analisis matricial de porticos
TRANSCRIPT
Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 2D, de Eje Recto y de Sección Constante Referida a GDL Orientados Según Ejes Locales
Ecuaciones diferenciales:
01
1
CxFuEAFNuEA+−=−==′
corteflexión vvv +=
( )
2212
3213
261
2132
221
2
132
221
32
CxFGAEICxFxFvEI
FGAEICxFxFvvEIvEI
FVvGA
CxFxFvEIFxFMvEI
s
scorteflexión
cortes
flexiónflexión
+
−+−=
−+−=′+′=′
−=−=′
+−=′⇒−==′′
Nota relativa a los giros en los extremos: s
corteflexión GAF
vvv 2−=′+′=′ θ
En las expresiones siguientes: 2
12LGA
EI
s
=φ
Deformada Condiciones de Borde Fuerzas en GDL
Col
umna
1
sGAF
Lvv
LvvLuu
2)()0(
0)()0(0)(1)0(
−=′=′
====
00
63
52
41
====
=−=
FFFF
LEAFF
Col
umna
2
sGAF
Lvv
LvvLuu
2)()0(
0)(1)0(0)()0(
−=′=′
====
( )
( ) 263
352
41
16112
0
LEIFF
LEIFF
FF
φ
φ
+==
+=−=
==
Col
umna
3
ss GAF
LvGAF
v
LvvLuu
22 )(1)0(
0)()0(0)()0(
−=′−=′
====
( )
LEIF
LEIF
LEI
FF
FF
+−
=
++
=
+=−=
==
φφ
φφ
φ
12
14
16
0
63
252
41
Col
umna
4
sGAF
Lvv
LvvLuu
2)()0(
0)()0(1)(0)0(
−=′=′
====
00
63
52
14
====
=−=
FFFF
LEAFF
C
olum
na 5
sGAF
Lvv
LvvLuu
2)()0(
1)(0)0(0)()0(
−=′=′
====
( )
( ) 263
325
41
16
112
0
LEIFF
LEIFF
FF
φ
φ
+−==
+=−=
==
Col
umna
6
ss GAF
LvGAF
v
LvvLuu
22 1)()0(
0)()0(0)()0(
−=′−=′
====
( )
LEIF
LEIF
LEI
FF
FF
++
=
+−
=
+=−=
==
φφ
φφ
φ
14
12
16
0
63
252
41
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
++
+−
+−
+
+−
++−
+−
−
+−
+−
++
+
++−
++
−
=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
e
φφ
φφφ
φ
φφφφ
φφ
φφφ
φ
φφφφ
14
160
12
160
16
1120
16
1120
0000
12
160
14
160
16
1120
16
1120
0000
22
2323
22
2323
)(K
2
12LGA
EI
s
=φ
Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 2D
∫∫∫ ++=L sLL
dxGAVdx
EIMdx
EANU
222
222
∫∫∫
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂∂
∂=
L sjiL jiL jijiij GA
dxFV
FV
EIdx
FM
FM
EAdx
FN
FN
FFUa
2
2
32
1
FV
FxFM
FN
=
⇒−=
−=
1
1
1
2
3
2
1
=∂∂
−=∂∂
=∂∂
−=∂∂
FVFM
xFMFN
EAL
FUa =
∂∂
= 21
2
11
( )EI
LGA
LEIL
FUa
s 124
3
33
22
2
22φ+
=+=∂∂
= 2
12LGA
EI
s
=φ
EIL
FFUaa
2
2
32
2
2332 −=∂∂
∂==
EIL
FUa =
∂∂
= 23
2
33
( )( ) ( )
( )
++
+
++==⇒
−
−+
= −
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
EIL
EIL
EIL
EIL
EAL
φφ
φ
φφφ
14
160
16
1120
00
20
21240
00
2
231
2
23
AKA
( ) ( )
( ) ( )
++
+−
+−
++
==⇒
+−−
−−
+= −
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
EIL
EIL
EIL
EIL
EAL
φφ
φφ
φφ
φφ
φφ
φφ
14
120
12
140
00
124
1220
122
1240
00
1AKA
EJES LOCALES Y EJES GLOBALES
Grados de Libertad de la Estructura
Grados de libertad del elemento orientados según ejes locales:
)()()( eee fuK ′=′′
Grados de libertad del elemento orientados según ejes globales:
Proyección de las componentes de desplazamiento y de fuerza:
)()(
)()(
ee
ee
fTf
uTu
=′
=′
)()()()()()()()()( eeeTeeeeee fuTKTfTuTKfuK =′⇒=′⇒′=′′
TKTK )()( eTe ′=
⇓
ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA
)()()( eee fuK ′=′′
)()()( eee fuK =
TKTK )()( eTe ′=
66
545
544
33
212
211
uu
ucucu
ucucuuu
ucucu
ucucu
xy
yx
xy
yx
=′
+−=′
+=′=′
+−=′
+=′
−
−
=
′′′′′′
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
1000000000000000010000000000
uuuuuu
cccc
cccc
uuuuuu
xy
yx
xy
yx
)()( ee uTu =′
66
545
544
33
212
211
FF
FcFcF
FcFcFFF
FcFcF
FcFcF
xy
yx
xy
yx
=′
+−=′
+=′=′
+−=′
+=′
−
−
=
′′′′′′
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
1000000000000000010000000000
FFFFFF
cccc
cccc
FFFFFF
xy
yx
xy
yx
)()( ee fTf =′
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES LOCALES
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
++
+−
+−
+
+−
++−
+−
−
+−
+−
++
+
++−
++
−
=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
e
φφ
φφφ
φ
φφφφ
φφ
φφφ
φ
φφφφ
14
16
012
16
0
16
112
01
6112
0
0000
12
16
014
16
0
16
112
01
6112
0
0000
22
2323
22
2323
)(K
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES GLOBALES
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
++
+−
+
+−
++−
++
+
−+
−+
−−
+
−
++
+
−
++−−
++
++−
++
+
−
++
=
LEIc
LEIc
LEI
LEIc
LEIc
LEI
cL
EIcL
EAccL
EIL
EAcL
EIcL
EIcL
EAccL
EALEI
cL
EIcL
EAcL
EIccL
EAL
EIcL
EIcL
EALEIc
LEIc
LEI
SimétricacL
EIcL
EAccL
EIL
EA
cL
EIcL
EA
xyxy
xyyxxxyyx
yxyyxyx
xy
xyyx
yx
e
φφ
φφφφ
φφ
φφφφφ
φφφφ
φφ
φφ
φφ
φ
14
16
16
12
16
16
112
112
16
112
112
112
16
112
112
14
16
16
)(112
112112
2222
23
232
23
23
23
223
23
2
22
23
23
23
2
)(K
PÓRTICO A DOS AGUAS Unidades: t, m E = 2.1 x 107 t/m2 Luz 15 m Altura 6 m a 8.5 m Vigas I = 2 x 10-4 m4
A = 0.005 m2 Columnas I = 1 x 10-4 m4
A = 0.01 m2 Matrices de rigidez de los elementos
−−
−−
−−−−
==
14000350700035003500000350000
350067.116350067.116700035014000350
03500000350000350067.116350067.116
)()( EDAB KK
−−−−−−
−−−−−−
−−−−
=
21255.3825.1275.10625.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.1273954119645.10625.3825.12721255.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.127395411964
)(BCK
−−−−−−−−−−
−−−−
−−
=
21255.3825.1275.10625.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.1273954119645.10625.3825.12721255.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.127395411964
)(CDK
Códigos de ensamble
AB BC CD ED 0 1 4 0 0 2 5 0 0 3 6 0 1 4 7 7 2 5 8 8 3 6 9 9
Matriz de rigidez de la estructura
−−−−−
−−−−−−−−−−
−−−−−−
−−−
=
35255.3825.2225.10625.3825.1270005.3823642039545.382142039540005.2223954120805.1273954119640005.10625.3825.127425002555.10625.3825.1275.382142039540284005.382142039545.1273954119642550239275.1273954119640005.10625.3825.12735255.3825.2220005.382142039545.3823642039540005.1273954119645.222395412080
K
Fuerzas aplicadas (t)
−=
00005
0002
f
Desplazamientos (m, rad)
=
3-
4-
1-
3-
1-
1-
2-
4-
-2
10x0.3997310x0.80798-10x0.2030310x0.7699710x0.22119-10x0.1321710x0.34891-10x0.62060-10x0.61080
u
Fuerzas en los elementos
==
