analisis rn dario sanchez

Daro Snchez H Anlisis en d8 1

Anlisis en d8Jos Daro Snchez Hernndez

Bogot-Colombia, Junio del 2005

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El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuacinencontrar ms de cien resultados bsicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas,corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos,por favor hgalo, de forma que los pueda recordar despus. Para las demostraciones esindispensable el uso de una biblioteca con un buen nmero de textos de Analisis real en variasvariables, en esta forma el estudiante utiliza tcticas de investigacin y emplear la biblioteca.Luego encontrar resultados en donde se ha dado una posible demostracin, la cual se suponees correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deber revisarlasanalizando cul de los resultados bsicos se ha utilizado en la prueba.

1. RESULTADOS BSICOS.

1. Sean , espacios vectoriales normados y una transformacin lineal. X Las siguientes afirmaciones son equivalentes: es uniformemente continua.3 X es es continua es continua en el punto .33 X 33,3= X ! Existe , tal que | para todo con .333 - ! X Bl - B lBl " Existe , tal que | para todo .3@ - ! X Bl -lBl B 2. Sea una transformacin lineal sobre , es un homomorfismo de sobreX X si y slo si existen tales que para todo + , ! B + lBl lX Bl , lBl3.Sean | | y dos normas sobre un espacio vectorial , se dice que | | es ms finam m que cuandom m

3. l l m m es continua, o equivalentemente

B lB l ! mB m !8 8 8 4.Una condicin necesaria y suficiente para que | | sea ms fina que es que existam m- ! mBm -lBl B tal que para todo .5.Sea con la norma y un espacio vectorial normado 7 " 7lBl 7+BlB l lB lcualquiera. Entonces toda tranformacin lineal es continua.X 7


6.Sea un espacio vectorial normado de dimensin finita . Entonces existe un 7homeomorfismo lineal .X 77.Sean dos espacios vectoriales normados. Si entonces toda .37 tranformacin lineal es continua.X 8.Vamos a tomar y dos espacios vectoriales con producto interno. A cada tranformacin lineal corresponde una transformacin llamadaX X ADJUNTA de caracterizada por la relacin < >=< para .X B X C XB C B C 9.Sea ( , ) es transformacin lineal el espacio vectorial de las_ X X aplicaciones lineales de en . Sean entonces < , >. . es _ W X W X X


N0B

B B BB B B B B B

`0 `0 `0`B `B `B`0 `0 `0`B `B `B

`0 `0 `0`B `B `B

" " "" # 7# # #" # 7

8 8 8" # 7

16.Sea abierto y , el lmite 0 B 2 B h h h 8 7 7 8`0`2 >>! 0B>20Blim(cuando existe) es conocido como la derivada direccional de en la direccin de .0 217.Sea un espacio vectorial normado es diferenciable en el B M 0 M 0punto si y solamente si, existe un vector (velocidad) de en el punto tal queB M @ 0 B0 B 2 2 @ 2 w para todo .18.Sean , , espacios vectoriales normados , subconjuntos abiertos h i 0 B 0 1 h h h i i Z una aplicacin diferenciable en el punto con y una aplicacin diferenciable en el punto . Entonces la aplicacin compuestaC 0B i1 0 B 1 0 B 1 C 0 B h Z es diferenciable en el punto y . De otrow w wmodo la derivada de la aplicacin compuesta es la compuesta de las derivadas.19.Sean , , espacios vectoriales normados, , subconjuntos abiertos h i 0 1 0 1 0 h i h i h son ambas funciones de clase y entonces 5 es tambin de clase .520.Sean , , supongamos que y .h i h i 0 0 0 1 1 17 8 : " 8 " :0 1 Entonces para cada y se tiene3 " # : 4 " #7

` 1 0`B `B

5"

8`1 `0`C

34 4

3 55 B 0 B

Tomando la notacin tradicional` 1 0`B `B `B

`1 `1 `C

5"

8

`C 3

4 4 43 3 5

5 21.Sean , subconjuntos abiertos y una funcin diferenciable enh i h i 0 el punto y supngase que admite una inversa la cual esB 0 1 0 ! "h i hdiferenciable en el punto . Entonces es un isomorfismo cuyoC 0B 0 B ! !w inverso es y se tiene . En particular 1 C H0 B H 0 C .37 .37w " "! ! ! 22. Sean , espacios vectoriales de dimensin finita y normados h 0 1 funciones diferenciables en el punto entonces y sonB 0 1 0 h h - h tambin diferenciable en y se tiene .B 0 1 B 0 B 1 B 0 B 0 B w ww w w- - 0 ! BCuando entonces es diferenciable en el punto yh h "0

" "0 0 B w wB 0 B # F Finalmente si es una funcin bilineal entonces

F 0 1 h B F 0 B 1 B

es diferenciable en el punto y se tieneBF 0 1 B 2 F 0 B 2 1 B F 0 B 1 B 2 w w w


23.TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS DEL VALOR MEDIO (LAGRANGE). Sea una0 + ,funcin continua y diferenciable, entonces existe un punto tal que0l > + ,+, !

.0, 0+ 0 > , +w ! Sea una funcin diferenciable en . Supongamos que el segmento0 h h 7+ + 2 > ! > "esta contenido en , entonces existe tal queh ! !

.0+ 2 0+ 0 + > 2 2w ! 24.DESIGUALDAD DEL VALOR MEDIO. Sea un subconjunto abierto, continuah h 0 en . Si el segmento cerrado esta contenido en y es diferenciable enh h+ + 2 0todos los puntos del segmento abierto entonces + + 2

l0 + 2 0 + l l2l =?: l0 + >2 l !>"

w .

25.Sea un conjunto abierto conexo y una aplicacin diferenciable talh h 0 que para todo Entonces es continua en .0 B ! B 0w h h3 + \ B 0 B 0 + . fijo en es cerrado pues es continuah h 033 b !l2l B B 2 $ $ h333 l0 B 2 0 B l l2l 0 ! 0 B 2 0 B aB 2 \ , w3@ \ es abierto, cerrado y no vaco en h@ \ h conexoEn particular si son diferenciable en un conexo y , entonces0 1 0 B 1 B aB h hw w 0 B 1 B G .26.Sea y supongamos que es una aplicacin continua diferenciable en- 0 h h h - 0 B X 0 -. Si existe el lmite entonces es diferenciable en ylim

B-w

0 - Xw .27.Sea continua en un conjunto abierto . Si el segmento de recta0 h h cerrada est contenido en y es diferenciable en todos los puntos del+ + 2 0hsegmento de recta abierto entonces para cada transformacin lineal + + 2 X vale la siguiente desigualdad: .l0 + 2 0 + X 2l =?: l0 + >2 X ll2l

!>"w

28.Una aplicacin diferenciable se dice en un0 h UNIFORMEMENTE DIFERENCIABLE conjunto cuando para cada , se puede encontrar tal que\ ! !h & $

l< B 2 l l0 B Q 0 B l l0 B 2 0 B 0 B 2l l2l w &cualquiera que sea y con B \ l2l B 2 $ h29. Sean y espacios mtricos, una funcin continua, unQ R 0 Q R O Qsubconjunto compacto, entonces se tiene que: Dado , existe tal que & $ ! ! B OC Q . B C . 0 B 0 C $ &.30.Sea una aplicacin de clase . Entonces es uniformemente diferenciable0 0h "en cada compacto O h31.Dado el abierto , y sea diferenciable en el punto Si la derivadah h h 0 B !0 B ! - !w ! $ es una trasformacin lineal inyectiva, entonces existen y talesque implica que y .l2l B 2 l0 B 2 0 B l -l2l$ h! ! !


32. Sea es un abierto es continua 0 0 0 B h h h h w w "B 0 B

! w

0 B B 0w ! ! es inyectiva, entonces existe una bola abierta de centro en la cual esinyectiva.33. En las mismas hiptesis de si es inyectiva, existe una vecindad de en$# 0 B Bw ! ! el cual implica .B B 0 B 0 B! ! 34. Sea tal que existen y son continuas donde0 B C 0 B > C > `0 `0 `C`B `C `> `>`B`0 `0`B `C h , en esas condiciones se tiene el siguiente resultado, que es unaconsecuencia de la regla de la cadena: . .B.> `B .> `C .>

`0 `0 .C0 B > C > 35.Sea lo cual significa que si , entonces de manerah D D B C" # nica con ; y una aplicacin para las cuales las derivadasB C 0 h " # parciales de en un punto son aplicaciones lineales 0 + , ` 0 + , h " "` 0 + , # # definidas por las siguientes relaciones

0 + 2 , 0 + , ` 0 + , 2 < 2 ! " "2!

< 2l2l lim "

0 + , 5 0 + , ` 0 + , 5 < 5 ! # #5!

< 5l5l lim #

Naturalmente, puede poseer una, ambas o ninguna de las derivadas parciales ,0 ` 0"` 0 + , # en el punto . h36.Sea y . Si y h h h h h 0 + , ` 0 ` 0 " # " " # # existen, adems es continua en el punto entonces existe y se` 0 + , 0 + , " w tiene 0 + , 2 5 ` 0 + , 2 ` + , 5w " # 37. Sea . La aplicacin si y solamente si existen h h 0 0 ` 0" # ""` 0# y son continuas en .h38.Sean , espacios vectoriales normados , son subconjuntos abiertos h i 0 0 0 h i i h es un difeomorfismo si es diferenciable existe y es"diferenciable, donde y , . En particular un difeomorfismo0 0 M. 0 0 M." "h ies un homeomorfismo.39. Sea un abierto. Una funcin diferenciable es llamada unh h 0 7 7DIFEOMORFISMO LOCAL si para cada existe una vencindad la cual es aplicadaB h Bdifeomrficamente por sobre una vecindad de . Cuando , restringida a0 0 B 00 B cada , es un difeomorfismo decimos que en un de B 5 0 DIFEOMORFISMO LOCALclase . Sea y , es un difeomorfismo de clase si y . h i 5 5 5 " 5 5 " 0 0 0 40. Sean , abiertos de y una aplicacin de clase . Sih i h i 8 50 5 " 0 B B 0w 8 8 h es un isomorfismo para todo , entonces es un difeomorfismolocal.41.Sean espacios mtricos. Una aplicacin es llamada QR 0 Q R CONTRACCIONcuando existe , , tal que .- - - ! " . 0 B 0 C . B C aB C Q 0 \ \ B \ 0B B Un punto de una aplicacin es un punto tal que .FIJO


42. APROXIMACIONES SUCESIVAS. Sea un espacio mtrico completo. Toda contraccinQ0 Q Q B Q B 0 B tiene un punto fijo. Dado cualquier punto , sean ! " !B 0 B B Q 0# " 8 la sucesin converge en para el nico punto fijo de .43.PERTURBACION DE IDENTIDADES. Sea un abierto. Si es una contraccinh F h 7 7, entonces la aplicacin dada por es un homeomorfismo de0 0 B B Bh F 7h sobre un abierto de .744. Sea un abierto y una aplicacin de la forma h h F 0 0 B X B B7 7 donde y : satisface , con .X KP l B C l lB Cl lX l " F h F F - -7 7 "Entonces es un homeomorfismo de sobre el abierto .0 0 h h 745.FUNCION INVERSA. Sean un abierto y de clase tal queh h 0 " 5 7 7 5 en un punto es un isomorfismo, entonces es un difeomorfismoB 0 B 0! h w 7! de clase de una vecindad de sobre una vecindad de . i j5 ! !B 0 B 46.TEOREMA FUDAMENTAL DEL ALGEBRA. Sea un polinomio complejo no: # #constante, . Entonces es sobreyectivo,: D + + D + D + D + ! 8 " : ! " # 8 8# 8en particular existe tal que D : D !! !# 47.Sea un espacio vectorial normado, un subconjunto abierto. Una aplicacin h diferenciable es llamada una si para todo la derivada0 B h h SUMERSION0 B w es sobreyectiva.48.FORMA LOCAL DE LAS SUMERSIONES. Sean un abierto y una funcinh h 0 87 8de clase Supnga que para algn es sobreyectiva. h 5 w 78 8! ! 5 " D 0 D Dada una descomposicin cualquiera en suma directa (con ) 78 ! ! ! D B C tal que es un isomorfismo, existe un difeomorfismo ` 0 0 D l 2 # !w 8 i jm i j i de clase , tal que para todo , donde es abierto5 !0 2 BA A BA B en , es abierto en y es abierto en j m m h 0 D D ! !8 78Pasos de la demostracin:3 Se define : entonces 9 h 9 BC B0 BC 533 D Existe 9 w 78 8!

