analisis matematico

ANLISIS MATEMTICO

S L A B O

I. DATOS GENERALES

1.1. Nombre de la asignatura ANALISIS MATEMATICO I

1.2. Cdigo I - 004

1.3. Prerrequisitos NINGUNO

1.4. Ciclo Acadmico I CICLO

1.5. Crditos 04

1.6. Tipo de asignatura OBLIGATORIO

1.7. Semestre Acadmico

1.8. N de horas lectivas Teora: 03Hrs. Prctica: 02Hrs.

1.9. Duracin del Semestre Acadmico 17 Semanas

1.10. Docente responsable

II. SUMILLA

La asignatura de Anlisis matemtico I es de carcter terico prctico y tiene como finalidad desarrollar en el alumno las capacidades de identificacin y anlisis; as como los conocimientos y experiencias de carcter general en el campo del anlisis matemtico lo cual permita al alumno adquirir herramientas matemticas para el desarrollo del pensamiento lgico y crtico. El desarrollo de la asignatura comprende las unidades temticas: Lmites y continuidad de funciones, Derivadas y aplicaciones, Integral Indefinida, Integral definida, Integral Impropias.

III. OBJETIVOS EDUCATIVOS

3.1 OBJETIVOS GENERALES: 3.1.1. Utilizar las definiciones, propiedades del Clculo Diferencial as como aplicarlos a

situaciones prcticas. 3.1.2. Comprender las tcnicas de derivacin y como aplicarlos a situaciones prcticas. 3.1.3. Utilizar las definiciones, propiedades y principios fundamentales del clculo integral para

hallar la solucin inmediata de diversos problemas como sus aplicaciones

3.2 OBJETIVOS ESPECFICOS:

3.2.1. Calcular diferentes tipos de lmites. 3.2.2. Averiguar la continuidad de una funcin 3.2.3. Interpretar la derivada de una funcin y calcula usando reglas y tcnicas. 3.2.4. Resolver problemas de aplicacin de la derivada, as como graficar funciones aplicando

mximos, mnimos y concavidad. 3.2.5. Aplicar los mtodos y tcnicas de integracin para hallar integrales indefinidas 3.2.6. Calcular integrales definidas. 3.2.6. Aplicar las integrales definidas a los negocios. 3.2.7. Analizar la convergencia o divergencia de Integrales Impropias.

IV. PROGRAMACIN TEMTICA

UNIDAD DIDCTICA N 01 LMITES Y CONTINUIDAD

CONTENIDO DURACIN

- Lmite de una funcin, definicin y propiedades

- Formas indeterminadas, 0/ 0; / , ;1

Semana 01

- lmites al infinito, lmites infinitos, - Lmites laterales

Semana 02

- Continuidad y discontinuidad de funciones reales.

Semana 03

UNIDAD DIDCTICA N 02

DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

CONTENIDO DURACIN

- Definicin de derivada, interpretacin geomtrica, derivada de funciones especiales. - Tcnicas de derivacin: para funciones compuestas, regla de la cadena

Semana 04

- Regla para funciones logartmicas y exponenciales.. PRIMERA PRACTICA CALIFICADA

Semana 05

- Derivada de funciones implcitas

Semana 06

- Aplicaciones de la derivada: mximos, mnimos, puntos de inflexin, concavidad, convexidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

- Trazado de curvas, teorema de Lhospital.

Semana 07

EXAMEN PARCIAL Semana 08


LA INTEGRAL INDEFINIDA

CONTENIDO DURACIN

- La antiderivada de una funcin real; propiedades, Integrales inmediatas (tablas) Semana 09

- Mtodos de integracin: descomposicin, cambio de variable, sustitucin trigonomtrica Semana 10

- Integracin por partes, ejercicios y problemas de aplicacin Semana 11

- Fracciones Parciales, casos I, II, III y IV, desarrollo de ejercicios. - SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA

Semana 12


LA INTEGRAL DEFINIDA E IMPROPIA

CONTENIDO DURACIN

- Sumatorias y propiedades. La integral definida como lmite de sumas. Propiedades Semana 13

- Primer y segundo teorema fundamental del clculo integral, propiedades y desarrollo de ejercicios. Aplicaciones.

Semana 14

- Definicin de integrales impropias: cuando la funcin es discontinua y cuando los lmites de integracin son infinitos, convergencia

-Problemas aplicativos. Semana 15

- EXAMEN FINAL Semana 16

- EXAMEN SUSTITUTORIO Semana 17

V. ESTRATEGIAS DIDCTICAS

ESTRATEGIAS

* Para entender la definicin y propiedades del lmite de una funcin, se utilizaran las siguientes estrategias: *Se interpreta grficamente la definicin del lmite de una funcin real. * Se desarrollanen equipos ejercicios que involucren el clculo de lmites de diferentes tipos * Se desarrolla una serie de ejercicios (incluyendo grficas de las funciones) para diferenciar las diferentes

formas de lmites.

* Para comprender la definicin de continuidad de una funcin, se utilizaran las siguientes estrategias: * Se calculae interpreta grficamente los lmites laterales de una funcin. * Mediante ejercicios que se resuelven en equipos, se analiza la continuidad y discontinuidad de funciones,

incluyendo graficas de funciones. * Se presenta modelos matemticos para que los alumnos aprecien la aplicacin de las funciones en un

contexto real.

* Para comprender la definicin de derivada de una funcin, se utilizaran las siguientes estrategias: * Se interpretagrficamente la definicin de la derivada de una funcin real de variable real. * Se desarrollaen equipos, ejercicios de derivadas, en donde se utilicen propiedades. * Utilizando el criterio de la primera y segunda derivada, se calcula mximos y mnimos de una funcin. * En la parte aplicativa, se aborda problemas de optimizacin. * Se grafica funciones, ubicando puntos de inflexin, y valores mximos y mnimos.

*Para comprender la definicin de la antiderivada de una funcin, se utilizaran las siguientes estrategias: * Se interpreta la definicin de la antiderivada general de una funcin, se define la integral indefinida. * En equipos, se calculan ejercicios de integrales indefinidas, utilizando la definicin y/o propiedades bsicas. * Se calculan ejercicios de integrales indefinidas, utilizando tablas. * Se desarrollan los principales mtodos de integracin y se aplican en el desarrollo de las integrales

indefinidas.

*Para comprender la definicin de la integral definida de una funcin, se utilizaran las siguientes estrategias: * Se interpreta la Integral definida mediante sumas de Riemann. * Se menciona el primer y segundo teorema fundamental del clculo. * En equipos, se calcula integrales definidas utilizando el segundo teorema fundamental del clculo. * Se desarrollan ejercicios de aplicacin. * Se extiende la definicin de la integral definida a la definicin de las integrales impropias. * En forma grupal, se desarrollan Integrales Impropias y se resuelven ejercicios de aplicacin.

VI. EVALUACIN

El promedio final (PF) resulta de la siguiente frmula:

3

EP EF PPPF

Donde:

EP: Examen Parcial (Semana 08) EF: Examen Final (semana 16) PP: Promedio de las notas de las Prcticas Calificadas. PP = (1PC + 2PC)/2

1PC: Primera prctica calificada (Semana 05) 2PC: Segunda prctica calificada (Semana 12)

Obs: El alumno tiene derecho a un Examen Sustitutorio y reemplaza a la nota ms baja entre el EP y el EF.

Examen Sustitutorio (Semana 17). Las evaluaciones son individuales y vigesimal. [ 0 20 ].

REQUISITOS DE APROBACIN:

El alumno debe asistir en forma regular a clases y cumplir con todas sus evaluaciones y prcticas programadas, aprobando el curso con el promedio final mayor o igual que 10,5

VII. BIBLIOGRAFA

ESPINOZA, R. (2009). Anlisis Matemtico I

Peru: Ed. Servicios Grficos JJ

ESPINOZA, R. (2009). Anlisis Matemtico II

Peru: Ed. Servicios Grficos JJ

VENERO A. (2004). Anlisis Matemtico I

Per - Ed. Gemar.

VENERO A. (2004). Anlisis Matemtico II

Per - Ed. Gemar.

LAURENCE D. HOFFMAN (2007). Clculo para Administracin, Economa y Ciencias Sociales

Sptima Edicin. Colombia - Mc Graw Hill.

Contenido

Prlogo a Ampliacin de Anlisis Matemtico

1. Espacios eucldeos 11.1. Topologa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Lmites iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Comentarios sobre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Clculo diferencial 232.1. Derivabilidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1. Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Aplicaciones diferenciables 413.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1. Notas sobre la demostracin del teorema de las funciones inversas . . . . . 433.2.2. Cambios de variables. Aplicacin a las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 44

3.3. Funciones implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Sucesiones y series funcionales 534.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Aproximacin de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1. Comentarios sobre la generalizacin del teorema de Weierstrass . . . . . . 60Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Fundamentos de la integral 695.1. Intervalos en Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1. Conjuntos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1. La locucin casi siempre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Funciones escalonadas y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I

6. Integral de Lebesgue 796.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2. Sucesiones de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.1. Comentarios sobre la generalizacin del teorema de Levi . . . . . . . . . . . 826.3. Integracin en intervalos de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7. Medibilidad. Integracin iterada 917.1. Funciones medibles y conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2. Integracin en conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.2. Conceptos fsicos definidos por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3. Integracin iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3.1. Ejemplos notables de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8. Integracin por cambio de variables 1098.1. Nociones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1.1. Cambios de variable en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.2. Representacin y descomposicin de isomorfismos lineales . . . . . . . . . 110

8.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.1. Notas sobre la demostracin del teorema del cambio de variables . . . . . . 111

8.3. Cambios de variables usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9. Integrales paramtricas 1239.1. Continuidad y derivacin de integrales paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3. Convolucin de funciones. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.3.1. Producto de convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularizacin de funciones . . . . . . . . 130

9.4. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.1. Transformacin de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.2. Transformacin de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10. Extremos condicionados 14110.1. Variedades diferenciables en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.1.1. Variedades definidas implcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2.1. El mtodo de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11. Teora de campos 15311.1. Curvas paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.2. Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.3.1. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.3.2. Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.3.3. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.3.4. Laplaciano de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

12. Integrales de lnea 16712.1. Integracin de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.2. Integracin de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.3. Frmula de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.3.1. Notas sobre la demostracin del teorema de Riemann-Green . . . . . . . . 177Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

II

13. Integracin en superficies 18513.1. Superficies paramtricas en 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18513.2. Integracin de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18813.3. Integracin de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19213.5. Teorema de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13.5.1. Comentarios sobre formas diferenciales y el teorema general de Stokes . 198Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A. Cnicas y Cudricas 209A.1. Cnicas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.2. Cudricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Bibliografa 213

ndice de notacin 217

ndice alfabtico 219

III

Tema 1

Espacios eucldeos

Hablando en rigor, un espacio eucldeo, generalizando los conceptos de la Geometra cl-sica contemplada en los Elementos de Euclides, es un espacio vectorial real de dimensinfinita dotado de un producto interno, en el que se tienen, por tanto, aparte de las nocioneslineales generales, las relativas a ngulos (ortogonalidad, paralelismo). Ahora bien, eligiendouna base ortonormal de uno de tales espacios (el mtodo de Gram-Schmidt permite cons-truirla partiendo de una base cualquiera) esa fcil establecer un isomorfismo entre l y Rn,siendo n la dimensin del espacio. Por esta razn nos limitamos al estudio de estos espacios.

