INTSITITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE

TACAMBARO

MATERIA: ANLISIS NUMRICO Y PROGRAMACIN

PROFESOR: OSCAR ALVAREZ ARRIAGA

TAREA:

UNIDAD 1, 2 Y 3

CARRERA: INGENIERA EN GEOCIENCIAS

ALUMNO: ISAC GONZALEZ VILLALOBOS

GRUPO: 4B

FECHA: 16 DE FEBRERO DEL 2015

UNIDAD 1. PROGRAMACION CON SOFTWARE MATEMATICO

1.1 COMANDOS

Cmo abrir MATLAB: En una estacin de trabajo Unix, MATLAB puede abrirse tecleando: > mat lab

Una vez que aparezca la indicacin de MATLAB, que puede ser >>, teclee los comandos que se explican en esta seccin. Para salir de MATLAB, teclee. >>quit

En Macintosh o Windows, haga clic en el icono de MATLAB o de STUDENT MATLAB. El procedimiento para salir de MATLAB es similar al que se sigue para salir de cualquier otra aplicacin en Macintosh o Windows. Ayuda: Si no entiende bien el signicado de un comando, teclee help y el

nombre del comando en cuestin. El comando help presenta una explicacin

concisa pero precisa de los comandos; tal vez no resulte til para los principiantes, pero ser uno de los comandos que utilice con mayor frecuencia. Por ejemplo, he

aqu una traduccin de las respuestas a help quit y a help help: >>help quit

QUIT Terminar MATLAB.

QUIT termina MATLAB.

>>he1p help

HELP Documentacin en lnea.

HELP, sin ms, presenta una lista de todos los temas de ayuda primarios. Cada tema

primario corresponde a un nombre de directorio en MATLABPATH.

HELP tema proporciona ayuda sobre el tema especificado. El tema puede ser el nombre

de un comando o de un directorio; en el primer caso, HELP exhibe informacin acerca de

ese comando; en el segundo caso, HELP muestra la Tabla de Contenido del directorio

especificado.

No es necesario proporcionar el nombre de camino completo del directorio; basta con el

ltimo componente o algunos de los ltimos componentes.

Por ejemplo, tanto help general" y "help matlab/general" exhiben la Tabla de Contenido

del directorio toolbox/matlab/general.

LOOKFOR XYZ busca la cadena XYZ en la primera lnea de comentario del texto de

HELP de todos los archivos M que se encuentren en MATLABPATH. Para todos los

archivos en los que se encuentra la cadena, LOOKFOR exhibir las lneas en las que se

encontr.

MORE ON hace que HELP haga una pausa despus de cada pantalla si el texto de ayuda

ocupa varias pantallas.

Versin: Lo primero que el usuario debe saber acerca del software de MATLAB es qu versin est usando. Para obtener esta informacin, teclee versin. Qu: El comando what produce una lista de los archivos M-, MAT- y MEX-

presentes en el directorio de trabajo actual. El comando what nombredirectorio lista los archivos del directorio nombredirectorio en el matlabpath. No es necesario

especicar el nombre completo de la ruta del directorio; basta con el o los ltimos componentes. Por ejemplo, tanto what general como what matlab/ general listan los archivos M- del directorio tool-box/matlab/ general.

Quin: El comando who produce una lista de las variables del espacio de

trabajo actual; whos exhibe informacin adicional acerca de cada variable; who

global y whos global listan las variables del espacio de trabajo global.

Reloj: El comando clock exhibe nmeros como

Ans=

1.0e+03 *

1.9950 0.0030 0.0050 0.0150 0 .0140 0.0091

El primer nmero, 1.0e+ 03, es un multiplicador; los nmeros de la segunda lnea

tienen el siguiente signicado: [ao, mes , da , hora , minuto , segundo]

Se puede exhibir la misma informacin en formato entero con fix (clock). La respuesta es

ans =

1995 3 5 15 19 56

Lo que indica que la fecha fue el ao 1995, tercer mes, quinto da, 15 horas, 19 minutos y 56 segundos, aproximadamente seis minutos despus de que se imprimi el primer ejemplo de clock. Podemos medir con clock el tiempo que tarda

una ejecucin. Por ejemplo, asigne t_0=clock antes de que se inicie un clculo y

t_1=clock cuando se haya completado; entonces, t_1-t_0 nos dar el tiempo transcurrido durante el clculo. Tambin podemos usar tic y toc para medir el

tiempo transcurrido. El comando date proporciona informacin similar, pero en un formato ms breve:

ans =

5 -Mar 95

Camino: El comando path imprime la ruta de bsqueda vigente de MATLAB. El

comando p = path devuelve una cadena p que contiene la ruta. El comando path (p0) cambia la ruta a p0, que es una cadena que contiene la nueva nata. El comando path (p1, p2) cambia la ruta a la concatenacin de las dos cadenas de ruta p1 y p2. Por tanto, path (path, p3) anexar un directorio nuevo p3 a la ruta vigente y path (p3, path) antepondr una ruta nueva.

Obtener entorno: El comando getenv (MATLABPATH) muestra las rutas de MAT-LAB vigentes. Diario: El comando diary on escribe todo lo que se introduce por el teclado, as como la mayor parte de lo que se enva a la pantalla, a un archivo llamado diary y

diary off termina la escritura. Si ya existe el archivo diary, las salidas de la pantalla

se anexarn a ese archivo. Se puede especicar un nombre de archivo distinto de diary escribindolo despus de la palabra diary. Si no se incluyen las palabras on u

off, el comando diary sola alternar entre diary on y diary off. El archivo puede imprimirse en papel o editarse posteriormente. Escape: El signo ! es el operador que sirve para salir temporalmente de

MATLAB. Con este signo, se tiene acceso al directorio fuera de MATLAB. Por ejemplo, suponga que abri MATLAB desde un shell de Unix; entonces, podr emitir un comando de Unix desde dentro de MATLAB escribiendo dicho comando despus del signo de escape. Por ejemplo, es posible abrir desde MATLAB

software de edicin de textos como el editor vi tecleando !vi nombrearchivo. Podemos utilizar el escape de fonna anloga en una PC para los comandos de DOS, o incluso en una Mac para un nmero limitado de comandos. Por ejemplo, podemos dar formato a un disquete desde MATLAB en una PC con !format a:. Sin embargo, la ejecucin de programas mediante este mecanismo, sobre todo si se trata de software grco o de comunicaciones, puede echar a perder el entorno de computacin. Demostracin: El comando demo gua al usuario para que pueda ejecutar

diversas demostraciones que se eligen de un men. El contenido de algunas demostraciones no es fcil de entender a la primera, pero puede estudiarse en varias ocasiones si se tiene inters.

1.2 CALCULOS

Clculos con una sola variable: Cuando se abre una ventana de comandos, aparece la indicacin >> en la esquina superior izquierda de la ventana. Podemos escribir cualquier comando adelante de la indicacin. En nuestras explicaciones de los comandos, omitiremos la indicacin por sencillez. Como ejemplo sencillo, evaluemos:

Volumen =

Los comandos que debemos teclear son:

Listado 1.1a

r = 2;

vol = (4/3)*pi*r 3;

Donde pi = : en MATLAB. Cada linea se teclea adelante de la indicacin >> y se oprime la tecla return (o intro) al nal de la lnea. Observe que en el guin anterior cada lnea es un comando y termina con un signo de punto y coma. El circunejo despus de r es el operador de exponente.

Cuando trabajamos en la ventana de comandos, la computadora calcula la respuesta de cada comando inmediatamente despus de pulsarse la tecla return. Por tanto, el valor de vol ya est en la computadora; cmo podemos hacer que

aparezca en la pantalla? La forma ms fcil de exhibir el resultado es teclear vol y pulsar return. La

computadora exhibir vol =

3 3 . 5 1 0

Otra forma de imprimir el valor de vol es omitir el signo de punto y coma al nal del segundo comando:

Listado 1.1b

r = 2 ;

vol = (4/3) *pi*r 3 Si falta el punto y coma, el resultado se imprimir inmediatamente despus de calcularse. Sin embargo, como casi nunca resulta cmodo ir imprimiendo todos los resultados, por lo general se coloca un punto y coma despus de cada comando. Podemos escribir varios comandos en una misma lnea separndolas con signos de punto y coma. Si necesita imprimir los resultados de cada comando que se ejecute, separe los comandos con comas y termine la lnea con o sin una coma. Por ejemplo, si escribe

r = 2, vol = (4/3)*pi*r 3

Se imprimirn los valores de r y de vol, pero si escribe

r = 2; vol = (4/3)*pi*r 3; no se imprimirn resultados. Es posible dividir un comando largo en varias lneas. En Fortran, esto se hace con una marca de continuacin en la columna 6. En MATLAB, la marca de continuacin es y se coloca al nal de la lnea que se desea continuar; por ejemplo,

Listado 1.2

r = 2 ;

vol = (4/3) *3 . 14159...

*r 3 ;

La indicacin > no aparecer en la lnea que siga a la marca de continuacin. Operadores aritmticos: Los operadores aritmticos como +, -, * y / son los mismos que los de lenguajes de programacin tradicionales como Fortran y, respectivamente, ms, menos, multiplicar y dividir. MATLAB emplea un operador no tradicional, \, que puede llamarse divisin inversa. Este operador produce el recproco de la divisin; o sea, a \ b produce b / a. Por ejemplo,

c = 3\1

c =

0.3333

No es conveniente que los lectores utilicen este operador en clculos ordinarios, pero adquirir importancia en la unidad 3 cuando tratemos el lgebra lineal.