25 2` 0 D 2` 0 D 5 " ! # !

333 D es invertible9w ! D 9 w " 8 78!

?@ ?` 0 D @` 0 D ?

# ! " !"3@ D 0 D - es un isomorfismo as por el teorema de la funcin inversa siendo 9w ! ! se sigue que es un difeomorfismo de clase de una vecindad de en una9 5 !Dvecindad de B -!@ B - Tmese vecindad de de tal modo que sea abierto en , abierto eni j i j ! i j8 ! B -@3 2 0 2 BA A Tmese y se tiene lo deseado m 9 i j 9 i j m" " 5 " Una sumersin de clase es una aplicacin abierta.5


49.TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA. Sean abierto y una aplicacinh h 0 87 8de clase . Supngase que es una descomposicin en suma 5 78 5 " directa tal que para , la segunda derivada parcial es unD B C ` 0 D ! ! ! # ! 8 h isomorfismo. Supngase que entonces existen abiertos 0 D - ! 8 i conteniendo a y , conteniendo a con la siguiente propiedad: para cadaB D! !m hB B B B 0 B B -i 0 0 m 0 0 i existe un nico tal que y La aplicacin : as definida es de clase y su derivada es dada por5

0 0 0w "# " B ` 0 B B ` 0 B B .Pasos de la demostracin:3 2 Con los resultados del numeral anterior tenemos ym i j 2 BA B 2 BA BA # para i j33Tomando : entonces es de clase 0 i 0

B B 2 B-5

0 #333 0 B B 02 B - - aB 0 i,@3 0 B C - B C 2 B C 2 B - B 2 B - B B C B 9 0 0#@ 0 B B - ` 0 B B ` 0 B B B ! derivando tenemos luego 0 0 0 0" # w 0 0 0w "# " B ` 0 B B ` 0 B B 50.Sea un abierto. Una aplicacin diferenciable es llamada unah h 0 7 8INMERSION cuando, para cada la derivada es una aplicacin linealB 0 B h w 7 8 biunvoca (inyectiva). Es claro que tal cosa solo puede ocurrir cuando 7 851.FORMA LOCAL DE LAS INMERSIONES. Sea un abierto y una funcinh h 0 7 78de clase . Supngase que existe tal que es h 5 w 7 78! ! 5 " B 0 B biunvoca. Entonces existe un difeomorfismo de clase , de una m i j5 2 vecindad de sobre un abierto talm i j i j i m0 B B ! 0 ! !7 8que para cada .2 0 B B ! B iPasos de la demostracin:3 0 B y cualquier suplemento de en as w 7 78 78! 33 0 B .37 8 es un isomorfismo y w 7! 333 B ! 0 B es de clase y F h F F 78 5

BC 0 B C! !

@3 B C F w 7 78!?@ B C ?@ 0 B ?@

Fw w! !como se sigue queFw w w! ! ! B C ? @ 0 B ? @ ! 0 B ? ! ? ! @ !Fw ! B C es un isomorfismo.@ B ! En particular es un isomorfismoF w 7 78! @3 Por el teorema de la funcin inversa, es un difeomorfismo de una vecindad deF B ! B !! ! (de la forma donde es abierto en y es un abierto en )i j i h j sobre una vecindad abierta de en m 0 B ! 78@33 2 Sea el difeomorfismo inverso de |F i j@333 Se identifica con escogiendo una base adecuada para . 852.Si es de clase y es inyectiva para algn0 5 " 0 B h 78 5 w 7 78!B B 0 0 ! !h i i i entonces en una vecindad de es un homeomorfismo cuyo


inverso es la restriccin de una aplicacin de clase , : , donde0 0" 5 i i 0 m i m es una vecindad de 0 B !53.Sea una aplicacin de clase , . es un0 5 " 0 0h h h! !7 8 5 zambullido de clase si es una inmersin es un homeomorfismo de h5 ! " 0 # 0sobre .h54. Sea un zambullido de clase . Dado , sea el0 5 " : h h h ! 7 8 5 conjunto de vectores velocidad de los caminos diferenciables con- - 0 0 hw ! , . Entonces es un subespacio vectorial de dimensin de dado por- ! : 7 80 B w 7! .55.Sea , en ese caso dada una parametrizacin de , i i h : h h h 0 0= 8 ! es de clase si y solamente si es una funcin de clase . : i h 5 " 7 5!0 56. Sean : dos parametrizaciones de clase del mismo conjunto: h h < i h ! ! 5 h h i < : h i 8 7 " 5! ! = ! ! Entonces es un difeomorfismo de clase , conocido con el nombre de cambio de coordenadas57. Sean : una parametrizacin y un difeomorfismo, entonces : h h 0 i h : 0! ! ! es tambin una parametrizacin.58. Un conjunto es llamado una de clase y dimensin , si esQ 7 Q 8 5SUPERFICIEreunin de abiertos en cada uno de los cuales admite una parametrizacinh Q: h h : h !3 3 !35 7 , .59.Un espacio vectorial a una superficie en un punto es unTANGENTE Q : Qconjunto de vectores velocidad de los caminos diferenciables X Q ! Q: w- - 0 0 con - ! : X Q : Q Notacionalmente donde es una parametrizacin de: ! !w 7: : h h h : Q : y .w 7 8! 60. Un gradiente es un vector tal que de donde1


64.El rango de una aplicacin diferenciable en el punto es por0 B h h 8definicin el rango de su derivada . Las sumersiones e inmersiones son0 B w 7 8 llamadas aplicaciones de rango mximo.65.El rango de una aplicacin de clase es una funcin semicontinua inferiormente."O sea si para cada se tiene es una funcin0 B < B < Bh h 8 0 0semicontinua inferiormente.66.Sea una aplicacin diferenciable, si el rango de en el punto 0 0 B h h 8 es , entonces existe tal que el rango de es mayor o igual que en los puntos< B 0


71. Sea abierto. Si una aplicacin de clase es biunvoca entoncesh h 0 7 8 "7 8 B 0 B y { / es inyectiva}, es abierto y denso en .h hw 7 8 72. Sea abierto. Si una aplicacin de clase es abierta, entoncesh h 0 7 8 "7 8 B 0 B y es sobreyectiva es abierto y denso en .e f h hw 7 873.Sean y dos superficies de dimensiones y respectivamente, esQ R 7 8 0 Q Runa aplicacin entre superficies, es diferenciable si y solamente si, para toda0parametrizacin : entonces es diferenciable o sea para: h : : ! 5 5 Q 0 0 0 toda parametrizacin de clase : 574. Sean y superficies de la misma dimensin, es un difeomorfismo deQ R 0 Q Rclase si existe que es de clase . En ese caso para todo 5 " 50 R Q : Q0 : X Q X R ; 0 : w : ; es un isomorfismo, siendo 75.FUNCION INVERSA PARA SUPERFICIES. Sean superficies de clase y Q R 0 Q R5 una aplicacin de clase , es un difeomorfismo local si y solamente si5 0 0 : X Q X Rw : ; es un isomorfismo para todo siendo : Q ; 0 : 76.Sea una funcin dos veces diferenciable, si es tal que ,0 B 0 B !h h ! !wdecimos que es un de Si es un isomorfismo, seB 0 0 B ! !ww 7 7 PUNTO CRITICO dice que es un cuando su matriz B! ` 0`B `BPUNTO CRITICO NO DEGENERADO HESSIANA #3 4tiene determinante no nulo en el punto . Como , los puntos crticos de B 0 0! "forman un conjunto cerrado en . En el caso de poseer solamente puntos crticos noh 0degenerados un subconjunto compacto de no podr contener un nmero infinito dehpuntos crticos.77. Un vector se llama del camino cuando para cada ,@ 0 + , ! %8 8INTEGRAL es posible hallar tal que$ !lT l 7+B> > 3 ! " 5 " 7+B> > > + > > , 3" 3 3" 3 ! " 5 $

implica donde .l@ 0 T l 0 T > > 0 > %3!

5"3" 3 3

Se escribe entonces , ms concisamente tenemos .@ 0 > .> 0 > .> 0 T' ' + +, , lT l!lim78.Sean integrables Entonces para cualquier nmero real y cualquier0 1 + , 7aplicacin lineal las aplicaciones y son tambin integrables.X X X 0 0 1 8 :Adems de eso valen las siguientes relaciones:3 0 > 1 > .> 0 > .> 1 > .>' ' ' + + +, , ,33 0 > .> 0 > .>' ' + +, , 333 X 0 > .> X 0 > .>' ' + +, ,3@ 0 > .> , + m0m m0m =?:l0 > l + > , , donde . ' +,


79. Sea integrable. Para todo vector fijo , el caminoX + , 2 _ 7 8 7> X > 2 X > 2 .> X > .> 2 ' ' tambin es integrable y + +, ,80. El conjunto de los caminos acotados integrables es cerrado en . + , 8En otras palabras, dada una secuencia de caminos acotados integrables, 0 + ,8 8convergiendo uniformemente para entonces es acotada integrable.0 + , 0 8Adems ' ' + +, ,7 70 > .> 0 > .>lim81. Un camino es llamado un , cuando existe una0 + , 8 CAMINO DE SALTOSparticin en y constantes tales queT > > > + , 5 @ @ @ ! " 5 ! " 5" 80 > @ > > > 3 3 3" para . 0 + , 0Sea un camino de saltos como arriba. Entonces es integrable y8' +,

3!

5"3" 3 30 > .> > > @ .

82. Todo lmite uniforme de caminos de saltos es integrable.83.Un camino se dice si para cada existen los lmites0 + , - + ,8 REGULADOlaterales y .lim lim

B- B- 0 B 0 B

0 + , El conjunto de los caminos regulados es la cerradura la clausura en 8 + , 8 del conjunto de los caminos de saltos.84.Un camino regulado tiene a lo mximo una cantidad enumerable dediscontinuidades.85.Un camino se dice si existe un nmero real 0 + , 8 RECTIFICABLE 6 0 lg llamado la , con la siguiente propiedad: para todo existe un LONGITUD DE 0 ! !% $tal que si es una particin de cuya norma entoncesT > > > + , lT l ! " 5 $l 0 l0 > 0 > ll lg

3!

5"3" 3 %.

86. No todos los caminos continuos son rectificables. Por ejemplo si es0 ! " 2definido por , se puede demostrar que no es0 > > >=/8 > ! 0 ! ! ! ">rectificable. Mientras si afirmamos que 0 + , 8 " es un camino de clase entonces es rectificable y adems su longitud es dada por 0 0 l0 > l.>lg '+, w 0 + , 0 > B > C > En particular, cuando es un camino plano dado por y la #norma de es la inducida por el producto interno usual, entonces obtenemos la#

expresin familiar para la longitud de arco: lg ' 0 .>+, .B.> .># .C #87. Sea 0 + , B + ,8 un camino regulado. Para todo ' ' ' + B +B , ,0 > .> 0 > .> 0 > .>.88.Sea un camino regulado. Definimos por 0 + , J + , J B 0 > .> ' 8 8 +BEntonces es continua y tiene en cada punto una derivada a derechaJ B + ,J B 0 B B + , J B 0 Bw w y, en cada punto una derivada a izquierda .


