analisis kemampuan penalaran matematis melalui...
TRANSCRIPT
-
ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS
MELALUI SOAL OPEN-ENDED
PADA SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK
DIPONEGORO SALATIGA
TAHUN PELAJARAN 2020/2021
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Kewajiban dan Syarat Guna Memperoleh Gelar
Sarjana Pendidikan
Oleh :
ANNISA PUSPITA FANHARY
NIM. 23070160028
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA
TAHUN 2020
-
ii
-
iii
ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS
MELALUI SOAL OPEN-ENDED
PADA SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK
DIPONEGORO SALATIGA
TAHUN PELAJARAN 2020/2021
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Kewajiban dan Syarat Guna Memperoleh Gelar
Sarjana Pendidikan
Oleh :
ANNISA PUSPITA FANHARY
NIM. 23070160028
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA
TAHUN 2020
-
iv
M. Istiqlal, M.Pd
Dosen IAIN Salatiga
Persetujuan pembimbing
Hal : Naskah Skripsi
Lampiran : 4 eksemplar
Saudara : Annisa Puspita Fanhary
Kepada,
Yth. Dekan FTIK IAIN Salatiga
Di Salatiga
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Setelah meneliti dan mengadakan perhatian seperlunya, maka bersama ini
kami kirimkan naskah skripsi saudara/saudari:
Nama : Annisa Puspita Fanhary
NIM : 23070160028
Jurusan : Tadris Matematika
Fakultas : Tarbiyah dan Ilmu Keguruan
Judul : ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS
SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK DIPONEGORO
SALATIGA MELALUI SOAL OPEN-ENDED
Dengan ini kami mohon skripsi saudara/saudari tersebut di atas supaya
segera di munaqosyahkan.
Dengan agar menjadi perhatian.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Salatiga, 11 September 2020
Pembimbing,
M. Istiqlal, M.Pd
NIDT. 19890710 201608 1 001
-
v
-
vi
-
vii
MOTTO
Setiap orang mempunyai proses, maka bertumbuhlah dengan tenang tanpa ada
niat menyingkirkan. Sebab sebaik-baiknya manusia ialah dia yang berusaha
bermanfaat bagi sesama.
Ujian hidup hanya tentang seberapa yakin kita berdoa, dan seberapa kuat kita
berusaha
-
viii
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat, taufik serta hidayah-Nya. Shalawat serta salam tercurahkan kepada baginda
Nabi Muhammad SAW. Untuk itu skripsi ini penulis persembahkan untuk:
1. Kedua orang tua bapak Sugito dan ibu Umi Fatmawati Choriroh yang tiada
hentinya mendoakan, mendidik, membimbing dan mengasuh penulis
sampai saat ini.
2. Kakak tercinta mas Rizky dan mbak Asri, juga ponakan tersayang Eshaq
dan Eisha yang selalu membuat penulis semangat dan termotivasi untuk
menjadi lebih baik.
3. Keluarga besar Achmad Khozin yang selalu membuat penulis semangat
dan termotivasi untuk menjadi lebih baik.
4. Keluarga besar Mbah isrodi yang selalu membuat penulis semangat dan
termotivasi untuk menjadi lebih baik.
5. Sahabat seperjuangan tersayang: Rif’an, Elfina, Annisa DC, dan Indah
terima kasih banyak untuk selalu ada, dan selalu menyemangati.
6. Sahabat tersayang: Apri dan Anggun terima kasih selalu memotivasi dan
menyemangati.
7. Keluarga kepompong: Nasikhin, Tika, Fhatima, Yuniar, Syarif, Lukman,
Fata, Panji, Irul, Muja, Ulin, Frida, Rifki, Ghufron terima kasih sudah
memberikan berbagai pengalaman dan selalu menyemangati.
8. Teman-teman Tadris Matematika angkatan 2016 yang tidak bisa penulis
sebut satu persatu.
-
ix
9. Teman-teman KKN posko 89 yang telah memberikan arti penting dalam
kehidupan penulis dan telah memberikan berbagai pengalaman baru.
10. Teman-teman PPL SMK Diponegoro Salatiga tahun 2019 yang telah
memberikan arti penting dalam kehidupan penulis dan telah memberikan
berbagai pengalaman baru.
11. Teman-teman dari PP. Sirojul Mukhlasin: Mas Musa, Dede, Dimas,
Nafis, Alfin, Ilu, Riki, Fuad, Alfa yang sudah memberikan penulis
pengalaman dan motivasi hidup.
12. Almamater tercinta IAIN Salatiga yang telah menjadi tempat penulis
menuntut ilmu yang bermanfaat.
-
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga dalam penyusunan skripsi ini dapat berjalan
dengan lancar. Shalawat serta salam penulis haturkan kepada Nabi Muhammad
SAW yang kita nantikan syafaatnya kelak di Yaumul Akhir. Segala syukur penulis
panjatkan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir skripsi dengan judul
ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS SISWA KELAS XII
AKUNTANSI 1 SMK DIPONEGORO SALATIGA MELALUI SOAL OPEN-
ENDED.
Skripsi ini disusun sebagai syarat untuk memperoleh gelar S1 Fakultas
Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK), jurusan Tadris Matematika Institut Agama
Islam Negeri (IAIN) Salatiga. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari
bahwa banyak bantuan yang diterima dari berbagai pihak, baik berupa material
maupun spiritual. Dengan berakhirnya skripsi ini, penulis mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Zakiyuddin, M.Ag selaku Rektor IAIN Salatiga.
2. Bapak Prof. Dr. Mansur, M.Ag selaku Dekan Fakultas Tarbiyah dan Ilmu
Keguruan IAIN Salatiga.
3. Bapak Prof. Dr. Winarno, S.Si, M.Pd selaku ketua Program Studi Tadris
Matematika IAIN Salatiga.
4. Bapak M. Istiqlal, M.Pd. selaku Dosen Pembimbing Skripsi, yang telah
berkenan secara ikhlas dan sabar meluangkan waktu serta memberi
-
xi
bimbingan dan pengarahan yang sangat berguna sejak awal proses
penyusunan dan penulisan hingga terselesaikan skripsi ini.
5. Bapak Sutrisna, S.Ag M.Pd selaku Dosen Pembimbing Akademik, yang
telah membimbing dari awal hingga akhir sehingga penulis bisa
mengikuti kegiatan akademik dengan lancar.
6. Seluruh Dosen dan Staff IAIN Salatiga yang telah membantu proses
penyusunan skripsi.
7. Kepala sekolah dan guru mata pelajaran matematika SMK Diponegoro
Salatiga
8. Seluruh Dosen Program Studi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah dan
Ilmu Keguruan IAIN Salatiga yang telah memberikan ilmu, pengetahuan
dan wawasan kepada penulis selama menempuh pendidikan.
Harapan penulis, semoga amal baik yang telah diberikan mendapat balasan
berlipat ganda dari Allah SWT. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat
khususnya bagi penulis dan umumnya bagi pembaca.
-
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................i
LOGO IAIN SALATIGA ....................................................................................... ii
HALAMAN SAMPUL DALAM .......................................................................... iii
PERSETUJUAN PEMBIMBING ..........................................................................iv
PENGESAHAN KELULUSAN ............................................................................. v
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN ..............................................................vi
MOTTO ............................................................................................................... vii
PERSEMBAHAN ............................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ...........................................................................................ix
DAFTAR ISI ...........................................................................................................xi
DAFTAR TABEL ................................................................................................xiv
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................xvi
ABSTRAK .......................................................................................................... xvii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah ................................................................................. 1
B. Fokus Penelitian ............................................................................................ 6
C. Tujuan Penelitian ........................................................................................... 6
-
xiii
D. Manfaat Penelitian ......................................................................................... 6
E. Penegasan Istilah ........................................................................................... 7
F. Sistematika Penulisan .................................................................................. 10
BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Landasan Teori ............................................................................................ 12
1) Penalaran ................................................................................................. 12
2) Penalaran Matematika ............................................................................. 16
3) Kemampuan Penalaran Matematika ....................................................... 20
4) Soal Open-ended ..................................................................................... 22
5) Barisan dan Deret ..................................................................................... 30
B. Kajian Pustaka ............................................................................................. 42
BAB III METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian ............................................................................................ 53
B. Lokasi dan Waktu Penelitian ....................................................................... 53
C. Sumber Data ................................................................................................ 54
D. Prosedur Pengumpulan Data ....................................................................... 55
E. Analisis Data ................................................................................................ 57
F. Pengecekan Keabsahan Data ....................................................................... 59
BAB IV PAPARAN DAN ANALISIS DATA
A. Paparan Data ................................................................................................ 61
B. Analisis Data .............................................................................................. 168
-
xiv
BAB V PENUTUP
A. Simpulan .................................................................................................... 194
B. Saran .......................................................................................................... 195
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 197
LAMPIRAN-LAMPIRAN ................................................................................ 209
DAFTAR RIWAYAT HIDUP .......................................................................... 210
-
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Indikator Penalaran Matematis Siswa ...................................... 266
Tabel 2.2 Perbedaan dan Persamaan Penelitian Terdahulu dan Penelitian
Sekarang ................................................................................... 267
Tabel 2.3 Perbedaan dan Persamaan Penelitian Terdahulu dan Penelitian
Sekarang ................................................................................... 268
Tabel 2.4 Perbedaan dan Persamaan Penelitian Terdahulu dan Penelitian
Sekarang ................................................................................. 269
Tabel 2.5 Perbedaan dan Persamaan Penelitian Terdahulu dan Penelitian
Sekarang ................................................................................... 270
Tabel 2.6 Perbedaan dan Persamaan Penelitian Terdahulu dan Penelitian
Sekarang ................................................................................... 271
Tabel 4.1 Daftar Kategori Kemampuan Siswa ........................................... 272
Tabel 4.2 Batas Kategori Tinggi, Sedang, dan Rendah .............................. 273
Tabel 4.3 Daftar Siswa Kelas XII Akuntansi 1 yang Mengikuti Tes ..........274
Tabel 4.4 Kartu Penilaian Kemampuan Penalaran Matematis ....................275