Enunciado if: El enunciado if siempre debe terminar con un enunciado end; por ejemplo,

Listado 1.3

r = 2 ;

if r>0, vol = (4/3) * 3.14159 * r 3; end

Obsrvese tambin que al escribir el guin anterior la indicacin > no aparece sino hasta despus de teclearse end. Si el enunciado matemtico requiere un igual

despus de if, utilice ==, como en el lenguaje C; por ejemplo,

Listado 1.4

r = 2 ;

if r==2, vol = (4/3) * pi * r 3; end

El operador diferente de se escribe =; por ejemplo,

Listado 1.5

r = 2;

if r = 3, vol = (4/3) * pi * r 3; end

Los operadores mayor que, menor que, igual o mayor que e igual o menor que son, respectivamente,

>

<

> =

3 o g3 l g3 y c3 & c

Desde luego, el seif puede repetirse tantas veces como se desee; sin embargo,

hay ocasiones en que el uso de else y elseif tiene sus bemoles, sobre todo cuando

las variables que siguen al enunciado elseif incluyen variables de arreglo de

diferentes tamaos. Si los enunciados el seif no funcionan, olvdese de ellos y

repita enunciados if sencillos cuantas veces sea necesario.

Exhibicin: La orden disp exhibe un nmero, vector, matriz o cadena en la

ventana de comandos sin tener que especicar un nombre de variable; as, puede servir para exhibir mensajes o datos en la pantalla. Por ejemplo, tanto disp (pi)

como disp pi imprimen 3 . 14159 en la ventana de comandos. Pruebe tambin disp

Esta es una prueba de disp. .

Variables y nombres de variables: No es necesario declarar los nombres de las variables ni sus tipos. Esto se debe a que los nombres de las variables en MATLAB no son diferentes para las variables enteras, reales y complejas. Cualquier variable puede adoptar valores reales, complejos y enteros. Ni siquiera es necesario declarar previamente el tamao de un arreglo. En principio, cualquier nombre puede utilizarse siempre que sea compatible con MAT-LAB. Sin embargo, debemos tener presentes dos situaciones incompatibles. La primera es que MATLAB no acepta el nombre; la segunda es que se acepta el nombre pero ste anula el signicado original de un nombre reservado. Estos conictos pueden ocurrir con los siguientes tipos de nombres:

(a) nombres de ciertos valores (b) nombres de funciones (subrutinas) (c) nombres de comandos

Un mtodo para determinar la compatibilidad del nombre de variable es probarlo en la pantalla de comandos. Un enunciado vlido como x=9 tendr una respuesta como sta:

X=

9

Lo que signica que se acept la variable. En cambio, si se prueba con end=4 (como ejemplo de uso indebido), ser ignorado. Un ejemplo del segundo conicto es el siguiente: si se utilizan sin y cos como

ejemplos de nombres de variable indebidos) sin relacin con las funciones trigonomtricas; por ejemplo,

sin= 3;

cos = sin 2;

Los clculos procedern, pero sin y cos ya no podrn utilizarse como funciones

trigonomtricas en tanto no sean borradas las variables con el comando clear o se

abandone MATLAB. Si aparece un mensaje de error relacionado con un conicto, es importante que el lector investigue qu lo caus. Es tradicional utilizar los smbolos i, j, k, I, m y n como variables enteras o ndices. Al mismo tiempo, i y j se emplean para denotar el valor imaginario unitario

. En MATLAB, i y j se reservan para el valor imaginario unitario; por tanto, si un clculo incluye varias variables complejas es aconsejable evitar el uso de i y j

como variables definitivas por el usuario, si es posible. En la tabla 1.1 se presentan ejemplos de nombres de variable reservados que tienen signicado especial. Se puede vericar la existencia de una variable o un archivo con el comando exist.

Ciclos: MATLAB cuenta con ciclos for /end y while/ end. A n de ilustrar un ciclo for / end, calculemos el volumen de las esferas para r=1 hasta 5. Los comandos para esta tarea pueden escribirse as:

Listado 1.7

for r=1:5

vol=(4/3) * pi * r^3

disp ( [r, vol ] )

end

Los clculos del ciclo no comenzarn hasta que se teclee end y se pulse la tecla return (intro). El enunciado disp( [r , vol] ) imprimir los valores de r y vol en una lnea cada vez que se calcule vol. No es necesario un signo de punto y coma

despus de for r=1 : 5 ni de end. Otra forma de escribir un ciclo consiste en utilizar while /end; por ejemplo,

Listado 1.8

r = 0 ;

while r < 5

r = r+1;

Vol = (4/3) *pi*1 ^ 3;

disp ( [r, vol])

end

El ndice del ciclo puede decrementarse as:

for r =5 : - 1 : 1

vol = (4/3) * pi * 1 ^3;

disp ( [r, vol])

end

En este ejemplo, el -1 entre los operadores de dos puntos es el decremento del parmetro r despus de cada ciclo. Podemos escribir ciclos dobles y triples; por ejemplo,

Listado 1.9

for r= 1 : 5

for s= 1 : r

vol = (4/3) * pi * (r^3 - s^3);

disp( [r, vol)

end

end

Formato: Por omisin, los nmeros se exhiben con cinco dgitos: pi

ans =

3 . 1416

Sin embargo, los mismos dgitos pueden exhibirse con 16 dgitos si se emite la orden format long; Por ejemplo,

format long

pi

ans=

3.141592653589793

Si desea volver al formato corto, utilice format shor t. Adems, format short e y format long e se pueden imprimir nmeros cortos y largos, respectivamente, en formato de

punto otante. Corte: El comando break termina la ejecucin de un ciclo for o while. Si se utiliza

break en ciclos anidados, slo se termina el ciclo inmediato donde se encuentra el

comando. En el siguiente ejemplo, break termina el ciclo interior tan pronto como se satisface

j>2*i, pero el ciclo de i se contina hasta i=6:

Listado 1.10

for i=1:6

for j=1:2O

if j>2 * i, break, end

end

end

Ciclo innito: Hay ocasiones en que conviene utilizar un ciclo innito que pueda romperse cuando se satisfaga cierta condicin. En el siguiente ejemplo se muestra un ciclo innito que se rompe slo si se satisface la condicin x > xlimit:

while 1

.

.

if x > xlimit, break; end

.

.

end

Cmo borrar variables: Al ejecutarse los comandos, MATLAB memoriza las variables utilizadas. Sus valores permanecen en la memoria hasta que se sale de MATLAB o hasta que se borran las variables, lo cual se hace con el comando clear.

Si slo se desea borrar algunas variables, sus nombres se indican despus de la palabra clear; por ejemplo,

clear x y z

Cmo borrar la ventana de comandos: Si desea borrar la ventana, utilice el comando

clc

1.3 LECTURA Y ESCRITURA

Hay varias formas de pasar datos a y de MATLAB. Los mtodos pueden agruparse en tres clases:

(a) Operacin interactiva mediante teclado o el ratn (b) Lectura de o escritura en un archivo de datos (c) Empleo de save o load

Lectura de entradas de un teclado: MATLAB puede aceptar datos de entrada a travs del teclado mediante el comando input. Si se desea leer un nmero, un enunciado bsico sera:

z = input(Teclee el radio:)

La parte Teclee el radio: es un mensaje de solicitud que se exhibe en la pantalla.

Cuando se teclee el valor del radio y se pulse la tecla return (intro), el dato se guardar en z. Tambin es posible introducir cadenas desde el teclado. Un

enunciado bsico sera:

z = input ( Indique su nombre: ' , ' s ')

El segundo argumento, s , indica que la entrada del teclado es una cadena. La variable z se convertir en una variable de arreglo (vector de la) a menos que la

cadena slo contenga un carcter. Se puede introducir una cadena con input sin s

si la cadena se teclea encerrada entre apstrofos. En este caso, el mensaje de solicitud podra ser:

z = input ( ' Indique su nombre (encerrado en apstrofos) : ')

Formato de salida: Es posible imprimir mensajes y nmeros con formato si se utiliza fprintf; por ejemplo, j

fprintf ( 'El volumen de la esfera es %12.5 f. \ n ' , vol)

Aqu se incluy entre los apstrofos la cadena que se va a exhibir, el formato de un nmero y el operador de nueva lnea. El estilo del formato debe ser familiar para quienes conocen el lenguaje C: El volumen de la esfera es la cadena que se

exhibir, %12. 5f es el formato y es similar a F12. 5 en Fortran, y \n es el operador de nueva lnea que avanza en una lnea la posicin en la pantalla. El operador de nueva lnea se puede colocar en cualquier lugar de la cadena. Por ltimo, vol es la

variable que se imprimir en el formato %12. 5f. Si se omite \n, lo que se imprima

en seguida aparecer en la misma lnea. El enunciado

Fprintf ( 'formato_e: %12.5e \n, 12345.2)

Exhibir

formato_e: l.23452e+04

Si se escriben consecutivamente dos enunciados de impresin sin \n en el

primer enunciado, por ejemplo,

Fprintf ('formato_e: %12.5e', 12345.2)

Fprintf (formato_f: %l2.3f\n', 7.23462)

toda la salida se imprimir en una sola linea, as:

formato_e: l.23452e+O4 formato_f: 7.235

Se puede teclear un valor entero empleando el mismo formato, slo que se pone un 0 despus del punto decimal; por ejemplo,

Fprintf ('formato_f: %12.0f\n', 93)

Produce

formato_f: 93

Si se desea imprimir varios nmeros en una misma lnea, puede utilizarse varias veces fprintf sin \n, excepto en el ltimo enunciado.

Escritura en un archivo especco: Es posible utilizar el enunciado fprintf

para escribir salidas con formato en un archivo. Para ello, se incluye el nombre del archivo en el argumento; por ejemplo,

Fprintf (archivo_x', Volumen = %12.5 f\n , vol)

Escribir la salida en el archivo de nombre archivo_x. Si no existe el archivo, se

crear uno nuevo; si existe, la salida se anexar al nal de su contenido. Si ya existe archivo_x, es posible eliminarlo con : !rm archivo_x en Unix o !erase archivo_x en Windows.

Se puede tener un mejor control de los archivos con fopen y fclose. Si desea

mayores detalles, consulte la gua de usuario de MATLAB.

