Anlisis Matemtico

Lmites: Conjuntos. Funciones. Superficie de nivel. Parametrizaciones. Curvas en .

ANALISIS II

Conjuntos:

Abierto: ES aquel que no incluye la frontera (todos los puntos son interiores).

Cerrado: ES aquel que incluye toda su frontera.

Acotado: R es acotado si k > 0 / R E (0, k)

Compacto: cerrado y acotado.

Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.

Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.

Si es convexo:

No es convexo:

Funciones:

F: A m , m > 1 campo vectorial

F: A n R, m = 1 campos o funciones escalares

Conjunto de nivel(para campos escalares):

Definicin: dada F: A n R y k R, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F (x) = k

Para f: A R: F (x, y) = k = > curva de nivel

Para f: A R: F (x, y, z) = k = > superficie de nivel

Interpretacin geomtrica: El conjunto de nivel k de una funcin de 2 variables x e y es la sombra o la proyeccin de la curva que resulta de intersectar el grafico de la funcin con el plano z = k.

Superficie de nivel:

F (x, y, z) = k

Ejemplos:

1) 3x-2y + z = kpara k = 13x-2y + z = 1(x, y, z) (3, -2, 1) = kfijo

para k = -23x-2y + z = -2(x-a). v = 0 x. v = a. v

Si varo k, varo el origen del plano (lo desplazo)

A medida que vario k me van quedando planos paralelos.

Ejemplos:

F (x, y) = y-2x, x

Planteo F (x, y) = k, k R y-2x = k y = 2x + k

F (x, y, z) = z-x-y-4

Planteo F (x, y, z) = k z-x-y-4 = k z = x + y + 4 + k

Parametrizaciones: Curvas en

a)F (x) = x, x [-1, 4]

- Ecuacin cartesiana del grafico de F:y = F (x) = > Y = x, -1 x 4

- Ecuacin vectorial del grafico de Fx = (t, t), t [-1, 4]

- Ecuaciones paramtricas del grafico de Fx = t y = t, t [-1, 4]

La funcin g: [-1, 4] se denomina parametrizacin del grafico de F y esta definida por: g (t) = (t, t), t [-1, 4]

b)F (x) = 2x + 1, x R Ec cartesiana y = 2x + 1, x R.

Parametrizacin: intento x = t y = 2t + 1 } g (t) = (t, 2t + 1), t R

X = (t, 2t + a), t R Ec vectorial.

Parametrizacin de una circunferencia:

x + y = REP x = R cos (t), t [0, 2 ]

y = R sen (t)

EV x = (R cos (t), R sen (t)), t [0, 2 ]

G = (R cos (t), R sen (t)), t [0, 2 ]

Obs: Para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a, b] pasa a [-b, -a]

Curva: Definicin: Dada una funcin g: [a, b] R n, continua, se llama curva al conjunto imagen de g

Curva no completa = arco de curva.

Curvas en

Z + y = 3EP =x = t

Y = xy = tEVG (t) = (t, t, 3-t), t R

Z = 3-t

Superficie: Definicin: Dada una funcin g: A n, continua, se llama superficie al conjunto imagen de g

Limites: Propiedades:

6) siF(x) = b g(y) = L (g o F)(x) = L

7) siF(x) = L Fi(x) = Li, 1 i m; (se acercan las componentes).

Limites por curvas: Si no el lim para alguna curva parametrizada por g tal que g (t0) = A no F(x)

Ejemplo:(x - y - 2)/(x - 1)

Tomo y = 1 (x - 1)/(x - 1) = 1

Tomo x = 1 (y - 1)/(1 - y) = -1

Luego, no existeF(x,y) = 1

Obs: La curva que propongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.

Recordar: |x| |x| x x + y x/(x + y) 1

Continuidad:

5) F continua en x0yG continua en F (x0) (G0F) continua en x0.

6) F continua en x0< = > Ficontinua en x0, 1i m

Tipos de discontinuidad:

1) Esencial: cuando no existeF(x)

2) Evitable: cuando existe el lim pero no F (x0) o bien F (x0) pero lim F (x0)

Derivabilidad: Definicin: derivada direccional: dada F: A n m, x0y n, se define la derivada direccional de F en x0segn el versor como:

F(x0,) =[F(x0+ h.) - F(x0)]/h = F(x0)/

Propiedades: principio de homogeneidad: F (x0, ) = F (x0, ), 0, R

Propiedad 2: Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa.