89. Para todo camino continuo 0 + , J + , 8 8 " existe un camino de clase ,tal que en todos los puntos , a saber, J B 0 B B + , J B 0 > .>w +

B '90. Sea de clase . Entonces 0 + , 0 , 0 + 0 > .> ' 8 " w+,91. Sea abierto, dada de clase , supngase que el segmento deh h 0 7 8 "recta est contenido en . EntoncesB B 2 B >2! > " h

0 B 2 0 B 0 B >2 2.> '!" w92. Decimos que una sucesin de aplicaciones converge 0 3 8h localmenteuniforme para una aplicacin cuando cada punto tiene una0 B h h 8 vecindad tal que uniformemente en i i B 0 0 B 393. Sea un conjunto abierto conexo. Si una sucesin de aplicaciones de claseh 7 h h" 83 !, converge en un punto y la sucesin de las derivadas0 B 0 1 3w 7 8 7 8h h converge localmente uniforme para una aplicacin entonces la sucesin converge localmente uniforme para una aplicacin0 30 0 1 H 0 H0h 7 " w

3 33 3 de clase Adems En particular siempre quelim lim

H03 converja localmente uniforme.94. Dada una funcin , supngase que para cada la0 + , - . > - .8integral es llamada .0 ' ': > 0 = > .= .>- +. , INTEGRAL REPETIDA \ 0 \ + , Sean un espacio mtrico y una aplicacin continua. Se define8F F F: mediante , entonces es continua.\ B 0 B > .> '8 +,95. Sea continua, entonces 0 + , - , .> 0 = > .= .= 0 = > .> ' ' ' ' 8 - + + -. , , .96. Dadas una aplicacin y particiones de 0 + , - . T = = + ,8 ! 5U > > - . 0 T U = = > > 0 = >! < 3" 3 4" 4 3 4 de podemos escribir 34se dice que cuando para todo existe tal quelim

lT llUl! 0 T U @ ! !% $

l@ 0 T U l lT l lUl $ $ $ siempre que, 0 + , - . 0 T U Decimos que es integrable cuando existe. Si 8

lT llUl!lim

este es el caso escribimos y llamamos a este' ' + -, . lT llUl!0 = > .= .> 0 T Ulimvector de la aplicacin INTEGRAL DOBLE 0 0 = > .= .> Si la integral doble existe y una de las integrales simples, digamos' ' ' ' ' + + -, , .0 = > .= > - . 0 = > .= .>existe para todo entonces la integral repetida existey es igual a la integral doble.97. Sea un espacio mtrico. El de una aplicacin es la adherencia\ 0 \SOPORTE 8del Esto es, el menor conjunto cerrado afuera del cual esB \0 B ! 0 idnticamente nulo.


0 \ Decir que una aplicacin es continua y tiene , significa8 S0P0RTE COMPACTOque existe un subconjunto compacto tal que para todo O \ 0 B ! B \ O 0 0 Sea abierto. Si es continua y tiene soporte compacto, entonces h h 7 8puede ser extendida a una aplicacin continua colocando para0 0 B ! 7 8 B h98.Dados un abierto y una aplicacin continua con soporteh h 0 7 8compacto, definimos la integral extendiendo a una aplicacin continua'

h0 0

0 0 B ! B h7 8 7 con si , despus escogiendo un paraleleppedoC + , + , 0" " 7 7 8 afuera del cual se anula y colocando' ' ' ' h0 .B .B 0 B B .B+ + +

, , ,7 # " 7 "7 # "

7 # "

99.TEOREMA DE LEIBNIZ. Sea un abierto y continua conh h 0 + ,7 8`0 + , B 0 B > .>h F h F '7 8 8 +, continua. Entonces : definida por es de clase y F" w +

," 'B ` 0 B > .>

100.TEOREMA DE SCHWARZ. Sea una aplicacin de clase abierto .h h 8 # 7Para cada la segunda derivada es una aplicacin bilinealB 0 B h ww 7 8# semtrica. B 5 Sea de clase entonces para cada la -sima derivadah h 8 50 B 5 5 7 85 es una aplicacin -lineal simtrica. 0 " 5 Sean y una aplicacin de clase . Para cada , lash h 7 8 5derivadas parciales mixtas de orden , , no depende del ` 0`B `B "

3" 3 B " 3 3 7orden en que fueren efectuadas las derivadas.101.TEOREMA DE TAYLOR . Sea abierto si es veces diferenciable infinitesimal h 0 =7en y en un punto existe entoncesh h+ 0 + ="

0 + 2 0 + 0 + 2 0 + 2 0 + 2 < 2 w ww # =" ="" "#x =" x donde ; lim

2!< 2l2l

4 7 7 7 =" ! 2 2 2 2

4@/-/= F ! < F = F Sea una bola abierta de centro si es veces diferenciable en , 7 8= " ! < ! ! ! 4 = " veces diferenciable en el punto y adems para 4 entonces .lim

B!< BlBl =" !

102. . Sea una aplicacin de claseFORMULA DE TAYLOR CON RESTO INTEGRAL 0 h 8 h=". Si el segmento de recta esta contenido en el abierto , entonces+ + 2

0 + 2 0 + 0 + 2 0 + 2 0 + 2 < 2 w ww # = =" "# =x donde

< 2 0 + >2 2 .> '!" ">=x =" =" = .103.FORMULA DE TAYLOR CON RESTO DE LAGRANGE. Sea de clase . Si el0 h 8 ="segmento de recta esta contenido en y si para todo+ + 2 l0 B l Qh =" B + + 2 entonces


0 + 2 0 + 0 + 2 0 + 2 0 + 2 < 2 w ww # = =" "#x =x donde

| .< 2 l l2l Q=" x =" An bajo las mismas hiptesis del resultado 103 tenemos

0 + 2 0 + 0 + 2 0 + 2 0 + 2 V 2 w ww # = =" "# =x donde

lV 2 l =?: 0 + >2 0 + G !>"

=" =" l2l=x

=" .104.Sea abierto y una funcin con valores reales. Diremos que h h 0 07 posee un en un punto cuando existe una vencidad de talMXIMO LOCAL B B! !h ique para todo Cuando para todo en , diremos0 B 0 B B 0 B 0 B B B ! ! !i ique posee un 0 mximo extricto. De manera anloga se define un para una funcin MNIMO LOCAL 0 .h 0 B Cuando es diferenciable, todo mximo local tiene que ser un puntoh h !crtico de , es decir, 0 0 B !w ! 0 No es verdad que una funcin diferenciable tenga que poseer un mximoh local o un mnimo local en cada uno de sus puntos crticos por ejemplo0 B C B C ! ! # # tiene un punto crtico en pero no es ni mximo, ni mnimo localde .0105.Sea un punto crtico de una funcin de clase LaB 0 ! 7 #h h segunda derivada es una forma bilineal simtrica llamada una0 B ww 7 7! forma Hessiana de en 0 B ! 0 BComo vimos en el numeral 76, si la forma Hessiana es definida positiva, estoww ! es, para todo en , entonces el punto crtico es0 B ? ! ? ! Bww # 7! ! necesariamente no degenerado, esto es, la aplicacin, es un0 B ww 7 7! isomorfismo.106. Sea una funcin de clase , abierto. En un punto crtico 0 Bh h 7 !sea la derivada de menor orden no idnticamente nulo, entonces0 B 5 ! 3 5 0 B Si es impar, no posee ni mximo, ni mnimo local en !33 5 0 B ? ! ? ! 0 Si es par y para todo en entonces posee un mnimo 5 5 7! aislado en el punto . Un enunciado anlogo vale para mximo, con en lugar deB !! !333 0 B 0 B ? ! ? Si posee un mnimo local en entonces para todo .! !5 5 7 Anlogamente para un mximo local.@3 En los dems casos nada se puede afirmar.107.TEOREMA DE LA FUNCION INVERSA. Sean un abierto y de claseh h 0 7 7 h 5 w 7! ! " 5 B 0 B tal que en un punto es un isomorfismo. Entonces0 B es un difeomorfismo de clase de una vecindad de sobre una vecindad de i j5 !0 B !Pasos de la demostracin:


3 B ! 0 B 0 ! ! 0 B 0 ! B < B ! < ! ! Tomese , donde y ! ! w wB!< BlBl lim

33 ! Sea tal que Existe una bola abierta, en torno del origen tal- - i"l0 ! lw " que | .< B l a l< C < B l lC Bl aB C w - - i - iAs es un homeomorfismo de sobre un abierto que contiene a 0l 0 B i i j !333 1 0 1 C 0 B Sea muestrese que es diferenciable en cada punto " j i j pues y para mostrar que se observa que1 C 5 1 C 0 B 5 = 5 ! w "

5!= 5l5llim

= 5 l2l < 2 l2ll5l l5l l2l l5l -

w " " 0 B 5 0 B 2 0 B donde 3@ 1 KP KP Para mostrar que se considera j i 5 7 7 71 0 3 w 1 3 0 1 3 B B 0 3 0 1w w " " w donde Como y son continuas entonces 1 1 0 3 0 1 1 1 w ! " # w " w " # Si entonces de donde se sigue que yas sucesivamente.108.Consideremos supongamos que y seanV B C + B , - C . 0 ` 0 "continuas en . Sean y dos funciones que posean derivadas y en yV : ; : ; + ,w wsupongamos que y que para cada en . Definamos - : B . - ; B . B + , J mediante Entonces existe para cada en y tenemosJ B 0 B > .> J B B + , ': B; B w J B 2 0 B > 2 .> 0; B >; B 2 0: B >: B 2w w w w: B

; B '

2. RESULTADOS PROBADOS

1.Usando la frmula y admitiendo la existencia0 B 2 0 B >2 lw>!

0 B>2 0 B> .>

.>! lim

de las derivadas en cuestin, calcule: , donde esta definida por+0 D 2 0 w # # 0 B C B C B C D % " 2 " # , B @ B @ # # w 7 y . donde son: vectores arbitrarios y es una funcin definida por siendo: : 0 B 1 B 7 0 1 - B 2 2 0 7 w 7 funciones lineales. donde es un vector arbitrario y0 h h esta definida en un abierto del siguiente modo: justamente dando70 1 B 0 B 1 B B h 0 h : diferenciables y para todo , es un productointerno de los vectores y .0 B 1 B SOLUCIN. Tenemos , . + 0 B C B C B C D % " 2 " # 2 2# # " #Admitiendo la existencia de procedemos a calcular justo en los puntos0 D 2w deseados usando de aqu 0 D >2 l lim

>!0 D>2 0 D

> .>.

>!

0 D >2 B >2 C >2 B >2 C >2 " # " ## #%" "#

% > " #> % > " #> # #de donde. . ..> .> .>>! >! >!

# #0 D >2 l % > " #> % > " #> = # % > # " # " #> # "! $ >! >!


, 0 1 B 0 B 1 B B : :7 7, son funciones lineales : es dada por Como y son fijos, tenemos que y el lmite es real o sea2 B >2 : lim

>!B>2 B

> .> .>. .

>! >!: : B >2 l 0 B >2 1 B >2 :

0 B >2 1 B >2 0 B >2 1 B >2 . ..> .>>! >! 0 B 1 B >2 l 0 B >2 l 1 B . ..> .>>! >!Sea donde es la base connica de entonces B B / / / 0 B B 0 /

3! 3!