1.4 VARIABLES DE ARREGLO

Variables de arreglo unidimensional: Las variables de arreglo unidimensional tienen forma de la o columna y estn ntimamente relacionadas con los vectores y las matrices. En MATLAB, arreglo de la es lo mismo que vector de la y arreglo de columna es lo mismo que vector de columna. La variable x puede denirse como vector de la especicando sus elementos; por ejemplo:

X= [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5];

Si desea imprimir un elemento en particular, teclee x con su subndice. Por ejemplo, si teclea x (3) como un comando se exhibir:

ans =

0. 2

Una forma equivalente de denir la misma x es for i=1:6

x(i) = (i-1)*0.1;

end

El tamao de un vector no tiene que declararse previamente, pues se ajusta automticamente. El nmero de elementos de x puede incrementarse deniendo elementos adicionales, por ejemplo,

x (7 ) = 0.6 ;

Otra forma de escribir una variable de arreglo de la con un incremento o decremento jo es:

x = 2 = -0 . 4 = -2

que produce x = 2.0000 1.6000 1.2000 0.8000 0.4000 -0.0000

La denicin de un arreglo de columna es similar a la de un arreglo de la excepto que los elementos se separan mediante signos de punto y coma; por ejemplo,

z= [0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5];

Una alternativa para denir esto mismo es agregar un apstrofo a un arreglo de la:

z= (0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5+;

El operador apstrofo equivale al operador de transposicin en el lgebra de matrices y vectores, as que convierte vectores de columna en vectores de la y viceversa. Si se teclea z como orden se obtiene:

z =

0

0. 1

0. 2

0. 3

0. 4

0. 5

Si se dene un solo elemento de un arreglo c, por ejemplo, c ( 8) = 11 ;

se supondr c (i) = 0 para i=1 hasta 7. Por tanto, si teclea c como comando obtendr C =

0 0 0 0 0 0 0 11

Cuando y y x tienen la misma longitud y la misma forma (la o columna), los

vectores y y x se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir empleando los

operadores aritmticos de arreglos: z = x + y

z = x e y

z = x . * y

z = x . / y

que equivalen respectivamente a

Listado 1.12

for i=1:6; z(i) = x(i) + y(i); end

for i=1:6; z(i) =x(i) -y(i); end

for i=1:6; z(i) = x(i) *y(i); end

for i=1:6; z(i) = x8i) /y(i); end

Las reglas para la suma y la resta son las mismas que para los vectores en el lgebra lineal. En cambio, .* y ./ son operadores nombrados para la multiplicacin y la divisin de arreglos, respectivamente, y son distintos de la multiplicacin y divisin de matrices y vectores. Si se omite el punto de .* o ./, el signicado cambia totalmente. El operador de potenciacin de arreglos se puede ilustrar con

g = z . ^ 1 . 2 ;

donde z es un vector de longitud 6, se coloca un punto antes del operador ^ y g se

convierte en un vector de la misma longitud. El enunciado anterior equivale a for i=1:6; g(i) = z(i) ^1.2; end

donde el operador A no lleva antepuesto un punto. El tamao de un arreglo puede incrementarse anexndole un elemento o un vector (o vectores). Por ejemplo, suponga

x =

2 3

El comando que sigue anexa 5 a x y hace que su longitud sea 3:

x = [x , 5]

Lo que devuelve x =

2 3 5

Podemos anexar un nmero, un vector o varios vectores a un vector de columna. Suponga que y es un vector de columna,

y=

2

3

entonces

y = [y ; 7]

produce y =

2

3

7

Aqu, 7 se aade al nal del vector de columna. Observe que se utiliza un signo de punto y coma para anexar a un vector de columna. Tambin se puede anteponer un elemento a un vector; por ejemplo, x = [9 , x] produce

x =

9 2 3 5

donde x del lado derecho se deni previamente. De forma similar, [-1 ; y] produce y =

-1

2

3

7

Un procedimiento inverso consiste en extraer una parte de un vector. Con la y anterior,

w = y (3 : 4)

dene a w que equivale al tercer y cuarto elementos de y, a saber:

w =

3

7

Si no recuerda el tamao de un vector, pregntelo a la computadora. Para un vector

x = [9 , 2 , 3 , 5]

la consulta length (x)

recibe la respuesta ans =

4

La respuesta es la misma para un arreglo de columna. Denamos y = *9, 2 ,3+; entonces, length (y) devolver ans = 3. Por otro lado, si adems de la longitud se desea saber si el vector es de columna o de la, se debe usar size. Por ejemplo,

size (y) devolver ans =

3 1

donde la primera cifra es el nmero de las y la segunda es el nmero de columnas. Esta respuesta nos dice que y es una arreglo de 3 por 1, es decir, un vector de columna de longitud g 3.Para z=[9, 2, 3, 5], size (z) devolver

ans =

1 4 es decir, z es un vector de longitud 4.

Variables de cadena: Las variables de cadena son arreglos. Por ejemplo, una variable de cadena v denida por

v = ' glaciar '

equivale a v = * g , 1 , a, c , i , a , r]

La variable v puede convertirse en una cadena de columna con

v = v

que es g

l

a

c

i

a

r

Variables de arreglo bidimensional: Un arreglo bidimensional, que es lo mismo que una matriz en MATLAB, se puede denir especicando sus elementos. Por ejemplo, un arreglo de 3 por 3 se puede denir mediante

m = [0.1, 0.2, 0.3; 0.4, 0.5, 0.6; 0.7, 0.5, 0.9];

Observe que los elementos de una la terminan con un signo de punto y coma. Desde luego, todas las las deben tener el mismo nmero de elementos; si no es as, la denicin no ser aceptada. El enunciado anterior equivale a escribir

Listado 1.13

m(1 , 1)=0.l;

m(1 , 2)=0.2;

m(1 , 3)=0.3;

m(2 , 1)=0.4;

m (2 , 2 ) =0.5;

m ( 2 , 3 ) =0.6;

m (3 , 1 ) =0.7;

m(3 , 2)=0.8;

m(3 , 3)=0.9;

Si tecleamos m como un comando obtenemos

m =

0.1000 0.2000 0.3000

0.4000 0.5000 0.6000

0.7000 0.8000 0.9000

Podemos expresar una columna o una la completa de un arreglo bidimensional empleando un signo de dos puntos. Por ejemplo, m (1 , : ) y m ( : , 3) son la primera la de m y la tercera columna de m, respectivamente, y se tratan como vectores.

Por ejemplo, c (1 , :) = m( 3 , :);

c (2 , :) = m(2 , :);

c (3 , :) = m(1 , :);

producen c =

0.7000 0.8000 0.9000

0.4000 0.5000 0.6000

0.1000 0.2000 0.3000

Los arreglos bidimensionales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir con los operadores aritmticos de arreglos:

Listado 1.14a

c = a + b .

c = a - b

c = a .* b

c = a ./ b

Aqu, a y b son arreglos bidimensionales del mismo tamao. Los enunciados anteriores equivalen a, respectivamente,

Listado 1.14b

for i=1 : 3

for j=1 : 3

c(i , j) = a(i , j) + b(i , j );

end

end

for i=1 : 3

for j=1 : 3

c(i , j) = a(i , j) - b(i , j );

end

end

for i=1 : 3

for j=1 : 3

c(i , j) = a(i , j) * b(i , j );

end

end

for i=1 : 3

for j=1 : 3

c(i , j) = a(i , j) / b(i , j );

end

end

Observe que las expresiones del listado 1.14a son mucho ms compactas y claras que las del listado 1.14b. El enunciado con el operador de potenciacin de arreglos,

g = a . ^ 3

equivale a for i=1 : 3

for j=1 : 3

g(i , j) = a (i , j) ^ 3;

end

end

Los vectores de columna y los de la son casos especiales de matrices; por tanto, los operadores de arreglos funcionan igual con los vectores que con las matrices. El empleo de los operadores aritmticos de arreglos tiene dos ventajas. En primer lugar, los programas son ms cortos. En segundo lugar, la eciencia computacional de MATLAB es mayor con la forma corta que cuando se escribe lo mismo empleando ciclos. Enunciados if que comparan arreglos: Las variables de arreglos pueden

compararse en un enunciado if. Si suponemos que a y b son matrices del mismo

tamao: (a) if a==b slo se satisface si a (i , j ) ==b (i , j ) para todos los elementos.

(b) if a>=b slo se satisface si a (i , j ) >=b (i , j ) para todos los elementos.

(c) if a~=b se satisface si a (i , j ) ~=b (i , j ) para al menos un elemento.

Si se comparan dos variables de cadena de diferente longitud en un enunciado if,

ocurrir y un error aritmtico, porque los dos arreglos deben tener la misma longitud. Para poder comparar variables de cadena en enunciados if, ser preciso

ajustar todas las variables a una longitud predeterminada anexando espacio; en blando. Por ejemplo, en lugar de

a = ' equidna '

b = ' tapir '

c = ' albatross '

d = petrel

debemos escribir a = ' equidna '

b = tapir '

b = 'albatross '

d = ' petrel '

Con esto ya podremos comparar a, b y c en enunciados if.

Sin embargo, una forma ms fcil de realizar la tarea es con str2mat. Por ejemplo,

supongamos que las variables de cadena estn dadas por t1 = 'digitalis'

t2 = 'nicotiana'

t3 = 'basilicum'

t4 = ' lychnis'

t5 = ' chrysantemum'

Entonces, podemos organizar las variables en una sola matriz de cadenas con s = str2mat ( t1 , t2 , t3 , t4 , t5)

La primera la de s se convierte en t1, la segunda en t2, y as sucesivamente, con

longitudes idnticas porque se aaden espacios en blanco a las cadenas ms cortas.