2.7469- 2.1721- 0.5086- 0.3046-
2.1721 0.5086
)()()( ABABAB uKf
51.017.2
75.231.0
−=−=
−=−=
AB
AB
BA
AB
VN
MM
==
7.2723 2.1721- 2.5086-
2.7469 2.1721 2.5086
)()()( BCBCBC uKf
27.107.3
27.775.2
=−=
==
BC
BC
CB
BC
VN
MM
==
7.6656- 2.8279
2.5086- 7.2723- 2.8279-
2.5086
)()()( CDCDCD uKf
89.127.3
66.727.7
=−=
−=−=
CD
CD
DC
CD
VN
MM
==
7.6656 2.8279-
2.5086 7.3858 2.8279
2.5086-
)()()( EDEDED uKf
51.283.2
66.739.7
=−=
==
ED
ED
DE
ED
VN
MM
PÓRTICO A DOS AGUAS con cargas uniformemente distribuidas Fuerzas de empotramiento (t, m)
−
=
−
==
6875.475.30
6875.475.30
122
0122
0
2
2)(
0)(
0
LwLw
LwLw
CDBC ff
0ff == )(0
)(0
EDAB
−
−
−−
=−= ∑
6875.475.3
00
5.706875.475.3
0
)(0
e
eff
Desplazamientos (m, rad)
005044000021400137210
00424190
0005044000021400137210
=
..-.
.-
.-
.-
.-
u
Fuerzas en los elementos (t,m)
−−−−
==
863.11500.7366.3333.8
500.7366.3
)()()( ABABAB uKf
36.350.7
86.1133.8
−=−=
−=−=
AB
AB
BA
AB
VN
MM
−=+=
855.70
366.3863.11500.7366.3
)()()(0
)( BCBCBCBC uKff
06.105.6
19.357.5
85.786.11
==−=−=
==
CB
BC
CB
BC
CB
BC
VVNN
MM
−−
=+=
863.11500.7366.3855.7
0366.3
)()()(0
)( CDCDCDCD uKff
05.606.1
57.519.3
86.1185.7
==
−=−=
−=−=
DC
CD
DC
CD
DC
CD
VVNN
MM
−
−
==
863.11500.7366.3333.8500.7366.3
)()()( EDEDED uKf
36.350.7
86.1133.8
=−=
==
ED
ED
DE
ED
VN
MM
HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS DEL ANÁLISIS TRADICIONAL
Matriz de rigidez de elemento columna: 1;0 == yx cc
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
++
+
+−
+−
−
++++−
+−
+
++
+−
−
+−
+−
+−
+
=
hEI
hEI
hEI
hEI
hEA
hEA
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEA
hEA
hEI
hEI
hEI
hEI
columna
φφ
φφφ
φ
φφφφ
φφ
φφφ
φ
φφφφ
140
16
120
16
0000
160
112
160
112
120
16
140
16
0000
160
112
160
112
22
2323
22
2323
)(K
Ignorando deformaciones axiales y de corte:
−
−
−
−−−
=
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
columna
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
)(K
Matriz de rigidez de elemento viga: 0;1 == yx cc
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
++
+−
+−
+
+−
++−
+−
−
+−
+−
++
+
++−
++
−
=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
viga
φφ
φφφ
φ
φφφφ
φφ
φφφ
φ
φφφφ
14
160
12
160
16
1120
16
1120
0000
12
160
14
160
16
1120
16
1120
0000
22
2323
22
2323
)(K
Ignorando deformaciones de corte y suponiendo 41 uu =
−
−
−−−
−
−
=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
viga
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
)(K
PÓRTICO CON CARGA LATERAL
Matrices de rigidez de elementos típicos:
=
LEI
LEI
LEI
LEI
viga42
24)(K
−
−
−
−−−
=
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
hEI
columna
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
)(K
Elemento AB: 02EIEI = m6=h Códigos de ensamble
−−−
−−−
=
3333133330666703333033330111103333011110666703333033331333303333.0111103333011110
0)(
....
