terlihat bahwa skor rata-rata indikator
menyusun bukti matematis dalam memanipulasi fakta lebih besar
dibandingkan skor rata-rata indikator membuat koneksi antara fakta
dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan pada materi
trigonometri. Artinya sebagian besar siswa sudah mampu menyusun
bukti matematis menggunakan fakta-fakta yang diketahui sebelumnya
dan dimanipulasi untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan.
Pada indikator membuat koneksi antara fakta dengan unsur dari
konklusi yang hendak dibuktikan terdapat kesalahan terbanyak siswa
adalah saat harus mensubstitusi fakta yang sudah diketahui
45
sebelumnya dan tidak dapat menyusunnya dengan sistematis sehingga
tersendat di tengah pembuktian. Sebagian besar siswa menyelesaikan
pembuktian hanya setengah jalan karena tidak tau bagaimana
mengolah fakta yang sudah tersedia dan sudah dikerjakan setengahnya
hingga menemukan kesimpulan yang sesuai dengan apa yang akan
dibuktikan. Sebagian siswa lainnya tidak menunjukkan bagaimana
cara mendapatkan fakta awal yang dapat dikoneksikan dengan
pernyataan yang hendak dibuktikan. Seharusnya siswa lebih teliti dan
lebih memahami soal yang diberikan serta tidak terburu-buru dalam
menyusun pembuktian.
B. Pembahasan Hasil Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada siswa yang telah mempelajari materi
Trigonometri. Adapun sampel dari penelitian ini adalah siswa-siswi kelas
XI IPA tahun ajaran 2016/2017 semester genap. Dalam penelitian ini
peneliti ingin mengetahui bagaimana kemampuan siswa dalam menyusun
bukti matematis pada materi trigonometri. Peneliti ingin mengetahui berapa
rata-rata siswa yang mampu menyusun bukti matematis melalui soal uraian.
Berdasarkan hasil analisis data yang dilakukan, peneliti menganalisis
kemampuan siswa menyusun bukti matematis. Kemampuan menyusun bukti
matematis pada indikator memanipulasi fakta untuk menunjukkan
kebenaran suatu pernyataan lebih tinggi dbandingkan indikator membuat
koneksi antara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan.
Berdasarkan tabel statistika kemampuan menyusun bukti matematis
yang disajikan pada Tabel 4.2 diperoleh skor rata-rata kemampuan
menyusun bukti matematis siswa kelas XI IPA SMA Global Persada
Mandiri tahun ajaran 2016/2017 pada materi Trigonometri adalah 47,4%.
Berdasarkan nilai rata-rata keseluruhan indikator menyusun bukti matematis
tersebut, dapat peneliti simpulkan bahwa indikator membuat koneksi antara
fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan masih tergolong
46
rendah karena persentase skor rata-rata indikator tersebut berada dibawah
persentase skor rata-rata keseluruhan indikator.
1. Kemampuan Siswa Menyusun Bukti Matematis dalam Indikator
Memanipulasi Fakta untuk Menunjukkan Kebenaran suatu
Pernyataan
Soal yang memperlihatkan bagaimana kemampuan siswa
menyusun bukti matematis dalam indikator memanipulasi fakta untuk
menunjukkan kebenaran suatu pernyataan adalah butir nomor 1 dan 2.
Dalam indikator ini siswa harus mampu menentukan fakta yang akan
digunakan dalam pembuktian dan memanipulasinya untuk
memperoleh kesimpulan yang menunjukkan kebenaran dari suatu
pernyataan. Berikut akan disajikan jawaban siswa untuk pertanyaan
nomor 1.
1. Menggunakan identitas trigonometri, buktikan
!
Tipe A
47
Gambar 4.2
Contoh Jawaban Siswa
Pada soal nomor 1 ini terdapat 12 siswa yang menjawab soal
dengan Tipe A dan mendapat skor 3. Dilihat dari jawaban di atas,
siswa sudah mampu mendistribusikan data sehingga menemukan
Tipe B
1
2
Tipe C
48
identitas trigonometri yang merupakan fakta untuk menyusun
pembuktian dalam soal tersebut. Siswa sudah mengerti bahwa bentuk
dipecah dahulu menjadi
kemudian
dipecah lagi menggunakan sifat komutatif perkalian pecahan, barulah
siswa tersebut dapat memanipulasi fakta yang pernah diperoleh
sebelumnya secara lengkap dan sistematis menggunakan identitas
trigonometri, setelah terbukti siswa pun memberikan ketegasan pada
kesimpulan jika pernyataan ruas sebelah kanan sama dengan
pernyataan ruas sebelah kiri.
Terdapat dua jenis jawaban yang terlihat pada Gambar 4.2 Tipe
B, pertamaadalah tipe jawaban siswa yang sudah memberikan
penyusunan bukti yang benar, namun pada kesimpulan tidak
diperlihatkan atau tidak ditegaskan bahwa pernyataan ruas kiri sama
dengan ruas kanan sehingga jawabannya terlihat menggantung.
Jawaban seperti ini tidak dapat dikatakan salah karena siswa mampu
menyelesaikan pembuktian seperti Tipe A, hanya saja kurang
ketegasan dalam kesimpulan jawaban. Terdapat 13 siswa yang
menjawab seperti jawaban Tipe B yang pertama ini dan mendapat
skor 2. Kedua adalah tipe jawaban siswa yang sudah memberikan
penyusunan bukti dengan benar namun hanya dikerjakan sebagian,
sehingga tidak memperoleh penyelesaian terbukti atau tidaknya
pernyataan dalam soal nomor 1 ini. Terdapat 10 siswayang menjawab
seperti ini dan mendapat skor 1.