-
xvi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Daftar Riwayat Hidup ..............................................................210
Lampiran 2. Indikator Kemampuan Penalaran Matematis ...........................211
Lampiran 3. Kisi-kisi Soal Tes .....................................................................212
Lampiran 4. Soal Tes Kemampuan Penalaran Matematis ............................213
Lampiran 5. Lembar Kerja Siswa .................................................................216
Lampiran 6. Kunci Jawaban Lembar Kerja Siswa ........................................221
Lampiran 7. Indikator Pedoman Wawancara Siswa .....................................226
Lampiran 8. Pedoman Wawancara Siswa .....................................................227
Lampiran 9. Indikator Pedoman Wawancara Guru.......................................228
Lampiran 10. Pedoman Wawancara Guru ....................................................229
Lampiran 11. Lembar Konsultasi ..................................................................230
Lampiran 12. Kode Penelitian.......................................................................231
Lampiran 13. Hasil Wawancara Siswa .........................................................232
Lampiran 14. Hasil Wawancara Guru ...........................................................258
Lampiran 15. Satuan Kredit Kegiatan ...........................................................261
Lampiran 16. Surat Ijin Penelitian ................................................................262
Lampiran 17. Surat Telah Mengadakan Penelitian .......................................263
Lampiran 18. Surat Keputusan Penetapan Pembimbing Skripsi ..................264
-
xvii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.11 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A15 ........... 277
Gambar 4.12 Hasil Tes Tulis A15 Pada Nomor 1 ............................................ 277
Gambar 4.13 Hasil Tes Tulis A15 Pada Nomor 2 ............................................ 277
Gambar 4.14 Hasil Tes Tulis A15 Pada Nomor 3 ............................................ 278
Gambar 4.21 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A29 ............ 279
Gambar 4.22 Hasil Tes Tulis A29 Pada Nomor 1 ............................................ 279
Gambar 4.23 Hasil Tes Tulis A29 Pada Nomor 2 ............................................ 279
Gambar 4.24 Hasil Tes Tulis A29 Pada Nomor 3 ............................................ 280
Gambar 4.31 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A23 ............ 280
Gambar 4.32 Hasil Tes Tulis A23 Pada Nomor 1 ............................................ 281
Gambar 4.33 Hasil Tes Tulis A23 Pada Nomor 2 ............................................ 281
Gambar 4.34 Hasil Tes Tulis A23 Pada Nomor 3 ............................................ 282
Gambar 4.41 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A06 ............ 283
Gambar 4.42 Hasil Tes Tulis A06 Pada Nomor 1 ............................................ 283
Gambar 4.43 Hasil Tes Tulis A06 Pada Nomor 2 ............................................ 283
Gambar 4.44 Hasil Tes Tulis A06 Pada Nomor 3 ............................................ 284
Gambar 4.51 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A10 ............ 285
Gambar 4.52 Hasil Tes Tulis A10 Pada Nomor 1 ............................................ 285
Gambar 4.53 Hasil Tes Tulis A10 Pada Nomor 2 ............................................ 285
Gambar 4.54 Hasil Tes Tulis A10 Pada Nomor 3 ............................................ 286
Gambar 4.61 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A10 ............ 287
Gambar 4.62 Hasil Tes Tulis A02 Pada Nomor 1 ............................................ 287
Gambar 4.63 Hasil Tes Tulis A02 Pada Nomor 2 ............................................ 287
Gambar 4.64 Hasil Tes Tulis A02 Pada Nomor 3 ............................................ 288
Gambar 4.77 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Guru Matematika ... 289
Gambar 4.80 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Guru Matematika .... 289
-
xviii
ABSTRAK
Fanhary, Annisa. 2020. ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN
MATEMATIS SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK DIPONEGORO
SALATIGA MELALUI SOAL OPEN-ENDED. Skripsi, Salatiga: Program
Studi Tadris Matematika, Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan, Institut
Agama Islam Negeri Salatiga, Pembimbing: M. Istiqlal, M.Pd.
Kata kunci: Analisis Kemampuan, Penalaran Matematis, Soal Open-ended.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis kemampuan penalaran
matematis siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga, upaya guru
dalam memaksimalkan kemampuan penalaran matematis siswa kelas XII
Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga, dan upaya guru dalam mengatasi masalah
terhadap kemampuan penalaran matematis siswa yang rendah.
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah menggunakan pendekatan
kualitatif. Pengumpulan data dalam penelitian ini adalah tes tertulis dan wawancara.
Tes dilakukan untuk mengetahui kemampuan penalaran matematis siswa yang
dimiliki dengan menggunakan 3 butir soal open-ended berbentuk uraian.
Wawancara dilaksanakan untuk mengetahui secara mendalam kemampuan
penalaran matematis siswa dalam menyelesaikan masalah matematika yang diikuti
6 siswa dari 29 siswa yang dipilih berdasarkan kemampuan siswa yaitu 2 siswa
dengan kemampuan tinggi, 2 siswa dengan kemampuan sedang dan 2 siswa dengan
kemampuan rendah.
Hasil penelitian mengungkapkan bahwa: (1) siswa yang berkemampuan
tinggi memenuhi pada indikator menyajikan pernyataan matematika secara lisan,
tertulis, gambar dan diagram; mengajukan dugaan; memanipulasi matematika;
menyusun bukti, memberikan alasan/bukti terhadap kebenaran solusi; menarik
kesimpulan; dan memeriksa kesahihan suatu argumen. Siswa yang berkemampuan
sedang memenuhi pada indikator menyajikan pernyataan matematika secara lisan,
tertulis, gambar dan diagram; mengajukan dugaan; dan memanipulasi matematika.
Siswa yang berkemampuan rendah memenuhi pada indikator menyajikan
pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar dan diagram; dan mengajukan
dugaan. (2) upaya guru dalam memaksimalkan kemampuan penalaran matematis
siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga dengan melakukan
pengayaan dan remedial. (3) upaya guru dalam mengatasi kemampuan penalaran
matematis siswa yang rendah dengan melakukan pembelajaran tutor sebaya.
-
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan salah satu bidang studi yang menduduki peranan
penting dalam dunia pendidikan. Pelajaran matematika merupakan mata
pelajaran yang diterapkan di setiap jenjang pendidikan dengan harapan mampu
melatih peserta didik untuk belajar berpikir secara praktis, kritis, realistis, kreatif
dan sistematis dalam mengambil setiap tindakan dalam rangka upaya
meningkatkan kualitas sumber daya manusia melalui pendidikan khususnya
pendidikan matematika. Terdapat lima alasan mengapa pentingnya mempelajari
matematika yaitu: 1) matematika merupakan sarana berpikir yang jelas dan logis,
2) sarana memecahkan masalah kehidupan sehari-hari, 3) sarana mengenal pola-
pola hubungan dan generalisasi pengalaman, 4) sarana untuk mengembangkan
kreativitas, dan 5) sarana untuk meningkatkan kesadaran terhadap budaya.
Secara sederhana matematika merupakan mata pelajaran yang melatih anak
untuk berpikir rasional, logis, cermat, jujur dan sistematis. Pola pikir yang
demikian sangat penting dimiliki siswa sebagai bekal dalam kehidupan sehari-
hari (Verawati, 2017: 1-2).
Berdasarkan lampiran Permendikbud nomor 59 tahun 2014 dalam
Kemendikbud (2014), tujuan pembelajaran matematika SMA yaitu: 1) dapat
memahami konsep matematika, yaitu menjelaskan keterkaitan antar konsep dan
menggunakan konsep maupun algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat
dalam pemecahan masalah, 2) menggunakan pola sebagai dugaan dalam
-
2
pemecahan masalah, dan mampu membuat generalisasi berdasarkan fenomena
atau fakta, 3) menggunakan penalaran pada sifat, melakukan manipulasi
matematika baik dalam penyederhanaan, maupun menganalisa komponen yang
ada dalam pemecahan masalah, 4) mengkomunikasikan gagasan, penalaran serta
mampu menyusun bukti matematika dengan menggunakan kalimat lengkap,
simbol, tabel, diagram atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah,
5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, 6)
memiliki sikap dan perilaku yang sesuai dengan nilai-nilai dalam matematika
dan pembelajarannya, 7) melakukan kegiatan motorik menggunakan
pengetahuan matematika, dan 8) menggunakan alat peraga sederhana maupun
hasil teknologi untuk melakukan kegiatan-kegiatan matematik (Alimuddin, dkk,
2017: 2).
Dewi (2018: 5) menyatakan kemampuan penalaran merupakan salah satu
faktor yang harus dikuasai oleh setiap siswa dalam mempelajari matematika.
Departemen Pendidikan Nasional telah menyatakan bahwa materi matematika
dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan, yaitu
materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dipahami dan
dilatih melalui belajar materi matematika. Sehingga penalaran matematis
memiliki peranan penting dalam mempelajari mata pelajaran matematika, dan
keduanya saling berhubungan. Suatu proses kegiatan berpikir dalam menarik
kesimpulan pengetahuan disebut penalaran. Sedangkan didalam hukum
penyimpulan, penalaran adalah proses berpikir, yang berdasarkan premis yang
-
3
benar menarik konklusi yang benar pula. Dan ini dicapai kalau bentuk
penalarannya sahih.
Penalaran terjemahan dari bahasa Inggris reasoning, menurut kamus The
Rendom House Dictionary berarti kegiatan atau proses menalar yang dilakukan
seseorang adalah kekuatan mental yang berkaitan dengan pembentukan
kesimpulan dan penilaian. Shuten dan Pierce mengemukakan bahwa penalaran
sebagai proses pencapaian kesimpulan logis berdasarkan fakta dan sumber yang
relevan. Penalaran menurut Fadjar Shadiq adalah suatu proses atau suatu
aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau proses berpikir dalam
rangka membuat suatu pernyataan baru yang berdasarkan pada beberapa
pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya
(Aisyah, 2015: 3).
Penalaran digunakan untuk berpikir tentang sifat-sifat sekumpulan obyek
matematika dan mengembangkan perumunan yang dikenakan pada objek
tersebut. O’daffler mengatakan penalaran matematik adalah bagian dari berpikir
matematik yang meliputi membuat perumunan dan menarik kesimpulan yang
sahih tentang gagasan-gagasan dan bagaimana gagasan tersebut saling terkait.
Berdasarkan pernyataan di atas diperoleh bahwa penalaran melibatkan beberapa
keterampilan penting seperti menyelidiki pola, membuat dan menguji dugaan
(conjecture), dan menggunakan penalaran deduktif dan induktif formal untuk
menformulasikan argumen matematika (Ruslan dan Santoso, 2013: 139).
Alimuddin (2017: 3), memaparkan penelitian yang dilakukan Shimada
bahwa pendekatan open-ended mampu memberikan stimulus kepada peserta
-
4
didik untuk menggunakan kemampuan yang telah dimilikinya dalam
menyelesaikan masalah terbuka (open-ended). Pendekatan open-ended
merupakan salah satu upaya inovasi pendidikan matematika yang pertama kali
dilakukan oleh para ahli pendidikan matematika Jepang. Soal-soal open-ended
merupakan masalah matematika yang sedikit banyak membutuhkan kemampuan
logika untuk menyelesaikannya. Logika digunakan untuk memecahkan masalah
saat seseorang menjabarkan masalah menjadi langkah-langkah yang lebih kecil
dan menyelesaikannya sedikit demi sedikit serta membentuk pola atau
menciptakan aturan-aturan.