........
...
EIABK
2100
Elemento BC. 02 EIEI = m6=L
=
3333.16667.06667.03333.1
0)( EICDK
32
Elemento CD. 0EIEI = m3=h
−−−
−−−
=
3333.16667.066670666706667.044440666704444.066670666703333166670666704444.0666704444.0
0)(
....
....
..
EICDK
3100
Matriz de rigidez de la estructura:
=
666672666670666670666670666672333330666670333330555560
0
...
...
...EIK
Matriz de fuerzas de la estructura:
=
00
100f
Desplazamientos:
−−=
765.61647.17
71.2641
0EIu
Fuerzas, viga:
−−
=
=
−−
==
12.9471.64
765.61647.171
3333.16667.06667.03333.1
00
)()()(
CB
BCBCBCBC
MM
EIEIuKf
47.266/)12.9471.64( −=−−=BCV
Fuerzas, columna izquierda:
−
=
=
−
−−−
−−−
==
71.6453.2347.7651.23
647.1771.264
00
1
3333133330666703333033330111103333011110666703333033331333303333.0111103333011110
00
)()()(
BA
B
AB
A
ABABAB
MH
MH
EI............
...
EIuKf
47.26=−= BCAB VN
Fuerzas, columna derecha:
−
=
=
−
−−−
−−−
==
12.9447.7629.13547.76
765.6171.264
00
1
3333.16667.066670666706667.044440666704444.066670666703333166670666704444.0666704444.0
00
)()()(
CD
C
DC
D
CDCDCD
MH
MH
EI..
........
EIuKf
47.26−== BCCD VN
PÓRTICO CON CARGAS DISTRIBUIDAS
Matrices de rigidez de elementos típicos:
=
LEI
LEI
LEI
LEI
viga
42
24)(K
=
hEI
hEI
hEI
hEI
columna
42
24
)(K
Códigos de ensamble:
=
66672333313333166672
0)(
....
EIABK 10
=
2000.36000.16000.12000.3
0)( EIBCK
21
=
0000.15000.05000.00000.1
0)( EIBDK
10
Matriz de rigidez de la estructura:
=
2000.36000.16000.18667.6
0EIK
Fuerzas ficticias, viga AB:
−
=
−
=333.53
333.53)(0 LPab
LPabABf
Fuerzas ficticias, viga BC:
−
=
−=
5.625.62
1212
2
2)(
0 wLwLBCf
Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:
−
=−= ∑ 5000.621667.9)(
0e
eff
Desplazamientos:
−
=⇒=862.226621.61
0EIufuK
Fuerzas en GDL del elemento AB (viga izquierda):
−
=+=10.71
45.44)()()(0
)( ABABABAB uKff
56.356/)10.7145.44(40/)(
=−+=++= LMMPV BAABAB
44.448056.352 −=−=−= PVV ABBA
Fuerzas en GDL del elemento BC (viga derecha):
=+=076.77)()()(
0)( BCBCBCBC uKff
55.905/)076.77(75/)(2/
=++=++= LMMwLV CBBCBC
45.5915055.90 −=−=−= wlVV BCCB
Fuerzas en GDL del elemento DB (columna):
−−
=+=66.633.3)()()(
0)( BDBDBDBD uKff
50.2/)( −=+= hMMV DBBDBD
PÓRTICO CON CARGAS DISTRIBUIDAS
Elemento AB: 02EIEI = m6=h
−−−
−−−
=
3333133330666703333033330111103333011110666703333033331333303333.0111103333011110
0)(
....
........
...
EIABK
Elemento BC. 02 EIEI = m6=L
=
3333.16667.06667.03333.1
0)( EICDK
Elemento CD. 0EIEI = m3=h
−−−
−−−
=
3333.16667.066670666706667.044440666704444.066670666703333166670666704444.0666704444.0
0)(
....
....
..
EICDK
Matriz de rigidez de la estructura:
=
666672666670666670666670666672333330666670333330555560
0
...
...