Kesalahan jawaban pada Tipe C adalah siswa tidak dapat
mendistribusikan pernyataan yang hendak dibuktikan agar
memperoleh fakta-fakta yang terdapat dalam identitas trigonometri
sehingga dapat dimanipulasi sedemikian rupa. Siswa menjawab
dengan mengubah bentuk pangkat menjadi konstanta dan
menjumlahkannya. Hal itu dilakukan pada kedua ruas sehingga tidak
jelas pula mana yang hendak dibuktikan dan membuat siswa tidak
49
menemukan kesimpulan yang benar, bahkan tidak sesuai dengan
pernyataan yang harus dibuktikan. Hal ini menunjukkansiswa tidak
dapat menggunakan fakta yang telah diketahui sebelumnya yaitu
identitas trigonometri dan tidak dapat memanipulasi fakta tersebut
karena tidak dapat mengolah pernyataan awal sedemikian rupa agar
menjadi bentuk-bentuk yang terdapat pada identitas trigonometri.
Hanya 1 siswa yang menjawab seperti pada jawaban Tipe C pada soal
nomor 1 ini.
Berikut akan disajikan jawaban siswa untuk pertanyaan nomor 2
dengan soal:
2. Buktikan bahwa
Tipe A
50
Gambar 4.3
Contoh Jawaban oleh Siswa
Tipe B
1
2
Tipe C
51
Pada soal nomor 2 ini terdapat 12 siswa yang menjawab soal
dengan benar seperti pada Gambar 4.3. Contoh jawaban siswa yang
mendapat poin 3 terlihat pada Tipe A. Siswa menyusun pembuktian
dengan lengkap dan tidak melompati satu step sama sekali. Semua
disusun dan ditulis sesuai fakta yang menjadi pengetahuan
sebelumnya. Siswa menjawab dengan mengubah bentuk
menjadi
. Selanjutnya melakukan pengerjaan sedemikian rupa
hingga terbentuk
dan kembali menggunakan fakta yang
diketahui oleh siswa sehingga terbuktilah pernyataan yang
diperintahkan untuk dibuktikan.
Masih banyak siswa yang sebenarnya dapat menyelesaikan soal
dengan benar hanya saja tidak mau atau belum bisa menyusun
pembuktian secara lengkap dan sistematis, sehingga pembuktian
kurang terjelaskan dengan sempurna seperti yang terlihat pada
Gambar 4.3 Tipe B. Terdapat dua jenis jawaban pada Tipe B ini. Pada
Tipe B yang pertama, siswa menyusun pembuktian kurang sistematis
dan kurang lengkap sehingga bisa saja yang melihat jawaban seperti
ini kurang memahami bagaimana bisa sampai pada step tersebut.
Siswa langsung mengubah bentuk
menjadi
. Jika
dibandingkan dengan jawaban benar pada Tipe A, siswa yang
menjawab seperti ini telah melangkahi dua step pembuktian yang
harus dilakukan pada soal nomor 2 ini. Meskipun melakukan
perhitungan pada kertas lain, alangkah baiknya untuk soal pembuktian
langkah menyusun bukti ditulis semua agar tidak terlihat rancu.
Terhitung 20 siswa yang memberikan jawaban seperti pada Tipe B
yang pertama ini dan memperoleh skor 2. Pada Tipe B yang kedua,
terlihat sepintas jawaban siswa benar sempurna, tetapi pada
pertengahan proses pembuktian terlihat siswa mengubah
52
bentuk
menjadi
, padahal seharusnya
,
namun pada proses selanjutnya siswa menuliskan pembuktian dengan
benar dan terbukti. Kesalahan ini bisa dikarenakan siswa kurang teliti
atau melihat jawaban dari temannya. Terdapat pula yang tidak
menuntaskan jawaban dan hanya melakukan sebagian proses
pembuktian. Terdapattotal 7 siswa yang menjawab seperti Tipe B
yang kedua dan tidak menuntaskan pembuktiannya sehingga
memperoleh skor 1.
Terdapat 4 siswa yang benar-benar belum memahami cara
memanipulasi fakta dari suatu pembuktian dan memberikan jawaban
yang tidak sesuai dengan apa yang menjadi pertanyaan. Kesalahan
seperti ini dapat telihat pada Tipe C. Siswa tidak menunjukkan
pembuktian yang diperintahkan melainkan membuat jawaban baru
yang sebenarnya tidak sesuai dengan pernyataan pada soal. Siswa
mengubah kedua ruas dengan salah dan menuliskan jawaban yang
tidak berkenaan dengan pembuktian.
2. Kemampuan Siswa Menyusun Bukti Matematis dalam Indikator
Membuat Koneksi antara Fakta dengan Unsur dari Konklusi
yang hendak Dibuktikan
Soal yang memperlihatkan bagaimana kemampuan siswa
menyusun bukti matematis dalam indikator membuat koneksi antara
dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan adalah butir
nomor 3, 4a, dan 4b. Dalam indikator ini siswa diharapkan dapat
menghubungkan fakta yang diketahui sehingga memperoleh
kesimpulan dari pernyataan yang akan dibuktikan. Berikut akan
disajikan jawaban siswa untuk pertanyaan nomor 3, 4a, dan 4b.
3. Apabila diketahui
53
,
buktikan bahwa √
Tipe A
Tipe B
54
Tipe C
Gambar 4.4
Contoh Jawaban Siswa
Terdapat 8 orang siswa yang dapat mennyelesaikan soal pada nomor
3. Hanya terdapat 2 orang siswa yang mampu menjawab seperti pada
Gambar 4.4 Tipe A dan mendapat poin 3. 6 diantaranya mampu menjawab
soal pada nomor 3 ini dengan benar namun tidak sempurna. Baik yang
tersendat di tengah pembuktian atau hanya menuliskan awal
pembuktiannya saja.