Untuk mencapai tujuan pembelajaran secara maksimal, siswa tidak cukup
dengan hanya memberikan soal-soal tertutup yang terdapat dalam buku
pelajaran matematika yang selama ini dipakai di sekolah. Tapi diperlukan juga
pemberian soal-soal open-ended yang bisa mengembangkan kemampuan
penalaran siswa melalui permasalahan-permasalahan matematika yang
diberikan oleh guru, yang selama ini tidak terdapat dalam buku pelajaran siswa.
Diharapkan juga jika siswa diberi soal open-ended maka siswa akan
mendapatkan sejumlah manfaat, berupa praktek menggali sumber-sumber yang
dibutuhkan untuk membuat kesimpulan, rencana mengerjakan tugas, memilih
metode dan menerapkan kemampuan.
Hasil pelaksanaan wawancara peneliti dengan guru matematika di SMK
Diponegoro Salatiga beliau mengatakan bahwa dalam materi barisan dan deret
siswa mengalami beberapa kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal. Siswa
masih kesulitan dalam memahami informasi pada soal, serta strategi apa yang
-
5
harus dilakukan saat menyelesaikan soal. Selain itu, dalam hal penalaran masih
cenderung rendah. Ketika siswa diminta untuk menyelesaikan soal, siswa tidak
mampu memberikan kesimpulan dari pernyataan yang benar. Hal tersebut
terlihat pada jawaban siswa saat menyelesaikan soal-soal.
Setiap siswa memiliki kemampuan yang berbeda dalam mengolah dan
menerima informasi serta menyelesaikan soal. Memberikan alasan yang tepat
terhadap hasil yang diperolehnya serta memberikan kesimpulan dari pernyataan
merupakan bagian dari indikator yang terdapat dalam penalaran matematis dan
hal tersebut harus dimiliki siswa dalam menyelesaikan soal. Sehingga hal ini
menunjukkan keterkaitan antara kemampuan yang dimiliki siswa dengan
kemampuan penalaran. Berdasarkan pemaparan di atas, peneliti berinisiatif
untuk melakukan penelitian kepada beberapa sampel untuk mengetahui seberapa
besar kemampuan penalaran matematis siswa agar bisa mendeskripsikan sejauh
mana kemampuan penalaran pada masing-masing siswa.
Uraian diatas menjadi dasar bagi peneliti untuk melakukan penelitian
dengan judul “Analisis Kemampuan Penalaran Matematis Siswa Kelas XII
Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga Melalui Soal Open-ended”.
-
6
B. Fokus Penelitian
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka perumusan masalah
dalam yang diajukan adalah:
1. Bagaimanakah kemampuan penalaran matematis siswa kelas XII Akuntansi
1 SMK Diponegoro Salatiga?
2. Bagaimana upaya guru dalam memaksimalkan kemampuan penalaran
matematis siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga?
3. Bagaimana upaya guru dalam mengatasi masalah terhadap kemampuan
penalaran matematis siswa yang rendah?
C. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas tujuan penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Untuk mendeskripsikan kemampuan penalaran matematis siswa kelas XII
Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga.
2. Untuk mengetahui upaya guru dalam memaksimalkan kemampuan penalaran
matematis siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga.
3. Untuk mengetahui upaya guru dalam mengatasi masalah terhadap
kemampuan penalaran matematis siswa yang rendah.
D. Manfaat Penelitian
Dalam penelitian ini ada beberapa manfaat yang bisa didapatkan, antara lain:
1) Secara teoritis
-
7
Pada penelitian ini, diharapkan dapat memberikan gambaran tentang
kemampuan penalaran matematis dan hasil dari penelitian ini dapat dijadikan
evaluasi bagi pelaksanaan pembelajaran matematika, khususnya pada materi
barisan dan deret sehingga pembelajaran matematika dapat dikembangkan.
Sejalan dengan hal tersebut, penelitian ini diharapkan pula dapat menambah
pengetahuan tentang kemampuan penalaran matematis
2) Secara praktis
a. Siswa
Siswa diharapkan mampu memecahkan masalah open-ended khususnya
pada materi barisan dan deret dengan menggunakan kemampuan
penalaran.
b. Guru matematika
Diharapkan mampu menyajikan soal open-ended yang melatih
kemampuan penalaran setiap siswa.
b. Sekolah
Sebagai sumbangan informasi untuk memperbaiki, menyempurnakan, dan
meningkatkan kualitas pendidikan.
c. Peneliti
Diharapkan agar menindaklanjuti penelitian ini untuk dikembangkan lebih
luas ruang lingkupnya.
E. Penegasan Istilah
Batasan pengertian terhadap beberapa istilah pokok yang terdapat dalam
judul penelitian ini perlu diberikan guna menghindari supaya tidak terjadi
-
8
kesalahpahaman dalam memahami istilah-istilah yang terdapat dalam judul ini.
Maka penulis menjelaskan istilah-istilah tersebut antara lain:
1. Penalaran
Penalaran merupakan aktivitas berpikir yang abstrak. Untuk
mewujudkannya diperlukan simbol. Simbol atau lambang yang digunakan
dalam penalaran berbentuk bahasa, sehingga wujud penalaran akan berupa
argumen. Penalaran merupakan pernyataan atau konsep abstrak dengan
simbol berupa kata, sedangkan untuk proposisi simbol yang digunakan adalah
kalimat (kalimat pernyataan) dan penalaran menggunakan simbol berupa
argumen. Argumenlah yang dapat menentukan kebenaran konklusi dari
premis.
2. Penalaran Matematis
Dalam Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan 2006, kemampuan
penalaran dan komunikasi matematis dalam belajar matematika harus
dikuasai siswa. Istilah “menalar” dalam kerangka proses pembelajaran
dengan pendekatan ilmiah yang dianut dalam Kurikulum 2013 untuk
menggambarkan bahwa guru dan peserta didik merupakan pelaku aktif. Titik
tekannya tentu dalam banyak hal dan situasi peserta didik harus lebih aktif
daripada guru.
3. Kemampuan Penalaran Matematis
Secara umum kemampuan dianggap sebagai kecakapan atau
kesanggupan seseorang dalam menyelesaikan atau menyanggupi suatu
pekerjaan. Penalaran matematis adalah berpikir mengenai permasalahan-
-
9
permasalahan matematika secara logis untuk memperoleh penyelesaian.
Penalaran matematis juga mensyaratkan kemampuan untuk memilah apa
yang penting dan tidak penting dalam menyelesaikan sebuah permasalahan
dan untuk menjelaskan atau memberikan alasan atas sebuah penyelesaian.
4. Soal Open-ended
Soal open-ended yang dimaksud dalam penelitian ini adalah soal yang
dirancang untuk menyelesaikan persoalan atau permasalahan dengan
beberapa cara atau strategi. Dengan pemberian soal-soal open-ended
memungkinkan siswa berperan aktif dalam mengembangkan metode
penyelesaian masalah tanpa harus terpaku pada cara yang sudah biasa
dikenal. Soal-soal open-ended memberikan peluang kepada siswa untuk
memberikan banyak pemecahan masalah dengan banyak strategi pemecahan
masalah, sehingga dengan beragamnya jawaban yang diberikan siswa
tersebut guru dapat mendeteksi kemampuan berpikir siswa.
5. Barisan dan Deret
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua
suku yang berurutan selalu tetap. Deret aritmatika adalah jumlah beruntun
suku-suku suatu barisan aritmatika. Barisan geometri adalah barisan bilangan
yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan.
-
10
F. Sistematika Penulisan
BAB I: Pendahuluan
Memuat kajian mengenai latar belakang masalah, fokus penelitian, tujuan
penelitian, kegunaan penelitian, manfaat penelitian, penegasan istilah, dan
sistematika penulisan
BAB II: Kajian Pustaka
Bab ini membahas tentang definisi penalaran, penalaran matematika,
kemampuan penalaran matematika, soal open-ended.
BAB III: Metode Penelitian
Bab ini membahas tentang jenis penelitian, kehadiran peneliti, lokasi dan
waktu penelitian, sumber, prosedur pengumpulan data, analisis data, dan
pengecekan keabsahan data.
BAB IV: Paparan dan Analisis Data
1. Paparan data
Bab ini membahas paparan data yang berupa batas-batas administrasi, data
hasil ulangan akhir semester mata pelajaran matematika.
2. Analisis data
Analisis data ini membahas tentang hasil kemampuan penalaran siswa
melalui soal open-ended.
-
11
BAB V Penutup
Bab terakhir yaitu tentang penutup yang meliputi kesimpulan dan saran.
Hasil penelitian yang diambil dari hasil penelitian dari judul hingga proses
pengambilan kesimpulan dan saran-saran bagi berbagai pihak yang
bersangkutan dalam penelitian ini.
-
12
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Landasan Teori
1. Penalaran
Menurut Peraturan Menteri Pendidikan Nasional nomor 22 tahun 2006
tentang standar isi khususnya untuk pembelajaran matematika yaitu agar
siswa dapat menggunakan penalaran pada pola, sifat, melakukan manipulasi
matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan
gagasan dari pernyataan matematika. Depdiknas menuturkan materi
matematika dan penalaran matematis adalah dua hal yang tidak dapat
dipisahkan, yaitu materi matematika dipahami melalui penalaran, dan
penalaran dipahami dan dilatih melalui belajar matematika. Dari kurikulum
2013 juga dijelaskan bahwa salah satu kompetensi inti pembelajaran
matematika adalah kemampuan menalar. Hal ini sesuai dengan pendapat Ball,
Lewis & Thamel menyatakan bahwa “mathematiccal reasoning is the
foundation for the construction of mathematical knowledge”. Hal ini berarti
penalaran matematis adalah fondasi untuk mendapatkan atau mengkonstruksi
pengetahuan matematika (Suprihatin, dkk. 2018: 9).
Keraf mengartikan penalaran sebagai proses berpikir dan berusaha
menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui
menuju kepada suatu kesimpulan (Shadiq, 2014: 42). Penalaran adalah suatu
-
13
proses penarikan kesimpulan dari satu atau lebih proposisi (Surajiyo, 2015:
112).
Al Krismanto mengemukakan di dalam mempelajari matematika
kemampuan penalaran dapat dikembangkan pada saat siswa memahami suatu
konsep (pengertian), atau menemukan dan membuktikan suatu prinsip.
