10/04/231

Análisis no lineal de estructuras de cable empleando el SAP 2000

Elaborado por: Bachiller Liliana Sánchez Fernández

Asesorada por: Dr. Víctor Sánchez Moya

Copyright 1996-99 © Dale Carnegie & Associates, Inc.

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Introducción• La clase de no linealidad que se presenta en

estructuras de cable es la no linealidad geométrica.

• Las estructuras de cables poseen dos tipos de no linealidad geométrica, estas son: La no linealidad debido a grandes desplazamientos y la no linealidad debida a la catenaria.

• Aun cuando estos efectos se encuentran interrelacionados, mediante algunas suposiciones en el comportamiento de los cables pueden separase y estudiarse dependientemente.

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No linealidad debido a grandes desplazamientos• En la figura adyacente se muestra

un elemento antes y después de que haya experimentado deformaciones, como se aprecia las deformaciones introducen cambios en la longitud del miembro, producen una rotación de cuerpo rígido del elemento y generan una curvatura en el elemento.

• Para efectos prácticos del análisis se desprecia la presencia de la curvatura por no ser muy significativa.

• El cambio de longitud y la rotación de cuerpo rígido del elemento pueden pueden introducirse fácilmente en la matriz de rigidez en función de los desplazamientos en los extremos del elemento.

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No linealidad debido a la catenaria del cable

• El peso propio del cable introduce no linealidades en la fuerza axial de los mismos debido a que las tensiones y deflexiones se encuentran interrelacionadas.

• Las no linealidad debida a largos desplazamientos y a la que se producen por efecto de la catenaria son dependientes una de la otra, este ultimo puede estimarse usando una formula aproximada sugerida por Leonhrardt.

• De esta manera el efecto de la catenaria puede así ser calculado independientemente introduciéndose adecuadamente en los coeficientes de la matriz de rigidez del cable.

30

22

0

121

EL

EE

x

sag

Formula de Leonhardt, donde: Eo = Modulo de Young del cable sin efecto de la catenaria peso especifico del cable.Esfuerzo de tension en el cable. Lx = Longitud de la proyección horizontal del cable.

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Análisis matricial de estructuras sometidas a a grandes desplazamientos

• Cuando se producen grandes desplazamientos en una estructura, las ecuaciones de equilibrio deben de plantearse en la geometría deformada, lo que significa que la relación matricial,comúnmente conocida en el análisis lineal como F = K U, ya no se cumple, siendo F las fuerzas en el elemento, K la matriz de rigidez y U los desplazamientos.

• Para tomar en cuenta los cambios en la geometría de los elementos a medida que se incrementa la carga, se pueden obtener expresiones para los desplazamientos U tratando el problema que es de naturaleza no lineal, como una secuencia de pasos lineales en los que se aplica pequeños incrementos de carga hasta alcanzar la carga total.

• Sin embargo debido a la presencia de grandes deformaciones, las ecuaciones de deformación- desplazamiento contienen términos no lineales que deben de incluirse al calcular la matriz de rigidez K

• Los términos no lineales en las ecuaciones de deformación- desplazamiento modifican los elementos de la matriz de rigidez de tal modo que la nueva matriz de rigidez de la estructura sea: K = Ke + Kg

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• La expresión K = Ke + Kg indica que la matriz de rigidez de la estructura de ve afectada por el termino Kg, al cual denominamos matriz de rigidez geométrica, este termino depende tanto de la geometría de los elementos como de las fuerzas presentes en estos.La matriz Ke es la matriz elástica del elemento, calculada para la geometría inicial del elemento, y la cual suele cambiar a medida que cambia la geometría del elemento.

• El calculo de este tipo de estructuras, se hace de manera incremental, el proceso de análisis se puede representar en el siguiente esquema.

Paso Rigidez Desplazamiento incremental

Fuerza en el elemento

1 Ke(0)+Kg(0) U1 F1

2 Ke(U1)+Kg(U1) U2 F2

3 Ke(U2)+Kg(U2) U3 F3

... ......... .... .....

n Ke(Un)+Kg(Un) Un Fn

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Ejemplo sencillo

• Para ilustrar lo escrito anteriormente se trabajara con la estructura que se muestra en la figura.