Pada Gambar 4.4 Tipe B terlihat siswa melompati bagiantengah
proses pembuktian. Siswa mengalami kebingungan apa dan bagaimana
proses pembuktian selanjutnya. Pada jawaban Tipe B siswa sudah mampu
membuat koneksi di awal atas fakta yang diketahui, tetapi tak dapat
melanjutkan di tengah hanya saja melanjutkan pembuktiannya lagi di akhir
pembuktian. Jika dilihat, bagaimana siswa mampu melanjutkan akhir
pembuktian jika pada pertengahan saja tersendat?Terdapat pula siswa yang
hanya menyelesaikan sampai tengah namun tidak melanjutkan susunan
pembuktiannya. Siswa yang menjawab seperti pada jawaban Tipe B
terdapat 14 orang.
55
Kesalahan siswa Tipe C dalam menjawab soal adalah tidak
memberikan jawaban. Siswa yang menjawab sembarang dengan cara
seperti ini dan tidak menjawab sebanyak 14 orang.
4. Dari gambar di samping, buktikan :
a.
Tipe A
Tipe B
Tipe C
Gambar 4.5
Contoh Jawaban Siswa
Pada Gambar 4.5 Tipe A terlihat bahwa siswa mampu membuat
koneksi antara fakta yang ia ketahui karena dijelaskan pula bagaimana
56
fakta yang harus dimuat di awal dan apa yang bisa dijadikan pemisalan
meskipun kurang memberikan gambaran dimana meletakkan titik D
sehingga membentuk segitiga ADC. Seharusnya siswa memberikan
keterangan menarik garis tegak dari sudut C sehingga terbentuk garis CD.
Dengan begitu akan ditemukan darimana mendapatkan segitiga ADC.
Barulah siswa masuk pada pemberitahuan tentang segitiga ADC yang
dapat memperoleh nilai dari sin A. Setelah diperoleh nilai sin A
selanjutnya kerjakan pernyataan yang hendak dibuktikan yaitu tentang luas
segitiga. Terdapat 11 siswa yang dapat menyelesaikan soal nomor 4a ini.
Pada Tipe B siswa mengerti apa yang menjadi fakta namun siswa
tidak menjelaskan awal yang harus dilakukan agar menjadi sebuah
pembuktian yang siswa tuliskan. Seperti siswa menuliskan terdapat garis
CD namun siswa tidak menjelaskan darimana didapat titik D yang
terhubung dengan titik C sehingga menjadi sebuah garis CD. Pemisalan
yang seperti apa atau bagaimana cara mendapatkannya tidak dituliskan.
Sehingga tidak dapat diketahui pula darimana siswa bisa mengetahui
bahwa nilai CD adalah b sin A. Ini akan menjadi kerancuan pada proses
menyusun bukti karena menyusun bukti harus diketahui dengan jelas fakta
yang menjadi penguat susunan bukti tersebut. Terdapat 16 siswa yang
menjawab seperti Tipe B ini.
Pada Tipe C diperlihatkan jawaban siswa siswa yang sama sekali
tidak memahami apa yang harus menjadi fakta, bagaimana membuat
koneksi, dan apa yang harus dibuktikan. Siswa memberikan jawaban yang
sama sekali salah dan tidak sesuai dengan soal pembuktian yang
diperintahkan. Untuk melakukan pembuktian pada soal nomor 4a ini
sebenarnya hanya butuh memasukkan rumus luas segitiga pada umumnya
yaitu L = ½ x alas x tinggi, kemudian dihubungkan dengan fakta yang
diketahui dari soal yang diberikan. Akan tetapi siswa harus mampu
mengidentifikasi soal dan melakukan pemisalan atau pemberian garis agar
terbentuk segitiga baru yang akan memberikan fakta untuk dgunakan. Pada
jawaban siswa terlihat siswa menganggap bc = r dan sin a = r. Kemudian
57
dsubstitusikan pada soal yang diminta pembuktiannya. Terdapat 9 orang
siswa yang menjawab seperti Tipe A ini.
b.
(petunjuk : gunakan
, untuk membuktikan
)
Gambar 4.6
Contoh Jawaban Siswa
Tipe A
Tipe B
Tipe C
58
Pada Gambar 4.6 Tipe A siswa menunjukkan pemahamannya dalam
pembuktian. Siswa mampu menyusun pembuktian dengan logis dan
sistematis bahkan dapat dimengerti oleh orang yang membacanya karena
terdapat penjelasan yang mendukung.Siswa menuliskan cara memperoleh
nilai sin A yang dapat dikoneksikan dan digunakan untuk pembuktian,
sehingga dapat disubstitusikan dalam menyusun pembuktian dan diperoleh
konklusi yang terbukti kebenarannya. Akan tetapi akan lebih jelas jika
siswa memberikan penjelasan bagaimana bisa menemukan nilai
. Terdapat 9 siswa yang dapat menyelesaikan soal nomor 4b ini seperti
Tipe A dan mendapat poin 3.
Berbeda dengan Tipe B, namun siswa melakukan pembuktian namun
tidak menunjukkan fakta yang akan dikoneksikan dalam penyusunan
pembuktian. Siswa tidak menjelaskan darimana mendapatkan sin A =
dan langsung mensubstitusikan dalam penyusunan pembuktian. Terdapat
18 orang yang memberikan jawaban seperti ini.
Masih terdapat siswa yang sulit dalam melakukan pembuktian,
bahkan cenderung tidak dapat melakukannya. seperti yang terdapat pada
Gambar 4.6 Tipe C, siswa tersebut bukan hanya tidak dapat menyusun
pembuktian namun memang belum bisa melakukan pembuktian karena
memberikan jawaban yang tidak sesuai dengan apa yang diperintahkan.
Siswa tersebut memberikan jawaban yang salah. Bukan membuktikan
melainkan terfokus pada petunjuk yang diberikan dan
mencoba mencari nilai sin A. Siswa yang memberikan jawaban seperti ini
atau tidak memberikan jawaban sama sekali terdapat 9 orang.