1.5 FUNCIONES MATEMATICAS EN SOFTWARE

Al igual que otros lenguajes de programacin, MATLAB tiene numerosas funciones matemticas, desde las elementales hasta las de alto nivel. Las funciones elementales pueden agruparse en tres categoras:

(a) Funciones trigonomtricas

(b) Otras funciones elementales

(c) Funciones que realizan tareas

Las funciones matemticas en MATLAB presentan dos notables diferencias respecto de las de otros lenguajes de programacin como Fortran o C: (1) las funciones matemticas funcionan con variables complejas sin discriminacin alguna y (2) las funciones matemticas funcionan con argumentos vectoriales y matriciales. Argumentos complejos: Para ilustrar la forma en que las funciones de MATLAB trabajan con variables imaginarias o complejas, probemos

cos ( 2 + 3 * i )

donde i es el numero imaginario unitario, equivalente a la raz cuadrada de -1. La

respuesta es ans =

-4.1896 - 9.l092i

En otro ejemplo, consideremos la funcin arco coseno, que es el inverso de la funcin coseno denido por

y = acos(x) = cos1(x) El comando

acos (0 . 5)

produce

ans=

1.0472

El argumento x de acos(x) normalmente esta limitado al intervalo -1 x -1 (asi es como trabaja la funcion acos en Frontan). En MATLAB, en

cambio, acos acepta cualquier valor en - < x < porque los valores de acos(x) no estan limitados a valores reales de hecho si probamos

Acos(3)

entonces ans=

0 + 1 . 7627 i

Argumentos de arreglo: La mayor parte de las funciones de MATLAB puede aceptar vectores y matrices como argumentos. Por ejemplo, si

x =

1 2 3

9 8 7

entonces sin (x) producir ans =

0.8415 0.9093 0.1411

0.4121 0.9894 0.6570

que es una matriz del mismo tamao que x. El clculo realizado equivale a

Listado 1.18

for i=1 : 2

for j =1 : 3

x(i , j) = sin( x ( i , j))

end

end

Si x es un arreglo de columna o de la, sin (x) se convierte en un arreglo de

columna o de la, segn sea el caso.

1.6 FUNCIONES QUE REALIZAN TAREAS

Adems de las funciones que calculan funciones matemticas directas y que aparecen en la tabla 1.3, hay varias funciones que realizan tareas. Ordenar: La funcin sort reordena los elementos de un vector en orden

ascendente. Esto resulta til en los casos en que datos en un orden aleatorio tienen que reacomodarse en orden ascendente. El argumento x puede ser un

vector de la, un vector de columna o una matriz. Si x es una matriz, el

reordenamiento se realizar en cada columna. A continuacin presentamos algunos ejemplos:

sort( [ 2 1 5 ] )

ans =

1 2 5

sort ( [2 1 , 5)

ans =

l

2

5

Sort ( [ 9 1 5 ; 2 8 4 ] )

ans =

2 1 4

9 8 5

Sumatoria: sum (x) calcula la sumatoria de los elementos de un vector o matriz x. Para los vectores tanto de la como de columna, sum calcula el total de los

elementos. Si x es una matriz, se calcula la sumatoria de cada columna y se

devuelve un vector de la formado por las sumatorias de todas las columnas. A continuacin damos unos cuantos ejemplos

sum ( [ 2 1 5] )

ans=

8

sum( [ 2 1 5} ' )

ans =

8

sum([ 2 1 5 ; 9 8 5 ])

ans =

11 9 10

Mximo y mnimo: max (x) encuentra el mximo en el vector x y min (x)

encuentra el mnimo, El argumento x puede ser un vector de la o de columna o

una matriz. Si x es una matriz, la respuesta es un vector de la que contiene el

mximo o mnimo de cada columna de x. (La regla es la misma que para sort y

sum.)

Nmeros aleatorios: Podemos generar nmeros aleatorios con rand. La forma

bsica de la funcin es rand (n), donde n especica el tamao de la matriz de

nmeros aleatorios que debe devolverse. Si n = 1, se devuelve un solo nmero

aleatorio; si n > 1, se devuelve una matriz n por n de nmeros aleatorios. Si no se

especica otra cosa, los nmeros aleatorios as generados estn en 0 x 1. Si se

invoca rand varias veces seguidas, se genera una secuencia de nmeros

aleatorios. El generador de nmeros aleatorios puede inicializarse proporcionando un nmero que sirva como semilla. La forma bsica de la inicializacin es

rand ( seed ' , k )

donde k es la semilla. Si se utiliza la misma semilla, la secuencia de nmeros

aleatorios es la misma. Por otro lado, si se desea que la secuencia diera aleatoriamente cada vez que se inicie el generador de nmeros aleatorios, se deber proporcionar una semilla elegida al azar, que podra ser la hora en segundos o el nmero que gan el premio mayor en la lotera de la semana, aunque no es fcil obtener nmeros verdaderamente aleatorios a partir de fenmenos naturales o la vida diaria (vase el ejemplo 1.1). La semilla debe ser mayor que r la unidad.

1.7 CREACION DE UN PROGRAMA EN FORMA DE ARCHIVO

La ejecucin de comandos en una ventana slo es apropiada si no hay que teclear mucho o si se desea explorar ideas de forma interactiva. Sin embargo, en los casos en que los comandos ocupan ms de unas cuantas lneas es ms conveniente que el usuario escriba un archivo M de guin o un archivo M de funcin, porque los archivos M se pueden guardar en disco y pueden corregirse tantas veces como sea necesario. El archivo M puede incluir cualquier cosa que el usuario pueda escribir directamente en la ventana de comandos. Se recomienda a los principiantes tratar de crear primero archivos M cortos y luego ejecutarlos. MAC y Windows: Si desea elaborar un archivo M nuevo en Macintosh o Windows, haga clic en NEW del men File (Archivo) de la parte superior de la

ventana de comandos; aparecer una ventana nueva. Como ejercicio, teclee el contenido del listado 1.1b, por ejemplo, y gurdelo como archivo M haciendo clic en SAVE AS del men File. El nombre del archivo puede ser esfera . m. El archivo puede ejecutarse desde la ventana de comandos tecleando esfera como un

comando; incluso puede ejecutarse desde otro archivo M incluyendo esfera en ese archivo. Otra forma de ejecutar el archivo en Macintosh es hacer clic en SAVE and

GO del men File.

Estacin de trabajo Unix: Abra MATLAB desde el directorio de trabajo donde se van a guardar los archivos M. Abra adems un editor desde el mismo directorio. Se puede utilizar cualquier software de edicin, como vi, emacs y jot. Se puede

editar un archivo en la ventana del editor y guardarse sin cerrar la ventana. El nombre de archivo debe tener la extensin .m en Unix. Cuando est listo para

ejecutar el archivo M que guard, pase a la ventana de MATLAB y ejectelo tecleando el nombre del archivo sin la extensin. Si es necesario invocar

comandos de Unix desde el entorno de MATLAB, teclee ! seguido del comando de

Unix. Esta es una forma de abrir un editor como vi o emacx.

Eco: Cuando se ejecuta un guin, lo normal es que los enunciados del archivo M no se exhiban en la pantalla. Sin embargo, si se activa el eco con la orden echo

on, los enunciados se exhibirn. De este modo, el usuario puede ver cul parte del

archivo M se est ejecutando. Para desactivar el eco, teclee echo of f.

Enunciados de comentario: El signo % en un archivo M indica que los

enunciados que siguen al signo en la misma lnea son comentarios y deben ignorarse durante los clculos. Los comentarios que se aaden as a los archivos M pueden ayudar a explicar el signicado de las variables y los enunciados. Ejemplo 1.1 Los nmeros aleatorios pueden servir para crear juegos. El enunciado x=rand (1) genera un nmero aleatorio entre 0 y 1 y asigna ese nmero a x. Consideremos 13

cartas de espadas que se barajaron bien. La probabilidad de escoger una carta en particular de la pila es de 1/13. Escriba un programa que simule la accin de

escoger una carta de espadas con un nmero aleatorio. El juego debe continuarse devolviendo la tarjeta a la pila y barajndola otra vez despus de cada juego. i!

Solucin Puesto que la probabilidad de que un nmero aleatorio est en un intervalo de tamao dx es igual a dx, supondremos que si el nmero aleatorio est en

(n-1)/13

c=clock;

k=c(2)*c(3)*c(4)*c(5)*c(6);

rand ( ' seed ' , k )

for k=1 : 2 0

n = ceil (13 * rand (1) ) ;

fprintf ( Nmero de carta sacada: % 3.0 f \ n , n)

disp ( )

disp ( ' Teclee r y pulse Return para repetir ')

r = input ( ' o cualquier otra letra para terminar ' , ' s ' );

if r ~= 'r, break, end

end

1 .8 CM ESCRIBIR FUNCIONES DE USUARIO PROPIAS

Las funciones en MATLAB, que se guardan como archivos M independientes, equivalen a las subrutinas y funciones de otros lenguajes. Una funcin que devuelve una sola variable: Consideremos un archivo M de funcin para la siguiente ecuacin:

( )

Suponiendo que el archivo M se guarda como demof_.m, su guin seria el siguiente

Listado 1.20

function y = demof_ (x)

y = ( 2 * x. ^ 3 + 7 * x . ^ 2 + 3 * x-1) ./ ( x. ^2 3 * x + 5 * exp (-x) );

Observe que el nombre del archivo M es idntico al nombre de la funcin, que aparece a la derecha del signo de igual. En el archivo M se utilizan los operadores aritmticos de arreglos, as que el argumento x puede ser un escalar, un vector o una matriz. Una vez que se guarda demof_ . m como archivo M, se puede utilizar desde la ventana de comandos o en otro archivo M. El comando

y = demof_ ( 3)

produce

y =

502 .1384

Si el argumento es una matriz, por ejemplo, demof_ ( [ 3 , 1 ; 0 , -1 ] )

El resultado tambin es una matriz:

ans =

5 0 2 . 1 3 8 4 -6 8 . 4 9 2 0

-0. 2 0 0 0 0. 0 5 6 8

Funcin que devuelve mltiples variables: Una funcin puede devolver ms de una variable. Supongamos una funcin que evala la media y la desviacin estndar de una serie de datos. Para devolver las dos variables utilizamos un vector en el miembro izquierdo del enunciado de la funcin; por ejemplo,

Listado 1.21

function [media , dvstd] = media_ds (x)

n=length (x) ;

media = sum(x)/n;

dvstd = sqrt(sum(x.^2)/n media.^2);

Para utilizar esta funcin, el miembro derecho del enunciado de llamada tambin debe ser un vector. El guin anterior debe guardarse como media__ds. m.