7 73 3 " 7 3 3

7

as y0 B >2 B >2 0 / 3!

73 3 3

. ..> .>>! 3 3 3 >! 3 33! 3!

7 70 B >2 l 0 / B >2 l 2 0 / 0 2

Luego y anlogamente . ..> .>>! >!0 B >2 l 0 2 1 B >2 l 1 2 Concluimos que lim

>!B>2 B

>: : 0 B 1 2 0 2 1 B

- 0 1 B 0 B 1 B Sabemos que y que : es dada por h 0 h 07 : tenemos: lim lim

>! >!B>2 B 0 B>2 1 B>2 0 B 1 B

> >0 0

lim>!

0 B>2 1 B>2 0 B>2 1 B 0 B>2 1 B 0 B 1 B >

0 B >2 1 B >2 1 B 0 B >2 0 B 1 B lim

>!">

0 B >2 1 B lim>!

1 B>2 1 B 0 B>2 0 B> >

Como es contnua y , , y , lim lim lim

>! >! >!1 B>2 1 B 0 B>2 0 B

> >w w 1 B 2 0 B >2 0 B 0 B 2

existen por hiptesis, tenemos lim

>!B>2 B

>w w0 0 0 B 1 B 2 0 B 2 1 B

2.El ejercicio anterior muestra que, si existen las derivadas y ellas0 D B Bw w w : 0deben tener como frmulas las all obtenidas. Pruebe ahora que las tres existen.SOLUCIN. como en . Mostremos de existe. Para , considerese la+ 0 "+ H0 1 D B C aplicacin lineal: 2 2 2 #B2 2 2 #C2 " # " # " #XTenemos

< 2 0 D 2 0 D X 2 2 2 " ## #(esto despus de hacer las operaciones). Debemos ahora mostrar que Paralim

2!< 2l2l !

esto tomamos para la norma | , tenemos que# " # " # 2 2 l 7+Bl2 l l2 l| . < 2 l 7+B2 2 " ## # Si es tal que | |2 2 2 l2 7+Bl2 l l2 l l2 l < 2 l 2 " # " # " "#Sea y supngase que% !


l2l l2l l2 l l2 l $ % %" l< 2 ll2l 7+Bl2 ll2 l l2 l7+B2 2 2 " " # "# # #" # "Luego lo que muestra que es diferenciable en y es su derivada.lim

2!< 2l2l ! 0 B X

, 0 1 0 1 Sean , funciones lineales. Mostremos que la derivada de existe :7para todo punto de . Considerese para fijo, la transformacin lineal de 7 7 7B en , . 2 0 B 1 2 0 2 1 BX Sea (esto haciendo las operaciones ) de donde< 2 B 2 B X 2 0 2 1 2 : :se obtiene

l< 2 l l0 2 1 2 l l0 2 ll1 2 l l0 ll1 ll2l #ya que y son funciones lineales continuas, luego:0 1

! l0ll1ll2ll< 2 ll2l

Sea , si o fueran nulos, se tendra inmediatamente lo deseado. Consideremos% ! 0 1entonces el caso en el cual y son no nulos. Dado sea 0 1 ! % $ %%l0 ll1l l2l

l< 2 l ! Xlim

2!< 2l2l . Esto demuestra que la derivada de existe y es igual a :

- 0 1 B 0 1 B 0 B 1 B 0 y diferenciables en . Como yh 0 h 07 : 1 B son diferenciables en , tenemosh donde G ! 3 " #0 B 2 0 B 0 B 2 < 21 B 2 1 B 1 B 2 < 2w "w # 2! < 2l2llim 3 Sea la transformacin lineal dada por:X 7

X 2 0 B 1 B 2 0 B 2 1 B w wSea Sustituyendo en tenemos< 2 B 2 B X 2 < 2 0 0< 2 0 B < 2 0 B 2 1 B 2 0 B 2 < 2 < 2 1 B # # "w w w < 2 1 B 2 < 2 < 2 " " #w Usando la desigualdad Cauchy-Schwartz y la continuidad de y tenemos0 B 1 Bw w l< 2 l l< 2 l l< 2 ll2l l2l l2l l2l

w w w w# " #

l< 2 l l0 B l l0 B ll1 B ll2l l0 B ll< 2 l l1 B l l1 B ll< 2 l l< 2 l # " "Como cada factor tiene a cero como lmite cuando , concluimos que 2 ! ! lim

2!< 2l2l

luego es diferenciable en y es su derivada.0 B X

3.Sea abierto. Dada deferenciable en el punto considere unah h h 0 B 7 8 !bola abierta de centro y radio , contenida en . Pruebe que la aplicacinF B B ! !$ $ h< F ! < 2 0 B 2 0 B 0 B 2 $ 8 w! ! !definida por es diferenciable en elpunto 2 !SOLUCIN. es diferenciable en , , entonces0 B 0 h 7 7 :

< 2 0 B 2 0 B 2 0 B wes diferenciable en . Como esta definida en una vecindad de entonces esta! 0 B !0 >2>

# ! 2 SOLUCIN. no es continua en . Vamos a construir dos sucesiones en 3 0 ! A D 8 8 8 8 #de tal manera que y Con este fin tomemoslim lim lim lim

8 8 88 8 8 8A D ! 0 A 0 D

A / 8 " # ! # a8 8 " "8 838 ntese que tenindose que1

y 0 A " 0 A " lA l "8 A ! 8 8 8 8"8"8 # 8 8lim lim


Elegimos ahora ntese que , en esta formaD / 8 " # ! #8 #8 "8 #38 10 D 0 D lD l D ! 8 8 8"8#8 % % 8# " " "8 88lim lim y Luego no es continua en .0 !33 2 ! 2Para todo , existe . Segn lo sugerido representemos en#

>!0 >2>lim

coordenadas polares como donde Tenindose2 l2l/ ! +81 2 # 3 +81 2 1+81 >2

+81 2 =3 > !+81 2 =3 > ! ! +81 2 +81 2 =3 > ! +81 2 #

1 11 1 1yy Tenemos:

0 >2 > l2l >l2l> > +81 >2 +81 >2 # # ## #

como es fijo, dado sea si 2 ! ! ! +81 2 % $ 1738 +81 2 +81 2 l2l # #

#1

Por se sigue que si . l>l $ %l0 >2 ll>l Si se toma =1 1 $ +81 2 # !738 +81 2 +81 2 l2l

# ##

1

7.Sea . Dadas las aplicaciones diferenciables yh h h 0 1 7 7 : X B h : h h 8 : defina una aplicacin real : , tomando para ,: B > B 0 B 1 B , donde es el producto interno usual de . Calcule la:derivada para todo : hw 7 B B SOLUCIN. Consideremos inicialmente una aplicacin , conocidaA 8 : 8 :como la evaluacin A A P B P B . Es fcil verificar que es lineal y continua, por lotanto es diferenciable y su derivada esta dada por

H P 2 P 2 P 2 P 2A " " " "Consideremos ahora la aplicacin X 0 h 8 : 8definida por X 0 B X B 0 BComo y son diferenciables en , es diferenciable en y para , ,X 0 X 0 B 2 h h h 7tenemos: .H X 0 2 HX B 2H0 B 2 La aplicacin es dada entonces por la compuesta B X B 0 B X 0 h h A :Usando la regla de la cadena, tenemos que es diferenciable en y suA X 0 hderivada en esta dada por :B h H X 0 2 H X B 0 B H X 0 B 2 A A H X B 0 B HX B 2H0 B 2 HX B 2 0 B X B H0 B 2A Consideremos ahora la aplicacin (producto interno). Como T :es bilineal continua, tenemos as que

H B C 2 5 B 5 2 C La aplicacin definida arriba puede ser escrita entonces como::

: X 0 1 A


Luego H B 2 H X 0 B 1 B H X 0 1 B 2 : A A H X B 0 B 1 B H X 0 B 2H1 B 2 A X B 0 B H1 B 2 H X 0 B 2 1 B A X B 0 B H1 B 2 HX B 2 0 B X B H0 B 2 1 B . X B 0 B H1 B 2 HX B 2 0 B 1 B X B H0 B 2 1 B Luego la diferencial de en es una aplicacin lineal:: hB

2 X B 0 B H1 B 2 HX B 2 0 B 1 B X B H0 B 2 1 B

8.Sea un abierto. Dada diferenciable, el gradiente de en unh h 0 0 1 - a> M 0" para todo , Como y son diferenciables ensus dominios, entonces

! 0 > H 0 > " H0 > H > " H0 > > ..>w - - - - - -

1 > - -wLo que muestra que cada vector velocidad es perpendicular a en - -w > 1 , 2 W 2 2 2 " 2 WFijemos ahora Vamos a hallar de tal7" 7 7"" manera que sea mximo. Tomemos`0`2 B

`0`2 B H0 B 2 1


Si no hay nada que probar. Si , sea Tenemos1! >!

0 >2 0 ! 0 >2> > lim lim 0

Luego para todo , se sigue que lo cual implica que es0 2 0 ! 2 2 0 0 ! 0 w 7 wlineal.

10.Sea con la norma . Sea el plano con laJ lX l =?:l> @l l@l " # # #norma de un vector definida por . Defina tomando@ + , l@l 7+Bl+l l,l 0 para , donde . Mostrar que es una inmersin@ + , 0 @ X X B C +B ,C 0 isomtrica de en esto es, y concluya que la norma de no es l0 @ l l@l Jdiferenciable.Generalice: en el espacio , la norma no es 8 7 7 lX l =?:l>@l @ l@l "diferenciable.SOLUCIN. + X + , +B ,C X Veamos que es una isometra. Basta mostrar que si es de la forma descrita, entonces . TenemoslX l 7+Bl+l l,l

lX B C l l +B ,C l 7+Bl+Bl l,Cl Tmese tal que B C #

l B C l 7+BlBl lCl " lBl " lCl " 7+Bl+Bl l,Cl 7+Bl+l l,l y Luego . Suponga ahora que | tomando tenemoslX l l + , l + , l l+l @ " !

lX @ l l + ! l l+l l + , l l@l " lX l l+l l + , l y l + , l l,l @ ! " l0 + , l l + , l a + , Si tmese . Esto muestra que , # #Como es lineal, entonces es isometra.0 0, J + , , + Veamos que no es diferenciable: Mostremos que si es tal que #entonces la norma de no es diferenciable en En efecto, supongamos por# + , ejemplo que Si la derivada de la norma en existiese en , el siguiente, + + +# lmite debera existir ( cuando > !

l+>ll+l l +>+> ll ++ l> > + !

