El proyecto de ingeniera

Instituto Universitario Politcnico SANTIAGO MARIO Extensin MaturnAnlisis NumricoMarzo 2014 Estudiantes:

Barreto, Javier C.I 24.796.892 Cabello, Yonathan C.I. 23.897.326 Garca, Sergio C.I 22.724.469 Hernndez, Carlos 25.097.048 Rengel, Ana C.I: 23.899.313 Abou Seid, Hanin C.I. 24.504.053

Prof.:Ing. Stefania Dandrea31.Aproximacin por diferencial.Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por diferencial de x (es decir dx), igualada al incremento x; esto es dx = x. Si y = f (x) es una funcin derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada dy, se define como dy = f '(x) x, o tambin, dy = f '(x) dx y, dy, es el incremento en y medido sobre la recta tangente.

Si la ecuacin y = f (x) corresponde a una lnea recta, entonces dy = y para cualquier x del dominio. Puesto que dy = f '(x) dx, si dx 0, entonces al dividir ambos miembros de la ltima igualdad por dx, se tiene, f '(x) dx dy = yJos M. MartnezIng. De Proyectos35Aproximacin por diferencial.Tendramos que:

y = (5/ 2)2 + 5(5/ 2) + 4 = (25/ 4) 25/ 2 + 4 = 6.25 12.5 + 4 = 2.25

De esta misma forma las aplicaciones de negocio, las funciones de crecimiento anual, los porcentajes de beneficio, etc. estn formulados para llegar a los resultados correspondientes.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos4Aproximacin por diferencial.Clculo de Mximos y Mnimos:

- El uso de la diferenciacin para este propsito obtiene resultados inmediatos y con exactitud. Vamos a dar un vistazo a un ejemplo para entender cmo funciona.

Al diferenciar la expresin anterior con respecto a x, que es la variable de entrada. Tenemos, dy/ dx = 2x + 5 en el punto de mximos o mnimos, tenemos el valor de la derivada igual a cero. Por lo tanto, igualando la expresin anterior con cero tenemos, 2x + 5 = 0 x = - (5/ 2). Ahora, sustituyendo el valor de x conseguido en la expresin actual obtenemos el valor de y para este valor de x.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos62.Regla Rectangular de Simpson trapezoidal. Fue nombrada as en honor a Thomas Simpson, un matemtico ingls, conocido por sus exitosos trabajos en interpolacin y el mencionado.

El matemtico utiliz la ley de kepler y la mejor para precisar los datos incluyendo una parbola en lugar de emplear los trapecios, dicha parbola pasa por tres puntos que pasan por la funcin y=ax^2+bx+c.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos8Regla Rectangular de Simpson trapezoidal. Y queda: =

En este caso no se comete ningn error en el clculo (el resultado es exacto) porque la funcin sujeta a integracin es lineal.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos93.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Con Valores Inciales

Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que intervienen derivadas de una o ms funciones desconocidas.

Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

-Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.-Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos10Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Con Valores Inciales

Tipos de solucionesUna solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al reemplazar a la funcin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes.

Hay tres tipos de soluciones:

-Solucin general: esta tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos11Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Con Valores Inciales

-Solucin particular: Se fija cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solucin de la ecuacin diferencial, existe un nico valor de C.

-Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene particularizando la solucin general.

Cuando una ecuacin diferencial de ordenntiene la formaF(x,y,y,y,,y(n))=0 es llamada una ecuacin diferencialimplcita, mientras que en la forma F(x,y,y,y,,y(n1))=y(n) es llamada una ecuacin diferencialexplcita.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos12Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Con Valores Iniciales

Una ecuacin diferencial que no depende dexes denominadaautnoma. Se dice que una ecuacin diferencial eslinealsiFpuede ser escrita como unacombinacin linealde las derivadas dey

y(n)=i=0n1ai(x)y(i)+r(x)

.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos134.Mtodo de Euler.

Enmatemticaycomputacin, elmtodo de Euler, llamado as en honor aLeonard Euler, es un procedimiento de integracin numricapara resolverecuaciones diferenciales ordinariasa partir de un valor inicial dado.

La idea del mtodo de Euler es muy sencilla y est basada en el significado geomtrico de la derivada de una funcin en un punto dado.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos14Mtodo de Euler.

En una ecuacin cuya recta de la tangente sea:

Supongamos que es un punto cercano a , y por lo tanto esto dar comoresultado . De esta forma, tenemos la siguiente aproximacin:

Y de aqu, obtenemos nuestra aproximacin:

Jos M. MartnezIng. De Proyectos15Mtodo de Euler.

Esta aproximacin puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeo, digamos de una dcima menos. Pero si el valor de h es ms grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha frmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un mtodo iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequea) y obtener entonces la aproximacin en n pasos, aplicando la frmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a

Jos M. MartnezIng. De Proyectos165.Mtodo de Taylor.

Este mtodo consiste en hallar unaaproximacin defuncionesmediante una suma de potencias enteras de polinomios comollamados trminos de la serie, dicha suma se calcula a partir de lasderivadasde la funcin para un determinado valor o puntosuficientemente derivable sobre la funcin y un entorno sobre el cual converja la serie.

Este mtodo de aproximacin tiene tres ventajas importantes:

-La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales;-Se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;-Es posible calcular la optimidad de la aproximacin.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos17Mtodo de Taylor.

La serie de Taylor de unafuncin f realocompleja(x)infinitamente diferenciable en el entornode un nmerorealocomplejoaes la siguienteserie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera ms compacta como la siguiente sumatoria:

Donde:*n!es elfactorial den.*f(n)(a) denota la n-sima derivada defpara el valorade la variable respecto de la cual se deriva.

Jos M. MartnezIng. De Proyectos18Mtodo de Taylor.

Determine la serie de Taylor en Zo y su radio de convergencia para la funcin dada por la frmula:

Tenemos que:

Por tanto,

De forma que el radio de convergencia en la funcin sera:

Jos M. MartnezIng. De ProyectosEjercicio19

Para obtener las frmulas (7) y (8), se necesita calcular, aplicando la regla de la cadena,las derivadas de orden 1, 2 y 3 de la funcin f(t, y) = t y:f '(t, y(t)) = y + t y' = y + t (t y) = y(1 + t2)f ''(t, y(t)) = y'(1 + t2) + y 2 t = t y (1 + t2) + 2 t y = (3 t + t3) yf '''(t, y(t)) = (3 + 3 t2) y + (3 t + t3) y' = (3 + 3 t2) y + (3 t + t3) t y = (3+ 6 t2+ t4) y Jos M. MartnezIng. De Proyectos FIN20

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