Ketika menemukan atau membuktikan suatu prinsip, dikembangkan pola
pikir induktif dan deduktif. Siswa dibiasakan melihat ciri-ciri beberapa kasus,
melihat pola dan membuat dugaan tentang hubungan yang berlaku umum
(generalisasi, penalaran induktif). Disamping itu siswa juga perlu dibiasakan
menerima terlebih dahulu suatu hubungan yang jelas kebenarannya,
selanjutnya menggunakan hubungan itu untuk menemukan hubungan-
hubungan lainnya (penalaran deduktif). Jadi baik penalaran deduktif maupun
induktif, keduanya amat penting dalam pembelajaran matematika (Sa’adah,
2010: 16).
Suriasumantri (dalam Dewi, 2018: 24) mengemukakan bahwa
penalaran adalah suatu proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan yang
berupa pengetahuan. Penalaran ini menghasilkan pengetahuan yang dikaitkan
dengan kegiatan berpikir yang mempunyai karakteristik tertentu dalam
menemukan kebenaran. Sebagaimana yang ditulis Suriasumantri bahwa
sebagai suatu kegiatan berpikir maka penalaran mempunyai ciri-ciri tertentu,
yaitu adanya pola berpikir yang biasa disebut logika, dan bersifat analitik dari
proses berpikirnya.
-
14
1. Adanya suatu pola berpikir yang secara luas dapat disebut logika. Dalam
hal ini maka dapat dikatakan bahwa tiap bentuk penalaran mempunyai
bentuk logikanya sendiri. Atau dapat disimpulkan bahwa kegiatan
penalaran merupakan proses berpikir logis, dimana berpikir logis disini
harus diartikan sebagai kegiatan berpikir menurut suatu pola tertentu.
2. Sifat analitik dari proses berpikirnya. Penalaran merupakan kegiatan
berpikir yang menyadarkan diri kepada suatu analisis, dan kerangka
berpikir yang dipergunakan untuk analisis tersebut adalah logika penalaran
yang bersangkutan. Artinya penalaran ilmiah merupakan suatu kegiatan
analisis yang mempergunakan logika ilmiah, dan demikian juga penalaran
lainnya yang mempergunakan logika tersendiri pula.
Penalaran merupakan suatu kegiatan berpikir yang menyandarkan diri
kepada suatu analisis dan kerangka berpikir yang dipergunakan untuk analisis
tersebut adalah logika penalaran yang bersangkutan. Artinya penalaran ilmiah
merupakan suatu kegiatan analisis yang mempergunakan logika ilmiah, dan
demikian juga penalaran lainnya yang mempergunakan logikanya tersendiri
pula.
Berdasarkan definisi-definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa
penalaran merupakan kegiatan, proses atau aktivitas berpikir untuk menarik
kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru berdasar pada beberapa
pernyataan yang diketahui sebelumnya.
-
15
Di dalam penalaran, terdapat dua jenis penalaran, yaitu penalaran
deduktif dan penalaran induktif sebagai berikut (Shadiq, 2014: 42):
1) Penalaran deduktif
Penalaran deduktif adalah proses berpikir logis yang diawali dengan
penyajian fakta yang bersifat umum, disertai pembuktian khusus dan
diakhiri simpulan yang berupa prinsip, sikap, atau fakta yang berlaku.
Penalaran deduktif merupakan proses berpikir dimana kita menyimpulkan
bahwa kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat
logis dari kebenaran sebelumnya. Penalaran deduktif adalah suatu cara
penarikan kesimpulan dari pernyataan atau fakta-fakta yang dianggap
benar dengan menggunakan logika (Shadiq, 2014: 59-63).
2) Penalaran induktif
Penalaran induktif adalah proses berpikir logis yang diawali dengan
observasi data, pembahasan, dukungan pembuktian, dan diakhiri
kesimpulan umum. Penalaran induktif juga merupakan proses berpikir
untuk menarik suatu kesimpulan yang berlaku umum berdasarkan atas
fakta-fakta yang bersifat khusus. Proses bernalar induktif meliputi
menduga, mengenali pola dan membentuk generalisasi. Sehingga dapat
disimpulkan berpikir induktif merupakan berpikir menggunakan kejadian
atau pengalaman yang sering dijumpai, disimpulkan menjadi kebenaran
secara umum (Rubyanto, 2015: 24).
-
16
2. Penalaran Matematika
Brodie (2010: 7) memberikan istilah penalaran matematika dalam
beberapa literatur disebut dengan mathematical reasoning. Brodie
menyatakan bahwa, “Mathematical reasoning is reasoning about and with
the object of mathematics.” Pernyataan tersebut dapat diartikan bahwa
penalaran matematika adalah penalaran mengenai objek matematika.
Gardner mengungkapkan bahwa penalaran matematis adalah
kemampuan menganalisa, menggeneralisasi, mensintesis / mengintegrasikan,
memberikan alasan yang tepat dan menyelesaikan masalah tidak rutin
(Lestari dan Yudhanegara 2015: 82).
Dalam Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan 2006, kemampuan
penalaran dan komunikasi matematis dalam belajar matematika harus
dikuasai siswa. Istilah “menalar” dalam kerangka proses pembelajaran
dengan pendekatan ilmiah yang dianut dalam Kurikulum 2013 untuk
menggambarkan bahwa guru dan peserta didik merupakan pelaku aktif. Titik
tekannya tentu dalam banyak hal dan situasi peserta didik harus lebih aktif
daripada guru.
Penalaran matematika yang mencakup kemampuan untuk berpikir
secara logis dan sistematis merupakan ranah kognitif matematika yang paling
tinggi. Indikator kemampuan yang termasuk pada kemampuan penalaran
matematika yang dikemukakan oleh Sumarno, yaitu (Lestari dan
Yudhanegara 2015: 82):
1) Menarik kesimpulan logis.
-
17
2) Memberikan penjelasan dengan model, fakta, sifat-sifat, dan hubungan.
3) Memperkirakan jawaban dan proses solusi.
4) Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi atau
membuat analogi dan generalisasi.
5) Menyusun dan menguji konjektur.
6) Membuat counter example (kontra contoh).
7) Mengikuti aturan inferensi dan memeriksa validitas argumen.
8) Menyusun argumen yang valid.
9) Menyusun pembuktian langsung, tidak langsung dan menggunakan
induksi matematika.
Berikut indikator penalaran matematis menurut Peraturan Dirjen
Dikdasmen No. 506/C/PP/2004 (Shadiq, 2014: 51):
1) Kemampuan menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis,
gambar dan diagram.
2) Kemampuan mengajukan dugaan.
3) Kemampuan melakukan manipulasi matematika.
4) Kemampuan menyusun bukti, memberikan alasan / bukti terhadap
kebenaran solusi.
5) Kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan.
6) Memeriksa kesahihan suatu argumen.
7) Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat
generalisasi.
-
18
Berdasarkan indikator penalaran matematis yang dikemukakan oleh
Peraturan Dirjen Dikdasmen diatas, maka terbentuklah tabel klasifikasi
penilaian kemampuan penalaran siswa:
Tabel 2.1 indikator penalaran matematis siswa
No. Indikator Penalaran Matematis Skor
1. Kemampuan menyajikan pernyataan matematika secara
lisan, tertulis, gambar dan diagram
1
2. Kemampuan mengajukan dugaan 1
3. Kemampuan melakukan manipulasi matematika 1
4. Kemampuan menyusun bukti, memberikan alasan / bukti
terhadap kebenaran solusi
1
5. Kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan 1
6. Memeriksa kesahihan suatu argumen 1
7. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk
membuat generalisasi
1
Jika siswa mempunyai penalaran matematis yang baik maka siswa
tersebut mempunyai:
a) Rasa ketertarikan pada matematika.
b) Pengetahuan dan pemahaman terhadap sifat-sifat matematika yang baik,
meliputi konsep, prosedur, dan keterampilan.
c) Kemampuan melakukan analisis dan beralasan secara matematis.
d) Kemampuan menggunakan bahasa matematika untuk
mengkomunikasikan ide-ide.
-
19
e) Kemampuan menerapkan pengetahuan matematika.
f) Kemampuan menyelesaikan persoalan matematika pada kehidupan sehari-
hari.
Nur mengemukakan bahwa ada lima penalaran, yaitu (Setianingsih,
2016: 22-23):
a) Penalaran proposional
Penalaran proposional merupakan suatu sumber struktur kualitatif
yang memungkinkan pemahaman suatu sistem fisik kompleks yang
mengandung banyak faktor.
b) Pengontrolan variabel
Perkembangan kemampuan pengontrolan variabel merupakan
indeks perkembangan intelektual. Pemikir formal dapat menetapkan dan
mengontrol variabel-variabel tertentu dari suatu masalah.
c) Penalaran probabilistik
Penalaran probabilistik terjadi pada saat seorang mempergunakan
informasi untuk memutuskan apakah suatu kesimpulan berkemungkinan
benar atau berkemungkinan tidak benar, dan hal-hal yang memiliki
kemungkinan terjadi dari perhitungan peluang.
d) Penalaran korelasional
Penalaran korelasional didefinisikan sebagai suatu pola berpikir
untuk menentukan kuatnya hubungan timbal balik atau hubungan terbalik
antara variabel yang ditinjau dengan variabel lainnya. Penalaran
-
20
korelasional melibatkan pengidentifikasian dan penverifikasian antar
variabel.
e) Penalaran kombinatorial
Penalaran kombinatorial adalah kemampuan untuk
mempertimbangkan seluruh alternatif yang mungkin pada situasi tertentu.
Pemikir formal pada saat memecahkan suatu masalah akan menggunakan
sebuah kombinasi atau faktor yang mungkin ada kaitannya dengan
masalah tersebut.
Penalaran matematika diperlukan untuk menentukan apakah sebuah
argumen matematika benar atau salah dan juga dipakai untuk membangun
suatu argumen matematika. Penalaran matematika tidak hanya penting untuk
melakukan pembuktian (proof) atau pemeriksaan program (program
verification) tetapi juga untuk melakukan inferensi dalam suatu sistem
kecerdasan buatan (artificial intellegence). Dari pengertian di atas dapat
disimpulkan bahwa penalaran matematis adalah suatu proses berpikir dalam
menentukan sebuah argumen matematika benar atau salah yang selanjutnya
digunakan untuk membuat suatu argumen matematika baru.
3. Kemampuan Penalaran Matematika
Gardner mengungkapkan bahwa penalaran matematis adalah
kemampuan menganalisis, menggeneralisasi, mensintesis, mengintegrasikan,
memberikan alasan yang tepat dan menyelesaikan masalah tidak rutin
(Lestari dan Yudhanegara, 2015: 82).