" =3 > ! " =3 > !

suponiendo lo cual evidentemente no existe. ( Si es anlogo, cambiando los signos + por -+ !en la relacin de arriba y si , supngase y tome ),, + + ! l +>+> ll +l+ l>


l l X X B C +B ,C + , no es diferenciable en si donde Obsrvese inicialmente que es linear. Ahora, como es isometra, tenemos que . Si0 0 l l l l 0# l l X se supone diferenciable en de la forma de arriba, por la regla de la cadenatenemos que sera diferenciable en , , ya que es lineal (luegol l + , , + 0# diferenciable), lo cual es un absurdo.OBSERVACON: Sea { } un espacio vectorial normado. Entonces no es ! l ldiferenciable en !En efecto, sea en . Si es diferenciable en , la derivada direccional de en@ ! l l ! l l ! @ > ! en la direccin de estara dada por el lmite

l>@l>

l@l =3 > ! l@l =3 > !

y como , este lmite no existe.@ ! l@l !- .- Consideremos y con la norma del mximo mdulo de lasGeneralizacin 8 7coordenadas y con norma Mostraremos que la norma 7 8

l@l" lX l =?: lX@l

| |: no es diferenciable en algn punto Para esto consideremos la 7 8 X !aplicacin : de tal manera que donde: :8 7 8 " 8 + + XX X B B + B + B + B : 7 8 " " " # " 8 " es tal que . Mostremos que es una7isometra. En efecto, para todo , con , tenemos yB B B lBl " lB l " " 7 "7

lX B l l + B + B l 7+B l+ B l 7+B l+ l l + + l " " 8 " 3 " 3 " 83 3Por otro lado para tenemos y | LuegoB " ! ! lX B l l + + l Bl " " 8

|X l l + + l l + + l l + + l: " 8 " 8 " 7Como es lineal y conserva la norma, es isometra. Notese que la norma de: :8 " # 8 33 l C C C l 7+B lC l , no es diferenciable en los puntos de la formaC + + + 8 # + ! , ( la demontracin es anloga al caso de ). Se tiene#tambin que . Si la norma fuese diferenciable en , por lal l l l l l + + + 8 : : regla de la cadena sera diferenciable en ya que es lineal, lo cual esl l + ++8 :un absurdo . po

11.Tmese un camino diferenciable, y0 : 0 % % % %8 8!: > l: 0 > l lBl B B ! 8 donde la norma de se tomada como =producto interno cannico de . Probar que es una proyeccin de sobre el :8 w w > 0 >eje . : 0 >!SOLUCIN. Tenemos . Luego es la: : > l: 0 > l : 0 > : 0 > ! ! !composicin de las funciones: y : 0 : 0 % % 8 8 8 8! !o sea .: : 0 : 0 ! ! : 0 : 0 y son diferenciables en todos los puntos de sus respectivos ! !dominios. es diferenciable en . Como , ! : 0 % % !


! : 0 : 0 ! ! % % : % %es diferenciable en . Usando la regla dela cadena obtenemos: :w . ".> ! ! ! !# : 0: 0 > : 0 : 0 > # : 0 : 0 > ! ! > 0 > 0 >0: 0 0:l: 0l l0: l l0 > : lw w

0 > :! !w! ! !

! que es por definicin la proyeccin de sobre el eje .0 > : 0 >w !

12. Sea un abierto, tal que si y entonces . Supngase queh h h B > ! >B 70 5 0 >B > 0 >h 8 5 es una aplicacin homognea diferenciable de grado (esto es, > ! 0 5 0 B B 5 0 B aB ). Probar que es homognea de grado si y slo si , .w hSOLUCIN. B l>l " " > B > 0 B >B Sea . Para , y por lo tanto la funcin h hen . Sea . Tenemos que " " < > 0 B B>

< ! < B B w w>!

0 BB> 0 B> lim .

Por otro lado < > 0 " > B " > 0 B < > 5 " > 0 B < ! 0 B B 50 B 5 5"w w w 0 B B 50 B B Suponga ahora que para todo Debemos mostrar quew h0 >B > 0 B B > ! < ! 5 8 para y . Se define la funcin , dada porh < > > ! 0 0 >B> >" 5 5. Usando el hecho de que es diferenciable para , es diferenciable enh y que es diferenciable en , tenemos que es diferenciable para . Su> >B > ! < > !derivada ser: esto segn la< > 0 >B >B 50 >B !w w> 0 >B B5> 0 >B> >> 5 w 5"#5 #55" hiptesis. Luego es constante en y como tenemos que< ! < " 0 B 0 >B > 0 B a> ! 5 , .

13. Sea definida por 0 0 B +B B =/8 "B =3 B !! =3 B ! #donde Entonces es diferenciable en toda la recta, , pero no es! + " 0 0 ! + 0w biunvoca en una vecindad de cero.SOLUCIN. es diferenciable. En efecto, para Las+ 0 B ! 0 B +B B =/8 "B #aplicaciones: son diferenciables en { } La aplicacinB +B B B B "B ! # > =/8> 0 ! es diferenciable en . Concluimos que es diferenciable en Tenemos (que es continua en { }).0 B + #B=/8 "B -9= "B !w Para B !

0 2 0 ! +22 =/8 "22 2

+ 2=/8 "2 2 !# .Luego

, ya que ,lim2!

0 2 0 !2 2

" + l2=/8 l l2l de donde .lim

2!2=/8 "2 !


,0 ! no es biunvoca en ninguna vecindad de : Para esto, consideremos las sucesionesB C ! C B C B 8 B ! C !8 8 8" 8" 8 8 8" "# 8 # 81 1 1, . Tenemos para todo y si"# 8 8 .Tenindose:

0 B + #B =/8 -9= + " !w 8 8 " "B B 8 8 0 C + #C =/8 # 8 -9= + #C !w 8 8 8" "# C 1 1 8Esto implica que en toda vecindad del origen, existen puntos en los cuales es0creciente y puntos en los cuales es decreciente y . Consideremos el intervalo0 C B 8 8C B M 0 M 0 M8 8 8 8 8 es continua en el cual es compacto, luego alcanza su mximo en .Sea , tal que es el mximo en . Como es creciente en y decrecienteD M 0 D M 0 C8 8 8 8 8 en , y , luego . Tenemos entonces yB D C D B D C B 0 D 0 C8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 D 0 B 0 C 0 B 8 8 8 8. Supongamos por ejemplo que , tenemos

y .0 D 0 C 0 B B D C 8 8 8 8 8 8Por el teorema del valor intermedio, existe tal que y comoA D B 0 A 0 C8 8 8 8 8 A D C A C 0 C 0 B A C D A B 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8, . Anlogamente si existe tal que . Como , tenindose que en toda0 A 0 B A ! C B ! 8 8 8 8 88 8 8lim lim limvecindad del origen existen puntos de la forma (lo suficientemente grande,A B C8 8 8de acuerdo con el radio de la vecindad), tales que o y0 A 0 B 0 A 0 C 8 8 8 8A B A C 08 8 8 8, , lo que muestra que no es biunvoca en una vecindad del origen.

14.+ 0 0 Sea , abierto y conexo con derivada acotada en . Entonces h h h7 8es uniformente continua en h.SOLUCIN. Por hiptesis existe tal que , para todo SeanQ ! l0 B l Q B w hB B 2 B B 2 h h entonces el segmento . Por la desigualdad del valor medio,tenemos que

l0 B 2 0 B l =?: l0 B >2 l l2l Q l2l !>"

w

Luego para y esto implica que es uniformementeB C l0 C 0 B l QlC Bl 0h continua en .hOBSERVACON: Si no es convexo este resultado no vale. Dar un contraejemplo.hSugestin: Considere como siendo un abierto de ,h #

h B C B ! B ! C / { o y | | . # BConstruya , tal que | en y tal que no es uniformemente0 0 B l Q 0 h# w continua en .h

14., 0 0 Supongamos ahora que es uniformemente contiua en . Probar que esw huniformemente diferenciable en h.SOLUCIN: Dado , debemos hallar tal que y entonces% $ $ h ! ! l2l B B 2

.l0 B 2 0 B 0 B 2l l2l w %


Como es uniformemente continua en por hiptesis, dado tal que si0 ! b !w h % $l2l B B 2 l0 B 2 0 B l B B 2 $ h % h h y , entonces Sean , como esw w conexo el segmento . Sea la curva .B B 2 < ! " < > 0 B >2 >0 B 2h 8< ! " ! " es continua en y diferenciable en . Por la desigualdad del valor medio, tenemosl< " < ! l l0 B 2 0 B 0 B 2l =?: l< > l =?: l0 B >2 2 0 B 2l w w w w

> !" > !" =?: l0 B >2 0 B l l2l

> !"

w w Ahora si entonces si l2l > ! " l>2l > ! " l0 B >2 0 B l $ $ % w w

l0 B 2 0 B 0 B 2l l< B 2 l l2l w %

14.- 0 0 Pruebe que si existe y es acotada en , entonces es uniformementeww hcontinua.En efecto por se sigue que uniformemente continua y por se sigue que es+ 0 , 0wuniformemente continua en .h

15. Sea abierto, de clase . Supngase que es inyectiva enh h 0 0 B7 8 " w todos los puntos compacto. Mostrar que existen tales queB - ! !^ h ^ $l0 B 2 0 B l -l2l B l2l B 2 para todo y tales que .^ $ hSOLUCIN.- Consideremos la funcin : , tal que . 7 8

l2l" X 380 lX 2l

es una funcin continua y es inyectiva si y slo si, DeX X ! 7 8hecho,

X X 380 lX 2l 380 lX 2l lX @l 380 lX 2lw w wl2l" l2l" l2l"

para todo con . Como es continua en que es@ l@l " X W @ l@l "w 7" 7compacto, tal que . Tomando en la anteriorb2 W 380 lX 2l lX 2 l @ 2! ! !7" w w

l2l"

desigualdad, tenemos X X lX 2 l lX 2 l l X X 2 l lX X lw w w w! ! ! .

Anlogamente | . Luego | es X X X X l l X X l X X l w w w wcontinua.Defina ahora tomando . Es fcil ver que es continua. Si - - B 0 B - B h ^ w0 B - B 0 B ! 5/< 0 B ! 0 B !w w w w es inyectiva y por lo tanto (pues ) Como es compacto, es compacto, luego existe tal que^ ^ - ! 5 ! 5 738 - 5 - B 0 B 5 ! ^ ^ ^ , o sea para todo wSean , se tiene2 B 2 ! ^7

l0 B 2l l0 B l l2l l2l 0 B 5 l2lw w w2l2l pues tiene norma . Luego para todo si es obvio .2l2l Bw 2" l0 B 2l 5 l2l 2 ! ^7


Ahora, es compacto, es cerrado y , entonces existe tal que^ h Q $7 7 " ! si y , (vase por ejemplo "Elementos de Topologa General"B C . B C ^ h $7 " de E.L.Lima, Cap.VII, 2, ejemplo 15). Esto quiere decir que si y es talB 2 ^ 7que entonces el segmento l2l B B 2 $"# hConsideremos ahora el conjunto y . Entonces es abierto,h ^ hw w# B 2B l2l $"pues adherencia de y . es unh h h ^ hw w

B # #w w F B B 2B l2l

^$ $ " "

conjunto acotado (su dimetro dimetro de ), entonces es compacto, se ^ $ h" wsigue que es uniformemente continua en y por lo tanto tambin en . Usando0 w wwh hun raciocinio anlogo al del ejercicio anterior y el hecho de que el segmentoB B 2 B l2l ! ! l2l h ^ % $w # ## si y , vemos que dado existe tal que si $ $" "l2l B l0 B 2 0 B 0 B 2l l2l B l2l $ ^ % ^# w # y entonces pues si y $"entonces Tmese entoncesl0 B 2 0 B 0 B 2l =?: l0 B >2 0 B l l2l w w w

>!"

% $ $ ^ $= , Tenindose para y que:5# # # 738 B l2l $"l0 B 2 0 B l l0 B 2 0 B l l0 B 2l l0 B 2l w w

l+ll,ll+,|

l0 B 2l l0 B 2 0 B 0 B 2l 5l2l l2l -l2l - w w 5 5# # donde .