Entonces, x=[ 1 5 3 4 6 5 8 9 2 4 ];

[ m , d ] = media_ds(x)

produce m =

4.7000

s =

2 . 3685

Funcin que utiliza otra funcin: El argumento de una funcin puede ser el nombre de otra funcin. Por ejemplo, supongamos una funcin que evala la media ponderada de una funcin en tres puntos como

( ) ( ) ( )

donde ( ) es la funcin que se nombrar en el argumento. El siguiente guin ilustra una funcin f_av . m que calcula la ecuacin 1.7.2:

Listado 1.22

function mp = f _ av ( nombre _ f , a , b , c )

mp = ( feval ( nombre _ f , a ) + 2 * feval ( nombre _ f , b) ...

+ feval(nombre_f)c))/4;

En el guin anterior, nombre_f (una variable de cadena) es el nombre de la funcin ( ). Si es la funcin seno, nombre_f ser ' sin . feval (nombre_f, x) es un comando

de MATLAB que evala la funcin llamada nombre_f para el argumento x. Por

ejemplo, y = feval('sin' ,x) equivale a y=sin(x). Ejemplo 1.2 Evale la ecuacin 1.7.2 para la funcin denida por la ecuacin 1.7.1 con a = 1, b =

2 y c = 3. La ecuacin 1.7.1 se program como demof_.m y se muestra en el listado 1.19.

Solucin Suponemos que f_av.m (listado 1.22) se guard como archivo M. Entonces, el comando

A = f _ av ( ' demof _ ' , 1 , 2 , 3 )

produce 89 . 8976

El nmero de argumentos de entrada y de salida de feval debe coincidir con el

formato de la funcin nombre__f. Por ejemplo, si la funcin nombre_f requiere

cuatro variables de entrada y devuelve tres variables de salida, el enunciado para llamar a feval sera

[ p , q , s] = feval (nombre_ f , u , v , w , z )

Depuracin de archivos M de funcin: La depuracin de archivos M de funcin es ms dicil que la de archivos M de guin. Una de las causas es que no es posible ver los valores de las variables tecleando los nombres de las variables a menos que se utilicen rdenes de depuracin. El mtodo ms bsico pero ecaz para crear un archivo M de funcin consiste en convertir en comentario el enunciado de la funcin en la primera lnea colocando % antes de la palabra function y probar el

archivo M como guin. Cuando haya depurado exhaustivamente el archivo M, reincorpore el enunciado de la funcin. El empleo de comandos de depuracin slo se recomienda a usuarios avanzados de MATLAB.

1.9 CMO GUARDAR Y CARGAR DATOS

Guardar y cargar: Si utiliza save slo, as:

save

todas las variables se guardarn en el archivo por omisin matlab . mat. La orden load es el inverso de save y recupera todas las variables guardadas por save.

Se puede especicar el nombre de archivo colocndolo despus de save; por

ejemplo, save nombre_archivo

guarda todas las variables en el archivo llamado nombre_archive . mat. Cuando quiera recuperar las variables, escriba

load nombre_archivo

Si slo desea guardar ciertas variables, escriba sus nombres despus de nombre_archivo; por ejemplo,

save nombre_archivo a b c

En este ejemplo, a, b y c se guardan en el archivo llamado nombre_archivo. No

separe nombre_archivo y las variables con una coma. Todas las variables se guardan en formato binario de doble precisin. Cuando quiera cargar los datos contenidos en nombre_arichivo.mat teclee

load nombre_archivo

sin nombres de variables; a continuacin se recuperarn a, b y c. Guardar y cargar en formato ASCII: Se puede utilizar save para escribir datos en formato ASCII. Los comandos load y save con la opcin ASCII son importantes porque permiten exportar datos de MATLAB e importarlos en MATLAB. Si desea utilizar el formato ASCII, agregue -asciio /ascii despus de los nombres de las variables; por ejemplo,

save datos. tmp x -ascii

guarda la variable x en ASCII de 8 dgitos en el archivo llamado datos. tmp. El

comando save puede guardar ms de una variable; por ejemplo, x= [ 1 , 2 , 3 , 4]

y = [ -1 , -2 , -3 ]

save dat1.tmp x y -ascii

Si abre el archivo M dat1 . tmp, se ver as:

1 . 0000000e+00 2. 0000000e+00 3 . 0000000e+00 4 . 0000000e+00

-l .0000000e+00

42.0000000e+00

-3 .0000000e+00

El comando load lee un archivo de datos y lo guarda en una variable, pero la carga

de un archivo en formato ASCII no es exactamente el inverso de save en formato

ASCII. La razn es que si bien save en ASCII puede escribir mltiples variables, load

lee todo el archivo de datos y lo coloca en una variable. Adems, el nombre del archivo se convierte en el nombre de la variable. Por ejemplo, cargamos un archivo llamado y_dat. e con

load y_dat . e

el contenido se carga en la variable llamada y_dat sea cual sea la extensin. Por tanto, el archivo de datos y_dat debe estar slo en uno de los siguientes formatos de datos:

(1) un solo nmero (2) un vector de la (3) un vector de columna (4) una matriz

Si tiene necesidad de cargar mltiples variables, cada una deber prepararse en un archivo de datos ASCII individual. Los archivos de datos preparados con Fortran o C en formato ASCII (o de texto) se pueden cargar con load siempre que la estructura de datos tenga una de las

cuatro formas indicadas.

UNIDAD 2: GRAFICAS CON SOFWARE MATEMATICO

Como la mayor parte de las ecuaciones matemticas expresa relaciones

complicadas en una, dos, tres 0 ms dimensiones, tratar de entenderlas sin

grcas es casi lo mismo que tener los ojos vendados. El empleo de grcas es

importante desde la educacin primaria hasta la superior, as como para

ingenieros y cientcos profesionales por la misma razn. En las presentaciones

profesionales, casi lodos los anlisis matemticos, cientcos y de ingeniera se

presentan con grcas.

Durante las ltimas tres dcadas, en las que Fortran domin entre los lenguajes

de computacin, las grcas estuvieron desafortunadamente muy desligadas de

los clculos. Por ello, muchos usuarios de Fortran se vieron obligados a leer los

resultados calculados en forma de listados de nmeros.

Las grcas son ahora una parte natural del entorno de computacin con

MATLAB, y la gracacin de los resultados de los clculos puede efectuarse con

algunos comandos.

Se recomienda a los lectores gracar las funciones matemticas con las que se

tope, as como los resultados de anlisis. Tratar de entender las ecuaciones

matemticas con grcas es una forma agradable y muy eciente de aprender

matemticas. Este captulo se escribi con la intencin de ayudar al lector a hacer

precisamente esto.

Antes de desarrollar el captulo, el lector debe tomar nota de lo siguiente. Algunos

comandos de grcas siguen en vigor incluso despus de haber terminado de

gracar y pueden interferir trabajos posteriores. Es posible que cl comportamiento

de MATLAB se haga impredecible despus de utilizarse algunos comandos como

hold on o subplot, o que se interrumpa abruptamente la ejecucin de un guin.

Se recomienda a los lectores borrar las variables y las ventanas de grcas antes

de iniciar cualquier trabajo de gracacin. Si aun as MATLAB se comporta de

forma extraa, salga por completo de MATLAB y bralo otra vez.

2.1 GRAFICACION SIMPLE

Gracar: Suponga que desea gracar un conjunto de puntos de datos,

( ) Es necesario preparar y en forma de arreglo idntica, es

decir, convertirlos en arreglos de la o de columna de la misma longitud. Los datos

se gracan con plot. Por ejemplo, ( ) ( ) , se graca

con el listado 2.1

Listado 2.1

x= 0: 0.05:10;

y = sin(x).*exp (-0. 4*x)

plot (x, y)

xlabel ('x') ; y1abel(y' )

Tambin se pueden utilizar vectores de columna en los argumentos de plot, como

se muestra en el siguiente guin:

Listado 2.1

x= (0:0.05:10);

y = sin(x).*exp (-0. 4*x);

plot (x, y)

xlabel ('x') ; y1abel(y' )

Los dos guiones anteriores producen la misma grca, que se muestra en la

gura 2.1. Los rtulos de los ejes se imprimen mediante los comandos xlabel y

ylabel, que se explicarn mayor detalle posteriormente. La gura 2.2 se graca con

el listado 2.3 que conecta una de puntos en un plano complejo.

Listado 2.3

p=0: 0.05: 8*pi;

z=(cos (p) + i*sin (2*p) ) .*exp (-O . O5*p) + 0. Ol*p;

plot (real (z) , imag(z))

xlabel('Re(z)');ylabe1('Im(z)')

Gracacin nicamente con marcas: Los datos pueden gracarse slo con

marcas sin conectados por lneas. Se dispone de cinco tipos de marcas o letras:

Si desea gracar con un solo tipo de marca, coloque el smbolo de la marca como

una cadena despus de las coordenadas en los argumentos de plot. La grca

producida por el listado 2.4 se muestra en la gura 2.3.

Listado 2.4

x = (0:0.4:l0)';

y=sin(x) .*exp (0 . 4*x);

plot (x,y, ' +')

xlabe1('x'); y1abe1('y')

Si desea gracar una funcin tanto con lneas

como con una marca, grafique dos veces: la

primera con lneas y la segunda slo con marcas. Para gracar de este modo, el

ltimo enunciado del listado 2.4 se cambia a plot (x, y , x, y , + ) . El comando text

sirve para gracar con cualquier marca o letra; sin embargo, la posicin de la

marca puede estar desplazada un poco de la posicin real de punto de datos.

Tipos y colores de lneas: Se dispone de cuatro tipos de lneas:

El tipo de lnea por omisin es el continuo. Si desea gracar con un tipo de lnea

en particular, especique la marca de lnea despus de las coordenadas; por

ejemplo,

plot ( x , y , - -)

Se dispone de los siguientes colores:

Utilice el smbolo del color igual que los tipos de lnea en el argumento de plot; por

Ejemplo,

plot (x, y, 'g )

Tambin es posible combinar marcas y colores:

plot ( x , y , '+g) graca los datos con marcas + de color verde.

Graficacin de funciones con fplot: Otra forma de gracar funciones

individuales es con fplot (' nombre_f [xmin, xmax] ), donde nombre es el nombre de

la funcin o del archivo M de funcin que se desea gracar y xmn y xmax son los

lmites de la grca. El mximo y el mnimo del eje y est determinado por el

mximo y el mnimo reales de la funcin; sin embargo, es posible ajustar los

lmites de la grca con axis, que se explicar en breve.