El objetivo del presente captulo es introducir aquellas propiedades topolgicas de losespacios eucldeos que sern necesarias para abordar posteriormente el Clculo Diferencialen varias variables.

El punto de partida en el desarrollo de esta materia es el concepto de norma, que generalizael de valor absoluto de los nmeros reales y permite establecer un argumento para medir laproximidad de los puntos de un espacio vectorial. De hecho, la recta real es el caso mssimple de los espacios normados que nos ocupan.

El lector observar que los resultados que se exponen aqu son generalizaciones, o con-venientes adaptaciones, de los que se presentan, con el mismo objetivo, en el estudio de lacontinuidad de funciones de una variable real.

1.1. Topologa de Rn

Definicin 1.1. Para cada nmero natural n, sea Rn el conjunto de todas las n-uplas orde-nadas de nmeros reales x = (x1, x2, . . . , xn). A xk se le denomina coordenada k-sima de x.Se definen la suma de elementos de Rn y el producto de un escalar por un elemento de Rn

como sigue:Para x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn se define su suma x+ y por

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Para x = (x1, x2, . . . , xn) Rn y R, se define su producto x porx = (x1, x2, . . . , xn).

Proposicin 1.2. El conjunto Rn con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuer-po de los nmeros reales.

Observaciones 1.3.

I) Usamos, por comodidad, la notacin de vectores fila. En lgebra Lineal, atendiendo ala representacin matricial de aplicaciones y ecuaciones lineales, es usual considerarvectores columna. Cuando se requiera denotaremos por xt al vector traspuesto de x:

xt = (x1, x2, . . . , xn)t=

x1...xn

.II) Es habitual confundir la estructura vectorial as obtenida con la estructura geomtrica

que se obtiene al considerar un espacio afn con espacio vectorial asociado Rn y, abusan-do de la notacin, referirse a puntos de Rn en lugar de vectores, y a x1, x2, . . . , xn comolas coordenadas (cartesianas, en honor a R. Descartes) del punto x = (x1, x2, . . . , xn) Rn.Este ser el criterio que seguiremos en adelante.

1

2 Tema 1. Espacios eucldeos

Definicin 1.4. Si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn se define su producto escalar ointerno, que se representa por x y o x,y , como

x y = x1 y1 + x2 y2 + . . .+ xn yn.Para cada x = (x1, x2, . . . , xn) de Rn se define su norma eucldea x por

x = x x =( ni=1

|xi|2)1/2

.

El espacio vectorial Rn dotado del producto interno arriba definido se conoce como elespacio eucldeo n-dimensional.

Proposicin 1.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si x,y Rn, entonces|x y| x y .

Adems, la igualdad se alcanza si, y slo si, x e y son linealmente dependientes.

Proposicin 1.6. La aplicacin x Rn 7 x R verifica las siguientes propiedades:I) x 0 para todo x Rn.II) x = 0 si, y slo si, x = 0.III) x = || x para todos x Rn, R.IV) x+ y x+ y para todos x,y Rn. (Desigualdad triangular)

Corolario 1.7. Si x,y Rn entoncesx y x y . (Segunda desigualdad triangular)

Corolario 1.8. La aplicacin d:Rn Rn R, definida por d(x,y) = x y , verifica lassiguientes propiedades:

I) d(x,y) 0 para todos x,y Rn.II) d(x,y) = 0 si, y slo si, x = y.

III) d(x,y) = d(y,x) para todos x,y Rn.IV) d(x, z) d(x,y) + d(y, z) para todos x,y, z Rn.

Observacin 1.9. Cualquier aplicacin definida sobre un espacio vectorial V con valoresen R que verifique las propiedades I) a IV) de la proposicin 1.6 se denomina norma sobre V .

Otras normas notables en Rn se definen para x = (x1, x2, . . . , xn) por

x1 =ni=1

|xi| o x = sup{|xi| : i = 1, 2, . . . , n}.

Cuando n = 1 las tres normas definidas coinciden con el valor absoluto.Asimismo, si X es un conjunto no vaco, cualquier aplicacin d definida en el producto

cartesiano X X con valores en R que verifique las propiedades I) a IV) del corolario 1.8 sedice que es una distancia o mtrica sobre X, y se dice que el par (X, d) es un espacio mtrico.

Definicin 1.10. Sean x Rn y r > 0. Se definen la bola abierta de centro x y radio r como elconjunto

B(x, r) = {y Rn : d(x,y) = x y < r} ;la bola cerrada de centro x y radio r como el conjunto

B(x, r) = {y Rn : d(x,y) = x y r} ;la esfera de centro x y radio r como el conjunto

S(x, r) = B(x, r) \B(x, r) = {y Rn : d(x,y) = x y = r} ,donde \ denota la diferencia conjuntista.

LATV Departamento de lgebra, Anlisis Matemtico, Geometra y Topologa

3Lema 1.11. Sean x,y Rn .I) Si dado r > 0 se tiene que y B(x, r) , existe s > 0 tal que B(y, s) B(x, r) .II) Si y 6= x existen r, s > 0 tales que B(x, r) B(y, s) = .III) Si la sucesin de nmeros reales positivos {rn}n=1 converge hacia 0 (o lo hace alguna

subsucesin suya), entoncesn=1

B(x, rn) = {x} .

Definicin 1.12. Si A es un subconjunto no vaco de Rn se denomina dimetro de A ,denotado (A) o diam(A) a

(A) = sup{d(x,y) : x,y A}

(ntese que el dimetro de A puede ser un nmero real no negativo o , dependiendo deque el conjunto {d(x,y) : x,y A} R est acotado o no).

Se dice que un subconjunto de Rn es acotado si es vaco o si tiene dimetro finito.

Proposicin 1.13.

I) Si 6= B A Rn entonces (B) (A) .II) Toda bola en Rn es acotada, de hecho,

(B(x, r)

)=

(B(x, r)

)= 2 r .

III) Un conjunto A Rn es acotado si, y slo si, est contenido en alguna bola.IV) Un conjunto A Rn es acotado si, y slo si, est contenido en una bola centrada en 0, o

lo que es lo mismo, si existe una constante M > 0 tal que

x M para todo x E.

Definicin 1.14. Sean A , B subconjuntos no vacos de Rn. Se define la distancia entre Ay B como el nmero real

d(A,B) = nf{d(x,y) : x A , y B} .

Si A = {a} es un conjunto unipuntual la distancia entre A y B se denota tambin d(a, B) yse denomina distancia de a a B .

Proposicin 1.15. Sean A,B subconjuntos de Rn.

I) Si A y B son acotados entonces A B es acotado. Ms an, si adems A y B son novacos, entonces (A B) (A) + (B) + d(A,B) .

II) Si A 6= y x,y Rn entonces d(x, A) d(y, A) d(x,y) .Definicin 1.16. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x Rn es interior a E,o que E es un entorno de x, si existe una bola abierta de centro x contenida en E.

El conjunto de todos los puntos interiores de E se denomina interior de E y se representa

por

E int(E) (es inmediato comprobar que

E E).Se dice que el conjunto E es abierto si es entorno de todos sus puntos, es decir, si todos

sus puntos son interiores, lo que equivale a que E =

E.

Propiedades 1.17. Sean A,B y {Ai}iI subconjuntos de Rn.I) Si A B entonces

A

B .

II) int(int(A)) = int(A) .

III)

A es el mayor conjunto abierto contenido en A .

IV) iI

Ai( iI

Ai).

V)( iI

Ai)

iI

Ai , adems, si I es finito se verifica la igualdad.

4 1. Espacios eucldeos

Ejemplos 1.18.

I) Toda bola abierta es un conjunto abierto.

II) Las bolas cerradas no son conjuntos abiertos.

III) Los intervalos abiertos de Rn, esto es, productos cartesianos de la forma

(a1, b1) (a2, b2) . . . (an, bn) ,son conjuntos abiertos.

Proposicin 1.19. Se verifican las siguientes propiedades:

I) El conjunto vaco y el conjunto total Rn son abiertos.

II) Si {Gi}iI es una familia de conjuntos abiertos, entonces la unin iI

Gi es un conjunto

abierto.

III) Si G1, G2, . . . , Gk son conjuntos abiertos, entonces la interseccin G1 G2 . . . Gk es unconjunto abierto.

Observaciones 1.20.

I) El lector que posea nociones de Topologa puede reconocer en la proposicin anteriorla afirmacin siguiente: si denotamos por a la familia de todos los conjuntos abiertosde Rn, el par (Rn, ) es un espacio topolgico.

II) La interseccin de una familia arbitraria de abiertos puede no ser un conjunto abierto,como queda patente con el siguiente ejemplo: si Gn = B(0, 1/n), n N, se tiene quen=1

Gn = {0}.

Definicin 1.21. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un puntoadherente a E si cada bola abierta centrada en x tiene interseccin no vaca con E.

El conjunto de todos los puntos adherentes a E se denomina adherencia o clausura de Ey se representa por E , cl(E) adh(E) (es muy sencillo comprobar que E E).

Se dice que un conjunto E de Rn es cerrado si todos sus puntos adherentes estn en E,es decir, si E = E.

Ejemplos 1.22.

I) Toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Es ms B(x, r) = B(x, r) .

II) Las bolas abiertas no son conjuntos cerrados.

III) Los intervalos cerrados de Rn, de la forma [a1, b1] [a2, b2] . . . [an, bn], son conjuntoscerrados.

Proposicin 1.23. Sea A un subconjunto de Rn. Se tiene que

Rn\

A= Rn \A y Rn \A = (Rn \A).

Corolario 1.24. Un subconjunto E de Rn es abierto (resp. cerrado) si, y slo si, su comple-mentario Rn \ E es cerrado (resp. abierto).

Observaciones 1.25.

I) En la Topologa General suele utilizarse la propiedad anterior para definir la familia decerrados, y luego caracterizar equivalentemente estos conjuntos en trminos de la ad-herencia. En este contexto (en general, en los espacios mtricos) el adjetivo adherentecobra un significado ms intuitivo gracias a la nocin de distancia: x A si, y slo si,d(x,A) = 0.

II) Pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados (basta pensar en el intervalo[0, 1) de R con la mtrica usual). Aunque la terminologa usada pretende ser lo msdescriptiva posible, no nos debemos dejar influir por el significado etimolgico de laspalabras.