16.Sean un abierto conexo contenido en . Mostrar que existe una poligonal+ , h 7contenida en tal que el primer vrtice es y el ltimo es h + ,SOLUCIN. Fijemos e sea existe una poligonal contenida en ,+ B h h h h+uniendo con , esto es, el primer vrtice de la poligonal es y el ltimo es .+ B + BVamos a mostrar que , lo que muestra el resultado.h h+ 3 + pues .h F h+ +33 es abierto en :h h+Sea . Como existe una bola de centro y radio , . ComoB B B ! F B h h % % h+ B B + B B B + Bh+ " # 5, existe una poligonal de vrtice uniendo con . DadoC F B B C F B C F B % % h %el segmento , luego para todo , la poligonal devrtices esta enteramente contenida en , lo cual prueba queB + B B B C" # 5 5" hF B % h h h+ + es abierto en .333 es cerrado en :h h+Sea una sucesin en , tal que . Queremos probar que . ComoB B B B 8 8 + 8 + h h hB ! F B B B 8 h % % h , sea , tal que . Como , existe tal que si 8 !8 8 B F B B F B! !entonces . Tenemos entonces que y por tanto el8 8 % %segmento . Como , existe una poligonal de vrticesB B F B B 8 8 + % h hB + B B B" # 5 8 enteramente contenida en . Esto implica que la poligonal dehvrtices , est enteramente contenida en , luego B + B B B B B B +" # 5 8 5" h hEn esta forma es cerrado en .h h+


17.Sean y longitud de es poligonal uniendo con .+ , . + , 380


18.Sea diferenciable. Si donde , entonces0 l0 B l Q aB Q !h h 8 wl0 B 0 C l Q. B C aB C h h.SOLUCIN. Tmemos una poligonal cualquiera . Tenemos:B B B B C" # 5

l0 B 0 C l 0 B 0 B l0 B 0 B l 3" 3"

5" 5"3" 3 3" 3

Como el segmento , por la desigualdad del valor medioB B 3 3" h l0 B 0 B l QlB B l l0 B 0 C l Q lB B l Q6 B B 3" 3 3" 3 3" 3 " 5

3"

5"

. l0 B 0 C l Q 3806 B B B B B C B B Q. B C " 5 " 5 3 3" h h

19.Si es convexo, diferenciable y es un abierto conexo contenidoh h i 0 8 8en , entonces , siempre que , .0 . 0 B 0 C QlB Cl l0 B l Q aB h hi wSOLUCIN. Consideremos el segmento (convexo). es compacto y comoB C B Ch0 0 B Ch 8 es diferenciable, entonces es tambin compacto. Sea$ i 380. A D A 0 B C D ! 0 B 0 B y Consideremos puntos de8 " 50 B C . 0 B 0 B l0 B 0 B l 0 B 0 B 0 B 0 C , tales que , 3 3" 3" 3 " 5$Como es fcil de ver el segmento ya que la bola de centro y0 B 0 B 0 B 3 3" 3iradio est contenida en . es uniformemente continua en , luego existe $ i $0 B C !wtal que si entonces . Sea , tal queD A B C lD Al l0 D 0 A l 8 $ $ w lCBl8

w" # 8" B C B B B B C$ y consideremos una particin de tal que

B B > C B > 3 3 3 38 donde Tenemos .lB B l l> > llC Bl l0 B 0 B l 3" 3 3" 3 3" 3w$ $

Adems se tiene que y la poligonal de vrtices3"

83" 3lB B l lC Bl

0 B 0 B 0 B 0 B 0 C 0 B 0 C " # 8" unen a con y est contenida en .iTenemos:

. 0 B 0 C l0 B 0 B l Q lB B l QlC Bli 3" 3"

8 83" 3 3" 3

esto aplicando la desigualdad del valor medio.

20.Sea un abierto convexo, un cerrado y enumerable,h h 7 # H 7 E H 0 E E l0 B l Q aB Eh 8 w diferenciable en todos los puntos de , con , .Probar que3 . B C lB Cl aB C E , .E 33 0 J se extiende a una aplicacin uniformemente continua h 8333 0 E l0 B l R aB E R ! Si tenemos que es dos veces diferenciable en y que ww entonces es de clase en .J h" Se demostrar esta afirmacin sin suponer que l0 B l Q B Ew


SOLUCIN. Demostremos que dados y dado , existe , tal que la3 B C E ! D E%poligonal de vrtices est contenida en y .B D C E ! lD Cl lC Dl lC Bl %Esto implica que es conexo y .E . B C lC BlE Sean y . Sea el punto medio del segmento . SeaB C E B C ! - B C % hBC#. . B > C B a> 7 #h , , . Esto es posible por que . Considrese ahora la recta que une a con , . - . - > - > . - > Como es convexo y tambin los- > - > 2 5 2 5 !h h h segmentos para . La funcin: B - > - > C > 2 5 > lB - > l l- > Cl h :es contnua y Dado , existe tal que si , entonces: % $ $ ! lB Cl ! ! l>l ! lB - > l l- > Cl lB Cl %.Como es enumerable, el conjuntoH

el segmento H > B - > H B $ $ Fes enumerable. Anlogamente es enumerable.H > - > C H C $ $ FLuego es enumerable. Como no es enumerable H H H HB C B C $ $ $ $no es numerable y en particular no vaco. Luego existe tal que> ! $ $B - > H - > C H B - > - > C E 738 2 5 ! ! ! !F F $ y si HaciendoD - > ! , obtenemos lo que se quiere probar.33 0 J 3 se extiende a una aplicacin uniformemente continua . Por la parte h 8tenemos , Esto implica que esl0 B 0 C l Q. B C QlB Cl aB C E 0 Euniformemente continua en , luego se extiende a una funcin uniformementeEcontinua, verifquese . Ahora, es enumerable, cerrado,J E H 8

E H E h h(si y es una vecindad de , como es enumerable, entonces contieneB H B Hi h ipuntos de ) luego se extiende a , uniformemente continua.h h H 0 J 8333 33 0 E Por la parte se extiende a una funcin continuaw 7 8 K B C E K B 0 B K C 0 Ch 7 8 w w. Tenemos que si entonces ylK B K C l RlB Cl lK B K C l RlB Cl aB C Por continuidad entonces , .hCon esto no podemos concluir que es uniformemente continua en , ya que 0 h hpuede ser no acotado, mientras tanto fijando , sea una bola deB F B ! !h % h centro y radio . Para , tenemosB ! B F B H! !% % | se extiende a a unaK C 0 B l RlB Bl l0 B l lK B l R Q 0 F B w w! ! !% %funcin uniformemente continua . Luego se extiende a una funcin continua enJ 0 J h (si las hiptesis de se verificarn, ser uniformemente continua) Resta33 Jdemostrar que es diferenciable en y su derivada en un punto es . EsteJ B K Bh h hecho se sigue de los resultados dados sin demostracin en la primera parte.(cual?)Concluimos que es de clase en , pues es uniformemente continua en .J K h h"

21. Sea una funcin real de clase . Se define por0 J " #J B > > ! J B ! 0 B J 0 B> 0 B> w cuando y . Entonces es continua.SOLUCIN. Basta verificar la continuidad en un punto de la forma . Consideremos B ! !para fijo la funcin . es diferenciable yC > 0 C > 0 C >0 C: : w


: : : : 0w w w w wl>ll>l

> 0 C > 0 C l > ! l l > l l>l =?: l0 C 0 C l0

l0 C > 0 C >0 C l l>l =?: l0 C 0 C l w w wl>ll>l0

0

0 C =?: l0 C 0 C l 0 C> 0 C> w w wl>ll>l

0

0

TenemoslJ C > J B ! l lJ C > J C ! l lJ C ! J B ! l ! ! 0 C> 0 C> w w w w w w w! !

l>ll>l

0 C l0 C 0 B l =?: l0 C 0 C l l0 C 0 B l0

0

Como es continua en , es uniformemente continua en el compacto 0 0 B " B "w w ! !Dado , , tal que si , y , entonces% $ 0 $ 0 ! b ! l l C B " B " C B " B "! ! ! ! l0 C 0 C l ! 738 lC B l w w w w# #

"! 0 $ $ $% . Se toma . Si y

l l C C B " B " l0 C 0 C l 0 $ 0 0w w w! ! # y . Adems se tiene %l0 C 0 B l lJ C > J B ! l w w ! !# % . Luego %

22.Sea abierto, . Entonces es de clase si y solamente si ,h h h 0 0 aB 7 8 "existe tal que .E B ! 7 8

25 !!25

0 B2 0 B5 E B 25l25llim

SOLUCIN. Admitimos que es de clase en . Como es continua en , 0 0 B h h" wdado existe tal que y para todo , tenemos% $ $ h $ ! ! F B C F B l0 C 0 B l 2 5 B 2 B 5 F Bw w 7 % $. Si son tales que , el segmento , B 2 B 5 F B a> ! " B >2 " > 5 F B $ $Se define la funcin . Tenemos: > 0 B >2 " > 5 >0 B 2 5w

: : ! 0 B 5 " 0 B 2 0 B 2 5, wy

:w w w > 0 B >2 " > 5 0 B 2 5Por la desigualdad del valor medio

l0 B 2 0 B 5 0 B 2 5 l l " ! l =?: l > l w w>!"

: : :

=?: l0 B >2 " > 5 0 B ll2 5l l2 5l>!"

w w %Luego si 2 5 0 B2 0 B5 0 B 25l25l w %lo que demuestra la primera parte. Admitimos que existe el lmite en cuestin. En primer lugar es fcil ver que paratodo existe y , ya que para , tenemosB 0 B 0 B E B 5 !h w w

lim2!

0 B2 0 B E B 2l2l

2!

!Se sigue por hiptesis que

, lim 25 !! 0 B2 0 B5 E B 25l25l w25

! E B 0 B


Esto implica que lim 25 !! 0 B25 0 B2 0 B 5l5l

5!

w !

Como es diferenciable en ( pequeo) tenemos0 B 2 l2l0 B 2 5 0 B 2 0 B 2 5 < B 2 5 w

donde lim5!

< B25l5l

! Sea . Por existe tal que si y entonces para y% $ $ $ h ! ! l2l l5l B 2 5 B 2 h

l0 B25 0 B2 0 B 5ll5l #

w % Supngase que y Tmese , donde Por se tienel2l l@l " 5 >@ ! ! l>l $ $ l 0 B2 0 B 5< B25 l l< B25 l

l5l # l5l # l5lw w w w5 w w 0 B 2 0 B l 0 B 2 0 B @ l % %

Como es arbitrario, puesto que y , sea tal que5 >@ l>l > ! ! !$ $lim5!

< B25l5l

w si entonces para todo tal quel5l l 0 B 2 0 B @l @$ %w w w< B25l5l # %l@l " l0 B 2 0 B l l2l 0, luego si , as se demuestra que es de clase .w w " % $

23.Tenemos cerrado, cualquiera, es continua con: : J X J J X 7 8respecto a la segunda variable adems existe tal que y que- -! "l B > C > l lB Cl a> X B C J X J: : - . Demostrar que existe , tal que: > > > a> X , continua.SOLUCIN. Fijemos y definamos por Entonces es una> X J J B B > : : : :> > > contraccin. Como es cerrado, se sigue que es completo. Por el lema de laJ J7contraccin de un espacio mtrico completo, existe un nico tal que .B J B B:> Definamos . Entonces es evidente que : es una funcin bien definida y > B X J: > > > > X > X para todo . Resta mostrar que es continua. Sea para!todo , se tiene> Xl > > l l > > > > l l > > > > l l > > > > l : : : : : : ! ! ! ! ! ! ! l > > l l > > > > l l > > l l > > > > l- : : : : ! ! ! ! ! ! ! !

"

" " !-

-

Dado , como es continua existe tal que% : $ ! > > > ! !l> > l l > > > > l " ! ! ! !$ : : % - entonces ,

as tenemos que si entonces , luego es continua.l> > l l > > l ! !$ %

24.Tmese una bola cerrada de radio y centro , y sea tal que F B 0 F aB C F$ ! 7se tiene donde Si entoncesl0 B 0 C l lB Cl ! " l0 B B l " - - - $! !existe un nico tal que + F 0 + + SOLUCIN. Por el lema del punto fijo basta mostrar que en las condiciones de0 F F arriba ya que es cerrado. De hecho, sea tenemosF B F7


l0 B B l l0 B 0 B l l0 B B l lB B l " ! ! ! ! ! !- - $Luego

l0 B B l " 0 B F ! -$ - $ $ .