Borrado de grcas: clf borra todo lo que haya en la ventana de grcos,

mientras que cla borra las curvas gracadas y redibuja los ejes.

Funciones implcitas: Si una funcin est en forma implcita, como por

ejemplo

( ) ( )

No se puede expresar como en funcin de ni como en funcin de . No

obstante, la curva se puede gracar utilizando contour. En la seccin 2.3

detallaremos este procedimiento.

Eje: El mnimo y el mximo de las coordenadas, las

marcas de escala y los valores de las coordenadas en

las marcas de escala se determinan automticamente.

Sin embargo, es posible modicar la forma del marco y el

mnimo y el mximo de las coordenadas con la orden

axis. Se puede redibujar una gura en forma cuadrada

con

axis ( ' square)

(vase la gura 2.4). Los ejes de coordenadas y las

marcas de escala pueden omitirse con

axis ( ' of f )

Este efecto se cancela con axis ( ' on ' ) .

El mximo y el mnimo de las coordenadas en la grca se pueden especicar con

axis ( [x_min , x_max , y_mn , y_max] )

Las lneas que se salgan de los lmites se recortarn. Este comando se utiliza

despus de plot para poder modicar el rea de visualizacin tantas veces como

se desee. Se sugiere al lector anexar axis ( [-2 , 6 , -0 .7 , 0 .71 ) al listado 2.4 para ver

cmo axis lmita las fronteras de la gura.

Retcula: Se puede agregar una retcula a la grca con grid on. Por otro lado,

grid off elimina la retcula. El empleo de grid por s solo activa y desactiva la retcula

alternadamente. El siguiente guin es un ejemplo del empleo de grid on:

Listado 2.5

X = (0:0.2:10)';

y=sin(x) .*exp(O.4*x);

plot (x, y)

grid on

xlabel ('x' ) , ylabel ( y )

(Vase la gura 2.5 producida por el listado 2.5.)

Grcas polares: Podemos gracar una funcin en coordenadas polares con

polar. La gura 2.6 se graca con el listado 2.6.

Listado 2.6

t = 0: .05:pi+.01;

y = sin (3*t) .*exp (0 . 3*t:);

polar (t , y)

title(Grfica polar) y

gr id

Grcas logartmicas y semi logartmicas: Las funciones pueden gracarse

en una escala log-log con loglog. (Vase el listado 2.7 y la gura 2.7.)

Listado 2.7

t= .1 : .1 :3 ;

x= exp(t);

y= exp(t.*sinh(t)) ;

loglog (x,y)

grid

xlabel (x); ylabel (y)

El listado 2.8 produce una grfica semilogaritmica con en la escala logartmica

Listado 2.8

t = . 1: . 1 : 3;

semilogy (t, exp(t.*t))

grid

xlabel(' t ); ylabel ( 'exp(t. *t) ' );

De forma similar, el listado 2.9 produce una grca semilogartmica con en la

escala logartmica.

Listado 2.9

t = . 1 : . l z 3 ;

semilogx (t, exp (t . *t:))

gr i d

xlabel(t') ; ylabel('exp(t.*t)');

Mltiples curvas: Si quiere gracar dos o ms curvas con una sola orden plot,

escriba todos los conjuntos de coordenadas repetidamente en la orden plot:

Listado 2.10

x = 0 : O . O5 : 5 ;

Y = sin (X) i

z = cos (x) ;

p1ot(x,y, x, z)

Se escogern automticamente tipos o colores de lnea distintos para cada curva.

No obstante puede especicarse el color o el tipo de lnea, o la marca, despus de

cada par de coordenadas; Por ejemplo,

plot:(x,y, '- -' , x,z, '*')

plot(x,y ' : ' , x,z, '*g')

plot(x.y. r , x,z. 'y)

Los dos listados siguientes ilustran otra forma de gracar mltiples curvas con un

solo comando plot:

Listado 2.11

x = 0 : 0 . 05 : 5;

y(1, : ) = sin(x);

y(2, :) = cos(x);

plot (x, y)

Listado 2.12

x = (0:0.05:5) ';

y( : , l) = sin(x);

y( : , 2) = cos(x);

plot (x , y)

Retencin: Hasta aqu hemos gracado todas las curvas en una sola

operacin con un solo comando plot. Sin embargo, a menudo resulta deseable

agregar una curva a una grca que ya se traz. Esta gracacin adicional puede

realizarse con el comando hold on (vase la

gura 2.8).

Listado 2.13

X = 0 : 0 . 05 : 5;

y = sin (x) ;

plot (x , y) ;

hold on Figura 2.8 dos curvas graficadas con hold on

(listado 2.13)

z = cos (x) ;

plot(x , z , '- - )

xlabel (x ); ylabel ('y(-) , z (- -) ');

Una vez emitido el comando hold on, la grca permanece en la pantalla incluso si

se ejecuta otro guin; por tanto, lo prudente es colocar un comando hold of f tanto

al principio como al nal del guin; por ejemplo,

Listado 2.14

Clear ; clf ; hold off

x = 0 : 0 . 05 : 5;

y = sin (x) ;

plot (x. y)

hold on

z = cos (X)

plot: (x, z)

hold off

Cuando se gracan varias curvas con hold on, es recomendable especicar

mnimos y mximos de las coordenadas en el dominio grfico con el comando axis;

de lo contrario, los lmites se determinarn por omisin con base en la primera

curva, cosa que podra causar recortes de las dems curvas.

El comando hold on tambin resulta muy importante cuando se est preparando

una grca que tarda mucho en dibujarse, por la siguiente razn: los comandos

para cambiar parmetros de las guras, como los ejes, el mapa de color, los

ngulos de perspectiva, el eje de color y otros, se pueden modicar despus de

haber gracado una gura.

2.2 CONTORNO DE FUNCIONES BIDIMENSIONALES

Malla: Se puede denir una funcin bidimensional z = z(x,y) con puntos

discretos mediante

( )

donde , y , son puntos en los ejes y en orden

ascendente. Las intersecciones constituyen una retcula cartesiana. Como

ilustracin, consideremos la retcula denida por

( )

( )

y valores funcionales denidos por

( )

La funcin anterior se grac en la gura 2.13 con el listado 2.18.

Listado 2.18

clear, cl f

xa = -2 : . 2 : 2 ;

ya = -2 : . 2 : 2 ;

[x,y] = meshgrid (xa,ya);

z = x .* exp(-x. ^ 2 - y. ^ 2);

mesh (x , y , z)

title ( sta es una gIfica 3D de z =

x * exp (x2 - y"2) ')

xlabel ('x' ); ylabel ( y ); zlabel ( ' z);

En el listado 2. 1 8 utilizamos meshgrid para crear arreglos bidimensionales, y ,

donde x es un arreglo de las coordenadas de la retcula y y es un arreglo de las

coordenadas . Estos arreglos x y y sirven para calcular el arreglo bidimensional z.

Es muy importante darse cuenta de la correspondencia que existe entre los

arreglos bidimensionales, x, y y z, y , respectivamente. El hecho es que

x (j , i) , y (j , i) y z (j , i) corresponden , respectivamente. Dicho de otro

modo, el primer ndice de x, y y z cambia en la direccin y, en tanto que el segundo

ndice cambia en la direccin .

Es preciso respetar esta regla si se calculan los elementos de z (j , i) con ciclos for

/end.

El comando mesh del guin anterior puede sustituirse por mesh (z) . El primer ndice

de cambia en la direccin , mientras que el segundo lo hace en la direccin .

Contorno: Podemos utilizar contorno para gracar el contorno de una funcin

en un arreglo bidimensional. La sintaxis bsica es

contour (x, y, z , nivel)

Aqu, z es el arreglo bidimensional de la funcin; x y y son, respectivamente, las

coordenadas y en arreglos bidimensionales, y nivel es un vector que contiene

los niveles de contorno. Las coordenadas x y y tambin pueden ser arreglos

unidimensionales, pero aqu tambin se aplica la regla antes mencionada respecto

de los ndices de z; es decir, el primer ndice de z cambia en la direccin de y,

mientras que el segundo ndice lo hace en la direccin de x. Si la retcula est

equiespaciada, una forma ms sencilla es contour ( z) , En este caso, el primero y

el segundo ndices cambian en las direcciones y , respectivamente. Adems,

puede sustituirse nivel por un entero, m, que se interpretar como el nmero de

niveles de contorno. Estos niveles se determinan dividiendo los valores mnimo y

mximo de z en m-1 intervalos.

La gura 2.14 muestra una grca de contorno

producida por el listado 2.19, en la que la funcin

gracada est denida por la ecuacin 2.3.1 y es

la misma de la gura 2.13. Los valores de los

contemos de la gura se rotularon con clabel (h ,

manual ) , que permite al usuario indicar la

posicin de los nmeros con el ratn. Los niveles

de contorno pueden rotularse automticamente

con clabel ( h) .

Listado 2.19

clear , clc, clf, axis ( ' squane)

xm=-2: .2:2; ym=2: .2:2;

[x, y] = meshgrid (xm, ym);

z = x .* exp(-x.2 - y."2);

zmax=max(max(z) ); Zmin=min(min (z) ) ;

dz = (Zmax-zmin) /10;

nivel = zmin + O . 5*dz: dz: zmax;

h=contour (x, y, z , nivel); clabel (h, manual )

title(Grfica de contorno hecha con contou1(x,y, z,nivel) )

xlabel ('x' ); ylabel (y)

El comando contour puede servir para gracar una funcin implcita como

( ) ( )

Para gracar la curva, reescribimos la_ ecuacin as:

( ) ( ) ( )

y gracamos el contorno de un solo nivel que corresponde a f = 0 (vase la gura

2.15). El siguiente guin ilustra el procedimiento de gracacin:

Listado 2.20

clear , clf

xm = 3:0.2:3; ym = 2:0.2:1;

lx, y] = meshgi: id (xm, yrn);

f = y. 3 + exp(y) e tanh(x);

contour (x,y, f, [t], 0])

xlabel ('x' ); ylabel ('y')

Observe que en el guin anterior el vector [0 , 0] en los argumentos de contour sirve

para especicar el nivel del contorno. El nico contorno que nos interesa es el del

nivel 0, pero los niveles de contorno deben estar en forma de vector, por lo que

repetimos el cero.