1.1. Topologa de Rn 5

Propiedades 1.26. Sean A,B y {Ai}iI subconjuntos de Rn.I) Si A B entonces A B .II) A = A .

III) A es el cerrado ms pequeo que contiene a A.

IV) iI

Ai iI

Ai , adems, si I es finito se verifica la igualdad.

V) iI

Ai iI

Ai .

Proposicin 1.27. Se verifican las siguientes propiedades:

I) El conjunto vaco y el conjunto total Rn son cerrados.

II) Si {Fi}iI es una familia de conjuntos cerrados, entonces la interseccin iI

Fi es un

conjunto cerrado.

III) Si F1, F2, . . . , Fk son conjuntos cerrados, entonces la unin F1F2 . . .Fk es un conjuntocerrado.

Definicin 1.28. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto deacumulacin de E si para cada bola abierta B(x, r) centrada en x, la interseccin B(x, r) Econtiene al menos un punto de E distinto de x, es decir, si para cada r > 0 se tiene que

B(x, r) (A \ {x}) 6= .El conjunto de todos los puntos de acumulacin se denomina conjunto derivado de E y se

representa por E.

Se dice que un punto x E es un punto aislado de E si no es un punto de acumulacinde E. Se dice que un conjunto E es discreto si todos sus puntos son aislados en l.

Proposicin 1.29. Sea E un subconjunto de Rn. Entonces:

I) E = E E.II) E es cerrado si, y slo si, E E.III) Si x es un punto de acumulacin de E, entonces cualquier bola abierta B(x, r) de centro

x contiene infinitos puntos de E.

IV) Si x E es un punto aislado de E, entonces existe una bola abierta B(x, r) de centro xtal que B(x, r) E = {x}.

Definicin 1.30. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x Rn es exterior aA si es un punto interior al complementario de A , es decir, si existe una bola abierta B(x, r)de centro x tal que

B(x, r) A = .El conjunto de puntos exteriores a A se denomina exterior de A .

Se dice que x Rn es un punto frontera de A si es adherente a A y a Rn \A simultnea-mente. El conjunto de tales puntos se denomina frontera de A y se denota Fr(A) :

Fr(A) = A Rn \A .

Observaciones 1.31. Sea A un subconjunto de Rn.

I) Es obvio que Fr(A) es un conjunto cerrado, y que si A es cerrado, entonces Fr(A) A.Igualmente evidente es que Fr(A) = Fr(Rn \A).

II) El espacio Rn se expresa, respecto al conjunto A, como unin de tres conjuntos disjuntos(alguno posiblemente vaco): la frontera de A, un cerrado; y dos abiertos, a saber, elinterior y el exterior de A.

Definicin 1.32. Sean E y D E subconjuntos de Rn. Se dice que D es denso en E siE D .


1.2. Lmites

Definicin 1.33. Se dice que una sucesin {xk}k=1 de elementos de Rn es convergente siexiste un punto x Rn tal que para cada nmero real > 0 existe un nmero natural k0 (quedepende de ) de manera que

xk x < para cada nmero natural k k0.En este caso, diremos que {xk}k=1 converge hacia x o que x es el lmite de la sucesin {xk}k=1,y escribiremos

lmk

xk = x o xk k

x.

El lmite de una sucesin, si existe, es nico.

Observacin 1.34. Es sencillo comprobar a partir de la definicin que una sucesin {xk}k=1converge hacia x si, y slo si, lm

kxk x = 0.

Definicin 1.35. El conjunto {xk : k N} se denomina rango o conjunto de trminos de lasucesin {xk}k=1. El rango de una sucesin puede ser finito o infinito. Se dice que la sucesinest acotada si lo est su rango.

Proposicin 1.36. Toda sucesin convergente est acotada.

Si x = (x1, x2, . . . , xn) Rn es inmediato comprobar que se verifica|xi| x , i = 1, 2, . . . , n ,

desigualdad tambin vlida para las otras dos normas que hemos destacado: 1 y .A partir de las propiedades de sucesiones de nmeros reales se obtienen fcilmente los si-guientes resultados.

Proposicin 1.37. Sea {xk}k=1 una sucesin de elementos de Rn. Escribamosxk = (x1,k, x2,k, . . . , xn,k), k N.

La sucesin {xk}k=1 converge hacia x = (x1, x2, . . . , xn) si, y slo si, las sucesiones de nmerosreales {xj,k}k=1 convergen hacia xj, para j = 1, 2, . . . , n.

Corolario 1.38. Toda sucesin acotada de Rn tiene una subsucesin convergente.

Corolario 1.39. Sean {xk}k=1, {yk}k=1 dos sucesiones de elementos de Rn y {k}k=1 una su-cesin de nmeros reales. Supongamos que {xk}k=1 converge hacia x Rn, {yk}k=1 convergehacia y Rn y {k}k=1 converge hacia R. Entonces:I) lm

k(xk + yk) = x+ y.

II) lmk

kxk = x.

III) lmk

(xk yk) = x y.IV) lm

kxk = x.

Proposicin 1.40 (Caracterizacin secuencial de la topologa). Sean E un conjunto de Rn

y x un punto de Rn.

I) x es interior a E si, y slo si, toda sucesin {xk}k=1 de elementos de Rn que convergehacia x tiene todos sus trminos en E, a partir de uno en adelante.

II) x es un punto adherente a E si, y slo si, existe una sucesin {xk}k=1 de elementos de Eque converge hacia x.

III) x es un punto de acumulacin de E si, y slo si, existe una sucesin {xk}k=1 de elementosde E, distintos todos ellos de x, que converge hacia x.

1.2. Lmites 7

Como sucede para sucesiones de nmeros reales, el carcter convergente de una sucesinen Rn puede ser determinado sin conocer previamente el valor de su lmite.

Definicin 1.41. Se dice que una sucesin {xk}k=1 de elementos de Rn es de Cauchy si paracada nmero real > 0 existe un nmero natural k0 tal que

xk xj < ,para cada par de nmeros naturales j, k k0.

Teorema 1.42 (Completitud de Rn). Una sucesin de puntos de Rn es convergente si, y slosi, es de Cauchy.

Definicin 1.43. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de E y f unaaplicacin de E en Rm. Se dice que l Rm es el lmite de la funcin f en a si para cadanmero real > 0 existe > 0 tal que

f(x) l < para cada x E con 0 < x a < .

Observacin 1.44. En la definicin anterior intervienen dos normas, una definida en Rn yotra en Rm. La distincin entre ambas viene dada por el contexto.

Proposicin 1.45. Si la aplicacin f tiene lmite en el punto a, ste es nico.

Notacin: Si la aplicacin f tiene lmite l en el punto a se escribe

lmxa

f(x) = l o f(x) l, cuando x a o f(x) xa

l.

La nocin de lmite restringida a subconjuntos de uno dado tiene exactamente la mismaaplicacin en este caso que en el de funciones de una variable.

Definicin 1.46. Sean A un subconjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A y f unaaplicacin de A en Rm. Si B A y a es tambin punto de acumulacin de B, el lmitelmxa

f |B (x) , si existe, se denomina lmite de la aplicacin f en el punto a siguiendo (o a travsde) el subespacio B y se denota por

lmxaxB

f(x) .

Teorema 1.47. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A y f una aplica-cin de A en Rm. Son equivalentes:

a) f tiene lmite l en el punto a.

b) Para cada subconjunto B A tal que a B, f tiene lmite en a a travs de B, y ste esprecisamente l.

Proposicin 1.48 (Criterio secuencial del lmite). Sean A un conjunto de Rn, a un puntode acumulacin de A y f una aplicacin de A en Rm. Son equivalentes:

a) f tiene lmite en a.

b) Para cada sucesin {xk}k=1 de puntos de A con xk 6= a, k = 1, 2, . . ., y lmk

xk = a, la

sucesin {f(xk)}k=1 es convergente.Adems, si lm

xaf(x) = l, se tiene que lm

kf(xk) = l para toda sucesin {xk}k=1 de puntos de

A, distintos de a, y convergente hacia a.

Proposicin 1.49. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de E. Seanf1, f2, . . . , fm funciones reales definidas en E y f la aplicacin de E en Rm definida por

f(x) =(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

), x E.

Entonceslmxa

f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) Rm

si, y slo si,lmxa

fi(x) = li R, i = 1, 2, . . . ,m.


Observacin 1.50. Este ltimo resultado permite simplificar el estudio de lmites y los con-ceptos que de ste se derivan, considerando nicamente funciones reales, es decir, aplicacio-nes de la forma f :E R, donde E es un subconjunto de Rn.

Definicin 1.51. Sean A un conjunto de Rn y f una aplicacin de A en Rm. Dado B A, sedice que f es acotada en B si lo es el conjunto imagen f(B), es decir, si existe una constanteM 0 tal que

f(x) M para todo x B .Cuando f es una funcin real (es decir, cuando m = 1) y acotada, los valores reales

m = nf{f(x) : x A} y M = sup{f(x) : x A}se denominan, respectivamente, el extremo inferior absoluto y el extremo superior absoluto def en A. Si dichos valores se alcanzan, es decir, si existe x1 A (resp. x2 A) tal que

m = f(x1) f(x) para todo x A (resp. f(x) f(x2) =M para todo x A),se dice que f tiene mnimo absoluto en A igual a m, y que ste se alcanza en x1 (resp. f tienemximo absoluto en A igual a M , y ste se alcanza en x2).

Proposicin 1.52. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A y f unaaplicacin de A en Rm. Si f tiene lmite en a, existe un nmero real > 0 tal que f estacotada en A B(a, ).

Proposicin 1.53. Sean A un subconjunto de Rn y a un punto de acumulacin de A. Sif :A R y g:A Rm son aplicaciones tales que lm

xaf(x) = 0 y g est acotada en A B(a, )

para algn nmero real > 0, entonces

lmxa

f(x) g(x) = 0 .

Proposicin 1.54. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de acumulacin de E. Suponga-mos que f , g son dos aplicaciones de E en Rm y es una funcin de E en R tales que

lmxa

f(x) = , lmxa

g(x) = y lmxa

(x) = .

Entonces:

I) lmxa

(f + g)(x) = + .

II) lmxa

(f)(x) = .

III) lmxa

(f g)(x) = .

IV) lmxa

1

(x)=

1

, si 6= 0 y (x) 6= 0 para todo x.

Aparte de las propiedades aritmticas, las funciones reales verifican, respecto al orden,propiedades similares a las de las funciones de una variable. Suponemos al lector familia-rizado con stas y para no abundar en detalles enunciaremos una de ellas, dejndole queadapte el resto (como el criterio del Sndwich) al caso de funciones de varias variables.

Proposicin 1.55. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A y f unafuncin de A en R. Si existe lm

xaf(x) = 6= 0, se tiene que:

I) Si > 0, dados nmeros reales y con 0 < < < , existe un nmero real > 0 talque para cada x A B(a, ) con x 6= a, se verifica que < f(x) < .