-
21
Turmudi (dalam Sumartini 2015: 2), mengatakan bahwa kemampuan
penalaran matematis merupakan suatu kebiasaan otak seperti halnya
kebiasaan lain yang harus dikembangkan secara konsisten menggunakan
berbagai macam konteks, mengenal penalaran dan pembuktian merupakan
aspek-aspek fundamental dalam matematika.
National Council of Teacher Mathematics (NCTM) menyatakan
kemampuan bernalar berperan penting dalam memahami matematika.
Bernalar secara matematis merupakan suatu kebiasaan berpikir, dan layaknya
suatu kebiasaan, maka penalaran semestinya menjadi bagian yang konsisten
dalam setiap pengalaman-pengalaman matematis siswa (Mahendra, dkk,
2016: 2).
Melihat penalaran matematis yang memiliki peranan penting dalam
proses berpikir, maka manfaat penalaran menurut Lehman (Gustiati, 2016:
49), adalah:
1) Memperluas keyakinan (extending belief).
2) Menemukan kebenaran (getting at the truth).
3) Meyakinkan (peruading).
4) Menjelaskan (eksplaining).
Baroody mengungkapkan penalaran adalah suatu alat yang esensial
untuk matematika dan kehidupan sehari-hari. Selanjutnya Baroody
mengungkapkan ada empat alasan, mengapa penalaran penting untuk
matematika dan kehidupan sehari-hari (Wiyanti dan Leonard, 2017: 613)
yaitu: (1) The reasoning needed to do mathematics. Ini berarti penalaran
-
22
memainkan peran penting dalam pengembangan dan aplikasi matematika.
Misalnya dalam pembuktian-pembuktian geometri diperlukan penalaran
deduktif. (2) The need for reasoning in school mathematics. Menurut NCTM
salah satu tujuan utama dalam pembelajaran matematika adalah
mengutamakan perkembangan daya matematis siswa. (3) Reasoning involved
in other content areas. Ini berarti keterampilan-keterampilan penalaran dapat
diterapkan pada ilmu-ilmu lain. (4) Reasoning for everyday life. Ini berarti
penalaran suatu alat yang esensial untuk mengatasi masalah kehidupan
sehari-hari.
Dari beberapa definisi penalaran yang dikemukakan di atas, peneliti
menyimpulkan bahwa penalaran adalah serangkaian proses berpikir untuk
menarik suatu kesimpulan berdasarkan pada fakta dan sumber yang relevan
dan telah dibuktikan nilai kebenarannya. Penalaran dalam pembelajaran
matematika dibutuhkan untuk menentukan apakah suatu argumen
matematika benar atau salah, selain itu juga dipakai untuk membangun suatu
argumen matematika. Dalam kegiatan pembelajaran di sekolah yang
diperlukan siswa melalui pelajaran matematika adalah menata nalar siswa.
Jika penataan nalar siswa berjalan dengan baik maka dapat menumbuhkan
kebiasaan menalar.
4. Soal Open-ended
Soal-soal open-ended dirancang untuk menyelesaikan persoalan atau
permasalahan dengan beberapa cara atau strategi. Dengan pemberian soal-
soal open-ended memungkinkan siswa berperan aktif dalam mengembangkan
-
23
metode penyelesaian masalah tanpa harus terpaku pada cara yang sudah biasa
dikenal. Soal-soal open-ended memberikan peluang kepada siswa untuk
memberikan banyak pemecahan masalah dengan banyak strategi pemecahan
masalah, sehingga dengan beragamnya jawaban yang diberikan siswa
tersebut guru dapat mendeteksi kemampuan berpikir siswa. Dengan
memberikan soal-soal open-ended proses berpikir siswa dapat tergambar atau
ditelusuri melalui jawabannya. Dengan demikian guru akan mendapat banyak
informasi berkenaan dengan kemampuan berpikir siswa (Mustikasari, dkk,
2010: 47).
Mahmudi (dalam Setyaningrum, 2017: 2) mengatakan bahwa soal
terbuka (open-ended) adalah soal yang mempunyai banyak solusi dan strategi
penyelesaian. Soal yang bersifat terbuka memiliki tujuan membantu
mengembangkan dengan maksimal berpikir kreatif sesuai kemampuan yang
dimiliki setiap siswa. Dengan demikian, siswa dibiasakan untuk berpikir tidak
monoton dan tidak terpaku dengan contoh yang diberikan oleh guru.
Dengan memberikan soal open-ended kepada siswa, maka
pembelajaran tersebut dapat membangun kegiatan interaktif antara
matematika dan siswa sehingga mengundang siswa untuk menjawab
permasalahan melalui berbagai strategi. Soal open-ended dapat mengarahkan
siswa dalam menjawab dengan banyak cara sehingga merangsang
kemampuan intelektual dan pengalaman berpikir kreatif siswa. Keadaan ini
akan membiasakan siswa berpikir dan bertindak secara kreatif pada diri siswa
-
24
yang sangat diperlukan untuk menghadapi kehidupan dan melanjutkan
pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi.
Mengembangkan soal open-ended adalah masalah yang tepat untuk
siswa dengan tingkat kemampuan yang beragam tidaklah mudah. Akan tetapi
berdasarkan penelitian yang telah dilakukan di Jepang dalam jangka waktu
yang cukup panjang, ditemukan beberapa hal yang dapat dijadikan acuan
dalam mengkonstruksikan masalah tersebut, diantaranya:
a. Sajikan permasalahan melalui situasi fisik yang nyata dimana konsep-
konsep matematika dapat diawali dan dikaji siswa
b. Soal-soal pembuktian dapat diubah sedemikian rupa sehingga siswa dapat
menemukan hubungan dan sifat-sifat dari variabel dalam persoalan itu.
c. Disajikan bentuk-bentuk atau bangun-bangun (geometri) sehingga siswa
dapat membantu suatu konjektur.
d. Sajikan urutan bilangan atau tabel sehingga siswa dapat menemukan
aturan matematika.
e. Berikan beberapa latihan serupa sehingga siswa dapat menggeneralisasi
dari pelajarannya (Yuliana, 2015: 169).
Ciri terpenting dari soal-soal open-ended adalah tersedianya
kemungkinan dapat serta tersedia bagi siswa untuk memakai sejumlah
metode yang dianggapnya paling sesuai dalam menyelesaikan soal itu. Dalam
arti, pertanyaan pada bentuk open-ended diarahkan untuk menggiring
tumbuhnya pemahaman atas masalah yang diajukan. Cheesman berpendapat
bahwa pertanyaan open-ended memerlukan respon mengenai proses berpikir,
-
25
kemampuan menyusun generalisasi dan kemampuan mencari hubungan
diantara dua konsep. Hancock mengatakan soal-soal open-ended dapat
mengetahui bahwa proses berperan sama pentingnya dengan hasil akhir
dalam problem solving. Coxford dan Steinmark mengemukakan bahwa nilai
dari soal-soal open-ended, bukan hanya terletak pada format dan materi yang
terkandung dalam soal, melainkan sangat ditentukan oleh prosedur, suasana
dan cara penyampaiannya (Yuliana, 2015: 168).
Shimada mendefinisikan soal open-ended adalah permasalahan yang
diformulasikan mempunyai banyak jawaban yang benar. Masalah
matematika terbuka (open-ended) dapat dikelompokkan menjadi dua tipe,
yaitu: 1) problem dengan satu jawaban banyak cara penyelesaian, yaitu soal
yang diberikan kepada siswa yang mempunyai banyak solusi/cara
penyelesaian akan tetapi mempunyai satu jawaban; 2) problem banyak cara
penyelesaian dan juga banyak jawaban, yaitu soal yang diberikan kepada
siswa yang selain mempunyai banyak solusi/cara penyelesaian, tetapi juga
mempunyai banyak jawaban (Ruslan dan Santoso, 2013: 142).
Sifat keterbukaan dari suatu masalah dikatakan hilang, apabila hanya
ada satu cara dalam menjawab permasalahan yang diberikan, atau hanya ada
satu jalan penyelesaian yang mungkin untuk masalah yang diberikan guru.
Contoh penerapan masalah open-ended dalam kegiatan pembelajaran adalah
ketika siswa diminta mengembangkan metode, cara, atau pendekatan yang
berbeda dalam menjawab permasalahan yang diberikan bukan berorientasi
pada jawaban.
-
26
Lebih lanjut Sawada mengemukakan bahwa secara umum terdapat tiga
tipe masalah open-ended yang dapat diberikan, yaitu: 1) menemukan
hubungan, soal ini diberikan bertujuan agar siswa dapat menemukan beberapa
aturan atau hubungan matematis; 2) mengklasifikasi, siswa diminta
mengklasifikasikan berdasarkan karakteristik yang berbeda dari suatu objek
tertentu untuk menformulasikan beberapa konsep tertentu; 3) pengukuran,
siswa diminta untuk menentukan ukuran-ukuran numerik dari suatu kejadian
tertentu. Siswa diharapkan dapat mengklasifikasikan pengetahuan dan
ketrampilan yang telah dipelajari sebelumnya untuk memecahkan masalah.
Selanjutnya Heddens dan Speer (dalam Mustikasari, dkk, 2010: 47)
mengungkapkan bahwa dengan pemberian soal open-ended, dapat memberi
rangsangan kepada siswa untuk meningkatkan cara berpikirnya, siswa
memiliki kebebasaan untuk mengekspresikan hasil eksplorasi daya nalar dan
analisanya secara aktif dan kreatif dalam upaya menyelesaikan suatu
permasalahan.
Ketika siswa dihadapkan pada soal open-ended tujuannya bukan hanya
berorientasi pada mendapatkan jawaban atau hasil akhir tetapi lebih
menekankan pada bagaimana siswa sampai pada suatu jawaban, siswa dapat
mengembangkan metode, cara atau pendekatan berbeda untuk menyelesaikan
masalah. Dalam pelaksanaannya hal tersebut memberikan peluang pada siswa
untuk menyelidiki dengan metode yang mereka yakini, dan memberikan
kemungkinan pengerjaan dengan ketelitian yang lebih besar dalam
pemecahan masalah matematika. Sebagai hasilnya, dimungkinkan untuk
-
27
mempunyai suatu pengembangan yang lebih kaya dalam pemikiran
matematika siswa, serta membantu perkembangan aktivitas dan kreatif dari
siswa.
Becker dan Epstein menjelaskan, suatu soal dapat terbuka (open) dalam
tiga kemungkinan, yaitu: Proses yang terbuka yaitu ketika soal menekankan
pada cara dan strategi yang berbeda dalam menemukan solusi yang tepat.