...EIK
Fuerzas ficticias, columna izquierda: Códigos de ensamble:
−−
−
=
−−
−
=
75507550
8/2/8/2/
)(0
PhP
PhP
ABf
2100
Fuerzas ficticias, viga: Códigos de ensamble:
−
=
−=
9090
1212
2
2)(
0 wLwLBCf
32
Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:
−=−= ∑
901550
)(0
e
eff
Desplazamientos:
fuK =
−=
971182942041279
1
0 ...
EIu
Fuerzas en los GDL del elemento BC (viga):
−
=+=24.78
59.75)()()(0
)( BCBCBCBC uKff
56.896/)24.7859.75(90/)(2/=−+=
++= LMMwLV CBBCBC
44.9018056.89 −=−=−= wlVV BCCB
Fuerzas en los GDL del elemento AB (columna izquierda):
−−
−
=+=
59.7594.4794.8706.52
)()()(0
)( ABABABAB uKff
56.89−=−= BCAB VN
Fuerzas en los GDL del elemento CD (columna derecha):
−
=+=
24.7894.4759.6594.47
)()()(0
)( CDCDCDCD uKff
44.90−== CBCD VN
VIGA CON TIRANTES Viga: EI=12 000 tm2 Tirantes: EA = 21 000 t
Matrices de rigidez de los elementos:
−−−−
−−
=
−−−−
−−
==
120004500600045004500225045002250
600045001200045004500225045002250
46266126122646
612612
22
2323
22
2323
)()(
LEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEI
BCAB KK
−−−−−−
−−
=
−−−−
−−−−
=
185618561856185618561856185618561856185618561856
1856185618561856
22
22
22
22
)(
yyxyyx
yxxyxx
yyxyyx
yxxyxx
DB
cccccccccccccccccccccccc
LEAK
−−−−
−−−−
=
−−−−
−−−−
=
1512201615122016201626882016268815122016151220162016268820162688
22
22
22
22
)(
yyxyyx
yxxyxx
yyxyyx
yxxyxx
BE
cccccccccccccccccccccccc
LEAK
Códigos de ensamble: GDL AB BC DB BE
1 0 1 0 0 2 0 2 0 1 3 1 0 0 0 4 2 0 1 0
Matriz de rigidez de la estructura:
=
24000007868
K
Fuerzas de empotramiento:
−
=
−
==
812
812
122122
2
2)(
0)(
0
wLwL
wLwL
BCAB ff
Matriz de fuerzas
−
=
−
+
−
=−= ∑ 034
024
010)(
0e
easconcentrad fff
Desplazamientos:
−
=0
0043212.0u
Fuerzas en los extremos de cada elemento:
=
−
−−−−
−−
+
−
=+=
445.11277.2445.27723.21
00043212.
00
120004500600045004500225045002250
600045001200045004500225045002250
8128
12
)()()(0
)( ABABABAB uKff
−
−=
−
−−−−
−−
+
−
=+=
445.27273.21445.11
277.2
000
0043212.
120004500600045004500225045002250
600045001200045004500225045002250
8128
12
)()()(0
)( BCBCBCBC uKff
−
−
=
−
−−−−−−
−−
==
0208.80208.80208.80208.8
0043212.000
185618561856185618561856185618561856185618561856
1856185618561856
)()()( DBDBDB uKf
( ) 34.112)( =∆∆+∆∆= yvxu
LEAN DB
−−
=
−
−−−−
−−−−
==
5337.67116.85337.67116.8
00
0043212.0
1512201615122016201626882016268815122016151220162016268820162688
)()()( BEBEBE uKf
( ) 89.102)( =∆∆+∆∆= yvxu