25.Supongamos que es una bola abierta con centro en y radio y tal queF B! $l0 B B l " #% ! ! - $. Demostrar que an vale el mismo resultado del ejercicio SOLUCIN. Obsrvese que ahora no es completo. Por un raciocinio anlogo al hechoFpara obtener tenemos an que . Sea la adherencia de , 0 F F F F F B lB B l B C F l 0 B 0 C l lB Cl $ -7 ! . Como para tenemos entonces es uniformemente continua en , luego se extiende a una funcin0 F 0continua , definida por0 F 7

0 B 0 B B F

0 B B B F B F H , si , si lim lim8 88 8 8

Tenemos para queB C F y , ,B B C C B C Flim lim

8 88 8 8 8

luegol0 B 0 C l l 0 B 0 C l l0 B 0 C l lB C l lim lim lim lim

8 8 8 88 8 8 8 8 8-

< donde lB Cl lB Cl ! "- . .Tenemos tambin que , pues si entonces vemos que0 F F B C F

l0 B B l l0 B 0 B l l0 B B l lB B l l0 B B l ! ! ! ! ! ! !- $como en , luego por el lema del punto fijo, existe un nico , tal que + F 0 + +Como . Lo cual se queria demostrar.0 + + 0 F F + F Si vale que entonces tenemos que y no sel0 B B l " 0 F 0 F F ! ! 7- $ puede garantizar que . De hecho sea (donde se identifica con y+ F 0 F" # # F " 0 D D " " # "# es la bola de radio en ), tal que Tenemos l0 D 0 D l lD D l B ! l0 B B l " " " " # " ! ! !" " " "# # # ## , luego y - $ -Tenemos .0 D D D " D " F F "#

26.Tmese continua con respecto a la segunda variable y , tal: - F X ! " 7que . Demostrar que sil B > C > l lB Cl aB C F > X: : - l B > B l " X F: - $ ! ! , entonces existe una nica aplicacin continua , talque .: > > > a> XSOLUCIN. Por el ejercicio tenemos que la aplicacin tiene un nico#& F F:> punto fijo . Por un argumento anlogo al utilizado en la solucin del ejercicio > F#$ se tiene que es continua. La unicidad es obvia.

27.Tmese siendo una contraccin y . Entonces demostrar: : 0 B B B7 7 que es homeomorfismo de sobre .0 7 7


SOLUCIN. Por el lema de la perturbacin de la identidad (vea resultado ), se sigue%$que es un homeomorfismo de sobre el cual es abierto en . Resta0 0 7 7 7 demostrar que es sobre, esto es, . Sea . Se define 0 0 C < 7 7 7 7 7tomando . Tenemos < : < < : : - - B C B l B B l l B B l lB Bl ! "w w wentonces es una contraccin. Como es completo se sigue que existe un nica< B B C B B B B C 0 B 0 < : :7 tal que es sobre.

28.Tmese una aplicacin de clase , tal que para todo1 5 " l1 B l " 7 7 5 w B 0 0 B B 1 B 7 7 7. Demostrar que dada por es un difeomorfismo de clase de sobre un conjunto abierto de . 5 7 7SOLUCIN. Para todo , tenemos , donde es laB 0 B M 1 B M 7 w w 7 7 identidad. Pongamos . Tenemos donde .E 1 B 0 B M E E "w 7 w Tenemos entonces y es unalE B E C l lE B C l E lB Cl E " E contraccin. As es una contraccin, luego por el ejercicio anterior,E #( 7 7M E M E es un homeomorfismo de sobre , luego en particular es 7 7invertible es invertible. Por el teorema de la funcin inversa existe una 0 Bw vecindad de , tal que es un difeomorfismo y es abierto.Z B 0 Z 0 Z 0 Z 7Dado donde es un abierto, sea , tal que y sea unaC 0 [ [ B [ 0 B C Z 7vecindad de , como arriba. Tenemos que , es abiertoB Z [ C 0 Z 0 [ 0 Z entonces es tambin abierto. Luego es una aplicacin abierta y en particular0 [ 0 0 0 B C B C 7 7 7es abierto en . Mostremos ahora que en inyectiva. Sean y elsegmento que une a con . Sea ya que es compacto yB C =?: l1 D l " B C-

DBC

w 1 B C 7 es continua. Por la desigualdad del valor medio tenemos que

l1 B 1 C l lB Cl - Recibimos entonces

l0 B 0 C l lB C 1 B 1 C l lB Cl l1 B 1 C l lB Cl lB Cl " lB Cl- -

donde es inyectiva. Como es abierta entonces es un" ! " ! 0 0 0- -homeomorfismo de sobre , abierto de (el hecho de que es abierta es 7 7 70 0 aqu usado para probar que es continua). Como 0 0 0 0" 7 7 7 7 abierta es un homeomorfismo y difeomorfismo local de clase (esto es, para todo5B Z B 0 Z 0 Z7, existe una vecindad de tal que es un difeomorfismo), se sigue que es difeomorfismo de clase de sobre abierto.0 0 5 7 7

AFIRMACIN: Si entonces es sobre.l1 B l " aB 0w 7 - SOLUCIN. En este caso por tenemos esto implica que es una l1 B 1 C l lB Cl 1-contraccin. Por el ejercicio se sigue que es sobre (Note que ahora es#( 0 -independiente de , dado que antes si lo era).B C 7EJEMPLO: .Si , entonces y no es sobrel1 B l " =?:l1 B l " 0w w


SOLUCION. Sea , dado por (donde esta7 " 1 1 > +1 > > +1 definida como siendo la inversa de la cual es montona y sobre).>1 1 1# # Tenemos

.1 > " l1 B l "w w" > >"> "> "> # # ## #Adems tenemos

0 > > 1 > +1 > 0 y 1 1# #y posee inversa 0 >1 1 1# #

29.+Sea un abierto donde esta definida una estructura de grupo conh 7multiplicacin de clase , Sea dada por ,. h h h ' h h ' 5 " + B B 5 "entonces es de clase luego es continua' 5 SOLUCIN. Defnase para cada las aplicaciones y tales queB P V h h h h hB B P C BC B V C CB B B multiplicacin a la izquierda por y multiplicacin a laderecha por . Tenemos , donde es la identidad deB P P BC P 3. aB C /B C / h hh h .. En particular , luego , . Como esP P P P 3. P P aB B B BB B B"" " "h diferenciable es diferenciable para todo y . Luego y P B HP C ` B C P PB B " B B . "son diferenciables y por la regla de la cadena se tiene

.H P P C HP BC HP C M B B BB" "Como (espacios vectoriales de la misma dimensin) entoncesHP C B 7 7 HP C HP BC HP C P ""B B B" B" y es invertible. Como es y sobre lo cual es obvio , y son continuas y es un isomorfismo para todoP P HP CB BB"B P h h h . h h h, se sigue que es un difeomorfismo de sobre . Sea entonces : B como arriba y . Tenemos , es unB B B / ` B B HP B! ! " ! !" "! ! Bh . . "!isomorfismo. Por el teorema de la funcin implcita, existen una vecindad de yZ B!^ B B ^ Zh h h , y una nica aplicacin de clase , , tal que " 5! ! . B B ^ aB Z B B / aB Z, y , . Evidentemente, por la unicidad delinverso de un elemento en . Debemos tener | , luego es de clase .h ' ' Z 5

29., 0 Z Z Supngase que donde es abierto as tenemos una estructurah 8 de grupo como en , adems el producto es diferenciable y clase ) es unh 5homomorfismo diferencial. Entonces tiene rango constante.0SOLUCION. Para todo , sea dada por , . Para B Z P Z Z P C BC aC Z B C B B htenemos , entonces para todo 0 B C 0 B 0 C 0 P C P 0 C B B 0 B htenemos .0 P P 0B 0 B Por la regla de la cadena

H0 BC HP C HP 0 C H0 C B 0 B entonces

H0 C HP 0 C H0 BC HP C 0 B " B Denotemos


y HP 0 C Q B C HP C R B C0 B B Tenemos que

y Q B C R B C 8 8 7 7son isomorfismos lineales y

H0 C Q DC C H0 D R DC C Q C C H0 / R C C c d c d " " " "" "donde y son isomorfismos entonces el rango de es el mismoQ C C R C C H0 C " "que el de entonces tiene rango constante.H0 / aC 0 h

29.- 3 0 0 es localmente inyectiva si y slo si es una inmersin. Si es abierta entonces es una submersin.33 0 0 Si es sobre entonces es una submersin.333 0 0SOLUCIN. Sea y tal que es inyectiva ( es abierto). Usando el3 B B [ 0l [h h [resultado , el conjunto de los tales que es inyectiva, es abierto(" B [ 0 B w 7 8 y denso, en particular es no vaco. Como el rango de es constante, se sigue que0


30. Sea y diferenciables con , . Mostrar0 !" 1 ! " l0 > l 1 > a> ! " 8 w wque .l0 " 0 ! l 1 " 1 ! SOLUCIN. Dado sea .% % % ! \ > ! "l0 > 0 ! l 1 > 1 ! > 3 \ /= -/l l0 > 0 ! l 0%

l0 > 0 ! l 1 > 1 ! > % %.Podemos decir que dado se halla tal que si , por continuidad se tiene% $ $ ! ! l>l que . En esta forma se tiene cuandol0 > 0 ! l l0 > 0 ! l 1 > 1 ! > %# % %1 > 1 ! > l0 > 0 ! l % % %% % #pues , en este caso % % %As tiene una vecindad de cero, pues dado existe una vecindad de tal\ ! ! !% $ que la desigualdad se verifica. Hallamos as tall0 > 0 ! l 1 > 1 ! > ! % % $que se tiene y verificndose as quel>l l0 > 0 ! l l1 > 1 ! l $ % %# #

l0 > 0 ! l 1 > 1 ! > % %por lo tanto . ! \$333 ! + " + \ ! + \. Mostremos que si y entonces existe tal que .$ $Si .+ \ l0 + 0 ! l 1 + 1 ! + % %Si entonces satisface la desigualdadl+ 2l 0 + 2$

.l0 > 0 ! l 1 > 1 ! > % %Puesto que es diferenciable, del teorema de la desigualdad del valor medio, se tiene0en el punto que;+

l0 + 2 0 + l l2l =?: l0 + >2 l l2l =?: l1 + >2 l !>" !>"

w w23:

pero es una funcin a valor real entonces vale el teorema del valor medio real, esto1es vale la igualdad, tenindose entonces

l0 + 2 0 + l l2l1 + > 2 w ! para cierto tal que . Veamos que para , as;> ! > " + 2 \ 2 !!

l0 + 2 0 ! l l0 + 2 0 + 0 + 0 ! l l0 + 2 0 + l l0 + 0 ! l l0 + 2 < 2 l l0 + 0 ! l

w

0 +2 0 + 0 + 2< 2 -98 !w2!

< 2l2l lim

l0 + ll2l l< 2 l 1 + 1 ! +

w

+\

% % 1 + l2l 1 + < 2 1 ! +

w

l0 > l1 >w w % %

1 + 2 1 ! + < 2 < 2

w

1 +2 1 + 1 + l2l< 2 :?/= !w w2!

< 2wl2l lim

% %


pero , pues, , por lo tanto< 2 < 2 < 2 < 22 22! w w 2 !% lim

l0 + 2 0 ! l 1 + 2 1 ! + 2 % %esto implica que .+ 2 \3@ 333 =?:\ " " \. Concluimos de . que por lo tanto se sigue que:

l0 " 0 ! l 1 " 1 ! ! % % %, para todo Luego .l0 " 0 ! l 1 " 1 !