Derivadas parciales: caso especial de direccionales. Una derivada parcial es una direccional respecto de un versor de la base cannica.

Regla practica de calculo:

1) F (x, y) = ln (x + y)

Fx(x, y) = 2.x/(x + y)

Fy(x, y) = 2.y/(x + y)

Dom (Fx)IDom (F)

Observacin: La derivada de un vector es la derivada de las componentes.

Interpretacin geomtrica:

Vlida para F: A R

F(x0,y0) =[F(x0+ h,y0) - F(x0,y0)]/h = tg

Teorema del valor medio:

a) dada F: [a, b] R, continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c (a, b) tal que:

F (b)-F (a) = F (c). (b-a)

b) Dada F: A n R, A abierto y convexo, F C, a A y b A, entonces:

F (b) - F (a) = F (c, b-a) = F (c, ) |b-a|, = (b - a)/|b - a|, c segmento a b,

c a y c b

Aplicaciones a curvas: Definicin:Punto regular: Dada C curva de n, de ecuacin vectorial x = g (t) t A, se dice que A C, A = g (t0), es un punto regular de C si : a)g (t0) y b) g (t0) 0

Observaciones:

a) si un punto no es regular se lo llama singular.

b) Si una curva tiene todos los puntos regulares es regular.

Vector tangente

Definicin: Dada C c n(C curva de n) una curva regular, entonces el vector g (t0) es tangente a la curva en el punto g (t0) siendo x =g (t), t A, la ecuacin vectorial de la curva, y t0 A.

F(t0) =[Fx(t0+ h) - Fx(t0)]/h (estamos con una sola variable)

Recta tangente

La curva se confunde con la recta tangente en el punto dado. En y en : x = g + g (t0), R

Plano normal en

Ec vectorial g (t0). (x-g (t0)) = 0

G1 (t0) (x-g1 (t0)) + g2 (t0) (y-g2 (t0)) + g3 (t0) (z-g3 (t0)) = 0

Gradiente: se define solo para campos escalares, F A n R

Grad(F)(x0) = F(x0) =[F(x0)/x1, F(x0)/x2, ... , F(x0)/xn,]

Dom (F) = dom (F x1) dom (F x2) . . . dom (F xn) dom (F)

F: B n n

Derivadas de orden superior (parciales)

Definiciones: dada F: A R, F C (clase 2), se define:

F"(x0,y0) ==[Fx(x0+ h,y0) - Fx(x0,y0)]/h

Las derivadas que tienen las mismas letras son iguales: F"xxy= F"xyx= F"yxxDominios: Dom (Fx) Dom (F)

Dom (Fy) Dom (F)

Dom (F"yx) Dom (Fx) Dom (F)

Dom (F"yx) Dom (Fy) Dom (F)

Teorema de Schwartz

Dada F: A n R, x0 A, entonces si F"xy(x) x E (x0) y F"yx(x) x E (x0) y F"xycontinua en E (x0) y F"yxcontinua en E (x0), debe ser F"xy(x0) = F"yx(x0)

Generalmente pasa para funciones continuas

Extensin a mayor orden

Tomo F: A n R, suponemos derivadas parciales de cualquier orden continuas.

Entonces: a) Por el teorema de Schwartz F"xy= F"yxLuego F"xyx= F"yxx, por ser la derivada de la misma funcin.

b)Tomamos Fx, por teorema de Schwartz F"xxy= F"xyxc)Finalmente, por a y b resulta: F"xxy= F"xyx= F"yxxEjemplo:

1)

F (x, y) = exyF"xx= y.exyF"xxy= 2.y.exy+ y.x.exyFx= y.exyF"yy= x .exyF"xyx= 2.y.exy+ y.x.exyFy= x.exyF"xy= exy+ y.x.exyF"yxx= 2.y.exy+ y.x.exy-

F"yx= exy+ x.y.exy-

Diferenciabilidad:

Definicin: Dada F: A n n, x0 A, A abierto, se dice que F es diferenciable en x0si D (x0)Rmxntal que:

[F(x) - F(x0) - dF(x0).(x - x0)]/|x - x0| = 0

F ((a, b), ) = F (a, b). (Si F es diferenciable)

Propiedades:

F es F, G es G y x0es x01)F y G diferenciables en x0 F + G diferenciables en x02) F diferenciable en x0 F diferenciable en x03) F y G diferenciables en x0 FG diferenciable en x04)F diferenciable en x0y F (x0) 0 1/F diferenciable en x05)F diferenciable en x0y g diferenciable en F (x0) goF diferenciable en x06)F diferenciable en x0< = > Fidiferenciable en x0, 1 i m

Teorema: Dada F: A n m, A abierto, x0 A, tal que F es diferenciable en x0, entonces F es continua en x0.

Corolario: Si F no es continua en x0= > F no es diferenciable en x0Teorema: Dada F: A n m, A abierto, x0 A, tal que F es diferenciable en x0, entonces F (x0, ), n. (Existe la derivada en cualquier direccin).

Corolario:

1) Si para algn nno F (x0, ) F no es diferenciable en x0.

2) Si para algn n F (x0, ) pero F (x0, ) dF (x0) F no es diferenciable en x0.

La matriz dF (x0) es la matriz de las derivadas parciales de F en x0. Se llamamatriz Jacobiano.

Ejemplo:

1) F (x, y) = (xy, xey)

dF =y2.x.y=12

2.x.eyx.ey34

Siendo:

1 la derivada con respecto a x de xy

2 la derivada con respecto a y de xy

3 la derivada con respecto a x de xey4 la derivada con respecto a y de xey2)

Plano tangente al grafico de F en el punto (x0, y0, F (x0, y0))

Zt = F (x0) + F (x0) (x-x0) + Fy (x0) (y-y0) Luego: F (x) Zt, x E (x0)

Anlisis de Continuidad

(x.y)/(x + y) =y.[x/(x + y)] = 0; x x + y hace acotada

Anlisis de Derivabilidad

Aplicacin a superficies

Superficie: Definicin: Dada G, A , continua, se llama superficie al conjunto imagen de G. Dicha superficie tendr la ecuacin vectorial x = G (u; w); (u; w) A

Clasificacin de funciones:

1)F C (o es de clase C) continua

2)F C (o es de clase C): tiene derivadas parciales continuas.

3)F C (o es de clase C): tiene derivadas parciales de segundo orden continuas.

)F C(o es de clase C): tiene derivadas parciales de todo orden continuas.

Propiedad: Si F es de una clase tambin es de todas las clases inferiores.

Teorema: Dada F: A n m, A abierto, tal que F C en E (x0) F es diferenciable en x0Punto regular:

Dado S una superficie de ecuacin vectorial x = G (u; w), se dice que el punto x0= G (u0; w0) S es regular si: a) Gu(u0; w0) y Gw(u0; w0)

b) Gu(u0; w0) x Gw(u0; w0) 0 (No paralelos)

Si todos los puntos de una S son regulares, es una superficie regular, si adems los Guy Gwno colinan es una S lisa o suave.

Teorema: Dada A R, A abierto, F es diferenciable en x0 A el grafico de F es una superficie regular en el punto (x0, y0, F (x0, y0))

Si F diferenciable: Vector Normal: (-Fu, -Fw, 1) o (Fu, Fw,-1)

Plano tangente a una superficie: Definicin: Dada S una superficie regular de ecuacin vectorial x = G (u, w), (u, w) A , se define el plano tangente a S en le punto A = G (u0, w0) como:

Gu(u0, w0) x Gw(u0, w0).(x - G (u0, w0)) = 0

Teorema: Dada F A R, A abierto, F diferenciable en x0 A, entonces la ecuacin del plano tangente al grafico de F en el punto (x0, y0, F (x0, y0)) es:

Z = F (x0, y0) + Fx(x0, y0) (x-x0) + Fy(x0, y0) (y-y0)

Observacin: Con el mismo vector GuX Gwse puede definir la recta normal a S:

x = (Gu(u0, w0) x G (u0, w0)), R

O bien la recta normal al grafico de F.

x = (-Fx(x0, w0), -Fy (x0, y0), 1) + (x0, y0, F (x0, y0)), R

Composicin de funciones:

Teorema: Dada F: A n m, diferenciable en A, G: b m Rp, diferenciable en b, con F (A) b, entonces:

D (g0f) (x0) = Dg (f (x0)). Df (x0), x0 A. Se usan matrices Jacobiano.