• Primero se describirá el comportamiento no lineal mediante una solución analítica (exacta), posteriormente se realizara un calculo de la misma de manera iterativa, y finalmente se realizara el calculo matricial, que es la manera como trabajan los programas de calculo como el SAP 2000.

D atos: V alores U nidadesL/2 = 5 mP = 14 tn. 1 = 5 ºE = 1.61E +07 tn/m ²A = 9.62E -04 m ²

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Donde:

Li = 5.01909919 m.

Li Sen1 = 0.43744332 m.

El equilibrio en la posición deformada es:

despejando T:

Pero Lf según las relaciones constitutivas se puede expresar como:

Y según las relaciones de compatibilidad Lf se puede expresar como:

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De las ecuaciones (1),(2) y (3) se obtiene la siguiente expresión:

Denominamos como x a la siguiente expresión para simplificar el calculo

Con este cambio de variable se tiene:

Calculando se obtienen los resultados de la tabla:

Lf = 5.03768 m.

T = 57.359 tn.

Sen 2 = 0.1220903

2 = 0.1224 rad

L = 0.01858 m.

0.003703

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Para cerciorarnos que los resultados obtenidos son los correctos, verificaremos el equilibrio en la posición deformada, la cual difiere bastante de la posición inicial, esto es algo que no suele suceder en análisis lineales, pero por presentarse en este ejemplo la no linealidad geométrica por largos desplazamientos, debemos verificar el equilibrio en la posición final.

P = 14 tn.

14.0059811 tn.

Como se ve 14.006 vs. 14 tn, indica que el equilibrio se cumple en la posición final, pero si verificamos el equilibrio en la posición inicial, este no se va cumplir.

45.163616 tn.

Como se puede ver no se cumple con el equilibrio.

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Calculo por iteraciones.• Otra manera de calcular

estructuras con no linealidad, es mediante procesos iterativos, para este ejemplo sencillo se ha realizado dos formas de calculo iterativo, la primera de ellas consiste en una secuencia de de pasos lineales, colocando al sistema un desplazamiento pequeño u con el cual se pueden establecer relaciones lineales con la geometría del sistema tal como se muestra en la figura.

• Los desplazamientos se incrementan hasta que la carga P que equilibra el sistema sea del valor que deseamos, es decir P = 14 tn.

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Resultados para este proceso iterativo

iteraciones u ui i Ti Pi1 0.01 0.01 0.0873 2.7101 0.47242 0.01 0.02 0.0893 5.4606 0.97343 0.01 0.03 0.0912 8.2716 1.50724 0.01 0.04 0.0932 11.1429 2.07445 0.01 0.05 0.0952 14.0746 2.67586 0.01 0.06 0.0972 17.0666 3.31197 0.01 0.07 0.0992 20.1188 3.98358 0.01 0.08 0.1011 23.2311 4.69139 0.01 0.09 0.1031 26.4035 5.435910 0.01 0.1 0.1051 29.6359 6.218011 0.01 0.11 0.1071 32.9282 7.038312 0.01 0.12 0.1091 36.2803 7.897413 0.01 0.13 0.1110 39.6921 8.796014 0.01 0.14 0.1130 43.1637 9.734715 0.01 0.15 0.1150 46.6948 10.714216 0.01 0.16 0.1170 50.2855 11.735217 0.01 0.17 0.1189 53.9355 12.798318 0.002 0.172 0.1209 54.6774 13.188419 0.002 0.174 0.1213 55.4215 13.411320 0.002 0.176 0.1217 56.1680 13.635821 0.002 0.178 0.1221 56.9169 13.862222 0.0002 0.1782 0.1225 56.9920 13.925023 0.0002 0.1784 0.1225 57.0671 13.947924 0.0002 0.1786 0.1226 57.1423 13.970725 0.0002 0.1788 0.1226 57.2175 13.993626 0.000025 0.178825 0.1226 57.2269 14.0003

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 5 10 15 20 25 30

Numero de iteraciones

Desp

laza

mie

ntos

u

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Calculo por iteraciones.