II) Si < 0, dados nmeros reales y con < < < 0, existe un nmero real > 0 talque para cada x A B(a, ) con x 6= a, se verifica que < f(x) < .

Es decir, f toma valores con el mismo signo que el del lmite en los puntos de un entornoadecuado de a distintos de l.

1.3. Continuidad 9

1.2.1. Lmites iterados

A la hora de abordar el estudio de la existencia de lmites para funciones definidas enconjuntos de Rn, con n 2, puede parecer tentador proceder reduciendo el problema alestudio de lmites en una sola variable, concretamente: fijando n 1 coordenadas en unprimer paso, se pasa al lmite en la restante, obteniendo valores que dependen de n 1variables; se fijan ahora n 2 de ellas, y se reitera el proceso, obteniendo los denominadoslmites iterados. Lamentablemente, la existencia de dichos lmites no garantiza la existenciadel lmite; ahora bien, en caso de que existan todos los lmites, deben coincidir. Para fijarideas y atendiendo a una mayor simplicidad, enunciaremos el resultado para el caso de unafuncin real definida en un subconjunto de R2.

Teorema 1.56. Sean f una funcin real definida en un conjunto A de R2 y (, ) A. Sesupone que existe

lm(x,y)(,)

f(x, y) = ,

y que, para cada x fijo, existe lmy

f(x, y) = (x) .

Si existe el lmite iteradolmx

(x) = lmx

(lmy

f(x, y)),

su valor coincide con .En consecuencia, si existen los dos lmites iterados, pero

lmx

(lmy

f(x, y))6= lmy

(lmx

f(x, y)),

la funcin f no puede tener lmite en el punto (, ).

Observaciones 1.57.

I) La existencia del lmite de una funcin en un punto no garantiza que existan los lmitesiterados, como pone de manifiesto el ejercicio 1.19.V.

II) Puede ocurrir que alguno de los lmites iterados sea infinito, en este caso no es difcilprobar que el lmite de la funcin no existe.

1.3. Continuidad

Definicin 1.58. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicacin de E en Rm.Se dice que f es continua en a si para cada nmero real > 0 existe > 0 tal que

f(x) f(a) < para cada x E con x a < .

Si f es continua en todos los puntos de E, se dice que f es continua en E.

Proposicin 1.59. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicacin de Een Rm.

I) Si a es un punto aislado de E, entonces f es continua en a.

II) Si a es un punto de acumulacin de E, entonces f es continua en a si, y slo si, existelmxa

f(x) y es igual a f(a).

Corolario 1.60 (Criterio secuencial de la continuidad). Sean E un conjunto de Rn, a unpunto de E y f una aplicacin de E en Rm. Son equivalentes:

a) f es continua en a.

b) Para cada sucesin {xk}k=1 de puntos de E que converge hacia a, la sucesin {f(xk)}k=1converge hacia f(a) .


Teorema 1.61. Sean E un subconjunto de Rn y a un punto de E. Sean f1, f2, . . . , fm, funcio-nes reales definidas en E y f la aplicacin de E en Rm dada por

f(x) =(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

), x E.

Entonces f es continua en a si, y slo si, cada una de las funciones f1, f2, . . . , fm, es continuaen a.

Proposicin 1.62. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de E. Sean f , g aplicaciones deE en Rm y una funcin de E en R. Supongamos que f , g y son continuas en a. Entonceslas funciones

f + g; f ; f g; 1, si (x) 6= 0 para todo x E;

son continuas en a.

Teorema 1.63. Sean E y F subconjuntos de Rn y Rm, respectivamente. Sean f :E Fcontinua en a E y g:F Rp continua en f(a) F , respectivamente. Entonces la funcincompuesta g f es continua en a E.

Definicin 1.64 (Topologa de subespacio). Sea E un conjunto de Rn. Se dice que un sub-conjunto A de E es abierto (resp. cerrado) en E si existe un conjunto U abierto (resp. cerrado)en Rn tal que

A = E U.

Observacin 1.65. Cuando E es abierto los abiertos en E son abiertos de Rn, y cuando E escerrado los cerrados en E son cerrados en Rn.

Proposicin 1.66 (Caracterizacin topolgica de la continuidad). Sean E un conjunto deRn y f una aplicacin de E en Rm. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

a) La aplicacin f es continua en E.

b) Para cualquier abierto A de Rm, el conjunto f1(A) es abierto en E.

c) Para cualquier cerrado C de Rm, el conjunto f1(C) es cerrado en E.

Ejemplos 1.67.

I) La norma eucldea es una funcin continua en Rn.

II) La proyeccin i-sima i:Rn R, definida pori(x1, x2, . . . , xn) = xi,

es una funcin continua en Rn.

III) En general, cualquier aplicacin lineal L:Rn Rm es continua (sobre este punto sevolver ms adelante).

IV) El conjunto {(x, y) R2 : x sen(y) > 0} es abierto en R2, pues es la imagen inversa delintervalo (0,), abierto de R, por la funcin f :R2 R dada por f(x, y) = x sen(y), que escontinua.

V) El conjunto {(x, y, z) R3 : x2 + y2 z2 = 0} es cerrado en R3.

Definicin 1.68. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicacin de E en Rm. Se dice que f esuniformemente continua en E si para cada nmero real > 0 existe > 0 tal que

f(x) f(y) < para todos x, y E con x y < .

Observacin 1.69. Es claro que cualquier aplicacin uniformemente continua en un con-junto E es continua en E, pero no recprocamente.

Proposicin 1.70. Sean E un subconjunto de Rn y f :E Rm uniformemente continua.Entonces, para cada sucesin {xk}k=1 de Cauchy en E , la sucesin {f(xk)}k=1 es de Cauchyen Rm.

1.3. Continuidad 11

1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales

En el Clculo Diferencial juegan un papel fundamental el tipo de aplicaciones de cuyacontinuidad nos ocupamos ahora; las primeras, en la propia definicin de diferenciabilidad,y las segundas, a la hora de estudiar los problemas de extremos relativos.

Definicin 1.71. Se dice que una aplicacin L:Rn Rm es lineal siL(x+ y) = L(x) + L(y) para todos x,y Rn y , R .

Observaciones 1.72.

I) Las proyecciones j, j = 1, 2, . . . , n, son aplicaciones lineales en Rn.

II) Fijadas las bases estndar en Rn y Rm, respectivamente, toda aplicacin lineal L:Rn Rmse representa respecto a dichas bases, de forma nica, mediante una matriz A Mm,n(R),donde Mm,n(R) representa el espacio de las matrices de nmeros reales formadas por mfilas y n columnas. Concretamente,

L(x) = Axt =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...am1 am2 amn

x1x2...xn

.

Teorema 1.73. Sea L:Rn Rm una aplicacin lineal. Existe una constante M 0 tal queL(x) M x para todo x Rn .

En particular, L es uniformemente continua en todo Rn.

Definicin 1.74. Se dice que una aplicacin B:Rn Rn Rm es bilineal si es lineal en cadacomponente, es decir, si

B(x1 + x2,y) = B(x1,y) + B(x2,y) para todos x1,x2,y Rn y , R ,B(x, y1 + y2) = B(x,y1) + B(x,y2) para todos x,y1,y2 Rn y , R .

Una aplicacin bilineal B se dice simtrica si

B(x,y) = B(y,x) para todos x,y Rn .

Observaciones 1.75.

I) El producto interno en Rn, B(x,y) = x,y, es una aplicacin bilineal simtrica.II) Fijada la base estndar de Rn, toda aplicacin bilineal B:Rn Rn R se representa de

forma nica mediante una matriz A Mn,n(R), concretamenteB(x,y) = xAyt .

Teorema 1.76. Sea B:Rn Rn Rm una aplicacin bilineal. Existe una constante M 0tal que

B(x,y) M x y para todos x,y Rn .En particular, B es continua en todo Rn Rn.

Observacin 1.77. Una forma cuadrtica en Rn, que es una funcin definida por un polino-mio homogneo de grado 2, es decir, de la forma

Q(x1, x2, . . . , xn) =

1ijn

cij xi xj , cij R ,

se puede interpretar como la actuacin de una aplicacin bilineal simtrica B sobre el punto(x,x) RnRn: Q(x) = B(x,x) = xAxt. Los coeficientes de la matriz A = (aij)1i,jn vienendados por aii = cii y aij = aji = cij/2 si i < j .


1.4. Compacidad

Definicin 1.78. Una familia {Ai}iI de subconjuntos de Rn se denomina recubrimiento deun conjunto E de Rn si

E iI

Ai .

Si todos los conjuntos Ai , i I , son abiertos se dice que {Ai}iI es un recubrimiento abiertode E .

Se dice que un conjunto K de Rn es compacto si todo recubrimiento abierto de K admiteun subrecubrimiento finito, es decir, si para cada recubrimiento abierto {Gi}iI de K existeuna subfamilia finita {Gi1 , Gi2 , . . . , Gim} tal que

K Gi1 Gi2 . . . Gim .

Ejemplos 1.79.

I) Los conjuntos finitos son conjuntos compactos.

II) Si {xk}k=1 converge hacia x , el conjunto {xk : k N} {x} es compacto.

Proposicin 1.80. Sean F,K dos conjuntos de Rn. Supongamos que F es cerrado, K escompacto y F K. Entonces F es compacto. En otras palabras, los subconjuntos cerradosde conjuntos compactos son compactos.

Proposicin 1.81. Todo intervalo cerrado y acotado de Rn es compacto.

Teorema 1.82. Sea K un subconjunto de Rn. Son equivalentes las siguientes propiedades:

a) K es cerrado y acotado.

b) K es compacto.

c) Todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulacin en K .

d) Cada sucesin {xk}k=1 de elementos de K admite una subsucesin {xkj}j=1 que con-verge hacia un punto de K .

Observacin 1.83. La equivalencia de los asertos a) y b) en el teorema anterior se conocecon el nombre de teorema de Heine-Borel. La implicacin a)c) se conoce como teorema deBolzano-Weierstrass.

Teorema 1.84 (de Weierstrass, versin general). Sean E un conjunto de Rn y f una apli-cacin continua de E en Rm. Si K es un subconjunto compacto de E, entonces f(K) escompacto.

Teorema 1.85 (de Weierstrass para funciones escalares). Sea f una funcin real definiday continua en un conjunto compacto K de Rn. Entonces f es acotada y alcanza sus extremosabsolutos, es decir, existen dos puntos x e y de K tales que

f(x) f(z) f(y) para todo z K.

Proposicin 1.86. Sea K un conjunto compacto de Rn. Supongamos que f es una aplicacininyectiva y continua de K en Rm. Entonces la aplicacin inversa f1 definida en f(K) escontinua.