C. Keterbatasan Penelitian
Peneliti menyadari penelitian ini belum sepenuhnya sempurna
meskipun berbagai upaya telah dilakukan agar diperoleh hasil yang
optimal. Ada beberapa faktor yang sulit dikendalikan sehingga penelitian
ini memiliki beberapa keterbatasan, diantaranya:
59
1. Penelitian ini hanya diteliti pada pokok bahasan Trigonometri.
2. Kemampuan menyusun bukti siswa kurang terlihat karena soal
yang peneliti berikan lebih kepada soal pemahaman konsep.
Peneliti hanya melakukan analisis pada variabel menyusun bukti
matematis. Pada variabel lain seperti minat, motivasi, intelegensi,
lingkungan belajar dan lain-lain, tidak di analisis secara langsung. Hasil
penelitian ini kemungkinan dapat dipengaruhi oleh variabel lain di luar
variabel yang ditetapkandalam penelitian ini.
60
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan analisis hasil penelitian pada Bab IV, terdapat dua
indikator yang digunakan peneliti yaitu: 1) memanipulasi fakta untuk
menunjukkan kebenaran suatu pernyataan, dan 2) membuat koneksi antara
fakta dengan konklusi dari unsur yang hendak dibuktikan. Secara
keseluruhan dapat ditarik kesimpulan bahwa banyaknya siswa kelas XI
IPA SMA Global Persada Mandiri yang diteliti memiliki rata-rata tertinggi
pada kemampuan menyusun bukti matematis berdasarkan indikator
pertama yaitu memanipulasi fakta untuk menunjukkan kebenaran suatu
pernyataan. Soal yang digunakan untuk mengetahui kemampuan siswa
pada indikator ini adalah nomor 1 dan 2. Rata-rata siswa yang mampu
menyelesaikan pembuktian dengan indikator pertama ini sebesar 65,28%.
Siswa yang menguasai kemampuan menyusun bukti matematis dengan
indikator kedua yaitu membuat koneksi antara fakta dengan unsur dari
konklusi yang hendak dibuktikan memiliki persentase skor rata-ratanya
sebesar 34,57%. Soal yang digunakan untuk mengetahui kemampuan
siswa pada indikator kedua ini adalah soal nomor 3, 4a, dan 4b. Persentase
skor rata-rata yang diperoleh dari keseluruhan adalah 47,4%.
Berdasarkan persentase skor rata-rata keseluruhan indikator
menyusun bukti matematis tersebut, dapat peneliti simpulkan bahwa
indikator membuat koneksi antara fakta dengan unsur dari konklusi yang
hendak dibuktikan masih tergolong rendah karena persentase skor rata-rata
indikator tersebut berada dibawah persentase skor rata-rata keseluruhan
indikator. Setelah peneliti analisis lebih jauh, siswa bukan tidak mampu
membuat koneksi antara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak
dibuktikan tetapi karena soal yang diberikan oleh peneliti lebih mengarah
kepada soal pemahaman konsep. Seharusnya indikator yang peneliti
gunakan adalah kemampuan siswa membuat koneksi antara fakta dengan
61
konsep yang hendak dibuktikan. Jadi kemampuan siswa yang tergolong
rendah ini sebenarnya pada indikator membuat koneksi antara fakta
dengan konsep yang hendak dibuktikan.
Sebagian siswa sudah mampu menyusun bukti matematis
menggunakan fakta-fakta yang diketahui sebelumnya dan dimanipulasi
untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan. Akan tetapi masih
terdapat beberapa siswa yang tidak mengetahui fakta yang seperti apa
yang dapat digunakan dalam menyusun pembuktian untuk membuktikan
suatu pernyataan. Sebagian siswa lainnya tersendat dan hanya
menyelesaikan sebagian pembuktian.
Terdapat beberapa kendala yang dialami siswa saat menyelesaikan
soal pembuktian yang peneliti berikan, diantaranya adalah:
1. Beberapa siswa masih tidak megetahui apa saja yang bisa dijadikan
fakta untuk melakukan penyusunan pembuktian sehingga tidak
mengetahui apa yang harus dimanipulasi atau dikoneksikan dengan
soal pembuktian yang berhubungan.
2. Soal yang peneliti berikan lebih kepada koneksi antara fakta
dengan konsep yang hendak dibuktikan bukan koneksi antara fakta
dengan konklusi dari unsur yang hendak dibuktikan. Ini membuat
siswa kebingungan dan sebagian besar siswa tidak dapat
menyelesaikan penyusunan pembuktian dengan benar.
3. Ada siswa yang masih sama sekali tidak mengerti bagaimana cara
menyusun pembuktian sehingga tidak dapat menyelesaikan
pembuktian dengan benar, sebaliknya siswa mengerjakan soal
pembuktian layaknya soal yang harus diketahui berapa hasilnya.
B. Saran
Berdasarkan temuan yang penulis temukan dalam penelitian ini, ada
beberapa saran penulis terkait penemuan ini:
1. Bagi Siswa
62
Siswa diharapkan melatih kemampuan menyusun bukti matematis
ini dengan mengerjakan soal-soal pembuktian yang ada. Selain
melatih kemampuan menyusun bukti matematis, ini juga berguna
untuk membentuk pemahaman konsep siswa sehingga mampu
mengerjakan soal-soal dengan pemahaman bukan hafalan rumus.
2. Bagi Guru
Diharapkan guru memberikan materi-materi dan latihan soal yang
berhubungan dengan pembuktian kepada siswa untuk melatih
kemampuan meyusun bukti matematis siswa. Guru juga sebaiknya
mampu memberikan motivasi dan menjelaskan manfaat dari
mempelajari pembuktian sehingga siswa tidak merasa
membuktikan adalah materi yang sulit. Pembelajaran matematika
yang diajarkan hendaknya lebih variatif guna memberikan
wawasan tentang pembuktian matematika.