• Otra alternativa de calculo es realizar la secuencia de pasos lineales incrementando la carga hasta llegar al valor de P =14 tn.

• Esta alternativa es mas recomendable, puesto que se emplea menor numero de iteraciones, además que nos da un resultado mas preciso.

• La carga se incrementa en P = 1 tn. Hasta legar a las 14 tn, a partir de este valor se realiza el proceso iterativo hasta obtener la posición final e la estructura, en la cual se debe cumplir el equilibrio.

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Resultados para este proceso iterativo

Iteraciones Pi Ti L u

1 14 57.963267 0.01885 5.03795 0.17975389 0.12281815 14.2021152 14 57.138374 0.01859 5.03768 0.17759310 0.12239246 13.9517183 14 57.336108 0.01865 5.03775 0.17811170 0.12249463 14.0116294 14 57.288524 0.01863 5.03773 0.17798694 0.12247005 13.9972055 14 57.299964 0.01864 5.03774 0.17801693 0.12247596 14.0006726 14 57.297213 0.01864 5.03774 0.17800972 0.12247454 13.9998387 14 57.297874 0.01864 5.03774 0.17801146 0.12247488 14.0000398 14 57.297715 0.01864 5.03774 0.17801104 0.12247480 13.9999919 14 57.297754 0.01864 5.03774 0.17801114 0.12247482 14.000002

10 14 57.297744 0.01864 5.03774 0.17801111 0.12247481 13.99999911 14 57.297747 0.01864 5.03774 0.17801112 0.12247481 14.00000112 14 57.297746 0.01864 5.03774 0.17801112 0.12247481 14.000000

PSenT nn 2

0.177

0.1775

0.178

0.1785

0.179

0.1795

0.18

0 2 4 6 8 10 12 14

Numero de iteraciones

Des

pla

zam

ieto

s u

Pi Ti L u 1 5.7369 0.0019 5.0210 0.0208 0.09142 10.9561 0.0036 5.0227 0.0390 0.09503 15.8121 0.0051 5.0242 0.0554 0.09824 20.3904 0.0066 5.0257 0.0703 0.10125 24.7456 0.0080 5.0271 0.0841 0.1039

6 28.9160 0.0094 5.0285 0.0970 0.10657 32.9293 0.0107 5.0298 0.1092 0.10898 36.8067 0.0120 5.0311 0.1207 0.11129 40.5651 0.0132 5.0323 0.1316 0.113310 44.2176 0.0144 5.0335 0.1420 0.115411 47.7752 0.0155 5.0346 0.1520 0.117312 51.2471 0.0167 5.0358 0.1616 0.119213 54.6410 0.0178 5.0369 0.1708 0.121114 57.9633 0.0189 5.0379 0.1798 0.1228

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Calculo de la matriz de rigidez geométrica para un elemento barra.

• De la figura se ve que la longitud de a'b' es:

• Designamos al incremento,

Como luego tenemos:

Esta expresión se puede expresar en su desarrollo binómico y además despreciamos los términos de orden superior, quedando como:

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• Ahora definimos la deformación unitaria por

por la deformación finita

• Aplicando el principio de los desplazamientos virtuales para la configuración de referencia se tiene:

Empleando la ecuación (1) e integrando a lo largo del elemento.

.....(1)

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• Empleando la relación convencional de esfuerzo deformación en la primera integral y en la segunda integral reemplazamos Obtenemos:

• A la primera integral de la expresión anterior corresponde a la matriz de rigidez elástica lineal de un elemento sometido a fuerza axial. Pero la segunda integral es la que nos interesa,puesto que esta integral se produce la matriz de rigidez geométrica Kg.

El operador virtual

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Punto 1

• Utilizar un lenguaje claro para exponer un argumento.

• Utilizar pruebas verbales y visuales para respaldar el argumento.

• Ampliar el argumento con un incidente o anécdota.

• Desarrollar una transición lógica hacia el siguiente argumento.

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Conclusión

• Resumir los argumentos.

• Exponer una conclusión que atraiga la atención de la audiencia.