Observacin 1.87. Dados A Rn y B Rm, si f :A B es biyectiva y continua, y tambinf1:B A es continua, se dice que f es un homeomorfismo. Esta es una nocin topolgica,es decir, se puede establecer nicamente en trminos de conjuntos abiertos: una biyeccinf :A B es un homeomorfismo si, y slo si, para cada abierto V de A la imagen f(V ) esabierta en B.

1.4. Compacidad 13

Teorema 1.88 (de Heine-Cantor). Sean K un conjunto compacto de Rn y f una aplicacincontinua de K en Rm. Entonces f es uniformemente continua en K.

Proposicin 1.89 (Propiedades de separacin). Sea A,B subconjuntos no vacos de Rn.

I) x A si, y slo si, d(x, A) = 0 .II) La funcin g(x) = d(x, A) es uniformemente continua en Rn.

III) Si A,B son ambos cerrados y disjuntos entre s, entonces la funcin f :Rn R dada porf(x) =

d(x, A)

d(x, A) + d(x, B)es continua en Rn, f(x) = 0 si x A , y f(x) = 1 si x B.

IV) Si A,B son cerrados y disjuntos entre s, entonces existen dos abiertos disjuntos U, Vde Rn tales que A U y B V .

V) Ms general, si AB = AB = , existen entonces dos abiertos U y V tales que A U ,B V y U V = .

VI) Si A,B son disjuntos, A cerrado y B compacto, entonces d(A,B) > 0. De hecho, existeun punto b B tal que d(B,A) = d(b, A) .

Observaciones 1.90.

I) La propiedad enunciada en 1.89.III, de separacin de cerrados por funciones continuas,se conoce como Lema de Urysohn en el contexto de la Topologa General.

II) En Topologa se denomina espacio normal al que verifica la propiedad de separacin decerrados 1.89.IV. En consecuencia, los espacios eucldeos (y, en general, los espaciosmtricos) son normales.

1.4.1. Comentarios sobre espacios normados

Los siguientes resultados se presentan como una llamada de atencin, para prevenir allector de la tentacin de generalizar a espacios mtricos cualesquiera las propiedades to-polgicas de Rn. Esta materia es propia de un curso de Anlisis Funcional, por lo que noslimitamos a sealar unos pocos puntos significativos. Como se puede ver, las diferencias sonmotivadas por la dimensin algebraica (infinita) del espacio vectorial.

Definicin 1.91. Se dice que dos normas 1, 2 definidas sobre el mismo espacio vectorial Vson equivalentes si existen constantes N,M > 0 tales que

N1(x) 2(x) M1(x) para todo x V.

Teorema 1.92. En Rn (en general, en cualquier espacio vectorial de dimensin finita) todaslas normas son equivalentes.

Teorema 1.93 (de Riesz). Un espacio vectorial normado es de dimensin finita si, y slo si,todo bola cerrada es compacta.

Observaciones 1.94.

I) El teorema 1.92 implica en particular que las topologas asociadas a las distintas nor-mas coinciden, y permite utilizar a todos los efectos, en el estudio de las propiedadestopolgicas (abiertos, cerrados, etc.) y mtricas (acotacin, sucesiones de Cauchy, etc.),cualquier norma; es decir, en todos los resultados enunciados anteriormente la normaeucldea puede ser sustituida por otra cualquiera (ver ejercicio 1.9).

II) De hecho esta propiedad caracteriza los espacios de dimensin finita; es decir, en un es-pacio normado de dimensin infinita es posible definir una nueva norma no equivalentea la original.

III) Es inmediato que si toda bola cerrada es compacta tambin lo es todo cerrado y acotado.El teorema de Riesz establece que en un espacio normado de dimensin infinita existenconjuntos cerrados y acotados, pero no compactos.

IV) El teorema 1.73 no es vlido en espacios normados X de dimensin infinita; esto es,existen aplicaciones lineales :X R no continuas.


1.5. Conexin

El concepto que tratamos ahora generaliza la nocin de intervalo en el sentido de conjuntosin componentes aisladas. Para ilustrar su importancia haremos notar que el hecho de queuna funcin real de variable real tenga derivada nula en todo punto de un abierto no implicaque la funcin sea constante, a menos que su dominio de definicin sea un intervalo.

En el caso de la recta este concepto tiene una fcil interpretacin geomtrica a partir de larelacin de orden all definida, pero si n > 1, la imposibilidad de definir una relacin de ordenen Rn que goce de las mismas propiedades hace necesario un tratamiento ms minucioso.En todo caso, en las aplicaciones usuales, es suficiente considerar conjuntos convexos oestrellados, que definimos ms adelante.

Definicin 1.95. Se dice que un conjunto A de Rn es no conexo si existen dos conjuntosabiertos U y V que verifican las siguientes propiedades:

I) A U V .II) A U 6= , A V 6= .III) A U V = .En caso contrario, se dice que A es conexo.

Proposicin 1.96. Un conjunto A de Rn es no conexo si, y slo si, existen dos conjuntoscerrados E y F que verifican las siguientes propiedades:

I) A E F .II) A E 6= , A F 6= .III) A E F = .

Ejemplo 1.97. Los intervalos (incluyendo en este concepto al conjunto vaco y a los conjuntosunipuntuales) son los nicos conjuntos conexos de R. En este sentido, es til convenir queun intervalo de la recta es un conjunto I R que verifica la siguiente propiedad:

Si x, y I y x z y , entonces tambin z I,o dicho de forma ms coloquial, si I contiene a dos puntos, tambin contiene a todos lospuntos intermedios a ellos.

Proposicin 1.98. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicacin continua de E en Rm. Si Aes un subconjunto conexo de E, entonces f(A) es conexo.

Observacin 1.99. Cuando el resultado anterior se aplica a funciones reales de variable reallo que se obtiene no es otra cosa que la propiedad de Darboux.

Proposicin 1.100. Sea {Ai}iI una familia de conjuntos conexos de Rn tales que AiAj 6= para cada par de ndices i, j I . Entonces la unin

iIAi es un conjunto conexo.

Corolario 1.101. Sea {Ai}iI una familia de conjuntos conexos de Rn tal que la intersecciniI

Ai es no vaca. Entonces la unin iI

Ai es un conjunto conexo.

Corolario 1.102. Sean A Rn y a A . Si para cada x A existe un conexo Cx tal que{a,x} Cx A , entonces A es conexo.

Corolario 1.103. Sea {Ak}k=1 una sucesin de conjuntos conexos de Rn tales queAk Ak+1 6= para todo k N .

Entonces la unink=1

Ak es un conjunto conexo.

Proposicin 1.104. Sea A un conjunto conexo de Rn. Si B es un conjunto de Rn tal que

A B A,entonces B es conexo. Por tanto, A es conexo si lo es A.

1.5. Conexin 15

Definicin 1.105. Sean E un conjunto de Rn y x un punto de E. Llamaremos componenteconexa de E que contiene a x a la unin de todos los subconjuntos conexos de E que contienena x. En otras palabras, la componente conexa de E que contiene a x es el mayor conjuntoconexo contenido en E y que contiene a x.

Si A es una componente conexa de E que contiene a algn punto de E, diremos que A esuna componente conexa de E.

Proposicin 1.106. Todo conjunto E Rn es unin disjunta de sus componentes conexas.

Proposicin 1.107. Si A es un subconjunto abierto de Rn las componentes conexas de Ason conjuntos abiertos.

Observacin 1.108. Los dos resultados anteriores tienen una lectura muy sencilla en R:cada abierto de la recta real es unin disjunta de intervalos abiertos.

Definicin 1.109. Se dice que un subconjunto A de Rn es arco-conexo o conexo por caminossi para cada par de puntos x, y de A, existe una aplicacin continua de un intervalo compactode R en A, : [a, b] A, tal que

(a) = x y (b) = y.

En las condiciones anteriores, la aplicacin recibe el nombre de arco o camino, lospuntos (a) y (b) se denominan extremos del arco, y se dice que une los puntos x e y.

Ejemplos 1.110.

I) Se dice que un conjunto A Rn es estrellado respecto de un punto a A si para cadax de A el segmento de extremos a y x est totalmente contenido en A , es decir, si setiene que

ta+ (1 t)x A para todo t [0, 1] .Los conjuntos estrellados son arco-conexos.

II) Se dice que un conjunto A Rn es convexo si para cada par de puntos x,y de A elsegmento de extremos x e y est totalmente contenido en A , es decir, si se tiene que

tx+ (1 t)y A para todo t [0, 1] .Los conjuntos convexos son estrellados respecto de cada uno de sus puntos y, por tanto,arco-conexos. En particular, los siguientes conjuntos son arco-conexos: Rn, los subespa-cios afines de Rn (como rectas y planos), las bolas abiertas y las bolas cerradas (relativasa cualquier norma).

Proposicin 1.111. Todo subconjunto arco-conexo de Rn es conexo.

Observacin 1.112. El recproco de la proposicin anterior no es cierto. Por ejemplo, el grafode la funcin f :R R dada por

f(x) =

{sen

(1/x), x > 0,

0 , x 0,es un conjunto conexo de R2 que no es arco-conexo.

No obstante, cuando se consideran conjuntos abiertos, se verifica la equivalencia de am-bos conceptos, lo que proporciona una herramienta deductiva muy til:

Proposicin 1.113. Si A es un conjunto abierto y conexo de Rn, entonces A es arco-conexo.


Ejercicios

1.1 Determinar los subconjuntos de R2 tales que las relaciones:

I) z = log( yx2 + y2 1

)II) z = log(1 x y)III) z =

x cos(y)

IV) z =sen

(x2 + y2

)V) z = log

(x+ y2

)VI) z =

1 (x2 + y2)

definen funciones (x, y) 7 z de dichos conjuntos en R (es decir, determinar los dominios msgenerales de las funciones definidas por estas expresiones).

1.2 Demostrar que el conjunto A = {(x, y, z) R3 : y2 z2 9, x2 + y2 25} es acotado. Loes el conjunto B = {(x, y, z) R3 : y2 z2 9}?1.3 Probar que:

I) El conjunto A = {(x, y) R2 : x y > 1} es un abierto de R2.II) El conjunto B = {(x, y) R2 : x y 1} es un cerrado de R2.III) El conjunto C = {(x, y, z) R3 : 0 z x2 + y2 4} es un cerrado y acotado de R3.

1.4 Sea M un subespacio lineal de Rn. Probar que:

I) Si M 6= {0}, entonces M es un conjunto no acotado.II) Si M tiene interior no vaco, entonces M = Rn.

1.5 Determinar el interior, la adherencia, el derivado y la frontera de los siguientes subcon-juntos de R3:

I) A = {(x, y, z) R3 : x+ y + z = 0}.II) B = {(x, y, z) R3 : z > 0 , x2 + y2 < 1 , x2 + y2 + z2 5}.