31.Sea abierto. Si posee derivadas parciales h : h : + , ` B >7 8 3" continuas para entonces definidas por es de! 3 5 0 0 B B > .>h : '8 !"clase .5SOLUCIN. luego es continua. es continua` 0 B ` + , "! 7 8": : : h por el teorema de Leibniz, as definida por es de clase 0 0 B B > .>h : '8 "!"y 0 B ` B > .>w !

"" ' :

Suponga que el resultado es vlido para funciones con derivadas: h + , 8parciales continuas hasta el orden . Este es el caso de` B > 5 " 3" : ` + , 0 0 B ` B > .>" "7 8 w 7 8 w +

,: h h : ' entonces definida por es de clase entonces es de clase 5" 50 32.Enuncie precisamente y demuestre lo siguiente: Si una funcin de dos variablesposee derivadas parciales acotadas en una vecindad de un punto, ella es continua enel punto. Generalice este resultado.SOLUCIN. Aqu las funciones estn acotadas luego es continua, ahora0 B C 0 `0 `0`B `Cpara existe tal que 0 Z B C l B C l Q l B C l R a B C Z 8 : 7 ! ! `0 `0`B `C tenindose quel0 B 2 C 5 0 B C l l0 B 2 C 5 0 B C 5 l l0 B C 5 0 B C l ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Ahora como posee primera derivada parcial, dado existe tal que si0 ! !% $"l2l $" entonces

l0 B 2 C 5 0 B C 5 B C 5 2l l5l " ! ! ! ! ! !`0`B % Anlogamente para la segunda derivada parcial de dado existe tal que si0 ! !% $#l5l $# entonces

l0 B C 5 0 B C B C 5l l5l # ! ! ! ! ! !`0`C %Ahora de se tiene "

l0 B 2 C 5 0 B C 5 l l B C 5 l l2l l2l ! ! ! ! ! !`0`B %entonces

l0 B 2 C 5 0 B C 5 l l2l l B C 5 l l2l $ ! ! ! ! ! !`0`B% anlogamente de se tiene #

l0 B C 5 0 B C l l5l l B C l l5l % ! ! ! ! ! !`0`C% Sustituyendo y en recibimos $ %


l0 B 2 C 5 0 B C l l2l l5l l B C 5 l l2l l B C l l5l ! ! ! ! ! ! ! !`0 `0`B `C%o sea que

l0 B 2 C 5 0 B C l l2l l5l Ql2l Rl5l Q l2l R l5l ! ! ! ! % % %Puesto que y pueden ser tomados arbitrariamente pequeos se sigue que2 5

l0 B 2 C 5 0 B C l ! ! ! ! %de donde la continuidad de en 0 B C ! !Generalizacin : Sea una funcin tal que0 B B B " # 8

l B l Q l B l Q l B l Q B Z B`0 `0 `0`B `B `B" # 8 !" # 8 para todo ,se tiene

l0 B 2 B 2 B 2 0 B l l2 l l B B 2 B 2 l " " # # 8 8 ! " # # 8 8`0`B !"% " l2 l l B B B 2 B 2 l l2 ll B l% %# $ $ 8 8 8 !`0 `0`B `B! !" ## 8 Q l2 l Q l2 l Q l2 l % % % %" " # # 8 8

de donde la continuidad.

33.Dadas diferenciables, defnase tomando0 1 : 7 8 7

< >, donde < >: ' B 1 B 0 >B .> lBl B B !lBlCalcule para todo en y todo .: w 7 7 2 B ! 2 SOLUCIN. Sea , como el producto bilineal es diferenciable tenemos" 'B 0 >B .>!lBl

: " "w w w B 2 1 B 2 B 1 B B 2 < > < > Hallemos "w B

7

B>7

>B >B

>B 0

- -

,3638/+6 0 0 >B 0 B >As con derivada dada por" - 'B 0 B > .>!lBl

" - - " " - w w wBB

" " " ' B 2 ` 0 B > 2.> 0 B > B 2 0 B > B 2" "En el caso particular en el que

B ! aB B 27 w ," " "" "7 w" 2BlBl ! B lBl B ! B 2 < >

Luego" - -w !

lBl"

2BlBl 'B 2 ` 0 B > 2.> 0 lBl > < >

as:w w ! !

lBl lBl 2BlBl ' 'B 2 1 B 2 0 >B .> 1 B 0 >B >2.> 1 B 0 >lBl< > < > < > .< >

34.Sea un abierto. Si una aplicacin de clase es unh : h 7 7" #homeomorfismo de sobre y su derivada esh : h : Q B 7" w 7 7"inyectiva en todos los puntos , el conjunto se llama una .B Qh superficie local


Para cada , el espacio vectorial es llamado aB I B h : B w 7 espacio tangenteQ B @ l@ B l " en el punto . Sea ahora una aplicacin de clase tal que : h 7" "y para todo . (Los vectores son a en@ B I B @ B Q B h normales unitarias el punto . Podemos definir , donde es el producto vectorial: B @ B @ B l@ B l @ B` ` ``B `B `B: : :" # 8 )

Probar que, para todo y que para cualesquiera , se tieneB @ B I 2 5 h w 7 7B < > < >@ B 2 B 5 @ B B 2 5w w ww : :

Concluya que < > < >@ B 2 B 5 @ B 5 B 2w w w w : :

y por lo tanto la aplicacin lineal , definida por esE I I E @ B B B B w w " :autoadjunta. Los valores propios de son llamados las curvaturas principales de laEsuperficie local en el punto . El determinante de se llama la curvaturaQ B E: gaussiana de la superficie en el punto .Q B: SOLUCIN. Tenemos y as : :w 7 w 7 wB B B B I @ B I B 2 I + I @ B @ B B 5 ! Puesto que se sigue que < > y se tieneB w :

< > < > < > @ B B 5 2 @ B 2 B 5 @ B B 2 5 ! " : : :w w w w ww< > < > < > @ B B 2 5 @ B 5 B 2 @ B B 2 5 ! # : : :w w w w ww

Ahora restando de obtenemos " #< > < >@ B 2 B 5 @ B 5 B 2 !w w w w : :

o sea que< > < >@ B 2 B 5 @ B 5 B 2w w w w : :

y< > < >@ B 2 B 5 @ B B 2 5w w ww : :

, E I I E B B Por hiptesis se tiene que esta dada por . TomemosB B w w " : :ahora , , entonces , as " : " : I B 2 B 5B w w

< > < > < >E @ B B B 2 B 5 @ B 2 B 5 " : : : :w w " w w w w Ahora

< > < > < > " : : : : E B 2 @ B B B 5 B 2 @ B 5w w w " w w w De donde se tiene que

< > < >.E E " "As es autoadjunta, esto completa el resultado.E

35. Sea abierto, conteniendo al segmento de recta . Si es unah h + + 2 0 7 funcin veces diferenciable y existe para todo con entonces,= 0 + >2 > ! > " =" para algn se tiene> ! "!

0 + 2 0 + 0 + 2 0 + 2 0 + 2 w = = =" ="" "=x =" x SOLUCIN. Defnase mediante . Entonces es veces: : : ! " > 0 + 2 = diferenciable en y existe para todo . Observando el teorema de! " > ! ": ="


Taylor para funciones reales de una varible real podemos afirmar la existencia de un> ! "! tal que

: : : " ! ! w ! ! >#x =x =" x: : :ww = =" ! Donde

: : : : : " 0 + 2 ! 0 + ! 0 + 2 ! 0 + 2 ! 0 + 2w w ww ww # 4 4 4 Obteniendose el resultado deseado

0 + 2 0 + 0 + 2 0 + 2 0 + 2 w = = =" ="" "=x =" x

36.Sea una funcin veces diferenciable. Sean 0 = 4 " =h - 8 7 84 4aplicaciones -lineales simtricas, tales que4

0 + 2 0 + 2 2 2 2 l2l " - - - 3" # =# = = donde entonces .lim

2!4

0 +4x3 - 2 ! 4

SOLUCIN. Por la frmula de Taylor se tiene para que00 + 2 0 + 0 + 2 2 5 2 # w =0 +=x =

donde . Suponiendo que . Efectuando la resta selim2!

5 2l2l

= = ! 2 l2l 5 2 " #3

recibe: 0 + 2 2 =2 !w # =" #0 + 0 +#x =x

- - - 7 8

ww =

# =7 8 7 8

Se define donde . Entonces es ahora un: : -4 4 4 47 8 0 +4x " # 4 polinomio en , por lo tanto2

: : : :" # = 4# = 42 2 2 ! 2 ! a4 " =, D emostraremos que como es -lineal, simtrica y si ,: :4 4 44 2 !

a2 2 2 2 4 @/-/= 4 @/-/=

4 7 7 entonces para todo esto es por: :4 " 4 " 47 7 2 2 ! 2 2 !4induccin3 4 "Para es obvio33 4 # A @ Para dados se define por c 7 8

c : B C B? C@ B? CC !#entonces

c : : : : B C B ? ? BC ? @ CB @ ? C @ @ ! !

# ## # # #

como es simtrica, entonces:# ! B C #BC ? @ ? @ ! !c : : : # # #

333! B C D B? C@ DA B? C@ DA $BCD ? @ A ! !c : : : $ $ $ 4 = ! B B B ? B ? B ? B ? B ? B ? c : " = = " " # # = = " " # # = = = B B B ? ? ? ! !" " # = = " # = =: :


Por lo tanto .0 + 0 +4x 4x4 4 4 4 ! - -

37.Sea tal que existen y son continuas con0 + , + , : : : " # =0 B 2 0 B B 2 B 2 5 B 2 ! : :" = =

2!5 B22 donde uniformementelim

=

con relacin a . Concluya que y que .2 0 B 0 B := 44 "4x SOLUCIN. Segn el ejercicio se sabe que: . El problema es ahora$' B :4 0 B4x 4 mostrar que es de clase . Las son continuas y .0 ! ! 5 = " :5 3

2!5 B2l2llim

5

Veamos pues que es diferenciable0l0 B 2 0 B B 2l l B 2 B 2 5 B 2 l

E : : :" # =# =

l2ll B 2 B 2 l F

: :# = =" 5 B22 Para que sea diferenciable en se requiere que 0 B a ! b ! l2l lEl lFl % $ $ %Entonces debemos mostrar que cuando . Pero pues esF ! 2 ! B 2 !: :3 3 continua en cuando , y cuando . Entonces B 2 ! ! ! 2 ! F !5 B2 5 B2l2l l5l

5

cuando entonces es diferenciable en todo punto . Se tiene entonces que2 ! 0 B: : " "w " 4 B 0 B 0 0 , como es continua se sigue que . Anlogamente pues0 B B = = ! : :y es continua.

38.Sea veces diferenciables en el abierto si y0 = " + + 2 h h h 8 7l0 B l Q aB + + 2 l5 2 l l2l =" Q=" x , entonces donde

5 2 0 + B 0 + 0 + B 0 + B w =" =""=" x SOLUCIN. Sea , veces diferenciable tal que: ! " = " 8

l > l Q a> ! " ": =" w Se define por cuya primera: ! " : > > " > > > : : :8 w =">=x =derivada esta dada por , existe pues . Definamos ahora una: > > >w =" ="">=x =: :nueva funcin mediante entonces , as1 ! " 1 > Q 1 > Q 8 w w w "> ">=" x =x =" =

l: > l > l > l Q

!

w =" =" w"> "> ">=x =x =x = = =: :

pues , entonces por lo tanto! > " " > !l: &g

analisis rn dario sanchez

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