LEAN BE
Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 3D Eje Recto y Sección Constante Referida a GDL Según Ejes Locales (Principales)
2
2
12
12
LGA
EI
LGAEI
sz
yz
sy
zy
=
=
φ
φ
Deformada Fuerzas en GDL
Col
umna
1
LEAFF =−= 71
Fuer
za A
xial
Col
umna
7
LEAFF =−= 17
Col
umna
4
LGJFF =−= 104
Tors
ión
Col
umna
10
LGJFF =−= 410
Deformada Fuerzas en GDL
Col
umna
2
( ) 382 1
12L
EIFF
y
z
φ+=−= ( ) 2126 1
6L
EIFF
y
z
φ+==
Col
umna
6
LEI
F z
y
y
+
+=
φφ
14
6
LEI
F z
y
y
+
−=
φφ
12
12 ( ) 282 1
6L
EIFF
y
z
φ+=−=
Col
umna
8
( ) 328 112
LEI
FFy
z
φ+=−= ( ) 2126 1
6L
EIFF
y
z
φ+−==
Flex
ión
y C
orte
en
el P
lano
X'Y
'
Col
umna
12
LEI
F z
y
y
+
−=
φφ
12
6
LEI
F z
y
y
+
+=
φφ
14
12 ( ) 282 1
6L
EIFF
y
z
φ+=−=
Col
umna
3
( ) 393 1
12
L
EIFF
z
y
φ+=−=
( ) 2115 1
6
L
EIFF
z
y
φ+−==
Col
umna
5
LEI
F y
z
z
++
=φφ
14
5
LEI
F y
z
z
+−
=φφ
12
11 ( ) 293 1
6
L
EIFF
z
y
φ+−=−=
Col
umna
9
( ) 339 1
12
L
EIFF
z
y
φ+=−=
( ) 2115 1
6
L
EIFF
z
y
φ+==
Flex
ión
y C
orte
en
el P
lano
X'Z
'
Col
umna
11
LEI
F y
z
z
+−
=φφ
12
5
LEI
F y
z
z
++
=φφ
14
11 ( ) 293 1
6
L
EIFF
z
y
φ+−=−=
Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 3D de Eje Recto y Sección Constante, Referida a GDL Según Ejes Locales
2
12LGA
EI
sy
zy =Φ
2
12
LGA
EI
sz
yz =Φ
Φ+
Φ+
Φ+−
Φ+
Φ−
Φ+
Φ+Φ+
Φ+
Φ+Φ−
Φ+−
−
Φ+Φ+Φ+Φ+−
Φ+−
Φ+Φ+−
Φ+−
−
Φ+
Φ−
Φ+−
Φ+
Φ+
Φ+
Φ+Φ−
Φ+
Φ+Φ+
Φ+−
−
Φ+−
Φ+−
Φ+−
Φ+
Φ+Φ+−
Φ+Φ+
−
=
LzEI
yy
Ly
zEIL
zEI
yy
Ly
zEI
LyEI
zz
Lz
yEIL
yEI
zz
Lz
yEIL
GJL
GJLz
yEI
Lz
yEI
Lz
yEI
Lz
yEILy
zEI
Ly
zEI
Ly
zEI
Ly
zEIL
EAL
EAL
zEI
yy
Ly
zEIL
zEI
yy
Ly
zEI
LyEI
zz
Lz
yEIL
yEI
zz
Lz
yEIL
GJL
GJLz
yEI
Lz
yEI
Lz
yEI
Lz
yEILy
zEI
Ly
zEI
Ly
zEI
Ly
zEIL
EAL
EA
e
14
0002)1(
6012
0002)1(
60
01402)1(
6000
1202)1(
600
0000000000
02)1(
603)1(
120002)1(
603)1(
1200
2)1(
60003)1(
1202)1(
60003)1(
120
0000000000
12
0002)1(
6014
0002)1(
60
01202)1(
6000
1402)1(
600
0000000000
02)1(
603)1(
120002)1(
63)1(
1200
2)1(
60003)1(
1202)1(
60003)1(
120
0000000000
)(K
Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 3D Eje Recto y Sección Constante Referida a GDL Según Ejes Locales (Principales)
jiij FF
Ua∂∂
∂=
2
∫∫∫∫∫∫ +++++=L sz
z
L sy
y
L z
z
L y
y
L
x
Ldx
GAV
dxGAV
dxEI
Mdx
EIM
dxGJ
Mdx
EANU
222222
222222
3
2
62
53
4
1
FV
FVFxFM
FxFMFMFN
z
y
z
y
x
=
=+−=
+==−=
( )
( )
−
+
−+
=
zz
yy
yy
z
zz
y
e
EIL
EIL
EIL
EIL
GJL
EIL
EIL
EIL
EIL
EAL
A
0002
0
002
00
00000
02
012
400
2000
124
0
00000
2
2
23
23
)(
φ
φ