1.6 Sea A un subconjunto numerable de Rn.

I) Probar que el interior de A es vaco.

II) Es cierto que la adherencia de A es numerable?

1.7 Sean n un nmero natural y un nmero real estrictamente positivo. Para cada k Nse considera el conjunto

Ak ={(x1, x2, . . . , xn) Rn :

nj=1

(xj 1

k

)2

2

k2

}.

I) Probar que, sin , entonces para cada k = 1, 2, . . . se tiene que Ak A1.

II) Determinar los valores de para los cuales el conjuntok=1

Ak no es un cerrado de Rn.

1.8 Sean A Rn, B Rm . Probar que la frontera de AB en Rn Rm esFr(AB) =

(Fr(A)B

)(A Fr(B)

).

1.9 Determinar las mnimas constantes A, B, C y D para las que se verifican las siguientesdesigualdades para todo x Rn:

x A x1 , x1 B x , x C x , x D x .

Ejercicios 17

1.10 Sea BQ la familia de todas las bolas abiertas de Rn centradas en puntos de coordenadasracionales y de radio racional.

I) Probar que para todo abierto A de Rn, existe una subfamilia {Bi : i IA} de elementos deBQ tal que A =

iIABi.

II) Deducir que todo conjunto E Rn posee un subconjunto D numerable y denso en E.III) Deducir que todo subconjunto discreto de Rn es numerable.

IV) Sea {U : L} una familia de abiertos no vacos de Rn tales que UU = si 6= .Probar que L es numerable.

1.11 Sea F un subconjunto cerrado de Rn. Demostrar que existe un conjunto K tal queFr(K) = F .

Sugerencia: Considerar un subconjunto numerable y denso en F .

1.12 Sean E Rn y f :E R . Demostrar que el conjunto de puntos donde f alcanza unmximo relativo estricto es numerable.

Nota: Se dice que f tiene en x0 E un mximo relativo estricto si existe un entorno V de x0 talque f(x) < f(x0) para cada x V E con x 6= x0 .

1.13 Sea A un subconjunto no numerable de Rn. Mediante un razonamiento secuencial,probar que A tiene al menos un punto de acumulacin.

Sugerencia: Para algn n N ha de ser infinita la interseccin A B(0, n).

1.14 Sea f una funcin real definida en una bola B(x0, r) R2. Probar que f tiene lmite en el punto x0 = (x0, y0) si, y slo si, existe un nmero real R, 0 < R < r, tal que para todo (0, R) se tiene que

g() = sup{f(x0 + cos(), y0 + sen()) : [0, 2]} 0, en el punto (0, 0).

V) f(x, y) =1 cos (x2 + y2)

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

VI) f(x, y) =e|x+y| 1|x+ y| , x+ y 6= 0, en el punto (0, 0).

VII) f(x, y) =(x2 + y2

)x2y2, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

VIII) f(x, y) =x y

|x|+ |y| , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

IX) f(x, y) =( x2yx2 + y2

, cos(x+ y)), (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

X) f(x, y) =

(y 1

1 + (x 1)2 + (y 1)2 ,(x 1)(y 1)

(x 1)2 + (y 1)2), (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1).

XI) f(x, y) =

(exy 1

x, log

(1 + xyx

)), x, y > 0, en el punto (0, 0).


1.16 Estudiar la existencia del lmite en 0 Rn de las siguientes funciones:I) f(x) =

sen(x)2x2 , x 6= 0.

II) f(x) =log(1 x)

x2 , 0 < x < 1.

III) f(x) =log(1 + x1x2 xn)

x1x2 xn , xi > 0, i = 1, 2, . . . , n.

1.17 Para cada uno de los siguientes subconjuntos S R2:a) S =

{(x, y) : y = ax

}, b) S =

{(x, y) : y = ax2

}, c) S = {(x, y) : y2 = ax}, d) S = R2,

hllense los siguientes lmites a travs del subespacio S:

lm(x,y)(0,0)(x,y)S

xy

x2 + y2, lm

(x,y)(0,0)(x,y)S

x2 y2x2 + y2

.

1.18 Si una funcin de Rn en R tiene el mismo lmite en un punto a lo largo de cada rectaque pasa por l, tiene la funcin lmite en dicho punto?

1.19 Para las siguientes funciones f :R2 \ {(0, 0)} R:I) f(x, y) =

x2 + y2

x2 + y2 + (x y)2

II) f(x, y) =x2y2

x2 + y2 + (x y)2

III) f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x y)2

IV) f(x, y) =

sen(xy)

xsi x 6= 0,

y si x = 0

V) f(x, y) =

{(x+ y) sen(1/x) sen(1/y) si x 6= 0 e y 6= 0,

0 si x = 0 o y = 0

VI) f(x, y) =

sen(x) sen(y)tg(x) tg(y) si tg(x) 6= tg(y),

0 si tg(x) = tg(y)

VII) f(x, y) =x2 + y2

x2 + y4,

VIII) f(x, y) =

sen(x) sen(y)tg(x) tg(y) si tg(x) 6= tg(y),

0 si tg(x) = tg(y)determinar si existen los siguientes lmites, y calcular su valor cuando proceda:

lmx0

(lmy0

f(x, y)), lm

y0

(lmx0

f(x, y)), lm

(x,y)(0,0)f(x, y).

1.20 Estudiar la continuidad en (0, 0) de la funcin f :R2 R definida por

f(x, y) =

x4 + y4

xsi x 6= 0,

0 si x = 0.

1.21 Determinar para qu valores de p es continua en (0, 0) la funcin f :R2 R definida por

f(x, y) =

x2y2

(x2 + y2)psi (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Ejercicios 19

1.22 Estudiar la continuidad en R3 de la funcin definida por

f(x, y, z) =

x2 y2 z

x6 + y6 + z4si (x, y, z) 6= (0, 0, 0);

0 si (x, y, z) = (0, 0, 0).

1.23 Una funcin f :Rn R se dice que es separadamente continua si para cada i = 1, 2, . . . , n,al fijar (a1, a2, . . . , an1) Rn1, la funcin

t 7 f(a1, . . . , ai1,i)

t , ai, . . . , an1)

es continua en R.Prubese que la funcin f :R2 R, dada por

f(x, y) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),

es separadamente continua pero no es continua.

1.24 Estudiar la continuidad en Rn de las siguientes funciones:

I) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

x1n+1 x2 . . . xn

x2n si x 6= 0;

0 si x = 0.

II) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

x1 x2 xnxn1 si x 6= 0;

0 si x = 0.

III) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

(x1 + x2 + + xn)n

xn1 si x 6= 0;

0 si x = 0.

1.25 Sean b R y f :R2 R la funcin dada por

f(x, y) =

x3 y2x2 y si x

2 6= y;

b si x2 = y.

I) En qu puntos es discontinua f?

II) Determinar el valor que debe atribuirse a b para que la restriccin de f a la recta deecuacin x+ y = 2 tenga el menor nmero de discontinuidades.

III) Si g denota la restriccin de f al segmento que une los puntos (0, 2) y (2, 0), para el valorde b hallado en ii), es g una funcin acotada?

1.26 Demostrar que, si f = (f1, f2, . . . , fm) es una aplicacin continua de un conjunto A Rnen Rm, entonces la funcin g:A R definida por

g(x) = mn{f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

}es continua en A.

1.27 Sean E un subconjunto de Rn, x0 Rn y B1, B2, . . . , Bm subespacios de E tales quemi=1

Bi = E y el punto x0 es de acumulacin de todos los Bi, 1 i m. Sea tambin f :E R.Se supone que existe y0 R tal que

lmxx0xBi

f(x) = y0 para cada i = 1, 2, . . . ,m .

Demostrar que lmxx0

f(x) = y0.

Comprobar con un contraejemplo que la conclusin del apartado anterior es falsa si seaplica a una familia infinita de subespacios {Bi : i I} que recubra E.


1.28 Sea K un compacto de Rn contenido en la bola abierta B(0, 1). Probar que existe unnmero real r, con 0 < r < 1, tal que K B(0, r).

1.29 Sea K un compacto de Rn. Se supone que existe un nmero real r > 0 tal que paracada par de elementos distintos, x e y, de K se tiene que

x y r.Demostrar que K es un conjunto finito.

1.30 Demostrar que, si B es un subconjunto no compacto de Rn, existe una funcin continuay no acotada f :B R.

1.31 Sean A compacto de Rn, r > 0 y

B = xA

B(x, r).

Demostrar que B es compacto.

1.32 Sea A un subconjunto abierto de Rn, A 6= Rn. Fijada cualquier norma en Rn, y lamtrica d asociada, se considera, para cada m N, el conjunto

Km ={x A : x m, d(x,Rn \A) 1/m

}.

Probar que {Km}m=1 es una sucesin expansiva de compactos para A, es decir, que verificalas siguientes propiedades:

I) Km es compacto.

II) Km

Km+1 para todo m N.III)

m=1

Km = A.

1.33 Es la interseccin de dos conexos de Rn un conjunto conexo?

1.34 Sean A un subconjunto no vaco de Rn con A 6= Rn, a un elemento de A y b un elementode Rn \ A. Si es una aplicacin continua de [0, 1] en Rn con (0) = a y (1) = b, probar queexiste un elemento t [0, 1] tal que

(t) Fr(A).

1.35 Sea f :R2 R una funcin continua tal que f(1, 0) > 0 y f(1, 0) < 0. Demostrar queexisten infinitos puntos de R2 donde la funcin se anula.

1.36 Sea f una funcin continua de [0, 1] en Rn tal que f(0) = 1 y f(1) = 3. Probar queexiste un punto (0, 1) tal que f() = 2.1.37 Sea : [0, 1] R2, = (1, 2), continua y tal que

(0) B((5, 0), 1) y (1) B((5, 0), 1).Probar que existe un punto t0 [0, 1] tal que 1(t0) = 2(t0).1.38 Demostrar que el conjunto de componentes conexas de un abierto de Rn es numerable.

1.39 Sea n 2.I) Probar que un hiperplano de Rn es cerrado y conexo, pero no compacto.

II) Demostrar que los subespacios vectoriales de Rn son cerrados y conexos.

Sugerencia: Escribir el subespacio como interseccin finita de hiperplanos.

1.40 Sea f : Rn Rm una aplicacin continua. Demostrar que su grafoG(f) =

{(x,f(x)

) Rn+m : x Rn}es un subconjunto cerrado y conexo de Rn+m.

Ejercicios 21

1.41 Sea L una aplicacin lineal de Rn en R no idnticamente nula.

I) Probar que no es conexo el conjunto Rn \Ker(L).II) Cuntas componentes conexas tiene este conjunto?

1.42 Sean A un conjunto conexo de Rn y a, b dos elementos distintos de A. Si r = a b,demostrar que para cada nmero real , con 0 < < r, el conjunto

A {x Rn : x a = }es no vaco. Deducir que los subconjuntos conexos de Rn que constan de ms de un puntoson no numerables.