Jenis soal semacam ini masih mungkin memiliki satu solusi tunggal; Hasil
akhir yang terbuka yaitu ketika soal memiliki jawaban akhir yang berbeda-
beda; Cara untuk mengembangkan yang terbuka, yaitu ketika soal
menekankan pada bagaimana siswa dapat mengembangkan soal baru
berdasarkan soal awal (intitial problem) yang diberikan (Wijaya, 2012).
Sawada (dalam Ruslan dan Santoso, 2013: 142) mengemukakan bahwa
secara umum terdapat tiga tipe masalah open-ended yang dapat diberikan,
yaitu:
1) Menemukan hubungan, soal ini diberikan bertujuan agar siswa dapat
menemukan beberapa aturan atau hubungan matematis.
2) Mengklasifikasi, siswa diminta mengklasifikasikan berdasarkan
karateristik yang berbeda dari suatu objek tertentu untuk
memformulasikan beberapa konsep tertentu.
3) Pengukuran, siswa diminta untuk menentukan ukuran-ukuran numerik
dari suatu kejadian tertentu. Siswa diharapkan dapat mengklasifikasikan
pengetahuan dan ketrampilan yang telah dipelajari sebelumnya untuk
memecahkan masalah.
-
28
Sawada mengemukakan keunggunalan dari pembelajaran dengan
pemberian soal-soal open-ended adalah sebagai berikut (Mustikasari, dkk,
2010: 48):
1) Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pelajaran dan lebih mudah
mengungkapkan ide-idenya.
2) Siswa memiliki lebih banyak kesempatan untuk memaknai pengetahuan
yang komprehensif dan ketrampilan matematikanya.
3) Setiap siswa dapat merespons soal dalam beberapa cara berbeda menurut
caranya sendiri. Soal open-ended memberikan setiap siswa kesempatan
untuk menemukan jawabannya sendiri.
4) Memberikan siswa pengalaman bernalar melalui kegiatan
membandingkan dan diskusi dalam kelas, siswa sangat termotivasi untuk
memberikan alasan dari jawaban-jawabannya kepada siswa-siswa lain.
5) Terdapat pengalaman kaya bagi siswa untuk menikmati kesenangan
menemukan dan menerima persetujuan dari teman kelasnya.
Beberapa keunggulan dari soal open-ended yang dipaparkan oleh
Suherman antara lain (Ruslan dan Santoso, 2013: 143):
1) Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pembelajaran dan sering
mengekspresikan idenya.
2) Siswa memiliki kesempatan lebih banyak dalam memanfaatkan
pengetahuan dan keterampilan matematika secara komprehensif.
3) Siswa dengan kemampuan matematika rendah dapat merespon
permasalahan dengan cara mereka sendiri.
-
29
4) Siswa dengan cara intrinsik termotivasi untuk memberikan bukti atau
penjelasan.
5) Siswa memiliki pengalaman banyak untuk menemukan sesuatu dalam
menjawab permasalahan.
Takashi memaparkan keunggulan pendekatan open-ended
(Mustikasari, 2010: 44), adalah:
1) Siswa mengambil bagian lebih aktif dalam pembelajaran, dan sering
menyatakan ide-ide mereka.
2) peluang menggunakan pengetahuan dan keterampilan matematis mereka
3) Siswa dengan kemampuan rendah bisa memberikan reaksi terhadap
masalah dengan beberapa cara signifikan dari milik mereka sendiri.
4) Mendorong siswa untuk memberikan bukti.
5) Siswa memiliki pengalaman yang kaya dan senang atas penemuan mereka
dan menerima persetujuan temannya.
Berdasarkan uraian diatas, maka dapat diungkap bahwa tujuan dari
pemberian soal open-ended dalam pembelajaran matematika adalah untuk
meningkatkan kegiatan kreatif siswa dan berpikir matematika secara simultan
agar berkembang secara maksimal, memberikan kebebasan siswa untuk
berpikir dalam membuat progress pemecahan sesuai dengan kemampuan,
sikap dan minatnya melalui berbagai strategi dan cara yang diyakininya
dalam menyelesaikan masalah sehingga membentuk intelegensi matematika
siswa.
-
30
5. Barisan dan Deret
a. Pola Bilangan Suku Ke-n
Jika suatu barisan bilangan ditulis dengan lambang U untuk
menyatakan urutan suku-sukunya, maka bilangan pertama ditulis U1,
bilangan kedua ditulis U2, bilangan ketiga ditulis U3, dan seterusnya.
Dengan demikian, diperoleh bentuk umum barisan bilangan yaitu
𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … 𝑈𝑛 dengan 𝑈𝑛 = 𝑓(𝑛) disebut rumus umum suku ke-n dari
barisan bilangan.
b. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara
dua suku yang berurutan selalu tetap.
Bentuk umum barisan aritmatika:
𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … 𝑈𝑛 atau 𝑎, (𝑎 + 𝑏), (𝑎 + 2𝑏), … , (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
1) Suku ke-n barisan aritmatika
Jika terdapat barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b,
barisan bilangan dapat diurutkan sebagai berikut:
𝑈1 = 𝑎
𝑈2 = 𝑎 + 𝑏
𝑈3 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏
…
𝑈𝑛 = 𝑎(𝑛 − 1)𝑏
Keterangan:
𝑈𝑛 = Suku ke-n 𝑎 = Suku pertama
-
31
𝑏 = Beda 𝑛 = Banyaknya suku
2) Suku tengah barisan aritmatika
Jika barisan aritmatika memiliki suku ganjil, suku tengahnya
dirumuskan sebagai berikut: 𝑈1 =𝑎+𝑈𝑛
2
Keterangan:
𝑈1 = Suku tengah
𝑎 = Suku pertama
𝑈𝑛 = Suku terakhir
3) Sisipan pada barisan aritmatika
Misalkan di antara dua bilangan real x dan y (dengan 𝑥 ≠ 𝑦) akan
disisipkan sebanyak k bilangan (𝑘 ∈ bilangan asli). Bilangan-bilangan
semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk suatu
barisan aritmatika.
𝑏′ =𝑦−𝑥
𝑘+1 atau 𝑏′ =
𝑏
1+𝑘 dan 𝑛′ = 𝑛 + 𝑛 − 1)𝑘
Keterangan:
𝑏′ = Beda baru
x, y = Bilangan semula
𝑘 = Banyak bilangan
yang disisipkan
𝑏 = Beda semula
𝑛 = Banyak suku barisan
aritmatika lama
𝑛′ = Banyak suku barisan
aritmatika baru
-
32
c. Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah dari seluruh suku-suku pada barisan
aritmatika.
Bentuk umum deret aritmatika:
𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 atau 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯ + (𝑎 +
(𝑛 − 1)𝑏)
𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯ + (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
Persamaan ini dapat ditulis sebagai:
𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 + ⋯ + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 𝑎
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏, maka 𝑆𝑛dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑺𝒏 =𝒏
𝟐(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒃) atau 𝑺𝒏 =
𝒏
𝟐(𝒂 + 𝑼𝒏)
Keterangan:
𝑆𝑛 = Jumlah suku ke-n
𝑛 = Banyaknya suku
𝑎 = Suku pertama
𝑏 = Beda
𝑈𝑛 = Suku ke-n
Berikut sifat-sifat 𝑆𝑛 pada deret aritmatika:
1) 𝑺𝒏 =𝒏
𝟐(𝒂 + 𝑼𝒏) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli)
yang tidak memiliki suku tetapan.
2) Adapun untuk setiap (𝑛 ∈ bilangan asli) berlaku hubungan 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 =
𝑈𝑛 (suku ke-n).
-
33
d. Barisan geometri
Barisan geometri yang mempunyai rasio tetap antara dua suku
barisan yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi, suku ke-n barisan
geometri dirumuskan sebagai berikut. 𝑼𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏
Guna mencari rasio suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut!
𝑈2 = 𝑈1 × 𝑟, maka 𝑟 =𝑈2
𝑈1
𝑈3 = 𝑈2 × 𝑟, maka 𝑟 =𝑈3
𝑈2
…
𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−1 × 𝑟, maka 𝑟 =𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑟 =
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
e. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah dari semua suku-suku pada barisan
geometri.
Jumlah suku-suku deret geometri dirumuskan sebagai berikut.
𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)
1−𝑟 untuk 𝑟 < 1
𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)
1−𝑟 untuk 𝑟 > 1
Keterangan:
𝑆𝑛 = Jumlah n suku pertama
𝑎 = Suku pertama
𝑟 = Rasio / pembanding
𝑛 = Banyaknya suku
-
34
1) Deret Geometri Tak hingga konvergen
Deret geometri tak hingga konvergen terjadi apabila deret
tersebut memiliki rasio |𝑟| > 1 atau −1 < 𝑟 < 1. Jumlah deret
geometri yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan sebagai
berikut. 𝑺∞ =𝒂
𝟏−𝒓
2) Deret geometri tak hingga divergen
Deret geometri tak hingga divergen (menyebar) terjadi apabila
deret tersebut memiliki rasio |𝑟| > 1 atau 𝑟 > 1 atau 𝑟 < −1. Jumlah
deret geometri divergen tidak didefinisikan.
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil 𝑎 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟4 + ⋯
dapat dirumuskan sebagai berikut. 𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍 =𝒂
𝟏−𝒓𝟐
Adapun jumlah suku-suku pada kedudukan genap 𝑎 + 𝑎𝑟3 +
𝑎𝑟5 + ⋯ dapat dirumuskan sebagai berikut. 𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑 =𝒂
𝟏−𝒓𝟐
Rumusan jumlah suku yang berkedudukan ganjil dan genap dapat
diperoleh hubungan sebagai berikut. 𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑
𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍= 𝒓
f. Aplikasi barisan
1) Pertumbuhan
Pertumbuhan dalam matematika adalah perubahan secara
kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun hidup) yang
makin meningkat (makin banyak) dari periode pertama, kedua, dan
seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Misalkan pertumbuhan setiap
tahun di suatu tempat biasanya meningkat sebesar I (dengan i dalam %),
-
35
dan banyak penduduk di awal sebanyak 𝐴0 serta banyak penduduk
setelah n tahun dimisalkan dengan 𝐴𝑛, maka dapat disusun model
perhitungan setiap periodenya sebagai berikut.
