ANALISIS NUMERICOTeoría de interpolación

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique a la que se denomina función interpelante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite.

Tabla De Diferencias Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichosvalores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito esdeterminar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntosseleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la funciónse comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.

Polinomio Interpolante de Newton-GregoryCuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se lepuede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir unpolinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula delPolinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).

Polinomio Interpolante de GaussHay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método deNewton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla dediferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir losvalores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.

Polinomio Interpolante De Lagrange Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia,

si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.