1.43 Sea{rx}xR

una familia de nmeros reales estrictamente positivos. Demostrar que elconjunto

A = xR

B((x, 0), rx

)es conexo en R2. Es compacto?

Estdiese la misma cuestin para el conjunto

B = nZ

B((n, 0), rn

).

1.44 Sea f un homeomorfismo de [0, 1] en s mismo. Probar que f , o bien deja fijos losextremos, o bien los intercambia.

1.45 Sean A ( Rn, B ( Rm . Probar que el complementario de AB en Rn Rm es conexo.

1.46 Sea A un subconjunto denso de la recta real. Probar que el conjunto

B = {(x, y) R2 : x A y A}es un subconjunto denso y conexo de R2.

1.47 Demostrar que no son homeomorfos entre s dos cualesquiera de los siguientes con-juntos (en todos que se considera la topologa usual):

1) R 2) [0, 1] 3) {(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}4) R2 5) [0, 1] [0, 1] .

Sugerencia: Comparar las propiedades de compacidad y conexin de estos conjuntos o de alguno desus subconjuntos.

1.48 Sean A Rn, B Rm conjuntos no vacos. Probar que es condicin necesaria y sufi-ciente para que AB sea, respectivamente:I) abierto,

II) cerrado,

III) acotado,

IV) compacto,

V) conexo,

en Rn Rm Rm+n, que as lo sean cada uno de los factores A y B.

1.49 Sean A Rn, B Rm conjuntos no vacos, f :A R, g:B R . El producto tensorialde las funciones f y g es la funcin, denotada por f g, y definida en AB por

f g (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = f(x1, x2, . . . , xn) g(y1, y2, . . . , ym) ,Si f es continua en a A y g es continua en b B, probar que f g es continua en el puntoc =

(a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm) AB.


Nota: Anlogamente se define el producto tensorial de una cantidad finita funciones. As, porejemplo, si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene definida fi:Ai R, donde Ai es un subconjuntode R, el producto tensorial de las funciones fi es la funcin g = f1 f2 fn, definida enA1 A2 An por g(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) f2(x2) fn(xn), i.e.,

(f1 f2 fn)(x) =ni=1

(fi i)(x)

(en esta situacin tambin se dice que la funcin g es de variables separadas). Aplicando re-currentemente el resultado anterior se deduce que si fi es continua en ci Ai, i = 1, 2, . . . , n,entonces g es continua en el punto c = (c1, c2, . . . , cn) A.

1.50 Sean A Rn, B Rm conjuntos no vacos, f :A R, g:B R .I) Si f y g son uniformemente continuas en sus respectivos dominios se puede asegurarque f g es uniformemente continua en AB?

II) Pongamos que f y g alcanzan un extremo local en x0 A, y0 B, respectivamente. sepuede asegurar que f g alcanza un extremo local en (x0,y0)?

III) Supongamos que A y B son compactos y f y g continuas. existe alguna relacin entrelos extremos absolutos de f g y los de f y g?

Tema 2

Clculo diferencial

La idea fundamental de todo el Clculo Diferencial es sencilla: tratar de obtener propieda-des sobre objetos (en la prctica, funciones) que, sin ser lineales, admiten una cierta apro-ximacin lineal. Esta idea queda diluida en el caso de funciones de una variable real por elhecho de que la existencia de tal aproximacin equivale a que los cocientes incrementales dela funcin tengan lmite, esto es, que se pueda hablar de velocidad, tasa de crecimiento,etc., segn el contexto o la disciplina cientfica en que se use.

La presentacin actual de esta materia difiere bastante de su desarrollo histrico, paraleloal de la Fsica Matemtica, y cuyo germen se puede situar en el uso de derivadas parcialespor Euler, DAlembert, etc. en el siglo XVIII, en el que la continuidad era concebida comouna propiedad mucho ms fuerte que como se entiende hoy en da, implicando entonces laderivabilidad. Este fundamento casi filosfico, y que prevaleci durante largo tiempo, estrecogido en la frase de Leibniz Natura non facit saltus (la Naturaleza no da saltos).

A pesar de que el tratamiento es el mismo para cualquier dimensin n del espacio eucldeo,para la correcta asimilacin y mejor aprovechamiento de la materia que se contempla en estetema, ser necesario haber adquirido un slido conocimiento de los conceptos bsicos sobrefunciones de una variable real y cierta destreza en su clculo. Por supuesto, todo lo quese afirme en general (para dimensin arbitraria n) tiene su correspondiente versin en unavariable, con la que ya debe estar familiarizado el lector. Pero no recprocamente; por ejemplo,cuando n > 1 hemos de distinguir entre las nociones de derivabilidad y diferenciabilidad,coincidentes en el caso n = 1.

2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad

Cuando se consideran aplicaciones definidas en abiertos de Rn, n > 1, carece de sentidoconsiderar cocientes incrementales de tales aplicaciones y, por tanto, es imposible generalizarel concepto de derivabilidad en esos trminos. Lo que s es posible es generalizar el conceptode derivada a subespacios de dimensin uno. Aparece as el concepto de derivada direccionaly, como caso particular, el de derivada parcial.

Definicin 2.1. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicacin de A en Rm.Dado un elemento v de Rn \ {0}, se dice que f admite derivada direccional en el punto x0segn la direccin de v si existe y es finito el lmite

lmh0

1

h

(f(x0 + hv) f(x0)

);

dicha derivada direccional, que es el lmite anterior, se denota por

dvf(x0) o Dvf(x0).

Cuando se considera el vector ei = (0, . . . ,i)

1, . . . , 0) de la base estndar de Rn, la corres-pondiente derivada direccional recibe el nombre de derivada parcial de f respecto de xi oderivada parcial i-sima de f en el punto x0, y se denota por

Dif(x0) of

xi(x0).

Si la aplicacin f admite derivadas parciales respecto de todas las variables en el puntox0 se dice que es derivable en dicho punto.

Cuando f es derivable en todos los puntos de A se dice que es derivable en A.

23

24 Tema 2. Clculo diferencial

Observaciones 2.2.

I) A la hora de definir las derivadas direccionales algunos autores consideran exclusiva-mente vectores unitarios (de norma eucldea 1). Esto no aporta ventajas ni desventajas ala definicin y optar por una u otra forma es cuestin de gusto personal.

II) La segunda notacin para las derivadas parciales f/xi , introducida por Leibniz, es sinduda la de uso ms extendido. Al igual que sucede para las funciones de una variable,tal expresin no denota el cociente de dos nmeros; es simplemente, como se ha dicho,una notacin.

A pesar de su uso corriente en todas las ramas de la Ciencia y su utilidad a la hora deestablecer modelos matemticos (como en f/t para significar una derivacin respectode la variable tiempo) debemos tener precaucin en su uso; por ejemplo, para una funcin

de dos variables, en los puntos de la diagonal, cmo debemos entenderf

x(x, x)? A lo

largo de estas notas, con el nimo de que el lector se familiarice con ambas, usaremos lanotacin de Leibniz y la de los operadores Di, debida a Cauchy.

III) Las derivadas direccionales, como derivadas de funciones de una variable que son, gozande las propiedades aritmticas de stas; por ejemplo, si dos aplicaciones definidas en unmismo abierto de Rn admiten derivada parcial respecto de xj en un punto del abierto,entonces la aplicacin suma admite derivada parcial respecto de xj en dicho punto yresulta ser la suma de las derivadas parciales de las dos aplicaciones en ese punto:

(f + g)

xi(x0) =

f

xi(x0) +

g

xi(x0) ,

o para funciones reales f y g

Di(f g)(x0) = Dif(x0) g(x0) + f(x0)Dig(x0) , . . .

Dejamos que el lector deduzca el resto de las propiedades que procedan.

IV) En la prctica y como se comprobar a lo largo de los ejercicios, la anterior observacinpermite resolver el clculo de las derivadas parciales mediante la aplicacin de las reglasde derivacin en una variable a la funcin que se obtiene al fijar todas las variablesmenos aqulla respecto de la cual se pretende derivar. Por ejemplo, si f es la funcin realdefinida en R2 por f(x, y) = x cos(x y), entonces

D1f(x, y) =f

x(x, y) = cos(x y) x sen(x y) ,

D2f(x, y) =f

y(x, y) = x

( sen(x y))(1) = x sen(x y) .Ejemplos sencillos, como el que se puede ver en el ejercicio 2.2.III, muestran que el hecho

de que una aplicacin f sea derivable en un punto no implica la continuidad de f en esepunto; ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales implica la continuidad. Sepresenta as la primera diferencia relevante con las funciones de una variable. No obstante, elconcepto de diferenciabilidad, que en el caso unidimensional es equivalente a la derivabilidad,se generaliza en trminos anlogos al caso de aplicaciones de varias variables.

Definicin 2.3. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicacin de A en Rm.Se dice que f es diferenciable en el punto x0 si existen una aplicacin lineal L de Rn en Rm yuna funcin de A en Rm con

lmxx0

(x) = 0,

de manera que

f(x) f(x0) = L(x x0) + (x) x x0 para cada x A.La aplicacin lineal L, si existe, es nica y recibe el nombre de diferencial de f en el punto x0.Esta aplicacin se denota por

(df)x0 , Df(x0), df(x0) o f(x0).

Si f es diferenciable en todo punto de A se dice que es diferenciable en A.

2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad 25

Observaciones 2.4.

I) Las notaciones indicadas arriba para la diferencial de una funcin en un punto son lasms frecuentes. En estas notas utilizaremos habitualmente la ltima, f , introducida porLagrange.

II) En las ciencias aplicadas, como la Fsica, y sobre todo en los razonamientos heursticosque conducen al modelado de ciertos fenmenos (generalmente mediante ecuaciones dife-renciales) es habitual usar el trmino diferencial para referirse a un incremento peque-o de las magnitudes, esto es a cantidades cuyos cocientes incrementales se aproximana la derivada, que es un lmite. Hacemos nfasis en que, en Matemticas, una diferenciales una aplicacin lineal, perfectamente definida y sin la subjetividad de lo pequeo (unmetro puede considerarse pequeo en Astronoma, pero no en Arquitectura).

III) Una forma equivalente de definir la diferenciabilidad, que puede encontrarse en nume-rosos textos, es la siguiente: la funcin f es diferenciable en x0 si, y slo si, existe unaaplicacin lineal L de Rn en Rm tal que

lmxx0

f(x) f(x0) L(x x0)x x0 = 0 R

m,

o, lo que es lo mismo,

lmxx0

f(x) f(x0) L(x x0)x x0 = 0 R.