Grca vectorial: En ocasiones, las cantidades

correspondientes a los puntos de una retcula se

dan en forma vectorial. Por ejemplo, la

distribucin de velocidades e n un ujo de

uido bidimensional se pueden expresar

mediante vectores de velocidad en los

puntos de la retcula. Los vectores

en esos puntos

pueden gracarse

con quiver y requieren

dos componentes, uno para la direccin x y otro para la direccin y. Suponga que

estos componentes estn dados por u y v, que son matrices del mismo tamao

que x y y. Entonces, los vectores se gracarn con

quiver (x,y,u,v, s)

donde s es un factor de escala que es un parmetro del usuario para ajustar la

longitud de los vectores. La gura 2.16 ilustra el trazado de los vectores de

velocidad en un problema de ujo tpico (llamado ujo de cavidad con impulso). La

figura muestra tambin curvas de las lneas de flujo hechas con contour. El

siguiente guin ilustra las partes esenciales del guion para gracar la gura 2.16.

% (Se omiti la parte anterior del guin en la que se

% calculan x, y, s, u y v.)

clf

L= [-0 . 00577 z-D . 00577 z-O . O54 I 0, O . 0001, O. 00005) ;

c=contour (x, y, s, L); % s=funcin de flujo

clabel (c)

title ( ' funcin de flujo Re=4OO (retcula 51x51) ')

xlabel ( direccin x)

ylabel ( ' direccin y)

axis ( square)

hold on % u y v constituyen un vector.

quiver (x(1:2:ni,1:2,ni) , y(1:2:ni,1:2,ni) , ..

u(1:2:ni,1:2,ni) , v(l:2:ni,1:2,ni) , 4)

En el listado anterior, suponemos que x, y, u y v se calcularon en una parte anterior

del guin que no se muestra aqu.

2.3 RETCULA TRIANGULAR Y CONTORNOS

Una retcula triangular consta de elementos triangulares y su uso ms comn es

en el anlisis de elementos nitos o de volmenes nitos.

Gracacin de una retcula triangular: Necesitamos los dos archivos de

datos llamados cell_da y point_da para trazar una retcula triangular. El primer

archivo incluye los datos de los elementos triangulares, y el segundo, las

coordenadas de los puntos nodales. (En FM 2-1 de la pgina 76 se explican con

mayor detalle los archivos.) Cuando se ejecuta el listado 2.21, aparecen dos

preguntas. La primera se reere a si se desea numerar o no los elementos; teclee l

si desea hacerlo o 0 si no. La segunda pregunta se reere a si se desea numerar o

no los puntos; acepte con 1 o niguese con 0. La primera parte de la gura 2.17

muestra la retcula trazada.

Listado 2.21

% trazado de retcula triangular

cleaR: , clf

load cell_da

load point_da

tri_grid(cell_da, point_da, 1.8)

Grfica de contorno en una retcula triangular: Si tenemos una funcin

discreta denida en los puntos nodales de una retcula triangular, podemos trazar

su contomo con tri_cont de FM 2-2 (pgina 79). Para ejecutar este guin

necesitamos dos archivos de datos, cell_da y point_da (los mismos que usamos

en m i_cont), y un archivo de funcin adicional, f_da. La segunda parte de la gura

2.17 ilustra la grca de contorno producida por el listado 2.22 empleando tri_cont.

Listado 2.22

% Grfica de contorno en una retcula t]: iangular

clear , clf

load cell_da

load point_da

load f__da

tri_cont (cell_da , point_da , f_da , l . 8)

RETCULA CURVILNEA Y CONTORNOS

Suponga que los valores funcionales de ( ) estn dados en los puntos de una

retcula,

( ) Por

( )

donde

son

ndices de puntos. El sistema de retcula es

una retcula cartesiana si sus lneas son

paralelas a los ejes de las coordenadas

cartesianas. Por otro lado, si la geometra

en cuestin es compleja podemos utilizar

puntos de retcula ajustados a fronteras

curvas, como se ilustra en la gura 2.18.

Una retcula as se denomina

La retcula curvilnea y el contorno de se pueden trazar con g_cont de F M 2.3

(pgina 81). Su sintaxis es:

g_cont (x, y, f , nivel)

donde

x, y: las coordenadas de los puntos de la retcula.

f: arreglo bidimensional de los valores funcionales.

nivel: niveles del contorno en forma vectorial.

Como demostracin, el lector podra ejecutar el siguiente guin:

Listado 2.23

clear , clf

[x, y, f] = tcLdata;

f_max = max (max (f) )

f_1nin = min (min ( f) )

kmax = 2 0;

fOI k=l : kmax

ELV (k) = (k-l) /kmax* (f_maxef_min) *0 9999 + f_min;

end

g_cont (x, y, f, ELV)

O %Para responde: automticamente a la pregunta que hace

g_cont

1 % dem

axis ( [-10, 15, -15, 10])

axis ( ' square)

axi s ( of f ' )

En el guin anterior, td_data es un archivo M de

funcin que est en FM 2.3 y que genera la reticula

y la funcin de ejemplo para nes de demostracin.

La grca de contorno trazada por listado 2.23 se

muestra en la gura 2.19. Los datos f generados

por cd_data se pueden graficar con mesh como se

muestra en la gura 2.20 o con surf, que se explica

Figura 2.19 ejemplo de una

grfica de contorno

en la seccin 2.6 pero no es posible utilizar contour porque la retcula no es

rectangular.

2.4 GRAFICACIN DE MALLA Y DE SUPERFICIES

En esta seccin, estudiaremos los grcos tridimensionales, que se han mejorado

notablemente en la nueva edicin para estudiantes y en las ltimas versiones

profesionales de MATLAB. que ya presentamos a mesh, aqu lo veremos con

mayor detalle.

Grfica de malla de una matriz: La aplicacin ms sencilla de los grcos

tridimensionales es la graficacin de una matriz. Consideremos una matriz de

por . El elemento z(j, i) se considera el valor funcional en y en el

plano bidimensional. Denimos una matriz de muestra con

Listado 2.24

clear: , c l f

for i=1 : 4 % corresponde a la direccin

for j=1 :7 % corresponde a la direccin y

z(j,i) = sqrt(i"2 + j2);

end

end

mesh (z)

xlabel ( ' i ' )

ylabel ( ' j ' )

zlabel ( ' z ' )

Entonces,

mesh (z)

produce la grca de malla que se muestra en la gura 2.21.

Color por omisin: En una pantalla a color, las lneas que conectan los

puntos se colorean con el mapa de color por omisin hsv (iniciales en ingls de

matriz, saturacin, valor). Se asigna rojo a los valores tanto mximo como mnimo

de z (i, j ) . Entre el mnimo el mximo, el mximo el color se determina

linealmente en el orden rojo, amarillo, verde, turquesa, azul, magenta, rojo.

2.5 GRFICOS INTERACTIVOS

El elemento fundamental de los grcos interactivos es la capacidad de un

programa para leer las coordenadas del apuntador del ratn en cualquier posicin.

Esto puede hacerse con ginput en uno de los siguientes formatos:

[x.y1 = ginput

[x,y,botn] = gnput

[x,y,botn] = ginput (n)

suponga que se hace clic con el ratn en cierto lugar dentro de una pantalla de

grcos. Entonces, [x , y] = ginput acumular un nmero ilimitado de puntos hasta

que se pulse la tecla return (intro), as que x y y se convertirn en vectores de

longitud igual al nmero de puntos acumulados. [x , y , botn] = ginput es lo mismo

excepto que tambin se registran los nmeros de botn del ratn. Los nmeros de

botn son l, 2 y 3, contando a partir del lado izquierdo del ratn. [x , y , botn] =

ginput (n) acumula n puntos, pero puede suspenderse pulsando la tecla retum.

El listado 2.31 ilustra el empleo de ginput. Cuando se ejecuta este listado, el

programa espera hasta que se hace clic con el ratn. Si se hace clic con el botn

izquierdo, se imprimir una marca + roja en la posicin del apuntador. De forma

similar, si se acciona el botn del medio o el derecho, se imprimir una marca o

amarilla o una marca * verde, respectivamente. La ejecucin termina si se hace

clic con el ratn cuando el cursor est dentro del cuadro en la esquina inferior

izquierda de la pantalla. La gura 2.35 ilustra las marcas gracadas con el listado

2.31.

Listado 2.31

clear: , clf , hold off

axis( [0, 10, 0, 10] )

hold on

plot([l.2.Z.l.1] , [2.2.3,3,2])

text (1, 1 .6 , Haga clic dentro del cuadro para terminar )

while 1

[x , y , boton] = ginput (l)

if boton=1, plot: (x,y, ' +x ' ) , end

if boton=2 , plot (x,y, ' oy ) , end

if boton=3 , plot: (x, y , *g) , end

if x>1 S x2 & y

Generamos una matriz aleatoria m por n con rand (m, n) (la seccin 1.5 contiene

mayores detalles sobre los nmeros aleatorios). Una matriz especial, llamada

matriz de Hlbert, se genera con hilb (m) (vase el emplo 3.6). La multiplicacin de

matrices en MATLAB se expresa con el operador de multiplicacin;

por ejemplo,

b= [12; 43; O2];

d = [5 ; 1] ;

9 = b*d .

produce

g =

7

2 3

2

que corresponde al inciso (a) del ejemplo 3.2. La suma y la resta de matrices es

igual que en el de arreglos bidimensionales.