Setelah tahun pertama (𝐴1):
𝐴1 = 𝐴0 + 𝑖 × 𝐴0
= 𝐴0(1 + 𝑖)
Setelah tahun kedua (𝐴2):
𝐴2 = 𝐴1 + 𝑖 × 𝐴1
= 𝐴1(1 + 𝑖)
= 𝐴0(1 + i)2
Setelah tahun ketiga (𝐴3):
𝐴3 = 𝐴2 + 𝑖 × 𝐴2
= 𝐴2(1 + 𝑖)
= 𝐴0(1 + i)3
Dan seterusnya sehingga setelah tahun ke-n (𝐴𝑛):
𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 + 𝑖 × 𝐴𝑛−1
= 𝐴𝑛−1(1 + 𝑖)
= 𝐴0(1 + i)𝑛
Jika diketahui presentasenya, pertumbuhan setelah tahun ke-n dapat
dihitung dengan rumus berikut. 𝑨𝒏 = 𝑨𝟎(𝟏 + 𝐢)𝒏
Jika diketahui kelipatannya langsung, pertumbuhan setelah tahun ke-n
dapat dihitung dengan sebagai berikut. 𝑨𝒏 = 𝑨𝟎𝒓𝒏 dengan 𝑟 > 1
-
36
Keterangan:
𝐴0 = Jumlah objek di awal
𝐴𝑛 = Jumlah objek setelah tahun ke-n atau periode ke-n
𝑖 = Presentase kenaikan/pertumbuhan
𝑟 = Kelipatan kenaikan/pertumbuhan (rasio)
2) Peluruhan
Peluruhan adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu
objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang makin lama makin
menurun jumlahnya (makin sedikit) dari periode pertama, periode
kedua dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Bentuk peluruhan
ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan
peluruhan suatu objek di suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar
i (dengan i dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di
awal 𝐴0 serta banyak objek setelah n tahun dimisalkan dengan 𝐴𝑛,
maka dapat disusun model perhitungan setiap perhitungan setiap
periodenya sebagai berikut.
Setelah tahun pertama (𝐴1):
𝐴1 = 𝐴0 − 𝑖 × 𝐴0
= 𝐴0(1 − 𝑖)
Setelah tahun kedua (𝐴2):
𝐴2 = 𝐴1 − 𝑖 × 𝐴1
= 𝐴1(1 − 𝑖)
-
37
= 𝐴0(1 − i)2
Setelah tahun ketiga (𝐴3):
𝐴3 = 𝐴2 − 𝑖 × 𝐴2
= 𝐴2(1 − 𝑖)
= 𝐴0(1 − i)3
Dan seterusnya sehingga setelah tahun ke-n (𝐴𝑛):
𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 − 𝑖 × 𝐴𝑛−1
= 𝐴𝑛−1(1 − 𝑖)
= 𝐴0(1 − i)𝑛
Peluruhan setelah tahun ke-n dapat dihitung dengan menggunakan
rumus sebagai berikut.
Jika diketahui presentase (i): 𝐴𝑛 = 𝐴0(1 − i)𝑛
Adapun jika diketahui kelipatannya langsung (rasio): 𝐴𝑛 = 𝐴0(r)𝑛
dengan 0 < 𝑟 < 1.
Keterangan:
𝐴0 = Jumlah objek awal
𝐴𝑛 = Jumlah objek setelah tahun ke-n atau periode ke-n
𝑖 = Presentase penurunan/peluruhan
𝑟 = Kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)
-
38
3) Bunga Majemuk
a. Menentukan besarnya bunga majemuk
Besarnya bunga pada akhir periode ke-n (𝐵𝑛) dapat ditentukan
dengan rumus sebagai berikut.
𝐵𝑛 = 𝑖 × (1 + 𝑛)𝑛−1 × 𝑀
Keterangan:
𝐵𝑛 = Bunga periode ke-n (akhir periode ke-n)
𝑖 =Suku bunga per periode
𝑀 = Modal awal yang ditabung atau dipinjam
b. Menentukan besarnya modal akhir pada bunga majemuk
Besarnya modal akhir periode ke-n dapat dihitung dengan
menggunakan rumus berikut.
𝑀𝑛 = 𝑀(1 + 𝑖)𝑛
Keterangan:
𝑀𝑛 = Modal akhir setelah periode ke-n (akhir periode ke-n)
Catatan:
𝑖 dan 𝑛 harus dalam satuan/periode yang sama.
Jika 𝑖 dan 𝑛 tidak dalam periode yang sama, satuan n diubah
menjadi bentuk satuan 𝑖.
-
39
c. Menentukan modal akhir (𝑴𝒏) bunga majemuk dengan masa
bunga pecahan (n)
Jangka waktu (n) proses berbunganya suatu modal tidak hanya
merupakan bilangan. Jika jangka waktu bukan merupakan bilangan
bulat, maka cara menentukan nilai (1 + 𝑖)𝑛 dapat dilakukan dengan
beberapa cara, sebagai berikut.
1. Dengan menghitung langsung bentuk (1 + 𝑖)𝑛 menggunakan
kalkulator.
2. Sisa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung
bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga
yang bulat.
𝑀𝑛 = 𝑀(1 + 𝑖)𝑛(1 + 𝑃. 𝑖) dengan p masa bunga pecahan.
4) Anuitas
Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya,
dibayarkan setiap akhir jangka waktu dan terdiri atas bagian bunga an
bagian angsuran.
Anuitas = bunga + angsuran
a. Menentukan angsuran ke-n (𝒂𝒏)
Jika suatu pinjaman M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan
selama n tahun suku bunga i% / tahun, dan setiap anuitas sama
besarnya, maka berlaku:
𝐴𝑛 + 1 = 𝐴𝑛
𝑎𝑛+1 + 𝑏𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
-
40
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1
= 𝑎𝑛 + (𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1)
= 𝑎𝑛 + (𝑎𝑛. 𝑖)
= 𝑎𝑛 + (1 + 𝑖)
Sehingga diperoleh:
𝑎2 = 𝑎1 + (1 + 𝑖)
𝑎3 = 𝑎2 + (1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)2
𝑎4 = 𝑎3 + (1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)3
…
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (1 + 𝑖)𝑛−1
Besarnya angsuran dapat dinyatakan sebagai berikut.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏 atau 𝒂𝒏 = 𝒂𝒌 + (𝟏 + 𝒊)
𝒏−𝒌
Keterangan:
𝑎𝑛 = Angsuran ke-n
𝑎𝑘 = Angsuran ke-k
𝑎1 = Angsuran pertama
𝑖 = Suku bunga setiap periodenya
Guna mencari besarnya bunga pertama dirumuskan sebagai berikut.
𝑏1 = 𝑀. 𝑖
𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 = 𝑎𝑛. 𝑖
-
41
b. Menentukan anuitas
Rumus anuitas dapat dijabarkan dengan menggunakan konsep
barisan dan deret geometri. Misalkan seseorang meminjam uang
sebesar M yang akan dilunasi dengan mencicil sebesar A setiap
periodenya. Jika besarnya suku bunga i% per periode, maka
besarnya anuitas (A) dengan mencicil n kali dapat dihitung dengan
penjabaran rumus berikut.
Besarnya pinjaman = jumlah semua angsuran
𝑀 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑀 = 𝑎1 + 𝑎1(1 + 𝑖) + 𝑎1(1 + 𝑖)2 + 𝑎1(1 + 𝑖)
3 + ⋯ +
𝑎𝑛(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = Jumlah barisan geometri dengan suku pertama = 𝑎1 dengan
rasio = (1 + 𝑖)
𝑀 =𝑎1((1+𝑖)
𝑛−1)
(1+𝑖)−1
𝑀 =𝑎1((1+𝑖)
𝑛−1)
𝑖
𝑎1 =𝑀.𝑖
((1+𝑖)𝑛−1)
Ingat kembali bahwa:
𝐴 = 𝑎1 + 𝑏1
𝐴 = 𝑎1 + 𝑀. 𝑖
𝑎1 = 𝐴 − 𝑀. 𝑖
-
42
Sehingga diperoleh sebagai berikut.
𝐴 =𝑀.𝑖
(1−(1+𝑖)−𝑛)
Hubungan anuitas dan angsuran pertama sebagai berikut.
𝐴 = 𝑎1(1 + 𝑖)𝑛
Rumus perhitungan anuitas sebagai berikut.
𝑨 =𝑴.𝒊
(𝟏−(𝟏+𝒊)−𝒏) dan 𝒂𝟏 =
𝑴.𝒊
((𝟏+𝒊)𝒏−𝟏)
Jika menggunakan daftar anuitas:
𝐴 =𝑀.𝑖
(1−(1+𝑖)−𝑛)
𝐴 = 𝑀.𝑖
(1−(1+𝑖)−𝑛)
𝐴 = 𝑀 × 𝑑𝑎𝑓𝑡𝑎𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑖𝑡𝑎𝑠
Dengan 𝑖
(1−(1+𝑖)−𝑛)= daftar anuitas kolom i% dan baris ke-n.
Hubungan anuitas (A) dan angsuran pertama (𝑎1):
𝑨 = 𝒂𝟏 × (𝟏 + 𝒊)𝒏
B. Kajian Pustaka
Kajian pustaka berisi tentang telaah terhadap hasil penelitian terdahulu
(prior research) yang relevan dengan permasalahan dan variabel yang diteliti.
Kajian pustaka dimaksudkan untuk memperkaya wawasan peneliti tentang tema
-
43
atau fokus kajian dan menghindari duplikasi penelitian. Penelitian terdahulu
yang dijadikan peneliti sebagai acuan diantaranya:
1. Penelitian terdahulu yang relevan dengan permasalahan kemampuan
penalaran:
a. Penelitian Intan Mutiara Dewi dengan judul “Analisis Kemampuan
Penalaran Matematis Siswa Dalam Menyelesaikan Masalah Matematika
Materi Aritmatika Sosial Kelas VII Di Mts Negeri 6 Tulungagung”
Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa:
1) Kemampuan penalaran matematis yang ditampilkan siswa yang
berkemampuan tinggi dalam menyelesaikan masalah matematika
memenuhi pada indikator mengajukan dugaan; melakukan manipulasi
matematika; menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap
beberapa kebenaran solusi; menarik kesimpulan dari suatu pernyataan;
dan memeriksa kesahihan suatu argumen.
2) Kemampuan penalaran matematis yang ditampilkan siswa yang
berkemampuan sedang dalam menyelesaikan masalah matematika
memenuhi pada indikator mengajukan dugaan dan memeriksa
kesahihan argumen.
3) Kemampuan penalaran matematis yang ditampilkan siswa yang
berkemampuan rendah dalam menyelesaikan masalah matematika
memenuhi indikator mengajukan dugaan.