De nuevo, al igual que sucede respecto a la continuidad, estos conceptos admiten unalectura en trminos de aplicaciones a valores reales:

Teorema 2.5. Es condicin necesaria y suficiente para que una aplicacin f de un abiertoA de Rn en Rm admita derivada direccional en un punto x0 A segn el vector v (resp. seadiferenciable en el punto x0) que as se verifique para cada una de sus funciones componentesfi, i = 1, 2, . . . ,m.

Teorema 2.6. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicacin de A en Rm. Sif es diferenciable en x0 entonces es continua en dicho punto.

Teorema 2.7. Sean A un abierto de Rn, x0 A y f una aplicacin de A en Rm. Si f es dife-renciable en x0 entonces existen las derivadas direccionales en dicho punto segn cualquierdireccin, en particular, f es derivable en x0. Adems, para cada v Rn \ {0} se tiene que

Dvf(x0) = (df)x0(v) = f(x0)(v).

Observaciones 2.8.

I) Si A es un abierto de Rn y f :A Rm es una aplicacin derivable en el punto x0 A, lamatriz cuyas m filas son las n derivadas parciales de cada una de las m componentes fide f , esto es, (

Djfi(x0)

)1im1jn

, que denotaremos por(f1, f2, . . . , fm)

(x1, x2, . . . , xn),

se denomina matriz jacobiana 1 de f en el punto x0. Si, adems, f es diferenciable en x0,entonces la aplicacin lineal f (x0) viene dada de forma matricial respecto de las basesestndar de Rn y Rm por dicha matriz jacobiana, es decir,

[f (x0)(h1, h2, . . . , hn)

]t=

D1f1(x0) D2f1(x0) Dnf1(x0)D1f2(x0) D2f2(x0) Dnf2(x0)

......

. . ....

D1fm(x0) D2fm(x0) Dnfm(x0)

h1

h2...hn

. (2.1)1En honor a C. G. Jacobi.


Ntese que las columnas de la matriz jacobiana son las imgenes por f (x0) de los ele-mentos ei, i = 1, 2, . . . , n, de la base estndar de Rn, es decir, de acuerdo con el teorema

2.7, la i-sima columna es( fxi

(x0))t

=(Dif(x0)

)t.

Si f es una funcin real definida en un abierto A de Rn, derivable en el punto x0, la matrizjacobiana de f en x0 se denomina tambin gradiente de f en el punto x0 y se denota porf(x0), esto es,

f(x0) =(D1f(x0), D2f(x0), . . . , Dnf(x0)

).

Si f es diferenciable en dicho punto, la frmula (2.1) se representa tambin en este casomediante el producto escalar

f (x0)(h) = f(x0) h .II) Los teoremas 2.6 y 2.7 proporcionan tambin una pauta de trabajo para establecer la

diferenciabilidad de una funcin en un punto. En efecto, avanzando en orden de com-plejidad de los conceptos: en primer lugar, si la funcin no es continua en el punto encuestin no puede ser diferenciable; despus, si es continua pero no derivable tampo-co puede ser diferenciable, si por el contrario es derivable, la nica aplicacin lineal Lcandidata a ser la diferencial es la que viene dada en las bases estndar por la matrizjacobiana, con lo que slo resta aplicar la definicin 2.3 o, equivalentemente, estudiarlos lmites expuestos en la observacin 2.4.III.

III) Es obvio que toda aplicacin lineal L:Rn Rm es diferenciable en cada punto x0 Rn, yque la diferencial de L en x0 coincide con L, es decir,

L(x0)(v) = L(v) para cada v Rn.En particular, las proyecciones j :Rn R son diferenciables en Rn.Por otra parte, es sobradamente conocido que si L:Rn R es una aplicacin lineal,entonces existen nmeros reales a1, a2, . . . , an nicos tales que

L(x1, x2, . . . , xn) =nj=1

ajxj , es decir, L =nj=1

ajj .

Por tanto, si A es un abierto de Rn y f :A R es una funcin diferenciable en el puntox0 A se escribir

f (x0) =

nj=1

f

xj(x0)j =

f

x1(x0)1 +

f

x2(x0)2 + . . .+

f

xn(x0)n.

A la aplicacin lineal dj = j (= j) se le denota usualmente (abusando de la notacin)por dxj. De esta forma es habitual encontrar la siguiente notacin:

df =f

x1dx1 +

f

x2dx2 + . . .+

f

xndxn.

Haremos nfasis en que dxj es una aplicacin lineal de Rn en R, no un incremento deninguna magnitud.

IV) La diferencial de una aplicacin en un punto tiene la misma interpretacin geomtricaque en el caso de funciones reales de variable real. Ilustraremos esto con un ejemplo defcil visualizacin:Consideremos una funcin real f definida en un abierto A de R2 que es diferenciable enel punto a = (a1, a2) A. La funcin

g(x, y) = f(a) +f

x(a)(x a1) + f

y(a)(y a2)

proporciona la mejor aproximacin afn de f . La grfica de esta funcin es un planoafn (en R3), que contiene al punto

(a1, a2, f(a1, a2)

), y se denomina plano tangente a la

superficie z = f(x, y) en dicho punto. Los vectores(1, 0,

f

x(a))

y(0, 1,

f

y(a)),

derivadas en el punto t0 = 0 de las aplicaciones

t 7 (a1 + t, a2, f(a1 + t, a2)) y t 7 (a1, a2 + t, f(a1, a2 + t)),

2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad 27

respectivamente, resultan ser dos vectores generadores de dicho plano (ver figura 2.1).

z = g(x, y)

z = f(x, y)

x = a1y = a2

Figura 2.1: Plano tangente z = g(x, y) a una superficie z = f(x, y) en un punto.

Una condicin necesaria para la diferenciabilidad de una funcin en un punto es la exis-tencia de todas sus derivadas direccionales; sin embargo, tal condicin no es suficiente, amenos que se aada la hiptesis de continuidad de dichas derivadas. Concretamente:

Teorema 2.9. Sean A un abierto de Rn y f :A Rm una aplicacin derivable en A. Si todaslas derivadas parciales de f , excepto quiz una de ellas, son continuas en un punto x0 A,entonces f es diferenciable en dicho punto.

Observacin 2.10. Ntese que para n = 1, dado que slo se puede contemplar una derivadaparcial (la derivada ordinaria), el teorema anterior incluye un resultado bien conocido: unafuncin real f definida en un intervalo abierto de la recta es diferenciable en un punto delintervalo si, y slo si, es derivable en dicho punto.

Proposicin 2.11. Sean A un abierto de Rn, f , g aplicaciones de A en Rm y h una funcinde A en R, todas ellas diferenciables en un punto x0 de A. Entonces:

I) f + g es diferenciable en x0 y

(f + g)(x0) = f(x0) + g

(x0).

II) hf es diferenciable en x0 y

(hf)(x0) = h(x0)f(x0) + h

(x0)f(x0) ,

es decir,(hf)(x0)(v) = h(x0)f

(x0)(v) + h(x0)(v)f(x0) para cada v Rn.

III) p = f , g = f g es diferenciable en x0 yp(x0) = f(x0), g(x0)+ f (x0), g(x0) ,

es decir,

p(x0)(v) = f(x0), g(x0)(v)+ f (x0)(v), g(x0) para cada v Rn.IV) Si h(x) 6= 0 para todo x A, se tiene que 1/h es diferenciable en x0 y( 1

h

)(x0) =

1h(x0)2

h(x0).

Teorema 2.12 (Regla de la cadena). Sean A un abierto de Rn, B un abierto de Rm, f unaaplicacin de A en Rm con f(A) B y g una aplicacin de B en Rp. Si f es diferenciableen el punto x0 A y g es diferenciable en el punto y0 = f(x0) B, entonces la aplicacincompuesta h = g f es diferenciable en el punto x0; adems,

h(x0) = g(y0) f (x0) = g

(f(x0)

) f (x0).


Observacin 2.13. La regla de la cadena, junto con la representacin matricial de la dife-rencial descrita en (2.1), permite expresar las derivadas parciales de la funcin compuestaen trminos de las parciales de las funciones componentes. Explcitamente: con las hiptesisy notacin del teorema 2.12,

hixj

(x0) =mk=1

giyk

(f(x0)

)fkxj

(x0)

para todos i = 1, 2, . . . , p y j = 1, 2, . . . , n.

A partir de la regla de la cadena se obtiene, para funciones de abiertos de Rn en R, elsiguiente resultado:

Teorema 2.14 (del valor medio). Sean A un abierto convexo de Rn y f :A R una funcindiferenciable en A. Dados a, b A, existe un punto c, situado en el segmento que une a y b,tal que

f(b) f(a) = f (c)(b a) = fx1

(c)(b1 a1) + . . .+ fxn

(c)(bn an).

Observacin 2.15. Cuando se consideran aplicaciones a valores vectoriales la frmula ante-rior deja de ser vlida; como ejemplo, considrese la aplicacin f : [0, 2] R2 definida por

f(t) =(cos(t), sen(t)

).

El teorema del valor medio adopta en el caso de aplicaciones a valores vectoriales la formade una desigualdad:

Teorema 2.16. Sean A un abierto convexo de Rn y f :A Rm una aplicacin diferenciableen A. Existe una constante K, independiente de f , tal que para todos a, b A se tiene que

f(b) f(a) K sup{ fi

xj

(ta+ (1 t)b) : t [0, 1], 1 i m, 1 j n} b a .

Corolario 2.17. Sean A un abierto conexo de Rn (no necesariamente convexo) y f :A Rmuna aplicacin diferenciable en A. Si f (x) = 0 para todo x A, entonces f es constante.

2.2. Derivadas de orden superior

A la vista del resultado 2.5, ser suficiente considerar, en lo que ahora nos ocupa, nica-mente funciones reales definidas en conjuntos abiertos de Rn.

Definicin 2.18. Sea f una funcin real definida en un abierto A de Rn, que admite derivadasparciales en todos los puntos de A. Dichas parciales definen, a su vez, funciones de A en R,

Djf :A Rx 7 Djf(x) = f

xj(x),

denominadas derivadas parciales primeras de f ; para stas pueden existir tambin derivadasparciales en los puntos de A,

Di(Djf)(x) =

xi

(f

xj

)(x),

definindose as funciones en A que reciben el nombre de derivadas parciales segundas dela funcin f , y que se denotan por

Dijf(x) o2f

xixj(x).

Se definen de forma anloga las derivadas parciales de f de orden m superior al segundo:Di1i2...imf(x).

Cuando la funcin f admite derivadas parciales hasta el orden k 1 en cada punto de Ay stas son continuas en A, se dice que la funcin es de clase C k en A, y se representa porf C k(A).

2.2. Derivadas de orden superior 29

Si f es de clase C k en A para cada k N se dice que es de clase C en A y se representapor f C(A).

Cuando se diga que f es de clase C 0 en A, denotado por f C 0(A), se querr significarque f es continua en A.

Definicin 2.19. Sea A un abierto de Rn. Se dice que una aplicaci

analisis matematico

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