3. Berdasarkan kesimpulan dari hasil penelitian ini, maka
disampaikan saran bagi peneliti lain yang ingin melakukan
penelitian sejenis yang terkait dengan kemampuan menyusun bukti
matematis diharapkan dapat meneliti dengan menambah faktor-
faktor lain yang lebih luas. Kemampuan menyusun bukti
matematis siswa pada bahasan trigonometri kurang berkembang
secara signifikan oleh karena itu sebaiknya dilakukan penelitian
lanjutan terhadap kemampuan menyusun bukti matematis pada
pembahasan matematika lainnya.
63
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir. Disertasi, Proses Berpikir Mahasiswa dalam Menyusun Bukti
Matematis dengan Strategi Semantik. (Universitas Negeri Malang, 2014)
Alessandra, Maria. Proof and Proving in Mathematics Education.(Department of
Mathematicis: University of Siena, 2009).
Arikunto, Suharsimi. Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan Edisi Revisi. (Jakarta :
Bumi Aksara : 2009)
Balacheff. Aspects of Proof in Pupils' Practice of School Mathematics. 1988.
Dept. of Math (ed.). Philosophical Perspective on Proof in Mathematics
Education. Philosophy of Mathematics Education Journal, 16.(Korea:
Dongguk University, 2002)
Dickerson. High School Mathematics Teachers’ Understandings of the Purposes
of Mathematical Proof. Syracuse University. 2008.
Faruq, Achmad. Skripsi. Analisis Struktur Argumentasi dan Kemampuan
Mengkonstruksi Bukti Matematika Siswa Sekolah Menengah. (UIN Surabaya:
2014).
Furinghetti dan Morselli. Every Unsuccesful Problem Solver in Unsuccesful in
His or Her Own Way: Affective and Cognitive Factors in Proving. Educatinal
Studies in Mathematics. (Springer Science+Bussines Media. 2008).
Hanna, Gila. Proof, Explanation and Explorating: An Overview, Educational
Studies in Mathematics. Kluwer Akademik, 2001
--------. A Critical Examination of Three Factors in the Decline of Proof.
Interchange Vol 31/1. Kluwer Academic Publisher. 2000
--------, Challenge to the Importance of Proof. For the Learning of Mathematics,
15(3).(Canada: FLM Publishing Association, 1995).
Healy dan Hoyles. A Study of Proof Conceptions in Algebra. Journal for
Research in Mathematics Education. Vol 31, No 4. 2000.
64
Hernadi, Julan. Metoda Pembuktian dalam Matematika. Jurnal Pendidikan
Matematika, Vol 2, No 1, Januari 2008
Hoyles, C. The Curricular Shaping of Students' Approaches to Proof. For the
Learning of Mathematics, 17(1). (Canada: FLM Publishing
Association,1997).
Juandi, D. Pembuktian, Penalaran, dan Komunikasi Matematis. (JurDikMat
FPMIPA UPI, 2008). Hal 3
Jufri, A. Wahab. Belajar dan Pembelajaran Sains. Bandung: Pustaka Reka Cipta.
2013
Knuth, E. J. Secondary School Mathematics Teachers’ Conceptions of Proof.
Journal for Research in Mathematics Education, 33(5). NCTM, 2002.
Lee dan Jhong Kwon. Philosophical Perspective on Proof in Mathematics
Education. Philosophy of Mathematics Education Journal, 16. (Korea:
Dongguk University, 2002)
Lestari, Karunia Eka. Analisis Kemampuan Pembuktian Matematis Mahasiswa
Menggunakan Pendekatan Induktif-Deduktif Pada Mata Kuliah Analisis
Real.
Lestari, Karunia Eka dan Mokhammad Ridwan Yudhanegara, Penelitian
Pendidikan Matematika, (Bandung: PT Refika Aditama, 2015),
Martin dan Harel. Proof Frames of Preservice Elementary Teachers. Journal for
Research in Mathematics Education. Vol 20, No. 1, 1989
Pfeiffer, Kirsten. Features and Purposes of Mathematical proofs in the View of
Novice Students: Observation from Proof Validation and Evaluation
Performances. NUI Galway, 2010.
Recio dan Gudino. Institutional and Personal Meanings of Mathematical Proof.
Educatinal Studies in Mathematics. (Netherland: Kluwer Academic. 2001).
Reid, D. Proof, Proofs, Proving and Probing: Research Related to Proof. Acadia
University, 2002
65
Sanjaya, Wina. Kurikulum dan Pembelajaran Teori dan Praktek Pengembangan
Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan, .Jakarta : Kencana Prenada Grup,
2005
Steiner, M. Mathematical Explanation. Philosophical Studies, 34. 1978
Sugiyono, Metode Penelitian Pendidikan Pendekatan Kuantitatif, Kualitatif, dan
R&D, Bandung:Alfabeta, 2008
Suherman, H. Erman. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung
: UPI, 2001
Sukmadinata, Nana Syaodih. Metode Penelitian Pendidikan. Bandung : Remaja
Rosdakarya. 2011
Sumarmo, Utari. Advanced Mathematical Thinking and Habit of Mind
Mahasiswa. Bahan Ajar Matakuliah Kajian dan Isu Pendidikan Matematika
Pascasarjana UPI dan STKIP Siliwangi Bandung.
----------, Kumpulan Makalah. Berpikir dan Disposisi Matematik dalam
Pembelajaran Matematika. (Bandung: UPI, 2013).
Suryana, Andri. Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Lanjut (Advanced
Mathematical Thinking) dalam Mata Kuliah Statistika Matematika 1.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, 2012
Suyono dan Haryanto. Belajar dan Pembelajaran, Teori dan Konsep Dasar.
Bandung : PT. Remaaja Rosdakarya. 2012.
Syofian Siregar, Statistika Deskriptif untuk Penelitian, (Jakarta: Rajawali pers,
2010),
Tall, D. The Nature of Mathematical Proof. Mathematics Teaching 127. 1989.