Corolario: Dada F: A n R, diferenciables en A, entonces f (x0) es perpendicular al conjunto de nivel f (x) = f (x0), en le punto x0.

R: F (G (t)) G (t)

R: F (G (u, w)) al plano tangente a la superficie de nivel en el punto G (u, w)

Regla practica para derivar:

F = F (u, w)ux hx= Fuux+ FwwxCon todos los caminos posiblesque conducen a la variable de derivacin

u = u (x, y)resulta F

w = w (x, y)h (x, y)wy hy= Fuuy+ Fwwy

x x = (x, y).(x, y) = x + y = |x|

Para diferenciablidad:

[F(x) - F(0) - F(0).(x - 0)]/|x - 0|

"Como el grafico de F tiene recta normal en (1, 0, 1) entonces F es diferenciable en (1, 0)

Funciones definidas en forma explcita:

Teorema: F (x0, y0) = 0 y Fy (x0, y0) 0 F (x, y) = 0 define localmente en forma implcita una nica funcin Y = Y (x) tal que:

a) y (x0) = y0b) y (x0) = Fx(x0, y0)/Fy(x0, y0)

Z = f(x,y)

x + y.z - ez= 0 F(x,y,z)

Fz= y - ezZx= -Fx/Fz= -1/(y - ez)

Z"xx= -ez.zx/(y - ez) = [-ez/(y - ez)].zx= Fy/FzExtremos:

Absoluto: F (a) F (x) xLocal: F (a) F (x) x E (a)

Obs: punto frontera solo puede ser extremos absoluto.

Teorema: Si existe la derivada con respecto a un vector en un extremo entonces es cero.

Obs:

a)si para algn versor la derivada da 0 no es extremo local

b)Si no F (a, ) nada puede asegurarse.

Teorema: F diferenciable /F (a) es extremo local, entonces debe ser F (a) = 0 (punto crtico o estacionario)

Teorema: F diferenciable /F (a) = 0 F (a) es punto silla F (x1) F (a)F (x2)

Matriz Hesiano: F C /F (a) = 0

F" xx (a)F" xy (a)det H (a) > 0 y F" xy (a) < 0 F" yy (a) > 0 F (a) es mnimo local

H (a) =F" xy (a)F" yy (a)det H (a) > 0 y F" xx (a) < 0 F" yy (a) < 0 F (a) es mximo local

det H (a) < 0 F (a) punto silla

det H (a) = 0 nada se sabe.

Casos de funciones escalares diferenciables

Derivadas mximas: mxima = F (x0); min = - F (x0)

En : 0 = (Fy (x0), - Fx (x0)) 0 = (-Fy (x0), Fx (x0))

F (x0, mxima) = |F (x0)| F (x0, min) = -|F (x0)|

Desarrollo de Taylor: R : a = (a1, a2)

F (x, y) = F (a1, a2) + Fx (a) (x-a1) + Fy (a) (y-a2) +

+d+

1/2[F" xx (a) (x-a1) + F" yy (a) (y-a2) + 2F" xy (a) (x-a1) (y-a2)]

+1/6[F" xxy (a) (x-a1) + F" (a) (y-a2) + 3F" xxy (a) (x-a1) (y-a2) + 3F" yyx (a) (x-a1) (y-a2)]

d

Extremos condicionados:

Teorema (Lagrange - Para puntos crticos)

Dada F: A n R, A abierto, f C y dadas Fi: A n R, Fi C, 1 i n con m < n.

Entonces los extremos locales de F sujetos a las condiciones Fi (x) = 0, 1 i = m, se pueden obtener estudiando los extremos locales de la siguiente funcin.

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