MATRIZ INVERSA

Ahora que aprendimos a multiplicar matrices tanto mediante clculos manuales

como con MATLAB, podemos estudiar el concepto de matrices inversas. Cuando

dos matrices cuadradas A y B satisfacen

AB=IoBA=1

donde I es la matriz identidad, A y B estn en la relacin inversa; es decir, A es el

inverso de B y B es el inverso de A. Por ejemplo,

A=[

] B=[

]

estn en la relacin inversa entre si, es decir

AB=[

] [

] = [

]

La inversa de una matriz M se escribe M ; por tanto, la relacin anterior entre A y

B puede escribirse como A = y B = . As, la ecuacin 3.3.1 se puede

escribir como

= 1 y =1

Slo las matrices cuadradas tienen inversos.

El inverso de un producto de matrices es igual al producto del inverso de las

matrices en el orden inverso. Por ejemplo, si W = ABC..G, donde A, B, G son

matrices cuadradas, entonces

=

En MATLAB, el inverso de M se calcula con inv (M) . Por ejemplo, sea

A = [1 6 ; 5 2] ,

entonces,

B = inv (A)

produce

B =[

]

Para asegurarse de que B es el inverso de A, calculamos tanto AB como BA como

sigue:

A*B

ans =

[

]

B *A

ans =

[

]

El comando inv calcula el inverso de cualquier matriz cuadrada excepto cuando es

singular. Si MATLAB se niega a calcular el inverso, sabremos que la matriz es

singular. No obstante, merece la pena aprender a crear un ejemplo de matriz

singular. En una matriz singular, al menos una la (o columna) puede expresarse

restando o sumando otras las (o columnas); por tanto, para crear una matriz

singular de 3 por 3, escribimos la primera y la segunda las eligiendo nmeros

arbitrarios, pero escribimos la tercera la como la primera la multiplicada por una

constante ms la segunda la multiplicada por otra constante. El resultado - es

una matriz singular. Si ninguna la (o columna) puede expresarse sumando o

restando otras las (o columnas), todas las las (o columnas) son linealmente

independientes y la matriz no es singular.

3.2 ECUACIONES LINEALES

Consideremos un conjunto de m ecuaciones con n incgnitas dado por

A1.1x1 +a1,2x2+a1,3x3++a1nxn=y1

A2,1x1 +a2,2x2+a2,3x3+a2,nxn=y2

Am,1x1+am,2x2+am,3x3+am,nxn=ym

donde son coecientes conocidos, son incgnitas y; son trminos

conocidos que se denominan trminos no homogneos (o trminos fuente). " Las

ecuaciones lineales anteriores se pueden expresar de forma compacta como

Donde , y estn denidos, respectivamente, por

A =[

]

X=[ ]

y=[ ]

La ecuacin 3.4.2 tambin puede expresarse en la forma = donde A es una

matriz de n por m y x y y son vectores de la. Las ecuaciones lineales

expresadas por la ecuacin 3.4.2 se pueden agrupar en los siguientes tres casos:

Caso l: m = n .

Caso 2: mn (ecuacin sobredeterminada)

El caso l es el ms comn, con el nmero de ecuaciones igual al nmero de

incgnitas. En el caso 2, el nmero de ecuaciones es menor que el de incgnitas y

tenemos lo que se conoce como problema sub determinado. En el caso 3, el

nmero de ecuaciones es mayor que el nmero de incgnitas y tenemos un

problema sobre determinado. Esto ocurre en el ajuste de curvas y lo veremos en

el captulo 8. En el caso l, la matriz es cuadrada. Para obtener la solucin en

MATLAB, escribimos

x = A\y

Un mecanismo equivalente es

x = inv (A) *y

Sin embargo, el primer mtodo es ms eciente desde el punto de vista

computacional (el tiempo de cmputo del segundo mtodo en MATLAB es

aproximadamente 50% ms largo que para el primero).

Si la ecuacin se escribe en la forma de la ecuacin 3.4.3, la solucin se obtiene

en MATLAB con

z = y /A'

donde y es un vector de la y z tambin se convierte en un vector de la. Las

siguientes expresiones producen el mismo resultado:

inv (A) *y

A ^ ( -1 ) *y

y ' * inv (A ' )

Los resultados de las primeras dos estn en forma de vector de columna, mientras

que el de la ltima est en forma de vector de la.

Ejemplo 3.4

Utilice MATLAB para obtener la solucin de

Donde

A=[

] , Y=[ ]

Solucin

Sea

A = [ 3 2 ; 1 -1 ] ;

Y = [-1 , 1] ';

Entonces,

x = A\y

produce

x =

0 . 2 000

-0 . 8 000

Tambin, si escribimos

z = y ' / A '

Obtendremos la misma respuesta en forma de vector de la como

z =

0 . 2000 -0 . 8000

3.3 DETERMINANTES

El determinante es una cantidad importante asociada a una matriz cuadrada. De hecho, no podemos obtener una solucin nica de un conjunto no homogneo de ecuaciones lineales si el determinante de la matriz de coecientes es cero. Esto se debe a que, si por lo menos una ecuacin de un conjunto de ecuaciones lineales no es linealmente independiente, el determinante es cero. Si el valor del determinante es extremadamente pequeo o grande, es seal de que hay errores graves en la solucin de las ecuaciones. El determinante de una matriz tambin desempea un papel importante cuando se calculan los valores propios de una matriz.

El determinante de la matriz A se denota por det(A) o lAl. En el caso de una matriz de 2 x 2, el determinante de A se calcula como:

( ) [

]

Para una matriz de 3 x 3, el determinante es

( ) [

]

Es fcil memorizar la regla para una matriz de 3 por 3 como la regla del espagueti. En la gura 3.3, cada una de las tres lneas continuas conecta tres nmeros. Los productos a lo largo de las lneas continuas tienen signo positivo en la ecuacin 3.6.2. Los productos de los tres nmeros a lo largo de las lneas punteadas tienen

(3.62)

(3.61)

signo negativo en la ecuacin 3.6.2. Sin embargo, la regla del espagueti no puede extenderse a una matriz dc 4 por 4 o mayor.

Una denicin formal del determinante de una matriz A de orden n est dada por ( ) ( ) ( )

donde la sumatoria abarca todas las permutaciones del primer subndice de a, y

( ) es + si y la permutacin es par y si es impar Si la matriz es una matriz triangular inferior 0 superior, 0 una matriz diagonal, el clculo de la ecuacin 3.6.3 se simplica mucho. La matriz triangular inferior es una matriz en la que todos los elementos que estn arriba de la lnea diagonal son cero. La matriz triangular superior es aquella en la que todos los elementos que estn abajo de los pivotes son cero. La matriz diagonal es un caso especial de la matriz triangular superior o inferior. Para estas matrices, la ecuacin 3.6.3 se reduce a

( ) es decir, el determinante es igual al producto de todos los pivotes. Por ejemplo,

Si una matriz se expresa como un producto de matrices, digamos M = ABC...K, el detenninante de M es igual al producto de los determinantes de las matrices, o sea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por tanto, cuando es necesario evaluar el determinante de una matriz es comn transformar la matriz en un producto de las matrices para las cuales la evaluacin del detemrinante es fcil.

Por ejemplo, si una matriz se descompone en el producto de , donde L es una matriz triangular inferior y es una matriz triangular superior, ( ) es igual a ( ) ( ). Otra alternativa para calcular el determinante de una matriz consiste en utilizar la eliminacin hacia adelante del mtodo de Gauss.

(3.63)

Si queremos calcular un determinante en MATLAB utilizamos ( ) , donde A es una matriz cuadrada. La siguiente ilustracin muestra el clculo del determinante de una matriz de 3 por 3:

A =[3 , 4 , 1; 0 , 2 , 7; 5 , 1 , 2];

d = det (A)

d=

1 6 3

3.4 ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN

La eliminacin de GaussJordan es una variacin de la eliminacin de Gauss mediante la cual se eliminan los nmeros que estn arriba y abajo de un pivote sin distinguir la eliminacin hacia adelante de la sustitucin hacia atrs. No obstante, el pivoteo sigue siendo necesario por la misma razn que lo es en la eliminacin de Gauss. En la presente seccin ilustraremos primero la resolucin de una ecuacin lineal por eliminacin de Gauss-Jordan y luego aplicaremos este mtodo a la inversin de una matriz. Una ventaja de la eliminacin de Gauss-Jordan es que la explicacin del algoritmo para calcular el inverso de una matriz se simplica. Ejemplo 3.10 Resuelva el mismo problema del ejemplo 3.8 por eliminacin de Gauss-Jordan.

Solucin Comenzamos con la misma matriz aumentada que en el ejemplo 3,8. El procedimiento para el primer pivoteo es el mismo que se sigui en ese ejemplo, pero ahora despus del primer pivoteo se normaliza la primera la dividindola entre el pivote:

a =

1.0000 -2.7857 0.5714 1.7857

-0.0400 0.0400 0.1200 3.0000

-0.2400 1.2400 0.2800 0

A continuacin se eliminan todos los elementos que estn debajo del primer pivote restando (o sumando) un mltiplo de la primera la:

a =

1.0000 -2.7857 0.5714 1.7857

0 0.0714 0.1429 3.0714

0 0.5714 0.1429 0.4286

El segundo pivote se compara con los elementos que estn abajo. Puesto que la magnitud del segundo pivote es menor que la del elemento que est abajo, es necesario pivotear. Luego, la segunda la se divide entre su propio pivote:

a =

1.0000 2.7857 0.57l4 1.7857

0 1.0000 0.2500 0.7500

0 -0.07l4 0.1429 3.0714

Todos los elementos que estn arriba y abajo del segundo pivote se eliminan restando (o sumando) un mltiplo de la segunda la:

a=

l.0000 0 40.1250 3.8750

0 1.0000 -0.2500 0.7500

0 0 0.1250 3.1250

La tercera la se normaliza dividindola entre su propio pivote: a =

1.0000 0 -0.1250 3.8750

0 1.0000 40.2500 0.7500

0 0 1.0000 25.0000

Los elementos que estn arriba del tercer pivote se eliminan restando (o sumando) la tercera la multiplicada por el nmero que se va a eliminar. Ahora, la matriz aumentada es

a =

1.0000 0 0 7.0000

0 1.0000 0 7.0000

0 0 1.0000 25.0000

Aqu, las primeras tres columnas forman una matriz identidad, mientras que la ltima columna es la solucin.