-
44
Tabel 2.2 Perbedaan dan persamaan penelitian terdahulu dan penelitian
sekarang
Penelitian Terdahulu Penelitian Sekarang
Perbedaan Analisis kemampuan
penalaran matematis siswa
dalam menyelesaikan
masalah matematika materi
aritmatika sosial kelas VII
di MTS Negeri 6
tulungagung
Analisis kemampuan
penalaran matematis siswa
kelas XII Akuntansi 1
SMK Diponegoro Salatiga
melalui soal open-ended
Subjek siswa kelas VII di
MTS Negeri 6
Tulungagung
Subjek siswa kelas XII
Akuntansi 1 di SMK
Diponegoro Salatiga
Menyelesaikan masalah
matematika materi
aritmatika sosial
Menyelesaikan masalah
matematika materi barisan
dan deret
Persamaan Menganalisis kemampuan
penalaran matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
Menganalisis kemampuan
penalaran matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
b. Penelitian Ruslan dan Santoso dengan judul “pendekatan pemberian soal
open-ended terhadap kemampuan penalaran matematis siswa”.
Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa:
1) Terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematis
siswa antara siswa yang diberi soal open-ended dengan pemberian soal
-
45
rutin, yaitu penggunaan pemberian soal berpengaruh baik secara
bermakna terhadap kemampuan penalaran matematis siswa.
2) Terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematis
siswa antara siswa pada level pengetahuan awal matematika tinggi,
sedang, dan rendah, yaitu kemampuan penalaran matematis siswa yang
berasal dari siswa level tinggi lebih baik daripada siswa level tinggi
lebih baik daripada siswa yang berasal dari level sedang maupun
rendah.
3) Tidak terdapat interaksi antara faktor pemberian soal dan faktor
pengetahuan awal matematika terhadap peningkatan kemampuan
penalaran matematis. Dengan demikian tingkat pengetahuan
matematika siswa (tinggi, sedang, dan rendah) tidak berpengaruh pada
kemampuan penalaran matematis.
-
46
Tabel 2.3 Perbedaan dan persamaan penelitian terdahulu dan penelitian
sekarang
Penelitian Terdahulu Penelitian Sekarang
Perbedaan pendekatan pemberian soal
open-ended terhadap
kemampuan penalaran
matematis siswa
Analisis kemampuan
penalaran matematis siswa
kelas XII Akuntansi 1
SMK Diponegoro Salatiga
melalui soal open-ended
Subjek siswa kelas VIII.5
di SMPN 7 Prabu-mulih
tahun ajaran 2012/2013
Subjek siswa kelas XII
Akuntansi 1 di SMK
Diponegoro Salatiga
Menyelesaikan masalah
matematika materi
menghitung keliling dan
luas lingkaran
Menyelesaikan masalah
matematika materi barisan
dan deret
Persamaan Menganalisis kemampuan
penalaran matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
Menganalisis kemampuan
penalaran matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
c. Penelitian Tri Roro Suprihatin, Rippi Maya, Eka Senjayawati dengan judul
“analisis kemampuan penalaran matematis siswa SMP pada materi
segitiga dan segiempat”.
Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa:
Dari semua kategori kemampuan penalaran matematis siswa, bahwa
indikator manipulasi matematik masih belum terpenuhi dengan baik.
Mengenai indikator ini memang masih banyak siswa yang kebingungan
-
47
dalam melakukan manipulasi matematika. Hal ini juga terlihat pada saat
wawancara dengan beberapa siswa, hanya beberapa siswa saja yang
mampu mengaitkan pembelajaran matematika dengan kehidupan sehari-
hari yaitu melakukan manipulasi matematika.
Tabel 2.4 Perbedaan dan persamaan penelitian terdahulu dan penelitian
sekarang.
Penelitian Terdahulu Penelitian Sekarang
Perbedaan pendekatan pemberian soal
open-ended terhadap
kemampuan penalaran
matematis siswa
Analisis kemampuan
penalaran matematis
siswa kelas XII
Akuntansi 1 SMK
Diponegoro Salatiga
melalui soal open-ended
Subjek siswa kelas IX di SMP
Negeri 7 Pakuhaji kabupaten
Bandung Barat
Subjek siswa kelas XII
Akuntansi 1 di SMK
Diponegoro Salatiga
Menyelesaikan masalah
matematika materi segitiga
dan segiempat
Menyelesaikan masalah
matematika materi
barisan dan deret
Persamaan Menganalisis kemampuan
penalaran matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
Menganalisis
kemampuan penalaran
matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
2. Penelitian terdahulu yang relevan dengan permasalahan open-ended
a. Penelitian Neny Lestari, Yusuf Hartono dan Purwoko dengan judul
“pengaruh pendekatan open-ended terhadap penalaran matematika siswa
sekolah menengah pertama Palembang”.
-
48
Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa:
1) Berdasarkan hasil analisis data tes, rata-rata kemampuan penalaran
matematika siswa dalam menyelesaikan masalah setelah melakukan
pembelajaran dengan pendekatan open-ended mengalami peningkatan
berkategori tinggi.
2) Hasil pengamatan yang didapat selama proses, siswa yang mendapat
skor tinggi adalah siswa-siswa yang benar-benar aktif dan serius saat
mengikuti pembelajaran dengan pendekatan open-ended, mereka juga
tidak canggung untuk menyampaikan pendapat dalam diskusi
kelompok ataupun diskusi kelas.
3) Terdapat pengaruh yang signifikan dalam pembelajaran dengan
menggunakan pendekatan open-ended terhadap kemampuan penalaran
matematika siswa
-
49
Tabel 2.5 Perbedaan dan persamaan penelitian terdahulu dan penelitian
sekarang
Penelitian Terdahulu Penelitian Sekarang
Perbedaan pengaruh pendekatan
open-ended terhadap
penalaran matematika
siswa sekolah menengah
pertama Palembang
Analisis kemampuan
penalaran matematis siswa
kelas XII Akuntansi 1
SMK Diponegoro Salatiga
melalui soal open-ended
Subjek siswa kelas VII.5 di
SMP Negeri 8 Palembang
Subjek siswa kelas XII
Akuntansi 1 di SMK
Diponegoro Salatiga
Menyelesaikan masalah
matematika materi segitiga
dan segiempat
Menyelesaikan masalah
matematika materi barisan
dan deret
Persamaan Menganalisis kemampuan
penalaran matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
Menganalisis kemampuan
penalaran matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
b. Peneliti Alimuddin, Asdar, dan Widyawanti Rajiman dengan judul
“karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended ditinjau dari
kemampuan logika siswa kelas XI SMA Negeri 3 Wajo”
Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa:
1. Terdapat hubungan positif antara kemampuan logika dan hasil
pemecahan masalah matematika open-ended siswa kelas XI IPA.6
SMA Negeri 3 Wajo
2. Karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended siswa
kemampuan logika tinggi (ST) pada setiap karakteristik masalah yang
diberikan berdasarkan tahapan pemecahan masalah Polya:
-
50
a) Memahami masalah ST memiliki pemahaman masalah secara
komprehensif yaitu menuliskan dengan mengidentifikasi hal-hal
yang diketahui dan ditanyakan dengan kalimat sendiri serta
melakukan dugaan awal pada setiap masalah open-ended yang
diberikan (berpikir secara induktif).
b) Merencanakan Penyelesaian ST melakukan koneksi konsep yaitu
dengan mengaitkan konsep konsep yang ingin digunakan pada
masalah open-ended yang diberikan (berpikir secara induktif).
c) Melakukan Rencana Penyelesaian ST menuliskan penyelesaian
dengan minimal dua cara sesuai yang ditanyakan pada soal,
melakukan analisis antar konsep terkait dugaan awal untuk mencari
untuk mencari solusi penyelesaian (berpikir secara induktif)
d) Menelusuri Kembali ST melakukan penelusuran kembali tahap demi
tahap dengan mengecek kembali hasil yang diperoleh mulai dari hal
yang diketahui dan ditanyakan, serta menghitung kembali hasil yang
diperoleh (berpikir secara induktif).
3. Karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended siswa
kemampuan logika rendah (SR) pada setiap karakteristik masalah yang
diberikan berdasarkan tahapan pemecahan masalah Polya:
a) Memahami masalah SR memiliki pemahaman eksplisit atau kurang
memahami masalah seperti tidak menuliskan hal-hal yang diketahui
dan ditanyakan dan tidak melakukan dugaan awal pada setiap
masalah open-ended yang diberikan (berpikir secara deduktif)
-
51
b) Merencanakan Penyelesaian SR berpikir praktis yaitu SR
menuliskan konsep-konsep yang ingin digunakan dalam
penyelesaian masalah (berpikir secara deduktif)
c) Melakukan Rencana Penyelesaian SR menerapkan rumus yaitu
menerapkan rumus secara langsung yang akan digunakan dalam
penyelesaian masalah, menuliskan penyelesaian dengan minimal
dua cara (berpikir secara deduktif).
d) Menelusuri Kembali SR tidak melakukan penelusuran kembali
dengan tidak mengecek kembali hasil yang diperoleh.
4. Perbedaan karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended
antara siswa berkemampuan logika tinggi (ST) dan siswa
berkemampuan logika rendah (SR) terletak pada setiap pemecahan
masalah berdasarkan langkah Polya, yaitu:
a) Memahami masalah ST memiliki pemahaman masalah secara
komprehensif sedangkan SR memiliki pemahaman eksplisit.
b) Merencanakan Penyelesaian ST melakukan koneksi konsep
sedangkan SR berpikir praktis.
c) Melakukan Rencana Penyelesaian ST melakukan analisis antar
konsep yang terkait sedangkan SR menerapkan rumus yaitu
menerapkan rumus secara langsung.
d) Menelusuri Kembali ST melakukan penelusuran kembali tahap demi
tahap sedangkan SR tidak melakukan penelusuran kembali.
-
52
Tabel 2.6 Perbedaan dan persamaan penelitian terdahulu dan penelitian
sekarang
Penelitian Terdahulu Penelitian Sekarang
Perbedaan karakteristik
pemecahan masalah
matematika open-ended
ditinjau dari
kemampuan logika
siswa kelas XI SMA
Negeri 3 Wajo
Analisis kemampuan
penalaran matematis siswa
kelas XII Akuntansi 1
SMK Diponegoro Salatiga
melalui soal open-ended
Subjek siswa kelas XI
IPA.6 di SMA Negeri 3
Wajo
Subjek siswa kelas XII
Akuntansi 1 di SMK
Diponegoro Salatiga
Menyelesaikan masalah
matematika yang
diadopsi dari soal-soal
UN
Menyelesaikan masalah
matematika materi barisan
dan deret
Persamaan Menganalisis
kemampuan penalaran
matematis dalam
menyelesaikan masalah
matematika
Menganalisis kemampuan
penalaran matematis
dalam menyelesaikan
masalah matematika
-
53
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Peneliti menggunakan jenis penelitian deskriptif kualitatif. Hamid
Darmadi mengata