The National Council of Teachers of Mathematics. Principles and Standards for
School Mathematics. (USA: NCTM, 2000).
Uno, Hamzah B. Model Pembelajaran menciptakan Proses Belajar Mengajar
yang Kreatif dan Efektif. Jakarat: BumiAksara, 2010
66
W.T, Gowers.The Language and Grammar in Mathematics. General relativity and
the einstein equations [IV.13], and operator algebras [IV.15]
67
Lampiran 1
Kisi-kisi Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
No Kompetensi Dasar Indikator Soal No Butir
Soal
JumlahS
oal
1
Melakukan manipulasi
aljabar dalam
perhitungan teknis yang
berkaitan dengan
perbandingan, fungsi,
persamaan, dan identitas
trigonometri.
Memanipulasi fakta
untuk menunjukkan
kebenaran suatu
pernyataan
1, 2 2
2
Menyelesaikan model
matematika dari
masalah yang berkaitan
dengan perbandingan,
fungsi, persamaan, dan
identitas trigonometri,
dan penafsirannya
Membuat koneksi antara
fakta dengan unsur dari
konklusi yang hendak
dibuktikan
3, 4a, 4b 3
Jumlah 5
68
Lampiran 2
Pedoman Penskoran Instrumen Tes
Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
No Indikator Menyusun
Bukti Matematis Respon terhadap Masalah Skor
1.
Memanipulasi fakta
untuk menunjukkan
kebenaran suatu
pernyataan
Menuliskan pembuktian secara jelas,
lengkap dan sistematis berdasarkan fakta
yang diketahui dengan benar
3
Menuliskan pembuktian dengan fakta yang
diketahui dengan benar namun tidak
sistematis
2
Menuliskan sebagian pembuktian dengan
benar 1
Tidak memberikan jawaban atau jawaban
salah sama sekali 0
2
Membuat koneksi
antara fakta dengan
unsur dari konklusi
yang hendak
dibuktikan
Menuliskan pembuktian secara lengkap
dan sistematis serta menghubungkan fakta
yang diketahui dengan apa yang hendak
dibuktikan dengan benar
3
Menuliskan pembuktian dan
menghubungkan fakta yang diketahui
dengan apa yg hendak dibuktikan secara
benar namun tidak sistematis, atau
menuliskan pembuktian secara lengkap
dan sistematis namun tidak menjelaskan
fakta yang digunakan agar dapat
menghubungkan apa yang hendak
dibuktikan
2
Tidak menjelaskan fakta yang digunakan
untuk menghubungkan apa yang hendak
digunakan dan menuliskan pembuktian
secara tidak lengkap atau tidak sistematis
1
Tidak memberikan jawaban atau jawaban
salah sama sekali 0
69
Lampiran 3
INSTRUMEN TES
KEMAMPUAN MENYUSUN BUKTI MATEMATIS
Petunjuk :
1. Baca, pahami, dan kerjakan soal berikut dengan teliti, cepat, dan tepat
2. Kerjakan secara masing-masing atau per individu
3. Diperbolehkan mengerjakan soal tidak sesuai nomor urut soal
4. Kerjakan soal yang menurutmu mudah terlebih dahulu
5. Selesaikan dengan caramu sendiri sesuai pengetahuan dan kreativitasmu
6. Mulai dan akhiri dengan doa
SOAL
1. Menggunakan identitas trigonometri, buktikan
!
Jawab :
2. Buktikan bahwa
Jawab :
3. Apabila diketahui
,
buktikan bahwa √
Jawab :
70
(
) (
)
(
) (
)
….
..
√
√
4. Dari gambar di samping, buktikan :
a.
b.
Jawab :
a. …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
b. (petunjuk : gunakan
, untuk membuktikan
)
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
.................................................................
71
Lampiran 4
KUNCI JAWABAN INSTRUMEN TES
1.
( ) ( )
( karena dari pembuktian ruas kiri di atas diperoleh ruas kiri = ruas kanan,
maka TERBUKTI bahwa
)
2.
( )
(karena dari pembuktian ruas kiri di atas diperoleh ruas kiri = ruas kanan,
maka TERBUKTI bahwa –
)
72
3.
( )( )
(
) (
)
(
) (
)
( )
( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
√ ( ) ( ) ( )
√ ( ) ( ) ( )
√ ( ) ( ) ( ) (TERBUKTI)
4. a. Tarik garis tegak dari sudut C, sehingga terbentuk garis CD
Pada
(TERBUKTI)
b. Karena sudah diperoleh
, sehingga bisa
digunakan untuk membuktikan
Diketahui sudut keliling lingkaran (sudut C) menghadap diameter,
sehingga besar sudutnya 90o
Tentukan terlebih dahulu nilai sin A
73
Substitusi bentuk
ke luas segitiga
(TERBUKTI)
74
Lampiran 5
Hasil Uji Validitas Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis
Siswa SMA
No Nama Butir Soal
Total 1 2 3 4a 4b
1 ABPJ 1 0 1 0 1 3
2 ANP 2 2 1 0 0 5
3 LCS 1 2 1 2 2 8
4 DK 3 3 3 0 2 11
5 AS 2 2 0 1 1 6
6 AJ 2 0 0 1 1 4
7 SPS 3 3 2 3 3 14
8 DS 2 3 1 1 2 9
9 LA 3 2 0 2 1 8
10 AA 1 1 1 1 0 4
11 MTL 2 2 1 1 1 7
12 NS 2 3 2 1 1 9
13 GAP 3 3 0 3 2 11
14 IS 1 2 0 1 1 5
15 LDS 3 3 2 0 0 8
16 MM 3 2 0 2 1 8
17 ES 2 2 0 1 0 5
18 YTH 2 3 2 2 1 10
19 ADD 1 0 1 0 0 2
20 WA 2 2 0 1 1 6
21 ADKP 2 2 1 0 2 7
22 DR 3 3 3 2 3 14
23 AD 2 3 1 3 3 12
24 EO 2 1 1 1 2 7
25 MOS 2 2 0 2 0 6
26 GCS 3 2 0 0 1 6
27 DC 3 3 1 1 1 9
28 LH 3 1 2 2 0 8
29 S 1 3 0 1 1 6
30 AB 1 1 2 0 1 5
75
31 MMI 1 0 0 1 1 3
32 BR 3 3 1 2 1 10
33 SN 1 1 0 1 1 4
34 JR 1 1 1 0 0 3
35 Q 3 1 0 1 1 6
36 WM 0 2 1 1 0 4
∑ 72 69 32 41 39 253
r 0.6787 0.7867 0.5116 0.6385 0.7222
r tabel 0.339 0.339 0.339 0.339 0.339
kriteria Valid Valid Valid Valid Valid
76
Lampiran 6
Hasil Uji Reliabilitas Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti
Matematis Siswa SMA
No Nama Butir Soal
Total 1 2 3 4a 4b
1 ABPJ 1 0 1 0 1 3
2 ANP 2 2 1 0 0 5
3 LCS 1 2 1 2 2 8
4 DK 3 3 3 0 2 11
5 AS 2 2 0 1 1 6
6 AJ 2 0 0 1 1 4
7 SPS 3 3 2 3 3 14
8 DS 2 3 1 1 2 9
9 LA 3 2 0 2 1 8
10 AA 1 1 1 1 0 4
11 MTL 2 2 1 1 1 7
12 NS 2 3 2 1 1 9
13 GAP 3 3 0 3 2 11
14 IS 1 2 0 1 1 5
15 LDS 3 3 2 0 0 8
16 MM 3 2 0 2 1 8
17 ES 2 2 0 1 0 5
18 YTH 2 3 2 2 1 10
19 ADD 1 0 1 0 0 2
20 WA 2 2 0 1 1 6
21 ADKP 2 2 1 0 2 7
22 DR 3 3 3 2 3 14
23 AD 2 3 1 3 3 12
24 EO 2 1 1 1 2 7
25 MOS 2 2 0 2 0 6
26 GCS 3 2 0 0 1 6
27 DC 3 3 1 1 1 9
28 LH 3 1 2 2 0 8
29 S 1 3 0 1 1 6
30 AB 1 1 2 0 1 5
77
31 MMI 1 0 0 1 1 3
32 BR 3 3 1 2 1 10
33 SN 1 1 0 1 1 4
34 JR 1 1 1 0 0 3
35 Q 3 1 0 1 1 6
36 WM 0 2 1 1 0 4
∑ 72 69 32 41 39 253
Varians Xi 0.743 0.993 0.787 0.809 0.764
Jumlah Varians Xi 4.10
Varians total 9.171
Reliabilitas 0.692
Kesimpulan Reliabel
Kriteria (LIHAT TABEL RELIABILITAS)
78
Lampiran 7
Hasil Uji Taraf Kesukaran Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti
Matematis Siswa SMA
No Nama Butir Soal
Total
1 2 3 4a 4b
1 ABPJ 1 0 1 0 1 3
2 ANP 2 2 1 0 0 5
3 LCS 1 2 1 2 2 8
4 DK 3 3 3 0 2 11
5 AS 2 2 0 1 1 6
6 AJ 2 0 0 1 1 4
7 SPS 3 3 2 3 3 14
8 DS 2 3 1 1 2 9
9 LA 3 2 0 2 1 8
10 AA 1 1 1 1 0 4
11 MTL 2 2 1 1 1 7
12 NS 2 3 2 1 1 9
13 GAP 3 3 0 3 2 11
14 IS 1 2 0 1 1 5
15 LDS 3 3 2 0 0 8
16 MM 3 2 0 2 1 8
17 ES 2 2 0 1 0 5
18 YTH 2 3 2 2 1 10
19 ADD 1 0 1 0 0 2
20 WA 2 2 0 1 1 6
21 ADKP 2 2 1 0 2 7
22 DR 3 3 3 2 3 14
23 AD 2 3 1 3 3 12
24 EO 2 1 1 1 2 7
25 MOS 2 2 0 2 0 6
26 GCS 3 2 0 0 1 6
27 DC 3 3 1 1 1 9
28 LH 3 1 2 2 0 8
29 S 1 3 0 1 1 6
79
30 AB 1 1 2 0 1 5
31 MMI 1 0 0 1 1 3
32 BR 3 3 1 2 1 10
33 SN 1 1 0 1 1 4
34 JR 1 1 1 0 0 3
35 Q 3 1 0 1 1 6
36 WM 0 2 1 1 0 4
∑ 72 69 32 41 39 253
taraf kesukaran 0.6667 0.6389 0.2963 0.3796 0.3611
kategori sedang sedang sukar sedang sedang
80
Lampiran 8
Hasil Uji Daya Pembeda Instrumen Tes Kemampuan Menyusun Bukti
Matematis Siswa SMA
No Nama Butir Soal
Total 1 2 3 4a 4b
7 SPS 3 3 2 3 3 14
22 DR 3 3 3 2 3 14
23 AD 2 3 1 3 3 12
4 DK 3 3 3 0 2 11
13 GAP 3 3 0 3 2 11
18 YTH 2 3 2 2 1 10
32 BR 3 3 1 2 1 10
8 DS 2 3 1 1 2 9
12 NS 2 3 2 1 1 9
27 DC 3 3 1 1 1 9
3 LCS 1 2 1 2 2 8
9 LA 3 2 0 2 1 8
15 LDS 3 3 2 0 0 8
16 MM 3 2 0 2 1 8
28 LH 3 1 2 2 0 8
11 MTL 2 2 1 1 1 7
21 ADKP 2 2 1 0 2 7
24 EO 2 1 1 1 2 7
Ba 45 45 24 28 28 170
Ja 54 54 54 54 54
5 AS 2 2 0 1 1 6
20 WA 2 2 0 1 1 6
25 MOS 2 2 0 2 0 6
26 GCS 3 2 0 0 1 6
29 S 1 3 0 1 1 6
35 Q 3 1 0 1 1 6
2 ANP 2 2 1 0 0 5
14 IS 1 2 0 1 1 5
17 ES 2 2 0 1 0 5
30 AB 1 1 2 0 1 5
36 WM 0 2 1 1 0 4
81
6 AJ 2 0 0 1 1 4
10 AA 1 1 1 1 0 4
33 SN 1 1 0 1 1 4
1 ABPJ 1 0 1 0 1 3
31 MM 1 0 0 1 1 3
34 JR 1 1 1 0 0 3
19 ADD 1 0 1 0 0 2
Bb 27 24 8 13 11 83
Jb 54 54 54 54 54
D 0.333 0.389 0.296 0.278 0.315
Kriteria cukup cukup cukup cukup cukup
82
Lampiran 9
Hasil Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa Keseluruhan
No Sampel Skor Butir (X) Skor Total
(Y) Nilai
1 2 3 4a 4b
1 A 3 3 3 3 2 14 93
2 B 3 3 0 1 2 9 60
3 C 2 2 1 2 1 8 53
4 D 1 1 0 1 0 3 20
5 E 2 1 1 1 0 5 33
6 F 2 2 1 2 1 8 53
7 G 2 3 3 2 1 11 73
8 H 2 2 1 0 1 6 40
9 I 2 0 1 1 0 4 27
10 J 3 2 2 1 0 8 53
11 K 3 2 0 1 0 6 40
12 L 1 2 1 0 1 5 33
13 M 1 0 0 1 1 3 20
14 N 3 3 1 2 1 10 67
15 O 1 1 0 1 1 4 27
16 P 2 0 1 0 0 3 20
17 Q 2 2 0 1 1 6 40
18 R 2 1 1 0 0 4 27
19 S 1 1 1 1 0 4 27
20 T 2 2 1 1 1 7 47
21 U 2 2 2 2 1 9 60
22 V 3 3 1 2 2 11 73
23 W 2 1 0 1 1 5 33
24 X 3 2 1 1 1 8 53
25 Y 2 2 1 2 1 8 53
26 Z 2 1 0 1 1 5 33
27 AA 3 3 2 1 1 10 67
83
28 AB 1 0 1 0 0 2 13
29 AC 2 2 0 2 0 6 40
30 AD 2 2 1 0 2 7 47
31 AF 3 3 3 2 3 14 93
32 AG 2 2 2 3 3 12 80
33 AH 2 2 0 1 2 7 47
34 AI 2 2 1 1 0 6 40
35 AJ 2 2 0 1 1 6 40
36 AK 3 3 1 1 1 9 60
∑ 76 65 35 43 34 253 1687
MEAN 7,03 46,85
Persentase 46,85 46,85
84
Lampiran 10
DISTRIBUSI FREKUENSI HASIL TES
1. Distribusi Frekuensi
93 93 80 73 73 67 67 60 60 60
53 53 53 53 53 47 47 47 40 40
40 40 40 40 33 33 33 33 27 27
27 27 20 20 20 13
2. Banyak Dara (n) = 36
3. Rentang Data (R) = Xmax – Xmin
= 93 – 13
= 80
4. Banyak Kelas (K) = 1 + 3,3 log (n)
= 1 + 3,3 log 36
= 1 + 3,3 (1,5563)
= 1 + 5,1358
= 6,1358
= 6 (pembulatan ke bawah)
5. Interval Kelas (I) =
=
= 13,333
= 14 (pembulatan ke atas)
85
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI HASIL TES
No Skor Batas
Bawah Batas Atas
Frekuensi (fi)
fi (%) Fk Titik
Tengah (xi)
Xi^2 Fixi FiXi^2
1 13-26 12,5 26,5 4 11,11 4 19,5 380,3 78,0 1521
2 27-40 26,5 40,5 14 38,89 18 33,5 1122 469,0 15712
3 41-52 40,5 52,5 3 8,33 21 47,5 2256 142,5 6769
4 53-66 52,5 66,5 8 22,22 29 59,5 3540 476,0 28322
5 67-80 66,5 80,5 5 13,89 34 73,5 5402 367,5 27011
6 81-94 80,5 94,5 2 5,56 36 87,5 7656 175,0 15313
Jumlah 36 100 1708 94647
1. Mean ( )
∑
∑
2. Median (Me)
(
)
3. Modus
86
(
)
(
)
4. Varians
∑
∑
5. Simpangan Baku
√ ∑
∑
√
87
Lampiran 11
Hasil Tes Kemampuan Menyusun Bukti Matematis Siswa Per Indikator
No Nama
INDIKATOR
Memanipulasi Fakta untuk
Menunjukkan Kebenaran Suatu
Pernyataan
Membuat Koneksi antara Fakta
dengan Unsur dari Konklusi
yang hendak Dibuktikan
1 A 6 8
2 B 6 3
3 C 4 4
4 D 2 1
5 E 3 2
6 F 4 4
7 G 5 6
8 H 4 2
9 I 2 2
10 J 5 3
11 K 5 1
12 L 3 2
13 M 1 2
14 N 6 4
15 O 2 2
16 P 2 1
17 Q 4 2
18 R 3 1
19 S 2 2
20 T 4 3
21 U 4 5
22 V 6 5
23 W 3 2
24 X 5 3
25 Y 4 4
26 Z 3 2
27 AA 6 4
88
28 AB 1 1
29 AC 4 2
30 AD 4 3
31 AF 6 8
32 AG 4 8
33 AH 4 3
34 AI 4 2
35 AJ 4 2
36 AK 6 3
∑ 141 112
MEAN 3,92 3,11
Skor Ideal 6 9
Persentase 65,2778 34,5679
